Arkusz próbny: poziom podstawowy

C. $2^5\cdot2^{-4}\cdot2^3 = 2^4$.

A. $5\sqrt2 - 3\sqrt2$. Pułapka D: $\sqrt{50 - 18}$.

C. $\log_3 27 = 3$.

B. $1{,}2c = 72$. Pułapka C: odjęcie $20\%$ od $72$.

A. Liczby odległe od $3$ o co najwyżej $2$.

D. $(4x^2 - 12x + 9) - (4x^2 + 12x + 9)$.

C. $-2x > 4$, dzielenie przez $-2$ zmienia zwrot.

D. Dodanie równań: $3x = 9$.

B. Współczynnik kierunkowy $m - 2 < 0$.

C. $p = \frac{4}{4} = 1$, $\ q = 2 - 4 - 6$.

D. $3 + 9\cdot4$. Pułapka A: $3 + 10\cdot4$.

B. $q^3 = 8$, $q = 2$, $a_1 = \frac62$.

C. $\cos\alpha = \frac45$, $\ \operatorname{tg}\alpha = \frac{3/5}{4/5}$.

A. $\frac12\cdot5\cdot6\cdot\frac12$.

D. Połowa kąta środkowego.

A. Pola w stosunku $k^2 = 9$.

B. $2\cdot\left(-\frac12\right) = -1$.

C. Średnie współrzędnych.

A. $a\sqrt3 = 6\sqrt3$, $a = 6$.

D. $4\cdot4\cdot2$ (na końcu $2$ albo $4$).

B. Suma $24$, $\ x = 24 - 16$.

PF. $2(x + 1)(x - 3)$; ramiona w górę, więc w $(-\infty, 1]$ funkcja maleje.

PF. $a_1 = -5 > a_2 = -8$.

A, B. Miejsce zerowe to $-3$, $f(4) = \log_2 8 = 3$. 2 pkt za obie poprawne litery, 1 pkt za jedną; trzy litery lub więcej to 0 pkt.

$30$ (NWW; $6 = 2\cdot3$, $15 = 3\cdot5$).

1. Pierwiastki. $\Delta = 1 + 48 = 49$; $\ x_1 = \frac{1 - 7}{4} = -\frac32$, $\ x_2 = \frac{1 + 7}{4} = 2$.
2. Wynik. ramiona w górę: $x \in \left(-\infty, -\frac32\right] \cup [2, +\infty)$.

1 pkt za pierwiastki trójmianu. 2 pkt za zbiór rozwiązań.

1. Dziedzina. $x \ne 1$; $\ x + 3 = 2(x - 1)$.
2. Wynik. $x = 5$, należy do dziedziny.

1 pkt za równanie liniowe po pomnożeniu przez $x - 1$. 2 pkt za $x = 5$.

1. Ω. $|\Omega| = 5\cdot6 = 30$.
2. A. $x = 5$: $6$ par; $\ y = 5$: $5$ par; para $(5, 5)$ liczona dwa razy: $|A| = 6 + 5 - 1 = 10$.
3. Wynik. $P(A) = \frac{10}{30} = \frac13$.

1 pkt za $|\Omega| = 30$ albo pełną listę $10$ par sprzyjających. 2 pkt za $\frac13$.

1. Rozkład. $n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n - 1)n(n + 1)$: iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych.
2. Wniosek. wśród nich jest liczba parzysta i liczba podzielna przez $3$; $2$ i $3$ są względnie pierwsze, więc iloczyn dzieli się przez $6$. $\ \blacksquare$

1 pkt za rozkład na iloczyn trzech kolejnych liczb. 2 pkt za uzasadnienie podzielności przez $2$ i przez $3$.

1. Promień. $r = |SA| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.
2. Równanie. $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25$.

1 pkt za $r = 5$. 2 pkt za równanie.

1. Oznaczenia. $a - r$, $a$, $a + r$; suma $3a = 15$, $\ a = 5$.
2. Warunek geometryczny. $6 - r$, $8$, $14 + r$: $\ 64 = (6 - r)(14 + r)$, $\ r^2 + 8r - 20 = 0$.
3. Wynik. $r = 2$: liczby $3, 5, 7$ (ciąg $4, 8, 16$); $\ r = -10$: liczby $15, 5, -5$ (ciąg $16, 8, 4$).

1 pkt za $a = 5$. 2 pkt za równanie z $r$. 3 pkt za oba rozwiązania.

1. Trójkąt SOM. $|OM| = 3$, kąt przy $M$ równy $60^\circ$: $\ H = 3\operatorname{tg}60^\circ = 3\sqrt3$, $\ h_s = \frac{3}{\cos60^\circ} = 6$.
2. Objętość. $V = \frac13\cdot36\cdot3\sqrt3 = 36\sqrt3$.
3. Pole boczne. $P_b = 4\cdot\frac12\cdot6\cdot6 = 72$.

1 pkt za $H$ albo $h_s$. 2 pkt za objętość. 3 pkt za pole boczne.

1. Zmienna. $x$ — bok prostopadły do rzeki; bok równoległy $120 - 2x$; $\ x \in (0, 60)$.
2. Funkcja. $P(x) = x(120 - 2x) = -2x^2 + 120x$.
3. Wierzchołek. $p = \frac{-120}{-4} = 30 \in (0, 60)$, ramiona w dół.
4. Odpowiedź. $30$ m $\times$ $60$ m, $\ P = 1800\ \text{m}^2$.

1 pkt za zależność boków. 2 pkt za wzór $P(x)$. 3 pkt za $x = 30$ z uzasadnieniem (wierzchołek, ramiona w dół, dziedzina). 4 pkt za wymiary i pole.

1. Prosta AB. współczynnik kierunkowy $\frac{0 + 2}{5 + 1} = \frac13$.
2. Wysokość. prostopadła: współczynnik $-3$, przez $C$: $\ y = -3(x - 1) + 6 = -3x + 9$.
3. Pole. $P = \frac12\big|(5 + 1)(6 + 2) - (1 + 1)(0 + 2)\big| = \frac12|48 - 4| = 22$ (wzór z broszury; można też policzyć $|AB|$ i odległość $C$ od prostej $AB$).

1 pkt za współczynnik kierunkowy $AB$. 2 pkt za równanie wysokości. 3 pkt za poprawną metodę obliczenia pola. 4 pkt za $P = 22$.