10.2 Objętości i pola powierzchni brył, bryły podobne

0 Pole podstawy razy wysokość

Objętość graniastosłupa i walca to pole podstawy razy wysokość. Ostrosłup i stożek o tej samej podstawie i wysokości mają objętość trzy razy mniejszą. Pole powierzchni całkowitej to suma pól wszystkich ścian: dwóch podstaw i powierzchni bocznej w graniastosłupie, jednej podstawy i ścian bocznych w ostrosłupie. Kula ma własne wzory. Prawie każde zadanie sprowadza się do wyznaczenia brakującej długości (często z twierdzenia Pitagorasa albo z kąta, lekcja 10.1 Proste, płaszczyzny i kąty w przestrzeni) i podstawienia do jednego z tych wzorów.

1 Graniastosłupy

Wzory (w broszurze CKE)

$V = P_p\cdot H$ , $\ P_c = 2P_p + P_b$ ;
prostopadłościan $a\times b\times c$ : $V = abc$ , $\ P_c = 2(ab + bc + ca)$ , przekątna $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ ;
sześcian: $V = a^3$ , $\ P_c = 6a^2$ , przekątna $a\sqrt3$ .

Graniastosłup prawidłowy ma w podstawie wielokąt foremny, a ściany boczne są prostokątami.

Przykład 1.1 Z objętości do przekątnej

Objętość sześcianu jest równa $343$ . Oblicz długość przekątnej i pole powierzchni całkowitej.

$a^3 = 343$ , $\ a = 7$ .
$d = 7\sqrt3$ , $\ P_c = 6\cdot49$ .

Wynik: $d = 7\sqrt3$ , $\ P_c = 294$ .

Przykład 1.2 Graniastosłup prawidłowy trójkątny

Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy $4$ i wysokość $6$ . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej.

$P_p = \frac{16\sqrt3}{4} = 4\sqrt3$ ; $\ V = 4\sqrt3\cdot6$ .
$P_b = 3\cdot4\cdot6 = 72$ , $\ P_c = 2\cdot4\sqrt3 + 72$ .

Wynik: $V = 24\sqrt3$ , $\ P_c = 72 + 8\sqrt3$ .

Zadania · część 1

2 zadania · ok. 4 min

Prostopadłościan ma wymiary $2 \times 3 \times 6$ . Oblicz przekątną, pole powierzchni całkowitej i objętość.

Odpowiedź
$d = \sqrt{4 + 9 + 36} = 7$ , $\ P_c = 2(6 + 18 + 12) = 72$ , $\ V = 36$ .
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma krawędź podstawy $2$ i wysokość $5$ . Oblicz objętość.

Odpowiedź
$P_p = 6\cdot\frac{4\sqrt3}{4} = 6\sqrt3$ , $\ V = 30\sqrt3$ .

2 Ostrosłupy

Wzory (w broszurze CKE)

$V = \frac13 P_p\cdot H$ , $\ P_c = P_p + P_b$ . W ostrosłupie prawidłowym ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi; ich wysokość $h_s$ to wysokość ściany bocznej (trójkąt $SOM$ z lekcji 10.1 Proste, płaszczyzny i kąty w przestrzeni): $h_s^2 = H^2 + r^2$ .

Przykład 2.1 Ostrosłup prawidłowy czworokątny

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $6$ i wysokość $4$ . Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość.

$h_s = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ .
$P_b = 4\cdot\frac12\cdot6\cdot5 = 60$ , $\ P_c = 36 + 60$ .
$V = \frac13\cdot36\cdot4$ .

Wynik: $P_c = 96$ , $\ V = 48$ .

Zadania · część 2

1 zadanie · ok. 2 min

Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy $6$ i wysokość $\sqrt3$ . Oblicz objętość.

Odpowiedź
$P_p = 9\sqrt3$ , $\ V = \frac13\cdot9\sqrt3\cdot\sqrt3 = 9$ .

3 Walec, stożek, kula

Wzory (w broszurze CKE)

walec: $V = \pi r^2 H$ , $\ P_b = 2\pi rH$ , $\ P_c = 2\pi r^2 + 2\pi rH$ ;
stożek: $V = \frac13\pi r^2 H$ , $\ P_b = \pi rl$ , $\ P_c = \pi r^2 + \pi rl$ , gdzie $l^2 = r^2 + H^2$ ;
kula: $V = \frac43\pi r^3$ , $\ P = 4\pi r^2$ .

Przykład 3.1 Stożek

Stożek ma promień podstawy $3$ i wysokość $4$ . Oblicz pole powierzchni bocznej, całkowitej i objętość.

$l = 5$ ; $\ P_b = \pi\cdot3\cdot5 = 15\pi$ , $\ P_c = 9\pi + 15\pi$ .
$V = \frac13\pi\cdot9\cdot4$ .

Wynik: $P_b = 15\pi$ , $\ P_c = 24\pi$ , $\ V = 12\pi$ .

Zadania · część 3

3 zadania · ok. 4 min

Walec ma promień $3$ i wysokość $5$ . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej.

Odpowiedź
$V = 45\pi$ , $\ P_c = 18\pi + 30\pi = 48\pi$ .
Stożek o promieniu $3$ ma objętość $12\pi$ . Oblicz wysokość.

Odpowiedź
$\frac13\pi\cdot9\cdot H = 12\pi$ , $\ H = 4$ .
Kula ma objętość $36\pi$ . Oblicz jej promień i pole powierzchni.

Odpowiedź
$\frac43 r^3 = 36$ , $\ r^3 = 27$ , $\ r = 3$ ; $\ P = 36\pi$ .

4 Jedna zmienna i bryły podobne

Dwie strategie

Jedna zmienna. Gdy wymiary są dane przez zależności („krawędzie w stosunku $1 : 2 : 3$ ”, „wysokość dwa razy dłuższa od promienia”), oznacz najkrótszy wymiar literą, wyraź przez nią pozostałe i ułóż jedno równanie z danej wielkości (pola albo objętości).
Bryły podobne w skali $k$ : długości $\times k$ , pola (także pole całkowite) $\times k^2$ , objętości $\times k^3$ .

Przykład 4.1 Krawędzie w stosunku $1 : 2 : 3$

Krawędzie prostopadłościanu mają długości w stosunku $1 : 2 : 3$ , a pole powierzchni całkowitej jest równe $88$ . Oblicz objętość.

Krawędzie $a$ , $2a$ , $3a$ : $\ P_c = 2(2a^2 + 6a^2 + 3a^2) = 22a^2$ .
$22a^2 = 88$ , $\ a = 2$ ; krawędzie $2$ , $4$ , $6$ .

Wynik: $V = 48$ .

Zadania · część 4

2 zadania · ok. 3 min

Dwa stożki są podobne, a stosunek ich wysokości jest równy $3 : 1$ . Mniejszy ma objętość $2\pi$ . Oblicz objętość większego.

Odpowiedź
$k = 3$ , $\ V = 27\cdot2\pi = 54\pi$ .
Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa $48$ . Oblicz jego objętość.

Odpowiedź
$12a = 48$ , $\ a = 4$ , $\ V = 64$ .

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 15 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · graniastosłupy

Zestawy A

Oblicz.
1. sześcian $a = 5$ : $V$ , $P_c$ , przekątna
Odpowiedzi
a) $125$ , $150$ , $5\sqrt3$

Poziom B · ostrosłupy i bryły obrotowe

Zestawy B

Oblicz.
1. ostrosłup prawidłowy czworokątny $a = 10$ , $H = 12$ : $h_s$ , $P_b$ , $V$
2. kula $r = 6$ : $V$ i $P$
Odpowiedzi
a) $13$ , $260$ , $400$ b) $288\pi$ i $144\pi$

Poziom C · skala i jedna zmienna

Zestawy C

Oblicz.
1. bryła podobna w skali $3$ : ile razy większe pole i objętość
2. walec o $H = 2r$ i objętości $16\pi$ : $\ r$
Odpowiedzi
a) $9$ i $27$ b) $2$

Pełny trening (15 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

W arkuszach podstawowych 2024–2026 ta lekcja ma najwięcej zadań w stereometrii: zamknięte z jednym wzorem, prawda/fałsz o bryłach podobnych i otwarte za 3–5 punktów, w których wymiary są dane zależnościami. W kluczach do zadań otwartych punkty dostaje się za wyrażenie wymiarów przez jedną zmienną, za równanie, za wartość zmiennej i za wynik. Pominięcie czynnika $2$ we wzorze na pole całkowite ograniczało wynik do 2 punktów; zgadnięte wymiary ze sprawdzeniem dawały 1 punkt. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

5 zadań · 10 pkt · ok. 25 min

(0–1 pkt) Objętość sześcianu jest równa $216$ . Przekątna tego sześcianu ma długość

A. $6$ B. $6\sqrt2$ C. $6\sqrt3$ D. $18$

Odpowiedź
C. $a = 6$ , $\ d = a\sqrt3$ .
(0–1 pkt) Walec i stożek mają równe promienie podstaw i równe wysokości. Stosunek objętości walca do objętości stożka jest równy

A. $\frac13$ B. $1$ C. $2$ D. $3$

Odpowiedź
D. $\pi r^2H : \frac13\pi r^2H$ .
(0–1 pkt) Dana jest kula o promieniu $3$ . Oceń prawdziwość zdań.

1. Objętość kuli jest równa $36\pi$ . P F
2. Kula o promieniu $6$ ma objętość dwa razy większą. P F

Odpowiedź
PF. $\frac43\pi\cdot27 = 36\pi$ ; skala $2$ daje objętość $2^3 = 8$ razy większą.
(0–4 pkt) Krawędzie podstawy prostopadłościanu mają długości w stosunku $1 : 2$ , a wysokość jest trzy razy dłuższa od krótszej krawędzi podstawy. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe $198$ . Oblicz jego objętość.
Rozwiązanie i punktacja
1. Zmienna. krawędzie $a$ , $2a$ , wysokość $3a$ .
2. Równanie. $P_c = 2(a\cdot2a + 2a\cdot3a + a\cdot3a) = 2\cdot11a^2 = 22a^2 = 198$ .
3. Wartość. $a^2 = 9$ , $\ a = 3$ : krawędzie $3$ , $6$ , $9$ .
4. Objętość. $V = 3\cdot6\cdot9 = 162$ .
1 pkt za wyrażenie wymiarów przez $a$ . 2 pkt za równanie $22a^2 = 198$ . 3 pkt za $a = 3$ . 4 pkt za $V = 162$ .
(0–3 pkt) Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku $6$ . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej stożka.
Rozwiązanie i punktacja
1. Wymiary. $l = 6$ , $\ r = 3$ , $\ H = \frac{6\sqrt3}{2} = 3\sqrt3$ .
2. Objętość. $V = \frac13\pi\cdot9\cdot3\sqrt3 = 9\sqrt3\,\pi$ .
3. Pole. $P_c = 9\pi + \pi\cdot3\cdot6 = 27\pi$ .
1 pkt za $r$ , $l$ i $H$ . 2 pkt za objętość. 3 pkt za pole.

7 Najczęstsze błędy

„Objętość ostrosłupa to $P_p\cdot H$ .”: W ostrosłupie i stożku jest $\frac13$ . Kontrola: trzy przystające ostrosłupy składają się w sześcian.
„ $P_c$ graniastosłupa to $P_p + P_b$ .”: Graniastosłup ma dwie podstawy: $2P_p + P_b$ . Za ten błąd klucz z 2025 roku dawał co najwyżej 2 punkty.
„Skala $2$ , więc objętość dwa razy większa.”: Objętość $2^3 = 8$ razy, pole $2^2 = 4$ razy.
„Pole boczne stożka to $\pi rH$ .”: $\pi rl$ , gdzie $l$ to tworząca, a nie wysokość.

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Pole powierzchni sześcianu jest równe

54

. Ile wynosi objętość?

$a = 3$ , $V = 27$ .

2 Dwie kule mają objętości w stosunku

8 : 1

. W jakim stosunku są ich promienie?

$2 : 1$ .

3 Walec ma

H = 2r

i objętość

16\pi

. Ile wynosi

r

$2\pi r^3 = 16\pi$ , $r = 2$ .

4 Ile razy wzrośnie pole kuli, gdy promień wzrośnie trzy razy?

$9$ razy.

9 Karta wzorów i co dalej

Wielościany

graniastosłup: $V = P_pH$ , $P_c = 2P_p + P_b$

ostrosłup: $V = \frac13P_pH$ , $P_c = P_p + P_b$

prostopadłościan: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Bryły obrotowe

walec $\pi r^2H$ ; stożek $\frac13\pi r^2H$ , $P_b = \pi rl$

kula $\frac43\pi r^3$ , $4\pi r^2$

podobne: $k$ , $k^2$ , $k^3$

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” są wzory na objętości i pola powierzchni wszystkich brył z tej lekcji i twierdzenie o polach figur podobnych. Zależności objętości od sześcianu skali w części o bryłach nie ma; wynika ona z tego, że objętość ma trzy wymiary długości.

Dalej: przekroje brył (lekcja 10.3 Przekroje brył i twierdzenie o trzech prostopadłych, poziom rozszerzony) albo kombinatoryka (lekcja 11.1 Reguła mnożenia i reguła dodawania).

0 Pole podstawy razy wysokość

1 Graniastosłupy

Przykład 1.1 Z objętości do przekątnej

Przykład 1.2 Graniastosłup prawidłowy trójkątny

2 Ostrosłupy

Przykład 2.1 Ostrosłup prawidłowy czworokątny

3 Walec, stożek, kula

Przykład 3.1 Stożek

4 Jedna zmienna i bryły podobne

Przykład 4.1 Krawędzie w stosunku 1:2:31 : 2 : 31:2:3

5 Trening rachunkowy

6 Na maturze

7 Najczęstsze błędy

8 Sprawdź się

9 Karta wzorów i co dalej

Przykład 4.1 Krawędzie w stosunku $1 : 2 : 3$