10.1 Proste, płaszczyzny i kąty w przestrzeni · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Kąt w przestrzeni to kąt w trójkącie

Kąta między prostą a płaszczyzną nie mierzy się bezpośrednio. Rzutuje się prostą na płaszczyznę i mierzy kąt między prostą a jej rzutem. Wtedy powstaje trójkąt prostokątny: odcinek, jego rzut i odcinek prostopadły do płaszczyzny (zwykle wysokość bryły). Tak samo kąt między dwiema płaszczyznami: bierze się dwie proste prostopadłe do ich krawędzi wspólnej, po jednej w każdej płaszczyźnie. W ostrosłupie i stożku są tylko dwa takie trójkąty, które trzeba znać na pamięć.

1 Położenie prostych i płaszczyzn

Definicje

Dwie proste w przestrzeni są równoległe (leżą w jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych albo się pokrywają), przecinają się albo są skośne (nie leżą w żadnej wspólnej płaszczyźnie).
Kąt prostej z płaszczyzną: kąt między prostą a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę (od $0^\circ$ do $90^\circ$ ).
Kąt dwuścienny (między płaszczyznami przecinającymi się wzdłuż prostej $k$ ): kąt między prostymi prostopadłymi do $k$ , poprowadzonymi w obu płaszczyznach z jednego punktu $k$ .

Zadania · część 1

2 zadania · ok. 4 min

W sześcianie $ABCDEFGH$ (podstawa $ABCD$ , krawędzie boczne $AE$ , $BF$ , $CG$ , $DH$ ) określ położenie prostych: $AB$ i $CG$ , $AB$ i $GH$ , $AB$ i $BF$ .

Odpowiedź
$AB$ i $CG$ : skośne. $AB$ i $GH$ : równoległe ( $AB \parallel DC \parallel HG$ ). $AB$ i $BF$ : przecinają się w $B$ (pod kątem prostym).
Oblicz tangens kąta między przekątną sześcianu a płaszczyzną jego podstawy.

Odpowiedź
Rzut przekątnej $AG$ na podstawę to przekątna podstawy $AC = a\sqrt2$ , a $|CG| = a$ : $\ \operatorname{tg} = \frac{a}{a\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}$ .

2 Kąty w ostrosłupie

Dwa trójkąty prostokątne w ostrosłupie prawidłowym

Krawędź boczna z podstawą (kąt $\alpha$ ): trójkąt $SOA$ z przyprostokątnymi $H$ i $|OA| = R$ (promień okręgu opisanego na podstawie; w kwadracie połowa przekątnej $\frac{a\sqrt2}{2}$ , w trójkącie równobocznym $\frac{a\sqrt3}{3}$ ).
Ściana boczna z podstawą (kąt $\beta$ ): trójkąt $SOM$ , gdzie $M$ to środek krawędzi podstawy; przyprostokątne $H$ i $|OM| = r$ (promień okręgu wpisanego; w kwadracie $\frac a2$ , w trójkącie równobocznym $\frac{a\sqrt3}{6}$ ), przeciwprostokątna to wysokość ściany bocznej.

Wtedy $\operatorname{tg}\alpha = \frac HR$ , $\ \operatorname{tg}\beta = \frac Hr$ . Kąt ściany jest zawsze większy od kąta krawędzi, bo $r < R$ .

Przykład 2.1 Krawędź boczna

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $6$ , a krawędź boczna jest nachylona do podstawy pod kątem $60^\circ$ . Oblicz wysokość, długość krawędzi bocznej i objętość.

$|OA| = \frac{6\sqrt2}{2} = 3\sqrt2$ .
$H = |OA|\operatorname{tg}60^\circ = 3\sqrt6$ ; $\ |SA| = \frac{|OA|}{\cos60^\circ} = 6\sqrt2$ .
$V = \frac13\cdot36\cdot3\sqrt6$ .

Wynik: $H = 3\sqrt6$ , $\ |SA| = 6\sqrt2$ , $\ V = 36\sqrt6$ .

Przykład 2.2 Ściana boczna

Dla ostrosłupa z przykładu 2.1 oblicz tangens kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy.

$|OM| = \frac a2 = 3$ .
$\operatorname{tg}\beta = \frac{3\sqrt6}{3}$ .

Wynik: $\operatorname{tg}\beta = \sqrt6$ (większy od $\operatorname{tg}60^\circ = \sqrt3$ , zgodnie z regułą).

Zadania · część 2

2 zadania · ok. 5 min

Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy $6$ i wysokość $2$ . Oblicz kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy.

Odpowiedź
$R = \frac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$ , $\ \operatorname{tg}\alpha = \frac{2}{2\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{3}$ : $\alpha = 30^\circ$ .
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $8$ , a ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem $45^\circ$ . Oblicz objętość.

Odpowiedź
$H = \frac a2\operatorname{tg}45^\circ = 4$ , $\ V = \frac13\cdot64\cdot4 = \frac{256}{3}$ .

3 Kąty w bryłach obrotowych

Przekrój osiowy

Stożek: przekrój osiowy to trójkąt równoramienny o ramionach $l$ (tworzące) i podstawie $2r$ . Kąt rozwarcia to kąt przy wierzchołku tego trójkąta, $2\gamma$ ; w trójkącie prostokątnym z wysokością: $\sin\gamma = \frac rl$ , $\cos\gamma = \frac Hl$ .
Walec: przekrój osiowy to prostokąt $2r \times H$ ; jego przekątna tworzy z podstawą kąt o tangensie $\frac{H}{2r}$ .

Przykład 3.1 Kąt rozwarcia

Tworząca stożka ma długość $10$ , a kąt rozwarcia stożka ma $60^\circ$ . Oblicz $r$ , $H$ i objętość.

Połowa kąta rozwarcia: $30^\circ$ . $\ r = 10\sin30^\circ = 5$ , $\ H = 10\cos30^\circ = 5\sqrt3$ .
$V = \frac13\pi\cdot25\cdot5\sqrt3$ .

Wynik: $r = 5$ , $\ H = 5\sqrt3$ , $\ V = \frac{125\sqrt3}{3}\pi$ .

Przykład 3.2 Przekątna przekroju walca

Przekątna przekroju osiowego walca ma długość $10$ i tworzy z podstawą kąt $30^\circ$ . Oblicz objętość walca.

$H = 10\sin30^\circ = 5$ , $\ 2r = 10\cos30^\circ = 5\sqrt3$ , więc $r = \frac{5\sqrt3}{2}$ .
$V = \pi r^2 H = \pi\cdot\frac{75}{4}\cdot5$ .

Wynik: $V = \frac{375}{4}\pi$ .

Zadania · część 3

2 zadania · ok. 4 min

Stożek ma wysokość $6$ i kąt rozwarcia $90^\circ$ . Oblicz promień podstawy i tworzącą.

Odpowiedź
Połowa kąta $45^\circ$ : $r = H = 6$ , $\ l = 6\sqrt2$ .
Przekątna prostopadłościanu o wymiarach $3 \times 4 \times 12$ tworzy z płaszczyzną podstawy $3 \times 4$ kąt $\varphi$ . Oblicz długość przekątnej i $\sin\varphi$ .

Odpowiedź
$d = \sqrt{9 + 16 + 144} = 13$ , $\ \sin\varphi = \frac{12}{13}$ .

4 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 16 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · długości w bryłach

Zestawy A

Oblicz.
1. ostrosłup prawidłowy czworokątny, $a = 4$ , $H = 2\sqrt2$ : krawędź boczna i kąt jej nachylenia
2. stożek $r = 3$ , $H = 4$ : tworząca i sinus kąta tworzącej z podstawą
Odpowiedzi
a) $4$ i $45^\circ$ b) $5$ i $\tfrac45$

Poziom B · kąty

Zestawy B

Oblicz.
1. sześcian: kąt między przekątną ściany a krawędzią tej ściany
2. stożek: kąt rozwarcia $120^\circ$ , tworząca $8$ ; $\ r$ i $H$
Odpowiedzi
a) $45^\circ$ b) $4\sqrt3$ i $4$

Poziom C · położenie prostych w sześcianie $ABCDEFGH$

Zestawy C

Podstawa $ABCD$ , krawędzie boczne $AE$ , $BF$ , $CG$ , $DH$ . Określ położenie prostych.
1. $AE$ i $CG$
Odpowiedzi
a) równoległe

Pełny trening (16 przykładów i zadań) →

5 Na maturze

W arkuszach podstawowych 2024–2026 to zadania zamknięte (wysokość z tangensa kąta) i otwarte za 2–4 punkty: objętość ostrosłupa z kąta nachylenia krawędzi albo ściany, objętość stożka z kąta rozwarcia, objętość i pole walca z przekątnej przekroju. W zadaniach za 2 punkty 1 punkt daje wysokość (albo pole podstawy), 2 punkty objętość. Uwagi z kluczy: obliczenia dla innej bryły dają 0 punktów; w zadaniu ze stożkiem przyjęcie, że przekrój osiowy jest równoboczny, też dawało 0 punktów. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

5 zadań · 11 pkt · ok. 30 min

(0–1 pkt) Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $6$ . Tangens kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy $2$ . Wysokość ostrosłupa jest równa

A. $2$ B. $3$ C. $6$ D. $12$

Odpowiedź
C. $H = \frac a2\operatorname{tg}\beta = 3\cdot2$ .
(0–2 pkt) Przekątna podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $10$ , a krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $45^\circ$ . Oblicz objętość ostrosłupa.
Rozwiązanie i punktacja
1. Wysokość. $|OA| = 5$ , $\ H = 5\operatorname{tg}45^\circ = 5$ .
2. Objętość. pole podstawy $\frac{10^2}{2} = 50$ , $\ V = \frac13\cdot50\cdot5 = \frac{250}{3}$ .
1 pkt za $H = 5$ albo pole podstawy $50$ . 2 pkt za $V = \frac{250}{3}$ .
(0–3 pkt) Tworząca stożka ma długość $12$ , a kąt rozwarcia stożka ma miarę $60^\circ$ . Oblicz objętość stożka.
Rozwiązanie i punktacja
1. Promień. $r = 12\sin30^\circ = 6$ .
2. Wysokość. $H = 12\cos30^\circ = 6\sqrt3$ .
3. Objętość. $V = \frac13\pi\cdot36\cdot6\sqrt3 = 72\sqrt3\,\pi$ .
1 pkt za $r$ albo $H$ . 2 pkt za obie wielkości. 3 pkt za objętość.
(0–4 pkt) Przekątna przekroju osiowego walca ma długość $12$ i tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $60^\circ$ . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej walca.
Rozwiązanie i punktacja
1. Wymiary. $H = 12\sin60^\circ = 6\sqrt3$ , $\ 2r = 12\cos60^\circ = 6$ , $\ r = 3$ .
2. Objętość. $V = \pi\cdot9\cdot6\sqrt3 = 54\sqrt3\,\pi$ .
3. Pole. $P_c = 2\pi r^2 + 2\pi rH = 18\pi + 36\sqrt3\,\pi$ .
1 pkt za $H$ albo $r$ . 2 pkt za obie. 3 pkt za objętość. 4 pkt za pole.
(0–1 pkt) Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ . Oceń prawdziwość zdań.

1. Proste $AB$ i $CG$ są skośne. P F
2. Tangens kąta między przekątną $AG$ a płaszczyzną podstawy $ABCD$ jest równy $\sqrt2$ . P F

Odpowiedź
PF. $\operatorname{tg} = \frac{a}{a\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}$ .

6 Najczęstsze błędy

„Kąt nachylenia ściany bocznej mierzę przy krawędzi bocznej.”: Kąt ściany z podstawą leży w trójkącie $SOM$ ( $M$ to środek krawędzi podstawy), a nie w $SOA$ . Przyprostokątna przy podstawie to $\frac a2$ , a nie połowa przekątnej.
„Kąt rozwarcia stożka to kąt między tworzącą a wysokością.”: To jego połowa. Kąt rozwarcia jest między dwiema tworzącymi w przekroju osiowym.
„Prostych, które się nie przecinają, nie ma: są równoległe.”: W przestrzeni są jeszcze proste skośne, które ani się nie przecinają, ani nie są równoległe (np. $AB$ i $CG$ w sześcianie).
„W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym $|OM| = \frac a2$ .”: W trójkącie równobocznym $|OM| = r = \frac{a\sqrt3}{6}$ i $|OA| = R = \frac{a\sqrt3}{3}$ (lekcja 8.2 Trójkąty: rodzaje i punkty szczególne).

7 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Który kąt jest większy w ostrosłupie prawidłowym: krawędzi bocznej czy ściany bocznej z podstawą?

Ściany: ma tę samą wysokość $H$ , a krótszą przyprostokątną przy podstawie ( $r < R$ ).

2 Stożek ma kąt rozwarcia

120^\circ

i tworzącą

8

. Ile wynosi wysokość?

$8\cos60^\circ = 4$ .

3 Jak położone są przekątne

BD

FH

podstaw sześcianu?

Równolegle.

4 Czemu jest równa wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o

a = 6

H = 4

$\sqrt{16 + 9} = 5$ .

8 Karta wzorów i co dalej

Ostrosłup prawidłowy

krawędź: $\operatorname{tg}\alpha = \frac HR$ ; ściana: $\operatorname{tg}\beta = \frac Hr$

kwadrat: $R = \frac{a\sqrt2}{2}$ , $r = \frac a2$

trójkąt: $R = \frac{a\sqrt3}{3}$ , $r = \frac{a\sqrt3}{6}$

Bryły obrotowe

stożek: półkąt rozwarcia $\gamma$ , $r = l\sin\gamma$ , $H = l\cos\gamma$

walec: przekrój $2r \times H$

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” są wzory na objętości i pola brył oraz twierdzenie o trzech prostych prostopadłych. Definicji kąta prostej z płaszczyzną i kąta dwuściennego trzeba używać samodzielnie; promienie $R$ i $r$ trójkąta równobocznego są w części o trójkątach.

Dalej: objętości i pola brył, bryły podobne (lekcja 10.2 Objętości i pola powierzchni brył, bryły podobne).