8.2 Trójkąty: rodzaje i punkty szczególne · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Cztery punkty, cztery rodzaje prostych

W każdym trójkącie są cztery trójki prostych, które przecinają się w jednym punkcie: dwusieczne kątów, symetralne boków, środkowe i wysokości. Każdy z tych punktów ma inną własność i inne zastosowanie. Na maturze najczęściej trzeba wiedzieć, który punkt jest środkiem okręgu wpisanego, a który opisanego, oraz jak daleko leżą od wierzchołków. W trójkącie równobocznym wszystkie cztery punkty pokrywają się, i to daje najprostsze wzory.

1 Rodzaje trójkątów z długości boków

Istnienie i rodzaj

Trójkąt o bokach $a \le b \le c$ istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy $a + b > c$ (nierówność trójkąta).
$a^2 + b^2 > c^2$ : ostrokątny; $\ a^2 + b^2 = c^2$ : prostokątny; $\ a^2 + b^2 < c^2$ : rozwartokątny.

Porównuje się zawsze kwadrat najdłuższego boku z sumą kwadratów dwóch pozostałych. To wynika z twierdzenia cosinusów: znak $a^2 + b^2 - c^2$ to znak $\cos\gamma$ .

Przykład 1.1 Rodzaj trójkąta

Czy trójkąt o bokach $5$ , $6$ , $8$ jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny?

Istnieje: $5 + 6 = 11 > 8$ .
$5^2 + 6^2 = 61$ , $\ 8^2 = 64$ , czyli $61 < 64$ .

Wynik: rozwartokątny (kąt naprzeciw boku $8$ jest rozwarty).

Zadania · część 1

4 zadania · ok. 5 min

Określ rodzaj trójkąta o bokach $7$ , $8$ , $9$ .

Odpowiedź
$49 + 64 = 113 > 81$ : ostrokątny.
Określ rodzaj trójkąta o bokach $9$ , $12$ , $15$ .

Odpowiedź
$81 + 144 = 225 = 15^2$ : prostokątny.
Czy istnieje trójkąt o bokach $2$ , $3$ , $6$ ?

Odpowiedź
Nie: $2 + 3 = 5 < 6$ .
Ile jest liczb całkowitych $x$ , dla których istnieje trójkąt o bokach $3$ , $7$ , $x$ ?

Odpowiedź
$7 - 3 < x < 7 + 3$ , czyli $x \in \{5, 6, 7, 8, 9\}$ : pięć liczb.

2 Punkty szczególne

Cztery punkty

Środek okręgu wpisanego: przecięcie dwusiecznych kątów. Leży zawsze wewnątrz trójkąta, w odległości $r$ od każdego boku.
Środek okręgu opisanego: przecięcie symetralnych boków. W odległości $R$ od każdego wierzchołka. W trójkącie ostrokątnym leży wewnątrz, w prostokątnym w środku przeciwprostokątnej, w rozwartokątnym na zewnątrz.
Środek ciężkości: przecięcie środkowych. Dzieli każdą środkową w stosunku $2 : 1$ , licząc od wierzchołka.
Ortocentrum: przecięcie prostych zawierających wysokości. W trójkącie prostokątnym to wierzchołek kąta prostego.

Przykład 2.1 Środek ciężkości

Punkt $S$ jest środkiem ciężkości trójkąta $ABC$ , $AD$ jest środkową i $|AS| = 8$ . Oblicz $|AD|$ .

$|AS| : |SD| = 2 : 1$ , więc $|SD| = 4$ .

Wynik: $|AD| = 12$ .

Zadania · część 2

2 zadania · ok. 3 min

Środkowa $AD$ trójkąta ma długość $18$ , $S$ to środek ciężkości. Oblicz $|AS|$ i $|SD|$ .

Odpowiedź
$|AS| = \frac23 \cdot 18 = 12$ , $\ |SD| = 6$ .
Wierzchołki trójkąta prostokątnego to $A = (0, 0)$ , $B = (6, 0)$ , $C = (0, 8)$ . Podaj środek okręgu opisanego na tym trójkącie.

Odpowiedź
Kąt prosty przy $A$ , przeciwprostokątna $BC$ ; jej środek: $(3,\ 4)$ . Kontrola: odległość od każdego wierzchołka jest równa $5$ .

3 Trójkąt równoboczny

Bok $a$ , wysokość $h$

h = \frac{a\sqrt3}{2}, \qquad R = \frac23 h = \frac{a\sqrt3}{3}, \qquad r = \frac13 h = \frac{a\sqrt3}{6}, \qquad P = \frac{a^2\sqrt3}{4}.

Wszystkie punkty szczególne pokrywają się, a wysokości są też środkowymi. Stąd $R = 2r$ i $R + r = h$ .

Przykład 3.1 Bok z promienia okręgu opisanego

Trójkąt równoboczny jest wpisany w okrąg o promieniu $4\sqrt3$ . Oblicz długość jego boku.

$R = \frac23 h$ , więc $h = \frac32 R = 6\sqrt3$ .
$h = \frac{a\sqrt3}{2}$ , więc $a = \frac{2h}{\sqrt3} = \frac{12\sqrt3}{\sqrt3}$ .

Wynik: $a = 12$ (krócej: $a = R\sqrt3$ ).

Zadania · część 3

3 zadania · ok. 5 min

Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku $9$ .

Odpowiedź
$R = \frac{9\sqrt3}{3} = 3\sqrt3$ .
Okrąg wpisany w trójkąt równoboczny ma promień $2$ . Oblicz bok trójkąta.

Odpowiedź
$h = 3r = 6$ , $\ a = \frac{2h}{\sqrt3} = \frac{12}{\sqrt3} = 4\sqrt3$ .
Trójkąt równoboczny jest wpisany w okrąg o promieniu $6$ . Oblicz jego pole.

Odpowiedź
$a = R\sqrt3 = 6\sqrt3$ , $\ P = \frac{108\sqrt3}{4} = 27\sqrt3$ .

4 Promienie w dowolnym trójkącie

Wzory (w broszurze CKE)

P = p \cdot r \ \ \Longrightarrow\ \ r = \frac{2P}{a + b + c}, \qquad P = \frac{abc}{4R} \ \ \Longrightarrow\ \ R = \frac{abc}{4P},

gdzie $p$ to połowa obwodu. W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $a$ , $b$ i przeciwprostokątnej $c$ wychodzi prościej: $R = \frac c2$ , $\ r = \frac{a + b - c}{2}$ .

Przykład 4.1 Trójkąt prostokątny

Przyprostokątne mają długości $9$ i $12$ . Oblicz $R$ i $r$ .

$c = \sqrt{81 + 144} = 15$ , więc $R = \frac{15}{2}$ .
$r = \frac{9 + 12 - 15}{2} = 3$ . Kontrola: $P = 54$ , $p = 18$ , $r = \frac{54}{18} = 3$ ✓.

Wynik: $R = \frac{15}{2}$ , $\ r = 3$ .

Zadania · część 4

2 zadania · ok. 8 min

Przyprostokątne mają długości $8$ i $15$ . Oblicz $R$ i $r$ .

Odpowiedź
$c = 17$ , $\ R = \frac{17}{2}$ , $\ r = \frac{8 + 15 - 17}{2} = 3$ .
Trójkąt ma boki $10$ , $10$ , $12$ . Oblicz $r$ i $R$ .
Odpowiedź
1. Wysokość na podstawę: $\sqrt{100 - 36} = 8$ , pole $48$ .
2. $r = \frac{2 \cdot 48}{32} = 3$ .
3. $R = \frac{10 \cdot 10 \cdot 12}{4 \cdot 48} = \frac{1200}{192} = \frac{25}{4}$ .

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 20 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · rodzaj trójkąta

Zestawy A

Czy trójkąt istnieje? Jeśli tak, czy jest ostro-, prosto- czy rozwartokątny?
1. $4$ , $5$ , $6$
2. $6$ , $6$ , $6\sqrt2$
Odpowiedzi
a) ostrokątny b) prostokątny

Poziom B · środkowe i trójkąt równoboczny

Zestawy B

Oblicz ( $S$ to środek ciężkości, $AD$ środkowa).
1. $|AD| = 21$ ; $\ |AS|$
2. równoboczny, $R = 10$ ; $\ a$
Odpowiedzi
a) $14$ b) $10\sqrt3$

Poziom C · promienie

Zestawy C

Oblicz.
1. przyprostokątne $5$ , $12$ ; $\ R$ i $r$
2. $A = (0, 0)$ , $B = (6, 0)$ , $C = (0, 8)$ ; środek okręgu opisanego
Odpowiedzi
a) $\tfrac{13}{2}$ i $2$ b) $(3,\ 4)$

Pełny trening (20 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

W arkuszach 2024–2026 są to wyłącznie zadania za 1 punkt: zamknięte, prawda/fałsz albo „uzupełnij”. Pytają o promień okręgu opisanego lub wpisanego (w trójkącie prostokątnym i równobocznym), o to, który punkt jest środkiem którego okręgu, i o podział środkowej. W informatorze są też zadania otwarte za 3–4 punkty, w których punkty przyznaje się za kolejne wielkości pośrednie. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

5 zadań · 7 pkt · ok. 15 min

(0–1 pkt) Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości $6$ i $8$ . Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy

A. $4$ B. $5$ C. $6$ D. $10$

Odpowiedź
B. $c = 10$ , $R = \frac c2$ .
(0–1 pkt) Uzupełnij zdanie. Trójkąt równoboczny jest wpisany w okrąg o promieniu $6\sqrt3$ . Bok tego trójkąta ma długość ______.

Odpowiedź
$18$ : $\ a = R\sqrt3 = 6 \cdot 3$ .
(0–1 pkt) Punkt $S$ jest środkiem ciężkości trójkąta $ABC$ , $D$ jest środkiem boku $BC$ i $|SD| = 5$ . Długość środkowej $AD$ jest równa

A. $7{,}5$ B. $10$ C. $15$ D. $20$

Odpowiedź
C. $|SD|$ to $\frac13$ środkowej.
(0–1 pkt) Trójkąt ma boki $6$ , $8$ , $11$ . Oceń prawdziwość zdań.

1. Trójkąt jest rozwartokątny. P F
2. Środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży wewnątrz trójkąta. P F

Odpowiedź
PF. $36 + 64 = 100 < 121$ : rozwartokątny, więc środek okręgu opisanego leży na zewnątrz.
(0–3 pkt) Trójkąt $ABC$ ma boki $|AC| = |BC| = 5$ i $|AB| = 8$ . Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt i promień okręgu na nim opisanego.
Rozwiązanie i punktacja
1. Wysokość i pole. $|CD| = \sqrt{25 - 16} = 3$ , $\ P = \frac12 \cdot 8 \cdot 3 = 12$ .
2. Okrąg wpisany. $r = \frac{2P}{a + b + c} = \frac{24}{18} = \frac43$ .
3. Okrąg opisany. $R = \frac{abc}{4P} = \frac{200}{48} = \frac{25}{6}$ .
1 pkt za wysokość $3$ i pole $12$ . 2 pkt za $r = \frac43$ . 3 pkt za $R = \frac{25}{6}$ .

7 Najczęstsze błędy

„Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym to jego wysokość.”: $R = \frac23 h$ . Według sprawozdania CKE z 2026 roku mylenie $R$ z wysokością i przyjmowanie $R = a$ to główne przyczyny słabego wyniku (27%).
„Środek okręgu wpisanego to przecięcie środkowych.”: Dwusiecznych. Środkowe przecinają się w środku ciężkości. Pokrywają się tylko w trójkącie równobocznym.
„Środek ciężkości dzieli środkową na pół.”: W stosunku $2 : 1$ , dłuższa część przy wierzchołku.
„Rodzaj trójkąta sprawdzam dla dowolnych dwóch boków.”: Tylko dla najdłuższego boku po prawej stronie: $a^2 + b^2$ porównuje się z $c^2$ , gdzie $c$ jest największe.

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Gdzie leży środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym?

W środku przeciwprostokątnej.

2 Ile wynosi

\frac Rr

w trójkącie równobocznym?

$2$ .

3 Jakie proste przecinają się w środku okręgu opisanego?

Symetralne boków.

4 Trójkąt ma boki

4

5

7

. Jaki to trójkąt?

Rozwartokątny: $16 + 25 = 41 < 49$ .

9 Karta wzorów i co dalej

Równoboczny

$h = \frac{a\sqrt3}{2}$ , $\ P = \frac{a^2\sqrt3}{4}$

$R = \frac23h = \frac{a\sqrt3}{3}$ , $\ r = \frac13h = \frac{a\sqrt3}{6}$

Dowolny i prostokątny

$r = \frac{2P}{a+b+c}$ , $\ R = \frac{abc}{4P}$

prostokątny: $R = \frac c2$ , $\ r = \frac{a+b-c}{2}$

środkowa: $2 : 1$ od wierzchołka

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” jest prawie wszystko z tej lekcji: wzory na pole trójkąta (w tym $P = \frac{abc}{4R}$ , $P = p \cdot r$ i wzór Herona), związki w trójkącie równobocznym ( $h$ , $P$ , $r = \frac13h$ , $R = \frac23h$ ) i w prostokątnym ( $R = \frac c2$ , $r = \frac{a+b-c}{2}$ ). Wynik 27% z 2026 roku pokazuje, że problemem nie jest pamięć, tylko rozpoznanie, który wzór pasuje. Podziału środkowej $2 : 1$ i warunku rodzaju trójkąta w broszurze nie ma.

Dalej: czworokąty i wielokąty foremne (lekcja 8.3 Czworokąty i wielokąty foremne).