8.1 Okrąg: cięciwy, styczne, kąty wpisane i środkowe, wycinek koła

0 Jeden łuk, wiele kątów

Cięciwa $AB$ dzieli okrąg na dwa łuki. Każdy kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, a ramiona przechodzą przez $A$ i $B$ , „patrzy” na jeden z tych łuków. Kluczowy fakt: wszystkie takie kąty z wierzchołkiem po tej samej stronie cięciwy są równe i równe połowie kąta środkowego opartego na tym łuku. Zadania maturalne polegają na znalezieniu, który kąt jest środkowy, który wpisany, i na jakim łuku się opierają. Resztę załatwiają trójkąty równoramienne z promieni i suma kątów w trójkącie.

1 Kąt środkowy i kąt wpisany

Trzy fakty

Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.
Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.
Kąt wpisany oparty na półokręgu (na średnicy) jest prosty.

Do tego: trójkąt z dwóch promieni i cięciwy jest równoramienny, więc jego kąty przy cięciwie są równe.

Przykład 1.1 Łańcuch: wpisany, środkowy, równoramienny

Punkty $A$ , $B$ , $C$ leżą na okręgu o środku $O$ , a $\angle ACB = 35^\circ$ . Oblicz $\angle OAB$ .

Kąt środkowy $AOB$ jest oparty na tym samym łuku co kąt wpisany $ACB$ : $\angle AOB = 2 \cdot 35^\circ = 70^\circ$ .
$|OA| = |OB|$ , więc trójkąt $AOB$ jest równoramienny: $\angle OAB = \frac{180^\circ - 70^\circ}{2}$ .

Wynik: $\angle OAB = 55^\circ$ .

Przykład 1.2 Kąt oparty na średnicy

$AB$ jest średnicą okręgu, punkt $C$ leży na okręgu, a $\angle CAB = 28^\circ$ . Oblicz $\angle ABC$ .

$\angle ACB = 90^\circ$ (oparty na średnicy).
$\angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 28^\circ$ .

Wynik: $\angle ABC = 62^\circ$ .

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 6 min

Kąt środkowy $AOB$ ma $130^\circ$ . Punkt $C$ leży na dłuższym łuku $AB$ . Oblicz $\angle ACB$ .

Odpowiedź
$\frac{130^\circ}{2} = 65^\circ$ .
Punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ leżą na okręgu (jak na rysunku). $\angle ADB = 40^\circ$ , $\angle DBC = 30^\circ$ . Oblicz $\angle ACB$ i $\angle DAC$ .

Odpowiedź
$\angle ACB = \angle ADB = 40^\circ$ (oba oparte na łuku $AB$ ). $\ \angle DAC = \angle DBC = 30^\circ$ (oba oparte na łuku $DC$ ).
Trójkąt $ABC$ jest wpisany w okrąg o środku $O$ , $\angle OBC = 20^\circ$ , a $A$ i $O$ leżą po tej samej stronie prostej $BC$ . Oblicz $\angle BAC$ .
Odpowiedź
1. Trójkąt $OBC$ jest równoramienny: $\angle BOC = 180^\circ - 2\cdot20^\circ = 140^\circ$ .
2. $\angle BAC = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ$ .

2 Łuk i wycinek

Ułamek pełnego kąta (w broszurze CKE)

l = \frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r, \qquad P_{\text{wycinka}} = \frac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi r^2,

gdzie $\alpha$ to kąt środkowy. Gdy dany jest kąt wpisany, najpierw trzeba go podwoić.

Przykład 2.1 Łuk z kąta wpisanego

Okrąg ma promień $9$ . Kąt wpisany $ACB$ ma $40^\circ$ . Oblicz długość łuku $AB$ , na którym jest oparty.

Kąt środkowy: $80^\circ$ .
$l = \frac{80}{360}\cdot 18\pi = \frac29 \cdot 18\pi$ .

Wynik: $l = 4\pi$ .

Zadania · część 2

2 zadania · ok. 4 min

Oblicz pole wycinka koła o promieniu $6$ i kącie środkowym $150^\circ$ .

Odpowiedź
$\frac{150}{360}\cdot 36\pi = 15\pi$ .
Łuk okręgu o promieniu $10$ ma długość $5\pi$ . Oblicz kąt środkowy i kąt wpisany oparte na tym łuku.

Odpowiedź
Łuk to $\frac{5\pi}{20\pi} = \frac14$ obwodu: kąt środkowy $90^\circ$ , wpisany $45^\circ$ .

3 Styczne i cięciwy

Styczna i cięciwa

Styczna jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności.
Dwa odcinki styczne poprowadzone z jednego punktu $P$ mają równe długości, a $PO$ jest dwusieczną kąta między nimi.
Kąt między styczną a cięciwą wychodzącą z punktu styczności jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku leżącym wewnątrz tego kąta (twierdzenie w broszurze CKE).
Cięciwa w odległości $d$ od środka: $\left(\frac{|AB|}{2}\right)^2 + d^2 = r^2$ (twierdzenie Pitagorasa w trójkącie z promieniem).

Przykład 3.1 Długość stycznej

Punkt $P$ leży w odległości $13$ od środka okręgu o promieniu $5$ . Oblicz długość odcinka stycznej z $P$ do okręgu.

Trójkąt $OAP$ ma kąt prosty przy $A$ (punkt styczności).
$|PA| = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144}$ .

Wynik: $|PA| = 12$ .

Przykład 3.2 Kąt między styczną a cięciwą

Prosta $k$ jest styczna do okręgu o środku $O$ w punkcie $A$ . Cięciwa $AB$ tworzy z prostą $k$ kąt ostry $35^\circ$ . Punkt $C$ leży na dłuższym łuku $AB$ . Oblicz $\angle ACB$ .

$\angle OAB = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ (styczna prostopadła do $OA$ ).
Trójkąt $AOB$ równoramienny: $\angle AOB = 180^\circ - 2\cdot55^\circ = 70^\circ$ .
$\angle ACB = \frac{70^\circ}{2}$ .

Wynik: $\angle ACB = 35^\circ$ , czyli tyle, ile kąt między styczną a cięciwą.

Zadania · część 3

3 zadania · ok. 6 min

Z punktu $P$ poprowadzono styczne $PA$ i $PB$ do okręgu o środku $O$ , $\angle APB = 50^\circ$ . Punkt $C$ leży na dłuższym łuku $AB$ . Oblicz $\angle AOB$ i $\angle ACB$ .

Odpowiedź
W czworokącie $PAOB$ kąty przy $A$ i $B$ są proste: $\angle AOB = 360^\circ - 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$ , $\ \angle ACB = 65^\circ$ .
Odcinek stycznej $PA$ ma długość $8$ , a promień okręgu $6$ . Oblicz $|OP|$ i odległość punktu $P$ od okręgu.

Odpowiedź
$|OP| = \sqrt{64 + 36} = 10$ ; najbliższy punkt okręgu leży na odcinku $OP$ , więc odległość to $10 - 6 = 4$ .
Cięciwa okręgu o promieniu $10$ leży w odległości $6$ od środka. Oblicz jej długość.

Odpowiedź
Połowa cięciwy: $\sqrt{100 - 36} = 8$ ; cięciwa $16$ .

4 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 20 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · kąty

Zestawy A

Oblicz szukany kąt ( $O$ to środek okręgu, wszystkie punkty $A$ , $B$ , $C$ leżą na okręgu).
1. $\angle AOB = 80^\circ$ , $C$ na dłuższym łuku $AB$ ; $\ \angle ACB$
2. $\angle OAB = 25^\circ$ , $C$ na dłuższym łuku; $\ \angle ACB$
Odpowiedzi
a) $40^\circ$ b) $65^\circ$

Poziom B · łuki i wycinki

Zestawy B

Oblicz.
1. łuk: $r = 4$ , kąt środkowy $90^\circ$
2. kąt środkowy: $r = 6$ , pole wycinka $6\pi$
Odpowiedzi
a) $2\pi$ b) $60^\circ$

Poziom C · styczne i cięciwy

Zestawy C

Oblicz ( $PA$ , $PB$ to odcinki stycznych, $A$ , $B$ punkty styczności).
1. $r = 5$ , $|OP| = 13$ ; $\ |PA|$
2. $r = 3$ , $\angle APB = 60^\circ$ ; $\ |PA|$
Odpowiedzi
a) $12$ b) $3\sqrt3$

Pełny trening (20 przykładów i zadań) →

5 Na maturze

W arkuszach podstawowych 2024–2026 to prawie zawsze jedno zadanie zamknięte z rysunkiem: łańcuch kąt wpisany → kąt środkowy → trójkąt równoramienny z promieni albo kąt oparty na średnicy. Czasem w wiązce z drugim pytaniem o długość łuku. W informatorze są też zadania otwarte (wycinek jako siatka stożka, kolejne kąty w figurze) i krótki dowód. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

5 zadań · 8 pkt · ok. 20 min

(0–1 pkt) Trójkąt $ABC$ jest wpisany w okrąg o środku $O$ , $\angle BAC = 25^\circ$ (jak na rysunku). Oceń prawdziwość zdań.

1. $\angle BOC = 50^\circ$ . P F
2. $\angle OCB = 65^\circ$ . P F

Odpowiedź
PP. Środkowy dwa razy większy od wpisanego; trójkąt $BOC$ równoramienny: $\frac{180^\circ - 50^\circ}{2} = 65^\circ$ .
(0–1 pkt) Odcinek $AB$ o długości $12$ jest średnicą okręgu. Punkt $C$ leży na okręgu i $|AC| = 6$ . Kąt $ABC$ ma miarę

A. $30^\circ$ B. $45^\circ$ C. $60^\circ$ D. $90^\circ$

Odpowiedź
A. $\angle ACB = 90^\circ$ , więc $\sin\angle ABC = \frac{6}{12} = \frac12$ .
(0–1 pkt) W okręgu o promieniu $12$ kąt wpisany oparty na łuku $AB$ ma $30^\circ$ . Długość tego łuku jest równa

A. $2\pi$ B. $4\pi$ C. $6\pi$ D. $8\pi$

Odpowiedź
B. Kąt środkowy $60^\circ$ : $\frac16 \cdot 24\pi$ .
(0–3 pkt) Z punktu $P$ poprowadzono styczne do okręgu o środku $O$ i promieniu $4$ , styczne w punktach $A$ i $B$ . Kąt $APB$ ma $60^\circ$ . Oblicz $|PA|$ i pole czworokąta $PAOB$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Trójkąt $OAP$ . $\angle OAP = 90^\circ$ , $\angle APO = 30^\circ$ ( $PO$ jest dwusieczną).
2. Długość. $|OP| = 2|OA| = 8$ , $\ |PA| = \sqrt{64 - 16} = 4\sqrt3$ .
3. Pole. $P_{PAOB} = 2 \cdot \frac12 \cdot 4 \cdot 4\sqrt3 = 16\sqrt3$ .
1 pkt za kąt prosty przy $A$ i $\angle APO = 30^\circ$ . 2 pkt za $|PA| = 4\sqrt3$ . 3 pkt za pole $16\sqrt3$ .
(0–2 pkt) Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu, punkt $C$ leży na okręgu, a $D$ jest spodkiem wysokości trójkąta $ABC$ poprowadzonej z $C$ . Wykaż, że $\angle ACD = \angle ABC$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Kąt prosty. $\angle ACB = 90^\circ$ (oparty na średnicy), więc w trójkącie $ABC$ : $\angle CAB + \angle ABC = 90^\circ$ .
2. Trójkąt $ACD$ . $\angle ADC = 90^\circ$ , więc $\angle ACD = 90^\circ - \angle CAD = 90^\circ - \angle CAB$ .
3. Wniosek. $\angle ACD = \angle ABC$ .
1 pkt za zauważenie, że $\angle ACB = 90^\circ$ . 2 pkt za pełne uzasadnienie. Sprawdzenie na konkretnym trójkącie: 0 pkt.

6 Najczęstsze błędy

„Kąt wpisany jest dwa razy większy od środkowego.”: Odwrotnie: środkowy jest dwa razy większy. Kontrola: kąt oparty na średnicy (półokrąg, środkowy $180^\circ$ ) ma $90^\circ$ .
„Kąty wpisane oparte na tej samej cięciwie są zawsze równe.”: Tylko gdy wierzchołki leżą po tej samej stronie cięciwy. Po przeciwnych stronach kąty sumują się do $180^\circ$ .
„We wzorze na łuk wstawiam kąt z rysunku.”: We wzorze jest kąt środkowy. Jeśli na rysunku jest kąt wpisany, trzeba go podwoić.
„Styczna tworzy z promieniem kąt $45^\circ$ .”: Zawsze $90^\circ$ w punkcie styczności. To najczęściej używany kąt prosty w zadaniach ze stycznymi.

7 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Kąt środkowy ma

100^\circ

. Ile ma kąt wpisany oparty na tym samym łuku?

$50^\circ$ .

2 Ile ma kąt środkowy oparty na boku sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg?

$60^\circ$ , czyli $\frac{360^\circ}{6}$ .

3 Jaką część obwodu stanowi łuk, na którym oparty jest kąt wpisany

45^\circ

Kąt środkowy $90^\circ$ , czyli $\frac14$ obwodu.

4 Ile wynosi kąt

OAP

, jeśli

PA

jest styczną, a

A

punktem styczności?

$90^\circ$ .

8 Karta wzorów i co dalej

Kąty

środkowy $= 2 \cdot$ wpisany (ten sam łuk)

wpisane na tym samym łuku równe

oparty na średnicy: $90^\circ$

styczna ⟂ promień

Długości

$l = \frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi r$ , $\ P = \frac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi r^2$

$\left(\frac c2\right)^2 + d^2 = r^2$

styczna: $|PA|^2 = |OP|^2 - r^2$

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” są wzory na długość łuku i pole wycinka (z kątem w stopniach), twierdzenia o kątach wpisanych i środkowych, o kącie między styczną i cięciwą, o odcinkach stycznych oraz o odcinkach siecznej i stycznej ( $|PA|\cdot|PB| = |PC|^2$ ). Prostopadłości stycznej do promienia w broszurze nie ma: tę trzeba znać samodzielnie.

Dalej: trójkąty i ich punkty szczególne (lekcja 8.2 Trójkąty: rodzaje i punkty szczególne).