8.5 Trygonometria w figurach i dowody geometryczne · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Liczyć i uzasadniać

W zadaniu obliczeniowym wystarczy poprawny wynik i zapis obliczeń. W dowodzie wynikiem jest sam tok rozumowania: egzaminator sprawdza, czy z założeń wynika teza i czy każdy krok ma podstawę (twierdzenie, definicję albo wcześniejszy krok). Rysunek pomaga znaleźć pomysł, ale nie jest argumentem: to, że kąt „wygląda na prosty”, niczego nie dowodzi. Klucze CKE są tu surowe: sprawdzenie tezy na konkretnych liczbach albo przyjęcie szczególnego przypadku (kąt prosty, trójkąt równoboczny) daje 0 punktów.

1 Długości i pola z funkcjami trygonometrycznymi

Narzędzia

W trójkącie prostokątnym: przyprostokątna = przeciwprostokątna $\cdot\sin$ kąta naprzeciw $=$ przeciwprostokątna $\cdot\cos$ kąta przyległego; $\operatorname{tg}$ to stosunek przyprostokątnych.
Wysokość opuszczona na bok $a$ z wierzchołka przy boku $b$ : $h = b\sin\gamma$ , stąd $P = \frac12 ab\sin\gamma$ (wzór działa także dla kąta rozwartego).
W trapezie i równoległoboku: wysokość z ramienia i kąta przy podstawie, $h = c\sin\alpha$ , rzut ramienia na podstawę $c\cos\alpha$ .

Przykład 1.1 Trapez z kątem

Trapez równoramienny $ABCD$ ma ramię $10$ , krótszą podstawę $4$ , a cosinus kąta ostrego przy dłuższej podstawie jest równy $\frac35$ . Oblicz wysokość, dłuższą podstawę, pole i długość przekątnej.

$\sin\alpha = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac45$ . Rzut ramienia: $|AE| = 10\cdot\frac35 = 6$ , wysokość $h = 10\cdot\frac45 = 8$ .
Dłuższa podstawa: $6 + 4 + 6 = 16$ ; pole $\frac{16 + 4}{2}\cdot8 = 80$ .
Przekątna $BD$ : rzut na $AB$ to $16 - 6 = 10$ , więc $|BD| = \sqrt{100 + 64} = \sqrt{164}$ .

Wynik: $h = 8$ , $\ |AB| = 16$ , $\ P = 80$ , $\ |BD| = 2\sqrt{41}$ .

Zadania · część 1

4 zadania · ok. 8 min

Romb ma bok $6$ i kąt ostry $60^\circ$ . Oblicz długości jego przekątnych.

Odpowiedź
Krótsza przekątna tworzy z bokami trójkąt równoboczny: $6$ . Dłuższa: $2\cdot6\cos30^\circ = 6\sqrt3$ .
W trójkącie $ABC$ : $|AB| = 8$ , $|AC| = 5$ , $\angle BAC = 120^\circ$ . Oblicz pole.

Odpowiedź
$\frac12\cdot8\cdot5\cdot\sin120^\circ = 20\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 10\sqrt3$ .
Równoległobok ma boki $4$ i $6$ oraz pole $12$ . Oblicz jego kąt ostry.

Odpowiedź
$4\cdot6\cdot\sin\alpha = 12$ , $\ \sin\alpha = \frac12$ , $\ \alpha = 30^\circ$ .
Trapez prostokątny ma wysokość $6$ , a tangens kąta ostrego wynosi $\frac34$ . Oblicz długość ramienia nieprostopadłego do podstaw.

Odpowiedź
$\operatorname{tg}\alpha = \frac{h}{x}$ : $\ x = \frac{6}{\frac34} = 8$ ; ramię $\sqrt{36 + 64} = 10$ .

2 Jak napisać dowód

Szkielet dowodu

Oznaczenia. Nazwij kąty i odcinki, o których będziesz pisać ( $\alpha = \angle BAC$ , $h$ = odległość punktu $C$ od prostej $AB$ ). Bez tego zapis $\frac12 ah$ jest dla egzaminatora pusty.
Fakty z uzasadnieniem. Każda równość dostaje powód w nawiasie: „(trójkąt równoramienny)”, „(kąty wpisane oparte na tym samym łuku)”, „(wspólna wysokość)”.
Teza na końcu. Ostatnia linijka to dokładnie teza, wyprowadzona z poprzednich. Teza nie może pojawić się wcześniej jako argument.

Klucz CKE za 2 punkty zwykle daje 1 punkt za pierwszy kluczowy fakt z uzasadnieniem (na przykład równość kątów albo wspólną wysokość) i 2 punkty za doprowadzenie rozumowania do tezy.

Przykład 2.1 Dowód przez kąty

Punkt $D$ leży na boku $AB$ trójkąta $ABC$ i $|AD| = |DB| = |DC|$ . Wykaż, że kąt $ACB$ jest prosty.

Oznaczmy $\alpha = \angle BAC$ , $\beta = \angle ABC$ .
$|AD| = |DC|$ , więc trójkąt $ADC$ jest równoramienny i $\angle ACD = \angle DAC = \alpha$ .
$|DB| = |DC|$ , więc trójkąt $DBC$ jest równoramienny i $\angle DCB = \angle DBC = \beta$ .
Suma kątów trójkąta $ABC$ : $\alpha + \beta + (\alpha + \beta) = 180^\circ$ , czyli $\alpha + \beta = 90^\circ$ .
$\angle ACB = \angle ACD + \angle DCB = \alpha + \beta = 90^\circ$ .

Teza: kąt $ACB$ jest prosty. (To jest twierdzenie odwrotne do twierdzenia o kącie opartym na średnicy: $C$ leży na okręgu o środku $D$ i średnicy $AB$ .)

3 Dowody przez pola

Dwa fakty o polach

Trójkąty o wspólnej wysokości mają pola w stosunku podstaw. W szczególności środkowa dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach.
Trójkąty o wspólnej podstawie i wierzchołkach na prostej równoległej do tej podstawy mają równe pola.

Zamiast „wysokości z rysunku” trzeba napisać, czym ona jest: „odległość punktu $C$ od prostej $AB$ , wspólna dla obu trójkątów, bo $D$ leży na $AB$ ”.

Przykład 3.1 Środkowa dzieli pole na pół

$D$ jest środkiem boku $BC$ trójkąta $ABC$ . Wykaż, że trójkąty $ABD$ i $ADC$ mają równe pola.

Niech $h$ oznacza odległość punktu $A$ od prostej $BC$ . Punkty $B$ , $D$ , $C$ leżą na tej prostej, więc $h$ jest wysokością obu trójkątów $ABD$ i $ADC$ .
$P_{ABD} = \frac12|BD|\cdot h$ , $\ P_{ADC} = \frac12|DC|\cdot h$ , a $|BD| = |DC|$ .

Teza: $P_{ABD} = P_{ADC}$ .

Zadania · część 3

2 zadania · ok. 12 min

W równoległoboku $ABCD$ punkt $E$ jest środkiem boku $CD$ . Wykaż, że pole trójkąta $ABE$ jest równe połowie pola równoległoboku.
Odpowiedź
1. Niech $h$ oznacza odległość prostych $AB$ i $CD$ (są równoległe). Pole równoległoboku: $|AB|\cdot h$ .
2. $E$ leży na prostej $CD$ , więc wysokość trójkąta $ABE$ opuszczona na $AB$ też ma długość $h$ .
3. $P_{ABE} = \frac12|AB|\cdot h$ , czyli połowa pola równoległoboku. (Położenie $E$ na $CD$ nie ma znaczenia.)
Trójkąt $ABC$ jest równoramienny, $|AC| = |BC|$ . Punkt $D$ leży na podstawie $AB$ , $E$ i $F$ to rzuty prostokątne $D$ na proste $AC$ i $BC$ . Wykaż, że suma $|DE| + |DF|$ nie zależy od położenia $D$ i jest równa wysokości trójkąta opuszczonej z wierzchołka $A$ na bok $BC$ .
Odpowiedź
1. Niech $h_A$ oznacza wysokość z $A$ na $BC$ ; $\ P_{ABC} = \frac12|BC|\cdot h_A$ .
2. Odcinek $DC$ dzieli trójkąt $ABC$ na $ADC$ i $DBC$ : $\ P_{ADC} = \frac12|AC|\cdot|DE|$ , $\ P_{DBC} = \frac12|BC|\cdot|DF|$ .
3. $P_{ADC} + P_{DBC} = P_{ABC}$ i $|AC| = |BC|$ , więc $\frac12|BC|(|DE| + |DF|) = \frac12|BC|\cdot h_A$ .
4. Stąd $|DE| + |DF| = h_A$ .

4 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 16 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · długości

Zestawy A

Oblicz.
1. trójkąt prostokątny, przeciwprostokątna $12$ , kąt $30^\circ$ : przyprostokątne
Odpowiedzi
a) $6$ i $6\sqrt3$

Poziom B · pola

Zestawy B

Oblicz.
1. trójkąt: boki $7$ i $4$ , kąt między nimi $30^\circ$
2. trójkąt o bokach $4$ i $6$ ma pole $12$ : kąt między nimi
Odpowiedzi
a) $7$ b) $90^\circ$

Poziom C · uzasadnienia

Zestawy C

Podaj uzasadnienie, które trzeba dopisać w dowodzie.
1. $|OA| = |OB|$ , gdzie $O$ to środek okręgu, a $A$ , $B$ leżą na okręgu
2. $\angle CAB = \angle ACD$ w trapezie $ABCD$ ( $AB \parallel CD$ )
Odpowiedzi
a) promienie tego samego okręgu b) kąty naprzemianległe przy prostych równoległych

Pełny trening (16 przykładów i zadań) →

5 Na maturze

W puli CKE z lat 2024–2026 ta lekcja ma najwięcej dowodów: na poziomie podstawowym za 2–3 punkty (stosunki pól, równości kątów, trapez z dwusieczną), na rozszerzonym za 2–5 punktów. Do tego zadania obliczeniowe z trapezem lub trójkątem, w których trzeba połączyć funkcję trygonometryczną z twierdzeniem Pitagorasa. Stałe uwagi z kluczy: zapis $\frac12 ah$ bez określenia, czym jest $h$ , daje 0 punktów; określenie $h$ bez uzasadnienia, że jest wspólne, daje 1 punkt; przyjęcie kąta prostego albo konkretnych długości daje 0 punktów. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

5 zadań · 11 pkt · ok. 35 min

(0–2 pkt) W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ przekątne przecinają się w punkcie $E$ . Wykaż, że trójkąty $AED$ i $BCE$ mają równe pola.
Rozwiązanie i punktacja
1. Wspólna podstawa. Trójkąty $ABD$ i $ABC$ mają wspólną podstawę $AB$ , a ich wierzchołki $D$ i $C$ leżą na prostej $CD \parallel AB$ , więc ich wysokości są równe (odległość prostych $AB$ i $CD$ ). Stąd $P_{ABD} = P_{ABC}$ .
2. Odejmowanie. $P_{AED} = P_{ABD} - P_{ABE}$ oraz $P_{BCE} = P_{ABC} - P_{ABE}$ .
3. Teza. $P_{AED} = P_{BCE}$ .
1 pkt za uzasadnienie, że $P_{ABD} = P_{ABC}$ . 2 pkt za pełny dowód.
(0–3 pkt) Trapez równoramienny ma ramię długości $15$ i krótszą podstawę długości $6$ . Cosinus kąta ostrego przy dłuższej podstawie jest równy $\frac45$ . Oblicz pole trapezu.
Rozwiązanie i punktacja
1. Sinus. $\sin\alpha = \frac35$ .
2. Wysokość i rzut. $h = 15\cdot\frac35 = 9$ , $\ |AE| = 15\cdot\frac45 = 12$ .
3. Pole. dłuższa podstawa $6 + 24 = 30$ , $\ P = \frac{30 + 6}{2}\cdot9 = 162$ .
1 pkt za $h = 9$ albo $|AE| = 12$ . 2 pkt za obie wielkości. 3 pkt za pole $162$ .
(0–1 pkt) Dwa boki trójkąta mają długości $6$ i $10$ , a kąt między nimi ma miarę $150^\circ$ . Pole tego trójkąta jest równe

A. $15$ B. $15\sqrt3$ C. $30$ D. $30\sqrt3$

Odpowiedź
A. $\frac12\cdot60\cdot\sin150^\circ = 30\cdot\frac12$ .
(0–2 pkt) W trójkącie $ABC$ punkt $D$ jest środkiem boku $BC$ , a punkt $E$ środkiem odcinka $AD$ . Wykaż, że pole trójkąta $ABE$ jest równe $\frac14$ pola trójkąta $ABC$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Środkowa $AD$ . $P_{ABD} = \frac12 P_{ABC}$ (wspólna wysokość z $A$ na prostą $BC$ , $|BD| = |DC|$ ).
2. Środkowa $BE$ trójkąta $ABD$ . $P_{ABE} = \frac12 P_{ABD}$ (wspólna wysokość z $B$ na prostą $AD$ , $|AE| = |ED|$ ).
3. Teza. $P_{ABE} = \frac14 P_{ABC}$ .
1 pkt za jedną z równości z uzasadnieniem. 2 pkt za pełny dowód.
(0–3 pkt) W równoległoboku $ABCD$ : $|AB| = 8$ , $|AD| = 5$ , $\angle BAD = 60^\circ$ . Oblicz pole równoległoboku i długość dłuższej przekątnej.
Rozwiązanie i punktacja
1. Pole. $8\cdot5\cdot\sin60^\circ = 20\sqrt3$ .
2. Kąt przy $B$ . $\angle ABC = 120^\circ$ , a dłuższa przekątna $AC$ leży naprzeciw tego kąta w trójkącie $ABC$ .
3. Twierdzenie cosinusów. $|AC|^2 = 64 + 25 - 2\cdot8\cdot5\cdot\cos120^\circ = 89 + 40 = 129$ , $\ |AC| = \sqrt{129}$ .
1 pkt za pole. 2 pkt za poprawne równanie z twierdzenia cosinusów dla dłuższej przekątnej. 3 pkt za $\sqrt{129}$ .

6 Najczęstsze błędy

„Z rysunku widać, że te odcinki są równe.”: Rysunek nie jest argumentem. Równość trzeba wywieść z założeń: przystawanie, trójkąt równoramienny, twierdzenie o odcinkach stycznych.
„Przyjmijmy, że kąt $C$ jest prosty.”: Jeśli teza ma zachodzić dla każdego trójkąta, przyjęcie szczególnego przypadku daje w kluczach CKE 0 punktów za całe zadanie.
„ $P_1 = \frac12 a h$ , $\ P_2 = \frac12 b h$ , więc $\frac{P_1}{P_2} = \frac ab$ .”: Trzeba napisać, czym jest $h$ i dlaczego jest ta sama w obu trójkątach. W maju 2026 sam taki zapis dawał 0 punktów.
„Dwusieczna dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach.”: Na równe pola dzieli środkowa. Dwusieczna dzieli przeciwległy bok (i pole) w stosunku przyległych boków.

7 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Ile wynosi wysokość równoległoboku o boku

10

i kącie

30^\circ

, opuszczona na drugi bok?

$10\sin30^\circ = 5$ .

2 Co jest tezą w zadaniu „Wykaż, że

|AE| = |EC|

”?

Sama równość $|AE| = |EC|$ ; nie wolno z niej korzystać w trakcie dowodu.

3 Kiedy dwa trójkąty o wspólnej podstawie mają równe pola?

Gdy ich wysokości opuszczone na tę podstawę są równe, np. gdy trzecie wierzchołki leżą na prostej równoległej do podstawy.

4 Czy sprawdzenie tezy dla trójkąta

3

4

5

jest dowodem?

Nie. To jeden przykład, a teza dotyczy wszystkich trójkątów.

8 Karta wzorów i co dalej

Rachunek

$h = c\sin\alpha$ , rzut $c\cos\alpha$

$P = \frac12ab\sin\gamma$ , $\ P = ab\sin\alpha$

Dowód

oznaczenia → fakty z uzasadnieniem → teza

wspólna wysokość: pola jak podstawy

bez szczególnych przypadków

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” są definicje funkcji trygonometrycznych, wzory na pole trójkąta i czworokątów oraz twierdzenie o dwusiecznej. Zasad pisania dowodu tam nie ma: tu decyduje praktyka i schemat oceniania.

Dalej: czworokąty wpisane i opisane (lekcja 8.6 Czworokąty wpisane i opisane, twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa, poziom rozszerzony) albo geometria analityczna (lekcja 9.1 Prosta na płaszczyźnie).