9.1 Prosta na płaszczyźnie · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Prosta jako równanie

Punkt $(x, y)$ leży na prostej wtedy i tylko wtedy, gdy jego współrzędne spełniają jej równanie. Z tej jednej zasady wynika cała lekcja. Sprawdzenie, czy punkt leży na prostej, to podstawienie. Punkt wspólny dwóch prostych to rozwiązanie układu dwóch równań. A to, czy proste są równoległe albo prostopadłe, widać z samych współczynników, bez rysowania.

1 Równanie prostej

Dwie postacie (w broszurze CKE)

Kierunkowa: $y = ax + b$ ; $\ a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ dla prostej przez $A$ i $B$ , $\ b$ to punkt przecięcia z osią $Oy$ . Nie opisuje prostych pionowych.
Ogólna: $Ax + By + C = 0$ , gdzie $A$ i $B$ nie są jednocześnie zerami. Opisuje każdą prostą, także pionową $x = c$ . Dla $B \ne 0$ : $a = -\frac AB$ .
Prosta przez punkt $P = (x_0, y_0)$ o współczynniku $a$ : $\ y - y_0 = a(x - x_0)$ .

Przykład 1.1 Prosta przez dwa punkty

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty $A = (-1, 5)$ i $B = (3, -3)$ w postaci kierunkowej i ogólnej.

$a = \frac{-3 - 5}{3 - (-1)} = \frac{-8}{4} = -2$ .
Podstawienie $A$ : $5 = -2\cdot(-1) + b$ , więc $b = 3$ .

Wynik: $y = -2x + 3$ , czyli $2x + y - 3 = 0$ .

Sprawdzenie dla $B$ : $-2\cdot3 + 3 = -3$ ✓.

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 5 min

Wyznacz równanie prostej przez punkty $(2, 1)$ i $(6, 9)$ .

Odpowiedź
$a = \frac84 = 2$ , $\ 1 = 4 + b$ : $\ y = 2x - 3$ .
Wyznacz równanie prostej przez punkty $(4, -2)$ i $(4, 7)$ .

Odpowiedź
Oba punkty mają tę samą odciętą: prosta pionowa $x = 4$ (nie ma postaci kierunkowej).
Zapisz prostą $3x - 2y + 6 = 0$ w postaci kierunkowej.

Odpowiedź
$2y = 3x + 6$ , $\ y = \frac32x + 3$ .

2 Proste równoległe i prostopadłe

Warunki (w broszurze CKE)

Postać kierunkowa: równoległe $\iff a_1 = a_2$ ; prostopadłe $\iff a_1\cdot a_2 = -1$ .
Postać ogólna: równoległe $\iff A_1B_2 - A_2B_1 = 0$ ; prostopadłe $\iff A_1A_2 + B_1B_2 = 0$ .

W zadaniu z parametrem w postaci ogólnej najszybciej jest użyć warunku dla postaci ogólnej. Przejście na postać kierunkową też działa, ale wymaga dzielenia przez współczynnik przy $y$ .

Przykład 2.1 Prosta prostopadła przez punkt

Wyznacz równanie prostej prostopadłej do $y = 2x - 1$ i przechodzącej przez $P = (4, 1)$ .

$a\cdot2 = -1$ , więc $a = -\frac12$ .
$1 = -\frac12\cdot4 + b$ , $\ b = 3$ .

Wynik: $y = -\frac12x + 3$ .

Przykład 2.2 Parametr w postaci ogólnej

Dla jakiej wartości $m$ proste $(m + 1)x - 2y + 3 = 0$ i $3x - y + 1 = 0$ są równoległe?

$A_1B_2 - A_2B_1 = (m + 1)\cdot(-1) - 3\cdot(-2) = -m - 1 + 6$ .
$-m + 5 = 0$ .

Wynik: $m = 5$ . Kontrola: pierwsza prosta to $6x - 2y + 3 = 0$ , czyli $y = 3x + \frac32$ ; druga $y = 3x + 1$ ✓.

Zadania · część 2

3 zadania · ok. 6 min

Dla jakiego $m$ prosta $y = (2m - 1)x + 4$ jest prostopadła do prostej $y = \frac13x - 2$ ?

Odpowiedź
$(2m - 1)\cdot\frac13 = -1$ , $\ 2m - 1 = -3$ , $\ m = -1$ .
Wyznacz równanie prostej równoległej do $4x + 2y - 5 = 0$ przechodzącej przez $(1, 3)$ .

Odpowiedź
Współczynnik $-\frac42 = -2$ : $\ 3 = -2 + b$ , $\ y = -2x + 5$ .
Dla jakiego $m$ proste $mx + 4y - 1 = 0$ i $2x - y + 7 = 0$ są prostopadłe?

Odpowiedź
$A_1A_2 + B_1B_2 = 2m + 4\cdot(-1) = 0$ , $\ m = 2$ .

3 Punkt przecięcia i figury

Dwa narzędzia

Punkt wspólny prostych to rozwiązanie układu ich równań (lekcja 4.1 Układy równań liniowych i zadania tekstowe).
Środek odcinka $AB$ : $\ S = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right)$ (szerzej w lekcji 9.2 Odległość, równanie okręgu i symetrie). W równoległoboku przekątne dzielą się na połowy, więc środek symetrii jest środkiem obu przekątnych.

Przykład 3.1 Równoległobok

W równoległoboku $ABCD$ bok $AB$ leży na prostej $y = x + 1$ , bok $AD$ na prostej $y = -2x + 10$ , a $C = (9, 7)$ . Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków i środka symetrii $S$ .

$A$ : $x + 1 = -2x + 10$ , $\ x = 3$ , $\ A = (3, 4)$ .
$S$ to środek przekątnej $AC$ : $\ S = \left(\frac{3 + 9}{2}, \frac{4 + 7}{2}\right) = \left(6, \frac{11}{2}\right)$ .
$B$ leży na $AB$ i na prostej przez $C$ równoległej do $AD$ : $y = -2x + 25$ . $\ x + 1 = -2x + 25$ , $\ B = (8, 9)$ .
$D = 2S - B = (12 - 8,\ 11 - 9) = (4, 2)$ . Kontrola: $D$ leży na $y = -2x + 10$ ✓.

Wynik: $A = (3, 4)$ , $B = (8, 9)$ , $D = (4, 2)$ , $S = \left(6, \frac{11}{2}\right)$ .

Zadania · część 3

3 zadania · ok. 6 min

Oblicz współrzędne punktu przecięcia prostych $y = 3x - 5$ i $2x + y - 10 = 0$ .

Odpowiedź
$2x + 3x - 5 = 10$ , $\ x = 3$ , $\ y = 4$ : $(3, 4)$ .
Oblicz współrzędne środka odcinka o końcach $A = (-2, 7)$ i $B = (6, -1)$ .

Odpowiedź
$(2, 3)$ .
Prosta $y = \frac12x + b$ przechodzi przez punkt $(4, 5)$ . Punkt $(p, 7)$ też leży na tej prostej. Oblicz $b$ i $p$ .

Odpowiedź
$5 = 2 + b$ , $\ b = 3$ ; $\ 7 = \frac12p + 3$ , $\ p = 8$ .

4 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 18 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · równanie prostej

Zestawy A

Wyznacz równanie prostej albo zamień postać.
1. przez $(0, 2)$ i $(3, 8)$
2. $2x - 5y + 10 = 0$ w postaci kierunkowej
Odpowiedzi
a) $y = 2x + 2$ b) $y = \tfrac25x + 2$

Poziom B · równoległe i prostopadłe

Zestawy B

Wyznacz prostą albo parametr.
1. równoległa do $y = 3x - 2$ przez $(1, 5)$
2. $y = mx + 1$ prostopadła do $y = 4x - 1$
Odpowiedzi
a) $y = 3x + 2$ b) $m = -\tfrac14$

Poziom C · przecięcia i środki

Zestawy C

Oblicz.
1. punkt wspólny $y = x + 2$ i $y = -x + 6$
2. $A = (1, 2)$ , środek $AB$ to $(4, 6)$ ; $\ B$
Odpowiedzi
a) $(2, 4)$ b) $(7, 10)$

Pełny trening (18 przykładów i zadań) →

5 Na maturze

W arkuszach podstawowych 2024–2026 dominują zadania zamknięte o prostych równoległych z parametrem, w postaci kierunkowej albo ogólnej, oraz „uzupełnij” z punktem na prostej. Zadania otwarte (3–4 punkty) dotyczą czworokątów: wierzchołek jako punkt przecięcia boków, potem środek przekątnej. W kluczach jedyny błąd w warunku równoległości, we wzorze na współczynnik kierunkowy albo na środek odcinka ogranicza wynik do 1 punktu. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

5 zadań · 8 pkt · ok. 20 min

(0–1 pkt) Proste o równaniach $y = (m + 2)x - 1$ i $y = -3x + 4$ są równoległe dla

A. $m = -5$ B. $m = -1$ C. $m = 1$ D. $m = 5$

Odpowiedź
A. $m + 2 = -3$ .
(0–1 pkt) Proste o równaniach $2mx - 3y + 1 = 0$ i $4x + 6y - 5 = 0$ są prostopadłe dla

A. $m = \frac94$ B. $m = -\frac94$ C. $m = -1$ D. $m = 1$

Odpowiedź
A. $2m\cdot4 + (-3)\cdot6 = 8m - 18 = 0$ .
(0–1 pkt) Uzupełnij zdanie. Prosta $l$ jest równoległa do prostej $y = 3x + 1$ i przechodzi przez punkt $(0, -2)$ . Punkt $(p, 7)$ leży na prostej $l$ dla $p =$ ______.

Odpowiedź
$3$ : $\ l$ : $y = 3x - 2$ , $\ 7 = 3p - 2$ .
(0–3 pkt) W równoległoboku $ABCD$ bok $AB$ leży na prostej $y = 2x - 1$ , bok $AD$ na prostej $y = -x + 5$ , a punkt $S = (5, 3)$ jest środkiem symetrii równoległoboku. Oblicz współrzędne wierzchołków $A$ , $C$ i $B$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Wierzchołek $A$ . $2x - 1 = -x + 5$ , $\ A = (2, 3)$ .
2. Wierzchołek $C$ . $S$ jest środkiem $AC$ : $\ C = (2\cdot5 - 2,\ 2\cdot3 - 3) = (8, 3)$ .
3. Wierzchołek $B$ . prosta $BC \parallel AD$ przez $C$ : $y = -x + 11$ ; z $y = 2x - 1$ : $\ 3x = 12$ , $\ B = (4, 7)$ .
1 pkt za $A$ . 2 pkt za $C$ . 3 pkt za $B$ . Kontrola: $D = 2S - B = (6, -1)$ leży na $y = -x + 5$ .
(0–2 pkt) Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej $3x - 4y + 2 = 0$ i przechodzącej przez punkt $P = (3, 1)$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Współczynnik. dana prosta: $y = \frac34x + \frac12$ ; prostopadła ma $a = -\frac43$ .
2. Równanie. $1 = -\frac43\cdot3 + b$ , $\ b = 5$ : $\ y = -\frac43x + 5$ (czyli $4x + 3y - 15 = 0$ ).
1 pkt za $a = -\frac43$ . 2 pkt za równanie.

6 Najczęstsze błędy

„Prostopadłe mają przeciwne współczynniki: $a_2 = -a_1$ .”: $a_2 = -\frac{1}{a_1}$ : przeciwna i odwrotna. Proste $y = 2x$ i $y = -2x$ przecinają się pod kątem ok. $53^\circ$ , nie $90^\circ$ .
„W postaci ogólnej współczynnik kierunkowy to $A$ .”: $a = -\frac AB$ . W prostej $4x + 2y - 5 = 0$ współczynnik to $-2$ , nie $4$ .
„ $a = \frac{x_B - x_A}{y_B - y_A}$ .”: Na górze różnica rzędnych: $a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ (ile rośnie $y$ na jednostkę $x$ ).
„Punkt $D$ równoległoboku to środek $BC$ .”: Środkiem obu przekątnych jest środek symetrii $S$ . Stąd $D = 2S - B$ , a nie żaden środek boku.

7 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Jaki współczynnik kierunkowy ma prosta prostopadła do

y = -\frac25x + 1

$\frac52$ .

2 Czy punkt

(2, 5)

leży na prostej

y = 3x - 1

Tak: $3\cdot2 - 1 = 5$ .

3 Jakie równanie ma prosta równoległa do osi

Oy

przechodząca przez

(-3, 4)

$x = -3$ .

4 Kiedy proste

A_1x + B_1y + C_1 = 0

A_2x + B_2y + C_2 = 0

są prostopadłe?

Gdy $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$ .

8 Karta wzorów i co dalej

Równanie

$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ ; $\ y - y_0 = a(x - x_0)$

$Ax + By + C = 0$ , $\ a = -\frac AB$

Położenie

$\parallel$ : $a_1 = a_2$ albo $A_1B_2 = A_2B_1$

$\perp$ : $a_1a_2 = -1$ albo $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$

środek: średnie współrzędnych

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” są obie postacie równania prostej, równanie prostej przez dwa punkty, warunki równoległości i prostopadłości w obu postaciach oraz wzór na odległość punktu od prostej. Wzór na środek odcinka też tam jest.

Dalej: odległość punktów, równanie okręgu i symetrie (lekcja 9.2 Odległość, równanie okręgu i symetrie).