4.1 Układy równań liniowych i zadania tekstowe · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Jedno zdanie, jedno równanie

„Do kina sprzedano $180$ biletów: normalne po $30$ zł i ulgowe po $20$ zł. Utarg wyniósł $4700$ zł.” Dwie niewiadome: $n$ normalnych i $u$ ulgowych. Dwa zdania z liczbami: „sprzedano $180$ ” to $n + u = 180$ ; „utarg $4700$ ” to $30n + 20u = 4700$ . Każde zdanie z liczbą daje jedno równanie, a nazwanie niewiadomych słowami („ $n$ – liczba biletów normalnych”) jest połową pracy. Rozwiązanie: $n = 110$ , $u = 70$ .

1 Podstawianie i przeciwne współczynniki

Dwie metody

Podstawianie: z jednego równania wyznacz niewiadomą (najlepiej tę ze współczynnikiem $\pm 1$ ) i wstaw do drugiego.
Przeciwne współczynniki: pomnóż równania przez liczby, tak żeby przy jednej niewiadomej stały liczby przeciwne, i dodaj stronami.

Na końcu zawsze sprawdź rozwiązanie w obu równaniach.

Przykład 1.1 Przeciwne współczynniki

Rozwiąż układ $\begin{cases} 3x + 4y = 18 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases}$

Drugie razy $2$ : $10x - 4y = 8$ . Dodajemy do pierwszego: $13x = 26$ , $x = 2$ .
$3 \cdot 2 + 4y = 18$ , więc $y = 3$ .

Wynik: $x = 2$ , $y = 3$ .

Sprawdzenie: $5 \cdot 2 - 2 \cdot 3 = 4$ ✓.

Zadania · część 1

2 zadania · ok. 4 min

Rozwiąż układ $\begin{cases} x - 3y = 1 \\ 2x + y = 9 \end{cases}$
Odpowiedź
1. $x = 1 + 3y$ ; $\ 2 + 6y + y = 9$ , $y = 1$ .
2. $x = 4$ , $y = 1$ .
Para $(2,\,-1)$ jest rozwiązaniem układu $\begin{cases} ax + 3y = 5 \\ 4x - by = 11 \end{cases}$ Oblicz $a + b$ .
Odpowiedź
1. $2a - 3 = 5$ , $a = 4$ .
2. $8 + b = 11$ , $b = 3$ .
3. $a + b = 7$ .

2 Interpretacja geometryczna

Trzy rodzaje układów

Oznaczony: proste się przecinają, jedno rozwiązanie.
Sprzeczny: proste równoległe i różne, brak rozwiązań (np. $x + 2y = 3$ i $2x + 4y = 5$ ).
Nieoznaczony: ta sama prosta, nieskończenie wiele rozwiązań (np. $x + 2y = 3$ i $-3x - 6y = -9$ ).

Sprawdzian: jeśli współczynniki przy $x$ i $y$ są proporcjonalne, układ jest sprzeczny albo nieoznaczony; decyduje, czy wyrazy wolne też są w tej samej proporcji.

Zadania · część 2

2 zadania · ok. 4 min

Ile rozwiązań ma układ $\begin{cases} 2x - y = 4 \\ -6x + 3y = -12 \end{cases}$ ?

Odpowiedź
Drugie równanie to pierwsze razy $-3$ : nieskończenie wiele.
Dla jakiej wartości $k$ układ $\begin{cases} x + ky = 2 \\ 3x + 6y = 1 \end{cases}$ jest sprzeczny?
Odpowiedź
1. Proporcja współczynników: $\frac13 = \frac k6$ , $k = 2$ .
2. Wyrazy wolne: $\frac21 \ne \frac13$ ✓, więc sprzeczny dla $k = 2$ .

3 Zadania tekstowe: przepis

Pięć kroków

Nazwij niewiadome słowami i z jednostkami („ $x$ – cena jednej czekolady w zł”).
Każde zdanie z liczbą przełóż na jedno równanie.
Rozwiąż układ.
Sprawdź, czy wynik ma sens (liczba osób całkowita, cena dodatnia).
Odpowiedz na dokładnie to pytanie, które jest w treści (często pytają o jedną z dwóch wielkości albo o coś pochodnego).

Przykład 3.1 Gdyby było o tyle więcej…

W klasie jest $32$ uczniów. Gdyby chłopców było o $4$ więcej, to chłopców byłoby dwa razy więcej niż dziewcząt. Ilu jest chłopców?

$c$ – liczba chłopców, $d$ – liczba dziewcząt. $c + d = 32$ .
„Gdyby chłopców było o $4$ więcej” zmienia tylko chłopców, dziewczęta zostają: $c + 4 = 2d$ .
$c = 2d - 4$ ; $\ 2d - 4 + d = 32$ , więc $d = 12$ i $c = 20$ .

Wynik: $20$ chłopców. Sprawdzenie sensu: liczby całkowite, dodatnie, $20 + 4 = 24 = 2 \cdot 12$ ✓. Gdyby wyszła liczba niecałkowita, to znak błędu w układzie.

Zadania · część 3

2 zadania · ok. 8 min

Za $3$ zeszyty i $2$ długopisy zapłacono $19$ zł, a za $2$ zeszyty i $5$ długopisów $31$ zł. Ile kosztuje długopis?
Odpowiedź
1. $3z + 2d = 19$ , $\ 2z + 5d = 31$ .
2. Razy $2$ i razy $3$ : $6z + 4d = 38$ , $6z + 15d = 93$ ; odejmujemy: $11d = 55$ .
3. $d = 5$ zł (zeszyt $3$ zł).
Suma dwóch liczb wynosi $50$ . Jeśli większą zmniejszymy o $20\%$ , a mniejszą zwiększymy o $4$ , otrzymamy równe liczby. Wyznacz te liczby.
Odpowiedź
1. $a + b = 50$ , $\ 0{,}8a = b + 4$ .
2. $0{,}8a = 54 - a$ , więc $1{,}8a = 54$ .
3. $a = 30$ , $b = 20$ .

4 Zadania z procentami

Co drugie zadanie tekstowe w arkuszach 2024–2026 zawierało procenty. Kluczowe pytanie przy każdym procencie: z czego? „ $15\%$ drzew w pierwszym sadzie” to $0{,}15x$ , gdzie $x$ to liczba drzew w pierwszym sadzie, a nie we wszystkich.

Przykład 4.1 Dwa budżety

Dwie drużyny dostały łącznie $80\,000$ zł. Pierwsza wydała $15\%$ swojej kwoty, druga $10\%$ swojej, razem $10\,500$ zł. Ile dostała pierwsza drużyna?

$x$ – kwota pierwszej drużyny, $y$ – drugiej (w zł). $x + y = 80\,000$ .
$0{,}15x + 0{,}10y = 10\,500$ .
$y = 80\,000 - x$ : $\ 0{,}15x + 8000 - 0{,}10x = 10\,500$ , czyli $0{,}05x = 2500$ .

Wynik: $x = 50\,000$ zł (druga drużyna $30\,000$ zł).

Sprawdzenie: $7500 + 3000 = 10\,500$ ✓.

Zadania · część 4

2 zadania · ok. 10 min

W dwóch magazynach jest razem $900$ t zboża. Po wywiezieniu $30\%$ z pierwszego i $20\%$ z drugiego w obu zostało tyle samo. Ile ton było w pierwszym?
Odpowiedź
1. $x + y = 900$ , $\ 0{,}7x = 0{,}8y$ .
2. $0{,}7x = 0{,}8(900 - x)$ , $1{,}5x = 720$ .
3. $x = 480$ t.
Sklep sprzedał $150$ koszulek po $40$ zł i $60$ zł. Po odjęciu $20\%$ podatku i kosztów zostało $5280$ zł. Ile koszulek sprzedano po $60$ zł?
Odpowiedź
1. Utarg: $5280 : 0{,}8 = 6600$ zł.
2. $a + b = 150$ , $\ 40a + 60b = 6600$ .
3. $40 \cdot 150 + 20b = 6600$ , $b = 30$ .

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 26 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · układy

Zestawy A

Rozwiąż układ.
1. $x + y = 7$ , $\ x - y = 1$
2. $\tfrac x2 + y = 4$ , $\ x - \tfrac y3 = 1$
Odpowiedzi
a) $(4,\,3)$ b) $(2,\,3)$
Podaj rodzaj układu: oznaczony (O), sprzeczny (S), nieoznaczony (N).
1. $x - 2y = 3$ , $\ 2x - 4y = 6$
Odpowiedzi
a) N

Poziom B · przekład na równania

Zestawy B

Zapisz jako równanie ( $x$ , $y$ – liczby z treści).
1. $x$ jest o $5$ większe od podwojonego $y$
2. $x$ stanowi $40\%$ sumy $x$ i $y$
Odpowiedzi
a) $x = 2y + 5$ b) $x = 0{,}4(x + y)$

Poziom C · krótkie zadania tekstowe

Zestawy C

Rozwiąż.
1. $5$ kg jabłek i $2$ kg gruszek kosztuje $23$ zł, $2$ kg jabłek i $5$ kg gruszek $26$ zł; cena kg jabłek
2. $1000$ zł na dwóch lokatach, $3\%$ i $5\%$ , odsetki razem $42$ zł; ile na $5\%$
Odpowiedzi
a) $3$ zł b) $600$ zł

Pełny trening (26 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

W każdej sesji z lat 2024–2026 było jedno zadanie tekstowe za 2 punkty prowadzące do układu równań. Według sprawozdań CKE zdający uzyskali średnio 30% punktów w 2025 (zadanie z budżetami i procentami było najtrudniejszym zadaniem arkusza podstawowego) i 40% w 2026. Typowe błędy: brak modelu (niezrozumienie, od czego liczy się procent), dodatkowe założenia spoza treści, poprawny układ, którego nie udało się rozwiązać. Klucz: 1 punkt za poprawny układ albo równanie z jedną niewiadomą albo równoważne rozumowanie, 2 punkty za wynik. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

5 zadań · 8 pkt · ok. 25 min

(0–2 pkt) Gmina przeznaczyła $600\,000$ zł na remonty dwóch szkół. Na szkołę A wydano $12\%$ przyznanej jej kwoty, a na szkołę B $9\%$ przyznanej jej kwoty, łącznie $61\,800$ zł. Oblicz, ile przyznano szkole A. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie i punktacja
1. Układ. $a + b = 600\,000$ , $\ 0{,}12a + 0{,}09b = 61\,800$ .
2. Podstawienie. $0{,}12a + 54\,000 - 0{,}09a = 61\,800$ , czyli $0{,}03a = 7800$ .
3. Wynik. $a = 260\,000$ zł.
1 pkt za układ albo równanie z jedną niewiadomą. 2 pkt za $260\,000$ zł.
(0–2 pkt) Na koncert sprzedano $240$ biletów: normalne po $45$ zł i ulgowe po $30$ zł. Po odjęciu $15\%$ kosztów organizacji zostało $8160$ zł. Oblicz, ile sprzedano biletów ulgowych.
Rozwiązanie i punktacja
1. Utarg. $8160 : 0{,}85 = 9600$ zł.
2. Układ. $n + u = 240$ , $\ 45n + 30u = 9600$ .
3. Wynik. $45 \cdot 240 - 15u = 9600$ , $15u = 1200$ , $u = 80$ .
1 pkt za układ (albo równanie) z uwzględnieniem $85\%$ . 2 pkt za $80$ biletów ulgowych.

Uwaga: odjęcie $15\%$ od każdej ceny osobno też jest poprawne: $38{,}25n + 25{,}5u = 8160$ .
(0–1 pkt) W koszu jest $64$ owoce: jabłka i gruszki. Gdyby gruszek było o $8$ mniej, jabłek byłoby trzy razy więcej niż gruszek. Liczbę $j$ jabłek i $g$ gruszek opisuje układ

A. $j + g = 64,\ j = 3(g - 8)$ B. $j + g = 64,\ 3j = g - 8$ C. $j + g = 56,\ j = 3g$ D. $j + g = 64,\ j - 8 = 3g$

Odpowiedź
A. (Wtedy $g = 22$ , $j = 42$ .)
(0–1 pkt) Układ równań $\begin{cases} 3x - 2y = 6 \\ -6x + 4y = 12 \end{cases}$

A.ma dokładnie jedno rozwiązanieB.ma dokładnie dwa rozwiązaniaC.nie ma rozwiązańD.ma nieskończenie wiele rozwiązań

Odpowiedź
C. Drugie równanie po podzieleniu przez $-2$ : $3x - 2y = -6 \ne 6$ . Proste równoległe.
(0–2 pkt) W dwóch sadach rosło łącznie $1200$ drzew. W pierwszym uschło $10\%$ , a w drugim $25\%$ drzew. Wtedy w drugim sadzie zostało o $90$ drzew mniej niż w pierwszym. Ile drzew rosło w pierwszym sadzie?
Rozwiązanie i punktacja
1. Układ. $x + y = 1200$ , $\ 0{,}75y = 0{,}9x - 90$ .
2. Podstawienie. $0{,}75(1200 - x) = 0{,}9x - 90$ , czyli $900 + 90 = 1{,}65x$ .
3. Wynik. $x = 600$ drzew.
1 pkt za układ. 2 pkt za $600$ .

7 Najczęstsze błędy

„ $15\%$ to $0{,}15 \cdot 80\,000$ .”: Tylko jeśli procent liczy się od całości. „ $15\%$ swojej kwoty” to $0{,}15x$ .
„Gdyby było o $4$ więcej, to $c + 4 = 2(d - 4)$ .”: Zmienia się tylko ta wielkość, o której mowa. Nie dopisuj zmian, których nie ma w treści.
„Wyszło $x$ , odpowiadam $x$ .”: Sprawdź, o co pytają. Często o drugą niewiadomą albo o różnicę.
„Zgadłem $80$ i się zgadza.”: Zgadnięcie bez wykazania, że to jedyne rozwiązanie, to w kluczu 1 punkt.

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Jakie położenie prostych odpowiada układowi sprzecznemu?

Proste równoległe, różne.

2 Jak zapisać „po wywiezieniu

30\%

zostało

x

ton”?

$0{,}7 \cdot (\text{początkowa ilość}) = x$ .

3 Ile równań potrzeba dla dwóch niewiadomych?

Dwóch niezależnych.

4 Co trzeba zrobić po rozwiązaniu zadania tekstowego?

Sprawdzić sens wyniku i odpowiedzieć na pytanie z treści.

9 Karta wzorów i co dalej

Układy

oznaczony: proste się przecinają

proporcjonalne współczynniki: sprzeczny albo nieoznaczony

Zadania tekstowe

niewiadome słowami; zdanie z liczbą = równanie

procent: zawsze „z czego”

Broszura CKE „Wybrane wzory matematyczne” nie zawiera metod rozwiązywania układów.

Dalej: dla rozszerzenia układy z równaniem kwadratowym (lekcja 4.2 Układy równań z równaniem kwadratowym); procenty w lekcji 1.4 Procenty, procent składany, lokaty i kredyty.