3.1 Równania i nierówności liniowe, przekształcenia równoważne

0 Jeden minus, dwa wyniki

Nierówność $5 - \dfrac{x - 3}{2} \ge x$ . Po pomnożeniu przez $2$ trzeba napisać $10 - (x - 3) \ge 2x$ , czyli $10 - x + 3 \ge 2x$ , i wychodzi $x \le \tfrac{13}{3}$ . Kto zgubi nawias, dostanie $10 - x - 3 \ge 2x$ , czyli $x \le \tfrac73$ . Różnica to jeden znak, ale w zadaniu „podaj największą liczbę całkowitą” daje odpowiedź $2$ zamiast $4$ . Kreska ułamkowa działa jak nawias, więc minus przed ułamkiem zmienia znak całego licznika.

1 Przekształcenia równoważne

Co wolno zrobić, nie zmieniając zbioru rozwiązań

Dodać lub odjąć to samo wyrażenie po obu stronach (przenieść wyraz na drugą stronę ze zmienionym znakiem).
Pomnożyć lub podzielić obie strony przez tę samą liczbę różną od zera. W nierówności: przez liczbę dodatnią zwrot zostaje, przez ujemną się odwraca.
Mnożenie przez wyrażenie z niewiadomą (np. $x - 1$ ) jest równoważne tylko tam, gdzie to wyrażenie jest różne od zera. Stąd dziedzina równania wymiernego.

Przykład 1.1 Równanie z ułamkami

Rozwiąż równanie $\dfrac{2x + 1}{3} - \dfrac{x - 2}{4} = 2$ .

Mnożymy przez $12$ : $4(2x + 1) - 3(x - 2) = 24$ .
$8x + 4 - 3x + 6 = 24$ , czyli $5x = 14$ .

Wynik: $x = \tfrac{14}{5}$ .

Sprawdzenie: $\frac{33/5}{3} - \frac{4/5}{4} = \frac{11}{5} - \frac15 = 2$ ✓.

Zadania · część 1

2 zadania · ok. 4 min

Rozwiąż równanie $3(x - 2) - 2(1 - x) = 7$ .
Odpowiedź
1. $3x - 6 - 2 + 2x = 7$
2. $5x = 15$ , więc $x = 3$ .
Rozwiąż równanie $\dfrac{x}{2} - \dfrac{3 - x}{6} = 1$ .
Odpowiedź
1. $3x - (3 - x) = 6$
2. $4x = 9$ , więc $x = \tfrac94$ .

2 Nierówności liniowe

Nierówność $ax + b \ge c$ to pytanie, gdzie prosta $y = ax + b$ leży nad prostą poziomą $y = c$ . Gdy $a < 0$ , prosta opada, więc leży nad $y = c$ na lewo od punktu przecięcia. Zmiana zwrotu po podzieleniu przez liczbę ujemną odpowiada temu, co widać na wykresie.

Przykład 2.1 Największa liczba całkowita

Wyznacz największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność $\dfrac{3 - 2x}{4} > \dfrac{x}{3} - 1$ .

Mnożymy przez $12$ : $3(3 - 2x) > 4x - 12$ .
$9 - 6x > 4x - 12$ , czyli $-10x > -21$ .
Dzielimy przez $-10$ , zwrot się odwraca: $x < \tfrac{21}{10} = 2{,}1$ .

Wynik: zbiór rozwiązań $(-\infty,\,\tfrac{21}{10})$ , największa liczba całkowita to $2$ .

Zadania · część 2

2 zadania · ok. 5 min

Rozwiąż nierówność $4 - 3x \le 2x + 14$ .
Odpowiedź
1. $-5x \le 10$
2. $x \ge -2$ , czyli $x \in [-2,\,+\infty)$ .
Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą nierówność $\dfrac{x + 5}{3} \ge \dfrac{1 - x}{2}$ .
Odpowiedź
1. $2(x + 5) \ge 3(1 - x)$
2. $2x + 10 \ge 3 - 3x$ , czyli $5x \ge -7$ , $x \ge -\tfrac75$ .
3. Najmniejsza całkowita: $-1$ .

3 Równania sprzeczne i tożsamościowe

Gdy $x$ znika

Po uproszczeniu może zostać równość bez niewiadomej. Jeśli jest prawdziwa (np. $0 = 0$ ), równanie jest tożsamościowe: każda liczba je spełnia. Jeśli fałszywa (np. $0 = 5$ ), równanie jest sprzeczne: zbiór rozwiązań jest pusty. Tak samo z nierównościami.

Przykład 3.1 Parametr, przy którym równanie jest sprzeczne

Dla jakiej wartości $m$ równanie $(m - 2)x = m + 1$ nie ma rozwiązań?

Dla $m \ne 2$ jest jedno rozwiązanie $x = \frac{m + 1}{m - 2}$ .
Dla $m = 2$ : $0 \cdot x = 3$ , sprzeczność.

Wynik: $m = 2$ . (Tożsamościowe byłoby, gdyby jednocześnie $m - 2 = 0$ i $m + 1 = 0$ , co jest niemożliwe.)

Zadania · część 3

2 zadania · ok. 4 min

Rozwiąż równanie $2(x + 3) - x = x + 6$ .

Odpowiedź
$x + 6 = x + 6$ : tożsamość, każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem.
Rozwiąż nierówność $3(x - 1) > 3x + 2$ .

Odpowiedź
$3x - 3 > 3x + 2$ , czyli $-3 > 2$ : fałsz. Zbiór rozwiązań pusty.

4 Proste równania wymierne

Równanie $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$

Zapisz założenie: $B \ne 0$ i $D \ne 0$ (wyznacz wykluczone liczby).
Pomnóż „na krzyż”: $A \cdot D = B \cdot C$ .
Rozwiąż i odrzuć rozwiązania spoza dziedziny.

Przykład 4.1 Z założeniem

Rozwiąż równanie $\dfrac{x + 6}{x - 2} = \dfrac{x}{3x - 6}$ . Zapisz konieczne założenie.

Założenie: $x - 2 \ne 0$ i $3x - 6 \ne 0$ , czyli $x \ne 2$ .
$3x - 6 = 3(x - 2)$ , więc mnożymy obie strony przez $3(x - 2)$ : $3(x + 6) = x$ .
$3x + 18 = x$ , więc $x = -9$ , i $-9 \ne 2$ ✓.

Wynik: $x = -9$ .

Zadania · część 4

2 zadania · ok. 6 min

Rozwiąż równanie $\dfrac{x - 1}{2x + 3} = \dfrac{1}{3}$ .
Odpowiedź
1. Założenie $x \ne -\tfrac32$ .
2. $3(x - 1) = 2x + 3$ , więc $x = 6$ .
Rozwiąż równanie $\dfrac{2x}{x + 1} = 2 - \dfrac{2}{x + 1}$ .
Odpowiedź
1. Założenie $x \ne -1$ .
2. Mnożymy przez $x + 1$ : $2x = 2(x + 1) - 2 = 2x$ .
3. Tożsamość dla $x \ne -1$ : zbiór rozwiązań $\mathbb R \setminus \{-1\}$ .

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 30 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · równania

Zestawy A

Rozwiąż równanie.
1. $5x - 7 = 2x + 8$
2. $\dfrac{x - 1}{3} = \dfrac{x + 2}{5}$
Odpowiedzi
a) $5$ b) $\tfrac{11}{2}$

Poziom B · nierówności

Zestawy B

Rozwiąż nierówność.
1. $3 - 2x > 7$
2. $\dfrac{x + 1}{2} - \dfrac{x}{3} < 1$
Odpowiedzi
a) $(-\infty,\,-2)$ b) $(-\infty,\,3)$
Podaj największą (N) albo najmniejszą (M) liczbę całkowitą spełniającą nierówność.
1. N: $7 - \dfrac{1 - 3x}{2} \ge 4x$
Odpowiedzi
a) $2$

Poziom C · sprzeczność, tożsamość, równania wymierne

Zestawy C

Podaj zbiór rozwiązań.
1. $3(x - 2) = 3x - 6$
Odpowiedzi
a) $\mathbb R$
Zapisz założenie i rozwiąż.
1. $\dfrac{3}{x - 2} = 1$
2. $\dfrac{x}{x - 1} = \dfrac{1}{x - 1}$
Odpowiedzi
a) $x \ne 2$ ; $x = 5$ b) $x \ne 1$ ; brak rozwiązań

Pełny trening (30 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

W arkuszach z lat 2024–2026 ten dział to zadania zamknięte (największa albo najmniejsza liczba całkowita spełniająca nierówność, wybór przedziału, proste równanie z niewiadomą w mianowniku) i zadania otwarte za 3 punkty z równaniem wymiernym, w których osobno punktuje się zapisane założenie. Według sprawozdań CKE zadanie zamknięte z tego działu w maju 2025 rozwiązało 73% zdających, a proste równanie wymierne w maju 2026 było najłatwiejszym zadaniem arkusza (85%). Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

5 zadań · 7 pkt · ok. 15 min

(0–1 pkt) Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność $6 - \dfrac{2 - 3x}{4} \ge 2x$ jest

A. $3$ B. $4$ C. $5$ D. $6$
Odpowiedź
B.
1. $24 - (2 - 3x) \ge 8x$
2. $22 + 3x \ge 8x$ , czyli $5x \le 22$
3. $x \le 4{,}4$ : największa całkowita $4$ .
(0–1 pkt) Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $\dfrac{1 - 4x}{3} \ge 2 - x$ jest przedział

A. $(-\infty,\,-5]$ B. $[-5,\,+\infty)$ C. $(-\infty,\,5]$ D. $[5,\,+\infty)$
Odpowiedź
A.
1. $1 - 4x \ge 6 - 3x$
2. $-x \ge 5$ , czyli $x \le -5$ .
(0–1 pkt) Rozwiązaniem równania $\dfrac{x - 3}{2x + 1} = \dfrac{3}{7}$ jest liczba

A. $-24$ B. $-\tfrac12$ C. $3$ D. $24$
Odpowiedź
D.
1. $7(x - 3) = 3(2x + 1)$
2. $7x - 21 = 6x + 3$ , więc $x = 24$ .
(0–1 pkt) Równanie $(2m + 6)x = m + 3$ ma nieskończenie wiele rozwiązań dla

A. $m = -6$ B. $m = -3$ C. $m = 0$ D. $m = 3$
Odpowiedź
B.
1. Dla $m = -3$ : $0 \cdot x = 0$ , tożsamość.
(0–3 pkt) Rozwiąż równanie $\dfrac{x + 5}{x + 2} = \dfrac{2x}{2x + 4}$ . Zapisz konieczne założenie.
Rozwiązanie i punktacja
1. Założenie. $x + 2 \ne 0$ , czyli $x \ne -2$ (wtedy też $2x + 4 \ne 0$ ).
2. Przekształcenie. $2x + 4 = 2(x + 2)$ ; mnożymy przez $2(x + 2)$ : $2(x + 5) = 2x$ .
3. Wynik. $2x + 10 = 2x$ , czyli $10 = 0$ : sprzeczność. Równanie nie ma rozwiązań.
1 pkt za założenie $x \ne -2$ ALBO za przekształcenie do równania liniowego. 2 pkt za oba. 3 pkt za stwierdzenie, że równanie nie ma rozwiązań.

Uwaga: wynik „ $x = 0$ ” albo „każda liczba” to sygnał, że zgubiono czynnik $2$ przy wymnażaniu.

7 Najczęstsze błędy

„ $-\frac{x - 3}{2}$ po pomnożeniu przez $2$ to $-x - 3$ .”: To $-(x - 3) = -x + 3$ . Kreska ułamkowa jest nawiasem.
„ $-2x > 6$ , więc $x > -3$ .”: Dzielenie przez $-2$ odwraca zwrot: $x < -3$ .
„Założenie w równaniu wymiernym to formalność.”: Za samo założenie jest punkt w kluczu, a bez niego można przyjąć rozwiązanie, które zeruje mianownik.
„ $0 = 0$ , więc $x = 0$ .”: Równość prawdziwa bez $x$ oznacza, że każda liczba (z dziedziny) jest rozwiązaniem.

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Przez jaką liczbę nie wolno mnożyć równania?

Przez zero (i przez wyrażenie, które może być zerem, bez założenia).

2 Ile wynosi najmniejsza liczba całkowita spełniająca

x > -2{,}5

$-2$ .

3 Kiedy równanie

ax = b

jest sprzeczne?

Gdy $a = 0$ i $b \ne 0$ .

4 Jakie założenie ma równanie

\frac{3}{2x - 5} = 1

$x \ne \frac52$ .

9 Karta wzorów i co dalej

Nierówności

mnożenie przez $k < 0$ odwraca zwrot

minus przed ułamkiem zmienia cały licznik

$0 \cdot x = 0$ : $\mathbb R$ ; $\ 0 \cdot x = 5$ : $\varnothing$

Równanie wymierne

1. założenie, 2. na krzyż, 3. odrzuć

Broszura CKE „Wybrane wzory matematyczne” nie zawiera reguł z tej lekcji.

Dalej: równania i nierówności kwadratowe (lekcja 3.2 Równania i nierówności kwadratowe, równania wielomianowe w postaci iloczynowej) i układy równań (4.1 Układy równań liniowych i zadania tekstowe).