2.1 Wzory skróconego mnożenia i wyrażenia wymierne

0 101² − 99² w głowie

Ile to jest $101^2 - 99^2$ ? Można podnieść do kwadratu i odjąć ( $10\,201 - 9801$ ), ale prościej skorzystać z różnicy kwadratów:

101^2 - 99^2 = (101 - 99)(101 + 99) = 2\cdot 200 = 400.

Ta sama sztuczka działa na wyrażeniach z literami: rozkład na czynniki pozwala skracać ułamki, liczyć wartości dla liczb z pierwiastkami i dowodzić podzielności. W maju 2025 i 2026 roku zadania z tej lekcji rozwiązało od 60% do 78% zdających; najtrudniejsze było działanie na wyrażeniach wymiernych.

1 Trzy wzory w obie strony

Wzory skróconego mnożenia

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).

Czytane od lewej do prawej rozwijają nawiasy; od prawej do lewej zwijają wyrażenie w kwadrat albo iloczyn. Trójmian jest kwadratem, gdy środkowy wyraz to podwojony iloczyn: $x^2 + 10x + 25 = x^2 + 2\cdot x\cdot 5 + 5^2 = (x + 5)^2$ .

Przykład 1.1 Różnica dwóch kwadratów sum

Zapisz w postaci ogólnej $(2x + 3)^2 - (x - 2)^2$ .

$(2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9$ .
$(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$ .
Różnica (uwaga na minus przed nawiasem): $4x^2 + 12x + 9 - x^2 + 4x - 4$ .

Wynik: $3x^2 + 16x + 5$ .

Sprawdzenie dla $x = 1$ : $25 - 1 = 24$ i $3 + 16 + 5 = 24$ ✓. Inna droga: różnica kwadratów, $\big((2x + 3) - (x - 2)\big)\big((2x + 3) + (x - 2)\big) = (x + 5)(3x + 1)$ .

Przykład 1.2 Zwijanie w kwadrat

Oblicz wartość $x^2 - 6x + 9$ dla $x = 3 + \sqrt5$ .

$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ .
$(3 + \sqrt5 - 3)^2 = (\sqrt5)^2$ .

Wynik: $5$ . Bez zwijania trzeba by liczyć $(3 + \sqrt5)^2 - 6(3 + \sqrt5) + 9$ .

Zadania · część 1

4 zadania · ok. 8 min

Rozwiń $(\sqrt3 - 2)^2$ .
Odpowiedź
1. $3 - 4\sqrt3 + 4$
2. $= 7 - 4\sqrt3$ .
Wymnóż $(2a + 5b)(2a - 5b)$ .

Odpowiedź
$4a^2 - 25b^2$ .
Zapisz jako kwadrat: $x^2 + 14x + 49$ i $9y^2 - 12y + 4$ .
Odpowiedź
1. $(x + 7)^2$
2. $(3y - 2)^2$ .
Oblicz w pamięci $52\cdot 48$ .
Odpowiedź
1. $(50 + 2)(50 - 2) = 2500 - 4$
2. $= 2496$ .

2 Rozkład na czynniki

Kolejność przy rozkładzie

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias: $x^3 - 4x = x(x^2 - 4)$ .
Zastosuj wzór skróconego mnożenia: $x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)$ .
Przy czterech wyrazach spróbuj grupowania: $x^3 + 2x^2 - x - 2 = x^2(x + 2) - (x + 2) = (x + 2)(x^2 - 1)$ .

Przykład 2.1 Wyłączenie i wzór

Rozłóż na czynniki $x^3 - 6x^2 + 9x$ .

$x(x^2 - 6x + 9)$ .
$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ .

Wynik: $x(x - 3)^2$ .

Zadania · część 2

3 zadania · ok. 8 min

Rozłóż na czynniki $2x^2 - 18$ .
Odpowiedź
1. $2(x^2 - 9)$
2. $= 2(x - 3)(x + 3)$ .
Rozłóż na czynniki $5x^3 - 10x^2 + 5x$ .
Odpowiedź
1. $5x(x^2 - 2x + 1)$
2. $= 5x(x - 1)^2$ .
Rozłóż na czynniki $x^3 - 3x^2 - 4x + 12$ .
Odpowiedź
1. $x^2(x - 3) - 4(x - 3) = (x - 3)(x^2 - 4)$
2. $= (x - 3)(x - 2)(x + 2)$ .

3 Wyrażenia wymierne

Wyrażenie wymierne

To iloraz dwóch wielomianów, np. $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$ . Dziedzina: wszystkie liczby, dla których mianownik nie jest zerem.

Skracać można tylko czynniki (po rozłożeniu licznika i mianownika), nigdy składniki sumy.

Mnożenie: $\dfrac{A}{B}\cdot\dfrac{C}{D} = \dfrac{AC}{BD}$ ; dzielenie: $\dfrac{A}{B} : \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B}\cdot\dfrac{D}{C}$ (wtedy także $C \ne 0$ ).

Przykład 3.1 Iloczyn

Uprość $\dfrac{x^2 - 3x}{x^2 - 6x + 9}\cdot\dfrac{x - 3}{x + 1}$ i podaj, dla jakich $x$ wyrażenie ma sens.

Rozkład: $\dfrac{x(x - 3)}{(x - 3)^2}\cdot\dfrac{x - 3}{x + 1}$ .
Dziedzina: $x \ne 3$ i $x \ne -1$ .
Skracanie: $(x - 3)^2$ w mianowniku i $(x - 3)\cdot(x - 3)$ w liczniku.

Wynik: $\dfrac{x}{x + 1}$ dla $x \ne 3$ , $x \ne -1$ .

Przykład 3.2 Iloraz

Uprość $\dfrac{3}{x^2 - x} : \dfrac{6}{x^2 - 1}$ .

Dzielenie to mnożenie przez odwrotność: $\dfrac{3}{x(x - 1)}\cdot\dfrac{(x - 1)(x + 1)}{6}$ .
Dziedzina: $x \ne 0$ , $x \ne 1$ , $x \ne -1$ .

Wynik: $\dfrac{x + 1}{2x}$ .

Zadania · część 3

3 zadania · ok. 10 min

Skróć $\dfrac{x^2 - 25}{x^2 + 5x}$ i podaj dziedzinę.
Odpowiedź
1. $\dfrac{(x - 5)(x + 5)}{x(x + 5)}$ , dziedzina $x \ne 0$ , $x \ne -5$ .
2. $= \dfrac{x - 5}{x}$ .
Uprość $\dfrac{2x + 6}{x^2 + 3x}\cdot\dfrac{x}{4}$ .
Odpowiedź
1. $\dfrac{2(x + 3)}{x(x + 3)}\cdot\dfrac x4$ dla $x \ne 0$ , $x \ne -3$
2. $= \dfrac12$ .
Uprość $\dfrac{x^2 - 4}{3x} : \dfrac{x - 2}{6x^2}$ .
Odpowiedź
1. $\dfrac{(x - 2)(x + 2)}{3x}\cdot\dfrac{6x^2}{x - 2}$ dla $x \ne 0$ , $x \ne 2$
2. $= 2x(x + 2)$ .

4 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 34 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · wzory

Zestawy A

Rozwiń i uprość.
1. $(x + 4)^2$
2. $(2x - \sqrt3)(2x + \sqrt3)$
Odpowiedzi
a) $x^2 + 8x + 16$ b) $4x^2 - 3$
Zapisz jako kwadrat albo iloczyn.
1. $4x^2 + 12x + 9$
2. $x^2 - 2\sqrt2\,x + 2$
Odpowiedzi
a) $(2x + 3)^2$ b) $(x - \sqrt2)^2$

Poziom B · rozkład i wartości

Zestawy B

Rozłóż na czynniki.
1. $3x^2 - 12$
2. $x^3 + x^2 - 9x - 9$
Odpowiedzi
a) $3(x - 2)(x + 2)$ b) $(x + 1)(x - 3)(x + 3)$
Oblicz wartość wyrażenia (najpierw je zwiń).
1. $x^2 + 8x + 16$ dla $x = \sqrt3 - 4$
2. $x^2 - 2xy + y^2$ dla $x = \sqrt5 + 1$ , $y = \sqrt5 - 1$
Odpowiedzi
a) $3$ b) $4$

Poziom C · wyrażenia wymierne

Zestawy C

Uprość i podaj, dla jakich $x$ wyrażenie ma sens.
1. $\dfrac{x^2 - 16}{x^2 - 4x}$
2. $\dfrac{5x}{x^2 - 9} : \dfrac{10}{x - 3}$
Wskazówka
Najpierw rozłóż każdy licznik i mianownik na czynniki, zapisz dziedzinę z mianowników (przy dzieleniu także z licznika dzielnika), dopiero potem skracaj.

Odpowiedzi
a) $\dfrac{x + 4}{x}$ ; $x \ne 0$ , $x \ne 4$ b) $\dfrac{x}{2(x + 3)}$ ; $x \ne \pm3$

Pełny trening (34 przykładów i zadań) →

5 Na maturze

W arkuszach podstawowych z lat 2025–2026 tematy tej lekcji to zwykle jedno lub dwa zadania zamknięte: różnica dwóch kwadratów sum do zapisania w postaci ogólnej (72% w maju 2025), wartość trójmianu dla liczby z pierwiastkiem po zwinięciu w kwadrat (78% w maju 2026), rozkład wielomianu na czynniki, iloczyn lub iloraz wyrażeń wymiernych (60%). Wzory skróconego mnożenia są też potrzebne w każdym dowodzie podzielności. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

6 zadań · 7 pkt · ok. 15 min

(0–1 pkt) Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wyrażenie $(2x + 3)^2 - (x - 2)^2$ jest równe

A. $3x^2 + 16x + 5$ B. $3x^2 + 5$ C. $3x^2 + 8x + 5$ D. $5x^2 + 8x + 13$
Odpowiedź
A.
1. $4x^2 + 12x + 9 - (x^2 - 4x + 4)$
2. $= 3x^2 + 16x + 5$ .
3. C to zgubiona zmiana znaku przy $-4x$ .
(0–1 pkt) Wartość wyrażenia $x^2 - 6x + 9$ dla $x = 3 + \sqrt5$ jest równa

A. $5$ B. $\sqrt5$ C. $14 + 6\sqrt5$ D. $9$
Odpowiedź
A.
1. $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$
2. $= (\sqrt5)^2 = 5$ .
(0–1 pkt) Wielomian $x^3 - 8x^2 + 16x$ jest równy

A. $x(x - 4)^2$ B. $x(x + 4)^2$ C. $x(x - 4)(x + 4)$ D. $(x - 4)^3$
Odpowiedź
A.
1. $x(x^2 - 8x + 16)$
2. $= x(x - 4)^2$ .
(0–1 pkt) Dla każdej liczby $x \ne 3$ , $x \ne -1$ wyrażenie $\dfrac{x^2 - 3x}{x^2 - 6x + 9}\cdot\dfrac{x - 3}{x + 1}$ jest równe

A. $\dfrac{x}{x + 1}$ B. $\dfrac{x - 3}{x + 1}$ C. $\dfrac{x(x - 3)}{x + 1}$ D. $\dfrac{1}{x + 1}$
Odpowiedź
A.
1. $\dfrac{x(x - 3)}{(x - 3)^2}\cdot\dfrac{x - 3}{x + 1}$
2. $= \dfrac{x}{x + 1}$ .
(0–1 pkt) Oceń prawdziwość stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.

1. Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ : $(x + 1)^2 - (x - 1)^2 = 4x$ . P / F
2. Dla każdej liczby $x \ne 1$ : $\dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = x - 1$ . P / F
Odpowiedź
PF.
1. $x^2 + 2x + 1 - (x^2 - 2x + 1) = 4x$ .
2. $\dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1$ , a nie $x - 1$ .
(0–2 pkt) Oblicz wartość wyrażenia $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}$ dla $x = \sqrt2 - 2$ . Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie i punktacja
1. Uproszczenie. $\frac{(x - 2)(x + 2)}{(x + 2)^2} = \frac{x - 2}{x + 2}\qquad (x \ne -2).$
2. Podstawienie. $\dfrac{\sqrt2 - 4}{\sqrt2}$ .
3. Wynik. $\dfrac{\sqrt2 - 4}{\sqrt2} = 1 - \dfrac{4}{\sqrt2} = 1 - 2\sqrt2$ .
1 pkt za uproszczenie do $\frac{x - 2}{x + 2}$ ALBO za poprawne podstawienie do wyrażenia wyjściowego. 2 pkt za wynik $1 - 2\sqrt2$ (lub równoważny, np. $\frac{2 - 4\sqrt2}{2}$ ).

6 Najczęstsze błędy

„ $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ .”: Brakuje $2ab$ , czyli dwóch prostokątów z symulacji. $(3 + 4)^2 = 49$ , a $9 + 16 = 25$ .
„ $-(x - 2)^2 = -x^2 - 4x + 4$ .”: Minus przed nawiasem zmienia znak każdego wyrazu: $-(x^2 - 4x + 4) = -x^2 + 4x - 4$ .
„ $\dfrac{x + 3}{x + 5} = \dfrac35$ , bo skracam $x$ .”: Skraca się tylko czynniki, a tu $x$ jest składnikiem sumy. Ten ułamek nie da się uprościć.
„Po skróceniu dziedzina przestaje mieć znaczenie.”: Wyrażenie po skróceniu jest równe wyjściowemu tylko w dziedzinie wyjściowego: $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1$ dla $x \ne 1$ .
„ $x^2 + 6x + 9 = (x + 9)^2$ .”: Ostatni wyraz to $b^2$ , więc $b = 3$ : $(x + 3)^2$ . Sprawdzaj środkowy wyraz: $2\cdot x\cdot 3 = 6x$ ✓.

7 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Ile to

(x - 5)^2

$x^2 - 10x + 25$ .

2 Jak rozłożyć

x^2 - 49

$(x - 7)(x + 7)$ .

3 Kiedy trójmian

x^2 + bx + c

jest kwadratem

(x + k)^2

Gdy $b = 2k$ i $c = k^2$ .

4 Co trzeba zrobić przed skracaniem ułamka?

Rozłożyć licznik i mianownik na czynniki (i zapisać dziedzinę).

5 Ile to

201\cdot 199

$200^2 - 1 = 39\,999$ .

8 Karta wzorów i co dalej

Wzory

$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Wyrażenia wymierne

dziedzina: mianownik $\ne 0$

skraca się czynniki, nie składniki

dzielenie: mnożenie przez odwrotność

Wzory skróconego mnożenia (także na sześciany, potrzebne na poziomie rozszerzonym) są w broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne”. Rozpoznawania ich „od tyłu” i reguły skracania broszura nie zawiera.

Dalej: na poziomie rozszerzonym wielomiany (2.2 Wielomiany: dzielenie, rozkład na czynniki, pierwiastki całkowite); na podstawowym funkcje (5.1 Funkcja i jej wykres: odczytywanie własności), a później równania wymierne w lekcji 3.1 Równania i nierówności liniowe, przekształcenia równoważne.