5.1 Funkcja i jej wykres: odczytywanie własności · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Jedno pytanie, trzy odcinki

Funkcja $f$ jest określona tak: na przedziale $[-4,\,-1]$ wzorem $f(x) = x + 4$ , na przedziale $(-1,\,2)$ jest stale równa $3$ , a na przedziale $[2,\,5)$ jest równa $-2x + 7$ . Dla jakich argumentów jej wartości są dodatnie?

Odpowiedzią jest jeden przedział $(-4,\,\tfrac72)$ , choć składa się z trzech kawałków: lewy odcinek jest dodatni od $x > -4$ , środkowy cały, prawy do $x < \tfrac72$ . W $x = -4$ wartość jest równa $0$ , więc ten koniec jest otwarty. Kawałki stykają się w $x = -1$ i $x = 2$ bez przerwy, więc nawiasy w środku znikają. Te dwa ruchy, czyli sprawdzenie końców i sklejenie kawałków, wystarczają na cztery punkty w typowym zadaniu.

1 Co jest funkcją

Funkcja

Funkcja $f\colon X \to Y$ przyporządkowuje każdemu elementowi zbioru $X$ (dziedziny) dokładnie jeden element zbioru $Y$ . Zapis $f(x)$ oznacza wartość funkcji dla argumentu $x$ .

Funkcję można podać wzorem, tabelą, wykresem albo opisem słownym. Na wykresie: każda prosta pionowa $x = a$ , gdzie $a$ należy do dziedziny, przecina wykres w dokładnie jednym punkcie.

Przykład 1.1 Funkcja dana tabelą

Funkcja $f$ jest określona tabelą:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$4$	$0$	$-1$	$0$	$2$	$-1$	$4$

Podaj liczbę miejsc zerowych, zbiór wartości i liczbę argumentów, dla których $f(x) = 4$ .

Miejsca zerowe: $x = -2$ i $x = 0$ , czyli dwa.
Zbiór wartości to wszystkie liczby z drugiego wiersza: $\{-1,\,0,\,2,\,4\}$ .
$f(x) = 4$ dla $x = -3$ i $x = 3$ , czyli dla dwóch argumentów.

Wynik: 2 miejsca zerowe; zbiór wartości $\{-1,\,0,\,2,\,4\}$ ; dwa argumenty. Dziedzina ma tu tylko siedem elementów, więc wykres to siedem punktów, a nie linia.

Zadania · część 1

2 zadania · ok. 4 min

Czy przyporządkowanie „każdej liczbie naturalnej przyporządkowujemy jej dzielnik” jest funkcją?

Odpowiedź
Nie: liczba $6$ ma kilka dzielników ( $1, 2, 3, 6$ ), więc przyporządkowanie nie jest jednoznaczne. „Najmniejszy dzielnik większy od $1$ ” (dla liczb większych od $1$ ) byłby już funkcją.
Czy okrąg $x^2 + y^2 = 4$ jest wykresem funkcji?

Odpowiedź
Nie: prosta $x = 0$ przecina go w dwóch punktach, $(0,\,2)$ i $(0,\,-2)$ .

2 Wartości ze wzoru i funkcja określona przedziałami

Funkcja określona przedziałami

f(x) = \begin{cases} g(x) & \text{dla } x \le a \\ h(x) & \text{dla } x > a \end{cases}

Wartość liczysz wzorem tej gałęzi, do której należy argument. Miejsce zerowe szukasz w każdej gałęzi osobno i zostawiasz tylko te rozwiązania, które należą do przedziału tej gałęzi.

Przykład 2.1 Miejsca zerowe z odrzucaniem

Wyznacz miejsca zerowe funkcji $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{dla } x \le 1 \\ 3 - x & \text{dla } x > 1 \end{cases}$ .

Gałąź $x \le 1$ : $x^2 - 4 = 0$ , więc $x = -2$ albo $x = 2$ . Warunek $x \le 1$ spełnia tylko $-2$ .
Gałąź $x > 1$ : $3 - x = 0$ , więc $x = 3$ , i $3 > 1$ ✓.

Wynik: miejsca zerowe $-2$ i $3$ . Liczba $2$ nie jest miejscem zerowym, bo $f(2) = 3 - 2 = 1$ .

Zadania · część 2

2 zadania · ok. 5 min

Dla $f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{dla } x < 0 \\ x^2 - 3 & \text{dla } x \ge 0 \end{cases}$ oblicz $f(-2)$ , $f(0)$ i $f(3)$ .
Odpowiedź
1. $f(-2) = -4 + 1 = -3$
2. $f(0) = 0 - 3 = -3$ (bo $0 \ge 0$ )
3. $f(3) = 9 - 3 = 6$ .
Wyznacz miejsca zerowe funkcji $f(x) = \begin{cases} 2x + 6 & \text{dla } x \ge -1 \\ x - 3 & \text{dla } x < -1 \end{cases}$ .
Odpowiedź
1. $2x + 6 = 0$ daje $x = -3$ , ale $-3 \not\ge -1$ : odrzucamy.
2. $x - 3 = 0$ daje $x = 3$ , ale $3 \not< -1$ : odrzucamy.
3. Funkcja nie ma miejsc zerowych.

3 Odczyt z wykresu

Co odczytujesz i skąd

Dziedzina: rzut wykresu na oś $Ox$ . Zbiór wartości: rzut na oś $Oy$ .
Miejsca zerowe: pierwsze współrzędne punktów wspólnych wykresu z osią $Ox$ .
Monotoniczność: przedziały, na których wykres idzie w górę (rosnąca), w dół (malejąca) albo poziomo (stała).
Wartość największa i najmniejsza: najwyższy i najniższy punkt wykresu, o ile istnieje. Puste kółko na końcu oznacza, że ta wartość nie jest przyjmowana.
Pełne kółko to punkt należący do wykresu: przy końcu przedziału nawias kwadratowy. Puste kółko: nawias okrągły.

Przykład 3.1 Komplet własności

Funkcja $f(x) = \begin{cases} x + 4 & \text{dla } x \in [-4,\,-1] \\ 3 & \text{dla } x \in (-1,\,2) \\ -2x + 7 & \text{dla } x \in [2,\,5) \end{cases}$ (funkcja 2 w symulacji). Odczytaj jej własności.

Dziedzina: $[-4,\,5)$ .
Zbiór wartości: lewa gałąź daje $[0,\,3]$ , środkowa $3$ , prawa od $f(2) = 3$ w dół do $-3$ , ale $5$ nie należy do dziedziny, więc $-3$ nie jest przyjmowane. Razem $(-3,\,3]$ .
Miejsca zerowe: $x + 4 = 0$ dla $x = -4$ ; $-2x + 7 = 0$ dla $x = \tfrac72 \in [2,\,5)$ .
Monotoniczność: rosnąca w $[-4,\,-1]$ , stała w $[-1,\,2]$ , malejąca w $[2,\,5)$ .
Największa wartość $3$ , dla każdego $x \in [-1,\,2]$ . Najmniejszej wartości nie ma.

Wynik: $D = [-4,\,5)$ , $ZW = (-3,\,3]$ , miejsca zerowe $-4$ i $\tfrac72$ , największa wartość $3$ , najmniejszej brak.

Zadania · część 3

2 zadania · ok. 6 min

Funkcja $f(x) = \begin{cases} 2 & \text{dla } x \in [-5,\,-2) \\ -x & \text{dla } x \in [-2,\,1] \\ x - 2 & \text{dla } x \in (1,\,4] \end{cases}$ (funkcja 1 w symulacji). Podaj dziedzinę, zbiór wartości i miejsca zerowe.
Odpowiedź
1. $D = [-5,\,4]$ .
2. $ZW$ : $\{2\}$ , $[-1,\,2]$ i $(-1,\,2]$ , razem $[-1,\,2]$ .
3. Miejsca zerowe: $-x = 0$ dla $x = 0$ ; $x - 2 = 0$ dla $x = 2 \in (1,\,4]$ . Są to $0$ i $2$ .
Dla tej samej funkcji podaj przedziały monotoniczności oraz najmniejszą wartość i argument, dla którego jest przyjmowana.
Odpowiedź
1. Stała w $[-5,\,-2]$ , malejąca w $[-2,\,1]$ , rosnąca w $[1,\,4]$ .
2. Najmniejsza wartość $-1$ dla $x = 1$ (pełne kółko w $(1,\,-1)$ , bo $1$ należy do środkowej gałęzi).

4 Zbiory argumentów dla warunku $f(x) \gtrless c$

Przepis na nierówność z wykresu

Narysuj prostą $y = c$ .
Na każdej gałęzi znajdź część wykresu nad prostą (dla $>$ ) albo pod nią (dla $<$ ). Punkty przecięcia policz ze wzoru gałęzi.
Rzuć te części na oś $Ox$ . Końce: przy nierówności ostrej punkt przecięcia jest wykluczony, przy końcu dziedziny decyduje kółko.
Sklej kawałki, które się stykają, i zapisz sumę przedziałów.

Gałąź stała $f(x) = c$ na przedziale daje równanie $f(x) = c$ z przedziałem rozwiązań.

Przykład 4.1 Równanie i nierówność dla funkcji 1

Dla funkcji z zadania w części 3 wyznacz zbiór rozwiązań równania $f(x) = 2$ i nierówności $f(x) \ge 1$ .

$f(x) = 2$ : na $[-5,\,-2)$ zawsze; $-x = 2$ daje $x = -2 \in [-2,\,1]$ ; $x - 2 = 2$ daje $x = 4 \in (1,\,4]$ . Kawałek $[-5,\,-2)$ i punkt $-2$ sklejają się w $[-5,\,-2]$ .
$f(x) \ge 1$ : na $[-5,\,-2)$ zawsze ( $2 \ge 1$ ); $-x \ge 1$ daje $x \le -1$ , czyli $[-2,\,-1]$ ; $x - 2 \ge 1$ daje $x \ge 3$ , czyli $[3,\,4]$ .

Wynik: $f(x) = 2$ dla $x \in [-5,\,-2] \cup \{4\}$ ; $\ f(x) \ge 1$ dla $x \in [-5,\,-1] \cup [3,\,4]$ .

Sprawdzenie w symulacji: funkcja 1, warunek $f(x) \ge c$ , $c = 1$ .

Zadania · część 4

3 zadania · ok. 10 min

Dla funkcji 2 (przykład 3.1) wyznacz zbiór rozwiązań nierówności $f(x) < 1$ .
Odpowiedź
1. $x + 4 < 1$ daje $x < -3$ , czyli $[-4,\,-3)$ .
2. Gałąź stała: $3 < 1$ fałsz.
3. $-2x + 7 < 1$ daje $x > 3$ , czyli $(3,\,5)$ .
4. $x \in [-4,\,-3) \cup (3,\,5)$ .
Ile rozwiązań ma równanie $f(x) = 2$ dla funkcji 2? A równanie $f(x) = 3$ ?
Odpowiedź
1. $f(x) = 2$ : $x = -2$ i $x = \tfrac52$ , czyli dwa rozwiązania.
2. $f(x) = 3$ : każde $x \in [-1,\,2]$ , czyli nieskończenie wiele.
Funkcja $f(x) = \begin{cases} -x - 1 & \text{dla } x \in [-5,\,-1) \\ x + 2 & \text{dla } x \in [-1,\,2] \\ 1 & \text{dla } x \in (2,\,5] \end{cases}$ (funkcja 3 w symulacji) ma skok w $x = -1$ . Podaj jej zbiór wartości i zbiór rozwiązań nierówności $f(x) > 2$ .
Odpowiedź
1. $ZW$ : lewa gałąź $(0,\,4]$ , środkowa $[1,\,4]$ , prawa $\{1\}$ , razem $(0,\,4]$ .
2. $-x - 1 > 2$ daje $x < -3$ , czyli $[-5,\,-3)$ .
3. $x + 2 > 2$ daje $x > 0$ , czyli $(0,\,2]$ .
4. $x \in [-5,\,-3) \cup (0,\,2]$ .

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 44 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · wartości i miejsca zerowe

Zestawy A

Oblicz wartość funkcji $f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x & \text{dla } x \le 1 \\ 4 - 3x & \text{dla } x > 1 \end{cases}$ dla podanego argumentu.
1. $f(-2)$
2. $f(1)$
Odpowiedzi
a) $8$ b) $-1$
Wyznacz wszystkie miejsca zerowe (albo stwierdź, że ich nie ma).
1. $\begin{cases} 2x + 4 & \text{dla } x < 0 \\ x - 5 & \text{dla } x \ge 0 \end{cases}$
2. $\begin{cases} x^2 - 1 & \text{dla } x \le 0 \\ 2x - 6 & \text{dla } x > 0 \end{cases}$
Odpowiedzi
a) $-2,\ 5$ b) $-1,\ 3$

Poziom B · tabela i parametr

Zestawy B

Funkcja $f$ jest określona tabelą: $f(-2) = 3$ , $f(-1) = 0$ , $f(0) = -2$ , $f(1) = 0$ , $f(2) = 3$ , $f(3) = 5$ . Odpowiedz.
1. liczba miejsc zerowych
Odpowiedzi
a) $2$
Wyznacz parametr.
1. $f(x) = 3x + m$ , $\ f(2) = -1$
Odpowiedzi
a) $m = -7$

Poziom C · funkcja przedziałami liniowa

Zestawy C

$f(x) = \begin{cases} x + 3 & \text{dla } x \in [-4,\,-1) \\ 2 & \text{dla } x \in [-1,\,1] \\ -x + 3 & \text{dla } x \in (1,\,4] \end{cases}$ . Podaj.
1. dziedzinę
2. zbiór wartości
Odpowiedzi
a) $[-4,\,4]$ b) $[-1,\,2]$
$f(x) = \begin{cases} -2x - 4 & \text{dla } x \in [-5,\,-2] \\ x + 2 & \text{dla } x \in (-2,\,2) \\ 4 & \text{dla } x \in [2,\,5) \end{cases}$ . Podaj.
1. zbiór wartości
2. zbiór rozwiązań $f(x) = 4$
Odpowiedzi
a) $[0,\,6]$ b) $\{-4\} \cup [2,\,5)$
$f(x) = \begin{cases} x + 5 & \text{dla } x \in [-5,\,-2) \\ -x & \text{dla } x \in [-2,\,3] \\ 1 & \text{dla } x \in (3,\,5] \end{cases}$ (ze skokiem). Podaj.
1. zbiór wartości
Odpowiedzi
a) $[-3,\,3)$

Pełny trening (44 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

Zadanie „funkcja przedziałami liniowa i cztery luki” pojawia się w większości sesji od 2024 roku i jest warte zwykle 4 punkty. Według sprawozdań CKE w maju 2025 zdający uzyskali średnio 67% punktów, a w maju 2026 w dwóch częściach 66% i 63%. Od sierpnia 2025 zasady oceniania mówią wprost: zdanie jest poprawne tylko wtedy, gdy krańce przedziału są poprawne i da się jednoznacznie ustalić, czy przedział jest otwarty, czy domknięty. Niestaranny nawias oznacza więc 0 punktów za to zdanie. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

4 zadania · 7 pkt · ok. 15 min

(0–4 pkt) Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \begin{cases} -x - 1 & \text{dla } x \in [-5,\,-2] \\ 1 & \text{dla } x \in (-2,\,1) \\ 2x - 1 & \text{dla } x \in [1,\,3) \end{cases}$ . Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach.

1. Dziedziną funkcji $f$ jest przedział ………… .
2. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział ………… .
3. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania $f(x) = 1$ jest przedział ………… .
4. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f(x) > 3$ jest zbiór ………… .
Rozwiązanie i punktacja
1. Dziedzina. $[-5,\,3)$ .
2. Zbiór wartości. lewa gałąź od $f(-5) = 4$ do $f(-2) = 1$ , czyli $[1,\,4]$ ; środkowa $1$ ; prawa od $f(1) = 1$ do $5$ (bez $5$ ), czyli $[1,\,5)$ . Razem $[1,\,5)$ .
3. Równanie. $-x - 1 = 1$ dla $x = -2$ ; gałąź stała na $(-2,\,1)$ ; $2x - 1 = 1$ dla $x = 1$ . Razem $[-2,\,1]$ .
4. Nierówność. $-x - 1 > 3$ dla $x < -4$ , czyli $[-5,\,-4)$ ; $2x - 1 > 3$ dla $x > 2$ , czyli $(2,\,3)$ . Razem $[-5,\,-4) \cup (2,\,3)$ .
1 pkt za każde poprawnie uzupełnione zdanie.

Uwaga: zdanie jest poprawne tylko wtedy, gdy oba krańce i rodzaje nawiasów są poprawne.
(0–1 pkt) Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \begin{cases} x^2 - 9 & \text{dla } x < 1 \\ 2 - x & \text{dla } x \ge 1 \end{cases}$ . Zbiorem wszystkich miejsc zerowych funkcji $f$ jest

A. $\{-3,\,3\}$ B. $\{-3,\,2\}$ C. $\{-3,\,2,\,3\}$ D. $\{2,\,3\}$
Odpowiedź
B.
1. $x^2 - 9 = 0$ daje $x = \pm 3$ ; warunek $x < 1$ spełnia tylko $-3$ .
2. $2 - x = 0$ daje $x = 2 \ge 1$ ✓.
3. C to błąd „bez odrzucania”: $f(3) = 2 - 3 = -1 \ne 0$ .
(0–1 pkt) Funkcja $f$ jest określona tabelą:

$x$ $-3$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $3$

$f(x)$ $1$ $-2$ $0$ $3$ $0$ $-2$ $2$

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.

1. Funkcja $f$ ma dokładnie dwa miejsca zerowe. P F
2. Największą wartością funkcji $f$ jest $f(3)$ . P F
Odpowiedź
PF.
1. Zera w $x = -1$ i $x = 1$ : dwa.
2. Największa wartość to $f(0) = 3$ , a $f(3) = 2$ .
(0–1 pkt) Funkcja $f(x) = x^2 + kx - 8$ ma miejsce zerowe $x = 2$ . Wtedy

A. $k = -2$ B. $k = 2$ C. $k = 4$ D. $k = 6$
Odpowiedź
B.
1. $f(2) = 4 + 2k - 8 = 0$
2. $2k = 4$ , więc $k = 2$ .

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$1$	$-2$	$0$	$3$	$0$	$-2$	$2$

7 Najczęstsze błędy

„Kawałki $[-4,\,-1]$ i $(-1,\,2)$ zapisuję jako $[-4,\,-1] \cup (-1,\,2)$ .”: Matematycznie to ten sam zbiór. Gdy luka mówi „jest przedział”, zapisz jeden przedział $[-4,\,2)$ . Przy sklejaniu od razu widać, czy punkt styku należy do zbioru.
„Najmniejsza wartość to $-3$ , bo tam kończy się wykres.”: Jeśli na końcu jest puste kółko, ta wartość nie jest przyjmowana i najmniejszej wartości może nie być wcale.
„Miejsca zerowe gałęzi $x^2 - 9$ to $\pm 3$ , więc oba są miejscami zerowymi $f$ .”: Tylko te, które należą do przedziału tej gałęzi. Pozostałe odrzucasz.
„Równanie $f(x) = c$ ma jedno albo kilka rozwiązań.”: Na gałęzi stałej równej $c$ rozwiązań jest nieskończenie wiele: cały przedział.
„Przy $f(x) > 0$ biorę nawias z wykresu.”: W punkcie przecięcia z prostą $y = c$ nierówność ostra nie zachodzi, więc nawias jest okrągły, nawet jeśli kółko jest pełne.

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Jak na wykresie sprawdzić, czy krzywa jest wykresem funkcji?

Każda prosta pionowa przecina ją co najwyżej w jednym punkcie.

2 Wykres kończy się pustym kółkiem w

(5,\,-3)

. Czy

-3

należy do zbioru wartości?

Nie, chyba że $-3$ jest przyjmowane w innym punkcie wykresu.

3 Co oznacza pozioma część wykresu na wysokości

c

dla równania

f(x) = c

Cały przedział rozwiązań.

4 Dlaczego miejsca zerowe gałęzi trzeba sprawdzić z przedziałem?

Wzór gałęzi obowiązuje tylko na jej przedziale; poza nim wartość $f$ liczy się innym wzorem.

9 Karta wzorów i co dalej

Odczyt

$D$ : rzut na $Ox$ , $\ ZW$ : rzut na $Oy$

pełne kółko $[\,]$ , puste $(\,)$

wartość skrajna: o ile istnieje

Warunek $f(x) \gtrless c$

prosta $y = c$ , każda gałąź osobno

ostra: punkt przecięcia wykluczony

sklej stykające się kawałki

Broszura CKE „Wybrane wzory matematyczne” nie zawiera nic z tej lekcji: odczyt z wykresu i zapis przedziałów trzeba mieć opanowany.

Dalej: funkcja liniowa (lekcja 5.2 Funkcja liniowa), a potem funkcja kwadratowa (5.3 Funkcja kwadratowa: trzy postacie i wykres).