5.6 Funkcja wykładnicza i logarytmiczna · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Dwa pomiary, jeden procent

Na początku doświadczenia w hodowli było $5000$ bakterii, po dwóch godzinach $7200$ . Liczba bakterii co godzinę rośnie o ten sam procent. O jaki? Po godzinie jest $5000k$ , po dwóch $5000k^2 = 7200$ , więc $k^2 = 1{,}44$ i $k = 1{,}2$ . Co godzinę liczba bakterii mnoży się przez $1{,}2$ , czyli rośnie o $20\%$ . Odpowiedź „o $1{,}2\%$ ” albo „o $120\%$ ” to dwa typowe błędy interpretacji.

1 Funkcje $a^x$ i $\log_a x$

Własności ( $a > 0$ , $a \ne 1$ )

$f(x) = a^x$ : dziedzina $\mathbb R$ , zbiór wartości $(0,\,+\infty)$ , $f(0) = 1$ . Rosnąca dla $a > 1$ , malejąca dla $0 < a < 1$ . Nie ma miejsc zerowych.
$g(x) = \log_a x$ : dziedzina $(0,\,+\infty)$ , zbiór wartości $\mathbb R$ , $g(1) = 0$ , $g(a) = 1$ . Rosnąca dla $a > 1$ , malejąca dla $0 < a < 1$ .
$\log_a x = y \iff a^y = x$ : wykresy są symetryczne względem prostej $y = x$ .

Przykład 1.1 Wartości i monotoniczność

Dana jest funkcja $f(x) = \log_4 x$ . Oblicz $f(64)$ i $f(\tfrac12)$ oraz ustal, czy $f$ jest rosnąca.

$4^3 = 64$ , więc $f(64) = 3$ .
$4^{-1/2} = \tfrac12$ , więc $f(\tfrac12) = -\tfrac12$ .
Podstawa $4 > 1$ , więc $f$ jest rosnąca.

Wynik: $f(64) = 3$ , $f(\tfrac12) = -\tfrac12$ , funkcja rosnąca.

Zadania · część 1

2 zadania · ok. 4 min

Wykres funkcji $f(x) = a^x$ przechodzi przez punkt $(2,\,\tfrac19)$ . Wyznacz $a$ i ustal monotoniczność.
Odpowiedź
1. $a^2 = \tfrac19$ , $a > 0$ , więc $a = \tfrac13$ .
2. $0 < a < 1$ : malejąca.
Podaj zbiór wartości funkcji $f(x) = 2^x - 3$ .

Odpowiedź
$2^x > 0$ , więc $2^x - 3 > -3$ : zbiór wartości $(-3,\,+\infty)$ .

2 Model $N(t) = N_0 \cdot k^t$

Wzrost i spadek procentowy

Jeśli wielkość w każdej jednostce czasu zmienia się o $p\%$ , to $N(t) = N_0 \cdot k^t$ , gdzie $N_0 = N(0)$ i $k = 1 + \frac{p}{100}$ (dla spadku $p$ jest ujemne, $0 < k < 1$ ).

Czas połowienia $T$ (rozpad): $N(t) = N_0 \cdot \left(\tfrac12\right)^{t/T}$ . Po $T$ zostaje połowa, po $2T$ ćwiartka, po $nT$ część $\frac{1}{2^n}$ .

Przykład 2.1 Spadek o stały procent

Wartość samochodu co roku spada o $15\%$ . Dziś wynosi $80\,000$ zł. Ile będzie warty za $3$ lata?

$k = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$ .
$N(3) = 80\,000 \cdot 0{,}85^3 = 80\,000 \cdot 0{,}614125 = 49\,130$ .

Wynik: $49\,130$ zł. Spadek łączny to ok. $38{,}6\%$ , a nie $45\%$ : procent liczy się za każdym razem od nowej, mniejszej wartości.

Zadania · część 2

2 zadania · ok. 5 min

Populacja liczy $2000$ osobników i co roku rośnie o $10\%$ . Zapisz wzór $N(t)$ i oblicz $N(2)$ .
Odpowiedź
1. $N(t) = 2000 \cdot 1{,}1^t$
2. $N(2) = 2000 \cdot 1{,}21 = 2420$ .
Izotop ma czas połowienia $6$ godzin. Jaka część początkowej masy zostanie po dobie?
Odpowiedź
1. $24 : 6 = 4$ okresy połowienia.
2. $\left(\tfrac12\right)^4 = \tfrac1{16}$ .

3 Parametry z pomiarów

Dwa pomiary wystarczą

Z $N(t_1)$ i $N(t_2)$ : $\ \dfrac{N(t_2)}{N(t_1)} = k^{t_2 - t_1}$ . Potem $N_0 = \dfrac{N(t_1)}{k^{t_1}}$ .

Skrót: wartości w równych odstępach czasu tworzą ciąg geometryczny, więc $N(t)^2 = N(t - h) \cdot N(t + h)$ .

Przykład 3.1 Wartość pośrodku bez liczenia $k$

Wielkość zmienia się według $Q(t) = Q_0 \cdot k^t$ . Wiadomo, że $Q(3) = 4$ i $Q(5) = 36$ . Oblicz $Q(4)$ , $k$ i $Q_0$ .

$Q(4)^2 = Q(3) \cdot Q(5) = 144$ , a $Q(4) > 0$ , więc $Q(4) = 12$ .
$k = \dfrac{Q(4)}{Q(3)} = 3$ .
$Q_0 = \dfrac{Q(3)}{k^3} = \dfrac{4}{27}$ .

Wynik: $Q(4) = 12$ , $k = 3$ , $Q_0 = \frac4{27}$ .

Zadania · część 3

2 zadania · ok. 6 min

Kapitał na lokacie po roku wynosił $10\,400$ zł, a po dwóch latach $10\,816$ zł (kapitalizacja roczna). Oblicz oprocentowanie i kapitał początkowy.
Odpowiedź
1. $k = \dfrac{10\,816}{10\,400} = 1{,}04$ : oprocentowanie $4\%$ .
2. $N_0 = 10\,400 : 1{,}04 = 10\,000$ zł.
Różnica temperatur herbaty i otoczenia maleje wykładniczo. Po $10$ min różnica wynosiła $48^\circ$ C, po $20$ min $36^\circ$ C. Jaka była na początku?
Odpowiedź
1. Co $10$ min mnożnik $\tfrac{36}{48} = \tfrac34$ .
2. Na początku $48 : \tfrac34 = 64^\circ$ C.

4 Ile czasu? Logarytm i połowienie

Czas z równania wykładniczego

$N_0 \cdot k^t = N_1 \iff k^t = \dfrac{N_1}{N_0} \iff t = \log_k \dfrac{N_1}{N_0}$ .

Gdy iloraz jest potęgą $k$ (np. $\frac1{32} = \left(\frac12\right)^5$ ), wynik odczytujesz bez kalkulatora. W pozostałych przypadkach zostaw logarytm albo oszacuj go między kolejnymi potęgami.

Przykład 4.1 Ile okresów połowienia?

Czas połowienia jodu-131 wynosi ok. $8$ dni. Po ilu dniach zostanie $\frac1{32}$ początkowej ilości?

$\left(\tfrac12\right)^{t/8} = \tfrac1{32} = \left(\tfrac12\right)^5$ .
$\frac t8 = 5$ , więc $t = 40$ .

Wynik: po ok. $40$ dniach.

Zadania · część 4

2 zadania · ok. 6 min

Po ilu pełnych latach wartość lokaty $N(t) = 1000 \cdot 2^{t/9}$ przekroczy $8000$ zł?
Odpowiedź
1. $2^{t/9} > 8 = 2^3$
2. $\frac t9 > 3$ , więc $t > 27$ : po $28$ pełnych latach (dokładnie po $27$ wartość wynosi $8000$ ).
Wskaż dwie kolejne liczby całkowite, między którymi leży rozwiązanie równania $3^t = 50$ .
Odpowiedź
1. $3^3 = 27 < 50 < 81 = 3^4$
2. $t = \log_3 50 \in (3,\,4)$ .

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 37 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · własności funkcji

Zestawy A

Oblicz wartość funkcji.
1. $f(x) = 3^x$ , $\ f(-2)$
2. $g(x) = \log_2 x$ , $\ g(\tfrac18)$
Odpowiedzi
a) $\tfrac19$ b) $-3$
Podaj monotoniczność i zbiór wartości (albo dziedzinę dla logarytmu).
1. $y = 0{,}7^x$
Odpowiedzi
a) malejąca; $(0,\,+\infty)$

Poziom B · model $N_0 k^t$

Zestawy B

Podaj $k$ i zinterpretuj.
1. wzrost o $6\%$ rocznie
2. $k = 1{,}35$
Odpowiedzi
a) $k = 1{,}06$ b) wzrost o $35\%$
Oblicz.
1. $N(t) = 500 \cdot 1{,}2^t$ , $\ N(2)$
Odpowiedzi
a) $720$

Poziom C · pomiary i czas

Zestawy C

Model $N(t) = N_0 k^t$ , $k > 0$ . Oblicz brakujące wielkości.
1. $N(0) = 200$ , $N(2) = 288$ ; $\ k$
2. $N(3) = 16$ , $N(5) = 4$ ; $\ N(4)$
Odpowiedzi
a) $1{,}2$ b) $8$
Wyznacz $t$ (albo dwie kolejne liczby całkowite, między którymi leży).
1. $2^t = 64$
Odpowiedzi
a) $6$

Pełny trening (37 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

W arkuszach z lat 2024–2026 i w informatorze są tu cztery typy: P/F z wartością i monotonicznością logarytmu, wybór wykresu zaniku wykładniczego, zadanie otwarte z czasem połowienia oraz wyznaczanie czynnika wzrostu z dwóch pomiarów (na poziomie rozszerzonym). To ostatnie, w maju 2025, okazało się najłatwiejszym zadaniem arkusza rozszerzonego: według sprawozdania CKE zdający uzyskali średnio 77% punktów. Sprawozdanie zwraca uwagę, że część osób poprawnie obliczyła $k = 1{,}25$ , ale błędnie podała wzrost o $125\%$ . Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

4 zadania · 8 pkt · ok. 20 min

(0–1 pkt) Dana jest funkcja $f(x) = \log_{\frac13} x$ . Oceń prawdziwość zdań.

1. $f(9) = -2$ . P F
2. Funkcja $f$ jest rosnąca. P F
Odpowiedź
PF.
1. $\left(\tfrac13\right)^{-2} = 9$ ✓.
2. Podstawa $\tfrac13 < 1$ : funkcja malejąca.
(0–1 pkt) Masa substancji maleje według $m(t) = 240 \cdot \left(\tfrac12\right)^{t/5}$ , $t$ w dniach. Po $15$ dniach masa jest równa

A. $80$ B. $30$ C. $16$ D. $7{,}5$
Odpowiedź
B.
1. $\left(\tfrac12\right)^3 = \tfrac18$
2. $240 : 8 = 30$ .
3. A to błąd „ $15 : 5 = 3$ , więc dzielę przez $3$ ”.
(0–3 pkt) Czas połowienia pewnego izotopu wynosi $12$ lat. Oblicz, po ilu latach z próbki o masie $400$ mg zostanie $25$ mg. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie i punktacja
1. Model. $m(t) = 400 \cdot \left(\tfrac12\right)^{t/12}$ .
2. Równanie. $400 \cdot \left(\tfrac12\right)^{t/12} = 25$ , czyli $\left(\tfrac12\right)^{t/12} = \tfrac1{16} = \left(\tfrac12\right)^4$ .
3. Wynik. $\frac t{12} = 4$ , $t = 48$ lat.
1 pkt za zapis modelu albo równania. 2 pkt za $\frac{t}{12} = 4$ (albo za stwierdzenie, że potrzeba czterech okresów połowienia). 3 pkt za $t = 48$ lat.

Uwaga: akceptowane jest też rozwiązanie przez kolejne połowienia: $400 \to 200 \to 100 \to 50 \to 25$ , czyli $4 \cdot 12 = 48$ .
(0–3 pkt) Liczba użytkowników aplikacji rośnie co miesiąc o ten sam procent. Po $2$ miesiącach od startu było $7200$ użytkowników, a po $4$ miesiącach $10\,368$ . Oblicz, o ile procent co miesiąc rośnie liczba użytkowników, oraz ilu ich było na starcie.
Rozwiązanie i punktacja
1. Iloraz. $k^2 = \dfrac{10\,368}{7200} = 1{,}44$ , $k > 0$ , więc $k = 1{,}2$ .
2. Interpretacja. wzrost o $20\%$ miesięcznie.
3. Start. $N_0 = \dfrac{7200}{1{,}2^2} = \dfrac{7200}{1{,}44} = 5000$ .
1 pkt za równanie $7200k^2 = 10\,368$ . 2 pkt za $k = 1{,}2$ i odpowiedź $20\%$ . 3 pkt za $5000$ użytkowników na starcie.

Uwaga: odpowiedź „o $120\%$ ” przy poprawnym $k$ to błąd interpretacji, a nie błąd rachunkowy.

7 Najczęstsze błędy

„ $k = 1{,}25$ , więc wzrost o $125\%$ .”: $k = 1 + \frac{p}{100}$ : wzrost o $25\%$ . O $125\%$ byłoby przy $k = 2{,}25$ .
„Trzy lata po $15\%$ to $45\%$ spadku.”: Spadki się mnożą: $0{,}85^3 \approx 0{,}614$ , czyli ok. $38{,}6\%$ spadku.
„Po trzech okresach połowienia zostaje $\frac13$ .”: Zostaje $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ .
„ $\log_{\frac12} x$ jest rosnąca, bo logarytm rośnie.”: Dla podstawy mniejszej od $1$ logarytm (i funkcja wykładnicza) są malejące.

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Jaki jest zbiór wartości funkcji

y = 5^x

$(0,\,+\infty)$ .

2 Wartość maleje co roku o

8\%

. Jakie jest

k

$k = 0{,}92$ .

N(2) = 9

N(4) = 25

w modelu wykładniczym. Ile wynosi

N(3)

$\sqrt{9 \cdot 25} = 15$ .

4 Po ilu okresach połowienia zostaje

\frac1{64}

Po sześciu.

9 Karta wzorów i co dalej

Funkcje

$a^x$ : $ZW = (0,\,+\infty)$ , $\ \log_a x$ : $D = (0,\,+\infty)$

$a > 1$ rosnące, $0 < a < 1$ malejące

Model

$N(t) = N_0 k^t$ , $\ k = 1 + \frac p{100}$

$N_0 \left(\frac12\right)^{t/T}$ , $\ N(t)^2 = N(t - h)N(t + h)$

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” są własności potęg i logarytmów oraz wzór na procent składany. Modelu z czasem połowienia ani wzoru $k = 1 + \frac{p}{100}$ w postaci ogólnej broszura nie zawiera.

Dalej: dla zakresu rozszerzonego przekształcenia wykresów i dowody monotoniczności (lekcja 5.7 Przekształcenia wykresów, złożenia, dowodzenie monotoniczności); ciągi geometryczne, które stoją za modelem wykładniczym, w lekcji 6.3 Ciąg geometryczny.