6.3 Ciąg geometryczny · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Razy trzy, razy trzy, razy trzy

W ciągu geometrycznym $a_2 = 6$ i $a_5 = 162$ . Od $a_2$ do $a_5$ są trzy kroki, każdy to mnożenie przez $q$ : $a_5 = a_2 \cdot q^3$ . Stąd $q^3 = 27$ , $q = 3$ . W ciągu arytmetycznym te same trzy kroki byłyby dodawaniem $3r$ . Cała różnica między ciągami: tam się dodaje, tu się mnoży. Wyrazy: $2,\ 6,\ 18,\ 54,\ 162,\ 486,\ 1458$ .

1 Wzór na $n$ -ty wyraz i monotoniczność

Ciąg geometryczny

a_{n+1} = a_n \cdot q, \qquad a_n = a_1 \cdot q^{n-1}, \qquad a_n = a_k \cdot q^{n-k}.

$q < 0$ : znaki na przemian, ciąg niemonotoniczny.
$q > 1$ : rosnący dla $a_1 > 0$ , malejący dla $a_1 < 0$ ; $\ 0 < q < 1$ : odwrotnie.
$q = 1$ : stały.

Przykład 1.1 Warunek „ciąg malejący”

Ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich jest malejący i $a_6 = 16a_8$ . Wyznacz $q$ .

$a_8 = a_6 q^2$ , więc $a_6 = 16a_6q^2$ i $q^2 = \tfrac1{16}$ .
$q = \tfrac14$ albo $q = -\tfrac14$ . Ujemny iloraz daje ciąg niemonotoniczny (i wyrazy ujemne).

Wynik: $q = \tfrac14$ .

Zadania · część 1

2 zadania · ok. 4 min

$a_1 = 81$ , $a_2 = 27$ . Oblicz $a_5$ .

Odpowiedź
$q = \tfrac13$ , $a_5 = 81 \cdot \tfrac1{81} = 1$ .
$a_4 = -8a_7$ . Oblicz $q$ .

Odpowiedź
$a_7 = a_4q^3$ : $1 = -8q^3$ , $q^3 = -\tfrac18$ , $q = -\tfrac12$ .

2 Suma $n$ wyrazów

Suma $n$ początkowych wyrazów

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \ne 1), \qquad S_n = n a_1 \quad (q = 1).

Przykład 2.1 Suma z ilorazem $2$

Oblicz $3 + 6 + 12 + \dots + 384$ .

$a_1 = 3$ , $q = 2$ , $384 = 3 \cdot 2^{n-1}$ , więc $2^{n-1} = 128$ , $n = 8$ .
$S_8 = 3 \cdot \dfrac{1 - 2^8}{1 - 2} = 3 \cdot 255$ .

Wynik: $765$ .

Zadania · część 2

1 zadanie · ok. 3 min

Oblicz sumę pięciu początkowych wyrazów ciągu $a_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}$ .

Odpowiedź
$S_5 = 2 \cdot \dfrac{1 - (-3)^5}{1 + 3} = 2 \cdot \dfrac{244}{4} = 122$ .

3 Trzy kolejne wyrazy: $b^2 = ac$

Warunek dla trzech liczb

Niezerowe liczby $a$ , $b$ , $c$ tworzą (w tej kolejności) ciąg geometryczny $\iff b^2 = ac$ . Rozwiązania z wyrazem równym zero odrzucamy.

Uwaga na znak: z $b^2 = ac$ wynika $b = \pm\sqrt{ac}$ . Gdy treść nie mówi o znakach wyrazów, oba przypadki trzeba rozważyć.

Przykład 3.1 Parametr i wyrazy zerowe

Dla jakich $x$ liczby $x - 1$ , $x + 1$ , $3x + 3$ tworzą ciąg geometryczny?

$(x + 1)^2 = (x - 1)(3x + 3) = 3(x - 1)(x + 1)$ .
$(x + 1)\big[(x + 1) - 3(x - 1)\big] = 0$ , czyli $(x + 1)(4 - 2x) = 0$ .
$x = -1$ : ciąg $(-2,\,0,\,0)$ ma wyrazy zerowe ✗. $\ x = 2$ : $(1,\,3,\,9)$ , $q = 3$ ✓.

Wynik: $x = 2$ . Dzielenie przez $x + 1$ na początku „zgubiłoby” przypadek $x = -1$ , który i tak odpada, ale trzeba to napisać.

Zadania · część 3

2 zadania · ok. 6 min

Ciąg $(4,\ x,\ 9)$ jest geometryczny. Wyznacz $x$ .

Odpowiedź
$x^2 = 36$ : $x = 6$ albo $x = -6$ (oba dają ciąg geometryczny: $q = \tfrac32$ albo $q = -\tfrac32$ ).
Ciąg $(x,\ x + 2,\ 4x + 8)$ jest geometryczny o wyrazach dodatnich. Oblicz $x$ i $q$ .
Odpowiedź
1. $(x + 2)^2 = x \cdot 4(x + 2)$ , $x + 2 > 0$ , więc $x + 2 = 4x$ .
2. $x = \tfrac23$ : $(\tfrac23,\,\tfrac83,\,\tfrac{32}{3})$ , $q = 4$ .

4 Iloczyny wyrazów

Równe sumy numerów, równe iloczyny

Jeśli $k + l = m + n$ , to $a_k \cdot a_l = a_m \cdot a_n$ , bo oba iloczyny są równe $a_1^2 q^{k + l - 2}$ . W szczególności $a_{k-1} a_{k+1} = a_k^2$ .

Przykład 4.1 Iloczyn bez $a_1$ i $q$

W ciągu geometrycznym $a_3 \cdot a_8 = 20$ . Oblicz $a_5 \cdot a_6$ i $a_1 \cdot a_{10}$ . Ile wynosi $a_1 a_2 \cdots a_7$ , jeśli $a_4 = 3$ ?

$3 + 8 = 5 + 6 = 1 + 10 = 11$ : oba iloczyny są równe $20$ .
$a_1a_7 = a_2a_6 = a_3a_5 = a_4^2 = 9$ , więc iloczyn siedmiu wyrazów to $9^3 \cdot 3 = 3^7$ .

Wynik: $20$ , $20$ , $3^7 = 2187$ .

Zadania · część 4

1 zadanie · ok. 3 min

W ciągu geometrycznym $a_2 \cdot a_6 = 25$ . Oblicz $a_4^2$ i $a_1 \cdot a_7$ .

Odpowiedź
$2 + 6 = 4 + 4 = 1 + 7$ : oba są równe $25$ .

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 26 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · wyrazy i iloraz

Zestawy A

Ciąg geometryczny: oblicz szukaną wielkość.
1. $a_1 = 5$ , $q = 2$ ; $\ a_6$
2. $a_2 = 6$ , $a_5 = -48$ ; $\ q$
Odpowiedzi
a) $160$ b) $-2$

Poziom B · sumy i iloczyny

Zestawy B

Oblicz.
1. $a_1 = 1$ , $q = 3$ ; $\ S_5$
2. $a_4 \cdot a_6 = 18$ ; $\ a_3 \cdot a_7$
Odpowiedzi
a) $121$ b) $18$

Poziom C · trzy wyrazy i ciągi mieszane

Zestawy C

Wyznacz $x$ , dla których ciąg jest geometryczny.
1. $(2,\ x,\ 18)$
Odpowiedzi
a) $\pm 6$
Ciągi mieszane.
1. $a_n = 2n + 2$ ; $k$ , dla którego $(a_1,\ a_3,\ a_k)$ jest geometryczny
Odpowiedzi
a) $k = 7$

Pełny trening (26 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

Ciąg geometryczny to w arkuszach z lat 2024–2026 kilkanaście zadań zamkniętych i kilka otwartych. Według sprawozdań CKE wyraz z dwóch danych rozwiązało 78% zdających (maj 2025), zadanie o iloczynie wyrazów tylko 42% (maj 2026), a ciąg geometryczny złożony z wyrazów ciągu arytmetycznego 62% (maj 2026). W zasadach oceniania: pomylenie typu ciągu daje 0 albo co najwyżej 2 punkty, a przyjęcie $b = \sqrt{ac}$ bez rozważenia $b = -\sqrt{ac}$ obniża wynik. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

5 zadań · 9 pkt · ok. 25 min

(0–1 pkt) W ciągu geometrycznym $a_1 = 48$ i $a_2 = 24$ . Wyraz $a_5$ jest równy

A. $1{,}5$ B. $3$ C. $6$ D. $12$

Odpowiedź
B. $q = \frac12$ , $a_5 = 48 \cdot \frac1{16} = 3$ .
(0–1 pkt) W ciągu geometrycznym $a_2 = 27a_5$ . Iloraz tego ciągu jest równy

A. $-3$ B. $-\tfrac13$ C. $\tfrac13$ D. $3$

Odpowiedź
C. $a_5 = a_2q^3$ : $1 = 27q^3$ , $q = \frac13$ .
(0–1 pkt) W ciągu geometrycznym $a_2 \cdot a_9 = 12$ . Uzupełnij zdanie: iloczyn $a_4 \cdot a_7$ jest równy …… .

Odpowiedź
$12$ (bo $2 + 9 = 4 + 7$ ).
(0–3 pkt) Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 3n - 1$ . Liczby $a_1$ , $a_3$ , $a_k$ są (w tej kolejności) pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Oblicz $k$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Wyrazy. $a_1 = 2$ , $a_3 = 8$ .
2. Warunek. $8^2 = 2 \cdot a_k$ , więc $a_k = 32$ .
3. Numer. $3k - 1 = 32$ , $k = 11$ .
1 pkt za $a_1$ i $a_3$ albo za zapis $a_3^2 = a_1a_k$ . 2 pkt za $a_k = 32$ (albo równanie $64 = 2(3k - 1)$ ). 3 pkt za $k = 11$ .
(0–3 pkt) Długości trzech krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $2$ . Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu jest równa $84$ . Oblicz objętość tego prostopadłościanu.
Rozwiązanie i punktacja
1. Krawędzie. $a$ , $2a$ , $4a$ .
2. Suma. $4(a + 2a + 4a) = 28a = 84$ , $a = 3$ .
3. Objętość. $3 \cdot 6 \cdot 12 = 216$ .
1 pkt za $a$ , $2a$ , $4a$ . 2 pkt za $a = 3$ . 3 pkt za $V = 216$ .

Uwaga: prostopadłościan ma $12$ krawędzi, po $4$ każdej długości. Suma $a + 2a + 4a = 84$ to błąd interpretacji.

7 Najczęstsze błędy

„ $a_n = a_1 \cdot q^n$ .”: $a_n = a_1 q^{n-1}$ : od $a_1$ do $a_n$ jest $n - 1$ mnożeń.
„ $q^2 = \frac1{16}$ , więc $q = \frac14$ .”: Także $q = -\frac14$ . Odrzucasz go dopiero z warunku (malejący, wyrazy dodatnie) i piszesz dlaczego.
„ $b^2 = ac$ , więc $b = \sqrt{ac}$ .”: $b = \pm\sqrt{ac}$ . Ujemny środkowy wyraz też daje ciąg geometryczny.
„ $a_3a_8 = a_5a_6$ , bo $3 \cdot 8 = \dots$ ”: Równe muszą być sumy numerów ( $3 + 8 = 5 + 6$ ), nie iloczyny.

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Czy ciąg

3, -6, 12, -24

jest monotoniczny?

Nie: $q = -2 < 0$ .

2 Ile wynosi

a_3

, jeśli

a_2 = 4

a_4 = 9

, a wyrazy są dodatnie?

$6$ .

3 Czy

(0, 0, 0)

jest ciągiem geometrycznym w sensie zadań maturalnych?

Nie: wyrazy muszą być niezerowe, żeby był określony iloraz.

4 Ile wynosi

S_n

dla

q = 1

$n a_1$ .

9 Karta wzorów i co dalej

Wzory

$a_n = a_1q^{n-1}$

$S_n = a_1\frac{1 - q^n}{1 - q}$

$b^2 = ac$

Własności

$a_ka_l = a_ma_n$ dla $k + l = m + n$

$q < 0$ : niemonotoniczny

Wzory na $a_n$ , $S_n$ i $a_n^2 = a_{n-1}a_{n+1}$ są w broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne”. Własności iloczynów $a_ka_l = a_ma_n$ broszura nie podaje.

Dalej: dla rozszerzenia granice ciągów i szereg geometryczny (lekcja 6.4 Granice ciągów i szereg geometryczny); model wykładniczy w lekcji 5.6 Funkcja wykładnicza i logarytmiczna.