6.4 Granice ciągów i szereg geometryczny · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Połowa, ćwiartka, ósemka…

Idziesz do ściany odległej o $2$ m: najpierw pokonujesz połowę ( $1$ m), potem połowę reszty ( $\tfrac12$ m), potem połowę tego, co zostało… Sumy częściowe $1$ , $1{,}5$ , $1{,}75$ , $1{,}875$ rosną, ale nigdy nie przekraczają $2$ i zbliżają się do $2$ dowolnie blisko. Mówimy, że suma nieskończonego ciągu $1 + \tfrac12 + \tfrac14 + \dots$ jest równa $2$ . To jest szereg geometryczny z $a_1 = 1$ i $q = \tfrac12$ ; wzór $\frac{a_1}{1 - q}$ daje właśnie $2$ .

1 Granica ilorazu wielomianów

Granica $\dfrac{W(n)}{Q(n)}$ przy $n \to \infty$

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $n$ z mianownika. Korzystasz z $\frac{c}{n^k} \to 0$ dla $k > 0$ .

stopień licznika $<$ stopnia mianownika: granica $0$ ;
stopnie równe: iloraz współczynników przy najwyższych potęgach;
stopień licznika $>$ stopnia mianownika: $\pm\infty$ (ciąg rozbieżny).

Przykład 1.1 Równe stopnie

Oblicz $\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{3n^2 - n}{2n^2 + 5}$ .

Dzielimy przez $n^2$ : $\dfrac{3 - \frac1n}{2 + \frac5{n^2}}$ .
$\frac1n \to 0$ , $\frac5{n^2} \to 0$ .

Wynik: $\tfrac32$ .

Zadania · część 1

2 zadania · ok. 4 min

Oblicz $\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{n + 1}{n^2 + 1}$ .

Odpowiedź
Stopień licznika mniejszy: $0$ .
Oblicz $\lim\limits_{n\to\infty} \left(\sqrt{n^2 + 4n} - n\right)$ .
Odpowiedź
1. Mnożymy i dzielimy przez $\sqrt{n^2 + 4n} + n$ : $\dfrac{4n}{\sqrt{n^2 + 4n} + n}$ .
2. Dzielimy przez $n$ : $\dfrac{4}{\sqrt{1 + \frac4n} + 1} \to 2$ .

2 Sumy i symbol Newtona w liczniku

Najpierw zamień na wielomian

$1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$ ; $\ 1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$ ; ogólnie suma ciągu arytmetycznego $\frac{a_1 + a_k}{2}\cdot k$ (policz liczbę składników $k$ !).
$\binom n2 = \dfrac{n(n - 1)}{2}$ , $\ \binom n3 = \dfrac{n(n - 1)(n - 2)}{6}$ , $\ \binom{n}{n-k} = \binom nk$ .

Przykład 2.1 Suma w liczniku

Oblicz $\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{1 + 3 + 5 + \dots + (2n + 1)}{n^2 + 1}$ .

Składników jest $n + 1$ (od $2 \cdot 0 + 1$ do $2n + 1$ ), suma $\frac{1 + (2n + 1)}{2}(n + 1) = (n + 1)^2$ .
$\dfrac{(n + 1)^2}{n^2 + 1} = \dfrac{n^2 + 2n + 1}{n^2 + 1} \to 1$ .

Wynik: $1$ .

Zadania · część 2

1 zadanie · ok. 3 min

Oblicz $\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{\binom n2}{n^2}$ .

Odpowiedź
$\dfrac{n(n - 1)}{2n^2} \to \tfrac12$ .

3 Twierdzenie o trzech ciągach

Twierdzenie o trzech ciągach

Jeśli $a_n \le b_n \le c_n$ dla prawie wszystkich $n$ oraz $\lim a_n = \lim c_n = g$ , to $\lim b_n = g$ .

Przykład 3.1 Pierwiastek z sumy potęg

Oblicz $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{2^n + 5^n}$ .

$5^n \le 2^n + 5^n \le 2 \cdot 5^n$ .
$5 \le \sqrt[n]{2^n + 5^n} \le \sqrt[n]2 \cdot 5$ , a $\sqrt[n]2 \to 1$ .

Wynik: $5$ (największa z podstaw).

4 Szereg geometryczny

Suma nieskończonego ciągu geometrycznego

a_1 + a_1q + a_1q^2 + \dots = \frac{a_1}{1 - q} \qquad \text{wtedy i tylko wtedy, gdy } |q| < 1.

Dla $|q| \ge 1$ (i $a_1 \ne 0$ ) suma nie istnieje. Warunek $|q| < 1$ obejmuje także ilorazy ujemne z przedziału $(-1,\,0)$ . „Podciągi” są znowu szeregami: kwadraty wyrazów mają iloraz $q^2$ , wyrazy o numerach parzystych też $q^2$ (z pierwszym wyrazem $a_1q$ ).

Przykład 4.1 Ułamek okresowy

Zapisz $0{,}(36)$ w postaci ułamka zwykłego.

$0{,}363636\ldots = 0{,}36 + 0{,}0036 + \dots$ : $a_1 = 0{,}36$ , $q = 0{,}01$ .
$\dfrac{0{,}36}{0{,}99} = \dfrac{36}{99}$ .

Wynik: $\tfrac{4}{11}$ .

Zadania · część 4

3 zadania · ok. 12 min

Oblicz $9 - 3 + 1 - \tfrac13 + \dots$

Odpowiedź
$q = -\tfrac13$ , $|q| < 1$ : $\dfrac{9}{1 + \frac13} = \tfrac{27}{4}$ .
Rozwiąż równanie $1 + x + x^2 + x^3 + \dots = 4$ .
Odpowiedź
1. Warunek $|x| < 1$ ; $\frac{1}{1 - x} = 4$ .
2. $x = \tfrac34$ ✓.
Suma szeregu geometrycznego jest równa $6$ , a suma kwadratów jego wyrazów $12$ . Wyznacz $a_1$ i $q$ .
Odpowiedź
1. $\dfrac{a_1}{1 - q} = 6$ , $\ \dfrac{a_1^2}{1 - q^2} = 12$ .
2. Dzielimy drugie przez kwadrat pierwszego: $\dfrac{1 - q}{1 + q} = \dfrac{12}{36} = \dfrac13$ , $q = \tfrac12$ .
3. $a_1 = 3$ .

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 25 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · granice

Zestawy A

Oblicz granicę przy $n \to \infty$ .
1. $\dfrac{4n + 1}{2n - 3}$
2. $\dfrac{1 - 2n^2}{n^2 + n}$
Odpowiedzi
a) $2$ b) $-2$
Zamień licznik na wielomian i oblicz granicę.
1. $\dfrac{1 + 2 + \dots + n}{n^2}$
2. $\sqrt[n]{3^n + 4^n}$
Odpowiedzi
a) $\tfrac12$ b) $4$

Poziom B · szeregi

Zestawy B

Oblicz sumę (albo stwierdź, że nie istnieje).
1. $12 + 4 + \tfrac43 + \dots$
2. $0{,}2(15)$ jako ułamek
Odpowiedzi
a) $18$ b) $\tfrac{71}{330}$

Poziom C · równania i parametry

Zestawy C

Rozwiąż albo wyznacz parametr.
1. $2 + 2x + 2x^2 + \dots = 3$
Odpowiedzi
a) $x = \tfrac13$

Pełny trening (25 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

W arkuszach rozszerzonych z lat 2024–2026 są tu zadania otwarte: granica ciągu za 2–4 punkty (dwa razy z symbolem Newtona albo sumą ciągu arytmetycznego w liczniku) i szereg geometryczny za 4–5 punktów. Według sprawozdań CKE zadanie z szeregiem w maju 2025 rozwiązało średnio 46% zdających, a granicę z symbolem Newtona w maju 2026 40%. W zasadach oceniania: liczenie sumy szeregu dla $|q| \ge 1$ daje co najwyżej 3 punkty, a liczba składników $n$ zamiast $n + 1$ przy konsekwentnym dokończeniu nadal daje 2 punkty. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

4 zadania · 11 pkt · ok. 35 min

(0–2 pkt) Oblicz granicę $\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{\binom{n+1}{2}}{3n^2 - 1}$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Symbol Newtona. $\binom{n+1}{2} = \dfrac{(n + 1)n}{2}$ .
2. Granica. $\dfrac{n^2 + n}{2(3n^2 - 1)} \to \dfrac{1}{6}$ .
1 pkt za zapis symbolu Newtona jako wielomianu. 2 pkt za granicę $\frac16$ .
(0–2 pkt) Wyznacz $p$ , dla którego $\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{(p + 1)n^2 + 3}{2n^2 - n} = 3$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Granica. $\dfrac{p + 1}{2}$ .
2. Równanie. $\frac{p + 1}{2} = 3$ , $p = 5$ .
1 pkt za granicę w zależności od $p$ . 2 pkt za $p = 5$ .
(0–4 pkt) Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest zbieżny. Wiadomo, że $a_1 + a_3 = 10$ oraz $a_1^2 + a_3^2 = 68$ . Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.
Rozwiązanie i punktacja
1. Iloczyn. $a_1a_3 = \frac{100 - 68}{2} = 16$ , więc $\{a_1,\,a_3\} = \{2,\,8\}$ .
2. Iloraz. $q^2 = \frac{a_3}{a_1}$ : $(a_1, a_3) = (2, 8)$ daje $q = \pm 2$ (szereg rozbieżny); $(8, 2)$ daje $q = \pm\frac12$ .
3. Sumy. $q = \frac12$ : $\dfrac{8}{1 - \frac12} = 16$ ; $\ q = -\frac12$ : $\dfrac{8}{1 + \frac12} = \dfrac{16}{3}$ .
1 pkt za $a_1a_3 = 16$ albo równanie z jedną niewiadomą. 2 pkt za pary $(2, 8)$ i $(8, 2)$ . 3 pkt za ilorazy i odrzucenie $|q| = 2$ . 4 pkt za sumy $16$ i $\frac{16}{3}$ .

Uwaga: pominięcie $q = -\frac12$ (przekonanie, że szereg zbiega tylko dla $q > 0$ ) daje co najwyżej 3 pkt.
(0–3 pkt) Rozwiąż równanie $1 + (x - 1) + (x - 1)^2 + (x - 1)^3 + \dots = 2x$ , w którym lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego.
Rozwiązanie i punktacja
1. Warunek. $|x - 1| < 1$ , czyli $x \in (0,\,2)$ .
2. Równanie. $\dfrac{1}{1 - (x - 1)} = \dfrac{1}{2 - x} = 2x$ , czyli $2x^2 - 4x + 1 = 0$ .
3. Rozwiązania. $x = 1 \mp \frac{\sqrt2}{2}$ ; oba należą do $(0,\,2)$ .
1 pkt za warunek zbieżności. 2 pkt za równanie $2x^2 - 4x + 1 = 0$ . 3 pkt za oba rozwiązania z weryfikacją warunku.

7 Najczęstsze błędy

„Szereg zbiega tylko dla $0 < q < 1$ .”: Zbiega dla $|q| < 1$ , także dla $q \in (-1,\,0)$ .
„ $1 + 3 + \dots + (2n + 1)$ ma $n$ składników.”: Ma $n + 1$ składników. Policz: $2k + 1$ dla $k = 0, 1, \dots, n$ .
„ $\frac{\infty}{\infty} = 1$ .”: To nie jest liczba. Podziel przez najwyższą potęgę i policz.
„Policzyłem $\frac{a_1}{1 - q}$ dla $q = 2$ : wyszło $-8$ .”: Dla $|q| \ge 1$ suma nie istnieje; wzór daje liczbę bez sensu.

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Ile wynosi

\lim \frac{5n^3 + 1}{2n^3 - n}

$\frac52$ .

2 Ile wynosi

\lim \frac{n^2}{n + 1}

$+\infty$ .

3 Jaka jest suma

4 + 2 + 1 + \frac12 + \dots

$8$ .

4 Dla jakich

q

istnieje suma szeregu geometrycznego z

a_1 \ne 0

$|q| < 1$ .

9 Karta wzorów i co dalej

Granice

dziel przez najwyższą potęgę mianownika

$\binom n2 = \frac{n(n - 1)}{2}$ , $\ 1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$

Szereg

$S = \frac{a_1}{1 - q}$ dla $|q| < 1$

kwadraty wyrazów: $\frac{a_1^2}{1 - q^2}$

Wzór na sumę szeregu geometrycznego jest w broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne”; technik obliczania granic broszura nie podaje.

Dalej: trygonometria (lekcja 7.1 Trygonometria kątów od 0° do 180°); granice funkcji w lekcji 13.1 Granice i ciągłość funkcji, własność Darboux.