13.1 Granice i ciągłość funkcji, własność Darboux

0 Do czego zbliżają się wartości

$\lim_{x \to x_0} f(x) = g$ znaczy: gdy $x$ zbliża się do $x_0$ (ale $x \ne x_0$ ), wartości $f(x)$ zbliżają się do $g$ . Sama wartość $f(x_0)$ nie ma znaczenia; funkcja może nawet nie być w $x_0$ określona. Funkcja jest ciągła w $x_0$ , gdy granica istnieje i jest równa $f(x_0)$ : wykres nie ma w tym miejscu dziury ani skoku. Formalnie granicę funkcji definiuje się przez ciągi (lekcja 6.4 Granice ciągów i szereg geometryczny): $g$ jest granicą, jeśli dla każdego ciągu $x_n \to x_0$ , $x_n \ne x_0$ , ciąg $f(x_n)$ dąży do $g$ .

1 Granica w punkcie: podstaw albo skróć

Dwa kroki

Wielomiany, funkcje wymierne, pierwiastki, wykładnicze, logarytmy i trygonometryczne są ciągłe w swoich dziedzinach. Jeśli $x_0$ należy do dziedziny, podstaw: granica to $f(x_0)$ .
Jeśli podstawienie daje $\frac00$ , licznik i mianownik mają wspólny czynnik $(x - x_0)$ . Rozłóż i skróć (wzory skróconego mnożenia, schemat Hornera, sprzężenie przy pierwiastkach), potem podstaw.

Przykład 1.1 Skracanie

Oblicz $\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ .

Podstawienie daje $\frac00$ . $\ \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2$ dla $x \ne 2$ .
$\lim_{x\to2}(x + 2) = 4$ .

Wynik: $4$ , chociaż $f(2)$ nie istnieje.

Przykład 1.2 Dwa wzory skróconego mnożenia

Oblicz $\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$ .

$\frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$ .
Podstawiamy $x = 1$ : $\frac32$ .

Wynik: $\frac32$ .

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 5 min

Oblicz $\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^2 - 9}{x - 3}$ .

Odpowiedź
$x + 3 \to 6$ .
Oblicz $\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{x^2 + 3x + 2}{x + 1}$ .

Odpowiedź
$\frac{(x+1)(x+2)}{x+1} = x + 2 \to 1$ .
Oblicz $\displaystyle\lim_{x\to4}\frac{\sqrt x - 2}{x - 4}$ .

Odpowiedź
$x - 4 = (\sqrt x - 2)(\sqrt x + 2)$ , więc wyrażenie to $\frac{1}{\sqrt x + 2} \to \frac14$ .

2 Granice jednostronne i nieskończone

Gdy mianownik dąży do zera, a licznik nie

$\lim_{x\to x_0^+}$ to granica przy $x$ zbliżającym się do $x_0$ z prawej ( $x > x_0$ ), $\lim_{x\to x_0^-}$ z lewej. Granica (obustronna) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy obie jednostronne istnieją i są równe.
Gdy licznik dąży do liczby różnej od zera, a mianownik do $0$ , wartość bezwzględna rośnie nieograniczenie: granica to $+\infty$ albo $-\infty$ . Znak ustal z tabelki znaków: znak licznika i znak mianownika tuż obok $x_0$ .

Przykład 2.1 Różne granice z dwóch stron

Oblicz granice jednostronne funkcji $f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ w punkcie $2$ .

Licznik $\to 3 > 0$ .
Dla $x \to 2^+$ : $x - 2 \to 0^+$ , iloraz $\to +\infty$ . Dla $x \to 2^-$ : $x - 2 \to 0^-$ , iloraz $\to -\infty$ .

Wynik: $+\infty$ i $-\infty$ ; granicy obustronnej nie ma. Prosta $x = 2$ jest asymptotą pionową.

Przykład 2.2 Skok

Zbadaj granicę funkcji $f(x) = \frac{|x|}{x}$ w punkcie $0$ .

Dla $x > 0$ : $f(x) = 1$ ; dla $x < 0$ : $f(x) = -1$ .

Wynik: granice jednostronne $1$ i $-1$ ; granica w $0$ nie istnieje.

Zadania · część 2

3 zadania · ok. 4 min

Oblicz $\displaystyle\lim_{x\to1^-}\frac{2}{x - 1}$ .

Odpowiedź
Mianownik $\to 0^-$ : $\ -\infty$ .
Czy istnieje $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{|x|}{x}$ ? Uzasadnij jednym zdaniem.

Odpowiedź
Nie: granice jednostronne są równe $1$ i $-1$ .
Oblicz $\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x - 3}{(x - 2)^2}$ .

Odpowiedź
Licznik $\to -1$ , mianownik $\to 0^+$ z obu stron: $\ -\infty$ (granica obustronna niewłaściwa).

3 Granice w nieskończoności

Funkcje wymierne: najwyższe potęgi

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ z mianownika, tak jak przy granicach ciągów. Wynik zależy od stopni:

stopień licznika mniejszy: granica $0$ ;
stopnie równe: iloraz współczynników przy najwyższych potęgach;
stopień licznika większy: $\pm\infty$ , znak z wyrazów najwyższego stopnia (uważaj na $x \to -\infty$ ).

Przykład 3.1 Trzy przypadki

Oblicz granice przy $x \to +\infty$ : a) $\frac{2x^2 + 1}{x^2 - 3x}$ , b) $\frac{x + 1}{x^2 + 1}$ , c) $\frac{x^3}{x^2 + 1}$ .

a) $\frac{2 + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac3x} \to 2$ .
b) $\frac{\frac1x + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} \to 0$ .
c) $\frac{x}{1 + \frac{1}{x^2}} \to +\infty$ .

Wynik: $2$ , $0$ , $+\infty$ .

Zadania · część 3

3 zadania · ok. 3 min

Oblicz $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^3 - x}{1 - 2x^3}$ .

Odpowiedź
$\frac{3}{-2} = -\frac32$ .
Oblicz $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2 + 1}{x - 1}$ .

Odpowiedź
$\frac{x + \frac1x}{1 - \frac1x}$ , a $x \to -\infty$ : $\ -\infty$ .
Oblicz $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{5x + 2}{x^2 + 1}$ .

Odpowiedź
$0$ .

4 Ciągłość i funkcje sklejane

Ciągłość w punkcie

$f$ ciągła w $x_0 \iff \lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0^+}f(x) = f(x_0)$ .

Typowe zadanie: funkcja sklejona z dwóch wzorów z parametrem. Każdy wzór jest ciągły na swoim przedziale, więc jedyny podejrzany punkt to punkt sklejenia. Oblicz obie granice jednostronne i wartość w tym punkcie, przyrównaj.

Przykład 4.1 Parametr w sklejeniu

Dla jakiego $a$ funkcja $f(x) = \begin{cases} x^2 + a & \text{dla } x < 1\\ 2x + 3 & \text{dla } x \ge 1\end{cases}$ jest ciągła?

$\lim_{x\to1^-}f(x) = 1 + a$ ; $\ \lim_{x\to1^+}f(x) = f(1) = 5$ .
$1 + a = 5$ .

Wynik: $a = 4$ .

Przykład 4.2 Dziura do zaklejenia

Dla jakiego $m$ funkcja $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ dla $x \ne 3$ i $f(3) = m$ jest ciągła?

$\lim_{x\to3}f(x) = \lim_{x\to3}(x + 3) = 6$ .

Wynik: $m = 6$ .

Zadania · część 4

2 zadania · ok. 3 min

Dla jakiego $a$ funkcja $f(x) = ax + 1$ dla $x \le 2$ i $f(x) = x^2 - 1$ dla $x > 2$ jest ciągła?

Odpowiedź
$2a + 1 = 3$ , $\ a = 1$ .
Dla jakiego $m$ funkcja $f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ dla $x \ne 2$ , $f(2) = m$ , jest ciągła?

Odpowiedź
$\frac{(x-2)(x+1)}{x-2} = x + 1 \to 3$ : $\ m = 3$ .

5 Własność Darboux

Twierdzenie

Jeśli funkcja $f$ jest ciągła na przedziale domkniętym $[a, b]$ , to przyjmuje każdą wartość pośrednią między $f(a)$ i $f(b)$ . W szczególności: jeśli $f(a)$ i $f(b)$ mają przeciwne znaki, to istnieje $x_0 \in (a, b)$ , dla którego $f(x_0) = 0$ .

Zapis dowodu w trzech krokach (tak punktuje klucz):

oblicz $f(a)$ i $f(b)$ ;
zapisz, że mają przeciwne znaki, i uzasadnij ciągłość („ $f$ jest wielomianem”, „ $f$ jest sumą funkcji ciągłych na $[a, b]$ ”);
powołaj się na własność Darboux i zapisz wniosek.

Przykład 5.1 Pełny zapis dowodu

Wykaż, że równanie $x^3 + x - 1 = 0$ ma rozwiązanie w przedziale $(0, 1)$ .

Niech $f(x) = x^3 + x - 1$ . $\ f(0) = -1$ , $\ f(1) = 1$ .
$f(0) < 0 < f(1)$ . Funkcja $f$ jest wielomianem, więc jest ciągła na $[0, 1]$ .
Z własności Darboux istnieje $x_0 \in (0, 1)$ , dla którego $f(x_0) = 0$ , czyli równanie ma rozwiązanie w $(0, 1)$ . $\ \blacksquare$

Przykład 5.2 Przybliżanie pierwiastka: bisekcja

Znajdź przedział długości $\frac18$ zawierający pierwiastek równania z przykładu 5.1.

$f(0{,}5) = -\frac38 < 0$ : pierwiastek w $(0{,}5;\ 1)$ .
$f(0{,}75) = \frac{11}{64} > 0$ : pierwiastek w $(0{,}5;\ 0{,}75)$ .
$f(0{,}625) = -\frac{67}{512} < 0$ : pierwiastek w $(0{,}625;\ 0{,}75)$ .

Wynik: $x_0 \in (0{,}625;\ 0{,}75)$ ; dokładniej $x_0 \approx 0{,}682$ . Każdy krok połowi przedział.

Przykład 5.3 Dwa pierwiastki

Wykaż, że równanie $x^4 - 4x + 1 = 0$ ma co najmniej dwa rozwiązania.

$f(x) = x^4 - 4x + 1$ : $\ f(0) = 1$ , $\ f(1) = -2$ , $\ f(2) = 9$ .
$f$ jest wielomianem, więc jest ciągła na $[0, 1]$ i na $[1, 2]$ ; na każdym z tych przedziałów zmienia znak.
Z własności Darboux istnieje pierwiastek w $(0, 1)$ i pierwiastek w $(1, 2)$ . Przedziały są rozłączne, więc są to dwa różne rozwiązania. $\ \blacksquare$

Zadania · część 5

3 zadania · ok. 8 min

Wykaż, że równanie $x^3 - 3x + 1 = 0$ ma rozwiązanie w przedziale $(0, 1)$ .

Odpowiedź
$f(0) = 1 > 0$ , $f(1) = -1 < 0$ ; $f$ jest wielomianem, więc ciągła na $[0, 1]$ ; z własności Darboux istnieje $x_0 \in (0, 1)$ z $f(x_0) = 0$ .
Wykaż, że równanie $x^5 + x = 1$ ma rozwiązanie w przedziale $\left(\frac12, 1\right)$ .

Odpowiedź
$f(x) = x^5 + x - 1$ : $\ f\!\left(\frac12\right) = \frac{1}{32} + \frac12 - 1 = -\frac{15}{32} < 0$ , $\ f(1) = 1 > 0$ ; wielomian, więc ciągła; Darboux.
Wykaż, że równanie $x^3 - 4x + 1 = 0$ ma dokładnie trzy rozwiązania.

Odpowiedź
$f(-3) = -14$ , $f(-2) = 1$ , $f(0) = 1$ , $f(1) = -2$ , $f(2) = 1$ : zmiany znaku na $(-3, -2)$ , $(0, 1)$ , $(1, 2)$ ; ciągłość wielomianu i Darboux dają trzy różne pierwiastki. Wielomian stopnia $3$ ma ich co najwyżej trzy, więc dokładnie trzy.

6 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 18 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · granice z 0/0

Zestawy A

Oblicz granicę.
1. $\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^2 - 1}{x - 1}$
2. $\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^3 - 1}{x - 1}$
Odpowiedzi
a) $2$ b) $x^2 + x + 1 \to 3$

Poziom B · jednostronne i w nieskończoności

Zestawy B

Oblicz granicę.
1. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2x + 1}{x - 3}$
Odpowiedzi
a) $2$

Poziom C · ciągłość z parametrem

Zestawy C

Wyznacz parametr, dla którego funkcja jest ciągła.
1. $x + a$ dla $x < 0$ , $\ x^2 + 2$ dla $x \ge 0$
Odpowiedzi
a) $a = 2$

Poziom D · wartości do dowodu z Darboux

Zestawy D

Oblicz wartości funkcji w podanych punktach i wskaż przedziały, w których na pewno jest miejsce zerowe.
1. $x^3 + 2x - 5$ w $1$ i $2$
Odpowiedzi
a) $-2$ i $7$ : pierwiastek w $(1, 2)$

Pełny trening (18 przykładów i zadań) →

7 Na maturze

Zadania z informatora CKE do tej lekcji to wyłącznie dowody za 3 punkty z własności Darboux, a w arkuszach 2024 – sierpień 2026 nie było żadnego zadania z tego zakresu. Klucz: 1 punkt za wartości na końcach przedziału, 2 punkty za przeciwne znaki i uzasadnienie ciągłości, 3 punkty za powołanie się na własność Darboux i wniosek. Brak zdania o ciągłości kosztuje punkt nawet przy bezbłędnym rachunku. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

3 zadania · 8 pkt · ok. 20 min

(0–3 pkt) Wykaż, że równanie $\log_2 x = 4 - x$ ma rozwiązanie w przedziale $(2, 3)$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Funkcja i wartości. $f(x) = \log_2 x + x - 4$ ; $\ f(2) = 1 + 2 - 4 = -1$ ; $\ f(3) = \log_2 3 - 1$ .
2. Znaki i ciągłość. $\log_2 3 > \log_2 2 = 1$ , więc $f(3) > 0 > f(2)$ . Funkcja $f$ jest sumą funkcji logarytmicznej i liniowej, ciągłych na $(0, +\infty)$ , więc jest ciągła na $[2, 3]$ .
3. Darboux. istnieje $x_0 \in (2, 3)$ , dla którego $f(x_0) = 0$ , czyli $\log_2 x_0 = 4 - x_0$ . $\ \blacksquare$
1 pkt za $f(2)$ i $f(3)$ . 2 pkt za uzasadnienie $f(3) > 0$ i ciągłości $f$ . 3 pkt za powołanie się na własność Darboux i wniosek.
(0–2 pkt) Oblicz granicę $\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Rozkład. $\frac{(x-2)(x^2 + 2x + 4)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2}$ dla $x \ne 2$ .
2. Granica. $\frac{12}{4} = 3$ .
1 pkt za skrócenie przez $x - 2$ . 2 pkt za wynik $3$ .
(0–3 pkt) Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \frac{x^2 + x - 6}{x - 2}$ dla $x < 2$ oraz $f(x) = mx + 1$ dla $x \ge 2$ . Wyznacz $m$ , dla którego $f$ jest ciągła w punkcie $2$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Granica lewostronna. $\frac{(x-2)(x+3)}{x-2} = x + 3 \to 5$ .
2. Prawa strona. $\lim_{x\to2^+}f(x) = f(2) = 2m + 1$ .
3. Warunek. $2m + 1 = 5$ , $\ m = 2$ .
1 pkt za granicę lewostronną $5$ . 2 pkt za równanie $2m + 1 = 5$ . 3 pkt za $m = 2$ .

8 Najczęstsze błędy

„ $f(0) < 0 < f(1)$ , więc jest pierwiastek.”: Tylko dla funkcji ciągłej. $\frac1x$ ma $f(-1) < 0 < f(1)$ i nie ma miejsca zerowego. Zdanie o ciągłości jest obowiązkowe.
„ $\frac00 = 1$ ” albo „ $\frac00$ = granica nie istnieje”.: $\frac00$ to sygnał do skracania, nie wynik.
„ $\frac{3}{0} = \infty$ .”: Znak zależy od strony: $\frac{3}{0^+} \to +\infty$ , $\frac{3}{0^-} \to -\infty$ . Granica obustronna może nie istnieć.
„Dwa przedziały ze zmianą znaku, więc dokładnie dwa pierwiastki.”: Darboux daje „co najmniej”. „Dokładnie” wymaga osobnego argumentu (stopień wielomianu, monotoniczność).

9 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Czy granica funkcji w

x_0

zależy od

f(x_0)

Nie. Liczą się tylko wartości dla $x \ne x_0$ blisko $x_0$ .

2 Ile wynosi

\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^2 - 1}{2x^2 + x}

$2$ .

3 Jakie trzy elementy musi mieć dowód z własności Darboux?

Wartości na końcach o przeciwnych znakach, uzasadnienie ciągłości, powołanie się na twierdzenie i wniosek.

4 Czy funkcja ciągła na

[a, b]

f(a) > 0

f(b) > 0

może mieć miejsce zerowe w

(a, b)

Tak (np. $x^2 - \frac14$ na $[-1, 1]$ ). Darboux daje warunek wystarczający, nie konieczny.

10 Karta wzorów i co dalej

Granice

w dziedzinie: podstaw; $\frac00$ : rozłóż i skróć

$\frac{c}{0^\pm}$ , $c \ne 0$ : $\pm\infty$ ze znaków

$x \to \pm\infty$ : porównaj stopnie

Ciągłość i Darboux

ciągła: $\lim^- = \lim^+ = f(x_0)$

dowód: wartości, znaki + ciągłość, Darboux

„co najmniej $k$ ”: $k$ rozłącznych przedziałów

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” nie ma działu o granicach i ciągłości funkcji ani własności Darboux; są tylko granice ciągów w dziale o ciągach. Twierdzenie i schemat dowodu trzeba znać.

Dalej: pochodna funkcji (lekcja 13.2 Pochodna: definicja, interpretacja i obliczanie), której definicja jest granicą ilorazu różnicowego.