13.2 Pochodna: definicja, interpretacja i obliczanie

0 Nachylenie stycznej, prędkość chwilowa

Sieczna przez dwa punkty wykresu, $(x_0, f(x_0))$ i $(x_0 + h, f(x_0 + h))$ , ma współczynnik kierunkowy $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ . Gdy $h \to 0$ , sieczna obraca się wokół punktu $(x_0, f(x_0))$ i w granicy staje się styczną. Granica tego ilorazu to pochodna $f'(x_0)$ : współczynnik kierunkowy stycznej (interpretacja geometryczna). Jeśli $f(t)$ to droga przebyta do chwili $t$ , ten sam iloraz to prędkość średnia na odcinku czasu długości $h$ , a jego granica to prędkość chwilowa (interpretacja fizyczna).

1 Definicja: granica ilorazu różnicowego

Definicja

$\displaystyle f'(x_0) = \lim_{h\to0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

o ile ta granica istnieje i jest skończona. W rachunku z definicji licznik zawsze ma czynnik $h$ , który się skraca: to granica typu $\frac00$ z lekcji 13.1 Granice i ciągłość funkcji, własność Darboux.

Przykład 1.1 $x^2$ w punkcie $3$

Korzystając z definicji, oblicz $f'(3)$ dla $f(x) = x^2$ .

$f(3 + h) - f(3) = 9 + 6h + h^2 - 9 = 6h + h^2$ .
$\frac{6h + h^2}{h} = 6 + h \to 6$ .

Wynik: $f'(3) = 6$ , zgodnie ze wzorem $(x^2)' = 2x$ .

Przykład 1.2 $\frac1x$ w punkcie $2$

Korzystając z definicji, oblicz $f'(2)$ dla $f(x) = \frac1x$ .

$\frac{1}{2 + h} - \frac12 = \frac{2 - (2 + h)}{2(2 + h)} = \frac{-h}{2(2 + h)}$ .
Po podzieleniu przez $h$ : $\frac{-1}{2(2 + h)} \to -\frac14$ .

Wynik: $-\frac14$ , zgodnie ze wzorem $\left(\frac1x\right)' = -\frac{1}{x^2}$ .

Zadania · część 1

2 zadania · ok. 4 min

Korzystając z definicji, oblicz $f'(1)$ dla $f(x) = 2x^2$ .

Odpowiedź
$\frac{2(1 + h)^2 - 2}{h} = \frac{4h + 2h^2}{h} = 4 + 2h \to 4$ .
Korzystając z definicji, oblicz $f'(2)$ dla $f(x) = x^3$ .

Odpowiedź
$(2 + h)^3 - 8 = 12h + 6h^2 + h^3$ ; po podzieleniu przez $h$ : $12 + 6h + h^2 \to 12$ .

2 Wzory: potęgi, suma, iloczyn, iloraz, złożenie

Wzory (w broszurze CKE)

$(x^r)' = r\,x^{r-1}$ dla każdego rzeczywistego $r$ ; w szczególności $(\sqrt x)' = \frac{1}{2\sqrt x}$ , $\ \left(\frac1x\right)' = -\frac{1}{x^2}$ .
$(c\cdot f)' = c\cdot f'$ , $\ (f \pm g)' = f' \pm g'$ .
$(f\cdot g)' = f'g + fg'$ .
$\left(\frac fg\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ : w liczniku najpierw pochodna licznika, minus, mianownik do kwadratu.
$\big(g(f(x))\big)' = g'(f(x))\cdot f'(x)$ : pochodna „zewnętrznej” razy pochodna „wewnętrznej”.

Zanim zaczniesz różniczkować, uprość: pierwiastki i ułamki zamień na potęgi ( $\frac{5}{x} = 5x^{-1}$ , $\ x\sqrt x = x^{3/2}$ ), wymnóż krótkie iloczyny. W ilorazie nie wymnażaj mianownika $g^2$ : jego znak jest od razu widoczny, co przyda się przy monotoniczności.

Przykład 2.1 Potęgi

Oblicz pochodną $f(x) = 3x^4 - 2\sqrt x + \frac5x$ .

$f(x) = 3x^4 - 2x^{1/2} + 5x^{-1}$ .
$f'(x) = 12x^3 - x^{-1/2} - 5x^{-2}$ .

Wynik: $f'(x) = 12x^3 - \frac{1}{\sqrt x} - \frac{5}{x^2}$ .

Przykład 2.2 Iloraz

Oblicz pochodną $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$ .

$f' = \frac{2x\cdot(x - 1) - (x^2 + 1)\cdot1}{(x - 1)^2}$ .
Licznik: $2x^2 - 2x - x^2 - 1 = x^2 - 2x - 1$ .

Wynik: $f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}$ , $\ x \ne 1$ .

Przykład 2.3 Złożenie

Oblicz pochodne: a) $(2x + 1)^5$ , b) $\sqrt{x^2 + 9}$ .

a) $5(2x + 1)^4\cdot2 = 10(2x + 1)^4$ .
b) $\frac{1}{2\sqrt{x^2 + 9}}\cdot2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$ .

Wynik: czynniki $2$ i $2x$ to pochodne funkcji wewnętrznych; bez nich wynik jest błędny.

Zadania · część 2

5 zadań · ok. 8 min

Oblicz pochodną $x^3 - 4x + 7$ .

Odpowiedź
$3x^2 - 4$ .
Oblicz pochodną $\sqrt x + \frac{1}{x^2}$ .

Odpowiedź
$\frac{1}{2\sqrt x} - \frac{2}{x^3}$ .
Oblicz pochodną $\frac{x^2 - 3}{x + 2}$ .

Odpowiedź
$\frac{2x(x + 2) - (x^2 - 3)}{(x + 2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2}$ .
Oblicz pochodną $(3x - 1)^4$ .

Odpowiedź
$4(3x - 1)^3\cdot3 = 12(3x - 1)^3$ .
Oblicz pochodną $x\sqrt x$ .

Odpowiedź
$x^{3/2}$ , więc $\frac32x^{1/2} = \frac32\sqrt x$ .

3 Styczna i zadania z parametrem

Równanie stycznej (w broszurze CKE)

$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$

Dany punkt styczności $x_0$ : policz $f(x_0)$ i $f'(x_0)$ , podstaw.
Dany kierunek („styczna równoległa do $y = 4x - 1$ ”): rozwiąż $f'(x_0) = 4$ .
Dany punkt poza wykresem, przez który styczna przechodzi: zapisz styczną w punkcie $x_0$ z niewiadomym $x_0$ , podstaw współrzędne punktu, rozwiąż równanie z $x_0$ .

Przykład 3.1 Styczna w punkcie

Wyznacz równanie stycznej do wykresu $f(x) = x^3 - 2x$ w punkcie o odciętej $1$ .

$f(1) = -1$ ; $\ f'(x) = 3x^2 - 2$ , $\ f'(1) = 1$ .
$y = 1\cdot(x - 1) - 1$ .

Wynik: $y = x - 2$ .

Przykład 3.2 Styczna o danym kierunku

Wyznacz równanie stycznej do wykresu $f(x) = x^2 + x$ równoległej do prostej $y = 4x - 1$ .

$f'(x_0) = 2x_0 + 1 = 4$ , $\ x_0 = \frac32$ ; $\ f\!\left(\frac32\right) = \frac94 + \frac32 = \frac{15}{4}$ .
$y = 4\left(x - \frac32\right) + \frac{15}{4}$ .

Wynik: $y = 4x - \frac94$ .

Przykład 3.3 Parametr z warunku na pochodną

Funkcja $f(x) = \frac{x^2 + a}{x + 1}$ spełnia $f'(1) = \frac12$ . Wyznacz $a$ .

$f'(x) = \frac{2x(x + 1) - (x^2 + a)}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - a}{(x + 1)^2}$ .
$f'(1) = \frac{3 - a}{4} = \frac12$ .

Wynik: $a = 1$ .

Zadania · część 3

3 zadania · ok. 6 min

Wyznacz równanie stycznej do wykresu $f(x) = x^2 - 3x$ w punkcie o odciętej $2$ .

Odpowiedź
$f(2) = -2$ , $f'(2) = 1$ : $\ y = x - 4$ .
Wyznacz równanie stycznej do wykresu $f(x) = \frac1x$ w punkcie o odciętej $\frac12$ .

Odpowiedź
$f\!\left(\frac12\right) = 2$ , $\ f'\!\left(\frac12\right) = -4$ : $\ y = -4x + 4$ .
Wyznacz punkty wykresu $f(x) = x^3$ , w których styczna jest równoległa do prostej $y = 12x$ .

Odpowiedź
$3x^2 = 12$ , $\ x = \pm2$ : punkty $(2, 8)$ i $(-2, -8)$ .

4 Pochodna jako prędkość

Jeśli $s(t)$ to położenie ciała poruszającego się po prostej w chwili $t$ , to $v(t) = s'(t)$ jest prędkością chwilową. Jednostki: metry na sekundę, gdy $s$ jest w metrach, a $t$ w sekundach. Prędkość ujemna oznacza ruch w przeciwną stronę.

Przykład 4.1 Prędkość w chwili $t = 2$

Ciało porusza się po prostej, a jego położenie w chwili $t$ (w sekundach) to $s(t) = 2t^3 - 3t^2 + 4t$ (w metrach). Oblicz prędkość w chwili $t = 2$ .

$v(t) = 6t^2 - 6t + 4$ .
$v(2) = 24 - 12 + 4$ .

Wynik: $16\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$ .

Zadania · część 4

1 zadanie · ok. 1 min

$s(t) = t^2 + 3t$ (metry, sekundy). Oblicz prędkość w chwili $t = 4$ .

Odpowiedź
$v = 2t + 3$ , $\ v(4) = 11\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$ .

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 21 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · potęgi i suma

Zestawy A

Oblicz pochodną.
1. $5x^3$
2. $x^2\sqrt[3]{x}$
Odpowiedzi
a) $15x^2$ b) $x^{7/3}$ : $\ \frac73x^{4/3}$

Poziom B · iloczyn, iloraz, złożenie

Zestawy B

Oblicz pochodną.
1. $x^2(x - 1)$
2. $\frac{1}{x^2 + 4}$
Odpowiedzi
a) $3x^2 - 2x$ b) $-\frac{2x}{(x^2 + 4)^2}$

Poziom C · styczna

Zestawy C

Wyznacz.
1. styczna do $x^2$ w $x_0 = 1$
Odpowiedzi
a) $y = 2x - 1$

Poziom D · definicja i prędkość

Zestawy D

Oblicz.
1. $f'(5)$ z definicji dla $f(x) = x^2$
Odpowiedzi
a) $\frac{10h + h^2}{h} \to 10$

Pełny trening (21 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

Zadania z pochodną spoza optymalizacji w arkuszach 2025–2026: wyznaczenie parametru z warunku na pochodną ilorazu (3 punkty) i wielomian z warunkiem na styczną (4 punkty). Klucz: 1 punkt za pochodną, 2 punkty za równanie z jedną niewiadomą, 3 punkty za wynik; przy stycznej osobny punkt za jej współczynnik kierunkowy. Informator ma też zadanie z położeniem $x(t)$ i prędkością jako pochodną. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

3 zadania · 10 pkt · ok. 25 min

(0–3 pkt) Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \frac{2x + a}{x^2 + 1}$ dla $x \in \mathbb R$ . Wyznacz $a$ , dla którego $f'(1) = -3$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Pochodna. $f'(x) = \frac{2(x^2 + 1) - (2x + a)\cdot2x}{(x^2 + 1)^2}$ .
2. Równanie. $f'(1) = \frac{4 - 2(2 + a)}{4} = -\frac a2 = -3$ .
3. Wynik. $a = 6$ .
1 pkt za pochodną (wzór na pochodną ilorazu). 2 pkt za równanie $-\frac a2 = -3$ . 3 pkt za $a = 6$ .
(0–4 pkt) Wyznacz równania wszystkich stycznych do wykresu funkcji $f(x) = x^2 - 2x + 3$ , które przechodzą przez punkt $P = (1, -2)$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Styczna w x₀. $f'(x) = 2x - 2$ ; $\ y = (2x_0 - 2)(x - x_0) + x_0^2 - 2x_0 + 3$ .
2. Warunek P. $-2 = (2x_0 - 2)(1 - x_0) + x_0^2 - 2x_0 + 3 = -(x_0 - 1)^2 + 2$ .
3. Punkty styczności. $(x_0 - 1)^2 = 4$ : $\ x_0 = 3$ albo $x_0 = -1$ .
4. Styczne. $x_0 = 3$ : $f(3) = 6$ , $f'(3) = 4$ , $\ y = 4x - 6$ . $\ x_0 = -1$ : $f(-1) = 6$ , $f'(-1) = -4$ , $\ y = -4x + 2$ .
1 pkt za równanie stycznej w punkcie $x_0$ . 2 pkt za równanie z warunku przejścia przez $P$ . 3 pkt za $x_0 = 3$ i $x_0 = -1$ . 4 pkt za oba równania stycznych.
(0–3 pkt) Ciało porusza się po prostej, a jego położenie w chwili $t \in [0, 5]$ (w sekundach) jest równe $s(t) = -t^3 + 6t^2 + 15t$ (w metrach). Oblicz prędkość ciała w chwili $t = 1$ oraz wyznacz chwilę, w której prędkość jest największa, i tę prędkość.
Rozwiązanie i punktacja
1. Prędkość. $v(t) = s'(t) = -3t^2 + 12t + 15$ .
2. t = 1. $v(1) = 24\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$ .
3. Maksimum. $v$ to funkcja kwadratowa o ujemnym współczynniku przy $t^2$ ; wierzchołek $t = \frac{-12}{-6} = 2 \in [0, 5]$ , $\ v(2) = 27\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$ .
1 pkt za $v(t)$ . 2 pkt za $v(1) = 24$ . 3 pkt za $t = 2$ i $v = 27$ .

7 Najczęstsze błędy

„ $\left(\frac fg\right)' = \frac{f'}{g'}$ ” albo „ $\frac{fg' - f'g}{g^2}$ ”.: Licznik zaczyna się od $f'g$ , potem minus $fg'$ . Odwrócona kolejność zmienia znak całego wyniku. Sprawdź się na $\frac{x}{1}$ : musi wyjść $1$ .
„ $\big((2x + 1)^5\big)' = 5(2x + 1)^4$ .”: Brakuje pochodnej funkcji wewnętrznej, czyli czynnika $2$ .
„ $(fg)' = f'g'$ .”: $(fg)' = f'g + fg'$ . Kontrprzykład: $(x\cdot x)' = 2x$ , a $1\cdot1 = 1$ .
„Styczna: $y = f'(x)(x - x_0) + f(x_0)$ .”: Współczynnik kierunkowy to liczba $f'(x_0)$ , a nie funkcja $f'(x)$ . Styczna jest prostą.

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Co oznacza geometrycznie

f'(x_0) = 0

Styczna w punkcie $(x_0, f(x_0))$ jest pozioma.

2 Ile wynosi

f'(4)

dla

f(x) = \sqrt x

$\frac{1}{2\sqrt4} = \frac14$ .

3 Jak najszybciej zróżniczkować

\frac{3}{x^2}

Jako $3x^{-2}$ : $\ -6x^{-3} = -\frac{6}{x^3}$ . Wzór na iloraz jest tu zbędny.

4 Dlaczego w pochodnej ilorazu warto zostawić mianownik w postaci

g^2

Bo $g^2 > 0$ poza miejscami zerowymi $g$ , więc znak pochodnej zależy tylko od licznika.

9 Karta wzorów i co dalej

Wzory

$(x^r)' = rx^{r-1}$

$(fg)' = f'g + fg'$ , $\ \left(\frac fg\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$

$\big(g(f(x))\big)' = g'(f(x))\,f'(x)$

Zastosowania

$f'(x_0)$ : nachylenie stycznej

styczna: $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$

$v(t) = s'(t)$

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” (dział 16) są wzory na pochodną sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej, tabela pochodnych (stała, funkcja liniowa i kwadratowa, $x^r$ , $\frac ax$ , $\sqrt x$ , $\sin x$ , $\cos x$ , $\operatorname{tg} x$ , $e^x$ ) oraz równanie stycznej. Definicji pochodnej przez granicę w broszurze nie ma.

Dalej: monotoniczność i ekstrema (lekcja 13.3 Monotoniczność i ekstrema funkcji).