13.4 Zadania optymalizacyjne z pochodną · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Od opisu do funkcji jednej zmiennej

Zadanie optymalizacyjne opisuje rodzinę obiektów (puszki o danej objętości, prostokąty wpisane w figurę, stożki opisane na kuli) i pyta, który z nich jest „najlepszy”. Rozwiązanie zawsze ma ten sam szkielet: wybierz jedną zmienną, wyraź przez nią badaną wielkość, wyznacz dziedzinę, a potem znajdź ekstremum tej funkcji jak w lekcji 13.3 Monotoniczność i ekstrema funkcji. Na poziomie podstawowym robiło się to samo z funkcją kwadratową i wierzchołkiem paraboli (lekcja 5.4 Funkcja kwadratowa w przedziale i zadania optymalizacyjne); pochodna pozwala zrobić to dla dowolnej funkcji.

1 Rytuał w sześciu krokach

Pełne rozwiązanie

Zmienna i dziedzina: co oznacza $x$ i z jakiego przedziału jest (wymiary dodatnie, punkt w danej ćwiartce).
Wzór funkcji $f(x)$ badanej wielkości (w wiązce zwykle podany w części pierwszej).
Pochodna $f'(x)$ , z licznikiem rozłożonym na czynniki.
Miejsca zerowe pochodnej w dziedzinie; odrzuć pozostałe z uzasadnieniem.
Uzasadnienie, że to wartość największa (najmniejsza): znak $f'$ i monotoniczność na lewo i na prawo, albo „jedyne ekstremum lokalne w przedziale, i to maksimum”.
Odpowiedź na pytanie z treści: nie tylko $x$ , ale to, o co pytano (wymiary, objętość, współrzędne punktu, równanie prostej).

Klucz CKE punktuje kroki 3–6: 1 punkt za pochodną, 2 za zera w dziedzinie, 3 za uzasadnienie, 4 za odpowiedź. Błąd rachunkowy po poprawnym wzorze na pochodną kosztuje mniej, jeśli pochodna wciąż ma dokładnie jedno zero w dziedzinie (można dostać 3 punkty), a więcej, jeśli nie (najwyżej 2).

Przykład 1.1 Puszka o najmniejszej powierzchni

Puszka w kształcie walca ma objętość $16\pi\ \text{cm}^3$ . Wyznacz promień i wysokość puszki, dla których jej pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.

Zmienna. $r > 0$ — promień podstawy. Z objętości $\pi r^2H = 16\pi$ : $\ H = \frac{16}{r^2}$ .
Funkcja. $P(r) = 2\pi r^2 + 2\pi rH = 2\pi r^2 + \frac{32\pi}{r}$ , $\ r \in (0, +\infty)$ .
Pochodna. $P'(r) = 4\pi r - \frac{32\pi}{r^2} = \frac{4\pi(r^3 - 8)}{r^2}$ .
Zera. $r^3 = 8$ , $\ r = 2$ .
Uzasadnienie. $P'(r) < 0$ dla $r \in (0, 2)$ i $P'(r) > 0$ dla $r > 2$ : $P$ maleje w $(0, 2]$ i rośnie w $[2, +\infty)$ , więc $P(2)$ jest wartością najmniejszą.
Odpowiedź. $r = 2$ cm, $\ H = 4$ cm (wysokość równa średnicy); $\ P = 24\pi\ \text{cm}^2$ .

Przykład 1.2 Prostokąt pod parabolą

Wierzchołki $A$ i $B$ prostokąta $ABCD$ leżą na osi $Ox$ , a $C$ i $D$ na paraboli $y = 12 - x^2$ nad osią $Ox$ . Wyznacz największe pole takiego prostokąta.

Zmienna. $C = (x, 12 - x^2)$ , $\ D = (-x, 12 - x^2)$ z symetrii, $\ x \in (0, 2\sqrt3)$ .
Funkcja. $P(x) = 2x(12 - x^2) = 24x - 2x^3$ .
Pochodna i zera. $P'(x) = 24 - 6x^2 = 6(2 - x)(2 + x)$ ; w dziedzinie tylko $x = 2$ .
Uzasadnienie. $P' > 0$ w $(0, 2)$ , $P' < 0$ w $(2, 2\sqrt3)$ : maksimum, a zarazem wartość największa.
Odpowiedź. $P_{\max} = P(2) = 32$ (prostokąt $4 \times 8$ ).

Zadania · część 1

2 zadania · ok. 10 min

Liczby $x$ i $y$ są dodatnie i $x + y = 12$ . Wyznacz największą wartość wyrażenia $x^2y$ .
Odpowiedź
1. $f(x) = x^2(12 - x)$ , $\ x \in (0, 12)$ .
2. $f'(x) = 24x - 3x^2 = 3x(8 - x)$ ; w dziedzinie $x = 8$ ; $f'$ zmienia znak z $+$ na $-$ .
3. $f(8) = 64\cdot4 = 256$ .
Prostopadłościenne pudełko bez pokrywy ma kwadratowe dno i objętość $32$ . Wyznacz wymiary pudełka o najmniejszym polu powierzchni.
Odpowiedź
1. Dno $a\times a$ , wysokość $\frac{32}{a^2}$ : $\ P(a) = a^2 + \frac{128}{a}$ , $\ a > 0$ .
2. $P'(a) = 2a - \frac{128}{a^2} = \frac{2(a^3 - 64)}{a^2}$ ; zero $a = 4$ , minimum.
3. Wymiary $4 \times 4 \times 2$ , $\ P = 48$ .

2 Część pierwsza: wyprowadzenie wzoru

Jak dojść do wzoru

Narysuj figurę (przekrój osiowy bryły, układ współrzędnych) i nazwij zmienną tak, jak w treści.
Znajdź więź, która usuwa drugą zmienną: dana objętość, dany obwód, punkt na krzywej, styczność, podobieństwo trójkątów, twierdzenie Pitagorasa.
Podstaw więź do wzoru na badaną wielkość i uprość do postaci z treści. W „wykaż, że” wzór końcowy jest dany, więc liczy się każdy krok przejścia.
Dziedzina wynika z geometrii: dodatnie długości, punkt w danej ćwiartce, warunek istnienia figury.

Przykład 2.1 Stożek opisany na kuli

Na kuli o promieniu $1$ opisujemy stożki. a) Wykaż, że objętość stożka o wysokości $h$ wyraża się wzorem $V(h) = \frac{\pi h^2}{3(h - 2)}$ dla $h > 2$ . b) Wyznacz najmniejszą objętość.

Przekrój osiowy. trójkąt równoramienny o wysokości $h$ i podstawie $2r$ , okrąg wpisany o promieniu $1$ ; środek okręgu leży na wysokości, w odległości $h - 1$ od wierzchołka.
Więź. sinus połowy kąta rozwarcia na dwa sposoby: $\frac{1}{h - 1} = \frac{r}{\sqrt{r^2 + h^2}}$ , więc $r^2(h - 1)^2 = r^2 + h^2$ , $\ r^2(h^2 - 2h) = h^2$ , $\ r^2 = \frac{h}{h - 2}$ .
Wzór. $V = \frac13\pi r^2h = \frac{\pi h^2}{3(h - 2)}$ ; stożek istnieje dla $h > 2$ (średnica kuli).
Pochodna. $V'(h) = \frac\pi3\cdot\frac{2h(h - 2) - h^2}{(h - 2)^2} = \frac\pi3\cdot\frac{h(h - 4)}{(h - 2)^2}$ .
Zera i znak. w $(2, +\infty)$ tylko $h = 4$ ; $V' < 0$ w $(2, 4)$ , $V' > 0$ dla $h > 4$ : minimum.
Odpowiedź. $V_{\min} = V(4) = \frac{16\pi}{6} = \frac{8\pi}{3}$ (wtedy $r = \sqrt2$ ).

Zadania · część 2

2 zadania · ok. 12 min

Z prostokątnego arkusza $8 \times 5$ wycinamy w rogach cztery kwadraty o boku $x$ i składamy otwarte pudełko. Wyznacz $x$ , dla którego objętość pudełka jest największa, i tę objętość.
Odpowiedź
1. $V(x) = x(8 - 2x)(5 - 2x)$ , $\ x \in \left(0, \frac52\right)$ .
2. $V'(x) = 12x^2 - 52x + 40 = 4(3x - 10)(x - 1)$ ; $\frac{10}{3}$ poza dziedziną, zostaje $x = 1$ (maksimum).
3. $V(1) = 1\cdot6\cdot3 = 18$ .
Wyznacz punkty paraboli $y = x^2$ leżące najbliżej punktu $(0, 2)$ i tę najmniejszą odległość.
Odpowiedź
1. Kwadrat odległości: $d^2(x) = x^2 + (x^2 - 2)^2 = x^4 - 3x^2 + 4$ .
2. $(d^2)' = 4x^3 - 6x = 2x(2x^2 - 3)$ : zera $0$ (maksimum lokalne, $d^2 = 4$ ) i $\pm\sqrt{\frac32}$ (minima).
3. $d^2 = \frac94 - \frac92 + 4 = \frac74$ , $\ d = \frac{\sqrt7}{2}$ ; punkty $\left(\pm\sqrt{\tfrac32}, \tfrac32\right)$ .

3 Skróty: kwadrat odległości, stałe czynniki

Co wolno uprościć

Odległość $d = \sqrt{\ldots}$ jest najmniejsza tam, gdzie najmniejszy jest $d^2$ (pierwiastek jest rosnący). Badaj $d^2$ : unikasz pochodnej pierwiastka.
Stały dodatni czynnik ( $\frac\pi3$ , $\frac12$ ) nie zmienia punktu, w którym jest ekstremum, ani znaku pochodnej. Można go wyłączyć przed nawias, ale w odpowiedzi wartość podaj z nim.
Jeśli badana funkcja okaże się kwadratowa, pochodna nie jest konieczna: wystarcza wierzchołek paraboli. Klucz przyjmuje każdą poprawną metodę.

Zadania · część 3

1 zadanie · ok. 8 min

Prosta przechodząca przez punkt $(1, 3)$ przecina dodatnie półosie układu w punktach $(a, 0)$ i $(0, b)$ . Wyznacz równanie tej prostej, dla której pole trójkąta odciętego z pierwszej ćwiartki jest najmniejsze.
Odpowiedź
1. Prosta $\frac xa + \frac yb = 1$ przez $(1, 3)$ : $\frac1a + \frac3b = 1$ , $\ b = \frac{3a}{a - 1}$ , $\ a > 1$ .
2. $P(a) = \frac{ab}{2} = \frac{3a^2}{2(a - 1)}$ ; $\ P'(a) = \frac32\cdot\frac{a(a - 2)}{(a - 1)^2}$ : minimum dla $a = 2$ .
3. $b = 6$ , $P = 6$ ; prosta $\frac x2 + \frac y6 = 1$ , czyli $y = -3x + 6$ .

4 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 10 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · wzór funkcji i dziedzina

Zestawy A

Zapisz badaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej i podaj dziedzinę.
1. pole prostokąta o obwodzie $20$ i boku $x$
Odpowiedzi
a) $P(x) = x(10 - x)$ , $\ x \in (0, 10)$

Poziom B · pochodna i optimum

Zestawy B

Dla funkcji z poziomu A wyznacz optimum.
1. $P(x) = x(10 - x)$ : największe pole
Odpowiedzi
a) $x = 5$ , $P = 25$

Poziom C · krótkie zadania

Zestawy C

Rozwiąż.
1. $x, y > 0$ , $x + 2y = 12$ : największe $xy$
Odpowiedzi
a) $y(12 - 2y)$ : $\ y = 3$ , $x = 6$ , $\ 18$

Pełny trening (10 przykładów i zadań) →

5 Na maturze

Wiązka optymalizacyjna jest w każdej sesji rozszerzonej jako ostatnie zadanie. Przykłady z lat 2025–2026: pole kwietnika jako funkcja wymierna na przedziale $(4, 10]$ , objętość stożków $V(h)$ dla $h > 5$ , objętość wielomianowa $V(a)$ na przedziale otwartym, pole trójkąta odciętego przez prostą (z odpowiedzią w postaci równania prostej), punkt wykresu (z odpowiedzią w postaci współrzędnych). Brak dziedziny, brak uzasadnienia, że to wartość największa, albo odpowiedź „ $x = 4\sqrt3$ ” zamiast pola, o które pytano, kosztuje 1–2 punkty nawet przy dobrym rachunku. Sprawozdanie z 2025 roku wymienia pochodną ilorazu w optymalizacji wśród umiejętności opanowanych „stosunkowo łatwo”. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

2 zadania · 10 pkt · ok. 30 min

(0–6 pkt) Rozpatrujemy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości $2$ .

1. (0–2 pkt) Wykaż, że pole powierzchni całkowitej graniastosłupa o krawędzi podstawy $a$ wyraża się wzorem $P(a) = \frac{\sqrt3}{2}a^2 + \frac{8\sqrt3}{a}$ .

2. (0–4 pkt) Wyznacz długość krawędzi podstawy graniastosłupa o najmniejszym polu powierzchni całkowitej. Oblicz to pole.
Rozwiązanie i punktacja
1. 1. Wysokość. $\frac{\sqrt3}{4}a^2H = 2$ , $\ H = \frac{8}{\sqrt3\,a^2}$ .
2. 1. Pole. $P = 2\cdot\frac{\sqrt3}{4}a^2 + 3aH = \frac{\sqrt3}{2}a^2 + \frac{24}{\sqrt3\,a} = \frac{\sqrt3}{2}a^2 + \frac{8\sqrt3}{a}$ .
3. 2. Pochodna. $a > 0$ ; $\ P'(a) = \sqrt3\,a - \frac{8\sqrt3}{a^2} = \frac{\sqrt3(a^3 - 8)}{a^2}$ .
4. 2. Zero. $a = 2$ .
5. 2. Uzasadnienie. $P' < 0$ w $(0, 2)$ , $P' > 0$ w $(2, +\infty)$ : wartość najmniejsza w $a = 2$ .
6. 2. Odpowiedź. $a = 2$ , $\ P(2) = 2\sqrt3 + 4\sqrt3 = 6\sqrt3$ .
Część 1: 1 pkt za $H = \frac{8}{\sqrt3 a^2}$ , 2 pkt za doprowadzenie do wzoru. Część 2: 1 pkt za pochodną, 2 pkt za $a = 2$ jako jedyne zero w dziedzinie, 3 pkt za uzasadnienie minimum, 4 pkt za $a = 2$ i $P = 6\sqrt3$ .
(0–4 pkt) Punkt $P = (x_0, 3 - x_0^2)$ , gdzie $x_0 \in (0, \sqrt3)$ , leży na paraboli $y = 3 - x^2$ . Styczna do paraboli w punkcie $P$ tworzy z osiami układu trójkąt. Wyznacz $x_0$ , dla którego pole tego trójkąta jest najmniejsze, i to pole.
Rozwiązanie i punktacja
1. Styczna. $y = -2x_0(x - x_0) + 3 - x_0^2 = -2x_0x + x_0^2 + 3$ ; przecina osie w $(0, x_0^2 + 3)$ i $\left(\frac{x_0^2 + 3}{2x_0}, 0\right)$ .
2. Pole. $S(x_0) = \frac{(x_0^2 + 3)^2}{4x_0}$ , $\ x_0 \in (0, \sqrt3)$ .
3. Pochodna. $S'(x_0) = \frac{2(x_0^2 + 3)\cdot2x_0\cdot4x_0 - 4(x_0^2 + 3)^2}{16x_0^2} = \frac{(x_0^2 + 3)\cdot12(x_0^2 - 1)}{16x_0^2}$ .
4. Zero i znak. w dziedzinie $x_0 = 1$ ; $S' < 0$ w $(0, 1)$ , $S' > 0$ w $(1, \sqrt3)$ .
5. Odpowiedź. $x_0 = 1$ , punkt $P = (1, 2)$ , $\ S_{\min} = \frac{16}{4} = 4$ .
1 pkt za równanie stycznej i punkty przecięcia z osiami. 2 pkt za wzór $S(x_0)$ z dziedziną. 3 pkt za pochodną, zero $x_0 = 1$ i uzasadnienie minimum. 4 pkt za $x_0 = 1$ i $S = 4$ .

6 Najczęstsze błędy

„ $P'(x) = 0$ dla $x = 2$ , więc to minimum.”: Brak uzasadnienia kosztuje punkt. Dopisz znak pochodnej po obu stronach albo „jedyne ekstremum lokalne w przedziale, i jest to minimum”.
„Odpowiedź: $x = 2$ .”: Pytanie brzmiało: jakie pole, jakie wymiary, jaki punkt, jaka prosta. Odpowiedz na pytanie z treści.
„Zera pochodnej: $x = 1$ i $x = \frac{10}{3}$ .”: Sprawdź dziedzinę: $\frac{10}{3} > \frac52$ nie daje pudełka. Odrzucenie trzeba zapisać.
„Wykazałem wzór, bo podstawiłem $a = 1$ i się zgadza.”: Sprawdzenie na przykładzie nie jest dowodem. W części pierwszej trzeba wyprowadzić wzór dla dowolnego $a$ z dziedziny.

7 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Za które kroki rozwiązania klucz daje punkty w części drugiej wiązki?

Pochodna, zera w dziedzinie, uzasadnienie ekstremum, odpowiedź na pytanie.

2 Dlaczego odległość można zastąpić jej kwadratem?

Bo pierwiastek jest funkcją rosnącą: $d$ i $d^2$ mają minimum w tym samym punkcie.

3 Puszka o danej objętości i najmniejszej powierzchni: jaka jest zależność między

H

r

$H = 2r$ .

4 Kiedy wystarczy porównać wartości na końcach przedziału?

Na przedziale domkniętym, razem z punktami krytycznymi w środku. Na otwartym potrzebny jest argument z monotoniczności.

8 Karta wzorów i co dalej

Rytuał

zmienna + dziedzina, wzór $f$

$f'$ , zera w dziedzinie

znak $f'$ ⇒ ekstremum, odpowiedź na pytanie

Więzi i skróty

objętość, obwód, punkt na krzywej, styczność

odległość: badaj $d^2$

stały czynnik: wyłącz przed nawias

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” są wzory na pochodne i równanie stycznej (dział 16) oraz wzory na pola i objętości (działy 10 i 12), które dają więzi. Schematu rozwiązania zadania optymalizacyjnego w broszurze nie ma.

Dalej: arkusz próbny na poziomie rozszerzonym (lekcja 14.2 Arkusz próbny: poziom rozszerzony).