5.4 Funkcja kwadratowa w przedziale i zadania optymalizacyjne

0 40 metrów siatki

Masz 40 metrów siatki i chcesz ogrodzić prostokątny wybieg dla psa przy ścianie domu. Ściana zastępuje jeden bok, więc siatka idzie tylko wzdłuż trzech. Jakie wymiary dają największy wybieg?

Możesz próbować: $5 \times 30$ daje $150\ \text{m}^2$ , $10 \times 20$ daje $200\ \text{m}^2$ , $15 \times 10$ daje $150\ \text{m}^2$ . Wygląda na to, że $10 \times 20$ jest najlepsze, ale skąd pewność, że $9{,}5 \times 21$ nie daje więcej? Na maturze tabelka prób daje 0 punktów. Potrzebna jest funkcja: pole jako funkcja kwadratowa jednej zmiennej. Jej wierzchołek odpowiada na pytanie dokładnie. Wrócimy do tego wybiegu w części 3.

1 Wartość największa i najmniejsza w przedziale

Na całej osi funkcja kwadratowa ma tylko jedną wartość skrajną: w wierzchołku. Dla $a > 0$ jest to wartość najmniejsza, a największej nie ma, bo ramiona rosną bez końca. W przedziale domkniętym $[\alpha,\,\beta]$ jest inaczej: funkcja ma tam zawsze i wartość największą, i najmniejszą. Kandydatów jest najwyżej trzech.

Wartości skrajne funkcji kwadratowej w przedziale $[\alpha,\,\beta]$

Oblicz $p = -\dfrac{b}{2a}$ (albo odczytaj z postaci kanonicznej).
Jeśli $p \in [\alpha,\,\beta]$ : porównaj trzy liczby $f(\alpha)$ , $f(p)$ , $f(\beta)$ .
Jeśli $p \notin [\alpha,\,\beta]$ : funkcja jest w tym przedziale monotoniczna, więc porównaj tylko $f(\alpha)$ i $f(\beta)$ .

Skrót: gdy $p$ leży w przedziale, dla $a > 0$ najmniejsza wartość to $q = f(p)$ , a największa jest na końcu położonym dalej od osi symetrii $x = p$ . Dla $a < 0$ odwrotnie.

Przykład 1.1 Wierzchołek w przedziale

Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji $f(x) = x^2 - 4x + 1$ w przedziale $[0,\,5]$ .

$p = \frac{4}{2} = 2$ , a $2 \in [0,\,5]$ , więc wierzchołek się liczy.
$f(0) = 1$ , $f(2) = 4 - 8 + 1 = -3$ , $f(5) = 25 - 20 + 1 = 6$ .

Wynik: najmniejsza wartość $-3$ (dla $x = 2$ ), największa $6$ (dla $x = 5$ ).

Sprawdzenie skrótem: $a = 1 > 0$ , więc minimum w wierzchołku. Koniec $5$ jest dalej od osi $x = 2$ niż koniec $0$ (o $3$ , a nie o $2$ ), więc tam jest maksimum ✓.

Przykład 1.2 Wierzchołek poza przedziałem

Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji $f(x) = -2x^2 + 8x - 3$ w przedziale $[3,\,5]$ .

$p = -\frac{8}{2\cdot(-2)} = 2$ , a $2 \notin [3,\,5]$ . Wierzchołka nie liczymy, choć to w nim jest największa wartość na całej osi.
Ramiona w dół, a przedział leży na prawo od wierzchołka: funkcja w nim maleje. $f(3) = -18 + 24 - 3 = 3$ , $f(5) = -50 + 40 - 3 = -13$ .

Wynik: największa wartość $3$ (dla $x = 3$ ), najmniejsza $-13$ (dla $x = 5$ ).

Pułapka: $q = f(2) = 5$ jest większe od $3$ , ale $x = 2$ nie należy do przedziału. Kto poda $5$ , traci punkt.

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 10 min

Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji $f(x) = x^2 + 2x - 3$ w przedziale $[-3,\,1]$ .
Odpowiedź
1. $p = -1 \in [-3,\,1]$ .
2. $f(-1) = -4$
3. $f(-3) = 0$
4. $f(1) = 0$ .
5. Najmniejsza $-4$ , największa $0$ (na obu końcach: są tak samo daleko od osi).
Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ w przedziale $[0,\,2]$ .
Odpowiedź
1. $p = 3 \notin [0,\,2]$ : funkcja w tym przedziale rośnie.
2. $f(0) = -5$
3. $f(2) = -4 + 12 - 5 = 3$ .
4. Najmniejsza $-5$ , największa $3$ .
5. (Nie $q = 4$ : wierzchołek jest poza przedziałem.)
Dla $f(x) = 2(x - 1)^2 - 3$ w przedziale $[-2,\,3]$ ktoś pisze: „największa wartość jest dla $x = 3$ , bo to prawy koniec przedziału”. Sprawdź i popraw.
Odpowiedź
1. $p = 1$ , $f(1) = -3$ to najmniejsza wartość.
2. $f(-2) = 2\cdot 9 - 3 = 15$
3. $f(3) = 2\cdot 4 - 3 = 5$ .
4. Największa jest $15$ dla $x = -2$ : ten koniec leży dalej od osi $x = 1$ (o $3$ , a nie o $2$ ). „Prawy koniec” nie ma tu nic do rzeczy.

2 Funkcja kwadratowa w zastosowaniach

W zadaniach z kontekstem wzór zwykle jest podany. Trzeba tylko rozpoznać, o który element paraboli pyta treść, i odpowiedzieć w jednostkach zadania.

Słownik: pytanie → element paraboli

„kiedy najwyżej / przy jakiej cenie największy zysk” → $p$ (argument wierzchołka);

„jak wysoko / jaki największy zysk” → $q = f(p)$ (wartość w wierzchołku);

„kiedy spadnie / przy jakiej cenie przychód zero” → miejsce zerowe (to, które ma sens w zadaniu);

„z jakiej wysokości / jaki koszt stały” → $f(0) = c$ .

Przykład 2.1 Rzut piłki

Wysokość piłki (w metrach) po $t$ sekundach od wyrzutu opisuje wzór $h(t) = -5t^2 + 10t + 15$ . Z jakiej wysokości wyrzucono piłkę? Po jakim czasie i na jakiej wysokości była najwyżej? Kiedy spadła na ziemię?

Wysokość początkowa: $h(0) = 15$ m.
Wierzchołek: $p = -\frac{10}{2\cdot(-5)} = 1$ , $q = h(1) = -5 + 10 + 15 = 20$ . Najwyżej po $1$ s, na wysokości $20$ m.
Ziemia: $-5t^2 + 10t + 15 = 0$ , czyli $t^2 - 2t - 3 = 0$ , $(t - 3)(t + 1) = 0$ . Pierwiastek $t = -1$ nie ma sensu (czas przed wyrzutem), zostaje $t = 3$ s.

Wynik: start z $15$ m, najwyżej $20$ m po $1$ s, upadek po $3$ s.

Sprawdzenie: $h(3) = -45 + 30 + 15 = 0$ ✓. Wzór ma sens tylko dla $t \in [0,\,3]$ : po upadku piłka nie leci dalej pod ziemię.

Przykład 2.2 Cena biletu

Kino sprzedaje bilety po $20$ zł i ma $300$ widzów. Każda obniżka ceny o $1$ zł przyciąga $25$ widzów więcej. Przychód przy obniżce o $x$ zł opisuje wzór $P(x) = (20 - x)(300 + 25x)$ , gdzie $0 \le x \le 20$ . Przy jakiej cenie biletu przychód jest największy?

Wzór jest w postaci iloczynowej: miejsca zerowe $x = 20$ i $x = -12$ , ramiona w dół (przy $x^2$ stoi $-25$ ).
$p = \frac{20 + (-12)}{2} = 4$ , a $4 \in [0,\,20]$ .
Pytanie jest o cenę, nie o obniżkę: $20 - 4 = 16$ zł. Przychód $P(4) = 16\cdot 400 = 6400$ zł.

Wynik: cena $16$ zł (przychód $6400$ zł zamiast $6000$ zł przy cenie $20$ zł).

Pułapka: odpowiedź „ $x = 4$ ” nie odpowiada na pytanie. W zasadach oceniania CKE za takie zadanie samo $p$ daje 1 punkt z 2, a drugi punkt jest za cenę.

Zadania · część 2

3 zadania · ok. 10 min

Kamień wyrzucony pionowo w górę jest po $t$ sekundach na wysokości $h(t) = -5t^2 + 30t$ (w metrach). Na jaką największą wysokość się wzniósł i kiedy spadł?
Odpowiedź
1. $p = 3$
2. $h(3) = -45 + 90 = 45$ m.
3. $h(t) = -5t(t - 6) = 0$ dla $t = 6$ s (i $t = 0$ , czyli chwili wyrzutu).
Zysk firmy (w złotych) ze sprzedaży $x$ sztuk towaru dziennie opisuje wzór $Z(x) = -2x^2 + 120x - 1000$ . Ile sztuk trzeba sprzedać, żeby zysk był największy, i ile wtedy wynosi?
Odpowiedź
1. $p = -\frac{120}{-4} = 30$ sztuk
2. $Z(30) = -1800 + 3600 - 1000 = 800$ zł.
Suma dwóch liczb jest równa $14$ . Jakie to liczby, jeśli ich iloczyn jest największy możliwy?
Odpowiedź
1. Liczby $x$ i $14 - x$ , iloczyn $I(x) = x(14 - x)$ , miejsca zerowe $0$ i $14$ .
2. $p = 7$ .
3. Liczby $7$ i $7$ , iloczyn $49$ .

3 Zadanie optymalizacyjne krok po kroku

W zadaniu optymalizacyjnym wzoru nie ma: trzeba go ułożyć. Zawsze według tego samego przepisu, i właśnie za kolejne kroki tego przepisu są punkty.

Przepis na zadanie optymalizacyjne

Zmienna. Oznacz literą $x$ jedną wielkość (jeśli treść ją wskazuje, weź tę).
Związek. Z warunku zadania (suma długości, obwód, ilość materiału) wyraź pozostałe wielkości przez $x$ .
Funkcja. Zapisz badaną wielkość (pole, objętość, przychód) jako funkcję jednej zmiennej $x$ .
Dziedzina. Wszystkie długości muszą być dodatnie: stąd przedział dla $x$ .
Wierzchołek. Oblicz $p$ i sprawdź, czy $p$ należy do dziedziny.
Odpowiedź. Odpowiedz na pytanie z treści: wymiary, cena, wartość, a nie samo $p$ .

Typowa punktacja CKE w zadaniu za 4 punkty: 1 pkt za związek między wielkościami albo za zakres $x$ ; 2 pkt za wzór funkcji; 3 pkt za wzór i dziedzinę (albo wzór i $p$ ); 4 pkt za całość. Bez dziedziny najwyżej 3 punkty. Tabelka wartości bez funkcji: 0 punktów.

Przykład 3.1 Wybieg przy ścianie

Z $40$ m siatki ogradzamy prostokątny wybieg przy ścianie domu; ściana tworzy jeden bok i nie wymaga siatki. Wyznacz wymiary wybiegu o największym polu.

Zmienna: $x$ to długość każdego z dwóch boków prostopadłych do ściany.
Związek: na bok równoległy do ściany zostaje $40 - 2x$ .
Funkcja: $P(x) = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x$ .
Dziedzina: $x > 0$ i $40 - 2x > 0$ , czyli $x \in (0,\,20)$ .
Wierzchołek: miejsca zerowe $0$ i $20$ , więc $p = 10 \in (0,\,20)$ . Ramiona w dół, więc to maksimum.

Wynik: wybieg $10$ m $\times$ $20$ m (bok $20$ m przy ścianie), pole $200\ \text{m}^2$ .

Sprawdzenie: $10 + 20 + 10 = 40$ m siatki ✓. $P(9{,}5) = 9{,}5\cdot 21 = 199{,}5 < 200$ , zgodnie z wierzchołkiem.

Przykład 3.2 Prostopadłościan (typ za 4 punkty)

Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu jest równa $36$ . Jedna krawędź podstawy jest dwa razy dłuższa od drugiej. Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji opisującej pole powierzchni bocznej w zależności od krótszej krawędzi podstawy $x$ . Oblicz wymiary prostopadłościanu o największym polu powierzchni bocznej.

Zmienna: krawędzie podstawy $x$ i $2x$ , wysokość $h$ .
Związek: prostopadłościan ma po $4$ krawędzie każdej długości, więc $4(x + 2x + h) = 36$ , stąd $h = 9 - 3x$ .
Funkcja: pole boczne to obwód podstawy razy wysokość, $P(x) = 2(x + 2x)(9 - 3x) = 6x(9 - 3x) = -18x^2 + 54x$ .
Dziedzina: $x > 0$ i $h = 9 - 3x > 0$ , czyli $x \in (0,\,3)$ .
Wierzchołek: miejsca zerowe $0$ i $3$ , $p = \frac32 \in (0,\,3)$ , ramiona w dół.

Wynik: krawędzie $1{,}5$ , $3$ i $4{,}5$ ; największe pole boczne $P\left(\frac32\right) = 6\cdot\frac32\cdot\frac92 = 40{,}5$ .

Sprawdzenie: $4(1{,}5 + 3 + 4{,}5) = 4\cdot 9 = 36$ ✓. W zasadach oceniania podobnego zadania z 2025 roku założenie bez podstaw, że podstawa jest kwadratem, to inny model i co najwyżej 2 punkty.

Zadania · część 3

3 zadania · ok. 20 min

Różnica dwóch liczb jest równa $8$ . Wyznacz te liczby, jeśli ich iloczyn jest najmniejszy możliwy.
Odpowiedź
1. Liczby $x$ i $x - 8$ , iloczyn $I(x) = x(x - 8)$ , ramiona w górę.
2. $p = 4$ .
3. Liczby $4$ i $-4$ , iloczyn $-16$ .
4. (Dziedzina: wszystkie liczby rzeczywiste.)
Na bokach kwadratu $ABCD$ o boku $6$ wybrano punkty $E \in AB$ , $F \in BC$ , $G \in CD$ , $H \in DA$ tak, że $|AE| = |BF| = |CG| = |DH| = x$ . Wyznacz $x$ , dla którego pole czworokąta $EFGH$ jest najmniejsze, i oblicz to pole.

Wskazówka
Od pola kwadratu odejmij cztery jednakowe trójkąty prostokątne o przyprostokątnych $x$ i $6 - x$ .
Odpowiedź
1. $S(x) = 36 - 4\cdot\frac12 x(6 - x) = 2x^2 - 12x + 36$ , dziedzina $x \in (0,\,6)$ .
2. $p = 3$
3. $S(3) = 18$ .
4. Najmniejsze pole $18$ , gdy punkty są środkami boków.
W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $6$ i $8$ wpisano prostokąt tak, że dwa jego boki leżą na przyprostokątnych, a jeden wierzchołek na przeciwprostokątnej. Wyznacz wymiary prostokąta o największym polu.

Wskazówka
Ustaw trójkąt w układzie współrzędnych: wierzchołki $(0,\,0)$ , $(6,\,0)$ , $(0,\,8)$ . Przeciwprostokątna leży na prostej $y = 8 - \frac43 x$ .
Odpowiedź
1. Boki prostokąta: $x$ i $y = 8 - \frac43x$ (to samo daje podobieństwo trójkątów).
2. $P(x) = x\left(8 - \frac43x\right)$ , dziedzina $x \in (0,\,6)$ , miejsca zerowe $0$ i $6$ .
3. $p = 3$ .
4. Prostokąt $3 \times 4$ , pole $12$ , czyli połowa pola trójkąta.

4 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 36 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · wartości w przedziale

Zestawy A

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji w podanym przedziale.
1. $x^2 - 2x - 3$ , $[0,\,3]$
2. $x^2 + 4x + 1$ , $[0,\,2]$
Wskazówka
Najpierw $p$ . Jeśli leży w przedziale, porównaj trzy wartości: na końcach i w wierzchołku. Jeśli nie, tylko dwie na końcach.

Odpowiedzi
a) min $-4$ , max $0$ b) min $1$ , max $13$ ( $p = -2$ poza przedziałem)
Podaj argument, dla którego funkcja przyjmuje w przedziale największą wartość.
1. $(x - 4)^2 + 2$ , $[0,\,10]$
2. $-(x - 3)^2 + 1$ , $[5,\,9]$
Wskazówka
Dla $a > 0$ wygrywa koniec dalszy od osi symetrii. Dla $a < 0$ wierzchołek, jeśli jest w przedziale; jeśli nie, koniec bliższy wierzchołka.

Odpowiedzi
a) $x = 10$ b) $x = 5$

Poziom B · zastosowania i układanie funkcji

Zestawy B

Wzór jest podany. Odpowiedz: dla jakiego argumentu wartość jest największa i ile wynosi?
1. wysokość $h(t) = -5t^2 + 40t$ (m, $t$ w s)
2. przychód $P(x) = (10 + x)(200 - 5x)$ zł przy cenie $10 + x$ zł
Odpowiedzi
a) $t = 4$ s, $80$ m b) $x = 15$ , cena $25$ zł, $3125$ zł
Nie rozwiązuj do końca: zapisz funkcję jednej zmiennej i jej dziedzinę.
1. pole prostokąta o obwodzie $30$ , $x$ to jeden bok
2. pole boczne prostopadłościanu o podstawie kwadratowej o boku $x$ i sumie krawędzi $24$
Wskazówka
Z warunku wyraź drugą wielkość przez $x$ . Dziedzina: obie wielkości dodatnie (albo nieujemne, jeśli treść na to pozwala).

Odpowiedzi
a) $P(x) = x(15 - x)$ , $x \in (0,\,15)$ b) $h = 6 - 2x$ , $P(x) = 4x(6 - 2x)$ , $x \in (0,\,3)$

Poziom C · pełne zadanie optymalizacyjne

Zestawy C

Dokończ zadania z zestawu B: wyznacz wymiary (albo liczby), dla których wartość jest największa lub najmniejsza, i tę wartość.
1. prostokąt o obwodzie $30$ , największe pole
2. prostopadłościan o podstawie kwadratowej, suma krawędzi $24$ , największe pole boczne
Odpowiedzi
a) kwadrat $7{,}5 \times 7{,}5$ , pole $56{,}25$ b) $x = 1{,}5$ , $h = 3$ , pole $18$

Pełny trening (36 przykładów i zadań) →

5 Na maturze

W 7 z 8 arkuszy podstawowych pisanych według podstawy z 2024 roku (sesje 2025–2026 i dwie matury próbne) było zadanie optymalizacyjne. W ósmym (próbnym) było zadanie o wartościach w przedziale. Razem z odczytywaniem zastosowań ta lekcja daje średnio około 3,4 z 50 punktów na arkusz. Trzy warianty:

za 4 punkty: bryła (prostopadłościan, walec) z jednym warunkiem na sumę długości; polecenie „wyznacz wzór i dziedzinę funkcji… oblicz…, dla którego… jest największe”. W maju 2025 takie zadanie dało zdającym średnio 38% punktów;
za 3 punkty: figura płaska, dziedzina podana w treści; szukane bywa minimum;
za 1–2 punkty: wzór podany (przychód, rzut), trzeba wskazać $p$ albo $q$ i odpowiedzieć w jednostkach zadania.

Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza; punktacja jest wzorowana na zasadach oceniania CKE.

Zadania w stylu maturalnym

6 zadań · 12 pkt · ok. 25 min

(0–1 pkt) Najmniejsza wartość funkcji $f(x) = x^2 - 6x + 5$ w przedziale $[4,\,7]$ jest równa

A. $-4$ B. $-3$ C. $5$ D. $12$
Odpowiedź
B.
1. $p = 3 \notin [4,\,7]$ , funkcja w przedziale rośnie:
2. $f(4) = 16 - 24 + 5 = -3$ .
3. A to $q = f(3)$ , czyli wierzchołek spoza przedziału.
4. D to $f(7)$ , wartość największa.
(0–1 pkt) Funkcja $f(x) = (x - 2)^2 + 1$ przyjmuje w przedziale $[0,\,5]$ największą wartość dla argumentu

A. $0$ B. $2$ C. $5$ D. $10$
Odpowiedź
C.
1. Koniec $5$ jest dalej od osi $x = 2$ niż koniec $0$ :
2. $f(5) = 10$
3. $f(0) = 5$ .
4. D to wartość, a pytanie jest o argument.
5. B to argument wartości najmniejszej.
(0–1 pkt) Piłka po $t$ sekundach od wyrzutu jest na wysokości $h(t) = -5t^2 + 20t$ (w metrach). Największa wysokość, na jaką wzniosła się piłka, jest równa

A. $2$ mB. $4$ mC. $20$ mD. $40$ m
Odpowiedź
C.
1. $p = 2$ s
2. $h(2) = -20 + 40 = 20$ m.
3. A to chwila, a nie wysokość.
4. B to chwila upadku.
(0–2 pkt) Wypożyczalnia rowerów przy cenie $30$ zł za dzień wypożycza $120$ rowerów. Każda podwyżka ceny o $1$ zł zmniejsza liczbę wypożyczeń o $3$ . Przychód przy podwyżce o $x$ zł opisuje wzór $P(x) = (30 + x)(120 - 3x)$ , gdzie $x \in [0,\,40]$ . Oblicz cenę wypożyczenia, przy której przychód jest największy. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie i punktacja
1. Miejsca zerowe. $P(x) = (30 + x)(120 - 3x)$ zeruje się dla $x = -30$ i $x = 40$ ; ramiona w dół.
2. Wierzchołek. $p = \frac{-30 + 40}{2} = 5 \in [0,\,40].$
3. Odpowiedź. cena $30 + 5 = 35$ zł (przychód $35\cdot 105 = 3675$ zł).
1 pkt za $x = 5$ (np. z $p = \frac{x_1 + x_2}{2}$ albo z $p = -\frac{b}{2a}$ po wymnożeniu). 2 pkt za cenę $35$ zł.

Uwaga: odpowiedź „ $x = 5$ ” bez ceny: 1 pkt. Same liczby bez obliczeń: 1 pkt.
(0–3 pkt) Dany jest prostokąt $ABCD$ , w którym $|AB| = 8$ i $|BC| = 4$ . Na boku $AB$ wybrano punkt $E$ , a na boku $BC$ punkt $F$ tak, że $|AE| = |BF| = x$ , gdzie $x \in (0,\,4)$ . Wyznacz wzór funkcji $P(x)$ opisującej pole trójkąta $DEF$ . Oblicz $x$ , dla którego to pole jest najmniejsze.

Wskazówka
Od pola prostokąta odejmij pola trzech trójkątów prostokątnych: $ADE$ , $EBF$ i $FCD$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Trzy trójkąty. $\begin{aligned}P_{ADE} &= \tfrac12\cdot 4x = 2x \\ P_{EBF} &= \tfrac12 x(8 - x) \\ P_{FCD} &= \tfrac12\cdot 8(4 - x) = 16 - 4x.\end{aligned}$
2. Funkcja. $\begin{aligned}P(x) &= 32 - 2x - \left(4x - \tfrac12x^2\right) - (16 - 4x)\\ &= \tfrac12x^2 - 2x + 16.\end{aligned}$
3. Wierzchołek. $p = \frac{2}{2\cdot\frac12} = 2 \in (0,\,4)$ , ramiona w górę.
4. Odpowiedź. najmniejsze pole dla $x = 2$ (równe $14$ ).
1 pkt za zapisanie pola $DEF$ jako różnicy pola prostokąta i pól trzech trójkątów ALBO za pola co najmniej dwóch z tych trójkątów w zależności od $x$ . 2 pkt za wzór $P(x) = \frac12x^2 - 2x + 16$ . 3 pkt za $x = 2$ .

Uwaga: dziedzina jest podana w treści, więc nie jest punktowana. Samo „ $x = 2$ ” bez wzoru: 0 pkt.
(0–4 pkt) Suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $48$ . Niech $x$ oznacza długość krawędzi podstawy. Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji opisującej pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa w zależności od $x$ . Oblicz $x$ , dla którego pole powierzchni bocznej jest największe. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie i punktacja
1. Związek. podstawa to kwadrat o boku $x$ , wysokość $h$ : $8x + 4h = 48$ , stąd $h = 12 - 2x$ .
2. Funkcja. $\begin{aligned}P(x) &= 4xh \\ &= 4x(12 - 2x) \\ &= -8x^2 + 48x.\end{aligned}$
3. Dziedzina. $x > 0$ i $12 - 2x > 0$ , czyli $x \in (0,\,6)$ .
4. Wierzchołek. miejsca zerowe $0$ i $6$ , więc $p = 3 \in (0,\,6)$ ; ramiona w dół.
5. Odpowiedź. $x = 3$ (wtedy $h = 6$ , pole boczne $72$ ).
1 pkt za związek $h = 12 - 2x$ ALBO za zakres $x \in (0,\,6)$ . 2 pkt za wzór $P(x) = 4x(12 - 2x)$ ALBO za związek i zakres. 3 pkt za wzór i dziedzinę ALBO za wzór i $p = 3$ . 4 pkt za wzór, dziedzinę i $x = 3$ .

Uwagi: tabelka wartości bez funkcji: 0 pkt. Liczenie pochodnej bez uzasadnienia, że w $x = 3$ jest maksimum: co najwyżej 3 pkt.

6 Najczęstsze błędy

„Najmniejsza wartość w przedziale to zawsze $q$ .”: Tylko gdy $p$ należy do przedziału (i $a > 0$ ). Najpierw sprawdź, czy wierzchołek w ogóle jest w przedziale.
„Największa wartość jest na prawym końcu.”: Jest na końcu położonym dalej od osi symetrii (dla $a > 0$ ), a ten może być lewym.
„Policzyłem kilka wartości w tabelce i widać, gdzie jest maksimum.”: Tabelka niczego nie dowodzi: między sprawdzonymi liczbami może być lepsza. W zasadach oceniania CKE za takie rozwiązanie jest 0 punktów.
„Dziedzina to formalność.”: W zadaniu za 4 punkty jest za nią punkt. A bez niej nie wiesz, czy $p$ w ogóle wchodzi w grę.
„Podstawa prostopadłościanu jest kwadratem.”: Tylko jeśli tak mówi treść. Według sprawozdania CKE z 2025 roku zdający często narzucali ten „najbardziej znany” model, a w zasadach oceniania to najwyżej 2 punkty.
„Odpowiedź: $x = 5$ .”: Pytanie było o cenę, wymiary albo pole. $p$ to krok, nie odpowiedź.

7 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Ilu kandydatów na wartości skrajne trzeba sprawdzić w przedziale domkniętym?

Dwa końce i wierzchołek, ale wierzchołek tylko wtedy, gdy $p$ należy do przedziału.

2 Gdzie jest największa wartość funkcji z

a > 0

, gdy

p

leży w przedziale?

Na końcu dalszym od osi $x = p$ .

3 Skąd bierze się dziedzina w zadaniu optymalizacyjnym?

Z warunku, że wszystkie długości (albo liczby sztuk, czas) są dodatnie, zapisanego przez $x$ .

4 Wzór przychodu ma postać

(a + x)(b - kx)

. Jak najszybciej znaleźć

p

To postać iloczynowa: miejsca zerowe $-a$ i $\frac bk$ , a $p$ jest w połowie między nimi.

5 Za co nie dostaniesz punktów w zadaniu optymalizacyjnym, nawet przy dobrym wyniku?

Za tabelkę prób bez funkcji i za samo $p$ bez wzoru.

8 Karta wzorów i co dalej

Przedział $[\alpha,\,\beta]$

kandydaci: $f(\alpha)$ , $f(\beta)$ oraz $f(p)$ , gdy $p \in [\alpha,\,\beta]$

$p \notin [\alpha,\,\beta]$ : funkcja monotoniczna, skrajne na końcach

Optymalizacja

zmienna → związek → funkcja → dziedzina → $p \in D$ ? → odpowiedź

$p = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$ , wartość skrajna $q = f(p)$

Wzór na wierzchołek jest w tablicach CKE „Wybrane wzory matematyczne”. Przepisu na zadanie optymalizacyjne tam nie ma: ten trzeba mieć w głowie.

Dalej: równania i nierówności kwadratowe (lekcja 3.2 Równania i nierówności kwadratowe, równania wielomianowe w postaci iloczynowej). Na poziomie rozszerzonym optymalizacja wraca z pochodną, gdy badana funkcja nie jest kwadratowa (np. objętość pudełka to wielomian trzeciego stopnia).