5.3 Funkcja kwadratowa: trzy postacie i wykres · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Jedna funkcja, trzy zapisy

Popatrz na trzy wzory:

f(x) = -x^2 + 6x - 5,\qquad f(x) = -(x - 3)^2 + 4,\qquad f(x) = -(x - 1)(x - 5).

Wyglądają zupełnie inaczej, a to ta sama funkcja (wymnóż nawiasy i sprawdź). Każdy zapis coś ujawnia:

z pierwszego od razu widać, że wykres przecina oś $y$ w punkcie $(0,\,-5)$ ;
z drugiego, że wierzchołek paraboli to $W(3,\,4)$ , czyli funkcja przyjmuje największą wartość 4 dla $x = 3$ ;
z trzeciego, że miejsca zerowe to $x = 1$ i $x = 5$ .

We wszystkich trzech na początku stoi ta sama liczba $a = -1$ . Ujemne $a$ oznacza, że ramiona paraboli są skierowane w dół. Ta lekcja to po kolei te trzy postacie i przechodzenie między nimi.

1 Postać ogólna

Postać ogólna

f(x) = ax^2 + bx + c,\qquad a \ne 0 .

$a > 0$ : ramiona w górę; $a < 0$ : ramiona w dół. Im większe $|a|$ , tym węższa parabola.

$c = f(0)$ : wykres przecina oś $y$ w punkcie $(0,\,c)$ .

Wierzchołek: $p = -\dfrac{b}{2a}$ , $q = -\dfrac{\Delta}{4a} = f(p)$ , gdzie $\Delta = b^2 - 4ac$ .

Drugiej współrzędnej wierzchołka nie musisz liczyć ze wzoru z deltą. Często szybciej jest wstawić $p$ do funkcji: $q = f(p)$ . Dla $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ : $p = -\frac{6}{2\cdot(-1)} = 3$ , $q = f(3) = -9 + 18 - 5 = 4$ .

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 10 min

Dla $f(x) = 2x^2 - 8x + 6$ podaj kierunek ramion paraboli, punkt przecięcia z osią $y$ i współrzędne wierzchołka.
Odpowiedź
1. $a = 2 > 0$ : ramiona w górę.
2. Oś $y$ : $(0,\,6)$ .
3. $p = \frac{8}{4} = 2$ , $q = f(2) = 8 - 16 + 6 = -2$ , więc $W(2,\,-2)$ .
Wyznacz miejsca zerowe i wierzchołek funkcji $f(x) = -x^2 + 4x + 5$ .

Wskazówka
$\Delta = b^2 - 4ac$ , a potem $x_{1,2} = \dfrac{-b \mp \sqrt\Delta}{2a}$ .
Odpowiedź
1. $\Delta = 16 + 20 = 36$
2. $\sqrt\Delta = 6$ .
3. $x_1 = \frac{-4 - 6}{-2} = 5$
4. $x_2 = \frac{-4 + 6}{-2} = -1$ .
5. $p = 2$
6. $q = f(2) = -4 + 8 + 5 = 9$ : $W(2,\,9)$ .
Dla jakiej wartości $c$ funkcja $f(x) = x^2 - 6x + c$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe?
Odpowiedź
1. Jedno miejsce zerowe, gdy $\Delta = 0$ :
2. $36 - 4c = 0$
3. $c = 9$ .
4. Wtedy $f(x) = (x - 3)^2$ i wierzchołek leży na osi $x$ .

2 Postać kanoniczna i wierzchołek

Postać kanoniczna

f(x) = a(x - p)^2 + q .

Wierzchołek $W(p,\,q)$ , oś symetrii: prosta $x = p$ .

Wykres powstaje z wykresu $y = ax^2$ przez przesunięcie o $p$ w poziomie i o $q$ w pionie.

Dla $a > 0$ : zbiór wartości $[q,\,+\infty)$ , funkcja maleje w $(-\infty,\,p]$ i rośnie w $[p,\,+\infty)$ . Dla $a < 0$ odwrotnie, a zbiór wartości to $(-\infty,\,q]$ .

Przykład 2.1 Z postaci ogólnej do kanonicznej

Zapisz $f(x) = x^2 + 6x + 5$ w postaci kanonicznej.

Sposób 1 (wzory): $p = -\frac{6}{2} = -3$ , $q = f(-3) = 9 - 18 + 5 = -4$ , więc $f(x) = (x + 3)^2 - 4$ .
Sposób 2 (dopełnienie do kwadratu): $x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9$ , więc $f(x) = (x + 3)^2 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$ .

Wynik: $f(x) = (x + 3)^2 - 4$ , wierzchołek $W(-3,\,-4)$ .

Sprawdzenie: $(x + 3)^2 - 4 = x^2 + 6x + 9 - 4 = x^2 + 6x + 5$ ✓. Zwróć uwagę na znak: w nawiasie jest $x + 3$ , a $p = -3$ .

Zadania · część 2

3 zadania · ok. 12 min

Dla $f(x) = -3(x + 1)^2 + 4$ podaj wierzchołek, oś symetrii, zbiór wartości i przedziały monotoniczności.
Odpowiedź
1. $W(-1,\,4)$ , oś $x = -1$ .
2. $a = -3 < 0$ : zbiór wartości $(-\infty,\,4]$ , rośnie w $(-\infty,\,-1]$ , maleje w $[-1,\,+\infty)$ .
Zapisz $f(x) = 2x^2 - 8x + 6$ w postaci kanonicznej.

Odpowiedź
Z zadania 1.1: $W(2,\,-2)$ , więc $f(x) = 2(x - 2)^2 - 2$ .
Wykres funkcji $y = x^2$ przesunięto o 3 jednostki w prawo i o 2 w dół. Zapisz wzór otrzymanej funkcji w postaci kanonicznej i ogólnej.

Odpowiedź
$f(x) = (x - 3)^2 - 2 = x^2 - 6x + 7$ . Przesunięcie w prawo o 3 to $x - 3$ w nawiasie, nie $x + 3$ .

3 Postać iloczynowa i miejsca zerowe

Postać iloczynowa (gdy $\Delta \ge 0$ )

f(x) = a(x - x_1)(x - x_2),

gdzie $x_1$ , $x_2$ to miejsca zerowe. Dla $\Delta = 0$ : $f(x) = a(x - x_1)^2$ . Dla $\Delta < 0$ postać iloczynowa nie istnieje: funkcja nie ma miejsc zerowych.

Wierzchołek leży w połowie między miejscami zerowymi: $p = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$ .

To ostatnie to najszybsza droga do wierzchołka, gdy znasz miejsca zerowe. Dla $f(x) = -(x - 1)(x - 5)$ : $p = \frac{1 + 5}{2} = 3$ , $q = f(3) = -(2)(-2) = 4$ .

Zadania · część 3

2 zadania · ok. 8 min

Dla $f(x) = 2(x - 1)(x - 5)$ podaj miejsca zerowe, wierzchołek i postać ogólną.
Odpowiedź
1. Miejsca zerowe 1 i 5.
2. $p = 3$
3. $q = 2\cdot 2\cdot(-2) = -8$ : $W(3,\,-8)$ .
4. Postać ogólna: $2x^2 - 12x + 10$ .
Czy funkcję $f(x) = x^2 + 2x + 5$ można zapisać w postaci iloczynowej?

Odpowiedź
Nie: $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ , funkcja nie ma miejsc zerowych. (Jej wierzchołek to $W(-1,\,4)$ , a ramiona idą w górę, więc wykres w ogóle nie dotyka osi $x$ .)

4 Wzór funkcji z informacji o niej

Częste zadanie odwrotne: znasz kilka faktów o funkcji i masz podać jej wzór. Zasada: wybierz postać, w której podane fakty już są, a nieznane $a$ wylicz z jednego dodatkowego punktu.

znasz wierzchołek → postać kanoniczna $a(x - p)^2 + q$ ;
znasz miejsca zerowe → postać iloczynowa $a(x - x_1)(x - x_2)$ ;
znasz trzy dowolne punkty → postać ogólna i układ trzech równań (rzadko na podstawie).

Przykład 4.1 Wierzchołek i punkt

Wierzchołek paraboli to $W(1,\,-4)$ , a wykres przechodzi przez punkt $(3,\,4)$ . Podaj wzór funkcji.

Postać kanoniczna: $f(x) = a(x - 1)^2 - 4$ .
Punkt $(3,\,4)$ : $4 = a\cdot 2^2 - 4$ , więc $a = 2$ .

Wynik: $f(x) = 2(x - 1)^2 - 4 = 2x^2 - 4x - 2$ .

Sprawdzenie: $f(3) = 18 - 12 - 2 = 4$ ✓, $f(1) = 2 - 4 - 2 = -4$ ✓.

Zadania · część 4

2 zadania · ok. 10 min

Funkcja kwadratowa ma miejsca zerowe $-2$ i $4$ , a $f(0) = -8$ . Wyznacz jej wzór w postaci ogólnej.
Odpowiedź
1. $f(x) = a(x + 2)(x - 4)$
2. $f(0) = -8a = -8$
3. $a = 1$ .
4. $f(x) = x^2 - 2x - 8$ .
Parabola ma oś symetrii $x = 2$ , przechodzi przez punkt $(0,\,1)$ i ma wierzchołek na osi $x$ . Wyznacz wzór funkcji.

Wskazówka
Wierzchołek na osi $x$ i na osi symetrii: to który punkt?
Odpowiedź
1. $W(2,\,0)$ , więc $f(x) = a(x - 2)^2$ .
2. $f(0) = 4a = 1$
3. $a = \frac14$ .
4. $f(x) = \frac14(x - 2)^2 = \frac14x^2 - x + 1$ .

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 66 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · odczytywanie

Zestawy A

Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli.
1. $y = x^2 - 4x + 3$
2. $y = x^2 + 2x - 8$
Odpowiedzi
a) $W(2,\,-1)$ b) $W(-1,\,-9)$
Odczytaj wierzchołek, zbiór wartości i przedział, w którym funkcja jest rosnąca.
1. $f(x) = (x - 4)^2 + 1$
2. $f(x) = -(x + 2)^2 + 5$
Odpowiedzi
a) $W(4,\,1)$ , $[1,\,+\infty)$ , rosnąca w $[4,\,+\infty)$ b) $W(-2,\,5)$ , $(-\infty,\,5]$ , rosnąca w $(-\infty,\,-2]$
Podaj miejsca zerowe i pierwszą współrzędną wierzchołka.
1. $f(x) = (x - 2)(x + 6)$
2. $f(x) = -3(x + 1)(x - 7)$
Odpowiedzi
a) $2$ i $-6$ , $p = -2$ b) $-1$ i $7$ , $p = 3$
Skorzystaj z symetrii paraboli: podaj liczbę $t$ różną od danego argumentu, dla której funkcja przyjmuje tę samą wartość.
1. oś symetrii $x = 2$ , $f(-1) = 7$ ; $f(t) = 7$
2. oś symetrii $x = -3$ , $f(0) = 4$ ; $f(t) = 4$
Wskazówka
Argumenty o tej samej wartości leżą symetrycznie względem osi $x = p$ : $\frac{x + t}{2} = p$ , więc $t = 2p - x$ .

Odpowiedzi
a) $t = 5$ b) $t = -6$

Poziom B · przekształcanie

Zestawy B

Zapisz funkcję w postaci kanonicznej.
1. $x^2 - 6x + 11$
2. $x^2 + 4x - 1$
Wskazówka
Policz $p = -\frac{b}{2a}$ i $q = f(p)$ , a potem wpisz do $a(x - p)^2 + q$ . Współczynnik $a$ przepisujesz bez zmian.

Odpowiedzi
a) $(x - 3)^2 + 2$ b) $(x + 2)^2 - 5$
Zapisz funkcję w postaci iloczynowej albo uzasadnij, że się nie da.
1. $x^2 - 5x + 6$
2. $x^2 + x - 12$
Odpowiedzi
a) $(x - 2)(x - 3)$ b) $(x + 4)(x - 3)$
Zapisz funkcję w postaci ogólnej.
1. $2(x - 1)^2 + 3$
2. $-(x + 2)^2 + 1$
Odpowiedzi
a) $2x^2 - 4x + 5$ b) $-x^2 - 4x - 3$
Dana jest funkcja $f(x) = (x - 2)^2 + 1$ . Podaj współrzędne wierzchołka wykresu funkcji $g$ .
1. $g(x) = f(x + 3)$
2. $g(x) = f(x - 1)$
Wskazówka
$f(x - a)$ to wykres $f$ przesunięty o $a$ w prawo, $f(x + a)$ o $a$ w lewo, $f(x) + b$ o $b$ w górę. Przesuwasz wierzchołek $W(2,\,1)$ . Kierunek w poziomie to najczęstszy błąd na maturze: sprawdź, wstawiając $x = p_g$ do nawiasu.

Odpowiedzi
a) $(-1,\,1)$ b) $(3,\,1)$

Poziom C · wzór z informacji i parametry

Zestawy C

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej.
1. wierzchołek $W(-2,\,3)$ , wykres przechodzi przez $(0,\,-1)$
2. miejsca zerowe $2$ i $6$ , zbiór wartości $(-\infty,\,8]$
Wskazówka
W b) zbiór wartości mówi, gdzie jest wierzchołek: $q = 8$ , a $p$ leży w połowie między miejscami zerowymi.

Odpowiedzi
a) $-(x + 2)^2 + 3 = -x^2 - 4x - 1$ b) $p = 4$ , $f(4) = -4a = 8$ , $a = -2$ : $-2x^2 + 16x - 24$
Wyznacz parametry.
1. Dla jakiego $m$ wierzchołek paraboli $y = x^2 - 2mx + 5$ leży na prostej $x = 3$ ?
2. Dla jakich $b$ wykres $y = x^2 + bx + 9$ ma z osią $x$ dokładnie jeden punkt wspólny?
Odpowiedzi
a) $p = m = 3$ b) $\Delta = b^2 - 36 = 0$ : $b = 6$ albo $b = -6$

Pełny trening (66 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

W arkuszach podstawowych z lat 2025–2026 tematy tej lekcji (wykres, postacie, wzór, przesunięcia) dawały średnio 2–3 z 50 punktów, a razem z następną lekcją (wartości w przedziale i optymalizacja) około 6. Do tego prawie w każdym arkuszu jest nierówność kwadratowa za 2 punkty, rozwiązywana z tego samego wykresu (lekcja 3.2 Równania i nierówności kwadratowe, równania wielomianowe w postaci iloczynowej). Powtarza się ten sam układ:

wiązka 2–3 krótkich zadań o jednej paraboli (wspólny wstęp, np. „wierzchołek w punkcie… i punkt…”): zadanie zamknięte ABCD, ocena dwóch stwierdzeń prawda/fałsz za 1 punkt łącznie, uzupełnienie zdania liczbą;
przesunięcia zapisane jako $g(x) = f(x - a)$ albo $g(x) = f(x) + b$ : gdzie jest wierzchołek $g$ , jaka jest oś symetrii;
zadanie otwarte za 2–4 punkty: wyznacz wzór w konkretnej postaci (kanonicznej, ogólnej albo iloczynowej) z informacji o wierzchołku, osi symetrii, miejscu zerowym i punkcie wykresu. Kluczowy krok to zwykle odbicie znanego punktu względem osi symetrii.

Według sprawozdań CKE najwięcej punktów uczniowie tracą na kierunku przesunięcia (w maju 2026 zadanie za 4 punkty łączące $f$ i $g(x) = f(x + 1)$ dało zdającym średnio 38% możliwych punktów). Poniższe zadania są nasze, napisane w stylu arkusza; punktacja jest wzorowana na zasadach oceniania CKE: punkty są za kolejne istotne kroki, a wynik bez obliczeń daje mniej.

Zadania w stylu maturalnym

8 zadań · 9 pkt · ok. 15 min

(0–1 pkt) Wierzchołkiem paraboli $y = -2(x - 3)^2 + 5$ jest punkt

A. $(-3,\,5)$ B. $(3,\,5)$ C. $(3,\,-5)$ D. $(-3,\,-5)$
Odpowiedź
B.
1. Postać kanoniczna:
2. $p = 3$ (w nawiasie $x - 3$ )
3. $q = 5$ .
4. Odpowiedzi A i D to typowy błąd znaku.
(0–1 pkt) Funkcja $f(x) = x^2 - 4x + 1$ jest malejąca w przedziale

A. $(-\infty,\,2]$ B. $[2,\,+\infty)$ C. $(-\infty,\,-2]$ D. $[-2,\,+\infty)$

Odpowiedź
A. $p = \frac{4}{2} = 2$ , $a = 1 > 0$ : ramiona w górę, więc funkcja maleje na lewo od wierzchołka.
(0–1 pkt) Zbiorem wartości funkcji $f(x) = -(x - 1)^2 + 3$ jest przedział

A. $(-\infty,\,3]$ B. $[3,\,+\infty)$ C. $(-\infty,\,1]$ D. $[1,\,+\infty)$

Odpowiedź
A. $a = -1 < 0$ , więc największa wartość to $q = 3$ . C i D mylą zbiór wartości z pierwszą współrzędną wierzchołka.
(0–1 pkt) Osią symetrii paraboli $y = 2(x + 4)(x - 2)$ jest prosta

A. $x = -4$ B. $x = 2$ C. $x = -1$ D. $x = 1$
Odpowiedź
C.
1. Miejsca zerowe $-4$ i $2$ , oś w połowie:
2. $\frac{-4 + 2}{2} = -1$ .
3. D to błąd znaku przy odczycie $x + 4$ .
(0–1 pkt) Dana jest funkcja $f(x) = x^2$ . Funkcja $g$ jest określona wzorem $g(x) = f(x + 2) + 3$ . Wzór funkcji $g$ można zapisać w postaci

A. $y = (x - 2)^2 + 3$ B. $y = (x + 2)^2 + 3$ C. $y = (x + 2)^2 - 3$ D. $y = (x - 2)^2 - 3$
Odpowiedź
B.
1. $f(x + 2) + 3 = (x + 2)^2 + 3$ .
2. Wykres $f$ przesunięty o $2$ w lewo i o $3$ w górę: wierzchołek $(-2,\,3)$ .
3. A to najczęstszy błąd: przesunięcie w złą stronę.
(0–1 pkt) Funkcja $f(x) = x^2 + bx + 4$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe dla

A. $b = 2$ B. $b = 4$ C. $b = 8$ D. $b = 16$

Odpowiedź
B. $\Delta = b^2 - 16 = 0$ dla $b = 4$ (albo $b = -4$ , którego nie ma wśród odpowiedzi). D to $b^2$ zamiast $b$ .
(0–1 pkt) Dana jest funkcja $f(x) = -(x + 2)^2 + 1$ . Oceń prawdziwość stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.

1. Funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe. P / F
2. Funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $(-\infty,\,2]$ . P / F
Odpowiedź
PF.
1. Wierzchołek $(-2,\,1)$ leży nad osią $x$ , a ramiona idą w dół, więc są dwa miejsca zerowe ( $-3$ i $-1$ ).
2. Funkcja rośnie tylko w $(-\infty,\,-2]$ ; w $[-2,\,2]$ już maleje.
3. Punkt dostajesz tylko za obie odpowiedzi poprawne.
(0–2 pkt) Funkcja kwadratowa $f$ ma miejsca zerowe $-1$ i $3$ , a jej wykres przechodzi przez punkt $(1,\,-8)$ . Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci ogólnej.
Rozwiązanie i punktacja
1. Postać iloczynowa. z miejsc zerowych: $f(x) = a(x + 1)(x - 3)$ .
2. Współczynnik $a$ . z punktu $(1,\,-8)$ : $f(1) = a\cdot 2\cdot(-2) = -4a = -8 \quad\Rightarrow\quad a = 2.$
3. Postać ogólna. $f(x) = 2(x + 1)(x - 3) = 2x^2 - 4x - 6.$
1 pkt za zapisanie $f(x) = a(x + 1)(x - 3)$ i równania $-4a = -8$ ALBO za $a = 2$ wyznaczone inną metodą. 2 pkt za wzór w postaci ogólnej $f(x) = 2x^2 - 4x - 6$ .

Uwaga: polecenie mówi „w postaci ogólnej”. Wzór $2(x + 1)(x - 3)$ bez wymnożenia to 1 pkt, nie 2.

7 Najczęstsze błędy

„W $(x + 3)^2$ wierzchołek ma $p = 3$ .”: Postać to $(x - p)^2$ , więc $x + 3 = x - (-3)$ i $p = -3$ .
„ $c$ to druga współrzędna wierzchołka.”: $c = f(0)$ to punkt przecięcia z osią $y$ . Wierzchołek to $q = f(p)$ ; równe $c$ tylko wtedy, gdy $p = 0$ .
„Zbiór wartości to wszystkie liczby rzeczywiste.”: To dziedzina. Zbiór wartości funkcji kwadratowej zawsze jest ograniczony z jednej strony przez $q$ .
„Każdą funkcję kwadratową da się zapisać w postaci iloczynowej.”: Tylko gdy $\Delta \ge 0$ . Dla $\Delta < 0$ nie ma miejsc zerowych, więc nie ma czego wstawić za $x_1$ , $x_2$ .
„ $g(x) = f(x - 3)$ to wykres $f$ przesunięty o $3$ w lewo.”: W prawo. Wierzchołek $g$ jest tam, gdzie nawias daje $p$ : $x - 3 = p$ , czyli $x = p + 3$ . Sprawdź jednym punktem: $g(p + 3) = f(p) = q$ . Na maturze to najczęściej tracony punkt w tym temacie.
„Współczynnik $a$ widać z rysunku.”: Z rysunku widać wierzchołek i punkty kratki. Liczbę $a$ trzeba policzyć z równania, np. $3 = a(0 - 3)^2 + 6$ . W zasadach oceniania $a$ podane bez rachunku daje tylko część punktów.
„W postaci iloczynowej można pominąć $a$ .”: $(x + 1)(x - 3)$ i $2(x + 1)(x - 3)$ mają te same miejsca zerowe, ale to różne funkcje. $a$ trzeba wyliczyć z dodatkowej informacji.

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Którą postać wybrać, żeby od razu odczytać wierzchołek?

Kanoniczną: $a(x - p)^2 + q$ , $W(p,\,q)$ .

2 Co mówi znak

a

$a > 0$ : ramiona w górę, wartość najmniejsza w wierzchołku; $a < 0$ : ramiona w dół, wartość największa.

3 Jak najszybciej znaleźć

p

, gdy znasz miejsca zerowe?

$p = (x_1 + x_2)/2$ , w połowie między nimi.

4 Kiedy postać iloczynowa nie istnieje?

Gdy $\Delta < 0$ .

5 Co oznacza

c

w postaci ogólnej?

$f(0) = c$ : punkt przecięcia wykresu z osią $y$ .

9 Karta wzorów i co dalej

Trzy postacie

ogólna: $ax^2 + bx + c$

kanoniczna: $a(x - p)^2 + q$

iloczynowa: $a(x - x_1)(x - x_2)$ , gdy $\Delta \ge 0$

Wierzchołek i zera

$\Delta = b^2 - 4ac$ , $x_{1,2} = \dfrac{-b \mp \sqrt\Delta}{2a}$

$p = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$ , $q = f(p) = -\dfrac{\Delta}{4a}$

Wzory na $\Delta$ , miejsca zerowe, współrzędne wierzchołka i trzy postacie są w tablicach CKE „Wybrane wzory matematyczne”, które dostajesz na egzaminie. Warto je mimo to znać na pamięć: odczytanie ich z tablic kosztuje czas, a kto ich nie rozumie, ten i tak nie wie, który zastosować.

Dalej: równania i nierówności kwadratowe (kiedy wykres jest nad osią $x$ ?) oraz zadania o największej i najmniejszej wartości. Dla ambitnych: ta sama parabola jako tor rzuconej piłki w lekcji 0.1 Liczby, potęgi, logarytmy i funkcje elementarne kursu matematyki.