Liczby, potęgi, logarytmy i funkcje elementarne

0 Prolog: tablice pana Briggsa

Do połowy XX wieku inżynier, który chciał pomnożyć dwie liczby siedmiocyfrowe, nie mnożył ich. Sprawdzał w tablicach ich logarytmy, dodawał je i odczytywał wynik z tablic z powrotem. Dodawanie jest dużo łatwiejsze niż mnożenie, a logarytm zamienia jedno w drugie: $\log(ab) = \log a + \log b$. Na tej samej zasadzie działał suwak logarytmiczny, z którym liczono mosty, silniki i trajektorie pierwszych rakiet.

Skąd jednak wzięły się liczby w tablicach? Feynman poświęca temu fragment rozdziału o algebrze. Henry Briggs wyciągał pierwiastek kwadratowy z 10, potem pierwiastek z wyniku, potem znowu, i tak wiele razy. Dostawał liczby $10^{1/2}$, $10^{1/4}$, $10^{1/8}$… i każdą inną liczbę składał z ich iloczynu. Feynman pisze, że przez trzysta lat wszystkie tablice logarytmów przepisywano z tablic Briggsa, tylko z mniejszą liczbą cyfr.FLP I-22-4

Ta historia będzie nam towarzyszyć przez całą lekcję. Żeby ją zrozumieć, potrzebujemy potęg o wykładnikach ułamkowych (część 2), funkcji wykładniczej (część 4) i logarytmu (część 5). Na końcu zobaczysz, że ten sam rachunek prowadzi do liczby $e \approx 2{,}718$, podstawy, która sama pojawia się w prawach przyrody.

Pytanie na start. Ile wynosi $\log_{10}2$, czyli do jakiej potęgi trzeba podnieść 10, żeby dostać 2? Bez kalkulatora. Odpowiedź (i metoda Briggsa) w części 5.

1 Liczby: od liczenia do osi liczbowej

1.1 Każde działanie odwrotne wymaga nowych liczb

Feynman opowiada historię liczb jako ciąg rozszerzeń. Zaczynamy od liczb naturalnych $\mathbb N = \{0,\ 1,\ 2,\ \dots\}$, którymi liczymy. Dodawanie i mnożenie zawsze dają liczbę naturalną. Działania odwrotne już nie: $3 - 5$ nie ma wyniku wśród liczb naturalnych. Zamiast się poddać, dopisujemy nowe liczby tak, żeby stare reguły rachunku dalej obowiązywały. Feynman nazywa to „abstrakcją i uogólnieniem”.FLP I-22-2, I-22-3

• Odejmowanie wymusza liczby całkowite $\mathbb Z$: dochodzą $-1,\ -2,\ \dots$
• Dzielenie wymusza liczby wymierne $\mathbb Q$, czyli ułamki $p/q$ z całkowitymi $p$, $q$ i $q \neq 0$.
• Pierwiastkowanie wymusza liczby niewymierne: $\sqrt2$ nie jest żadnym ułamkiem. Niewymierne są też liczby, które nie są pierwiastkami, np. $\pi$ i $e$. Razem z wymiernymi tworzą liczby rzeczywiste $\mathbb R$.
• Pierwiastek z liczby ujemnej wymusza liczby zespolone. Wrócimy do nich w lekcji 1.7 Liczby zespolone i fazory.

Za każdym razem nowe liczby muszą spełniać te same reguły: przemienność, łączność, rozdzielność mnożenia względem dodawania. To właśnie reguły, a nie obrazek „dodawania jabłek”, mówią nam, co znaczy $(-2)\cdot(-3)$ albo $2^{-3}$. Tę samą myśl wykorzystamy przy potęgach.

1.2 Dlaczego $\sqrt2$ nie jest ułamkiem

Przypuśćmy, że $\sqrt2 = p/q$, gdzie ułamek jest skrócony, czyli $p$ i $q$ nie mają wspólnego dzielnika. Wtedy $p^2 = 2q^2$, więc $p^2$ jest parzyste, a zatem $p$ też (kwadrat liczby nieparzystej jest nieparzysty). Piszemy $p = 2m$ i dostajemy $4m^2 = 2q^2$, czyli $q^2 = 2m^2$. Teraz $q$ też jest parzyste. Ułamek dał się więc skrócić przez 2, wbrew założeniu. Sprzeczność oznacza, że $\sqrt2$ nie jest ilorazem liczb całkowitych.

W praktyce liczby niewymierne poznajemy przez przybliżenia: $1{,}4$; $1{,}41$; $1{,}414$; $1{,}4142$… Każde przybliżenie jest ułamkiem, a kolejne są coraz bliżej $\sqrt2$. Feynman podkreśla, że ścisłe zdefiniowanie takiej „granicy przybliżeń” to najtrudniejszy krok w całym ciągu rozszerzeń. Nam wystarczy obraz: liczby rzeczywiste wypełniają oś liczbową bez dziur.FLP I-22-3

1.3 Przedziały

Zbiory liczb rzeczywistych zapisujemy jako przedziały. Nawias kwadratowy oznacza, że koniec należy do przedziału, okrągły, że nie należy:

Przedział może być nieograniczony: $[a;\ \infty)$ to wszystkie $x \ge a$. Symbol $\infty$ nie jest liczbą, więc przy nim zawsze stoi nawias okrągły. W polskim zapisie końce oddziela średnik, bo przecinek jest separatorem dziesiętnym: $[0{,}5;\ 2]$. W tekstach angielskich pisze się $[0.5, 2]$.

2 Potęgi, pierwiastki i notacja wykładnicza

2.1 Reguły potęgowania

Dla naturalnego $n$ potęga to mnożenie powtórzone $n$ razy: $a^n = a\cdot a\cdots a$. Z tej definicji wynikają trzy reguły, z których korzystamy bez przerwy:FLP I-22-1 (wzory 22.1)

2.2 Wykładnik zero, ujemny i ułamkowy

Co znaczy $2^0$ albo $2^{-3}$? Nie da się pomnożyć dwójki przez siebie „minus trzy razy”. Postępujemy tak jak Feynman przy liczbach ujemnych: żądamy, żeby reguła $a^m a^n = a^{m+n}$ obowiązywała dalej, i sprawdzamy, co z tego wynika.FLP I-22-3

• $a^0\cdot a^n = a^{0+n} = a^n$, więc $a^0 = 1$ (dla $a \neq 0$).
• $a^{-n}\cdot a^n = a^0 = 1$, więc $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$.
• $a^{1/2}\cdot a^{1/2} = a^1$, więc $a^{1/2}$ to liczba, która pomnożona przez siebie daje $a$. Takie liczby są dwie, $\pm\sqrt a$; wybieramy dodatnią, żeby potęga dodatniej podstawy była dodatnia. Ogólnie $a^{1/n} = \sqrt[n]a$ oraz $a^{p/q} = \sqrt[q]{a^p}$.

Nic tu nie jest umową wymyśloną dla wygody. Poza wyborem znaku pierwiastka każda z tych równości jest jedyną możliwością, jeśli reguły mają dalej działać. Dla wykładników niewymiernych, np. $10^{\sqrt2}$, bierzemy coraz lepsze przybliżenia wykładnika: $10^{1{,}4}$, $10^{1{,}41}$, $10^{1{,}414}$… i wyniki zbliżają się do jednej liczby.FLP I-22-4

W całym kursie potęgi o wykładnikach niecałkowitych bierzemy tylko z dodatniej podstawy. Dla $a < 0$ wyrażenie $a^{1/2}$ nie jest liczbą rzeczywistą, a $a^{1/3}$ bywa definiowane różnie w różnych programach, więc pierwiastek z liczby ujemnej piszemy wprost, np. $\sqrt[3]{-8} = -2$.

2.3 Notacja wykładnicza

Fizyka sięga od rozmiaru jądra atomu ($10^{-15}$ m) po rozmiar obserwowalnego Wszechświata ($10^{26}$ m). Takie liczby zapisujemy jako $m\cdot10^{k}$, gdzie $1 \le m < 10$ (to tzw. mantysa) i $k$ jest całkowite:

Mnożenie liczb w tej postaci to mnożenie mantys i dodawanie wykładników, dokładnie według reguły $10^{p}\cdot10^{q} = 10^{p+q}$. Dlatego rząd wielkości wyniku, czyli wykładnik $k$, zwykle widać od razu. Przedrostki jednostek to skróty potęg dziesięciu:

3 Funkcja, prosta i parabola

3.1 Co to jest funkcja

Funkcja $f$ przyporządkowuje każdemu argumentowi $x$ z pewnego zbioru, zwanego dziedziną, dokładnie jedną wartość $f(x)$. Zbiór wszystkich wartości to zbiór wartości funkcji. W fizyce argumentem jest najczęściej czas: położenie $x(t)$, temperatura $T(t)$, napięcie $U(t)$. Ważne jest słowo „dokładnie jedną”: w danej chwili ciało jest w jednym miejscu.

Wykres funkcji to zbiór punktów $(x;\ f(x))$ na płaszczyźnie. Prosta pionowa przecina wykres funkcji najwyżej raz. Okrąg $x^2 + y^2 = 1$ nie jest więc wykresem funkcji $y(x)$, ale jego górna połówka $y = \sqrt{1 - x^2}$ już tak.

Jeśli wzór funkcji nie mówi inaczej, za dziedzinę bierzemy wszystkie $x$, dla których wzór ma sens. Szukamy trzech przeszkód: dzielenia przez zero, pierwiastka parzystego stopnia z liczby ujemnej i logarytmu z liczby niedodatniej (część 5).

3.2 Funkcja liniowa: stałe tempo zmian

Funkcja liniowa $f(x) = ax + b$ ma wykres w postaci prostej. Współczynnik $b = f(0)$ to wartość początkowa, a $a$ to nachylenie: o tyle rośnie $f$, gdy $x$ rośnie o 1. Z dwóch punktów prostej:

W fizyce funkcja liniowa oznacza stałe tempo zmian. Prędkość w ruchu jednostajnie przyspieszonym, $v(t) = v_0 + at$, rośnie o $a$ w każdej sekundzie. Przeliczanie skal temperatury, $t_F = 1{,}8\,t_C + 32$, to też funkcja liniowa. Nachylenie 1,8 mówi, że stopień Celsjusza jest 1,8 razy „większy” od stopnia Fahrenheita. Obie skale pokazują to samo przy $t_C = -40$, bo $1{,}8\cdot(-40) + 32 = -40$. W lekcji 1.3 Pochodne nachylenie stanie się pochodną: tempem zmian funkcji, która nie jest prostą.

3.3 Funkcja kwadratowa i postać kanoniczna

Funkcja kwadratowa $f(x) = ax^2 + bx + c$ z $a \neq 0$ ma wykres w postaci paraboli: ramiona w górę dla $a > 0$, w dół dla $a < 0$. Najwięcej mówi o niej postać kanoniczna, którą dostajemy przez uzupełnienie do pełnego kwadratu:

Wierzchołek paraboli leży w punkcie $(p;\ q)$. Kwadrat $(x - p)^2$ nigdy nie jest ujemny, więc dla $a > 0$ najmniejsza wartość funkcji to $q$, a dla $a < 0$ największa. Miejsca zerowe paraboli, czyli rozwiązania równania kwadratowego, omawia lekcja 0.2 Równania, nierówności, wielomiany i ułamki proste.

4 Funkcja wykładnicza i liczba e

4.1 Wzrost o stały czynnik

Funkcja liniowa w równych odstępach czasu dodaje tę samą wielkość. Funkcja wykładnicza mnoży przez ten sam czynnik:

Dla $b > 1$ to wzrost wykładniczy, dla $0 < b < 1$ zanik wykładniczy. Bakterie dzielące się co 20 minut po 4 godzinach (12 podziałów) są $2^{12} = 4096$ razy liczniejsze. Izotop o czasie połowicznego rozpadu $T$ po czasie $t$ ma $\left(\tfrac12\right)^{t/T}$ początkowej liczby jąder. Kondensator rozładowujący się przez opornik ma napięcie, które w każdej milisekundzie spada o ten sam procent.

Wzrost wykładniczy zawsze w końcu wyprzedza każdą potęgę $t^n$, nawet przy wolnym starcie. To dlatego epidemie, reakcje łańcuchowe i procent składany zaskakują ludzi myślących liniowo.

4.2 Procent składany i liczba e

Lokata z oprocentowaniem 100% rocznie zamienia 1 zł w 2 zł. A gdyby odsetki dopisywać co pół roku, po 50%? Po roku mamy $1{,}5^2 = 2{,}25$ zł. Co miesiąc: $\left(1 + \tfrac1{12}\right)^{12} \approx 2{,}613$. Codziennie: $\left(1 + \tfrac1{365}\right)^{365} \approx 2{,}7146$. Wynik rośnie, ale coraz wolniej i zbliża się do granicy:

To jedna z dwóch dróg do liczby $e$. Drugą pokazuje Feynman i jest dla fizyka ważniejsza.

4.3 Podstawa, przy której $b^\varepsilon \approx 1 + \varepsilon$

Podnieśmy dowolną podstawę $b$ do bardzo małej potęgi $\varepsilon$. Wynik jest bliski 1, bo $b^0 = 1$. Ile dokładnie? Dla $b = 10$ Feynman odczytał to ze swojej tabeli pierwiastków (część 5). Dostał współczynnik 2,3025 i dodał, że dokładna wartość to 2,3026:FLP I-22-4

Na wykresie współczynnik przy $\varepsilon$ to nachylenie stycznej w punkcie $x = 0$, czyli prostej, która w tym punkcie najlepiej przylega do wykresu (dokładnie zdefiniujemy ją w lekcji 1.3 Pochodne). Dla podstawy 2 współczynnik wynosi ok. 0,693, dla podstawy 3 ok. 1,099. Rośnie razem z podstawą, więc jest taka podstawa, dla której współczynnik jest równy dokładnie 1. To właśnie $e$:

Dlaczego to ważne? W lekcji 1.3 Pochodne zobaczysz, że wtedy funkcja $e^x$ jest swoją własną pochodną: tempo wzrostu jest równe aktualnej wartości. Stąd w każdym procesie, w którym tempo zmian jest proporcjonalne do aktualnej wartości, pojawia się $e^{t/\tau}$ albo $e^{-t/\tau}$: w rozpadzie promieniotwórczym, przy rozładowaniu kondensatora, a przy stygnięciu herbaty dla różnicy temperatur herbaty i otoczenia. Dlatego w prawach przyrody pojawia się $e$, a nie 10 czy 2. Funkcję $e^x$ zapisuje się też jako $\exp x$.

5 Logarytm

5.1 Drugie działanie odwrotne do potęgowania

Potęgowanie ma dwa działania odwrotne, bo $b^a$ i $a^b$ to zwykle różne liczby. Feynman zwraca na to uwagę: pytanie „jaka liczba podniesiona do trzeciej potęgi daje 8?” prowadzi do pierwiastka, a pytanie „do jakiej potęgi podnieść 2, żeby dostać 8?” do logarytmu.FLP I-22-2

Logarytm istnieje tylko dla $c > 0$, bo dodatnia podstawa w dowolnej potędze daje liczbę dodatnią. Przykłady: $\log_2 32 = 5$, $\log 0{,}001 = -3$, $\ln e^4 = 4$, $\log_b 1 = 0$ dla każdej podstawy.

Każda reguła potęg ma swoją wersję dla logarytmów:

Pierwsza reguła to $b^m b^n = b^{m+n}$ czytana od tyłu. Zmiana podstawy mówi, że logarytmy przy różnych podstawach różnią się tylko stałym czynnikiem. Feynman ujmuje to tak: dowolną tablicę logarytmów dostaje się z innej, mnożąc wszystkie liczby przez jedną stałą. Na przykład $\ln x = 2{,}302\,585\cdot\log x$.FLP I-22-4

5.2 Metoda Briggsa

Wracamy do pytania z prologu. Briggs wyciągał kolejne pierwiastki kwadratowe z 10:

Żeby znaleźć $\log 2$, dzielimy 2 przez największy czynnik z tabeli, który się mieści, potem resztę przez następny, który się mieści, i tak dalej. Każde dzielenie przez $10^{s}$ dodaje $s$ do logarytmu. Zostaje reszta bliska 1. Dla niej korzystamy z ostatniej kolumny: kolejne liczby różnią się o 0,021; 0,010; 0,005; 0,003, czyli różnice maleją mniej więcej o połowę. Dalsze wyrazy zmniejszyłyby więc ostatnią liczbę jeszcze o ok. tyle, ile wynosi ostatnia różnica, i kolumna zbiega do ok. 2,3026. Stąd $10^{\varepsilon} \approx 1 + 2{,}3026\,\varepsilon$, więc $\varepsilon \approx (\text{reszta} - 1)/2{,}3026$.

Feynman zauważa przy tym coś więcej. Liczby w ostatniej kolumnie tabeli zbliżają się do stałej, którą on oszacował na 2,3025 (dokładnie 2,3026). Gdyby logarytmy mierzyć nie w „potęgach dziesiątki”, lecz w jednostkach 2,3026 razy mniejszych, to dla małych wykładników byłoby po prostu $e^{\varepsilon} \approx 1 + \varepsilon$. Tak wybrana podstawa to $e = 10^{1/2{,}3026} = 10^{0{,}4343} \approx 2{,}718$. Feynman pisze, że podstawa 10 bierze się tylko z liczby palców u ludzi, a $e$ jest podstawą „naturalną”, niezwiązaną z naszą anatomią.FLP I-22-4

Teraz możemy też dopowiedzieć zdanie z części 4.3. Każdą podstawę da się zapisać jako potęgę $e$: $b = e^{\ln b}$. Wtedy $b^{\varepsilon} = e^{\varepsilon\ln b} \approx 1 + \varepsilon\ln b$. Współczynnik przy $\varepsilon$ to więc $\ln b$: dla $b = 10$ jest to $\ln10 \approx 2{,}3026$, dla $b = 2$ jest to $\ln2 \approx 0{,}693$.

5.3 Logarytmy w fizyce i technice

Logarytm pojawia się wszędzie tam, gdzie wielkość zmienia się o wiele rzędów wielkości albo gdzie pytamy o czas w procesie wykładniczym.

• Decybele. Poziom natężenia dźwięku $L = 10\log\dfrac{I}{I_0}$ dB. Dziesięciokrotny wzrost natężenia to $+10$ dB, dwukrotny to $+3$ dB.
• pH $= -\log[\mathrm{H^+}]$, gdzie stężenie jonów wodorowych podaje się w mol/l.
• Czas w procesie wykładniczym. Z równania $N_0\left(\tfrac12\right)^{t/T} = N$ dostajemy $t = T\log_2\dfrac{N_0}{N}$. Dla $U = U_0e^{-t/\tau}$ mamy $t = \tau\ln\dfrac{U_0}{U}$.
• Liczba cyfr. Liczba całkowita $N \ge 1$ ma $\lfloor\log N\rfloor + 1$ cyfr, gdzie $\lfloor\ \rfloor$ to część całkowita. $2^{100}$ ma $\lfloor100\cdot0{,}30103\rfloor + 1 = 31$ cyfr.

6 Złożenie i funkcja odwrotna

6.1 Złożenie funkcji

Plama oleju na wodzie ma promień rosnący z czasem: $r(t) = 0{,}5t$ (m, s). Pole koła to $A(r) = \pi r^2$. Pole plamy w chwili $t$ dostajemy, wstawiając jedną funkcję do drugiej:

To złożenie funkcji, zapisywane $(f\circ g)(x) = f(g(x))$: najpierw działa $g$, potem $f$. Kolejność ma znaczenie. Dla $f(x) = x^2$ i $g(x) = x + 1$ mamy $f(g(x)) = (x + 1)^2$, ale $g(f(x)) = x^2 + 1$. W lekcji 1.3 Pochodne złożenie da regułę łańcuchową, jedną z najczęściej używanych reguł w fizyce.

6.2 Funkcja odwrotna

Funkcja odwrotna $f^{-1}$ „cofa” działanie $f$: jeśli $y = f(x)$, to $x = f^{-1}(y)$. Przeliczenie Fahrenheita na Celsjusza jest odwrotne do przeliczenia Celsjusza na Fahrenheita: z $t_F = 1{,}8\,t_C + 32$ wyznaczamy $t_C = (t_F - 32)/1{,}8$. Logarytm $\log_b$ jest odwrotny do $b^x$, a $\ln$ do $e^x$:

Funkcja ma odwrotną tylko wtedy, gdy różnym argumentom przypisuje różne wartości (jest różnowartościowa). Funkcja $x^2$ na całej osi tego warunku nie spełnia, bo $(-3)^2 = 3^2$. Ograniczamy więc dziedzinę do $x \ge 0$ i wtedy odwrotną jest $\sqrt x$. Tak samo powstaną funkcje cyklometryczne, np. $\arcsin$, w lekcji 0.3 Trygonometria i funkcje hiperboliczne.

Wykres funkcji odwrotnej to odbicie wykresu $f$ względem prostej $y = x$, bo punkt $(a;\ b)$ zamienia się w punkt $(b;\ a)$. Wykres $\ln x$ to odbity wykres $e^x$.