Energia: to, co się nie zmienia

0 Prolog: wakacyjny budżet

Feynman zaczyna wykład o energii od prawa, które brzmi zaskakująco abstrakcyjnie. Istnieje wielkość, którą nazywamy energią, i nie zmienia się ona przy żadnej ze znanych przemian w przyrodzie. Nie znamy od tego prawa wyjątku. Prawo nie opisuje żadnego mechanizmu ani konkretnego przedmiotu. Mówi tylko, że jeśli obliczymy pewną liczbę przed jakimkolwiek procesem i po nim, dostaniemy ten sam wynik.FLP I-4-1

Pamiętasz szachy z prologu działu 1? Tam odgadywaliśmy reguły ruchu. Zasada zachowania energii jest prawem innego rodzaju. Przypomina raczej obserwację, że w każdej partii, bez względu na to, jak jest zawiła, na szachownicy stoi dokładnie jeden biały król. Takie prawo nie mówi, co się dzieje, mówi tylko, co się nie zmienia.

Żeby oswoić tę abstrakcję, weźmy przykład z życia. Ania odłożyła na wakacje 2000 zł i postanowiła niczego z tego nie wydawać przed wyjazdem. Nie wszystko leży jednak w jednym miejscu. Część to banknoty w portfelu. Część to pięciozłotówki wrzucone do skarbonki, której nie da się otworzyć bez rozbicia. Część Ania wymieniła już w kantorze na euro. Jak sprawdzić, że suma się zgadza, skoro skarbonki nie można otworzyć, a euro to inna waluta?

Każdą formę liczy się inaczej. Pieniądze w portfelu po prostu się przelicza. Skarbonkę się waży: pięciozłotówka waży 6,54 g, a pusta skarbonka 380 g, więc od masy skarbonki odejmujemy 380 g, dzielimy przez 6,54 g i mnożymy przez 5 zł. Euro mnożymy przez kurs, po którym Ania je kupiła, powiedzmy 4,30 zł za euro. Wzór Ani ma trzy wyrazy:

Z każdą nową formą przechowywania pieniędzy dochodzi nowy wyraz z własnym przelicznikiem. Każdy wyraz oblicza się inaczej, ale ich suma jest zawsze ta sama.

Gdzie tu jest fizyka? Przykład pokazuje trzy rzeczy. Po pierwsze, suma zgadza się tylko w układzie zamkniętym. Gdy babcia dorzuci Ani 100 zł albo Ania kupi bilet, do bilansu trzeba dopisać to, co weszło lub wyszło. Tak samo energia może wejść do układu albo z niego uciec, więc sprawdzając zasadę zachowania, trzeba pilnować granic układu. Po drugie, energia ma wiele postaci i dla każdej jest osobny wzór z własnym „przelicznikiem”: grawitacyjna, kinetyczna, cieplna, sprężystości, elektryczna, chemiczna, promienista, jądrowa i energia masy. Suma wszystkich wyrazów się nie zmienia. Po trzecie, i to jest najważniejsze: gdyby Ania trzymała wszystko na koncie w banku, nie byłoby już żadnych monet ani banknotów, tylko liczba w systemie. Z energią jest tak samo. Nie ma „kawałków energii”, które można obejrzeć. Są tylko wzory, których suma się nie zmienia.

Trzeba sobie uświadomić, że dzisiejsza fizyka nie wie, czym energia jest.

Energii nie da się policzyć jak monet w skarbonce, bo nie składa się z żadnych drobinek. Mamy tylko wzory, a suma ich wyników jest stała, tak jak 2000 zł Ani. W tym dziale zrobimy to, co Ania: znajdziemy „przeliczniki” dla kolejnych form. Najpierw energię położenia (część 1), potem energię ruchu (część 2). Następnie sprawdzimy, kiedy w ogóle da się mówić o energii położenia (część 3), nauczymy się czytać ruch z jednego wykresu (część 4), zmierzymy tempo przekazywania energii (część 5) i rozejrzymy się po pozostałych wyrazach wzoru (część 6).

1 Energia położenia: rozumowanie o maszynach

Wzór na energię potencjalną grawitacji przy powierzchni Ziemi Feynman wyprowadza w sposób, który, jak sam mówi, nie ma nic wspólnego z historią. To rozumowanie wymyślone specjalnie na ten wykład, wzorowane na znakomitym argumencie Carnota o sprawności maszyn parowych. Feynman chce pokazać, jak wiele można wydobyć z kilku faktów i starannego myślenia. Sam wynik pewnie już znasz. Ważne jest to, że da się do niego dojść samym rozumowaniem.FLP I-4-2

1.1 Maszyny, które podnoszą ciężary

Rozważmy maszyny, które podnoszą jeden ciężar, opuszczając inny: dźwignie, bloczki, wagi. Bardzo prosta maszyna tego rodzaju to dźwignia o ramionach w stosunku 1 do 3. Na krótszym ramieniu kładziemy 3 jednostki ciężaru, na dłuższym 1 jednostkę. Dźwignia jest w równowadze. Żeby ruszyła, trzeba zdjąć odrobinę ciężaru z jednej strony. Zdejmując odrobinę z drugiej strony, puścimy ją w przeciwnym kierunku. Każda prawdziwa maszyna potrzebuje takiej „odrobiny”, ale na razie ją pomijamy.

Teraz hipoteza, na której zbudujemy wszystko dalej. Feynman zaznacza, że zakaz perpetuum mobile w ogólnej postaci to po prostu inne sformułowanie zasady zachowania energii.

Maszyny dzielimy na dwie klasy. Nieodwracalne to wszystkie prawdziwe maszyny. Odwracalne to idealizacja, której nie da się osiągnąć mimo najlepszych łożysk i dźwigni, ale można się do niej dowolnie zbliżyć. Maszyna odwracalna działa tak samo w obie strony: jeśli opuszczając 1 jednostkę o 1 m, podnosi 3 jednostki na wysokość $X$, to opuszczając te 3 jednostki o $X$, podniesie 1 jednostkę dokładnie o 1 m. (Feynman używa funtów i stóp. Liczby nie mają tu znaczenia, liczy się rozumowanie.)

1.2 Maszyna odwracalna jest najlepsza z możliwych

Weźmy maszynę odwracalną A, która opuszcza 1 jednostkę o 1 m i podnosi 3 jednostki na wysokość $X$. Weźmy też dowolną maszynę B, niekoniecznie odwracalną, która także opuszcza 1 jednostkę o 1 m, ale podnosi 3 jednostki na wysokość $Y$. Twierdzimy, że $Y$ nie może być większe od $X$. Dowód nie wymaga zaglądania do środka żadnej z maszyn. Załóżmy, że $Y > X$, i zobaczmy, co się stanie:

1. Maszyna B opuszcza 1 jednostkę o 1 m i podnosi 3 jednostki na wysokość $Y$.
2. Opuszczamy te 3 jednostki z $Y$ do $X$. Przy okazji możemy nimi coś podnieść. To jest nasz darmowy zysk.
3. Puszczamy maszynę A wstecz: opuszcza 3 jednostki z $X$ na ziemię i podnosi 1 jednostkę z powrotem o 1 m.
4. Wszystkie ciężary są tam, gdzie były na początku, obie maszyny są gotowe do następnego cyklu, a zysk z kroku 2 został. To perpetuum mobile, którego istnienie wykluczyliśmy.

Zatem $Y \le X$: żadna maszyna nie podniesie ciężaru wyżej niż maszyna odwracalna. A jeśli B też jest odwracalna? Wtedy to samo rozumowanie z zamienionymi rolami daje $X \le Y$, więc $X = Y$. Wszystkie maszyny odwracalne podnoszą na tę samą wysokość, bez względu na to, jak są zbudowane. Ktoś może skonstruować niezwykle skomplikowany układ dźwigni. My od razu wiemy, że nie podniesie on ciężaru wyżej niż zwykła dźwignia, a jeśli jest odwracalny, to podniesie dokładnie tak samo wysoko. To prawo uniwersalne. Następne pytanie brzmi oczywiście: ile wynosi $X$?

1.3 Ile wynosi X? Trzy kule na półkach

Ten fragment jest sercem działu. Przeczytaj go powoli, z rysunkiem przed oczami. Feynman buduje układ z czterech jednakowych kul i maszyny odwracalnej, która opuszczając jedną kulę o 1 m, podnosi trzy kule o $X$.

1. Start. Obok maszyny stoi nieruchomy stojak z półkami rozmieszczonymi co $X$. Na trzech dolnych półkach (na wysokościach $0$, $X$, $2X$) leżą trzy kule, półka na wysokości $3X$ jest pusta. Czwarta kula leży na podeście 1 m nad ziemią. Maszyna ma ruchomą platformę: podłogę i dwie półki, też co $X$, ustawione równo z dolnymi półkami stojaka.
2. Załadunek. Przetaczamy trzy kule poziomo ze stojaka na platformę. Wysokość się nie zmienia, więc zakładamy, że nie kosztuje to nic.
3. Maszyna pracuje. Opuszcza pojedynczą kulę z podestu na ziemię (o 1 m) i podnosi platformę z trzema kulami o $X$.
4. Rozładunek. Platforma stoi teraz równo z półkami stojaka na wysokościach $X$, $2X$ i $3X$. Przetaczamy kule z powrotem na stojak.
5. Porządki. Pusta platforma wraca na dół, a maszyna do stanu początkowego. Porównajmy stojak. Przedtem kule na stojaku leżały na wysokościach $0$, $X$, $2X$, a teraz leżą na $X$, $2X$, $3X$. Półki $X$ i $2X$ były zajęte i nadal są zajęte. W gruncie rzeczy podnieśliśmy jedną kulę o $3X$, a jedną opuściliśmy o 1 m.
6. Koniec. Jeśli $3X$ jest większe niż 1 m, zsuwamy górną kulę z wysokości $3X$ na podest (1 m) i po drodze odbieramy nadwyżkę. Kulę z ziemi przetaczamy na pustą dolną półkę. Wszystko wygląda jak w punkcie (a), a nadwyżka została. Mamy perpetuum mobile.

Wniosek: $3X$ nie może przekraczać 1 m. Ale maszyna jest odwracalna, więc możemy cały cykl puścić w przeciwną stronę. Wtedy ten sam argument pokazuje, że 1 m nie może przekraczać $3X$. Zostaje jedna możliwość: $3X = 1$ m, czyli $X = \tfrac13$ m. Doszliśmy do tego samym rozumowaniem, bez żadnego pomiaru.

Uogólnienie jest proste. Jeśli jedna jednostka ciężaru opada o pewną wysokość, maszyna odwracalna podniesie $p$ jednostek na wysokość $p$ razy mniejszą. Inaczej mówiąc: 3 jednostki razy $X$ to tyle samo co 1 jednostka razy 1 m. Pomnóżmy każdy ciężar przez jego wysokość i dodajmy. Puśćmy maszynę, a potem znów pomnóżmy i dodajmy. Suma się nie zmieni.

To bardzo piękne rozumowanie. Jedyny kłopot w tym, że może być nieprawdziwe.

Przyroda nie musi słuchać naszych rozumowań. Może jakieś założenie jest błędne, może popełniliśmy błąd w rozumowaniu, a może perpetuum mobile jest jednak możliwe. Dlatego zawsze trzeba sprawdzić. Doświadczenie pokazuje, że wynik jest prawdziwy.

Energię, którą ciało ma z powodu swojego położenia względem czegoś innego, nazywamy energią potencjalną. Gdy zamiast ciężarów „podnosimy” ładunki elektryczne, oddalając je od innych ładunków, mówimy o elektrycznej energii potencjalnej. Ogólna zasada brzmi tak: zmiana energii to siła razy odległość, na jakiej ta siła działa. W części 2 zobaczymy, że dokładnie oznacza to składową siły wzdłuż przesunięcia, scałkowaną po drodze.

1.4 Siedemdziesiąt pięć reguł z jednej zasady

W szkole uczyliśmy się wielu reguł dla dźwigni, bloczków i równi. Feynman zauważa, że wszystkie są tym samym i nie trzeba pamiętać 75 osobnych przepisów. Weźmy gładką równię w kształcie trójkąta o bokach 3, 4 i 5. Na równi leży ciężarek 1 jednostki, połączony nicią przez bloczek na szczycie z drugim ciężarkiem, który wisi pionowo. Ile jednostek $n$ musi ważyć ten drugi, żeby układ był w równowadze? Skoro jest w równowadze, to jest odwracalny i może się przesuwać w obie strony. Niech więc wiszący ciężarek opadnie o całą długość równi, czyli o 5. Ciężarek na równi przesunie się wtedy z dołu na szczyt, czyli wzniesie się o 3. Suma ciężarów razy wysokości się nie zmienia:

Wyprowadziliśmy to z zasady zachowania energii, a nie z rozkładu sił na składowe. Porównaj z działem 1: siła zsuwająca na równi to $mg\sin\alpha = mg\cdot\tfrac35$. Wynik jest ten sam.

Jest też dowód jeszcze piękniejszy, pochodzący od Simona Stevina. Rysunek jego łańcucha zdobi stronę tytułową książki Stevina z 1586 r. (tradycja mówi, że także jego nagrobek). Przełóżmy przez trójkątny klin zamknięty łańcuch z jednakowych kulek. Łańcuch nie zacznie sam krążyć dookoła, bo byłoby to perpetuum mobile. Dolna, zwisająca część jest symetryczna i równoważy się sama. Zatem pięć kulek leżących na pochyłym boku (długość 5) musi równoważyć trzy kulki wzdłuż pionowego boku (długość 3).

Ta sama metoda rozwiązuje zadania z równowagi konstrukcji. Weźmy nieważki pręt zamocowany przegubowo na lewym końcu. Na środku pręta wisi ciężarek 30 jednostek, a w trzech czwartych długości od mocowania ciężarek 40 jednostek. Jaką siłą $F$ trzeba podtrzymywać wolny koniec? Zawieśmy nad końcem bloczek, a na przełożonej przez niego linie ciężarek $F$, który ciągnie koniec pręta w górę. Niech ciężarek opadnie o 4 cm. Koniec pręta podniesie się wtedy o 4 cm, punkt w trzech czwartych długości o 3 cm, a środek o 2 cm. Suma ciężarów razy wysokości się nie zmienia:

To zasada prac przygotowanych (ang. virtual work). Konstrukcja w rzeczywistości się nie porusza. Wyobrażamy sobie mały ruch tylko po to, żeby zastosować zasadę zachowania energii. Inżynierowie liczą tak równowagę mostów i dźwigów.

2 Energia ruchu i praca

2.1 Dokąd znika energia wahadła?

Odchylamy ciężarek wahadła i puszczamy. Schodząc do najniższego punktu, ciężarek traci wysokość, więc traci energię potencjalną. Na dole tej energii ubyło, a mimo to ciężarek znowu się wznosi. Energia musiała przejść w inną postać. Ponieważ to dzięki ruchowi ciężarek może wjechać z powrotem do góry, nazywamy ją energią ruchu, czyli kinetyczną.FLP I-4-3

Ile jej jest? Wróćmy do maszyn. W ruchu na dole musi tkwić porcja energii, która pozwala ciału wznieść się na pewną wysokość. Ta wysokość nie zależy od tego, jaką maszyną ani jaką drogą ciało będzie się wznosić. Energia kinetyczna to więc ciężar razy wysokość, na którą ciało mogłoby się wznieść dzięki swojej prędkości. Tę wysokość znamy z działu 1: ciało rzucone pionowo w górę z prędkością $v$ wznosi się, aż $0 = v^2 - 2gh$, czyli na wysokość $h = v^2/(2g)$. Zatem

Grawitacja posłużyła tu tylko jako miarka. Energia ruchu nie ma nic wspólnego z polem grawitacyjnym i nie zależy od tego, skąd ruch się wziął. Wzór jest ogólny.

2.2 To samo z praw Newtona

W rozdziale 4 Feynman w ogóle nie używa praw Newtona. Ciekawe jest jednak, jak zasada zachowania energii z nich wynika. Zacznijmy od ciała spadającego pionowo i policzmy, jak szybko zmienia się jego energia kinetyczna:FLP I-13-1

Siła jest stała, $F = -mg$ (minus, bo działa w dół), a prędkość to tempo zmiany wysokości, $v = \mathrm dh/\mathrm dt$. Zatem

Feynman nazywa to „cudem nad cudami”. Tempo zmiany energii kinetycznej okazuje się równe minus tempu zmiany czegoś innego. O ile jedna wielkość rośnie, o tyle druga maleje, więc ich suma stoi w miejscu:

A jeśli ciało zsuwa się po gładkim, zakrzywionym torze? Wtedy $m\,\mathrm dv/\mathrm dt$ to tylko składowa siły styczna do toru, $F_t$. Jest ona mniejsza od $mg$ w takim stosunku, w jakim przyrost wysokości $\mathrm dh$ jest mniejszy od drogi $\mathrm ds$ wzdłuż toru: $F_t = -mg\,\mathrm dh/\mathrm ds$. Prędkość to $v = \mathrm ds/\mathrm dt$, więc

Odcinki $\mathrm ds$ się skróciły i znowu wyszło $-\mathrm d(mgh)/\mathrm dt$. Prędkość na danej wysokości zależy tylko od tego, o ile ciało opadło, a nie od kształtu toru: $v = \sqrt{v_0^2 + 2g(H - h)}$, gdzie $H$ to wysokość startu.

2.3 Twierdzenie o pracy i energii

Przejdźmy do trzech wymiarów. Energia kinetyczna to $E_k = \tfrac12 m(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)$. Po zróżniczkowaniu dostajemy trzy wyrazy, w których $m\,\mathrm dv_x/\mathrm dt = F_x$ i tak dalej:

Można też szybciej. Pochodna iloczynu skalarnego to $\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\vec a\cdot\vec b) = \vec a\cdot\tfrac{\mathrm d\vec b}{\mathrm dt} + \tfrac{\mathrm d\vec a}{\mathrm dt}\cdot\vec b$. Dla $\vec a = \vec b = \vec v$ dostajemy $\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\tfrac12 m\,\vec v\cdot\vec v\right) = m\,\tfrac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dt}\cdot\vec v = \vec F\cdot\vec v$.

Wielkość $\vec F\cdot\vec v$ nazywa się mocą (część 5). Feynman nazywa ten wynik wspaniałym twierdzeniem: tempo zmiany energii kinetycznej ciała równa się mocy sił, które na nie działają. Pomnóżmy obie strony przez krótki czas $\mathrm dt$. Ponieważ $\vec v\,\mathrm dt = \mathrm d\vec s$ to małe przesunięcie, dostajemy $\mathrm dE_k = \vec F\cdot\mathrm d\vec s$. Całkujemy wzdłuż toru od punktu 1 do punktu 2:

2.4 Praca: co się liczy, a co nie

Iloczyn skalarny (1.1 Wektory) zawiera całą treść tej definicji:

Liczy się tylko składowa siły wzdłuż przesunięcia, czyli $F\cos\theta$. Równoważnie: składowa przesunięcia wzdłuż siły pomnożona przez $F$.FLP I-14-1 Stąd trzy przypadki:

1. Gdy $\theta < 90^\circ$, siła pomaga w ruchu. Praca jest dodatnia, a energia kinetyczna rośnie.
2. Gdy $\theta > 90^\circ$, siła hamuje. Praca jest ujemna. Tak działa tarcie kinetyczne o nieruchome podłoże, a także ciężar kamienia rzuconego w górę.
3. Gdy $\theta = 90^\circ$, praca jest zerowa, choćby siła była ogromna. Siła dośrodkowa w ruchu po okręgu zmienia kierunek prędkości, ale nie szybkość.

Dla stałej siły i prostoliniowego przesunięcia $\Delta\vec s$ całka staje się zwykłym iloczynem: $W = \vec F\cdot\Delta\vec s = F\,\Delta s\cos\theta$. W jednym wymiarze ze zmienną siłą praca to pole pod wykresem siły: $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x)\,\mathrm dx$.

Jednostką pracy jest dżul: $1\ \mathrm J = 1\ \mathrm{N\cdot m}$. Zakład energetyczny sprzedaje nam pracę w kilowatogodzinach: $1\ \mathrm{kWh} = 1000\ \mathrm W\cdot 3600\ \mathrm s = 3{,}6\cdot10^6\ \mathrm J$.FLP I-13-1

2.5 Dlaczego reakcja podłoża nie wykonuje pracy

Ciało zsuwa się po gładkim torze albo kulka wahadła krąży na nici wokół nieruchomego punktu. Tor i nić to więzy. Siły, którymi działają, czyli reakcja $N$ i naciąg $N_n$, są zawsze prostopadłe do prędkości, bo ciało nie może wniknąć w tor ani oddalić się od punktu zawieszenia. Dlatego nieruchome i gładkie więzy nie wykonują pracy.FLP I-14-2

To wyjaśnia coś, co w części 2.2 mogło wyglądać podejrzanie. Siły działające na ciało na zjeżdżalni są skomplikowane, bo reakcja zmienia się w każdym punkcie toru. A jednak licząc tylko pracę ciężaru, dostajemy poprawny wynik. Praca wypadkowej to suma prac jej składników, a praca reakcji jest zerowa. Dlatego prędkość na dole gładkiej zjeżdżalni zależy tylko od jej wysokości.

Feynman podaje jako przykład więzów wahadło, którego nić w czasie ruchu zaczepia o kołek. Kulka zaczyna wtedy krążyć po mniejszym okręgu, ale naciąg nici nadal jest prostopadły do toru i nie wykonuje pracy. Z tego samego powodu siła magnetyczna, zawsze prostopadła do prędkości ładunku, zmienia kierunek jego ruchu, ale nie zmienia szybkości (dział 15).FLP I-14-5

3 Siły zachowawcze i energia potencjalna

3.1 Czy praca zależy od drogi?

Przesuwasz ciężką skrzynię po podłodze z punktu 1 do punktu 2. Jeśli pojedziesz okrężną drogą, tarcie zabierze więcej energii: praca tarcia zależy od drogi. Z ciężarem jest inaczej. Siła ciężkości ma tylko składową pionową, $F_z = -mg$, więc z iloczynu $F_x\,\mathrm dx + F_y\,\mathrm dy + F_z\,\mathrm dz$ zostaje tylko $-mg\,\mathrm dz$:FLP I-13-1

Wynik zależy tylko od różnicy wysokości. Ciało może lecieć po paraboli, zjeżdżać po krzywej albo iść po schodach.

3.2 Siły zachowawcze

Siłę, której praca między dowolnymi dwoma punktami nie zależy od drogi, nazywamy zachowawczą. Feynman zaznacza, że to jedno z tych „szalonych słów” i nie ma tu żadnych skojarzeń politycznych.FLP I-14-3 Równoważne sformułowanie: praca siły zachowawczej po każdej drodze zamkniętej wynosi zero. Jeśli z punktu 1 do 2 idziemy drogą A, a wracamy drogą B, to praca wynosi $W_A - W_B$, a to jest zero dokładnie wtedy, gdy $W_A = W_B$:

Dlaczego grawitacja miałaby mieć tę własność? Feynman rozumuje tak samo jak w części 1.FLP I-13-2 Gdyby praca po jakiejś drodze zamkniętej była dodatnia, położylibyśmy wzdłuż tej drogi gładką rurkę. Kulka w rurce przyspieszałaby przy każdym okrążeniu. Gdyby praca była ujemna, puścilibyśmy kulkę w przeciwną stronę: siła zależy tylko od położenia, więc przy odwrotnym obiegu praca zmienia znak. W obu przypadkach mielibyśmy perpetuum mobile. Zatem siła, która zależy tylko od położenia i nie pozwala zbudować perpetuum mobile, musi być zachowawcza.

Tarcie zachowawcze nie jest. Działa zawsze przeciwnie do prędkości, więc zależy nie tylko od położenia, ale też od kierunku ruchu. Na każdej drodze zamkniętej zabiera energię.

Jest też prosty test. W dwóch wymiarach siła $\vec F = [F_x,\ F_y]$ może być zachowawcza tylko wtedy, gdy $\partial F_x/\partial y = \partial F_y/\partial x$ (to pochodne cząstkowe z lekcji 1.4 Rachunek różniczkowy w praktyce: różniczkujemy po jednej zmiennej, drugą traktując jak stałą; więcej w części 3.4). Weźmy przykład. Siła $\vec F_1 = [y,\ x]$ spełnia ten warunek ($1 = 1$) i jej praca nie zależy od drogi. Siła $\vec F_2 = [-y,\ x]$ go nie spełnia ($-1 \ne 1$) i „kręci się” wokół początku układu. Warunek wystarcza, jeśli obszar, w którym działa siła, nie ma dziur. W trzech wymiarach odpowiada mu rotacja pola, którą poznamy przed elektromagnetyzmem.

3.3 Energia potencjalna

Dla siły zachowawczej możemy zrobić to, co Ania ze skarbonką: zastąpić skomplikowaną całkę jedną liczbą przypisaną do każdego punktu. Wybieramy dowolny punkt odniesienia $P$ i definiujemy

Całka nie zależy od drogi, więc $U$ jest dobrze określoną funkcją położenia. Praca z punktu 1 do 2 to praca z 1 do $P$ plus praca z $P$ do 2, czyliFLP I-14-3

Gdybyśmy wybrali inny punkt odniesienia, wszystkie wartości $U$ zmieniłyby się o tę samą stałą. W zasadzie zachowania energii liczą się tylko zmiany, więc stała nie ma znaczenia. Feynman pisze, że równie dobrze moglibyśmy przyjąć $U = mg(z - 6)$, a wszystkie wyniki byłyby takie same.

Teraz łączymy dwa zdania. Praca wypadkowej to zmiana energii kinetycznej (część 2.3), a praca siły zachowawczej to minus zmiana $U$. Stąd:

Gdy działa kilka sił zachowawczych, ich energie potencjalne się dodają. Dla wielu ciał, np. planet albo atomów, energia potencjalna układu to suma energii wszystkich par.FLP I-13-3 Feynman zaznacza, że dla sił międzycząsteczkowych to tylko przybliżenie, a dla grawitacji Newtona jest to ściśle prawdziwe.FLP I-14-3

Skąd się bierze $mgh$? Z dokładnego wzoru $U = -GMm/r$. Na wysokości $h$ nad powierzchnią Ziemi o promieniu $R$:

bo $GM/R^2 = g$. Błąd wzoru $mgh$ wynosi więc ok. $h/R$: 0,16% na wysokości przelotowej samolotu (10 km) i 1% dopiero na wysokości ok. 64 km.

Feynman od razu używa dokładnego wzoru. Z jaką prędkością trzeba wystrzelić rakietę, żeby na zawsze uciekła z Ziemi? Na starcie $E = \tfrac12 mv^2 - GMm/R$. Bardzo daleko, gdy rakieta ledwie dryfuje, $E = 0 + 0$. Zatem $v^2 = 2GM/R = 2gR$. Do krążenia tuż nad powierzchnią potrzeba $v^2 = gR$ (dział 1, ruch po okręgu). Ucieczka wymaga więc prędkości $\sqrt2$ razy większej, czyli dwa razy więcej energii.FLP I-14-3 Liczbowo $\sqrt{gR} \approx 7{,}9$ km/s i $\sqrt{2gR} \approx 11{,}2$ km/s. Feynman podaje w zaokrągleniu 5 i 7 mil na sekundę, czyli ok. 8 i 11,3 km/s. Orbitami zajmie się dział 5.

3.4 Siła z energii potencjalnej

Odwróćmy pytanie: znamy $U$, jak znaleźć siłę? Przesuńmy ciało o mały odcinek $\Delta x$. Siła wykonuje pracę $F_x\Delta x$, a ta równa się minus zmianie energii potencjalnej:FLP I-14-5

Znajomość $U$ w jednym punkcie nie wystarcza. Trzeba wiedzieć, jak $U$ zmienia się w otoczeniu. W trzech wymiarach $U(x, y, z)$ zależy od trzech zmiennych. Przesuwając ciało wzdłuż osi $x$, zmieniamy tylko $x$, a $y$ i $z$ zostają stałe. Taką pochodną nazywamy cząstkową i piszemy z zaokrąglonym $\partial$ (1.4 Rachunek różniczkowy w praktyce). Feynman żartuje, że $\partial$ powinno się stosować od początku rachunku różniczkowego: „d” zawsze kusi, żeby je skrócić, a $\partial$ nikt nie chce skracać.

Symbol $\nabla$ (czytamy „nabla” albo „gradient”) to operator, który z funkcji liczbowej robi wektor o składowych $\partial/\partial x$, $\partial/\partial y$, $\partial/\partial z$. Obraz jest prosty. Potraktuj $U$ jak wysokość terenu. Gradient wskazuje kierunek najbardziej stromego podejścia, więc siła $-\nabla U$ pcha ciało w dół zbocza, tym mocniej, im zbocze jest bardziej strome.

3.5 Tarcie: dokąd znika energia?

Klocek pchnięty po stole zwalnia i staje. Siła tarcia kinetycznego jest zawsze skierowana przeciwnie do ruchu, więc wykonuje pracę ujemną i energia kinetyczna maleje do zera.FLP I-13-1 Dla klocka sunącego po nieruchomym podłożu praca tarcia to $-Ts$, gdzie $s$ to przebyta droga, a nie przemieszczenie. Bilans energii trzeba uzupełnić o pracę sił niezachowawczych $W_\text{nz}$:

W szkolnej notacji to wzór $\Delta(E_k + E_p) = -T\cdot s$ ($E_p$ to inna nazwa $U$).

Czy energia naprawdę zniknęła? Feynman odpowiada mocniej niż większość podręczników:

Spojrzymy na to głębiej, niż się zwykle patrzy, i powiemy, że sił niezachowawczych w ogóle nie ma!

Wszystkie siły podstawowe, działające między cząstkami na najgłębszym poziomie, wydają się zachowawcze. Nie wynika to z praw Newtona. Newton tego nie wiedział i dla niego siły mogły być niezachowawcze, tak jak pozornie tarcie. Energia kinetyczna klocka nie ginie. Przechodzi w chaotyczny ruch atomów, którego nie widzimy, ale który mierzymy termometrem. Pamiętasz zdanie o atomach z działu 1? Atomy są w ciągłym ruchu, a tarcie, jak mówiliśmy w dziale 1, to wiązania, które tworzą się i zrywają między atomami dwóch powierzchni. Ciepło to przede wszystkim energia kinetyczna atomów. Energia chemiczna to z kolei głównie energia potencjalna ich ułożenia: benzyna spala się z wydzieleniem energii, bo atomy w nowym układzie mają niższą energię potencjalną niż w starym.FLP I-14-4

Zasada zachowania energii wydaje się fałszywa jeszcze w jednej sytuacji: gdy badamy tylko część układu i pomijamy jej oddziaływanie z resztą. Przypomina to Anię, która zapomniała doliczyć euro: suma się nie zgadza, bo pominęliśmy jeden wyraz. Wróć teraz do symulacji 2 i ustaw tarcie. Suma $E_k + U$ maleje, ale suma $E_k + U + Q$, gdzie $Q$ to wydzielone ciepło, pozostaje stała.

4 Wykresy energii: ruch z jednego rysunku

W jednym wymiarze, gdy pracę wykonują tylko siły zachowawcze, zasada zachowania energii mówi o ruchu prawie wszystko. Nie trzeba przy tym rozwiązywać równania ruchu. Z równania $\tfrac12 mv^2 + U(x) = E$ od razu mamy prędkość w każdym punkcie:

Cały ruch można więc odczytać z jednego wykresu: krzywej $U(x)$ i poziomej linii na wysokości $E$.

4.1 Jak czytać wykres U(x)

1. Obszary dozwolone. Energia kinetyczna nie może być ujemna, więc ciało może przebywać tylko tam, gdzie $U(x) \le E$. Tam, gdzie krzywa wystaje ponad linię $E$, ciało nie dotrze. (W mechanice kwantowej okaże się, że może tam „przeciekać”, ale to dużo później.)
2. Punkty zwrotne. Tam, gdzie $U(x) = E$, prędkość spada do zera i ciało zawraca. Siła $-U'(x)$ jest w tym punkcie zwykle różna od zera i to właśnie ona zawraca ciało.
3. Prędkość. Odległość w pionie między linią $E$ a krzywą to energia kinetyczna. Ciało porusza się najszybciej tam, gdzie $U$ jest najmniejsze.
4. Siła. Nachylenie krzywej to minus siła: $F = -U'(x)$. Siła pcha zawsze w dół zbocza, jak na kulkę na pagórkowatym terenie.
5. Ruch związany i swobodny. Jeśli po obu stronach ciała są punkty zwrotne, porusza się ono tam i z powrotem, czyli drga. Jeśli z jednej strony linia $E$ nigdy nie spotyka krzywej, ciało ucieka do nieskończoności.

4.2 Równowaga trwała i nietrwała

W punkcie, w którym $U'(x_0) = 0$, siła jest zerowa. Ciało położone tam bez prędkości zostaje na miejscu: to położenie równowagi. Ale równowaga równowadze nierówna. Wychylmy ciało trochę w prawo. W dołku, czyli w minimum $U$, zbocze w prawo się wznosi, siła $-U'$ jest ujemna i pcha ciało z powrotem w lewo. To równowaga trwała. Na szczycie, czyli w maksimum $U$, zbocze w prawo opada, siła pcha ciało dalej w prawo i ciało ucieka. To równowaga nietrwała. Na płaskim odcinku siła jest zerowa także po wychyleniu: to równowaga obojętna.

Feynman opisuje dno dołka tak. Przesunięcie o bardzo mały odcinek prawie nie zmienia energii potencjalnej, więc praca jest prawie zerowa i siły w tym punkcie nie ma. Za to odejście od dna w którąkolwiek stronę wymaga pracy.FLP I-14-3

4.3 Małe drgania: każdy dołek to sprężyna

Przyjrzyjmy się dołkowi z bliska. Rozwijamy $U$ w szereg Taylora wokół $x_0$ (1.4 Rachunek różniczkowy w praktyce). Wyraz liniowy znika, bo $U'(x_0) = 0$:

To energia sprężyny o sztywności $k = U''(x_0)$. Siła $F = -U'(x) \approx -k\,(x - x_0)$ to prawo Hooke’a. Z działu 1 (część 6.4) wiemy, jak porusza się ciało na sprężynie: $x - x_0 = A\cos(\omega t + \varphi)$.

4.4 Dwa atomy: potencjał Lennarda-Jonesa

Feynman stosuje wykres energii do dwóch atomów, na przykład dwóch atomów tlenu.FLP I-14-3 Gdy są daleko od siebie, przyciągają się siłą malejącą jak $1/r^7$, więc energia potencjalna zmienia się jak $1/r^6$. Gdy są bardzo blisko, bardzo silnie się odpychają. Pomiędzy jest minimum energii w odległości $d$. To położenie równowagi. Zimna cząsteczka tlenu wygląda właśnie tak: atomy siedzą na dnie dołka w odległości $d$. Gdy ją ogrzejemy, atomy zaczynają drgać i oddalać się od siebie. Można je nawet rozerwać, ale wymaga to pracy równej różnicy energii potencjalnej $U(\infty) - U(d)$.

Feynman dodaje uwagę, która wybiega daleko w przyszłość tego kursu. W mechanice kwantowej pojęcie siły przestaje być wygodne, a pojęcie energii zostaje. Dlatego w podręcznikach mechaniki kwantowej znajdziesz mnóstwo wykresów energii potencjalnej, a prawie żadnych wykresów sił.

Wygodnym modelem takiego dołka jest potencjał Lennarda-Jonesa. Ściśle biorąc, dobrze opisuje on atomy, które nie tworzą wiązania chemicznego (gazy szlachetne, kryształy cząsteczkowe). Wiązania takie jak w O₂ czy HCl mają głębsze i węższe dołki, opisywane np. potencjałem Morse’a. Kształt jest jednak podobny i do zrozumienia ruchu to wystarczy:

Wykładnik 6 odpowiada przyciąganiu, o którym mówi Feynman. Wykładnik 12 wybrano dla wygody rachunków. Opisuje on „twardą ścianę”, ale nie wynika z żadnego prawa. Model najlepiej pasuje do atomów gazów szlachetnych, np. argonu. Rachunek daje: minimum w $r_0 = 2^{1/6}\sigma \approx 1{,}12\sigma$, głębokość dołka $U(r_0) = -\varepsilon$ i sztywność wiązania $k = U''(r_0) = 72\varepsilon/(2^{1/3}\sigma^2) \approx 57{,}1\,\varepsilon/\sigma^2$. Przy $E < 0$ atomy są związane i drgają w dołku. Przy $E > 0$ zbliżają się, odbijają od ściany i rozbiegają na zawsze. Tak wygląda zderzenie.

Spójrz jeszcze raz na kształt dołka. Z lewej strony ściana jest stroma, z prawej zbocze jest łagodne. Przy $E = -\tfrac12\varepsilon$ punkty zwrotne leżą w $1{,}03\sigma$ i $1{,}38\sigma$. Środek tego przedziału, $1{,}20\sigma$, leży wyraźnie na prawo od dna. Im większa energia drgań, tym dalej od siebie są średnio atomy. To jest mechanizm rozszerzalności cieplnej (zadanie 5 poniżej).

5 Moc: jak szybko płynie energia

5.1 Definicja

Tę samą pracę można wykonać szybko albo powoli. Tempo wykonywania pracy nazywamy mocą. W części 2.3 pojawiła się sama: tempo zmiany energii kinetycznej to $\vec F\cdot\vec v$. Feynman mówi krótko, że moc to praca wykonana w ciągu sekundy.FLP I-13-1

5.2 Stała moc, zmienna siła

Wzór $P = Fv$ wyjaśnia, po co samochodowi skrzynia biegów. Silnik o danej mocy może pchać samochód siłą najwyżej $F = P/v$. Przy mocy 100 kW i prędkości 30 m/s to tylko ok. 3,3 kN. Przy małej prędkości ten sam wzór dawałby siłę ogromną, ale wtedy ograniczeniem jest przyczepność kół i to, co silnik potrafi przy niskich obrotach. Skrzynia biegów pozwala wykorzystywać pełną moc w szerokim zakresie prędkości. Przy dużych prędkościach dominuje opór powietrza $F = \tfrac12\rho C_x S v^2$ ($\rho$ to gęstość powietrza, $S$ pole przekroju, a $C_x$ współczynnik oporu zależny od kształtu, dla auta ok. 0,3), więc moc potrzebna do jazdy ze stałą prędkością rośnie jak $v^3$. Jazda dwa razy szybsza wymaga ośmiokrotnie większej mocy.

5.3 Rzędy wielkości

Feynman zauważa, że przyroda wcale nie oszczędza energii. Słońce wysyła jej mnóstwo we wszystkich kierunkach, ale na Ziemię trafia tylko jedna dwumiliardowa część.FLP I-4-4 Sprawdźmy. Ziemia o promieniu $R$ w odległości $d$ od Słońca przechwytuje ułamek $\pi R^2/(4\pi d^2) = R^2/(4d^2) \approx 4{,}5\cdot10^{-10}$, czyli jedną część na 2,2 miliarda. Zgadza się.

Szacowanie po feynmanowsku: ile razy trzeba wejść na szczyt Pałacu Kultury (237 m), żeby wykonać pracę 1 kWh? Przy masie 70 kg jedno wejście to $mgh \approx 163$ kJ, więc potrzeba ok. 22 wejść. Za tę samą kilowatogodzinę z gniazdka płacimy rzędu złotówki. Mięśnie są drogim źródłem energii, a prąd jest bardzo tani.

6 Inne formy energii i E = mc²

6.1 Sprężyna, ciepło i małe oszustwo

Feynman wylicza kolejne wyrazy wzoru mamy.FLP I-4-4 Rozciągnięta sprężyna może podnosić ciężary, więc ma energię: energię sprężystości $\tfrac12 kx^2$ (część 3.3). Puszczona sprężyna z ciężarkiem drga. Energia sprężystości zamienia się w kinetyczną i z powrotem, i tak by trwało bez końca, gdyby nie straty. W tym miejscu Feynman przyznaje się do oszustwa. Przez cały wykład dokładał „odrobinę” ciężaru, żeby maszyny ruszyły, i udawał, że są odwracalne i działają wiecznie. A przecież wszystko w końcu staje. Gdzie jest energia, gdy sprężyna przestanie drgać?

Odpowiedź to ciepło. Sprężyna i dźwignia składają się z kryształów zbudowanych z ogromnej liczby atomów. Przy każdym toczeniu i ocieraniu nierówności materiału potrącają atomy, a te zaczynają drgać w środku, chaotycznie i bezładnie. Energia kinetyczna wciąż istnieje, tylko nie jest związana z widocznym ruchem. Termometr pokazuje, że sprężyna jest cieplejsza. Feynman podkreśla, że ciepło to właściwie nie nowa postać energii, tylko energia kinetyczna ruchu wewnętrznego. Dlatego w doświadczeniach z dużymi ciałami nie da się naprawdę zbudować maszyny odwracalnej: przy każdym ruchu część energii przechodzi w ruch atomów.

6.2 Katalog postaci energii

O energii jądrowej Feynman pisał na początku lat 60. uczciwie: mamy na nią wzory, ale nie znamy praw podstawowych. Wiemy, że nie jest elektryczna, grawitacyjna ani czysto chemiczna, ale nie wiemy, czym jest. Dziś wiemy więcej. To głównie resztkowe oddziaływanie silne między nukleonami (pozostałość oddziaływania między kwarkami, które opisuje chromodynamika kwantowa), a do tego elektryczne odpychanie protonów. Wyliczenie energii wiązania jądra prosto z tej teorii jest jednak wciąż bardzo trudne.

6.3 E = mc²: energia samego istnienia

Ostatni wyraz na liście jest najdziwniejszy. Ciało ma energię z samego faktu, że istnieje. Feynman pokazuje to tak.FLP I-4-4 Elektron i pozyton spoczywają obok siebie. Nie interesuje nas grawitacja ani nic innego. Gdy się zetkną, znikają, a w ich miejsce pojawia się promieniowanie o ściśle określonej energii. Do jej obliczenia wystarczy znać masę i nie ma znaczenia, z czego zbudowane były znikające ciała. Wzór jako pierwszy znalazł Einstein:

W teorii względności, w języku Feynmana, masa ciała rośnie z prędkością: $m = m_0/\sqrt{1 - v^2/c^2}$, gdzie $m_0$ to masa spoczynkowa. (Dziś częściej mówi się, że z prędkością rosną energia i pęd, a masa jest stała. To ten sam fakt.) Gdy rozwiniemy $mc^2$ dla małych prędkości (1.4 Rachunek różniczkowy w praktyce), dostaniemyFLP I-15-9

Pierwszy wyraz to energia spoczynkowa, ogromna i stała. Drugi to nasza stara energia kinetyczna Newtona. Wzór $\tfrac12mv^2$ okazuje się pierwszą poprawką do czegoś większego. Feynman liczy, że dla satelity masa rośnie zaledwie o jedną część na dwa do trzech miliardów.FLP I-15-1 Nic dziwnego, że Newton tego nie zauważył.

Zmiany masy w zwykłych procesach są maleńkie, bo z danej ilości materii zwykle nie da się wydobyć dużo energii. Spalenie kilograma węgla daje ok. 30 MJ, co odpowiada ubytkowi masy $30\cdot10^6\ \mathrm J/c^2 \approx 3\cdot10^{-10}$ kg, czyli jednej trzeciej mikrograma. Dlatego chemicy przez stulecia obserwowali, że masa jest zachowana. Feynman podaje przykład skrajny: po wybuchu bomby atomowej o sile 20 kiloton trotylu produkty są lżejsze o mniej więcej 1 gram.FLP I-15-9 Sprawdźmy: $2\cdot10^7$ kg trotylu po 4,18 MJ/kg to $8{,}4\cdot10^{13}$ J, a $\Delta m = E/c^2 \approx 0{,}93$ g. Wyprowadzenie wzoru $E = mc^2$ i powód, dla którego masa rośnie z prędkością, zostawiamy na dział 7.

6.4 Energia zachowana, ale nie zawsze dostępna

Feynman kończy rozdział 4 ważnym rozróżnieniem.FLP I-4-4 Atomy wody w morzu bez przerwy się poruszają, bo morze ma pewną temperaturę. To ogromna energia. Nie da się jednak zagonić tych atomów do uporządkowanego ruchu bez pobrania energii skądinąd. Energia jest zachowana, ale energia dostępna do wykorzystania już nie. O tym, ile energii da się wykorzystać, mówią prawa termodynamiki i pojęcie entropii (dział 9). Gdy czytasz o „zużyciu energii”, chodzi właśnie o to: energia nie znika, tylko przechodzi w postać, z której nie umiemy już skorzystać.

Skąd bierzemy energię? Feynman wymienia Słońce, deszcz, węgiel, uran i wodór. Deszcz i węgiel to energia Słońca: Słońce odparowuje wodę, a rośliny, z których powstał węgiel, rosły w jego świetle. Energię z uranu już umiemy uwalniać. Wodór daje energię w syntezie termojądrowej, ale gdy Feynman wygłaszał wykłady, umiano to robić tylko w postaci wybuchowej i niebezpiecznej. Jego szacunek, ile wody trzeba by na sekundę „spalać” w kontrolowanej syntezie, sprawdzisz w zadaniu feynmanowskim 3.

6.5 Czego wciąż nie wiemy

Na koniec uczciwy bilans tego, czego ten dział nie wyjaśnił.

1. Czym jest energia. Mamy wzory i liczbę, która się nie zmienia, ale nie mamy obrazu. Energii nie da się nawet „policzyć” jak klocków. Energia fotonu to stała Plancka razy częstotliwość, ale częstotliwość może być dowolna, więc energia nie występuje w porcjach o z góry ustalonej wielkości.FLP I-4-4
2. Skąd bierze się zasada zachowania. Feynman pisze, że w mechanice kwantowej zasada zachowania energii wiąże się ściśle z tym, że prawa fizyki nie zależą od bezwzględnego czasu: to samo doświadczenie powtórzone później przebiega tak samo. Czy jest to ściśle prawdziwe, nie wiemy. Ten związek działa też w mechanice klasycznej (twierdzenie Emmy Noether z 1918 r.). Podobnie zachowanie pędu wiąże się z tym, że nie ma znaczenia, gdzie robimy doświadczenie, a zachowanie momentu pędu z tym, że nie ma znaczenia, jak obrócimy aparaturę.
3. Inne zasady zachowania. Feynman wymienia sześć zasad zachowania. Trzy są subtelne i wiążą się z czasem i przestrzenią: zasady zachowania energii, pędu i momentu pędu. Trzy są proste, bo polegają na liczeniu jak klocków: zachowanie ładunku, liczby barionów i liczby leptonów.
4. Czego użyliśmy bez dowodu. Wzoru $E = mc^2$ i poprawek relatywistycznych (dział 7), praw rządzących energią jądrową oraz tego, dlaczego ciepło nie zamienia się samo z powrotem w uporządkowany ruch (dział 9).

W ostatecznym rozrachunku nie rozumiemy zasad zachowania głęboko.

7 Metoda i przykłady rozwiązane