1.1 Wektory · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Prolog: co się nie zmienia

Przeprowadź doświadczenie z wahadłem w laboratorium, a potem obróć cały stół o 30° wokół osi pionowej i powtórz je. Wynik się nie zmieni. Przenieś aparaturę do sąsiedniej sali: znowu to samo. Ta zwyczajna obserwacja jest jednym z najgłębszych faktów fizyki. W przestrzeni nie ma wyróżnionego miejsca ani wyróżnionego kierunku, o ile obracamy wszystko, co ma znaczenie. Dla wahadła oznacza to także Ziemię: zegar wahadłowy przechylony na bok przestaje chodzić poprawnie, bo kierunek pionu wyznacza Ziemia, a nie przestrzeń. Feynman otwiera tą obserwacją rozdział 11 i podkreśla, że to w istocie rozdział o symetrii praw fizyki, a rachunek wektorowy to tylko technika, która tę symetrię wykorzystuje.FLP I-11-1…4

Problem jest praktyczny. Współrzędne punktu zależą od tego, gdzie postawisz początek układu i jak skierujesz osie. Gdyby prawa fizyki zapisywać zwykłymi liczbami $x, y, z$ , każde prawo trzeba by sprawdzać osobno w każdym obróconym układzie. Wektory rozwiązują to raz na zawsze. Jeśli prawo jest równością dwóch wektorów i jest prawdziwe w jednym układzie, to jest prawdziwe w każdym.

Cała ta lekcja to rozwinięcie jednego pytania: które wielkości zmieniają się przy obrocie osi, a które nie? Składowe się zmieniają. Długość wektora, kąt między dwoma wektorami i objętość bryły rozpiętej na trzech wektorach się nie zmieniają. Te niezmienniki dają: iloczyn skalarny (długość i kąt), długość iloczynu wektorowego (pole) i iloczyn mieszany (objętość).

1 Wektor to trzy liczby

1.1 Skalary i wektory

Niektóre wielkości są po prostu liczbami: temperatura, masa, energia, liczba ziemniaków w worku. Nazywamy je skalarami. Inne mają kierunek: przesunięcie, prędkość, siła, pęd. Żeby opisać krok z początku układu do punktu $P$ , potrzeba trzech liczb $(x, y, z)$ . Feynman oznacza je jednym symbolem $\vec r$ i mówi wprost, że to trzy liczby naraz.FLP I-11-4

Wektor to trzy liczby.

R. Feynman, FLP I-11-4 (tłum. własne)

Te trzy liczby to składowe wektora w danym układzie osi. Zapisujemy je w nawiasie albo przez wersory osi, czyli wektory jednostkowe $\vec\imath, \vec\jmath, \vec k$ skierowane wzdłuż $x$ , $y$ , $z$ :

\vec a = [a_x,\ a_y,\ a_z] = a_x\,\vec\imath + a_y\,\vec\jmath + a_z\,\vec k .

Wektor przesunięcia od punktu $A$ do punktu $B$ to różnica współrzędnych „koniec minus początek”: $\vec{AB} = B - A$ .

1.2 Ale nie każde trzy liczby

Tu jest sedno. Jaś mierzy współrzędne względem swoich osi, a Małgosia od osi obróconych o kąt $\theta$ . Ten sam krok w przestrzeni ma u nich różne składowe. Dla obrotu wokół osi $z$ związek jest taki:FLP I-11-3

a_{x'} = a_x\cos\theta + a_y\sin\theta, \qquad a_{y'} = -a_x\sin\theta + a_y\cos\theta, \qquad a_{z'} = a_z .

Wektorem nazywamy każdą trójkę liczb, która przy obrocie osi zmienia się dokładnie według tej reguły, czyli tak jak składowe kroku w przestrzeni. Prędkość jest wektorem, bo jest ilorazem przesunięcia przez czas. Siła jest wektorem, co sprawdzamy doświadczalnie. Za to trójka „temperatura w Warszawie, w Krakowie i w Gdańsku” wektorem nie jest, bo obrót osi nie ma na nią żadnego wpływu.

Definicja · wektor

Wektor to wielkość opisana w każdym układzie osi trzema liczbami, które przy obrocie osi przekształcają się tak jak współrzędne przesunięcia. Długość wektora

|\vec a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}

jest w każdym układzie taka sama. Wersor kierunku $\vec a$ to $\hat a = \vec a / |\vec a|$ , wektor o długości 1.

Zysk z tej definicji jest ogromny. Jeśli prawo fizyki zapiszesz jako równość wektorów, na przykład $\vec F = m\vec a$ , to w każdym układzie oznacza ono trzy równania na składowe. Obie strony przekształcają się przy obrocie tak samo, więc równość, prawdziwa u Jasia, jest automatycznie prawdziwa u Małgosi. Zapis wektorowy wbudowuje symetrię przestrzeni w samo równanie.FLP I-11-6

1.3 To samo po szkolnemu: odcinek skierowany

Na wykładzie i na kolokwium spotkasz definicję geometryczną. Obie definicje się uzupełniają: odcinek skierowany ma punkt zaczepienia, a trójka składowych go nie ma. Zobaczysz niżej, kiedy ta różnica ma znaczenie.Leitner §21

Definicja · jak na kolokwium

Wektor $\vec{AB}$ to uporządkowana para punktów: początek (punkt zaczepienia) $A$ i koniec $B$ . Wektor niezerowy ma trzy cechy:

moduł (długość): długość odcinka $AB$ ,
kierunek: kierunek prostej, na której leży, czyli jego linii działania,
zwrot: od $A$ do $B$ .

Wektor zerowy $\vec 0$ (początek pokrywa się z końcem) nie ma kierunku ani zwrotu. Umawiamy się jednak, że wektor zerowy jest równoległy i prostopadły do każdego wektora. Dwa wektory niezerowe są równe, gdy mają ten sam kierunek, zwrot i moduł. Punkty zaczepienia mogą być różne. Wszystkie wektory zerowe są sobie równe.

Czy dwa równe wektory zaczepione w różnych punktach są w danym zagadnieniu „tym samym”? To zależy od fizyki. Leitner rozróżnia trzy przypadki (przykład z przesunięciem jest nasz):

Wektory umiejscowione: liczy się punkt zaczepienia. Przykłady: wektor położenia $\vec r = \vec{OM}$ oraz siła działająca na ciało sprężyste, bo przyłożona gdzie indziej odkształci je inaczej.
Wektory ślizgające się: można je przesuwać wzdłuż linii działania, ale nie poza nią. Przykład: siła w statyce ciała sztywnego. Przesunięta wzdłuż linii działania nie zmienia równowagi, a przesunięta w bok zmienia, bo zmienia się jej moment. Drugi przykład: prędkość kątowa bryły obracającej się wokół ustalonej osi, czyli wektor leżący na osi, zaczepiony w dowolnym jej punkcie.
Wektory swobodne: punkt zaczepienia nie ma znaczenia. Przykłady: przesunięcie oraz moment pary sił w statyce ciała sztywnego.

Rachunek na składowych z części 1.1–1.2 opisuje wektor swobodny. Wszystkie równe odcinki skierowane mają te same składowe $B - A$ , a przy obrocie osi składowe zmieniają się według reguły z części 1.2. Gdy punkt zaczepienia ma znaczenie, zapamiętujemy go osobno. Tak robimy na przykład przy momencie siły w części 4.

Przykład 1.1 Kiedy trzy liczby nie są wektorem

Wektor $\vec a$ ma u Jasia składowe $[2,\ 1]$ . Osie Małgosi są obrócone o $90^\circ$ . (a) Oblicz składowe $\vec a$ u Małgosi. (b) Ktoś twierdzi, że para $\vec q = [a_x^2,\ a_y]$ też jest wektorem. Sprawdź to.

Dla $\theta = 90^\circ$ : $\cos\theta = 0$ , $\sin\theta = 1$ , więc $a_{x'} = a_y = 1$ , $a_{y'} = -a_x = -2$ . U Małgosi $\vec a = [1,\ -2]$ . Długość u obojga wynosi $\sqrt5$ .
U Jasia $\vec q = [2^2,\ 1] = [4,\ 1]$ . Gdyby $\vec q$ było wektorem, u Małgosi miałoby składowe z tej samej reguły obrotu: $[q_y,\ -q_x] = [1,\ -4]$ .
Małgosia liczy jednak $\vec q$ ze swoich składowych $\vec a$ : $[a_{x'}^2,\ a_{y'}] = [1,\ -2]$ . To nie jest $[1,\ -4]$ .

Wynik: (a) $[1,\ -2]$ ; (b) $\vec q$ nie jest wektorem. Jego „składowe” zależą od tego, kto liczy, w sposób niezgodny z regułą obrotu.

Sprawdzenie: dla prawdziwego wektora oba sposoby muszą dać to samo. Dla $2\vec a$ wychodzi $[2,\ -4]$ jednym i drugim sposobem ✓

Przykład 1.2 Siła o zadanej wartości i kierunku

Lina ciągnie hak w punkcie $A(1,\ 2,\ 0)$ w stronę punktu zaczepienia $B(4,\ 6,\ 12)$ (metry) siłą o wartości 26 N. Zapisz siłę jako wektor.

Kierunek liny: $\vec{AB} = B - A = [3,\ 4,\ 12]$ m, długość $\sqrt{9+16+144} = 13$ m.
Wersor kierunku: $\hat u = \tfrac{1}{13}[3,\ 4,\ 12]$ .
Siła to wartość razy wersor: $\vec F = 26\ \mathrm{N}\cdot\hat u = [6,\ 8,\ 24]$ N.

Wynik: $\vec F = [6,\ 8,\ 24]$ N.

Sprawdzenie: $\sqrt{36+64+576} = \sqrt{676} = 26$ N ✓. Wektor $\vec F$ jest równoległy do $\vec{AB}$ , bo $\vec F = 2\,\mathrm{N/m}\cdot\vec{AB}$ ✓

Zadania · część 1

6 zadań · ok. 35 min

Oblicz długość wektora $\vec a = [3,\ -4,\ 12]$ i jego wersor.

Odpowiedź
$|\vec a| = \sqrt{9+16+144} = 13$ , $\hat a = \left[\tfrac{3}{13},\ -\tfrac{4}{13},\ \tfrac{12}{13}\right]$ .
Dane są punkty $P(-1,\ 4,\ 2)$ i $Q(5,\ -4,\ 2)$ . Wyznacz $\vec{PQ}$ , jego długość i środek odcinka $PQ$ .

Odpowiedź
$\vec{PQ} = [6,\ -8,\ 0]$ , $|\vec{PQ}| = 10$ , środek $\tfrac12(P+Q) = (2,\ 0,\ 2)$ .
U Jasia $\vec a = [2,\ 2]$ . Oblicz składowe u Małgosi, której osie są obrócone o $30^\circ$ . O jaki kąt Małgosia musiałaby obrócić osie, żeby wektor miał u niej tylko składową $x'$ ?

Wskazówka
Użyj wzorów z części 1.2. Sprawdź wynik w symulacji 1.

Odpowiedź
$a_{x'} = 2\cos30^\circ + 2\sin30^\circ \approx 2{,}73$ , $a_{y'} = -2\sin30^\circ + 2\cos30^\circ \approx 0{,}73$ . Długość $\sqrt{2{,}73^2 + 0{,}73^2} \approx 2{,}83 = 2\sqrt2$ ✓. Składowa $y'$ znika dla $\tan\theta = a_y/a_x = 1$ , czyli $\theta = 45^\circ$ .
W płaszczyźnie $xy$ z wektora prędkości $\vec v = [v_x,\ v_y]$ tworzymy parę $\vec w = [v_y,\ -v_x]$ . Czy $\vec w$ jest wektorem? Sprawdź regułę obrotu dla dowolnego $\theta$ i powiedz, co geometrycznie robi to przekształcenie.

Odpowiedź
Tak. Po obrocie osi $w_{x'} = w_x\cos\theta + w_y\sin\theta = v_y\cos\theta - v_x\sin\theta = v_{y'}$ i podobnie $w_{y'} = -v_{x'}$ . Para $[v_{y'},\ -v_{x'}]$ powstaje z nowych składowych tym samym przepisem, więc $\vec w$ jest wektorem. To obrót $\vec v$ o $90^\circ$ zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Obroty w płaszczyźnie są przemienne, dlatego przepis nie zależy od układu.
Do jakiego rodzaju (umiejscowione, ślizgające się, swobodne) należą w opisanych sytuacjach następujące wektory: (a) wektor położenia samolotu względem wieży kontrolnej, (b) siła, którą ciągniesz za linę przywiązaną do ciężkiej, sztywnej skrzyni stojącej na podłodze, gdy pytasz tylko o to, czy skrzynia się przewróci, (c) moment pary sił, którą kręcisz kierownicą, (d) prędkość kątowa koła obracającego się wokół osi?

Odpowiedź
(a) umiejscowiony, bo zaczepiony w wieży; (b) ślizgający się, bo dla sztywnej skrzyni liczy się tylko prosta działania siły; (c) swobodny; (d) ślizgający się, bo leży na osi obrotu, a jego początek może być w dowolnym punkcie tej osi. Przesunięty poza oś opisywałby obrót wokół innej osi.
Oszacuj, w układzie związanym ze Słońcem, długość wektora przemieszczenia Ziemi w ciągu pół roku i drogę, jaką Ziemia w tym czasie przebywa. Przyjmij orbitę kołową o promieniu $1{,}5\cdot10^{11}$ m. Ile wynosi przemieszczenie po pełnym roku?

Odpowiedź
Po pół roku Ziemia jest po przeciwnej stronie Słońca: $|\Delta\vec r| = 2R \approx 3{,}0\cdot10^{11}$ m. Droga to pół okręgu, $\pi R \approx 4{,}7\cdot10^{11}$ m. Po roku przemieszczenie wynosi zero, a droga $2\pi R \approx 9{,}4\cdot10^{11}$ m. Przemieszczenie jest wektorem, droga jest liczbą, która tylko rośnie.

Więcej zadań: Leitner §21–23.

2 Dodawanie, odejmowanie, rozkład

2.1 Dodawanie: po składowych i „głowa do ogona”

Sumę dwóch wektorów definiujemy po składowych: $\vec a + \vec b = [a_x + b_x,\ a_y + b_y,\ a_z + b_z]$ . Feynman zadaje od razu ważne pytanie: czy ta nowa trójka jest wektorem? Jest, bo reguła obrotu jest liniowa. Obrócone składowe sumy są sumą obróconych składowych.FLP I-11-5

Geometrycznie oznacza to, że początek $\vec b$ przykładamy do końca $\vec a$ , a suma prowadzi od początku $\vec a$ do końca $\vec b$ . Kolejność nie ma znaczenia, bo oba sposoby dają przekątną tego samego równoległoboku: $\vec a + \vec b = \vec b + \vec a$ . Mnożenie przez liczbę $k$ zmienia długość $|k|$ razy. Gdy $k < 0$ , zmienia też zwrot.

2.2 Odejmowanie: od końca $\vec b$ do końca $\vec a$

Różnica $\vec a - \vec b$ to taki wektor $\vec d$ , że $\vec b + \vec d = \vec a$ . Na rysunku to strzałka od końca $\vec b$ do końca $\vec a$ , gdy oba wektory wychodzą z tego samego punktu. Feynman zauważa, że różnicę rysuje się nawet łatwiej niż sumę.FLP I-11-5

2.3 Rozkład na składowe

Wektor o długości $F$ nachylony pod kątem $\alpha$ do osi $x$ ma składowe $F_x = F\cos\alpha$ i $F_y = F\sin\alpha$ . W drugą stronę: $F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}$ , a $\tan\alpha = F_y/F_x$ , przy czym trzeba sprawdzić, w której ćwiartce leży wektor. Rozkład zamienia jedno zadanie dwuwymiarowe na dwa niezależne zadania jednowymiarowe. To najczęściej używany chwyt w całej mechanice.

Osie wybieramy tak, jak nam wygodnie, bo prawa fizyki od tego nie zależą (prolog). Na równi pochyłej kierujemy oś $x$ wzdłuż zbocza. Ciężar ma wtedy składową $mg\sin\alpha$ wzdłuż równi i $mg\cos\alpha$ prostopadle do niej. Stevin uzyskał to prawo bez żadnych wzorów. Gdyby łańcuch na pryzmacie sam się przesuwał, poruszałby się wiecznie, bo po przesunięciu wygląda tak samo. Dolna, zwisająca część łańcucha jest symetryczna, więc można ją odciąć bez zaburzania równowagi. Zostaje osiem kul na długim zboczu, które równoważą cztery kule na krótkim. Siła zsuwająca jest więc proporcjonalna do $h/L = \sin\alpha$ .

2.4 Prędkości względne

Prędkość łodzi względem brzegu jest sumą wektorów: prędkości łodzi względem wody i prędkości wody względem brzegu,

\vec v_\text{brzeg} = \vec v_\text{wzgl. wody} + \vec u_\text{wody}.

Ten sam wzór opisuje samolot w wietrze i deszcz widziany z jadącego pociągu.

Przykład 2.1 Lampa na dwóch linach

Lampa o masie 10 kg wisi na dwóch linach przymocowanych do sufitu. Lewa lina tworzy z poziomem kąt $30^\circ$ , prawa $60^\circ$ . Oblicz siły naciągu lin.

Siły działające na lampę

Lampa spoczywa, więc suma sił jest zerowa: $\vec T_1 + \vec T_2 + m\vec g = \vec 0$ . Rozkładamy ją na dwa równania.
Poziomo: $T_1\cos30^\circ = T_2\cos60^\circ$ , stąd $T_2 = \sqrt3\,T_1$ .
Pionowo: $T_1\sin30^\circ + T_2\sin60^\circ = mg$ , czyli $\tfrac12T_1 + \tfrac32T_1 = 2T_1 = mg$ .
$T_1 = \tfrac12 mg = 49{,}05$ N, $T_2 = \tfrac{\sqrt3}{2}mg \approx 84{,}96$ N.

Wynik: $T_1 \approx 49{,}1$ N, $T_2 \approx 85{,}0$ N.

Sprawdzenie: bardziej stroma lina niesie więcej ciężaru ✓. Liny są prostopadłe ( $30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$ ), więc $T_1^2 + T_2^2 = (mg)^2$ : $49{,}05^2 + 84{,}96^2 = 98{,}1^2$ ✓

Przykład 2.2 Przyspieszenie przy stałej szybkości

Samochód jedzie na wschód z prędkością 20 m/s, a po 4 s jedzie na północ, też z prędkością 20 m/s. Oblicz zmianę prędkości i średnie przyspieszenie.

Oś $x$ na wschód, $y$ na północ: $\vec v_1 = [20,\ 0]$ , $\vec v_2 = [0,\ 20]$ m/s. Oba wektory rysujemy ze wspólnego początku.
$\Delta\vec v = \vec v_2 - \vec v_1 = [-20,\ 20]$ m/s, $|\Delta\vec v| = 20\sqrt2 \approx 28{,}3$ m/s, kierunek na północny zachód.
$\vec a_\text{śr} = \Delta\vec v/\Delta t = [-5,\ 5]\ \mathrm{m/s^2}$ , wartość $\approx 7{,}07\ \mathrm{m/s^2}$ .

Wynik: $|\Delta\vec v| \approx 28{,}3$ m/s, $|\vec a_\text{śr}| \approx 7{,}07\ \mathrm{m/s^2}$ na północny zachód, choć szybkość cały czas wynosi 20 m/s.

Sprawdzenie: szybkość się nie zmieniła, a przyspieszenie jest duże. Skręt to też przyspieszenie, bo zmienia się wektor, a nie tylko jego długość ✓ (zob. Dział 1: Ruch i jego przyczyny, §3).

Zadania · część 2

5 zadań · ok. 35 min

Dla $\vec a = [2,\ -1,\ 3]$ i $\vec b = [-1,\ 4,\ 0]$ oblicz $\vec a + \vec b$ , $\vec a - \vec b$ oraz $3\vec a - 2\vec b$ .

Odpowiedź
$[1,\ 3,\ 3]$ , $[3,\ -5,\ 3]$ , $[8,\ -11,\ 9]$ .
Walizkę ciągniesz siłą 80 N skierowaną pod kątem $25^\circ$ do poziomu. Oblicz składową poziomą i pionową siły.

Odpowiedź
$F_x = 80\cos25^\circ \approx 72{,}5$ N, $F_y = 80\sin25^\circ \approx 33{,}8$ N.
Lampę o masie 5 kg zawieszono na środku linki rozpiętej między dwoma słupami. Obie połowy linki tworzą z poziomem kąt $\alpha$ . Wyznacz naciąg linki dla $\alpha = 10^\circ$ . Dlaczego linki z ciężarem nie da się napiąć idealnie poziomo?

Odpowiedź
Pionowo: $2T\sin\alpha = mg$ , więc $T = \dfrac{mg}{2\sin\alpha} \approx 141$ N. Dla $\alpha \to 0$ naciąg rośnie bez ograniczeń, bo składowe pionowe muszą unieść ciężar, a $\sin\alpha \to 0$ . Każda linka w końcu się zerwie albo zwiśnie.
Samolot leci względem powietrza z prędkością 200 km/h, a wiatr wieje z zachodu na wschód z prędkością 50 km/h. Jak pilot musi ustawić dziób, żeby lecieć dokładnie na północ? Jaka będzie prędkość względem ziemi?

Wskazówka
Składowa wschodnia sumy prędkości musi być zerowa. Porównaj z kursem „naprzeciw” w symulacji 3.

Odpowiedź
$200\sin\beta = 50$ , więc $\beta \approx 14{,}5^\circ$ na zachód od północy. Prędkość względem ziemi $\sqrt{200^2 - 50^2} \approx 194$ km/h.
Samochód jedzie po rondzie o promieniu 20 m ze stałą szybkością 10 m/s. Oblicz $|\Delta\vec v|$ i średnie przyspieszenie po przejechaniu ćwierci okręgu. Porównaj wynik z $v^2/R$ i wyjaśnij różnicę.

Odpowiedź
Wektory prędkości są prostopadłe: $|\Delta\vec v| = 10\sqrt2 \approx 14{,}1$ m/s. Czas $t = \tfrac{\pi R/2}{v} = \pi\ \mathrm{s} \approx 3{,}14$ s, więc $|\vec a_\text{śr}| \approx 4{,}50\ \mathrm{m/s^2}$ . Wartość chwilowa $v^2/R = 5\ \mathrm{m/s^2}$ jest większa, bo średnia z wektorów obracających się o $90^\circ$ jest krótsza od każdego z nich. Dla coraz krótszych łuków średnia dąży do $v^2/R$ .

Więcej zadań: Leitner §21–23.

3 Iloczyn skalarny

3.1 Pierwszy niezmiennik: długość

Składowe wektora zmieniają się przy obrocie, ale długość kroku w przestrzeni jest dla wszystkich taka sama. Feynman robi z tego narzędzie. Wielkość

\vec a\cdot\vec a = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2

jest liczbą, która nie zależy od układu, czyli skalarem. Dla dwóch wektorów definiujemy iloczyn skalarny

\vec a\cdot\vec b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z .

Dlaczego to też jest niezmiennik? Suma $\vec c = \vec a + \vec b$ jest wektorem, więc $\vec c\cdot\vec c$ jest niezmienniczy. Po rozpisaniu $(\vec a + \vec b)\cdot(\vec a + \vec b) = \vec a\cdot\vec a + 2\,\vec a\cdot\vec b + \vec b\cdot\vec b$ . Wszystkie wyrazy poza środkowym są niezmiennicze, więc środkowy też musi być.FLP I-11-7

3.2 Znaczenie geometryczne

Skoro $\vec a\cdot\vec b$ nie zależy od osi, możemy go policzyć w najwygodniejszym układzie. Feynman wybiera oś $x$ wzdłuż $\vec a$ . Wtedy $\vec a = [a,\ 0,\ 0]$ i zostaje tylko $a\,b_x$ , a $b_x = b\cos\varphi$ to składowa $\vec b$ wzdłuż $\vec a$ . Wynik prawdziwy w jednym układzie jest prawdziwy w każdym:

Wynik · iloczyn skalarny

\vec a\cdot\vec b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi .

To długość jednego wektora razy rzut drugiego na jego kierunek. Wynik jest dodatni dla kąta ostrego, zerowy dla prostego i ujemny dla rozwartego. W szczególności $\vec a\perp\vec b \iff \vec a\cdot\vec b = 0$ .

Dwa zastosowania wynikają od razu. Kąt między wektorami: $\cos\varphi = \dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}$ . Składowa wektora w dowolnym kierunku: $a_\parallel = \vec a\cdot\hat n$ , gdzie $\hat n$ to wersor tego kierunku. W szczególności $a_x = \vec a\cdot\vec\imath$ . Wersory osi spełniają $\vec\imath\cdot\vec\imath = 1$ oraz $\vec\imath\cdot\vec\jmath = 0$ .

Cosinusy kierunkowe. Kąty $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , które niezerowy wektor tworzy z dodatnimi półosiami $x$ , $y$ , $z$ (kąty od $0^\circ$ do $180^\circ$ ), wynikają z iloczynów skalarnych z wersorami osi, np. $\cos\alpha = \vec a\cdot\vec\imath/|\vec a|$ :Leitner §25

\cos\alpha = \frac{a_x}{|\vec a|}, \qquad \cos\beta = \frac{a_y}{|\vec a|}, \qquad \cos\gamma = \frac{a_z}{|\vec a|}, \qquad \cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1 .

To po prostu składowe wersora $\hat a$ , a wersor ma długość 1, stąd suma kwadratów. Dwa kąty kierunkowe wyznaczają więc trzeci, z dokładnością do znaku cosinusa, o ile $\cos^2\alpha + \cos^2\beta \le 1$ .

3.3 Gdzie to jest w fizyce

Praca stałej siły na prostym odcinku to $W = \vec F\cdot\Delta\vec r$ . Liczy się tylko składowa siły wzdłuż przesunięcia. Moc to $P = \vec F\cdot\vec v$ . Energia kinetyczna w trzech wymiarach to $\tfrac12 m\,\vec v\cdot\vec v = \tfrac12m(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)$ . Energia nie ma kierunku, więc w zapisie wektorowym musi być skalarem, a skalar z jednego wektora daje właśnie iloczyn skalarny.FLP I-11-7

Przykład 3.1 Kąt między przekątnymi sześcianu

Dwa sześciany jednostkowe stoją jeden na drugim. Z jednego z ich wspólnych wierzchołków, $O$ , wychodzą przekątne $\vec d_1 = [1,\ 1,\ 1]$ (górnego sześcianu) i $\vec d_2 = [1,\ 1,\ -1]$ (dolnego). Jaki kąt tworzą? Jaki kąt tworzy przekątna z krawędzią?

Dwie przekątne wychodzące z punktu O

$\vec d_1\cdot\vec d_2 = 1 + 1 - 1 = 1$ , a $|\vec d_1| = |\vec d_2| = \sqrt3$ .
$\cos\varphi = \dfrac{1}{\sqrt3\cdot\sqrt3} = \dfrac13$ , stąd $\varphi \approx 70{,}5^\circ$ .
Krawędź $\vec\imath = [1,\ 0,\ 0]$ : $\cos\psi = \dfrac{\vec d_1\cdot\vec\imath}{\sqrt3} = \dfrac{1}{\sqrt3}$ , stąd $\psi \approx 54{,}7^\circ$ .

Wynik: $\varphi = \arccos\tfrac13 \approx 70{,}5^\circ$ , a przekątna z krawędzią tworzy kąt $\arccos\tfrac{1}{\sqrt3} \approx 54{,}7^\circ$ .

Sprawdzenie: bez współrzędnych ten kąt trudno odgadnąć. Iloczyn skalarny zamienia geometrię przestrzenną w trzy mnożenia ✓. Kąt przyległy, $180^\circ - 70{,}5^\circ \approx 109{,}5^\circ$ , to kąt między wiązaniami C–H w metanie (między $[1,\ 1,\ 1]$ a $[-1,\ -1,\ 1]$ ).

Przykład 3.2 Praca i moc przy ciągnięciu sanek

Na drodze 50 m po płaskim terenie ciągniemy sanki siłą 60 N skierowaną pod kątem $30^\circ$ do poziomu. Oblicz pracę siły. Jaką moc rozwijamy, idąc z prędkością 2 m/s?

$\vec F = [60\cos30^\circ,\ 60\sin30^\circ] \approx [51{,}96,\ 30]$ N, $\Delta\vec r = [50,\ 0]$ m.
$W = \vec F\cdot\Delta\vec r = 51{,}96\cdot50 + 30\cdot0 \approx 2598$ J. Składowa pionowa pracy nie wykonuje.
$P = \vec F\cdot\vec v = 51{,}96\cdot2 \approx 104$ W.

Wynik: $W \approx 2{,}6$ kJ, $P \approx 104$ W.

Sprawdzenie: $W = Fs\cos\alpha = 60\cdot50\cdot0{,}866$ ✓. Składowa pionowa siły nie wykonuje pracy, ale ma znaczenie: zmniejsza nacisk sanek, a więc i tarcie.

Zadania · część 3

6 zadań · ok. 45 min

Oblicz $\vec a\cdot\vec b$ i kąt między $\vec a = [2,\ -1,\ 3]$ i $\vec b = [-1,\ 4,\ 0]$ .

Odpowiedź
$\vec a\cdot\vec b = -2 - 4 + 0 = -6$ ; $|\vec a| = \sqrt{14}$ , $|\vec b| = \sqrt{17}$ ; $\cos\varphi = -6/\sqrt{238} \approx -0{,}389$ , $\varphi \approx 112{,}9^\circ$ (kąt rozwarty, bo iloczyn ujemny).
Dla jakiego $t$ wektory $[t,\ 2,\ 1]$ i $[3,\ -t,\ 4]$ są prostopadłe?

Odpowiedź
$3t - 2t + 4 = 0$ , więc $t = -4$ .
Gładka rynna opada wzdłuż kierunku $\vec d = [4,\ 0,\ -3]$ (oś $z$ w górę). Oblicz składową przyspieszenia ziemskiego $\vec g = [0,\ 0,\ -9{,}81]\ \mathrm{m/s^2}$ wzdłuż rynny. Jakie jest przyspieszenie kulki zsuwającej się bez tarcia?

Wskazówka
Składowa w kierunku to iloczyn skalarny z wersorem tego kierunku.

Odpowiedź
$\hat d = \tfrac15[4,\ 0,\ -3]$ , $\vec g\cdot\hat d = \tfrac35\cdot9{,}81 \approx 5{,}89\ \mathrm{m/s^2}$ . To $g\sin\alpha$ z $\sin\alpha = 3/5$ , czyli wynik z części 2.3 bez rysowania trójkątów.
Rozpisz $|\vec a - \vec b|^2 = (\vec a - \vec b)\cdot(\vec a - \vec b)$ i wyprowadź twierdzenie cosinusów dla trójkąta o bokach $|\vec a|$ , $|\vec b|$ , $|\vec a - \vec b|$ .

Odpowiedź
$|\vec a - \vec b|^2 = a^2 + b^2 - 2\,\vec a\cdot\vec b = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$ , gdzie $\gamma$ to kąt między $\vec a$ i $\vec b$ , czyli kąt trójkąta naprzeciw boku $|\vec a - \vec b|$ . Dla $\gamma = 90^\circ$ zostaje twierdzenie Pitagorasa.
Orbita Ziemi jest prawie kołowa. Jaką pracę wykonuje grawitacja Słońca nad Ziemią w ciągu całego roku? Orbita nie jest jednak dokładnie kołowa: w peryhelium Ziemia ma prędkość ok. 30,29 km/s, a w aphelium ok. 29,29 km/s. Oszacuj pracę grawitacji Słońca w ciągu pół roku od peryhelium do aphelium ( $M_Z = 5{,}97\cdot10^{24}$ kg). Gdzie na orbicie $\vec F\cdot\vec v < 0$ ?

Wskazówka
Praca to zmiana energii kinetycznej. Moc $\vec F\cdot\vec v$ jest ujemna tam, gdzie prędkość ma składową skierowaną od Słońca.

Odpowiedź
Po pełnym roku Ziemia wraca do tego samego punktu z tą samą prędkością, więc praca wynosi 0. Od peryhelium do aphelium $W = \tfrac12M(v_a^2 - v_p^2) \approx -1{,}8\cdot10^{32}$ J. Ziemia oddala się wtedy od Słońca, prędkość ma składową od Słońca, a siła ciągnie do Słońca, więc $\vec F\cdot\vec v < 0$ . W drugiej połowie roku jest odwrotnie.
Dwa kąty kierunkowe pewnego niezerowego wektora wynoszą $\alpha = 45^\circ$ i $\beta = 120^\circ$ . Jaki może być trzeci kąt $\gamma$ ? Podaj wersor tego wektora dla każdego rozwiązania. (Według Leitnera, przykład 25.6.)

Odpowiedź
$\cos^2\gamma = 1 - \tfrac12 - \tfrac14 = \tfrac14$ , więc $\cos\gamma = \pm\tfrac12$ : $\gamma = 60^\circ$ albo $\gamma = 120^\circ$ . Wersory: $\left[\tfrac{\sqrt2}{2},\ -\tfrac12,\ \tfrac12\right]$ i $\left[\tfrac{\sqrt2}{2},\ -\tfrac12,\ -\tfrac12\right]$ .

Więcej zadań: Leitner §25.

4 Iloczyn wektorowy

4.1 Skręt w płaszczyźnie

Feynman wprowadza iloczyn wektorowy od strony fizyki, a nie definicji. Zna już moment siły w płaszczyźnie $xy$ : $\tau_{xy} = xF_y - yF_x$ . To liczba, która mówi, jak mocno siła $\vec F$ przyłożona w punkcie $(x,\ y)$ skręca ciało wokół osi $z$ . W trzech wymiarach są trzy takie płaszczyzny i trzy takie liczby:FLP I-20-1

\tau_{xy} = xF_y - yF_x, \qquad \tau_{yz} = yF_z - zF_y, \qquad \tau_{zx} = zF_x - xF_z .

A co z płaszczyzną ustawioną ukośnie? Czy każda nowa płaszczyzna wymaga nowego wzoru? Feynman sprawdza, co dzieje się z tymi trzema liczbami przy obrocie osi, i dostaje zaskakujący wynik. Przekształcają się dokładnie jak składowe wektora, jeśli skręt w płaszczyźnie $yz$ nazwiemy składową $x$ , skręt w $zx$ składową $y$ , a skręt w $xy$ składową $z$ . Każdemu skrętowi w płaszczyźnie odpowiada oś do niej prostopadła.

To szczęśliwy cud, że z płaszczyzną możemy powiązać jedną oś, a więc z momentem siły wektor. Jest to szczególna własność przestrzeni trójwymiarowej.

R. Feynman, FLP I-20-1 (tłum. własne)

W dwóch wymiarach jest jedna płaszczyzna, więc moment siły to zwykła liczba. W czterech byłoby sześć płaszczyzn i sześć liczb, których nie da się zapisać jako jednego czterowymiarowego wektora. Tylko w trzech wymiarach liczba płaszczyzn równa się liczbie osi.

4.2 Definicja i własności

Ten sam przepis zastosowany do dowolnych dwóch wektorów daje nowy wektor $\vec c = \vec a\times\vec b$ :

Definicja · iloczyn wektorowy

\vec a\times\vec b = [\,a_yb_z - a_zb_y,\ \ a_zb_x - a_xb_z,\ \ a_xb_y - a_yb_x\,] = \begin{vmatrix}\vec\imath & \vec\jmath & \vec k\\ a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z\end{vmatrix}

Wektor $\vec a\times\vec b$ jest prostopadły do $\vec a$ i do $\vec b$ . Jego długość $|\vec a|\,|\vec b|\sin\varphi$ to pole równoległoboku rozpiętego na obu wektorach. Zwrot wyznacza reguła śruby prawoskrętnej: obracamy $\vec a$ w stronę $\vec b$ o kąt mniejszy niż $180^\circ$ , a śruba przesuwa się w kierunku $\vec c$ .

Z wzoru na składowe wynikają od razu najważniejsze własności. Zamiana kolejności zmienia znak: $\vec b\times\vec a = -\vec a\times\vec b$ , a więc $\vec a\times\vec a = \vec 0$ . Wektory równoległe dają zero, bo nie rozpinają żadnego pola. Dla wersorów osi $\vec\imath\times\vec\jmath = \vec k$ , $\vec\jmath\times\vec k = \vec\imath$ , $\vec k\times\vec\imath = \vec\jmath$ . Kolejność cykliczna daje plus, odwrócona daje minus. Iloczyn wektorowy nie jest łączny, więc nawiasy mają znaczenie: $(\vec\imath\times\vec\imath)\times\vec\jmath = \vec 0$ , ale $\vec\imath\times(\vec\imath\times\vec\jmath) = -\vec\jmath$ .

Warunek · równoległość (kolinearność)

\vec a \parallel \vec b \iff \vec a\times\vec b = \vec 0 \iff \vec a = k\,\vec b \ \text{dla pewnego } k \ (\text{gdy } \vec b\neq\vec 0).

W składowych (dla $\vec b\neq\vec 0$ ): $\dfrac{a_x}{b_x} = \dfrac{a_y}{b_y} = \dfrac{a_z}{b_z}$ , o ile mianowniki są niezerowe. Gdy któraś składowa $\vec b$ jest zerem, odpowiadająca jej składowa $\vec a$ też musi być zerem. Prostopadłość sprawdzamy iloczynem skalarnym, równoległość iloczynem wektorowym.

Podwójny iloczyn wektorowy. Wektor $\vec a\times(\vec b\times\vec c)$ jest prostopadły do $\vec b\times\vec c$ , więc (gdy $\vec b\nparallel\vec c$ ) jest równoległy do płaszczyzny rozpiętej na $\vec b$ i $\vec c$ . Da się go zapisać jako ich kombinację liniową:FLP I-20-1 · Leitner §24

\vec a\times(\vec b\times\vec c) = \vec b\,(\vec a\cdot\vec c) - \vec c\,(\vec a\cdot\vec b).

Mnemotechnika: „BAC minus CAB”. Wzór przydaje się w fizyce wszędzie tam, gdzie iloczyn wektorowy występuje dwa razy, na przykład w przyspieszeniu dośrodkowym punktu bryły wirującej ze stałą prędkością kątową (zadanie 7 w części 4).

4.3 Gdzie to jest w fizyce

Moment siły względem punktu $O$ : $\vec M = \vec r\times\vec F$ , gdzie $\vec r$ prowadzi od $O$ do punktu przyłożenia siły. Jego wartość $rF\sin\theta$ można czytać na dwa sposoby: siła razy ramię $d = r\sin\theta$ albo odległość $r$ razy składowa siły prostopadła do $\vec r$ . Moment pędu: $\vec L = \vec r\times\vec p$ . Siła Lorentza na ładunek w polu magnetycznym: $\vec F = q\,\vec v\times\vec B$ . Prędkość punktu bryły obracającej się z prędkością kątową $\vec\omega$ : $\vec v = \vec\omega\times\vec r$ .

Przykład 4.1 Gdzie przyłożyć siłę do drzwi

Drzwi pchamy siłą 40 N przyłożoną 0,8 m od zawiasów, pod kątem $60^\circ$ do płaszczyzny drzwi (widok z góry). Oblicz moment siły względem osi zawiasów. Jaka siła prostopadła do drzwi dałaby ten sam moment, gdyby przyłożyć ją 0,8 m od zawiasów, a jaka w odległości 0,2 m?

Widok z góry: drzwi, r i F

Oś $x$ wzdłuż drzwi, $y$ w płaszczyźnie podłogi (na rysunku do góry), $z$ pionowo w górę, czyli w stronę patrzącego z góry: $\vec r = [0{,}8,\ 0,\ 0]$ m, $\vec F = [40\cos60^\circ,\ 40\sin60^\circ,\ 0] \approx [20,\ 34{,}64,\ 0]$ N.
$\vec M = \vec r\times\vec F = [0,\ 0,\ r_xF_y - r_yF_x] = [0,\ 0,\ 0{,}8\cdot34{,}64]\ \mathrm{N\cdot m}$ .
$M_z \approx 27{,}7\ \mathrm{N\cdot m}$ , czyli $rF\sin60^\circ$ . Składowa $F_x = 20$ N ciągnie wzdłuż drzwi i nic nie obraca.
Prostopadle w odległości 0,8 m: $F = 27{,}7/0{,}8 \approx 34{,}6$ N. W odległości 0,2 m: $27{,}7/0{,}2 \approx 139$ N.

Wynik: $\vec M \approx [0,\ 0,\ 27{,}7]\ \mathrm{N\cdot m}$ (oś pionowa, w górę). Ten sam moment wymaga 34,6 N przy klamce i 139 N przy zawiasach.

Sprawdzenie: ramię siły $d = 0{,}8\sin60^\circ \approx 0{,}69$ m, a $40\cdot0{,}69 \approx 27{,}7$ ✓. Moment rośnie liniowo z odległością od osi, więc klamkę montuje się przy krawędzi.

Przykład 4.2 Elektron w polu magnetycznym

Elektron ( $q = -1{,}60\cdot10^{-19}$ C, $m = 9{,}11\cdot10^{-31}$ kg) leci z prędkością $\vec v = [3\cdot10^6,\ 0,\ 0]$ m/s w polu $\vec B = [0,\ 0,\ 0{,}01]$ T. Oblicz siłę Lorentza i promień okręgu, po którym zacznie krążyć.

$\vec v\times\vec B = v_xB_z\,(\vec\imath\times\vec k) = -v_xB_z\,\vec\jmath = [0,\ -3\cdot10^4,\ 0]$ (w jednostkach SI).
$\vec F = q\,\vec v\times\vec B = (-1{,}60\cdot10^{-19})\cdot(-3\cdot10^4)\,\vec\jmath \approx [0,\ 4{,}8\cdot10^{-15},\ 0]$ N. Ładunek ujemny odwraca kierunek.
Siła jest prostopadła do $\vec v$ , więc nie zmienia szybkości i działa jak siła dośrodkowa: $|q|vB = mv^2/r$ , stąd $r = \dfrac{mv}{|q|B} \approx 1{,}7\cdot10^{-3}$ m.

Wynik: $\vec F \approx [0,\ 4{,}8\cdot10^{-15},\ 0]$ N, $r \approx 1{,}7$ mm.

Sprawdzenie: $\vec F\cdot\vec v = 0$ i $\vec F\cdot\vec B = 0$ ✓. Siła jest $\sim 10^{14}$ razy większa od ciężaru elektronu, $mg \approx 9\cdot10^{-30}$ N, dlatego w lampach grawitację pomija się bez wahania.

Zadania · część 4

7 zadań · ok. 55 min

Oblicz $\vec a\times\vec b$ dla $\vec a = [2,\ -1,\ 3]$ i $\vec b = [-1,\ 4,\ 0]$ . Sprawdź iloczynem skalarnym, że wynik jest prostopadły do obu wektorów. Ile wynosi pole równoległoboku rozpiętego na $\vec a$ i $\vec b$ ?

Odpowiedź
$\vec a\times\vec b = [(-1)\cdot0 - 3\cdot4,\ 3\cdot(-1) - 2\cdot0,\ 2\cdot4 - (-1)(-1)] = [-12,\ -3,\ 7]$ . Iloczyn z $\vec a$ : $-24 + 3 + 21 = 0$ , z $\vec b$ : $12 - 12 + 0 = 0$ ✓. Pole $\sqrt{144+9+49} = \sqrt{202} \approx 14{,}2$ .
Oblicz $\vec\imath\times(\vec\imath\times\vec\jmath)$ oraz $(\vec\imath\times\vec\imath)\times\vec\jmath$ . Co ten wynik mówi o nawiasach?

Odpowiedź
$\vec\imath\times\vec k = -\vec\jmath$ oraz $\vec 0\times\vec\jmath = \vec 0$ . Wyniki są różne, więc iloczyn wektorowy nie jest łączny.
Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach $A(0,\ 0,\ 0)$ , $B(2,\ 0,\ 0)$ , $C(0,\ 3,\ 4)$ .

Odpowiedź
$\vec{AB}\times\vec{AC} = [2,\ 0,\ 0]\times[0,\ 3,\ 4] = [0,\ -8,\ 6]$ , długość 10, pole trójkąta to połowa: 5.
Ciało o masie 2 kg jest w punkcie $\vec r = [3,\ 0,\ 0]$ m. Oblicz moment pędu $\vec L = \vec r\times m\vec v$ względem początku układu dla $\vec v = [0,\ 4,\ 0]$ m/s oraz dla $\vec v = [2,\ 4,\ 0]$ m/s. Dlaczego wyniki są równe?

Odpowiedź
W obu przypadkach $\vec L = [0,\ 0,\ 24]\ \mathrm{kg\cdot m^2/s}$ . Składowa prędkości wzdłuż $\vec r$ , czyli ruch prosto od początku, nie daje momentu pędu, bo $\vec r\times\vec r = \vec 0$ .
W $n$ -wymiarowej przestrzeni płaszczyzn współrzędnych (takich jak $xy$ , $yz$ , …) jest tyle, ile par osi. Ile ich jest dla $n = 2, 3, 4$ ? Dla jakich $n$ moment siły można opisać wektorem o $n$ składowych? Co to mówi o iloczynie wektorowym?

Odpowiedź
Par osi jest $\binom n2 = \tfrac{n(n-1)}{2}$ : 1, 3 i 6. Równość $\tfrac{n(n-1)}{2} = n$ zachodzi tylko dla $n = 3$ (pomijając $n = 0$ ). W 2D moment siły to jedna liczba, a w 4D sześć liczb, których nie da się zapisać jako wektora o czterech składowych. Iloczyn wektorowy w tej postaci istnieje tylko w trzech wymiarach, co jest „szczęśliwym cudem” Feynmana.
Odbij w lustrze płaszczyzny $yz$ , czyli zmień znak współrzędnej $x$ każdego wektora biegunowego. Dla $\vec r = [1,\ 2,\ 3]$ i $\vec F = [4,\ -1,\ 2]$ oblicz $\vec M = \vec r\times\vec F$ przed odbiciem i $\vec M' = \vec r\,'\times\vec F'$ po odbiciu. Porównaj $\vec M'$ z tym, co dałoby zwykłe odbicie wektora $\vec M$ .

Odpowiedź
$\vec M = [7,\ 10,\ -9]$ . Po odbiciu $\vec r\,' = [-1,\ 2,\ 3]$ , $\vec F' = [-4,\ -1,\ 2]$ , $\vec M' = [7,\ -10,\ 9]$ . Zwykłe odbicie $\vec M$ dałoby $[-7,\ 10,\ -9]$ , dokładnie przeciwny wektor. Tak zachowuje się wektor osiowy: w lustrze dostaje dodatkowy minus.
Bryła obraca się ze stałą prędkością kątową $\vec\omega = [0,\ 0,\ 2]$ rad/s wokół osi $z$ . Punkt bryły ma położenie $\vec r = [3,\ 0,\ 4]$ m. Oblicz jego prędkość $\vec v = \vec\omega\times\vec r$ i przyspieszenie $\vec a = \vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r)$ , najpierw wprost, potem ze wzoru „BAC minus CAB”. Porównaj wynik z $v^2/\rho$ , gdzie $\rho$ to odległość punktu od osi.

Wskazówka
Z wzoru: $\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r) = \vec\omega\,(\vec\omega\cdot\vec r) - \vec r\,(\vec\omega\cdot\vec\omega)$ .

Odpowiedź
$\vec v = [0,\ 6,\ 0]$ m/s. Wprost: $\vec a = [0,\ 0,\ 2]\times[0,\ 6,\ 0] = [-12,\ 0,\ 0]\ \mathrm{m/s^2}$ . Ze wzoru: $8\,[0,\ 0,\ 2] - 4\,[3,\ 0,\ 4] = [-12,\ 0,\ 0]$ ✓. To $-\omega^2\vec r_\perp$ , gdzie $\vec r_\perp = [3,\ 0,\ 0]$ : skierowane do osi, o wartości $\omega^2\rho = 12$ , a $v^2/\rho = 36/3 = 12\ \mathrm{m/s^2}$ ✓. Składowa $z$ położenia nie ma znaczenia.

Więcej zadań: Leitner §24.

5 Iloczyn mieszany i objętość

Łącząc oba iloczyny, dostajemy kolejny niezmiennik. $\vec a\times\vec b$ to „pole podstawy ze strzałką” prostopadłą do podstawy. Mnożąc go skalarnie przez $\vec c$ , bierzemy tylko tę część $\vec c$ , która sterczy nad podstawą, czyli wysokość. Pole razy wysokość to objętość równoległościanu rozpiętego na trzech wektorach.

Wynik · iloczyn mieszany

(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z\\ c_x & c_y & c_z\end{vmatrix} = \pm V .

Wartość bezwzględna to objętość równoległościanu. Czworościan na tych samych krawędziach ma $\tfrac16$ tej objętości. Iloczyn jest zerowy wtedy i tylko wtedy, gdy trzy wektory leżą w jednej płaszczyźnie (są komplanarne). Cykliczna zamiana $\vec a\to\vec b\to\vec c\to\vec a$ nie zmienia wyniku, zamiana dwóch wektorów zmienia znak.

Ten sam iloczyn ma znaczenie fizyczne. Woda płynie z prędkością $\vec v$ przez ramkę rozpiętą na $\vec a$ i $\vec b$ . W czasie $\Delta t$ przez ramkę przepływa woda wypełniająca ukośny równoległościan o krawędziach $\vec a$ , $\vec b$ i $\vec v\,\Delta t$ . Objętość na sekundę, czyli strumień, wynosi $Q = |(\vec a\times\vec b)\cdot\vec v|$ . Przez ramkę ustawioną równolegle do prądu nic nie przepływa. Takie strumienie spotkasz znowu w elektryczności, w prawie Gaussa.

Przykład 5.1 Woda przez ukośną ramkę

Ramka jest rozpięta na wektorach $\vec a = [0{,}5;\ 0;\ 0]$ m i $\vec b = [0;\ 0{,}4;\ 0{,}3]$ m. Woda płynie z prędkością $\vec v = [0;\ 1{,}2;\ 0]$ m/s. Ile wody przepływa przez ramkę w ciągu sekundy? Ile przepływałoby, gdyby ramkę ustawić prostopadle do prądu?

Ramka i strumień wody

$\vec a\times\vec b = [0\cdot0{,}3 - 0\cdot0{,}4,\ 0\cdot0 - 0{,}5\cdot0{,}3,\ 0{,}5\cdot0{,}4 - 0\cdot0] = [0,\ -0{,}15,\ 0{,}2]\ \mathrm{m^2}$ . Pole ramki $|\vec a\times\vec b| = 0{,}25\ \mathrm{m^2}$ .
$Q = |(\vec a\times\vec b)\cdot\vec v| = |{-0{,}15}\cdot1{,}2| = 0{,}18\ \mathrm{m^3/s}$ , czyli 180 litrów na sekundę.
Ramka prostopadła do prądu: $Q_\perp = 0{,}25\cdot1{,}2 = 0{,}30\ \mathrm{m^3/s}$ . Stosunek $0{,}18/0{,}30 = 0{,}6$ to cosinus kąta między normalną do ramki a prądem.

Wynik: 0,18 m³/s (180 L/s), wobec 0,30 m³/s przy ustawieniu prostopadłym.

Sprawdzenie: ramka jest odchylona od pionu ( $\vec b$ ma składową $y$ , wzdłuż prądu), więc woda „widzi” mniejsze pole. Znak minus w $(\vec a\times\vec b)\cdot\vec v$ mówi tylko, że woda przepływa przez ramkę w kierunku przeciwnym do zwrotu $\vec a\times\vec b$ ✓

Zadania · część 5

5 zadań · ok. 30 min

Oblicz objętość równoległościanu rozpiętego na $\vec a = [1,\ 2,\ 0]$ , $\vec b = [0,\ 1,\ 3]$ , $\vec c = [2,\ 0,\ 1]$ .

Odpowiedź
$\det = 1\,(1\cdot1 - 3\cdot0) - 2\,(0\cdot1 - 3\cdot2) + 0 = 1 + 12 = 13$ , więc $V = 13$ .
Dla jakiego $z$ wektory $[1,\ 1,\ 0]$ , $[0,\ 1,\ 1]$ , $[1,\ 0,\ z]$ leżą w jednej płaszczyźnie?

Odpowiedź
$\det = 1\,(z - 0) - 1\,(0 - 1) + 0 = z + 1 = 0$ , więc $z = -1$ . Sprawdzenie: $[1,\ 0,\ -1] = [1,\ 1,\ 0] - [0,\ 1,\ 1]$ ✓
Oblicz objętość czworościanu o wierzchołkach $A(0,\ 0,\ 0)$ , $B(1,\ 0,\ 0)$ , $C(0,\ 2,\ 0)$ , $D(0,\ 0,\ 3)$ . Sprawdź wynik wzorem „ $\tfrac13$ pola podstawy razy wysokość”.

Odpowiedź
$\det\mathrm{diag}(1,\ 2,\ 3) = 6$ , $V = 6/6 = 1$ . Podstawa $ABC$ ma pole $\tfrac12\cdot1\cdot2 = 1$ , wysokość 3, więc $\tfrac13\cdot1\cdot3 = 1$ ✓
Wykaż, że $(\vec a\times\vec b)\cdot\vec a = 0$ dla dowolnych wektorów. Skorzystaj z wyznacznika albo z geometrii.

Odpowiedź
Wyznacznik z dwoma jednakowymi wierszami jest zerowy. Geometrycznie: $\vec a$ leży w płaszczyźnie podstawy, więc nie ma żadnej wysokości. To jest też dowód, że $\vec a\times\vec b\perp\vec a$ .
Oszacuj przepływ Wisły pod mostem w Warszawie. Przyjmij szerokość koryta ok. 300 m, średnią głębokość ok. 2 m i prędkość wody ok. 1 m/s. O ile zmieni się wynik, gdy przekrój, przez który liczysz przepływ, ustawisz ukośnie, pod kątem $30^\circ$ do kierunku prostopadłego do nurtu? Dlaczego rzeka „nie wie”, jak ustawisz przekrój?

Wskazówka
Przekrój ukośny jest dłuższy, ale woda przechodzi przez niego pod kątem. Policz $(\vec a\times\vec b)\cdot\vec v$ albo pomyśl o samych objętościach.

Odpowiedź
Przekrój prostopadły: $Q \approx 300\cdot2\cdot1 = 600\ \mathrm{m^3/s}$ . To rząd wielkości zgodny z pomiarami, bo średni przepływ Wisły w Warszawie to kilkaset m³/s. Przekrój ukośny ma pole $600/\cos30^\circ \approx 693\ \mathrm{m^2}$ , ale normalna tworzy z nurtem kąt $30^\circ$ , więc $Q = 693\cdot1\cdot\cos30^\circ = 600\ \mathrm{m^3/s}$ . Wynik się nie zmienia. Ta sama woda, która przeszła przez jeden przekrój, musi przejść przez drugi, a iloczyn mieszany sam to uwzględnia.

Więcej zadań: Leitner §24–25.

6 Wektory w ruchu

Położenie ciała w ruchu to wektor zależny od czasu, $\vec r(t)$ . Dla ruchu ze stałą prędkością $\vec r(t) = \vec r_0 + \vec v\,t$ . Pochodne wektorów i ich sens fizyczny omawia lekcja 1.3 Pochodne, a od strony fizyki Dział 1: Ruch i jego przyczyny. Tu wystarczy jedno narzędzie: odległość dwóch ciał to długość wektora $\vec R = \vec r_2 - \vec r_1$ , a jej kwadrat $R^2 = \vec R\cdot\vec R$ jest funkcją kwadratową czasu, jeśli oba ciała poruszają się jednostajnie.

Gdy ciała są najbliżej siebie, $R^2$ ma minimum, więc jego pochodna jest zerowa: $\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\vec R\cdot\vec R) = 2\,\vec R\cdot\vec V = 0$ , gdzie $\vec V = \vec v_2 - \vec v_1$ to prędkość względna. W chwili największego zbliżenia położenie względne jest prostopadłe do prędkości względnej. Gdy $\vec R\cdot\vec V < 0$ , ciała się zbliżają, a gdy $\vec R\cdot\vec V > 0$ , oddalają. Z warunku $(\vec R_0 + \vec V t)\cdot\vec V = 0$ dostajemy od razu $t^* = -\dfrac{\vec R_0\cdot\vec V}{\vec V\cdot\vec V}$ .

Przykład 6.1 Dwa statki

Statek A wypływa z punktu $(0,\ 0)$ km na północ z prędkością 20 km/h. W tej samej chwili statek B jest w punkcie $(30,\ 10)$ km i płynie z prędkością $\vec v_B = [-15,\ 5]$ km/h. Kiedy statki będą najbliżej siebie i w jakiej odległości?

Tory statków i największe zbliżenie

Położenie B względem A: $\vec R_0 = [30,\ 10]$ km, prędkość względna $\vec V = \vec v_B - \vec v_A = [-15,\ 5] - [0,\ 20] = [-15,\ -15]$ km/h.
$t^* = -\dfrac{\vec R_0\cdot\vec V}{\vec V\cdot\vec V} = -\dfrac{-450 - 150}{450} = \dfrac43$ h, czyli 1 h 20 min.
$\vec R(t^*) = [30 - 20,\ 10 - 20] = [10,\ -10]$ km, $d_\text{min} = 10\sqrt2 \approx 14{,}1$ km.

Wynik: po 1 h 20 min, w odległości ok. 14,1 km. Kolizji nie będzie.

Sprawdzenie: $\vec R(t^*)\cdot\vec V = 10\cdot(-15) + (-10)(-15) = 0$ ✓. Położenia: A $(0;\ 26{,}7)$ km, B $(10;\ 16{,}7)$ km, różnica $[10,\ -10]$ ✓

Zadania · część 6

4 zadania · ok. 30 min

Dwie cząstki poruszają się ze stałymi prędkościami $\vec v_1 = 2\vec\imath$ m/s i $\vec v_2 = 3\vec\jmath$ m/s. W chwili $t = 0$ są w punktach $\vec r_1 = -3\vec\imath$ m i $\vec r_2 = -3\vec\jmath$ m. Kiedy są najbliżej siebie i w jakiej odległości? Sprawdź w symulacji 8.

Odpowiedź
$\vec R_0 = [3,\ -3]$ , $\vec V = [-2,\ 3]$ ; $t^* = -\dfrac{-6 - 9}{13} = \dfrac{15}{13} \approx 1{,}15$ s; $d_\text{min} = \dfrac{3}{\sqrt{13}} \approx 0{,}83$ m.
Ptak leci względem ziemi z prędkością $[8,\ 6]$ m/s, a wiatr wieje z prędkością $[-2,\ 1]$ m/s. Jaka jest prędkość ptaka względem powietrza i jej wartość?

Odpowiedź
$\vec v_\text{wzgl. powietrza} = \vec v_\text{ziemia} - \vec u_\text{wiatru} = [10,\ 5]$ m/s, wartość $\approx 11{,}2$ m/s.
Wykaż, że $\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\vec R\cdot\vec R) = 2\,\vec R\cdot\dfrac{\mathrm d\vec R}{\mathrm dt}$ , różniczkując sumę składowych. Wywnioskuj, że wektor o stałej długości jest zawsze prostopadły do swojej pochodnej. Gdzie spotkałeś ten fakt w ruchu po okręgu?

Odpowiedź
$\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}(R_x^2 + R_y^2 + R_z^2) = 2(R_x\dot R_x + R_y\dot R_y + R_z\dot R_z)$ . Stała długość oznacza zerową pochodną, więc $\vec R\perp\dot{\vec R}$ . W ruchu po okręgu $|\vec r| = R$ jest stałe, więc $\vec v\perp\vec r$ . Przy stałej szybkości także $\vec a\perp\vec v$ .
Dwa samoloty lecą na tej samej wysokości. A startuje z $(0,\ 0)$ km z prędkością $[600,\ 0]$ km/h, a B z $(100,\ -100)$ km z prędkością $[0,\ 600]$ km/h. Czy grozi im kolizja? Pokaż, że kierunek, w którym pilot A widzi samolot B, przez cały czas jest taki sam.

Wskazówka
Zapisz $\vec R(t) = \vec R_0 + \vec V t$ i sprawdź, czy jest zawsze równoległy do $\vec R_0$ .

Odpowiedź
$\vec R_0 = [100,\ -100]$ , $\vec V = [-600,\ 600]$ , więc $\vec R(t) = (100 - 600t)\,[1,\ -1]$ . Kierunek $[1,\ -1]$ się nie zmienia, a długość maleje do zera w chwili $t = \tfrac16$ h, czyli po 10 minutach. Oba samoloty są wtedy w punkcie $(100,\ 0)$ km. To kurs kolizyjny: stały namiar i malejąca odległość.

7 Błędne intuicje

Większość błędów w rachunkach wektorowych nie bierze się z rachunku, tylko z obrazu w głowie. Oto najczęstsze.

„Długości wektorów się dodają: $|\vec a + \vec b| = |\vec a| + |\vec b|$ .”: Tylko gdy wektory mają ten sam kierunek i zwrot. W ogólności $|\vec a + \vec b| \le |\vec a| + |\vec b|$ (nierówność trójkąta), a dla przeciwnych zwrotów suma może być nawet zerowa. Dwie siły po 10 N mogą dać wypadkową od 0 do 20 N.
„Składowe to własność wektora.”: Składowe to opis wektora w wybranym układzie osi. Po obrocie osi się zmieniają. Własnością samego wektora jest długość, a dla pary wektorów kąt między nimi (symulacja 1).
„Różnicę dwóch strzałek odczytuję tam, gdzie je narysowano.”: Tylko gdy wychodzą z tego samego punktu. Prędkości w dwóch punktach toru trzeba najpierw przenieść do wspólnego początku (FLP I-11-6).
„ $\vec a\times\vec b = \vec b\times\vec a$ , tak jak przy mnożeniu liczb.”: Zamiana kolejności zmienia zwrot: $\vec b\times\vec a = -\vec a\times\vec b$ . Iloczyn wektorowy nie jest też łączny. Iloczyn skalarny jest przemienny.
„Siła, która działa na poruszające się ciało, zawsze wykonuje pracę.”: Praca to $\vec F\cdot\Delta\vec r$ . Siła prostopadła do ruchu, na przykład dośrodkowa albo magnetyczna, nie wykonuje pracy i nie zmienia szybkości, choć zmienia kierunek ruchu.
„Moment siły zależy tylko od siły.”: Zależy od siły, od punktu przyłożenia i od punktu, względem którego go liczymy: $\vec M = \vec r\times\vec F$ . Ta sama siła przyłożona przy zawiasach prawie nie obraca drzwi.
„Wektor osiowy odbija się w lustrze jak zwykła strzałka.”: Nie odbija się. Moment pędu wirującego koła po odbiciu wskazuje w przeciwną stronę, niż wskazywałaby odbita strzałka. To skutek reguły prawej dłoni (FLP I-52-5).

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź. Żadne z tych pytań nie wymaga długiego liczenia.

1 Czy trójka (masa, objętość, temperatura) ciała jest wektorem?

Nie. To trzy skalary. Przy obrocie osi żadna z tych liczb się nie zmienia, a składowe wektora muszą się zmieniać według reguły obrotu.

2 Dwie siły po 3 N i 4 N działają na ten sam punkt. Jaką największą, a jaką najmniejszą wypadkową mogą dać? Kiedy wypadkowa wynosi 5 N?

Największa to 7 N (ten sam zwrot), najmniejsza 1 N (zwroty przeciwne). 5 N wychodzi wtedy, gdy siły są prostopadłe ( $3^2 + 4^2 = 5^2$ ).

3 Iloczyn skalarny dwóch niezerowych wektorów jest ujemny. Co wiesz o kącie między nimi?

Kąt jest rozwarty, większy niż $90^\circ$ . Rzut jednego wektora na drugi wypada „do tyłu”.

4 Ile wynosi

\vec a\cdot(\vec a\times\vec b)

i dlaczego bez liczenia?

Zero, bo $\vec a\times\vec b$ jest prostopadły do $\vec a$ . Inaczej: to objętość bryły, której dwie krawędzie się pokrywają.

5 Satelita krąży po orbicie kołowej. Jaką moc ma siła grawitacji?

Zero, bo $P = \vec F\cdot\vec v$ , a siła jest prostopadła do prędkości. Dlatego szybkość satelity się nie zmienia.

6 Dlaczego w dwóch wymiarach moment siły jest liczbą, a w trzech wektorem?

W 2D jest jedna płaszczyzna obrotu, więc jedna liczba $xF_y - yF_x$ . W 3D są trzy płaszczyzny i trzy takie liczby, które przekształcają się jak składowe wektora prostopadłego do płaszczyzny skrętu (FLP I-20-1).

7 Trzy wektory mają iloczyn mieszany równy zero. Co to znaczy geometrycznie?

Leżą w jednej płaszczyźnie, więc rozpinają równoległościan o zerowej objętości. Jeden z nich da się zapisać jako kombinację dwóch pozostałych.

8 Dwa statki się zbliżają, a kierunek, w którym jeden widzi drugi, się nie zmienia. Czy jest się czego bać?

Tak. Stały namiar przy malejącej odległości oznacza, że $\vec R$ zmienia tylko długość, a prędkość względna jest do niego równoległa. Odległość spadnie do zera.

9 Karta wzorów i co dalej

Wektor i działania

$\vec a = [a_x,\ a_y,\ a_z] = a_x\vec\imath + a_y\vec\jmath + a_z\vec k$

$\vec{AB} = B - A,\quad |\vec a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$

$\hat a = \vec a/|\vec a| = [\cos\alpha,\ \cos\beta,\ \cos\gamma]$

obrót osi: $\;a_{x'} = a_x\cos\theta + a_y\sin\theta$

$\phantom{\text{obrót osi:}}\;a_{y'} = -a_x\sin\theta + a_y\cos\theta$

rozkład: $\;F_x = F\cos\alpha,\;\; F_y = F\sin\alpha$

$\vec v_\text{brzeg} = \vec v_\text{wzgl. wody} + \vec u_\text{wody}$

Iloczyny

$\vec a\cdot\vec b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = ab\cos\varphi$

$|\vec a\times\vec b| = ab\sin\varphi$ (pole), $\;\vec b\times\vec a = -\vec a\times\vec b$

$\vec a\times\vec b = [a_yb_z - a_zb_y,\ a_zb_x - a_xb_z,\ a_xb_y - a_yb_x]$

$\vec a\parallel\vec b \iff \vec a\times\vec b = \vec 0$ , $\;\vec a\perp\vec b \iff \vec a\cdot\vec b = 0$

$\vec a\times(\vec b\times\vec c) = \vec b(\vec a\cdot\vec c) - \vec c(\vec a\cdot\vec b)$

$(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c = \det[\vec a,\ \vec b,\ \vec c] = \pm V$

$W = \vec F\cdot\Delta\vec r,\;\; P = \vec F\cdot\vec v,\;\; E_k = \tfrac12m\,\vec v\cdot\vec v$

$\vec M = \vec r\times\vec F,\;\; \vec L = \vec r\times\vec p,\;\; \vec F = q\,\vec v\times\vec B$

zbliżenie: $\;t^* = -\dfrac{\vec R_0\cdot\vec V}{\vec V\cdot\vec V}$

Do przeczytania u Feynmana

Obowiązkowo: rozdz. 11 (całość, szczególnie 11-4…11-7).
Dla chętnych: 20-1 (moment siły jako wektor i iloczyn wektorowy), 52-4…52-6 (odbicia lustrzane, wektory biegunowe i osiowe).

Do przeczytania u Leitnera

Definicje i twierdzenia: R. Leitner, Zarys matematyki wyższej dla studiów technicznych, cz. I, rozdz. 4: §21 (definicja wektora, rodzaje wektorów), §23 (rozkład na składowe, wersory), §24 (iloczyny skalarny, wektorowy, mieszany i podwójne), §25 (działania na współrzędnych, cosinusy kierunkowe).
Dla chętnych: §27 (obroty i zmiana układu współrzędnych, współrzędne biegunowe, walcowe i sferyczne).

Wektory wrócą w lekcji 1.3 Pochodne. Wektor położenia zależny od czasu różniczkujemy po składowych i dostajemy prędkość. Zobaczymy, dlaczego wektor o stałej długości zawsze jest prostopadły do swojej pochodnej i jak z tego jednego faktu wynika przyspieszenie dośrodkowe.