Trygonometria i funkcje hiperboliczne

0 Prolog: dwa kąty i jedna odległość

Feynman pisze, że odległości mierzymy zwykle przez odliczanie jednostek: bierzemy miarkę i liczymy, ile razy się mieści. Ale odległości między szczytami gór nie zmierzy się miarką. Używa się wtedy triangulacji: z dwóch punktów o znanej odległości mierzy się kąty, pod jakimi widać obiekt, a resztę trójkąta wylicza się. Feynman zwraca uwagę, że to w gruncie rzeczy inna definicja odległości. Ufamy jej, bo tam, gdzie można użyć obu metod, dają ten sam wynik. Tak zmierzono wysokość pierwszego Sputnika, odległość do Księżyca i odległości do najbliższych gwiazd.FLP I-5-6

W przypadku gwiazd baza triangulacji to średnica orbity Ziemi, a kąty są maleńkie, ułamki sekundy kątowej. Do takich kątów potrzebne są radiany i przybliżenie $\tan\alpha \approx \alpha$. Do satelity wystarczy zwykły tangens. Obie rzeczy zrobimy w tej lekcji.

Pytanie na start. Dwie stacje odległe o 200 km widzą przelatującego między nimi satelitę pod kątami 70° i 75° nad horyzontem. Na jakiej wysokości leci? Odpowiedź w przykładzie 2.1.

1 Kąty i radiany

Kąt można mierzyć w stopniach, ale w fizyce i w analizie mierzy się go w radianach. Miara łukowa kąta to stosunek długości łuku $s$ do promienia $r$, na którym ten łuk leży:

Pełny kąt to obwód podzielony przez promień, $2\pi r/r = 2\pi$ rad, więc $360^\circ = 2\pi$ rad, $180^\circ = \pi$ rad, a $1\ \mathrm{rad} \approx 57{,}30^\circ$. Radian jest stosunkiem dwóch długości, więc formalnie nie ma wymiaru. Słowo „rad” zapisujemy tylko dla jasności.

Dlaczego radiany, a nie stopnie? Z trzech powodów, które poznasz po kolei w tym kursie:

• Wzory na ruch po okręgu są proste: droga $s = r\theta$, prędkość $v = r\omega$, gdzie $\omega$ to prędkość kątowa w rad/s.
• Dla małych kątów $\sin\theta \approx \theta$ i $\tan\theta \approx \theta$, ale tylko w radianach. Dla $\theta = 0{,}05$ rad: $\sin\theta = 0{,}049\,979$, błąd bezwzględny ok. $2\cdot10^{-5}$ (0,04%). Następny wyraz przybliżenia to $\cos\theta \approx 1 - \theta^2/2$; skąd się bierze, zobaczysz przy szeregu Taylora (lekcja 1.4 Rachunek różniczkowy w praktyce).
• Pochodna sinusa to cosinus, również tylko w radianach (lekcja 1.3 Pochodne).

2 Sinus, cosinus, tangens

2.1 Od trójkąta do okręgu jednostkowego

W trójkącie prostokątnym z kątem ostrym $\alpha$: $\sin\alpha$ to przyprostokątna naprzeciw kąta podzielona przez przeciwprostokątną, $\cos\alpha$ to przyprostokątna przy kącie przez przeciwprostokątną, a $\tan\alpha = \sin\alpha/\cos\alpha$. Ta definicja działa tylko dla kątów od 0 do 90°. Fizyka potrzebuje dowolnych kątów, także ujemnych i większych od pełnego obrotu: koło obraca się wiele razy, wahadło wychyla się w obie strony.

Dlatego definiujemy funkcje trygonometryczne na okręgu jednostkowym. Punkt na okręgu o promieniu 1, obrócony o kąt $\theta$ od dodatniej półosi $x$ (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara), ma współrzędne

Dla kątów ostrych to ta sama definicja co w trójkącie, a dla pozostałych daje znaki zgodne z ćwiartką układu współrzędnych. Od razu widać też okresowość: obrót o $2\pi$ wraca do tego samego punktu, więc $\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta$ i tak samo dla cosinusa. Tangens ma okres $\pi$: obrót o $\pi$ zmienia znak obu współrzędnych, a ich iloraz się nie zmienia. Kąt ujemny oznacza obrót zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

W polskich podręcznikach i na maturze spotkasz zapis $\operatorname{tg}$, $\operatorname{ctg}$ i $\operatorname{arctg}$. W tym kursie piszemy międzynarodowo: $\tan$, $\cot$, $\arctan$, tak jak w kalkulatorach, w Pythonie i w C++.

2.2 Wartości, które warto znać

Wartości dla innych ćwiartek odczytuje się z symetrii okręgu, np. $\sin\tfrac{5\pi}{6} = \sin\tfrac\pi6 = \tfrac12$ (odbicie względem osi $y$) i $\cos\tfrac{4\pi}{3} = -\cos\tfrac\pi3 = -\tfrac12$ (symetria względem środka okręgu).

2.3 Drgania: $A\cos(\omega t + \varphi)$

Ruch, w którym położenie zmienia się jak cosinus czasu, to drganie harmoniczne: $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$. To wykres cosinusa przekształcony tak, jak w lekcji 0.1 Liczby, potęgi, logarytmy i funkcje elementarne przekształcaliśmy wykresy funkcji (rozciągnięcia i przesunięcia). $A$ to amplituda (rozciągnięcie w pionie), $\omega$ to częstość kołowa w rad/s (ściśnięcie w poziomie), a $\varphi$ to faza początkowa (przesunięcie). Okres to $T = 2\pi/\omega$, bo po takim czasie argument cosinusa rośnie o $2\pi$. Tak drga ciężarek na sprężynie, wahadło przy małych wychyleniach i napięcie w gniazdku. Feynman poświęca drganiom kilka rozdziałów, a my wrócimy do nich w fizyce (Dział 6: Drgania, rezonans i układy liniowe).

3 Tożsamości trygonometryczne

Tożsamość to równość prawdziwa dla wszystkich argumentów, dla których obie strony mają sens. Z setek wzorów w tablicach warto pamiętać kilka, z których resztę się wyprowadza:

Pierwsza to twierdzenie Pitagorasa dla punktu na okręgu jednostkowym. Wzory na sinus i cosinus sumy opisują obroty: obrót o $\alpha$, a potem o $\beta$ to obrót o $\alpha + \beta$, a wzory mówią, jak zmieniają się współrzędne punktu $(\cos\beta;\ \sin\beta)$ przy obrocie o $\alpha$. Udowodnimy je elegancko macierzami obrotu (lekcja 2.2 Przekształcenia liniowe: obroty, zmiana bazy, transformacja Lorentza) i jeszcze prościej liczbami zespolonymi (lekcja 1.7 Liczby zespolone i fazory).

Dla dowolnego trójkąta o bokach $a$, $b$, $c$ i kącie $\gamma$ naprzeciw boku $c$ obowiązuje twierdzenie cosinusów, $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$. Dla $\gamma = 90^\circ$ to twierdzenie Pitagorasa. W lekcji 1.1 Wektory wyprowadzimy je jednym ruchem z iloczynu skalarnego wektorów.

3.1 Dudnienia: suma dwóch drgań

Z wzorów na cosinus sumy i różnicy wynika wzór na sumę cosinusów:

Dwa kamertony o częstościach 440 Hz i 444 Hz grają razem. Podstawiamy $a = 2\pi f_1 t$ i $b = 2\pi f_2 t$. Suma to drganie o średniej częstości $\tfrac{f_1 + f_2}{2} = 442$ Hz pomnożone przez wolno zmienny czynnik $2\cos\big(\pi(f_1 - f_2)t\big)$, czyli cosinus o częstości 2 Hz. Głośność zależy od wartości bezwzględnej tego czynnika, a ta ma dwa maksima w każdym jego okresie. Głośność rośnie więc i maleje $f_1 - f_2 = 4$ razy na sekundę: to dudnienia. Tak stroi się instrumenty: gdy dudnienia znikną, częstości są równe.

4 Funkcje cyklometryczne

Funkcje odwrotne do trygonometrycznych odpowiadają na pytanie: „jaki to kąt?”. Nazywamy je funkcjami cyklometrycznymi. Sinus nie jest różnowartościowy, bo wiele kątów ma ten sam sinus, więc jak przy $x^2$ w lekcji 0.1 Liczby, potęgi, logarytmy i funkcje elementarne ograniczamy dziedzinę do przedziału, na którym funkcja jest monotoniczna i przyjmuje wszystkie swoje wartości:

Kalkulator i komputer zwracają zawsze wartość główną. Drugie rozwiązanie trzeba dopisać samemu z symetrii okręgu: jeśli $\sin\theta = s$, to również $\sin(\pi - \theta) = s$ (odbicie względem osi $y$). Jeśli $\cos\theta = c$, to również $\cos(-\theta) = c$ (odbicie względem osi $x$), więc w przedziale $[0;\ 2\pi]$ drugim rozwiązaniem jest $2\pi - \theta$.

4.1 Kąt wektora i funkcja atan2

Kierunek wektora $[x;\ y]$ to kąt $\theta$, dla którego $\tan\theta = y/x$. Ale $\arctan(y/x)$ nie odróżnia wektora $[3;\ 4]$ od $[-3;\ -4]$, bo oba mają ten sam iloraz $y/x$, a wskazują przeciwne kierunki. Dlatego języki programowania mają funkcję dwóch argumentów atan2(y, x) (w Pythonie math.atan2, w C++ std::atan2). Patrzy ona na znaki obu współrzędnych i zwraca kąt z przedziału $(-\pi;\ \pi]$ we właściwej ćwiartce. Kolejność argumentów to najpierw $y$, potem $x$.

5 Funkcje hiperboliczne

5.1 Definicja i nazwa

Z funkcji wykładniczej buduje się trzy funkcje, które zachowują się jak „krewni” sinusa i cosinusa:

Tożsamość wynika wprost z definicji: $(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2 = 4$. Porównaj ją z $\cos^2t + \sin^2t = 1$. Punkty $(\cos t;\ \sin t)$ leżą na okręgu $x^2 + y^2 = 1$, a punkty $(\cosh u;\ \sinh u)$ na gałęzi hiperboli $x^2 - y^2 = 1$. Stąd nazwa. Analogia sięga dalej: na okręgu parametr $t$ to podwojone pole wycinka koła od osi $x$ do punktu, a na hiperboli parametr $u$ to podwojone pole „wycinka hiperbolicznego”. Pokazuje to symulacja 4.

Własności czyta się z definicji. $\cosh$ jest parzysty, ma minimum 1 w zerze i dla dużych $|x|$ rośnie jak $\tfrac12e^{|x|}$. $\sinh$ jest nieparzysty. $\tanh$ rośnie od $-1$ do $1$ i nigdy tych wartości nie osiąga. Funkcje odwrotne zapisujemy $\operatorname{arsinh}$, $\operatorname{arcosh}$, $\operatorname{artanh}$; da się je wyrazić logarytmem, np. $\operatorname{artanh}x = \tfrac12\ln\dfrac{1 + x}{1 - x}$ dla $|x| < 1$.

5.2 Gdzie spotkasz funkcje hiperboliczne

• Krzywa łańcuchowa. Łańcuch lub lina wisząca swobodnie między dwoma punktami ma kształt $y = a\cosh(x/a)$, a nie paraboli. Liny wysokiego napięcia i łuki o kształcie odwróconej krzywej łańcuchowej (pracują tylko na ściskanie) to klasyczne zastosowania. Wyprowadzimy to w rachunku wariacyjnym (lekcja 6.1 Rachunek wariacyjny).
• Spadek z oporem powietrza. Ciało spadające z oporem proporcjonalnym do kwadratu prędkości ma, jeśli startuje z prędkości zerowej, $v(t) = v_\infty\tanh(gt/v_\infty)$. Tu $v_\infty = \sqrt{mg/k}$ to prędkość graniczna, a $kv^2$ to siła oporu. To rozwiązanie równania różniczkowego z lekcji 4.1 Równania różniczkowe zwyczajne.
• Teoria względności. Transformacja Lorentza to „obrót hiperboliczny”, w którym rolę kąta gra tzw. pospieszność (ang. rapidity) (lekcja 2.2 Przekształcenia liniowe: obroty, zmiana bazy, transformacja Lorentza).

6 Błędne intuicje

„$\sin\theta \approx \theta$ dla małych kątów” (w stopniach).

Tylko w radianach. $\sin5^\circ = 0{,}0872$, a nie 5. W radianach $5^\circ = 0{,}0873$ i przybliżenie działa.

„$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha + \sin\beta$.”

Sinus nie jest liniowy. Dla $\alpha = \beta = 90^\circ$: $\sin180^\circ = 0$, a $1 + 1 = 2$.

„$\sin^{-1}x = \dfrac{1}{\sin x}$.”

Na kalkulatorach $\sin^{-1}$ oznacza $\arcsin$, funkcję odwrotną. Odwrotność $1/\sin x$ ma nazwę cosecans. Dlatego piszemy $\arcsin$, a nie $\sin^{-1}$.

„Kalkulator podał $\arcsin$, więc to jedyne rozwiązanie.”

To wartość główna. Równanie $\sin x = s$ ma na każdym pełnym obrocie dwa rozwiązania: $\theta$ i $\pi - \theta$ (część 4).

„Kąt wektora to $\arctan(y/x)$.”

Tylko dla $x > 0$. W II i III ćwiartce wynik jest o $180^\circ$ za mały lub za duży. Używaj atan2(y, x) (część 4.1).

„Wisząca lina ma kształt paraboli.”

Ma kształt krzywej łańcuchowej $a\cosh(x/a)$. Parabola to dobre przybliżenie tylko przy małym zwisie, bo dla małych $z$ mamy $\cosh z \approx 1 + z^2/2$. Parabolą jest za to lina mostu wiszącego, gdy obciążenie jest rozłożone równomiernie wzdłuż poziomu.

7 Sprawdź się

8 Karta wzorów i co dalej

Do przeczytania u Feynmana

• Obowiązkowo: 5-6 (jak mierzy się duże odległości: triangulacja, paralaksa, coraz dalsze „szczeble” pomiaru).
• Dla chętnych: 22-6 (skąd biorą się sinus i cosinus, gdy podnosi się liczbę do potęgi urojonej). Wrócimy do tego w lekcji 1.7 Liczby zespolone i fazory.

Do przeczytania w podręcznikach matematyki

• K. A. Stroud, Engineering Mathematics: część wprowadzająca (trygonometria, funkcje hiperboliczne). Dużo zadań z odpowiedziami.
• Dowolny podręcznik do matematyki w szkole średniej na poziomie rozszerzonym: rozdział o trygonometrii.

Następna lekcja to geometria analityczna i krzywe stożkowe (0.4 Geometria analityczna i krzywe stożkowe): okrąg, elipsa i hiperbola z równania, a także współrzędne biegunowe, w których kąt z tej lekcji staje się jedną ze współrzędnych. Sinus i cosinus wrócą jako pochodne jeden drugiego (1.3 Pochodne), jako potęgi liczby $e$ o wykładniku urojonym (1.7 Liczby zespolone i fazory) i w każdym drganiu w fizyce.