1.7 Liczby zespolone i fazory · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Prolog: pierwiastek z liczby ujemnej, który dał 4

W XVI wieku włoscy matematycy znaleźli wzór na pierwiastki równania trzeciego stopnia (wzór Cardana). Rafael Bombelli w swojej Algebrze z 1572 r. zastosował go do równania $x^3 = 15x + 4$ i dostał

x = \sqrt[3]{2 + \sqrt{-121}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{-121}} .

Pierwiastek z liczby ujemnej nie istnieje wśród liczb rzeczywistych, a przecież równanie ma oczywiste rozwiązanie $x = 4$ . Bombelli odważył się liczyć z $\sqrt{-1}$ jak ze zwykłą liczbą. Zauważył, że $(2 + \sqrt{-1})^3 = 2 + 11\sqrt{-1} = 2 + \sqrt{-121}$ . Pierwszy pierwiastek sześcienny to więc $2 + \sqrt{-1}$ , drugi $2 - \sqrt{-1}$ , a ich suma to 4. (Każdy pierwiastek sześcienny ma trzy wartości; trzeba wybrać pasujące do siebie, o iloczynie $15/3 = 5$ , i rzeczywiście $(2 + i)(2 - i) = 5$ .) „Niemożliwe” liczby pojawiły się w środku rachunku i zniknęły z wyniku.

Feynman opowiada historię liczb jako ciąg uogólnień: z liczb naturalnych przez odejmowanie dostajemy ujemne, przez dzielenie ułamki, przez pierwiastki niewymierne. Każde nowe działanie wymagało nowych liczb. Wydawałoby się, że tak będzie bez końca. A jednak po dopisaniu jednej liczby $i$ , takiej że $i^2 = -1$ , każde równanie algebraiczne ma rozwiązanie. Feynman nazywa to największym cudem: „to jest ostatni wynalazek”.FLP I-22-5

Pytanie na start. Czym jest $i^i$ ? Feynman twierdzi, że to „coś konkretnego”, czyli zwykła liczba. Jaka? Odpowiedź w zadaniu 3.6.

1 Liczby zespolone: algebra

Jednostka urojona $i$ to liczba, dla której $i^2 = -1$ . Liczba zespolona to $z = a + bi$ , gdzie $a$ i $b$ są rzeczywiste. $a = \operatorname{Re} z$ to część rzeczywista, a $b = \operatorname{Im} z$ część urojona (zauważ: $\operatorname{Im} z$ to liczba rzeczywista $b$ , a nie $bi$ ). W automatyce i elektrotechnice jednostkę urojoną pisze się $j$ , bo $i$ oznacza tam prąd.

Liczymy jak z wielomianami zmiennej $i$ , zamieniając $i^2$ na $-1$ :

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,\qquad (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i .

Sprzężenie liczby $z = a + bi$ to $\bar z = a - bi$ . Feynman zauważa, że $i$ i $-i$ są nierozróżnialne: obie spełniają $x^2 = -1$ , więc każde prawdziwe równanie pozostaje prawdziwe po zamianie $i$ na $-i$ wszędzie. Iloczyn $z\bar z = a^2 + b^2$ jest rzeczywisty i nieujemny. Pierwiastek z niego to moduł $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ .

Dzielenie robimy, mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika. Mianownik staje się wtedy liczbą rzeczywistą:

\frac{2 + 3i}{1 - i} = \frac{(2 + 3i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{2 + 2i + 3i - 3}{2} = -\frac12 + \frac52 i .

1.1 Równanie kwadratowe z ujemnym wyróżnikiem

W lekcji 0.2 Równania, nierówności, wielomiany i ułamki proste równanie $ax^2 + bx + c = 0$ z $\Delta < 0$ nie miało rozwiązań. Teraz ma dwa: $\sqrt\Delta = i\sqrt{|\Delta|}$ , więc $x = \dfrac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ . Dla $x^2 + 2x + 5 = 0$ : $\Delta = -16$ , $x = -1 \pm 2i$ . Nierzeczywiste pierwiastki wielomianu o współczynnikach rzeczywistych występują zawsze w parach sprzężonych, bo zamiana $i$ na $-i$ nie zmienia współczynników. To dokładnie te pierwiastki dadzą drgania tłumione w lekcji 4.1 Równania różniczkowe zwyczajne.

Zadania · część 1

6 zadań · ok. 30 min

Dla $z = 3 + 4i$ i $w = 1 - 2i$ oblicz $z + w$ , $zw$ , $\bar z$ , $|z|$ i $z/w$ .

Odpowiedź
$4 + 2i$ ; $\;3 - 6i + 4i - 8i^2 = 11 - 2i$ ; $\;3 - 4i$ ; $\;5$ ; $\;\tfrac{(3 + 4i)(1 + 2i)}{5} = \tfrac{-5 + 10i}{5} = -1 + 2i$ .
Oblicz $i^3$ , $i^4$ , $i^{10}$ , $i^{2027}$ .

Odpowiedź
$-i$ ; $1$ ; $-1$ ; $\;2027 = 4\cdot506 + 3$ , więc $i^{2027} = -i$ . Potęgi $i$ powtarzają się co 4.
Rozwiąż $x^2 - 4x + 13 = 0$ i sprawdź wzory Viète'a dla otrzymanych pierwiastków.

Odpowiedź
$\Delta = -36$ , $x = 2 \pm 3i$ . Suma $4 = -\tfrac{b}{a}$ ✓, iloczyn $4 + 9 = 13 = \tfrac ca$ ✓.
Sprawdź rachunek Bombellego: pokaż, że $(2 + i)^3 = 2 + 11i$ .

Odpowiedź
$(2 + i)^2 = 3 + 4i$ , $(3 + 4i)(2 + i) = 6 + 3i + 8i + 4i^2 = 2 + 11i$ ✓. A $11i = \sqrt{-121}$ .
Pokaż, że $\overline{zw} = \bar z\,\bar w$ i $|zw| = |z|\,|w|$ .

Wskazówka
Drugie wynika z pierwszego: $|zw|^2 = zw\,\overline{zw}$ .

Odpowiedź
Pierwsze: rachunkiem albo z obserwacji Feynmana (zamiana $i \to -i$ zachowuje równości). Drugie: $|zw|^2 = zw\,\bar z\,\bar w = (z\bar z)(w\bar w) = |z|^2|w|^2$ .
Wielomian $x^3 - 3x^2 + 4x - 2$ ma pierwiastek $x = 1$ . Znajdź pozostałe (podziel przez $x - 1$ , lekcja 0.2 Równania, nierówności, wielomiany i ułamki proste).

Odpowiedź
$x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = (x - 1)(x^2 - 2x + 2)$ , a $x^2 - 2x + 2 = 0$ daje $x = 1 \pm i$ . Para sprzężona, zgodnie z regułą.

2 Płaszczyzna zespolona i postać wykładnicza

Liczba $z = a + bi$ to para liczb rzeczywistych, więc można ją narysować jako punkt $(a;\ b)$ na płaszczyźnie: oś poziomą nazywamy rzeczywistą, pionową urojoną. Dodawanie liczb zespolonych to wtedy dodawanie wektorów (reguła równoległoboku), moduł $|z|$ to odległość od zera, a $|z - w|$ odległość dwóch punktów (lekcja 0.4 Geometria analityczna i krzywe stożkowe).

We współrzędnych biegunowych (lekcja 0.4 Geometria analityczna i krzywe stożkowe) punkt ma moduł $r = |z|$ i kąt $\varphi$ , zwany argumentem: $\varphi = \arg z = \mathrm{atan2}(b, a)$ . Argument jest określony z dokładnością do wielokrotności $2\pi$ ; atan2 daje wartość główną z przedziału $(-\pi;\ \pi]$ , a dla $z = 0$ argument nie jest określony. Stąd postać trygonometryczna

z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = re^{i\varphi} .

Drugi zapis, postać wykładnicza, uzasadnimy w części 3. Na razie zobacz, co daje mnożenie. Ze wzorów na cosinus i sinus sumy (lekcja 0.3 Trygonometria i funkcje hiperboliczne):

r_1(\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1)\cdot r_2(\cos\varphi_2 + i\sin\varphi_2) = r_1r_2\big(\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2)\big).

Mnożenie w postaci wykładniczej

r_1e^{i\varphi_1}\cdot r_2e^{i\varphi_2} = r_1r_2\,e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)} .

Moduły się mnożą, argumenty dodają. Mnożenie przez $e^{i\alpha}$ to obrót o kąt $\alpha$ , a mnożenie przez $i = e^{i\pi/2}$ to obrót o $90^\circ$ .

Teraz widać, dlaczego $i^2 = -1$ : dwa obroty o $90^\circ$ to obrót o $180^\circ$ , a ten zamienia 1 na $-1$ . Liczba $i$ nie jest tajemnicza: mnożenie przez nią to obrót o ćwierć okręgu.

Zadania · część 2

5 zadań · ok. 25 min

Zapisz w postaci wykładniczej: $1 + i$ , $\;-2$ , $\;-3i$ , $\;-1 + i\sqrt3$ .

Odpowiedź
$\sqrt2\,e^{i\pi/4}$ ; $\;2e^{i\pi}$ ; $\;3e^{-i\pi/2}$ ; $\;2e^{i2\pi/3}$ .
Zapisz w postaci $a + bi$ : $4e^{i\pi/6}$ , $\;e^{-i\pi/2}$ , $\;\sqrt2\,e^{i3\pi/4}$ .

Odpowiedź
$2\sqrt3 + 2i$ ; $\;-i$ ; $\;-1 + i$ .
Gdzie na płaszczyźnie leżą liczby, dla których $|z - 2i| = 3$ ? A te, dla których $|z - 1| = |z + 1|$ ?

Odpowiedź
Okrąg o środku $2i$ i promieniu 3. $\;$ Punkty jednakowo odległe od 1 i $-1$ : oś urojona ( $\operatorname{Re} z = 0$ ).
Obróć punkt $(3;\ 1)$ o $90^\circ$ i o $45^\circ$ przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, mnożąc przez odpowiednią liczbę zespoloną.

Odpowiedź
$i(3 + i) = -1 + 3i$ , czyli $(-1;\ 3)$ . $\;e^{i\pi/4}(3 + i) = \tfrac{\sqrt2}{2}(1 + i)(3 + i) = \tfrac{\sqrt2}{2}(2 + 4i) = \sqrt2 + 2\sqrt2\,i \approx (1{,}41;\ 2{,}83)$ .
Oblicz $(1 + i)^8$ dwa razy: mnożąc wprost (przez $(1 + i)^2 = 2i$ ) i z postaci wykładniczej.

Odpowiedź
$(2i)^4 = 16i^4 = 16$ . $\;(\sqrt2)^8e^{i8\pi/4} = 16e^{2\pi i} = 16$ ✓.

3 Wzór Eulera

Skąd $e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi$ ? Najkrótsza droga prowadzi przez szereg z lekcji 1.6 Szeregi liczbowe i potęgowe. Tam dotyczył liczb rzeczywistych. Dla zespolonego $z$ definiujemy $e^z$ tym samym szeregiem $1 + z + \tfrac{z^2}{2!} + \dots$ , zbieżnym dla każdego $z$ . Wstawiamy $z = i\varphi$ i używamy $i^2 = -1$ , $i^3 = -i$ , $i^4 = 1$ :

e^{i\varphi} = 1 + i\varphi - \frac{\varphi^2}{2!} - i\frac{\varphi^3}{3!} + \frac{\varphi^4}{4!} + \dots = \underbrace{\left(1 - \frac{\varphi^2}{2!} + \frac{\varphi^4}{4!} - \dots\right)}_{\cos\varphi} + i\underbrace{\left(\varphi - \frac{\varphi^3}{3!} + \dots\right)}_{\sin\varphi} .

Wzór Eulera

e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi,\qquad e^{i\pi} + 1 = 0 .

\cos\varphi = \frac{e^{i\varphi} + e^{-i\varphi}}{2},\qquad \sin\varphi = \frac{e^{i\varphi} - e^{-i\varphi}}{2i} .

Feynman dochodzi do tego samego bez szeregów i bez geometrii. Zakłada tylko, że $10^{\varepsilon} \approx 1 + 2{,}3025\,\varepsilon$ działa także dla małego urojonego $\varepsilon$ , i liczy $10^{i/1024} \approx 1 + 0{,}002\,2486\,i$ . Potem wielokrotnie podnosi ją do kwadratu ( $10^{i/512}$ , $10^{i/256}$ , …) i mnoży otrzymane liczby. Części rzeczywista i urojona zaczynają się zmieniać okresowo: to „algebraiczny cosinus” i „algebraiczny sinus”. Na końcu okazuje się, że to dokładnie sinus i cosinus z geometrii, a „algebraiczne $\pi/2$ ” wychodzi mu 1,570. Wzór Eulera nazywa „naszym klejnotem” i „najbardziej niezwykłym wzorem matematyki”.FLP I-22-6

Wzór Eulera to fabryka tożsamości trygonometrycznych. W lekcji 0.3 Trygonometria i funkcje hiperboliczne obiecaliśmy, że wzory na sinus i cosinus sumy wyprowadzimy prościej. W części 2 szliśmy w drugą stronę: z tych wzorów dostaliśmy regułę mnożenia. Teraz odwracamy kierunek. Z szeregu da się udowodnić (mnożąc szeregi wyraz po wyrazie), że $e^{z + w} = e^ze^w$ także dla zespolonych $z$ i $w$ . Stąd $e^{i(\alpha + \beta)} = e^{i\alpha}e^{i\beta}$ , czyli

\cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta) = (\cos\alpha + i\sin\alpha)(\cos\beta + i\sin\beta) = (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + i(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta).

Porównujemy części rzeczywiste i urojone. Dwa wzory naraz, bez rysunku.

Porównaj też wzory na $\cos$ i $\sin$ przez $e^{\pm i\varphi}$ z definicjami $\cosh$ i $\sinh$ z lekcji 0.3 Trygonometria i funkcje hiperboliczne: wstawiając do definicji $\cosh$ argument urojony, dostajemy $\cos\varphi = \cosh(i\varphi)$ , a podobnie $\sin\varphi = -i\sinh(i\varphi)$ . Funkcje trygonometryczne i hiperboliczne to jedna rodzina. Teraz widać też, czemu szereg $\tfrac{1}{1 + x^2}$ z lekcji 1.6 Szeregi liczbowe i potęgowe ma promień 1: zera mianownika $\pm i$ leżą na płaszczyźnie zespolonej w odległości 1 od zera.

Zadania · część 3

6 zadań · ok. 35 min

Oblicz $e^{i\pi/2}$ , $e^{i\pi}$ , $e^{2\pi i}$ , $e^{i\pi/3}$ .

Odpowiedź
$i$ ; $\;-1$ ; $\;1$ ; $\;\tfrac12 + \tfrac{\sqrt3}{2}i$ .
Ile wynosi $|e^{i\varphi}|$ dla rzeczywistego $\varphi$ ? A $|e^{a + ib}|$ ?

Odpowiedź
1, bo $\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1$ . $\;|e^ae^{ib}| = e^a$ .
Wyprowadź wzór na $\cos3x$ przez $\cos x$ , rozwijając $(\cos x + i\sin x)^3 = e^{3ix}$ i biorąc część rzeczywistą.

Wskazówka
Użyj wzoru $(a + b)^3$ i na końcu $\sin^2x = 1 - \cos^2x$ .

Odpowiedź
$\operatorname{Re}: \cos^3x - 3\cos x\sin^2x = \cos^3x - 3\cos x(1 - \cos^2x) = 4\cos^3x - 3\cos x$ .
Pokaż, korzystając z $\cos\varphi = \tfrac{e^{i\varphi} + e^{-i\varphi}}{2}$ , że $\cos^2\varphi = \tfrac12(1 + \cos2\varphi)$ .

Odpowiedź
$\tfrac14(e^{2i\varphi} + 2 + e^{-2i\varphi}) = \tfrac12 + \tfrac12\cdot\tfrac{e^{2i\varphi} + e^{-2i\varphi}}{2} = \tfrac12(1 + \cos2\varphi)$ .
Policz pierwsze cztery sumy częściowe szeregu $e^{i}$ (czyli $\varphi = 1$ ) i porównaj z $\cos1 + i\sin1 \approx 0{,}5403 + 0{,}8415i$ .

Odpowiedź
$1$ ; $\;1 + i$ ; $\;0{,}5 + i$ ; $\;0{,}5 + 0{,}8333i$ . Po ośmiu wyrazach $0{,}540\,28 + 0{,}841\,47i$ .
Oblicz $i^i$ .

Wskazówka
$i = e^{i\pi/2}$ , a potęgowanie zapisz jako $i^i = \left(e^{i\pi/2}\right)^i$ .

Odpowiedź
$e^{i\cdot i\pi/2} = e^{-\pi/2} \approx 0{,}2079$ : liczba rzeczywista! Ściślej: $i = e^{i(\pi/2 + 2k\pi)}$ dla każdego całkowitego $k$ , więc $i^i$ ma nieskończenie wiele wartości $e^{-\pi/2 - 2k\pi}$ . Wartość dla $k = 0$ to wartość główna.

4 Potęgi i pierwiastki

W postaci wykładniczej potęgowanie jest proste: $(re^{i\varphi})^n = r^ne^{in\varphi}$ dla całkowitego $n$ . To wzór de Moivre'a. (Dla niecałkowitych wykładników potęga ma wiele wartości, jak $i^i$ i pierwiastki poniżej.) Odwrotnie, równanie $z^n = w$ z $w = Re^{i\psi} \neq 0$ ma dokładnie $n$ rozwiązań:

Pierwiastki $n$ -tego stopnia

z_k = \sqrt[n]{R}\;e^{i(\psi + 2k\pi)/n},\qquad k = 0, 1, \dots, n - 1 .

Leżą na okręgu o promieniu $\sqrt[n]{R}$ w wierzchołkach $n$ -kąta foremnego.

Skąd $n$ rozwiązań? Kąt $\psi$ i kąt $\psi + 2\pi$ opisują ten sam punkt $w$ , ale po podzieleniu przez $n$ dają różne punkty. Dla $w = 1$ dostajemy pierwiastki z jedności $e^{2k\pi i/n}$ . Ich suma jest równa zeru: to wierzchołki wielokąta foremnego, a wektory od środka do wierzchołków się równoważą.

Przykład 4.1 Trzy pierwiastki sześcienne z 8

Rozwiąż $z^3 = 8$ i $z^3 = -8$ .

$8 = 8e^{i0}$ : $z_k = 2e^{2k\pi i/3}$ , czyli $2$ , $\;-1 + i\sqrt3$ , $\;-1 - i\sqrt3$ .
$-8 = 8e^{i\pi}$ : $z_k = 2e^{i(\pi + 2k\pi)/3}$ , czyli $1 + i\sqrt3$ , $\;-2$ , $\;1 - i\sqrt3$ .

Wynik: każde równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty (2 lub $-2$ ) i parę sprzężoną.

Sprawdzenie: $(-1 + i\sqrt3)^3$ : moduł $2^3 = 8$ , kąt $3\cdot120^\circ = 360^\circ$ , więc wynik 8 ✓. Suma trzech pierwiastków z $z^3 - 8$ to 0, zgodnie ze wzorami Viète'a (brak wyrazu z $z^2$ ) ✓.

Zadania · część 4

5 zadań · ok. 30 min

Oblicz $(1 + i\sqrt3)^6$ z wzoru de Moivre'a.

Odpowiedź
$1 + i\sqrt3 = 2e^{i\pi/3}$ , więc $2^6e^{2\pi i} = 64$ .
Podaj wszystkie pierwiastki czwartego stopnia z 1. Narysuj je.

Odpowiedź
$1, i, -1, -i$ : wierzchołki kwadratu.
Znajdź oba pierwiastki kwadratowe z $i$ . Feynman zauważa, że $\sqrt i$ „nie jest niczym nowym”: sprawdź, że to zwykła liczba zespolona.

Odpowiedź
$i = e^{i\pi/2}$ , więc $\pm e^{i\pi/4} = \pm\tfrac{\sqrt2}{2}(1 + i)$ . Sprawdzenie: $\tfrac12(1 + i)^2 = \tfrac12\cdot2i = i$ ✓.
Rozwiąż $z^4 = 16i$ . Podaj moduł i argumenty pierwiastków.

Odpowiedź
$16i = 16e^{i\pi/2}$ : moduł 2, kąty $22{,}5^\circ$ , $112{,}5^\circ$ , $202{,}5^\circ$ , $292{,}5^\circ$ .
Pokaż, że suma pierwiastków $n$ -tego stopnia z 1 ( $n \ge 2$ ) jest równa zeru, sumując je jak szereg geometryczny.

Odpowiedź
$\sum_{k=0}^{n-1}q^k = \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$ dla $q = e^{2\pi i/n} \neq 1$ . Ale $q^n = e^{2\pi i} = 1$ , więc licznik to 0.

5 Fazory: drgania i prąd przemienny

Drganie harmoniczne $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$ z lekcji 0.3 Trygonometria i funkcje hiperboliczne to część rzeczywista wirującej liczby zespolonej:

x(t) = \operatorname{Re}\left(Ae^{i(\omega t + \varphi)}\right) = \operatorname{Re}\left(\hat X e^{i\omega t}\right),\qquad \hat X = Ae^{i\varphi} .

Liczba $\hat X$ to fazor, czyli amplituda zespolona: jej moduł to amplituda, a argument to faza. Daszek przypomina, że to liczba zespolona. Feynman wyjaśnia, dlaczego warto tak robić. Funkcja wykładnicza jest prostsza niż cosinus: przesunięcie fazy to mnożenie, $e^{i(\omega t - \Delta)} = e^{i\omega t}e^{-i\Delta}$ , a pochodna to mnożenie przez $i\omega$ , bo $\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}e^{i\omega t} = i\omega e^{i\omega t}$ . Dodaje przy tym ostrzeżenie: siła ani położenie nie są naprawdę zespolone. Fizyczna jest tylko część rzeczywista. Sztuczka działa wyłącznie dla równań liniowych o rzeczywistych współczynnikach, w których $x$ i jego pochodne występują w pierwszej (lub zerowej) potędze. W równaniu z $x^2$ części rzeczywista i urojona by się pomieszały.FLP I-23-1

Najważniejsza konsekwencja: drgania o tej samej częstości dodaje się, dodając fazory, czyli zwykłe wektory na płaszczyźnie. Zamiast męczyć się ze wzorami na sumę cosinusów, rysujesz strzałki.

Przykład 5.1 Suma $3\cos\omega t + 4\sin\omega t$

Zapisz $x(t) = 3\cos\omega t + 4\sin\omega t$ jako jedno drganie $A\cos(\omega t + \varphi)$ .

$3\cos\omega t$ ma fazor $3$ . $\;4\sin\omega t = 4\cos\left(\omega t - \tfrac\pi2\right)$ ma fazor $4e^{-i\pi/2} = -4i$ .
Suma fazorów: $\hat X = 3 - 4i$ . Moduł $A = 5$ , argument $\varphi = \mathrm{atan2}(-4, 3) \approx -53{,}13^\circ$ .

Wynik: $x(t) = 5\cos(\omega t - 53{,}13^\circ)$ .

Sprawdzenie: $t = 0$ : $5\cos(-53{,}13^\circ) = 5\cdot0{,}6 = 3$ ✓. Trójkąt 3–4–5 z lekcji 0.3 Trygonometria i funkcje hiperboliczne.

5.1 Impedancja: prawo Ohma dla prądu przemiennego

W obwodzie z prądem przemiennym $I(t) = \operatorname{Re}(\hat Ie^{i\omega t})$ napięcie na oporniku to $RI$ , na cewce $L\tfrac{\mathrm dI}{\mathrm dt}$ , a na kondensatorze $\tfrac{1}{C}\int I\,\mathrm dt$ . (Te trzy prawa przyjmij na razie jako dane; kondensator i indukcję omówimy w fizyce: Dział 14: Potencjał, przewodniki i kondensatory i Dział 16: Indukcja, równania Maxwella i fale elektromagnetyczne.) Pochodna to mnożenie przez $i\omega$ , a całka to dzielenie przez $i\omega$ (dla przebiegu ustalonego, bez stałej całkowania). Wszystkie trzy prawa mają więc postać $\hat U = Z\hat I$ z impedancją

Z_R = R,\qquad Z_L = i\omega L,\qquad Z_C = \frac{1}{i\omega C} = -\frac{i}{\omega C} .

Impedancje szeregowe się dodają, równoległe dodają się odwrotnościami, jak opory. Moduł $|Z|$ mówi, ile woltów przypada na amper, a argument, o ile napięcie wyprzedza prąd.

Przykład 5.2 Obwód RLC w gniazdku

Szeregowo połączono $R = 100\ \Omega$ , $L = 0{,}1\ \mathrm H$ i $C = 10\ \mathrm{\mu F}$ i podłączono do gniazdka: 230 V (to wartość skuteczna; amplituda wynosi $230\sqrt2 \approx 325$ V), 50 Hz. Jaka jest amplituda prądu i przesunięcie fazy? Przy jakiej częstotliwości prąd jest największy?

$\omega = 2\pi\cdot50 \approx 314{,}2\ \mathrm{s^{-1}}$ . $\;\omega L \approx 31{,}4\ \Omega$ , $\;\tfrac{1}{\omega C} \approx 318{,}3\ \Omega$ .
$Z = 100 + i(31{,}4 - 318{,}3) = 100 - 286{,}9i\ \Omega$ . $\;|Z| \approx 303{,}8\ \Omega$ , $\;\arg Z \approx -70{,}8^\circ$ .
Amplituda prądu $325/303{,}8 \approx 1{,}07$ A. Argument ujemny: napięcie opóźnia się względem prądu o $70{,}8^\circ$ (obwód „pojemnościowy”).
Prąd jest największy, gdy część urojona $Z$ znika: $\omega L = \tfrac{1}{\omega C}$ , czyli $f_0 = \tfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \approx 159{,}2$ Hz. Wtedy $Z = R$ i amplituda prądu to $325/100 = 3{,}25$ A.

Wynik: amplituda prądu 1,07 A przy 50 Hz (wartość skuteczna 0,76 A), prąd wyprzedza napięcie o $70{,}8^\circ$ ; rezonans przy 159 Hz.

Sprawdzenie: jednostki $\omega L$ : $\mathrm{s^{-1}\cdot H} = \Omega$ ✓. Rezonans to ta sama częstość własna co $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ dla oscylatora $LC$ ; drgania wymuszone zbadamy w 4.1 Równania różniczkowe zwyczajne i w Dział 6: Drgania, rezonans i układy liniowe.

Zadania · część 5

6 zadań · ok. 40 min

Podaj fazory drgań: $5\cos(\omega t + 30^\circ)$ ; $\;2\sin\omega t$ ; $\;-3\cos\omega t$ .

Odpowiedź
$5e^{i\pi/6}$ ; $\;2e^{-i\pi/2} = -2i$ ; $\;3e^{i\pi} = -3$ .
Dodaj drgania $2\cos\omega t$ i $2\cos(\omega t + 60^\circ)$ .

Odpowiedź
$2 + 2e^{i\pi/3} = 3 + i\sqrt3 = 2\sqrt3\,e^{i\pi/6}$ : $\;2\sqrt3\cos(\omega t + 30^\circ) \approx 3{,}46\cos(\omega t + 30^\circ)$ .
Ile wynosi impedancja cewki 0,2 H i kondensatora 50 µF przy 50 Hz? Która z nich przewodzi prąd przemienny lepiej?

Odpowiedź
$Z_L = i\cdot62{,}8\ \Omega$ ; $\;Z_C = -i\cdot63{,}7\ \Omega$ . Prawie tyle samo (cewka minimalnie lepiej; ta para ma rezonans przy ok. 50,3 Hz); przy wyższej częstotliwości kondensator przewodzi lepiej, cewka gorzej.
Filtr RC: napięcie na kondensatorze to $\hat U_C = \dfrac{Z_C}{R + Z_C}\hat U = \dfrac{1}{1 + i\omega RC}\hat U$ . Dla $R = 1\ \mathrm{k\Omega}$ i $C = 1\ \mu\mathrm F$ oblicz $|H| = |\hat U_C/\hat U|$ przy 50 Hz, 159 Hz i 1 kHz. Dlaczego to filtr dolnoprzepustowy?

Odpowiedź
$\omega RC = 0{,}314$ ; $1$ ; $6{,}28$ . $\;|H| = 1/\sqrt{1 + (\omega RC)^2} \approx 0{,}954$ ; $0{,}707$ ; $0{,}157$ . Niskie częstotliwości przechodzą prawie bez zmian, wysokie są tłumione.
Pochodna $x(t) = \operatorname{Re}(\hat Xe^{i\omega t})$ to $\operatorname{Re}(i\omega\hat Xe^{i\omega t})$ . Co mnożenie przez $i\omega$ robi z amplitudą i fazą? Sprawdź na $x = \cos\omega t$ .

Odpowiedź
Amplituda razy $\omega$ , faza $+90^\circ$ . $\;\operatorname{Re}(i\omega e^{i\omega t}) = -\omega\sin\omega t = \omega\cos(\omega t + 90^\circ)$ ✓. Prędkość w drganiu wyprzedza położenie o ćwierć okresu.
Feynman ostrzega, że sztuczka z liczbami zespolonymi działa tylko dla równań liniowych. Pokaż na przykładzie, że $\operatorname{Re}(z^2) \neq (\operatorname{Re}z)^2$ , i wyjaśnij, czemu moc w obwodzie, $P = UI$ , trzeba liczyć z części rzeczywistych.

Odpowiedź
$z = 1 + i$ : $\operatorname{Re}(z^2) = \operatorname{Re}(2i) = 0$ , a $(\operatorname{Re}z)^2 = 1$ . Moc to iloczyn dwóch wielkości, czyli działanie nieliniowe: najpierw bierzemy części rzeczywiste $U(t)$ i $I(t)$ , dopiero potem mnożymy. (Średnia moc to $\tfrac12\operatorname{Re}(\hat U\bar{\hat I}) = \tfrac12|\hat U|\,|\hat I|\cos(\varphi_U - \varphi_I)$ ; czynnik $\tfrac12$ bierze się ze średniej z $\cos^2$ , por. zadanie 3.4.)

6 Błędne intuicje

„Liczby urojone nie istnieją, to tylko sztuczka.”: Są tak samo „prawdziwe” jak liczby ujemne: to punkty płaszczyzny z określonym dodawaniem i mnożeniem. Mnożenie przez $i$ to obrót o $90^\circ$ .
„ $\sqrt{ab} = \sqrt a\sqrt b$ zawsze.”: Gdy $a$ i $b$ są obie ujemne, nie: $\sqrt{(-1)(-1)} = 1$ , a $\sqrt{-1}\sqrt{-1} = i^2 = -1$ . Pierwiastek z liczby zespolonej ma kilka wartości i trzeba wybierać.
„ $\operatorname{Im}(3 + 4i) = 4i$ .”: Część urojona to liczba rzeczywista: $\operatorname{Im}(3 + 4i) = 4$ .
„ $\arg z = \arctan(b/a)$ .”: Tylko dla $a > 0$ . Dla $-1 - i$ argument to $-135^\circ$ , a nie $45^\circ$ . Używaj atan2 (lekcja 0.3 Trygonometria i funkcje hiperboliczne).
„Równanie $z^3 = 8$ ma jedno rozwiązanie.”: Ma trzy: rzeczywiste 2 i dwa zespolone (przykład 4.1 w tej lekcji).
„Skoro fazory to liczby zespolone, mogę je dowolnie mnożyć.”: Fazory dodaje się i mnoży przez impedancje (działania liniowe). Iloczynu dwóch fazorów, np. przy liczeniu mocy, nie wolno traktować jak iloczynu wielkości fizycznych.

7 Sprawdź się

1 Ile wynosi

(2 + i)(2 - i)

2 Jaki jest moduł i argument liczby

-2i

2 i $-90^\circ$ .

3 Co robi mnożenie przez

i

na płaszczyźnie?

Obraca o $90^\circ$ przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

4 Ile wynosi

e^{i\pi}

$-1$ .

5 Ile rozwiązań ma

z^5 = 1

i gdzie leżą?

Pięć, w wierzchołkach pięciokąta foremnego wpisanego w okrąg jednostkowy.

6 Jaka jest impedancja cewki?

$i\omega L$ .

7 Dlaczego fazory można stosować tylko do równań liniowych?

Bo dla równań liniowych o rzeczywistych współczynnikach część rzeczywista rozwiązania zespolonego sama spełnia równanie (z rzeczywistą częścią wymuszenia); przy nieliniowości części się mieszają.

8 Karta wzorów i co dalej

Algebra i geometria

$i^2 = -1$ ; $\;z = a + bi$ , $\operatorname{Re}z = a$ , $\operatorname{Im}z = b$

$\bar z = a - bi$ ; $\;z\bar z = |z|^2 = a^2 + b^2$

dzielenie: pomnóż przez sprzężenie mianownika

$z = re^{i\varphi}$ , $\;r = |z|$ , $\;\varphi = \mathrm{atan2}(b, a)$

mnożenie: moduły razy, argumenty plus; $\;\cdot\,i$ = obrót o $90^\circ$

$e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi$ ; $\;e^{i\pi} = -1$

$\cos\varphi = \tfrac{e^{i\varphi} + e^{-i\varphi}}{2}$ , $\;\sin\varphi = \tfrac{e^{i\varphi} - e^{-i\varphi}}{2i}$

Potęgi, pierwiastki, fazory

de Moivre: $(re^{i\varphi})^n = r^ne^{in\varphi}$

$z^n = Re^{i\psi}$ : $\;z_k = \sqrt[n]{R}\,e^{i(\psi + 2k\pi)/n}$ , $k = 0, \dots, n - 1$

współczynniki rzeczywiste $\Rightarrow$ pierwiastki nierzeczywiste w parach sprzężonych

$A\cos(\omega t + \varphi) = \operatorname{Re}(\hat Xe^{i\omega t})$ , $\;\hat X = Ae^{i\varphi}$

pochodna: $\cdot\,i\omega$ ; $\;$ suma drgań: suma fazorów

$Z_R = R$ , $Z_L = i\omega L$ , $Z_C = \tfrac{1}{i\omega C}$ ; $\;\hat U = Z\hat I$

tylko równania liniowe; w automatyce $j$ zamiast $i$

Do przeczytania u Feynmana

Obowiązkowo: 22-5 i 22-6 (liczby zespolone jako „ostatni wynalazek” i wzór Eulera policzony z tablicy potęg).
Dla chętnych: 23-1 (liczby zespolone w drganiach; od razu prowadzi do rezonansu w 23-2 i 23-3).

Do przeczytania w podręcznikach matematyki

K. A. Stroud, Engineering Mathematics: rozdziały o liczbach zespolonych (postać algebraiczna, biegunowa i wykładnicza, de Moivre).
Dowolny podręcznik elektrotechniki: obliczenia obwodów prądu przemiennego metodą liczb zespolonych.

Liczby zespolone wrócą przy równaniach różniczkowych (4.1 Równania różniczkowe zwyczajne): pierwiastki zespolone równania charakterystycznego dają drgania tłumione. Wartości własne macierzy obrotu są zespolone (2.3 Wartości i wektory własne), a transformata Fouriera (4.3 Transformata Fouriera i delta Diraca) to fazory dla wszystkich częstości naraz. W mechanice kwantowej amplitudy prawdopodobieństwa są liczbami zespolonymi (Dział 17: Amplitudy prawdopodobieństwa).