1.6 Szeregi liczbowe i potęgowe · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Prolog: piłka, która odbija się nieskończenie wiele razy

Piłka spada z wysokości 2 m, a po każdym odbiciu wznosi się na 60% poprzedniej wysokości. W idealnym modelu odbija się nieskończenie wiele razy. Czy w takim razie skacze bez końca? To ten sam problem, co u Zenona: nieskończenie wiele kroków w rozumowaniu nie musi oznaczać nieskończenie długiego czasu.FLP I-8-2

Pierwszy spadek trwa $t_0 = \sqrt{2h_0/g} \approx 0{,}639$ s. Wysokość kolejnego odbicia to $0{,}6$ poprzedniej, a czas spadku z wysokości $h$ to $\sqrt{2h/g}$ (z $h = \tfrac12gt^2$ , lekcja 0.1 Liczby, potęgi, logarytmy i funkcje elementarne), więc każdy następny lot w górę i w dół trwa $\sqrt{0{,}6} \approx 0{,}775$ długości poprzedniego (pierwszy taki lot trwa $2t_0q$ ). Całkowity czas to

T = t_0 + 2t_0q + 2t_0q^2 + 2t_0q^3 + \dots,\qquad q = \sqrt{0{,}6}.

To nieskończona suma. W tej lekcji nauczysz się ją policzyć i sprawdzić, czy w ogóle ma sens.

Pytanie na start. Po jakim czasie piłka przestaje skakać? Odpowiedź w przykładzie 1.1.

1 Szereg i jego suma

Szereg to nieskończona suma $a_1 + a_2 + a_3 + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ . Sensu nadaje mu granica. Dodajemy kolejno skończenie wiele wyrazów i dostajemy sumy częściowe

S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_N .

Jeśli ciąg $S_N$ ma skończoną granicę $S$ (lekcja 1.2 Ciągi, granice i ciągłość), szereg jest zbieżny, a $S$ to jego suma. W przeciwnym razie szereg jest rozbieżny.

1.1 Szereg geometryczny

Najważniejszy szereg ma stały iloraz kolejnych wyrazów: $a + aq + aq^2 + \dots$ . Sumę częściową znamy z lekcji 0.2 Równania, nierówności, wielomiany i ułamki proste: $S_N = a\dfrac{1 - q^N}{1 - q}$ dla $q \neq 1$ . Dla $|q| < 1$ mamy $q^N \to 0$ , więc

Szereg geometryczny

\sum_{n=0}^{\infty} aq^n = a + aq + aq^2 + \dots = \frac{a}{1 - q}\qquad\text{dla } |q| < 1 .

Dla $|q| \ge 1$ (i $a \neq 0$ ) szereg jest rozbieżny.

Zenon: $100 + 10 + 1 + \dots = \dfrac{100}{1 - 0{,}1} = 111{,}\overline1$ m. Ułamki okresowe to też szeregi geometryczne: $0{,}\overline{9} = \tfrac{9}{10} + \tfrac{9}{100} + \dots = \dfrac{9/10}{1 - 1/10} = 1$ . Liczba $0{,}999\ldots$ to dokładnie 1, a nie „prawie 1”.

Przykład 1.1 Ile trwa skakanie piłki?

Dla piłki z prologu ( $h_0 = 2$ m, każde odbicie na 60% wysokości) oblicz całkowitą drogę i całkowity czas skakania.

Droga ( $r = 0{,}6$ ; w lekcji 0.2 Równania, nierówności, wielomiany i ułamki proste po pięciu wzlotach wyszło 7,533 m): spadek $h_0$ , potem każde odbicie to lot w górę i w dół: $h_0 + 2h_0r + 2h_0r^2 + \dots = h_0 + \dfrac{2h_0r}{1 - r} = 2 + \dfrac{2{,}4}{0{,}4} = 8$ m.
Czas: $T = t_0 + \dfrac{2t_0q}{1 - q}$ z $q = \sqrt{0{,}6} \approx 0{,}7746$ i $t_0 = \sqrt{4/9{,}81} \approx 0{,}6386$ s.
$T \approx 0{,}6386 + \dfrac{2\cdot0{,}6386\cdot0{,}7746}{0{,}2254} \approx 5{,}03$ s.

Wynik: piłka przebywa 8 m i przestaje skakać po ok. 5,0 s, choć w modelu odbija się nieskończenie wiele razy.

Sprawdzenie: po 20 odbiciach do końca zostaje tylko 0,027 s, więc ogon szeregu naprawdę znika ✓. Prawdziwa piłka przestaje odbijać się wcześniej, bo przy małych prędkościach model stałego współczynnika odbicia przestaje działać.

Zadania · część 1

5 zadań · ok. 25 min

Oblicz sumy: $1 + \tfrac13 + \tfrac19 + \dots$ ; $\;\;4 - 2 + 1 - \tfrac12 + \dots$ ; $\;\;\sum_{n=1}^{\infty}\left(\tfrac{2}{5}\right)^n$ .

Odpowiedź
$\tfrac32$ ; $\;\tfrac{4}{1 + 1/2} = \tfrac83$ ; $\;\tfrac{2/5}{1 - 2/5} = \tfrac23$ (pierwszy wyraz to $\tfrac25$ ).
Zamień na ułamek zwykły: $0{,}\overline{3}$ , $\;0{,}\overline{12}$ , $\;2{,}1\overline{5}$ .

Odpowiedź
$\tfrac13$ ; $\;\tfrac{12}{99} = \tfrac{4}{33}$ ; $\;2{,}1 + \tfrac{0{,}05}{1 - 0{,}1} = 2{,}1 + \tfrac{1}{18} = \tfrac{97}{45}$ .
Dla jakich $x$ zbieżny jest szereg $1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \dots$ ? Ile wynosi jego suma?

Odpowiedź
Iloraz $q = 2x$ , więc $|x| < \tfrac12$ ; suma $\tfrac{1}{1 - 2x}$ .
Lek podaje się co 24 godziny w dawce 100 mg, a w ciągu doby organizm usuwa 75% leku. Ile leku jest w organizmie tuż po bardzo wielu dawkach?

Wskazówka
Tuż po $N$ -tej dawce: $100 + 100\cdot0{,}25 + \dots + 100\cdot0{,}25^{N-1}$ .

Odpowiedź
$\dfrac{100}{1 - 0{,}25} \approx 133$ mg. Poziom ustala się szybko: po trzech dawkach 131 mg.
Wyjaśnij przez sumy częściowe, dlaczego szereg $1 - 1 + 1 - 1 + \dots$ nie ma sumy, choć „grupując” wyrazy można dostać $(1 - 1) + (1 - 1) + \dots = 0$ albo $1 - (1 - 1) - \dots = 1$ .

Odpowiedź
Sumy częściowe to $1, 0, 1, 0, \dots$ , a ten ciąg nie ma granicy. Grupowanie wybiera tylko podciąg sum częściowych, więc może dać dowolną z dwóch wartości. Dla szeregów rozbieżnych zwykłe reguły arytmetyki nie działają.

2 Szereg harmoniczny i stos klocków

Warunek konieczny zbieżności jest oczywisty: jeśli szereg jest zbieżny, to $a_n \to 0$ . Inaczej sumy częściowe wciąż przyrastałyby o coś niemałego. Ale ten warunek nie wystarcza. Pokazuje to szereg harmoniczny:

1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \dots = \infty .

Wyrazy dążą do zera, a suma jest nieskończona. Dowód z XIV wieku (Mikołaj z Oresme) grupuje wyrazy:

1 + \frac12 + \underbrace{\frac13 + \frac14}_{> 2\cdot\frac14 = \frac12} + \underbrace{\frac15 + \dots + \frac18}_{> 4\cdot\frac18 = \frac12} + \underbrace{\frac19 + \dots + \frac1{16}}_{> \frac12} + \dots

Każda grupa daje więcej niż $\tfrac12$ , a grup jest nieskończenie wiele. Szereg rośnie jednak bardzo wolno: suma częściowa $H_N$ jest bliska $\ln N + 0{,}577$ . Żeby przekroczyć 10, trzeba 12 367 wyrazów, a do 100 potrzeba ok. $10^{43}$ .

Szereg harmoniczny ma piękne zastosowanie fizyczne. Układamy na krawędzi stołu stos jednakowych klocków o długości $L$ , każdy przesunięty względem niższego. Stos stoi, dopóki dla każdego klocka (i dla stołu) środek masy wszystkich klocków leżących wyżej nie wychodzi poza jego krawędź. Przy największym wysięgu leży dokładnie na krawędzi: to równowaga graniczna, w praktyce zostawiamy mały zapas. Jeśli na każdym poziomie leży jeden klocek, największy wysięg daje ułożenie, w którym najwyższy klocek wystaje o $\tfrac{L}{2}$ poza drugi, drugi o $\tfrac{L}{4}$ poza trzeci, trzeci o $\tfrac{L}{6}$ i tak dalej. Całkowity wysięg $n$ klocków to

d_n = \frac L2\left(1 + \frac12 + \frac13 + \dots + \frac1n\right) = \frac L2 H_n .

Już 4 klocki wystają poza stół o więcej niż długość klocka ( $d_4 = 1{,}04\,L$ ). A ponieważ szereg harmoniczny jest rozbieżny, odpowiednio wysoki stos może wystawać dowolnie daleko. Tylko że na wysięg $3L$ potrzeba już 227 klocków. (Przy kilku klockach na jednym poziomie, z przeciwwagami, stos da się wysunąć jeszcze dalej.)

Zadania · część 2

4 zadania · ok. 25 min

Który szereg na pewno jest rozbieżny na podstawie warunku koniecznego: $\sum\dfrac{n}{n + 1}$ , $\;\sum\dfrac1{n^2}$ , $\;\sum\cos\dfrac1n$ ?

Odpowiedź
Pierwszy ( $a_n \to 1$ ) i trzeci ( $a_n \to 1$ ). Dla drugiego $a_n \to 0$ , co nic nie przesądza (jest zbieżny, część 3).
Ile wystają poza stół stosy 2 i 3 klocków o długości 20 cm?

Odpowiedź
$10\cdot1{,}5 = 15$ cm; $\;10\cdot1{,}833 \approx 18{,}3$ cm.
Uzasadnij wysięg $\tfrac{L}{2k}$ : środek masy $k$ górnych klocków musi leżeć dokładnie na krawędzi klocka $k + 1$ . Sprawdź to dla $k = 1$ i $k = 2$ .

Wskazówka
Mierz położenia środków klocków od krawędzi klocka poniżej. Środek masy $k$ jednakowych klocków to średnia położeń ich środków.

Odpowiedź
$k = 1$ : środek górnego klocka musi być nad krawędzią drugiego, więc górny wystaje o $\tfrac L2$ . $k = 2$ : wspólny środek masy dwóch górnych ma być nad krawędzią trzeciego. Jeśli drugi wystaje o $d$ , jego środek jest w $d - \tfrac L2$ , a środek pierwszego w $d$ . Średnia $d - \tfrac L4 = 0$ daje $d = \tfrac L4$ ✓.
Grupując wyrazy jak Oresme, pokaż, że $H_{2^m} \ge 1 + \tfrac m2$ (ostro dla $m \ge 2$ ). Ile wyrazów wystarczy, żeby suma przekroczyła 6?

Odpowiedź
Po $2^m$ wyrazach mamy 1, $\tfrac12$ i $m - 1$ grup, każda większa niż $\tfrac12$ : razem więcej niż $1 + \tfrac m2$ . Dla $m = 10$ : $H_{1024} > 6$ . (Naprawdę wystarczy 227 wyrazów; oszacowanie jest zgrubne, ale wystarcza do dowodu rozbieżności.)

3 Kryteria zbieżności

Zwykle nie umiemy policzyć sumy, ale umiemy rozstrzygnąć, czy istnieje. Dla szeregów o wyrazach dodatnich służą do tego trzy narzędzia.

3.1 Porównanie

Jeśli $0 \le a_n \le b_n$ i $\sum b_n$ jest zbieżny, to $\sum a_n$ też. Jeśli $\sum a_n$ jest rozbieżny, to $\sum b_n$ też. Szereg mniejszy od zbieżnego jest zbieżny, większy od rozbieżnego rozbieżny. Porównujemy zwykle z szeregiem geometrycznym albo z szeregami $\sum\tfrac{1}{n^p}$ z części 3.2.

3.2 Kryterium całkowe i szeregi $\sum\frac1{n^p}$

Suma $\sum f(n)$ dla dodatniej, malejącej funkcji $f$ to pole słupków o szerokości 1. Słupek nad $[n;\ n + 1]$ ma wysokość $f(n)$ , więc leży nad wykresem, a przesunięty o 1 w lewo leży pod nim: $\int_1^{N+1} f(x)\,\mathrm dx \le S_N \le f(1) + \int_1^{N} f(x)\,\mathrm dx$ . Dlatego szereg i całka niewłaściwa $\int_1^\infty f(x)\,\mathrm dx$ są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne (lekcja 1.5 Całki), o ile $f$ jest dodatnia i malejąca na $[1;\ \infty)$ . Stąd:

Szeregi $p$

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\ \text{ jest zbieżny dla } p > 1 \text{ i rozbieżny dla } p \le 1 .

Harmoniczny to przypadek graniczny $p = 1$ , odpowiadający całce $\int\tfrac{\mathrm dx}{x} = \ln x \to \infty$ . Euler pokazał, że $\sum\tfrac{1}{n^2} = \tfrac{\pi^2}{6} \approx 1{,}6449$ .

3.3 Kryterium d'Alemberta (ilorazowe)

Policz granicę ilorazu kolejnych wyrazów $q = \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ . Dla $q < 1$ szereg jest zbieżny (od pewnego miejsca maleje szybciej niż geometryczny), dla $q > 1$ (także $q = \infty$ ) rozbieżny, a dla $q = 1$ kryterium nic nie mówi. To najwygodniejsze kryterium dla szeregów z silnią i potęgami.

Przykład 3.1 Trzy szeregi, trzy kryteria

Zbadaj zbieżność: (a) $\sum\dfrac{n}{2^n}$ ; (b) $\sum\dfrac{1}{n^2 + n}$ ; (c) $\sum\dfrac{1}{\sqrt n}$ .

(a) d'Alembert: $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{n + 1}{2n} \to \dfrac12 < 1$ . Zbieżny (suma wynosi 2).
(b) Porównanie: $\dfrac{1}{n^2 + n} < \dfrac{1}{n^2}$ , a $\sum\tfrac1{n^2}$ jest zbieżny. Zbieżny. Suma: $\tfrac{1}{n(n + 1)} = \tfrac1n - \tfrac1{n + 1}$ (ułamki proste, lekcja 0.2 Równania, nierówności, wielomiany i ułamki proste), więc $S_N = 1 - \tfrac1{N + 1} \to 1$ .
(c) Szereg $p$ z $p = \tfrac12 \le 1$ . Rozbieżny.

Wynik: (a) i (b) zbieżne, z sumami 2 i 1; (c) rozbieżny.

Sprawdzenie: dla (c) d'Alembert daje $\sqrt{n/(n + 1)} \to 1$ , czyli nic nie rozstrzyga; dlatego potrzebne było inne kryterium ✓. Suma (b) „składa się jak teleskop”: wyrazy środkowe się znoszą.

Zadania · część 3

5 zadań · ok. 35 min

Zbadaj zbieżność: $\sum\dfrac{1}{n^3}$ ; $\;\sum\dfrac{1}{n^{0{,}9}}$ ; $\;\sum\dfrac{3^n}{n!}$ .

Odpowiedź
Zbieżny ( $p = 3$ ); rozbieżny ( $p = 0{,}9$ ); zbieżny (d'Alembert: $\tfrac{3}{n + 1} \to 0$ ).
Zbadaj kryterium d'Alemberta zbieżność szeregu $\sum\dfrac{n!}{10^n}$ .

Odpowiedź
$\tfrac{n + 1}{10} \to \infty$ : rozbieżny. Silnia w końcu pokonuje każdą funkcję wykładniczą. Zresztą $a_n \to \infty$ , więc wystarczy warunek konieczny.
Zbadaj $\sum\dfrac{2n + 1}{n^3 + 5}$ przez porównanie.

Wskazówka
Dla dużych $n$ wyraz zachowuje się jak $\tfrac{2n}{n^3} = \tfrac{2}{n^2}$ .

Odpowiedź
$\dfrac{2n + 1}{n^3 + 5} \le \dfrac{3n}{n^3} = \dfrac{3}{n^2}$ dla $n \ge 1$ , a $\sum\tfrac3{n^2}$ jest zbieżny. Zbieżny.
Oblicz sumę teleskopową $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2}{n(n + 2)}$ .

Odpowiedź
$\tfrac{2}{n(n + 2)} = \tfrac1n - \tfrac1{n + 2}$ . Zostają $1 + \tfrac12$ , więc suma $\tfrac32$ .
Pokaż kryterium całkowym, że $\sum\dfrac{1}{n\ln n}$ (od $n = 2$ ) jest rozbieżny, choć jego wyrazy maleją szybciej niż $\tfrac1n$ .

Odpowiedź
$\int_2^X\dfrac{\mathrm dx}{x\ln x} = \ln\ln X - \ln\ln2 \to \infty$ (podstawienie $u = \ln x$ , lekcja 1.5 Całki). Rozbieżny, ale niewyobrażalnie wolno: żeby suma przekroczyła 10, liczba wyrazów musiałaby mieć tysiące cyfr.

4 Szeregi naprzemienne

Gdy znaki wyrazów się zmieniają, szereg zbiega łatwiej, bo wyrazy częściowo się znoszą. Kryterium Leibniza: jeśli $b_n$ maleje do zera, to szereg $b_1 - b_2 + b_3 - b_4 + \dots$ jest zbieżny. Co więcej, błąd sumy częściowej jest mniejszy od pierwszego pominiętego wyrazu: $|S - S_N| < b_{N+1}$ . Tę regułę wykorzystaliśmy już w lekcji 1.4 Rachunek różniczkowy w praktyce.

Przykład: naprzemienny szereg harmoniczny jest zbieżny, choć harmoniczny nie jest:

1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \dots = \ln2 \approx 0{,}6931 .

Takie szeregi, zbieżne tylko dzięki zmianie znaków, nazywamy warunkowo zbieżnymi. Są delikatne: Riemann pokazał, że przestawiając ich wyrazy, można dostać dowolną sumę. Szeregi zbieżne także po wzięciu wartości bezwzględnych (bezwzględnie zbieżne) można przestawiać bez obaw.

Zadania · część 4

3 zadania · ok. 20 min

Ile wyrazów szeregu $1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \dots$ wystarczy według oszacowania Leibniza, żeby oszacować $\ln2$ z błędem mniejszym niż 0,01?

Odpowiedź
$\tfrac{1}{N + 1} < 0{,}01$ , czyli $N = 100$ . Zbieżność jest wolna. Naprawdę wystarczy 50 wyrazów (błąd 0,0099), bo oszacowanie jest z zapasem. Z 10 wyrazów wychodzi 0,6456, błąd 0,048.
Które szeregi są bezwzględnie, a które warunkowo zbieżne: $\sum\dfrac{(-1)^n}{n^2}$ ; $\;\sum\dfrac{(-1)^n}{\sqrt n}$ ?

Odpowiedź
Pierwszy bezwzględnie ( $\sum\tfrac1{n^2}$ zbieżny). Drugi warunkowo: Leibniz działa, ale $\sum\tfrac1{\sqrt n}$ jest rozbieżny.
Oszacuj $\sum_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^3}$ z dokładnością do 0,001.

Odpowiedź
$\tfrac{1}{(N + 1)^3} < 0{,}001$ dla $N + 1 = 11$ , więc wystarczy 10 wyrazów: $\approx 0{,}9011$ (dokładnie $0{,}901\,54$ ).

5 Szeregi potęgowe i szereg Taylora

Szereg potęgowy to „nieskończony wielomian” $\sum_{n=0}^\infty c_nx^n = c_0 + c_1x + c_2x^2 + \dots$ (albo z potęgami $(x - a)$ ). Dla każdego $x$ to zwykły szereg liczbowy, który może być zbieżny albo nie. Okazuje się, że zbiór dobrych $x$ to zawsze przedział: istnieje promień zbieżności $R$ taki, że szereg jest zbieżny dla $|x| < R$ i rozbieżny dla $|x| > R$ . Na brzegu $|x| = R$ trzeba sprawdzić osobno. Promień zwykle daje kryterium d'Alemberta, o ile granica istnieje (dla $\sin x$ co drugi współczynnik jest zerem, więc porównujemy kolejne niezerowe wyrazy): $\left|\dfrac{c_{n+1}x^{n+1}}{c_nx^n}\right| < 1$ .

5.1 Szereg Taylora

W lekcji 1.4 Rachunek różniczkowy w praktyce funkcję przybliżaliśmy wielomianem Taylora z resztą $R_n$ . Jeśli dla danego $x$ reszta $R_n \to 0$ przy $n \to \infty$ , wielomiany zbiegają do funkcji i dostajemy szereg Taylora:

f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n .

Szeregi do zapamiętania (wokół $x = 0$ )

e^x = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \dots\qquad (R = \infty)

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots,\qquad \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots\qquad (R = \infty)

\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + \dots,\qquad \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots\qquad (R = 1)

(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2}x^2 + \dots\qquad (R = 1,\ \text{gdy } \alpha \notin \mathbb N)

Wewnątrz przedziału zbieżności, czyli dla $|x| < R$ , szeregi potęgowe można różniczkować i całkować wyraz po wyrazie. To potężne narzędzie. Całkując szereg geometryczny $\tfrac{1}{1 + t} = 1 - t + t^2 - \dots$ od 0 do $x$ , dostajesz szereg logarytmu. Całkując $\tfrac{1}{1 + t^2} = 1 - t^2 + t^4 - \dots$ , dostajesz $\arctan x = x - \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{x^5}{5} - \dots$ , a dla $x = 1$ wzór Leibniza $\tfrac\pi4 = 1 - \tfrac13 + \tfrac15 - \dots$ Punkt $x = 1$ leży na brzegu. Szereg jest tam zbieżny z kryterium Leibniza, a to, że jego suma to nadal $\arctan 1$ , wymaga osobnego argumentu (twierdzenia Abela). Tak samo dla $\ln2$ z szeregu logarytmu.

Promień zbieżności bywa zaskakujący. Funkcja $\tfrac{1}{1 + x^2}$ jest gładka na całej prostej, a jej szereg działa tylko dla $|x| < 1$ . Przyczyna leży poza osią rzeczywistą: mianownik zeruje się w liczbach zespolonych $x = \pm i$ , odległych od zera o 1 (lekcja 1.7 Liczby zespolone i fazory).

Przykład 5.1 Liczby $e$ i $\pi$ z szeregów

Oblicz $e$ z szeregu $\sum\tfrac{1}{n!}$ z dokładnością $10^{-5}$ i oceń, jak szybko zbiega szereg Leibniza dla $\pi$ .

$e = 1 + 1 + \tfrac12 + \tfrac16 + \tfrac1{24} + \dots$ Po 9 wyrazach (do $\tfrac1{8!}$ ): $2{,}718\,279$ . Ogon szacujemy bez znajomości $e$ : $\tfrac1{9!}\left(1 + \tfrac1{10} + \tfrac1{100} + \dots\right) = \tfrac{1}{9!}\cdot\tfrac{10}{9} \approx 3{,}1\cdot10^{-6}$ . Wyrazy maleją szybciej niż geometrycznie, więc zbieżność jest błyskawiczna.
Leibniz: $\pi = 4\left(1 - \tfrac13 + \tfrac15 - \dots\right)$ . Błąd po $N$ wyrazach jest mniejszy od $\tfrac{4}{2N + 1}$ . Po 1000 wyrazach: $3{,}140\,59$ , błąd 0,001.
Szybciej: wzór Machina $\tfrac\pi4 = 4\arctan\tfrac15 - \arctan\tfrac1{239}$ . Tu $x$ jest małe, więc wyrazy maleją jak $(1/5)^{2n}$ . Pięć wyrazów każdego szeregu daje $3{,}141\,592\,68$ , czyli 8 poprawnych cyfr.

Wynik: $e \approx 2{,}71828$ z 9 wyrazów; Leibniz potrzebuje tysiąca wyrazów na 3 cyfry, Machin pięciu na 8.

Sprawdzenie: $e = 2{,}718\,281\,8\ldots$ , $\pi = 3{,}141\,592\,65\ldots$ ✓. Morał: o szybkości decyduje nie liczba wyrazów, ale to, jak szybko maleją, czyli jak daleko od brzegu przedziału zbieżności jesteśmy.

Zadania · część 5

10 zadań · ok. 60 min

Wyznacz promień zbieżności: $\sum\dfrac{x^n}{n}$ ; $\;\sum n!\,x^n$ ; $\;\sum\dfrac{x^n}{n!}$ .

Odpowiedź
$R = 1$ ; $\;R = 0$ (zbieżny tylko dla $x = 0$ ); $\;R = \infty$ .
Oblicz $\sin0{,}5$ z dwóch i trzech pierwszych wyrazów szeregu. Porównaj z kalkulatorem.

Odpowiedź
$0{,}5 - 0{,}020\,83 = 0{,}479\,17$ ; $\;+\,0{,}000\,26 = 0{,}479\,43$ . Kalkulator: $0{,}479\,426$ .
Napisz pierwsze cztery wyrazy szeregu $e^{-x^2}$ (podstaw $-x^2$ w miejsce $x$ w szeregu $e^x$ ).

Odpowiedź
$1 - x^2 + \tfrac{x^4}{2} - \tfrac{x^6}{6}$ .
W jakim przedziale zbieżny jest $\sum\dfrac{(x - 2)^n}{3^n}$ ? Sprawdź też brzegi.

Odpowiedź
To szereg geometryczny z $q = \tfrac{x - 2}{3}$ : $|x - 2| < 3$ , czyli $x \in (-1;\ 5)$ . Na brzegach $q = \pm1$ , rozbieżny.
Różniczkując wyraz po wyrazie szereg $e^x$ , sprawdź, że $(e^x)' = e^x$ . Zrób to samo dla $\sin x$ .

Odpowiedź
$(1 + x + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{6} + \dots)' = 0 + 1 + x + \tfrac{x^2}{2} + \dots$ ✓. $\;(x - \tfrac{x^3}{6} + \tfrac{x^5}{120} - \dots)' = 1 - \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^4}{24} - \dots = \cos x$ ✓.
Oblicz $\sqrt{17} = 4\left(1 + \tfrac{1}{16}\right)^{1/2}$ z dwóch i trzech wyrazów szeregu dwumiennego.

Odpowiedź
$4\cdot1{,}031\,25 = 4{,}125$ ; $\;4\left(1 + \tfrac1{32} - \tfrac1{2048}\right) = 4{,}123\,05$ . Dokładnie $4{,}123\,11$ .
Oblicz sumę $\sum_{n=1}^\infty\dfrac{n}{2^n}$ , różniczkując szereg geometryczny $\sum x^n = \tfrac{1}{1 - x}$ .

Wskazówka
$\sum nx^{n-1} = \tfrac{1}{(1 - x)^2}$ ; pomnóż przez $x$ i podstaw $x = \tfrac12$ .

Odpowiedź
$\sum nx^n = \tfrac{x}{(1 - x)^2}$ ; dla $x = \tfrac12$ : $\tfrac{1/2}{1/4} = 2$ .
Feynman rozwija masę relatywistyczną $m = m_0(1 - v^2/c^2)^{-1/2}$ w szereg (lekcja 1.4 Rachunek różniczkowy w praktyce). Dla jakich prędkości ten szereg w ogóle jest zbieżny?

Odpowiedź
To szereg dwumienny $(1 + x)^{-1/2}$ z $x = -v^2/c^2$ , o promieniu 1. Zbieżny dla $v^2 < c^2$ , czyli dla każdej prędkości mniejszej od prędkości światła. Szybko zbieżny tylko dla $v \ll c$ .FLP I-15-8
Pokaż, że funkcja $\tfrac{1}{1 + x^2}$ ma szereg o promieniu 1, choć jest określona i gładka dla każdego rzeczywistego $x$ . Co dzieje się z sumami częściowymi dla $x = 2$ ?

Odpowiedź
Szereg geometryczny z $q = -x^2$ : zbieżny dla $x^2 < 1$ . Dla $x = 2$ wyrazy $(-4)^n$ rosną, a sumy częściowe skaczą coraz mocniej: $1, -3, 13, -51, \dots$ , choć funkcja ma tam wartość 0,2.
Całkując wyraz po wyrazie, znajdź szereg dla $\displaystyle\int_0^{x}e^{-t^2}\,\mathrm dt$ i oblicz tę całkę dla $x = 1$ z dokładnością do 0,001. (Funkcji pierwotnej $e^{-t^2}$ nie da się wyrazić przez funkcje elementarne; to podstawa rozkładu normalnego, lekcja 5.1 Prawdopodobieństwo i rozkłady.)

Odpowiedź
$x - \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{x^5}{10} - \tfrac{x^7}{42} + \tfrac{x^9}{216} - \dots$ Dla $x = 1$ : $1 - 0{,}3333 + 0{,}1 - 0{,}0238 + 0{,}0046 - 0{,}0008 \approx 0{,}747$ (dokładnie $0{,}746\,82$ ). Szereg naprzemienny, błąd mniejszy od pierwszego pominiętego wyrazu.

6 Błędne intuicje

„Jeśli wyrazy dążą do zera, szereg jest zbieżny.”: To warunek konieczny, a nie wystarczający. Szereg harmoniczny ma $a_n \to 0$ i jest rozbieżny.
„ $0{,}999\ldots$ jest trochę mniejsze od 1.”: To suma szeregu geometrycznego równa dokładnie 1. Między tymi liczbami nie ma żadnej innej.
„Nieskończona suma liczb dodatnich musi być nieskończona.”: $\tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac18 + \dots = 1$ . Liczy się, jak szybko wyrazy maleją.
„Kolejność dodawania nie ma znaczenia.”: Dla szeregów warunkowo zbieżnych ma: przestawiając wyrazy, można dostać dowolną sumę (twierdzenie Riemanna).
„Funkcja gładka wszędzie ma szereg Taylora zbieżny wszędzie.”: $\tfrac{1}{1 + x^2}$ jest gładka na całej prostej, a jej szereg działa tylko dla $|x| < 1$ (symulacja 3).
„Więcej wyrazów zawsze daje lepsze przybliżenie.”: Wewnątrz przedziału zbieżności błąd w końcu dąży do zera, ale nie musi maleć od pierwszego wyrazu: dla $e^{-x}$ przy $x = 5$ sumy częściowe to $1,\ -4,\ 8{,}5,\ \dots$ Poza przedziałem dodatkowe wyrazy nie pomagają, a sumy częściowe się rozjeżdżają.

7 Sprawdź się

1 Ile wynosi

1 + \frac12 + \frac14 + \frac18 + \dots

2 Czy szereg harmoniczny jest zbieżny?

Nie, choć rośnie bardzo wolno (jak $\ln N$ ).

3 Dla jakich

p

jest zbieżny

\sum\frac1{n^p}

Dla $p > 1$ .

4 Co mówi kryterium d'Alemberta, gdy

q = 1

Nic; trzeba użyć innego kryterium.

5 Jaki jest promień zbieżności szeregu

e^x

Nieskończony.

6 Ile wynosi

1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \dots

$\ln2 \approx 0{,}693$ .

7 Jak daleko może wystawać stos klocków poza stół?

Dowolnie daleko, bo szereg harmoniczny jest rozbieżny; ale wysięg rośnie tylko jak $\tfrac L2\ln n$ .

8 Karta wzorów i co dalej

Szeregi liczbowe

$\sum a_n = \lim S_N$ , $\;S_N = a_1 + \dots + a_N$

geometryczny: $\sum_{n\ge0}aq^n = \tfrac{a}{1 - q}$ dla $|q| < 1$

warunek konieczny: zbieżny $\Rightarrow a_n \to 0$

harmoniczny rozbieżny, $H_N \approx \ln N + 0{,}577$

$\sum\tfrac1{n^p}$ : zbieżny $\Leftrightarrow p > 1$ ; $\;\sum\tfrac1{n^2} = \tfrac{\pi^2}{6}$

porównanie; całkowe; d'Alembert: $q = \lim\tfrac{a_{n+1}}{a_n} < 1$ zbieżny, $> 1$ rozbieżny

Leibniz: $b_n \searrow 0 \Rightarrow \sum(-1)^nb_n$ zbieżny, błąd $< b_{N+1}$

Szeregi potęgowe

promień $R$ : zbieżny dla $|x| < R$ ; brzegi osobno

$e^x = \sum\tfrac{x^n}{n!}$ ; $\;\sin x = \sum\tfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n + 1)!}$ ; $\;\cos x = \sum\tfrac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$

$\tfrac{1}{1 - x} = \sum x^n$ ; $\;\ln(1 + x) = \sum_{n\ge1}\tfrac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$ ; $\;\arctan x = \sum\tfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n + 1}$ ( $R = 1$ )

$(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \tfrac{\alpha(\alpha - 1)}{2}x^2 + \dots$ ( $R = 1$ ; dla $\alpha \in \mathbb N$ to wielomian)

dla $|x| < R$ : różniczkowanie i całkowanie wyraz po wyrazie

Do przeczytania u Feynmana

Obowiązkowo: 8-2 (Zenon: nieskończenie wiele kroków w skończonym czasie).
Dla chętnych: koniec 15-8 i początek 15-9 (rozwinięcie masy relatywistycznej i $\tfrac12mv^2$ ).

Do przeczytania w podręcznikach matematyki

K. A. Stroud, Engineering Mathematics: rozdziały o szeregach, kryteriach zbieżności i szeregach potęgowych.
Dowolny podręcznik analizy dla pierwszego roku: dowody kryteriów i twierdzenie Riemanna o przestawianiu wyrazów.

Szereg $e^x$ z $x = i\theta$ da wzór Eulera $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ (1.7 Liczby zespolone i fazory). Szeregi funkcji zamiast potęg, czyli sumy sinusów i cosinusów, to szeregi Fouriera (4.2 Szeregi Fouriera). A szereg z silnią w mianowniku wróci przy rozkładzie Poissona (5.1 Prawdopodobieństwo i rozkłady).