4.2 Szeregi Fouriera · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Prolog: barwa dźwięku

Feynman zaczyna rozdział o harmonicznych od muzyki. Ton muzyczny to drganie ciśnienia powietrza, które powtarza się z okresem $T$ . Wysokość dźwięku zależy od $T$ , ale barwa zależy od kształtu jednego okresu. Już pitagorejczycy wiedzieli, że struny o długościach w prostych stosunkach brzmią razem przyjemnie; Feynman tłumaczy to tym, że ich składowe częstotliwości się pokrywają.FLP I-50-1, 50-3

Struna drga jednocześnie w wielu modach: podstawowym o częstotliwości $f$ i wyższych o częstotliwościach $2f$ , $3f$ … (Dział 11: Fale i dźwięk). Każdy z nich to sinusoida, a ich suma powtarza się z okresem $1/f$ . Pytanie Fouriera było odwrotne: czy każdą funkcję okresową da się tak złożyć?

Pytanie na start. Fala prostokątna przyjmuje na przemian wartości $+1$ i $-1$ i skacze między nimi. Czy da się ją złożyć z gładkich sinusów? Jeśli tak, co dzieje się dokładnie w miejscu skoku? Odpowiedź w przykładzie 2.1 i części 3.

1 Funkcje okresowe i harmoniczne

Funkcja $f$ jest okresowa z okresem $T$ , jeśli $f(t + T) = f(t)$ dla każdego $t$ . Częstość kołowa podstawowa to $\omega = 2\pi/T$ . Funkcje $\cos n\omega t$ i $\sin n\omega t$ dla $n = 1,\ 2,\ 3\ldots$ to harmoniczne: $n$ -ta wykonuje $n$ pełnych drgań w jednym okresie $T$ , więc też ma okres $T$ . Każda ich kombinacja liniowa ma okres $T$ .

Szereg Fouriera

f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\big(a_n\cos n\omega t + b_n\sin n\omega t\big),\qquad \omega = \frac{2\pi}{T} .

Stała $a_0$ to wartość średnia. Taką postać zapisuje Feynman.FLP I-50-2 W wielu podręcznikach (np. Boyce i DiPrima) wyraz stały pisze się jako $\tfrac{a_0}{2}$ , żeby wzór na $a_0$ wyglądał tak samo jak na $a_n$ . To ta sama treść w innym zapisie: zawsze sprawdzaj, której umowy używa źródło.

Wzór obiecuje dwie rzeczy: że współczynniki da się wyznaczyć i że suma rzeczywiście daje $f$ . Pierwsza obietnica jest prosta (część 2), druga wymaga ostrożności (część 3).

Zadania · część 1

2 zadania · ok. 10 min

Jaki jest najmniejszy okres funkcji $\sin 2t + \cos 3t$ ?

Odpowiedź
Okresy składników: $\pi$ i $\tfrac{2\pi}{3}$ . Najmniejsza wspólna wielokrotność: $2\pi$ ( $2$ okresy pierwszego, $3$ drugiego). Częstość podstawowa $\omega = 1$ ; to harmoniczne $n = 2$ i $n = 3$ .
Czy $\sin t + \sin\sqrt2\,t$ jest funkcją okresową?

Odpowiedź
Nie. Wspólny okres $T$ musiałby być całkowitą wielokrotnością $2\pi$ i $\tfrac{2\pi}{\sqrt2}$ , czyli $\sqrt2$ byłby ilorazem liczb całkowitych, a jest niewymierny. Takie funkcje (prawie okresowe) nie mają szeregu Fouriera w sensie tej lekcji.

2 Ortogonalność i współczynniki

Składowe wektora wyznaczamy rzutem: $a_x = \vec a\cdot\hat x$ , bo wersory są prostopadłe i jednostkowe (lekcja 1.1 Wektory). Dla funkcji na przedziale długości $T$ odpowiednikiem iloczynu skalarnego jest całka iloczynu:

\langle f,\ g\rangle = \int_0^T f(t)\,g(t)\,\mathrm dt .

Harmoniczne są względem niego prostopadłe, czyli ortogonalne. Dla $n,\ m \ge 1$ :

\int_0^T\sin n\omega t\,\sin m\omega t\,\mathrm dt = \int_0^T\cos n\omega t\,\cos m\omega t\,\mathrm dt = \begin{cases}\tfrac T2, & n = m\\ 0, & n \neq m\end{cases},\qquad \int_0^T\sin n\omega t\,\cos m\omega t\,\mathrm dt = 0 .

Dowód: ze wzoru $\sin\alpha\sin\beta = \tfrac12[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]$ iloczyn to suma cosinusów, a całka z cosinusa po pełnej liczbie okresów jest zerowa. Gdy $n = m$ , zostaje stały wyraz $\tfrac12\cos0 = \tfrac12$ , którego całka po okresie daje $\tfrac T2$ (iloczyny $\cos\cdot\cos$ i $\sin\cdot\cos$ analogicznie).FLP I-50-4

Teraz pomnóżmy szereg Fouriera przez $\sin m\omega t$ i scałkujmy po okresie. Z całej nieskończonej sumy zostaje jeden wyraz: $b_m\cdot\tfrac T2$ . Tak samo z cosinusami i ze stałą:

Współczynniki Fouriera

a_0 = \frac1T\int_0^T f\,\mathrm dt,\qquad a_n = \frac2T\int_0^T f(t)\cos n\omega t\,\mathrm dt,\qquad b_n = \frac2T\int_0^T f(t)\sin n\omega t\,\mathrm dt .

Całkować można po dowolnym przedziale długości $T$ , np. od $-\tfrac T2$ do $\tfrac T2$ .

Przykład 2.1 Fala prostokątna

Okres $T = 2\pi$ (więc $\omega = 1$ ), $f(t) = 1$ dla $0 < t < \pi$ i $f(t) = -1$ dla $\pi < t < 2\pi$ . Wyznacz współczynniki Fouriera.

$a_0 = 0$ : połowa okresu na $+1$ , połowa na $-1$ .
$a_n = \tfrac1\pi\left(\int_0^\pi\cos nt\,\mathrm dt - \int_\pi^{2\pi}\cos nt\,\mathrm dt\right) = 0$ , bo $\sin nt$ znika w $0$ , $\pi$ i $2\pi$ .
$b_n = \tfrac1\pi\left(\int_0^\pi\sin nt\,\mathrm dt - \int_\pi^{2\pi}\sin nt\,\mathrm dt\right) = \tfrac{1}{\pi n}\big[(1 - \cos n\pi) + (1 - \cos n\pi)\big] = \tfrac{2(1 - (-1)^n)}{\pi n}$ .
Dla $n$ parzystych $b_n = 0$ , dla nieparzystych $b_n = \tfrac{4}{\pi n}$ .

Wynik: $f(t) = \dfrac4\pi\left(\sin t + \dfrac{\sin3t}{3} + \dfrac{\sin5t}{5} + \ldots\right)$ .

Sprawdzenie: ten sam wynik podaje Feynman: tylko nieparzyste harmoniczne, z amplitudami odwrotnie proporcjonalnymi do częstotliwości.FLP I-50-4 W $t = \tfrac\pi2$ : $\tfrac4\pi(1 - \tfrac13 + \tfrac15 - \ldots) = \tfrac4\pi\cdot\tfrac\pi4 = 1$ ✓ (szereg Leibniza, lekcja 1.6 Szeregi liczbowe i potęgowe).

Symetria oszczędza rachunki. Jeśli $f$ jest nieparzysta ( $f(-t) = -f(t)$ ), to wszystkie $a_n = 0$ i $a_0 = 0$ : zostają same sinusy. Jeśli parzysta, wszystkie $b_n = 0$ : same cosinusy. Fala prostokątna z przykładu 2.1 jest nieparzysta. Ma też symetrię półokresową, $f(t + \tfrac T2) = -f(t)$ , która usuwa wszystkie parzyste harmoniczne.

Przykład 2.2 Fala piłokształtna

Na przedziale $-\pi < t < \pi$ jest $f(t) = t$ , a dalej funkcja powtarza się z okresem $2\pi$ . Wyznacz szereg Fouriera.

$f$ jest nieparzysta, więc $a_0 = a_n = 0$ .
$b_n = \tfrac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}t\sin nt\,\mathrm dt = \tfrac2\pi\int_0^\pi t\sin nt\,\mathrm dt$ . Przez części (lekcja 1.5 Całki): $\int_0^\pi t\sin nt\,\mathrm dt = \left[-\tfrac{t\cos nt}{n}\right]_0^\pi + \tfrac1n\int_0^\pi\cos nt\,\mathrm dt = -\tfrac{\pi\cos n\pi}{n}$ .
$b_n = -\tfrac{2\cos n\pi}{n} = \tfrac{2(-1)^{n+1}}{n}$ .

Wynik: $t = 2\left(\sin t - \dfrac{\sin2t}{2} + \dfrac{\sin3t}{3} - \ldots\right)$ dla $-\pi < t < \pi$ .

Sprawdzenie: w $t = \tfrac\pi2$ : $2(1 - \tfrac13 + \tfrac15 - \ldots) = 2\cdot\tfrac\pi4 = \tfrac\pi2$ ✓.

Zadania · część 2

6 zadań · ok. 50 min

Oblicz $\int_0^{2\pi}\sin2t\,\sin3t\,\mathrm dt$ i $\int_0^{2\pi}\sin^2 3t\,\mathrm dt$ .

Odpowiedź
$0$ i $\pi$ (czyli $\tfrac T2$ ).
Podaj współczynniki Fouriera funkcji $3 + 2\cos t - \sin4t$ (okres $2\pi$ ).

Odpowiedź
$a_0 = 3$ , $a_1 = 2$ , $b_4 = -1$ , reszta zero. Skończona suma harmonicznych jest swoim własnym szeregiem Fouriera: rozkład jest jednoznaczny, tak jak składowe wektora w bazie.
Bez całkowania znajdź szereg Fouriera funkcji $\sin^2t$ .

Odpowiedź
$\sin^2t = \tfrac12 - \tfrac12\cos2t$ : $a_0 = \tfrac12$ , $a_2 = -\tfrac12$ . Okres to w rzeczywistości $\pi$ , więc w okresie $2\pi$ występuje tylko parzysta harmoniczna.
Fala trójkątna: $f(t) = |t|$ dla $-\pi < t < \pi$ , okres $2\pi$ . Wyznacz szereg Fouriera.

Wskazówka
Funkcja parzysta: same cosinusy. $\int_0^\pi t\cos nt\,\mathrm dt$ przez części.

Odpowiedź
$a_0 = \tfrac\pi2$ ; $a_n = \tfrac2\pi\int_0^\pi t\cos nt\,\mathrm dt = \tfrac{2((-1)^n - 1)}{\pi n^2}$ , czyli $-\tfrac{4}{\pi n^2}$ dla nieparzystych $n$ i $0$ dla parzystych. $|t| = \tfrac\pi2 - \tfrac4\pi\left(\cos t + \tfrac{\cos3t}{9} + \tfrac{\cos5t}{25} + \ldots\right)$ .
Prostownik jednopołówkowy przepuszcza tylko dodatnią połowę sinusoidy: $f(t) = \sin t$ dla $0 < t < \pi$ i $0$ dla $\pi < t < 2\pi$ . Oblicz $a_0$ , $b_1$ i $a_2$ . Jaką część amplitudy wejściowej stanowi składowa stała?

Odpowiedź
$a_0 = \tfrac1{2\pi}\int_0^\pi\sin t\,\mathrm dt = \tfrac1\pi \approx 0{,}318$ . $\;b_1 = \tfrac1\pi\int_0^\pi\sin^2t\,\mathrm dt = \tfrac12$ . $\;a_2 = \tfrac1\pi\int_0^\pi\sin t\cos2t\,\mathrm dt = -\tfrac{2}{3\pi} \approx -0{,}212$ . Składowa stała to ok. $32\%$ amplitudy; pozostałe harmoniczne usuwa się filtrem, żeby dostać napięcie stałe.
Prostownik dwupołówkowy daje $|\sin t|$ . Wyznacz jej szereg Fouriera w okresie $2\pi$ . Dlaczego występują tylko parzyste harmoniczne? Jak duża jest teraz składowa stała?

Odpowiedź
Funkcja parzysta: $a_0 = \tfrac2\pi \approx 0{,}637$ , $\;a_n = -\tfrac{4}{\pi(n^2 - 1)}$ dla parzystych $n$ ( $a_2 = -\tfrac{4}{3\pi}$ , $a_4 = -\tfrac{4}{15\pi}$ …), zero dla nieparzystych. Prawdziwy okres $|\sin t|$ to $\pi$ , więc w zapisie z okresem $2\pi$ zostają tylko harmoniczne $2,\ 4,\ 6\ldots$ Składowa stała jest dwa razy większa niż w prostowniku jednopołówkowym, a najniższa harmoniczna ma podwojoną częstotliwość, więc łatwiej ją odfiltrować.

3 Zbieżność, skoki i efekt Gibbsa

Czy szereg naprawdę sumuje się do $f$ ? Dla funkcji, z którymi spotkasz się w fizyce, odpowiedź daje twierdzenie Dirichleta.

Twierdzenie o zbieżności

Jeśli $f$ i $f'$ są przedziałami ciągłe (w okresie mają skończenie wiele punktów nieciągłości, a w każdym z nich skończone granice z lewej i z prawej), to szereg Fouriera jest zbieżny w każdym punkcie. W punkcie ciągłości sumą jest $f(t)$ , a w punkcie skoku średnia granic z lewej i z prawej: $\tfrac12\big(f(t^-) + f(t^+)\big)$ .por. Boyce i DiPrima, tw. 10.3.1

Feynman zauważa to samo: w miejscu skoku szereg daje wartość w połowie drogi.FLP I-50-4 Dla fali prostokątnej w $t = 0$ wszystkie sinusy są zerowe, a średnia z $-1$ i $+1$ to właśnie $0$ .

3.1 Gładkość a tempo zanikania

Fala prostokątna ma skok i jej współczynniki maleją jak $\tfrac1n$ . Fala trójkątna jest ciągła, ale ma załamanie (skok pochodnej), i jej współczynniki maleją jak $\tfrac1{n^2}$ (zadanie 2.4). Ogólna reguła: jeśli $f, f', \ldots, f^{(k-1)}$ są ciągłe (także przy sklejeniu sąsiednich okresów), a $f^{(k)}$ ma skoki, współczynniki maleją jak $\tfrac1{n^{k+1}}$ , bo całkowanie przez części w $b_n = \tfrac2T\int f\sin n\omega t\,\mathrm dt$ przenosi pochodną na $f$ i wyciąga $\tfrac1{n\omega}$ . Ostre krawędzie potrzebują wysokich harmonicznych. Dlatego dźwięk skrzypiec (piła) jest „jaskrawy”, a fletu (blisko sinusa) „miękki”.

3.2 Efekt Gibbsa

Przy skoku suma częściowa $S_N$ przestrzeliwuje. Dla fali prostokątnej $\pm1$ maksimum $S_N$ dla dużych $N$ wynosi ok. $1{,}18$ i nie spada poniżej $1{,}179$ , ile wyrazów byś nie wziął: wraz ze wzrostem $N$ „ucho” przesuwa się coraz bliżej skoku (do $t \approx \pi/(N + 1)$ dla nieparzystego $N$ ) i robi się węższe, ale nie niższe. W granicy przestrzał to ok. $9\%$ wysokości skoku. To nie przeczy twierdzeniu o zbieżności: w każdym ustalonym punkcie $S_N(t) \to f(t)$ , tylko ucho ucieka do skoku. Inżynierowie widzą to jako „dzwonienie” przy ostrych krawędziach sygnałów po obcięciu wysokich częstotliwości.

Zadania · część 3

5 zadań · ok. 40 min

Do jakiej wartości jest zbieżny szereg fali prostokątnej z przykładu 2.1 w punktach $t = 0$ , $t = \tfrac\pi2$ i $t = \pi$ ?

Odpowiedź
$0$ (skok z $-1$ na $+1$ , średnia), $1$ , $0$ (skok z $+1$ na $-1$ ).
Do czego jest zbieżny szereg piły z przykładu 2.2 w $t = \pi$ ? Sprawdź bezpośrednio z szeregu.

Odpowiedź
Do $0$ , średniej z $\pi$ (granica z lewej) i $-\pi$ (z prawej). Z szeregu: $\sin n\pi = 0$ dla każdego $n$ ✓.
Wstaw $t = 0$ do szeregu fali trójkątnej z zadania 2.4 i wywnioskuj sumę $1 + \tfrac19 + \tfrac1{25} + \ldots$

Odpowiedź
$|0| = 0 = \tfrac\pi2 - \tfrac4\pi\left(1 + \tfrac19 + \tfrac1{25} + \ldots\right)$ , więc suma odwrotności kwadratów liczb nieparzystych to $\tfrac{\pi^2}{8} \approx 1{,}2337$ . Funkcja jest ciągła w $0$ , więc szereg zbiega do $f(0)$ .
Od którego $n$ wszystkie dalsze niezerowe harmoniczne mają amplitudę poniżej $1\%$ amplitudy pierwszej dla fali prostokątnej, a od którego dla trójkątnej?

Odpowiedź
Prostokątna: $\tfrac{b_n}{b_1} = \tfrac1n < 0{,}01$ dla $n > 100$ , czyli od $n = 101$ . Trójkątna: $\tfrac{a_n}{a_1} = \tfrac{1}{n^2} < 0{,}01$ dla $n > 10$ , czyli od $n = 11$ . Mniej więcej dziesięć razy mniej harmonicznych (6 niezerowych zamiast 51) wystarcza do tej samej dokładności.
W symulacji 1 (fala prostokątna) odczytaj maksimum sumy częściowej dla $N = 9$ i $N = 49$ . Gdzie leży to maksimum? Czy przestrzał zniknie dla $N \to \infty$ ?

Odpowiedź
Ok. $1{,}182$ w $t \approx 0{,}31$ dla $N = 9$ i ok. $1{,}179$ w $t \approx 0{,}063$ dla $N = 49$ , czyli w $t \approx \pi/(N + 1)$ . Przestrzał dąży do $\tfrac2\pi\int_0^\pi\tfrac{\sin x}{x}\,\mathrm dx - 1 \approx 0{,}179$ (ok. $9\%$ skoku o wysokości $2$ ): nie znika, tylko się zwęża.

4 Energia, widmo i oscylator

Energia drgań jest proporcjonalna do kwadratu wychylenia, więc dla dźwięku albo prądu interesuje nas średnia z $f^2$ . Podnieśmy szereg do kwadratu i scałkujmy po okresie. Z ortogonalności wszystkie iloczyny różnych harmonicznych dają zero, a kwadraty dają $\tfrac T2$ :FLP I-50-5

Twierdzenie o energii (równość Parsevala)

\frac1T\int_0^T f^2\,\mathrm dt = a_0^2 + \frac12\sum_{n=1}^{\infty}\big(a_n^2 + b_n^2\big) .

Średnia moc sygnału to suma mocy poszczególnych harmonicznych: energia rozkłada się na częstotliwości bez wyrazów mieszanych. Wykres $\sqrt{a_n^2 + b_n^2}$ w zależności od $n$ to widmo sygnału.

Przykład 4.1 Suma, którą znalazł Feynman

Zastosuj twierdzenie o energii do fali prostokątnej z przykładu 2.1.

Lewa strona: $f^2 = 1$ wszędzie, średnia $1$ .
Prawa: $\tfrac12\sum_{n\ \text{nieparz.}}\left(\tfrac{4}{\pi n}\right)^2 = \tfrac{8}{\pi^2}\left(1 + \tfrac19 + \tfrac1{25} + \ldots\right)$ .
Stąd $1 + \tfrac19 + \tfrac1{25} + \ldots = \tfrac{\pi^2}{8}$ .

Wynik: suma odwrotności kwadratów liczb nieparzystych to $\tfrac{\pi^2}{8}$ .FLP I-50-5

Sprawdzenie: ten sam wynik dało zadanie 3.3 z fali trójkątnej, inną drogą ✓. Numerycznie $100\,000$ wyrazów daje $1{,}23370$ , a $\tfrac{\pi^2}{8} = 1{,}23370$ ✓.

4.1 Postać zespolona

Ze wzoru Eulera (lekcja 1.7 Liczby zespolone i fazory) $\cos n\omega t$ i $\sin n\omega t$ to kombinacje $e^{in\omega t}$ i $e^{-in\omega t}$ . Szereg można więc zapisać zwięźlej:

f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n\,e^{in\omega t},\qquad c_n = \frac1T\int_0^T f(t)\,e^{-in\omega t}\,\mathrm dt,\qquad c_0 = a_0,\ \ c_n = \frac{a_n - ib_n}{2}\ (n \ge 1),\ \ c_{-n} = \overline{c_n}\ (f\ \text{rzeczywista}) .

Jeden wzór zamiast trzech, a $|c_n|$ to połowa amplitudy $n$ -tej harmonicznej. Ta postać przejdzie w lekcji 4.3 Transformata Fouriera i delta Diraca w transformatę Fouriera, gdy okres $T$ urośnie do nieskończoności.

4.2 Oscylator pobudzany siłą okresową

Równanie $m\ddot u + \gamma\dot u + ku = F(t)$ jest liniowe, więc obowiązuje superpozycja (lekcja 4.1 Równania różniczkowe zwyczajne): odpowiedź na sumę sił to suma odpowiedzi. Rozkładamy $F$ na harmoniczne, każdą traktujemy osobno wzorem na amplitudę drgań wymuszonych z lekcji 4.1,

R(\Omega) = \frac{F_0}{\sqrt{m^2(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + \gamma^2\Omega^2}},\qquad \omega_0 = \sqrt{k/m},

gdzie $\Omega = n\omega$ to częstość $n$ -tej harmonicznej, a $F_0$ zastępujemy jej amplitudą $F_n$ . Na koniec składamy wszystko z powrotem. Oscylator działa jak filtr: wzmacnia harmoniczne bliskie $\omega_0$ , tłumi pozostałe. Tak pudło rezonansowe gitary wybiera barwę, a radio wybiera stację (Dział 6: Drgania, rezonans i układy liniowe).

Przykład 4.2 Która harmoniczna wygra

Na oscylator o $m = 1$ , $k = 9$ (czyli $\omega_0 = 3$ ) i $\gamma = 0{,}1$ działa siła prostokątna $\pm1$ o okresie $2\pi$ (częstość podstawowa $\omega = 1$ ). Oblicz amplitudy drgań ustalonych dla harmonicznych $1$ , $3$ i $5$ .

Amplitudy siły (przykład 2.1): $F_n = \tfrac{4}{\pi n}$ dla nieparzystych $n$ : $1{,}273$ ; $0{,}424$ ; $0{,}255$ .
$n = 1$ : $\tfrac{1{,}273}{\sqrt{(9 - 1)^2 + 0{,}1^2}} \approx 0{,}159$ .
$n = 3$ : $\Omega = \omega_0$ , pierwszy nawias znika: $\tfrac{0{,}424}{0{,}1\cdot3} \approx 1{,}415$ .
$n = 5$ : $\tfrac{0{,}255}{\sqrt{(9 - 25)^2 + 0{,}5^2}} \approx 0{,}016$ .

Wynik: amplitudy $0{,}159$ ; $1{,}415$ ; $0{,}016$ . Trzecia harmoniczna siły, trzy razy słabsza od pierwszej, daje drgania prawie $9$ razy większe.

Sprawdzenie: oscylator drga w praktyce sinusoidalnie z częstością $3$ , choć siła ma okres $2\pi$ (symulacja 2) ✓. Gdyby $\omega_0$ wynosiło $2$ , rezonansu by nie było, bo fala prostokątna nie ma drugiej harmonicznej (zadanie 4.5).

Zadania · część 4

5 zadań · ok. 40 min

Narysuj widmo sygnału $2\sin t + \cos3t + \sin3t$ i oblicz jego średnią moc $\tfrac1T\int f^2\,\mathrm dt$ .

Odpowiedź
Słupki: $2$ przy $n = 1$ i $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2$ przy $n = 3$ . Moc $\tfrac12(4 + 1 + 1) = 3$ .
Zastosuj twierdzenie o energii do piły z przykładu 2.2 i oblicz $\sum_{n=1}^\infty\tfrac1{n^2}$ .

Odpowiedź
Lewa strona: $\tfrac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\,\mathrm dt = \tfrac{\pi^2}{3}$ . Prawa: $\tfrac12\sum\tfrac{4}{n^2} = 2\sum\tfrac1{n^2}$ . Stąd $\sum\tfrac1{n^2} = \tfrac{\pi^2}{6} \approx 1{,}645$ : słynny problem bazylejski, rozwiązany przez Eulera w 1735 roku.
Oblicz współczynnik zespolony $c_1$ fali prostokątnej z przykładu 2.1 wprost z całki i sprawdź, że $c_1 = \tfrac{a_1 - ib_1}{2}$ .

Odpowiedź
$c_1 = \tfrac1{2\pi}\left(\int_0^\pi e^{-it}\,\mathrm dt - \int_\pi^{2\pi}e^{-it}\,\mathrm dt\right) = \tfrac1{2\pi}\cdot\tfrac{(1 - e^{-i\pi}) - (e^{-i\pi} - e^{-2i\pi})}{i} = \tfrac{4}{2\pi i} = -\tfrac{2i}{\pi}$ . Z $a_1 = 0$ , $b_1 = \tfrac4\pi$ : $\tfrac{0 - i\cdot4/\pi}{2} = -\tfrac{2i}{\pi}$ ✓.
Jaki procent średniej mocy fali prostokątnej niesie pierwsza harmoniczna? Ile niosą pierwsza, trzecia i piąta razem?

Odpowiedź
$\tfrac12\left(\tfrac4\pi\right)^2 = \tfrac{8}{\pi^2} \approx 81\%$ . Z trzecią $\tfrac{8}{\pi^2}\cdot\tfrac{10}{9} \approx 90\%$ , z piątą $\approx 93\%$ . Ostatnie $7\%$ to ostre krawędzie, rozłożone na nieskończenie wiele harmonicznych.
Powtórz przykład 4.2 dla $\omega_0 = 2$ (czyli $k = 4$ ), a potem dla $\omega_0 = 5$ . Która harmoniczna dominuje i dlaczego wyniki tak się różnią?

Odpowiedź
$\omega_0 = 2$ : amplitudy $0{,}424$ ; $0{,}085$ ; $0{,}012$ . Dominuje pierwsza, rezonansu nie ma, bo fala prostokątna nie ma drugiej harmonicznej. $\;\omega_0 = 5$ : amplitudy $0{,}053$ ; $0{,}027$ ; $0{,}509$ . Piąta harmoniczna wygrywa prawie dziesięciokrotnie. Oscylator „słyszy” tylko te składowe siły, które są blisko jego częstości własnej.

5 Błędne intuicje

„Funkcji z przerwami nie da się rozłożyć na sinusy, bo sinusy są gładkie.”: Da się: nieskończona suma gładkich funkcji może mieć skok. W punkcie skoku szereg daje średnią (część 3).
„Im więcej wyrazów, tym mniejszy przestrzał przy skoku.”: Przestrzał Gibbsa (ok. $9\%$ skoku) zostaje dla każdego $N$ ; zmienia się tylko jego szerokość i położenie (zadanie 3.5).
„Wyraz stały to $a_0$ albo $\tfrac{a_0}{2}$ , i to jest ta sama liczba.”: To dwie umowy zapisu, a liczba $a_0$ jest w nich różna (w drugiej dwa razy większa). Sprawdź, której używa źródło.
„Oscylator pobudzany siłą o okresie $T$ drga z okresem $T$ i kształtem podobnym do siły.”: Okres tak, kształt niekoniecznie: oscylator wzmacnia harmoniczną bliską $\omega_0$ i może drgać prawie sinusoidalnie z jej częstotliwością (przykład 4.2).
„Do opisu sygnału wystarczy kilka pierwszych harmonicznych.”: Zależy od gładkości. Dla fali trójkątnej tak, dla prostokątnej potrzeba ich dziesięć razy więcej przy tej samej dokładności amplitud (zadanie 3.4).

6 Sprawdź się

1 Jak obliczyć

b_n

$b_n = \tfrac2T\int_0^Tf(t)\sin n\omega t\,\mathrm dt$ .

2 Dlaczego mnożenie przez

\sin m\omega t

i całkowanie wyłuskuje jeden współczynnik?

Bo harmoniczne są ortogonalne: całki iloczynów różnych harmonicznych są zerowe.

3 Które współczynniki znikają dla funkcji nieparzystej?

$a_0$ i wszystkie $a_n$ : zostają same sinusy.

4 Do czego zbiega szereg w punkcie skoku?

Do średniej granic z lewej i z prawej.

5 Jak szybko maleją współczynniki funkcji ze skokiem, a jak ciągłej z załamaniem?

Jak $\tfrac1n$ i jak $\tfrac1{n^2}$ .

6 Zapisz twierdzenie o energii.

$\tfrac1T\int_0^Tf^2\,\mathrm dt = a_0^2 + \tfrac12\sum(a_n^2 + b_n^2)$ .

7 Dlaczego oscylator o

\omega_0 = 2

nie wpada w rezonans pod działaniem fali prostokątnej o

\omega = 1

Fala prostokątna nie ma parzystych harmonicznych, więc nie ma składowej o częstości $2$ .

7 Karta wzorów i co dalej

Szereg i współczynniki

$f = a_0 + \sum(a_n\cos n\omega t + b_n\sin n\omega t)$ , $\;\omega = 2\pi/T$

$a_0 = \tfrac1T\int_0^Tf$ ; $\;a_n = \tfrac2T\int_0^Tf\cos n\omega t$ ; $\;b_n = \tfrac2T\int_0^Tf\sin n\omega t$

nieparzysta: same $\sin$ ; parzysta: same $\cos$ ; $f(t + \tfrac T2) = -f(t)$ : same nieparzyste $n$

prostokątna $\pm1$ : $\tfrac4\pi\sum_{n\ \text{nieparz.}}\tfrac{\sin nt}{n}$ ; piła $t$ : $2\sum\tfrac{(-1)^{n+1}\sin nt}{n}$

trójkątna $|t|$ : $\tfrac\pi2 - \tfrac4\pi\sum_{n\ \text{nieparz.}}\tfrac{\cos nt}{n^2}$

Zbieżność, energia, zastosowania

skok: średnia z obu stron; przestrzał Gibbsa ok. $9\%$ skoku

skok: $\sim\tfrac1n$ ; załamanie: $\sim\tfrac1{n^2}$

$\tfrac1T\int f^2 = a_0^2 + \tfrac12\sum(a_n^2 + b_n^2)$

$c_n = \tfrac1T\int_0^Tf\,e^{-in\omega t}\,\mathrm dt = \tfrac{a_n - ib_n}{2}$ ( $n \ge 1$ ), $\;c_0 = a_0$

układ liniowy: każdą harmoniczną osobno, $R(n\omega)$ , potem suma

Do przeczytania u Feynmana

Obowiązkowo: t. I, 50-1…50-5 (tony muzyczne, szereg Fouriera, barwa i konsonans, współczynniki, twierdzenie o energii).
Dla chętnych: 50-6 (odpowiedź nieliniowa: skąd biorą się harmoniczne, których w sile nie było).

Do przeczytania w podręcznikach matematyki

W. E. Boyce, R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems: 10.2 (szeregi Fouriera), 10.3 (twierdzenie o zbieżności, efekt Gibbsa), 10.4 (funkcje parzyste i nieparzyste).
K. A. Stroud, Engineering Mathematics: szeregi Fouriera, z dużą liczbą przykładów sygnałów.

Gdy okres rośnie do nieskończoności, harmoniczne zagęszczają się w ciągłe widmo, a szereg przechodzi w całkę: transformatę Fouriera (4.3 Transformata Fouriera i delta Diraca). Szeregi Fouriera wrócą też w równaniach cząstkowych (4.7 Równania cząstkowe: fali, dyfuzji i Laplace'a): drgania struny i stygnięcie pręta rozkłada się na mody, a każdy mod zachowuje się prosto. W fizyce: fale i dźwięk (Dział 11: Fale i dźwięk).