4.7 Równania cząstkowe: fali, dyfuzji i Laplace'a

0 Prolog: dlaczego struna gra harmoniczne

W lekcji 4.2 Szeregi Fouriera barwa dźwięku wynikała z tego, że struna drga naraz z częstotliwościami $f$ , $2f$ , $3f$ … Skąd struna „wie”, że ma drgać akurat z wielokrotnościami jednej częstotliwości, a nie z dowolnymi? Feynman odpowiada: fala w ograniczonym obszarze odbija się od końców i może istnieć tylko z takimi długościami fal, które „mieszczą się” między nimi.FLP I-49-2 Rachunek, który to pokazuje, to rozdzielenie zmiennych w równaniu falowym.

Pytanie na start. Struna o długości $L$ jest zamocowana na obu końcach, a fale biegną po niej z prędkością $c$ . Jakie częstotliwości może wydawać? Odpowiedź w części 2.

1 Trzy równania

Szukana funkcja $u$ zależy od położenia i czasu, więc w równaniach występują pochodne cząstkowe (lekcja 1.4 Rachunek różniczkowy w praktyce). Wszystkie trzy zawierają laplasjan $\nabla^2u$ z lekcji 3.5 Strumień, dywergencja i rotacja: miarę tego, o ile średnia z otoczenia punktu różni się od wartości w punkcie.

Równania fali, dyfuzji i Laplace'a

\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = c^2\nabla^2u,\qquad \frac{\partial u}{\partial t} = D\,\nabla^2u,\qquad \nabla^2u = 0 .

Fala: przyspieszenie proporcjonalne do zakrzywienia, zaburzenia biegną z prędkością $c$ . Dyfuzja (przewodnictwo ciepła): tempo zmiany proporcjonalne do zakrzywienia, nierówności się wygładzają. Laplace: stan ustalony dyfuzji, a także potencjał elektryczny w pustej przestrzeni, kształt naciągniętej membrany, potencjał prędkości cieczy.FLP II-12-1, 12-2

Skąd równanie falowe dla struny? Kawałek struny o długości $\Delta x$ i masie $\mu\Delta x$ jest ciągnięty przez napięcie $T$ z obu stron. Jeśli struna jest wygięta, siły z obu końców nie znoszą się: dla małych wychyleń ( $\sin\theta \approx \operatorname{tg}\theta = u_x$ , napięcie stałe) wypadkowa w pionie to $T\big(u_x(x + \Delta x) - u_x(x)\big) \approx Tu_{xx}\Delta x$ . Druga zasada dynamiki daje $\mu u_{tt} = Tu_{xx}$ , czyli równanie falowe z $c = \sqrt{T/\mu}$ . Feynman wyprowadza to samo równanie dla dźwięku w gazie.FLP I-47-3

W jednym wymiarze każde rozwiązanie równania falowego ma postać $u = f(x - ct) + g(x + ct)$ (rozwiązanie d'Alemberta): dwa kształty biegnące w przeciwne strony bez zmiany kształtu.FLP I-47-4

Przykład 1.1 Struna gitary

Struna ma długość $L = 0{,}65$ m, gęstość liniową $\mu = 0{,}4$ g/m (tu $\mu$ to masa na metr, nie współczynnik tarcia) i napięcie $T = 70$ N. Oblicz prędkość fali i sprawdź, że $u = f(x - ct)$ spełnia równanie falowe.

$c = \sqrt{T/\mu} = \sqrt{70/0{,}0004} \approx 418$ m/s.
Dla $u = f(x - ct)$ : $u_t = -cf'$ , $u_{tt} = c^2f''$ , $u_{xx} = f''$ , więc $u_{tt} = c^2u_{xx}$ ✓ (reguła łańcuchowa, lekcja 3.1 Reguła łańcuchowa, ekstrema i mnożniki Lagrange'a w wielu zmiennych).

Wynik: $c \approx 418$ m/s.

Sprawdzenie: jednostki: $\sqrt{\mathrm N/(\mathrm{kg/m})} = \sqrt{\mathrm{m^2/s^2}}$ ✓. To szybciej niż dźwięk w powietrzu ( $343$ m/s), ale fala na strunie to inna fala niż ta, którą słyszymy: struna pobudza powietrze z tą samą częstotliwością, nie z tą samą długością fali.

Zadania · część 1

4 zadania · ok. 30 min

Rozpoznaj równania: $u_t = 3u_{xx}$ ; $\;u_{tt} = 4u_{xx}$ ; $\;u_{xx} + u_{yy} = 0$ . Podaj $D$ albo $c$ .

Odpowiedź
Dyfuzji z $D = 3$ ; falowe z $c = 2$ ; Laplace'a w płaszczyźnie.
Sprawdź, że $u = \sin(x - 2t)$ spełnia $u_{tt} = 4u_{xx}$ . W którą stronę i z jaką prędkością biegnie ta fala?

Odpowiedź
$u_{tt} = -4\sin(x - 2t)$ , $u_{xx} = -\sin(x - 2t)$ ✓. W prawo, z prędkością $2$ .
Struna z przykładu 1.1 ma częstotliwość podstawową $f_1 = \tfrac{c}{2L}$ (część 2). Oblicz ją. Jakie napięcie da dokładnie e¹ ( $329{,}6$ Hz)?

Odpowiedź
$f_1 = \tfrac{418}{1{,}3} \approx 322$ Hz. Ponieważ $f \propto \sqrt T$ , trzeba $T = 70\cdot\left(\tfrac{329{,}6}{321{,}8}\right)^2 \approx 73{,}5$ N. Strojenie gitary to zmiana napięcia o kilka procent.
Sprawdź, że $u = \dfrac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}e^{-x^2/(4Dt)}$ spełnia równanie dyfuzji. Co opisuje i jak szybko się rozszerza?

Wskazówka
Oblicz $\ln u$ , potem $u_t/u$ i $u_{xx}/u$ .

Odpowiedź
$\ln u = -\tfrac12\ln(4\pi Dt) - \tfrac{x^2}{4Dt}$ ; $\tfrac{u_t}{u} = -\tfrac1{2t} + \tfrac{x^2}{4Dt^2}$ ; $\tfrac{u_x}{u} = -\tfrac{x}{2Dt}$ , $\tfrac{u_{xx}}{u} = \tfrac{x^2}{4D^2t^2} - \tfrac{1}{2Dt}$ . Zatem $u_t = Du_{xx}$ ✓. To rozpływanie się kropli substancji wpuszczonej w punkt $x = 0$ (w chwili $0$ to delta Diraca, lekcja 4.3 Transformata Fouriera i delta Diraca): krzywa Gaussa o odchyleniu standardowym $\sqrt{2Dt}$ , rosnącym jak pierwiastek z czasu.

2 Struna: rozdzielenie zmiennych

Struna zamocowana w $x = 0$ i $x = L$ : $u_{tt} = c^2u_{xx}$ , $u(0,\ t) = u(L,\ t) = 0$ . Szukamy najpierw rozwiązań, w których kształt się nie zmienia, a tylko skaluje w czasie: $u = X(x)\,G(t)$ . Wstawienie i podzielenie przez $c^2XT$ daje

\frac{G''}{c^2G} = \frac{X''}{X} .

Lewa strona zależy tylko od $t$ , prawa tylko od $x$ , więc obie są równe stałej, oznaczmy ją $-k^2$ (stała dodatnia lub zero nie spełnia warunków brzegowych). Równanie cząstkowe rozpada się na dwa zwyczajne (lekcja 4.1 Równania różniczkowe zwyczajne): $X'' = -k^2X$ i $G'' = -c^2k^2G$ . Warunki brzegowe $X(0) = X(L) = 0$ dopuszczają tylko $X = \sin kx$ z $\sin kL = 0$ , czyli $k = n\pi/L$ .por. Boyce i DiPrima §10.7

Mody struny

u(x,\ t) = \sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{n\pi x}{L}\big(A_n\cos\omega_nt + B_n\sin\omega_nt\big),\qquad \omega_n = \frac{n\pi c}{L},\quad f_n = \frac{nc}{2L} .

Częstotliwości modów to całkowite wielokrotności $f_1 = \tfrac{c}{2L}$ : stąd harmoniczne z lekcji 4.2. $A_n$ to współczynniki szeregu Fouriera (samych sinusów) kształtu początkowego, a $B_n$ wynikają z prędkości początkowej.

Przykład 2.1 Struna szarpnięta w środku

Struna została odciągnięta w środku na wysokość $h$ (kształt trójkąta) i puszczona bez prędkości. Wyznacz $A_n$ i porównaj natężenia harmonicznych.

Prędkość początkowa zero, więc $B_n = 0$ . $A_n = \tfrac2L\int_0^Lu(x,\ 0)\sin\tfrac{n\pi x}{L}\,\mathrm dx$ .
Całkowanie przez części na obu połówkach trójkąta daje $A_n = \dfrac{8h}{\pi^2n^2}\sin\dfrac{n\pi}{2}$ .
Dla parzystych $n$ : $\sin\tfrac{n\pi}{2} = 0$ . Dla nieparzystych: $\pm\tfrac{8h}{\pi^2n^2}$ .

Wynik: $u = \dfrac{8h}{\pi^2}\left(\sin\dfrac{\pi x}{L}\cos\omega_1t - \dfrac19\sin\dfrac{3\pi x}{L}\cos\omega_3t + \dfrac1{25}\sin\dfrac{5\pi x}{L}\cos\omega_5t - \ldots\right)$ .

Sprawdzenie: parzyste mody mają w środku węzeł, więc szarpnięcie w węźle ich nie pobudza ✓. Amplitudy maleją jak $\tfrac1{n^2}$ , bo kształt jest ciągły z załamaniem (lekcja 4.2, część 3) ✓. W $x = L/2$ , $t = 0$ : $\tfrac{8h}{\pi^2}(1 + \tfrac19 + \tfrac1{25} + \ldots) = \tfrac{8h}{\pi^2}\cdot\tfrac{\pi^2}{8} = h$ ✓.

Zadania · część 2

5 zadań · ok. 45 min

Gdzie leżą węzły (punkty nieruchome) modu $n = 3$ ? Ile wynosi jego częstotliwość, jeśli $f_1 = 110$ Hz?

Odpowiedź
$\sin\tfrac{3\pi x}{L} = 0$ : $x = \tfrac L3$ i $\tfrac{2L}{3}$ (plus końce). $f_3 = 330$ Hz.
Strunę o kształcie $u(x,\ 0) = \sin\tfrac{\pi x}{L} + 0{,}5\sin\tfrac{3\pi x}{L}$ puszczono bez prędkości. Zapisz $u(x,\ t)$ . Czy kształt struny się zmienia w czasie?

Odpowiedź
$u = \sin\tfrac{\pi x}{L}\cos\omega_1t + 0{,}5\sin\tfrac{3\pi x}{L}\cos3\omega_1t$ . Kształt się zmienia, bo mody drgają z różnymi częstotliwościami. Po czasie $T_1 = 2\pi/\omega_1$ wraca do początkowego.
Ile razy słabsza (w amplitudzie i w energii) jest trzecia harmoniczna struny z przykładu 2.1 od pierwszej? Energia modu jest proporcjonalna do $\omega_n^2A_n^2$ .

Odpowiedź
Amplituda: $9$ razy. Energia: $\left(\tfrac{3}{9}\right)^2 = \tfrac19$ , czyli $9$ razy mniej. Wyższa częstotliwość częściowo kompensuje mniejszą amplitudę.
Gitarzysta szarpie strunę w $\tfrac15$ długości od mostka. Których harmonicznych w ogóle nie słychać? Jak zmienia się barwa, gdy szarpie bliżej mostka?

Odpowiedź
$A_n \propto \tfrac{\sin(n\pi/5)}{n^2}$ , więc znikają $n = 5,\ 10,\ 15\ldots$ (numerycznie $A_5 = A_{10} = 0$ ). Bliżej mostka znika dopiero bardzo wysoka harmoniczna, a niskie są względnie słabsze: dźwięk jest „ostrzejszy”, bogatszy w wysokie tony.
Pokaż, że szarpnięcie (albo uderzenie) w punkcie $L/m$ nie pobudza harmonicznych o numerach podzielnych przez $m$ . Producenci fortepianów umieszczają młotek mniej więcej w $\tfrac17$ – $\tfrac19$ długości struny. Jaki może być powód?

Odpowiedź
Mod $n$ ma w $x = L/m$ wartość $\sin\tfrac{n\pi}{m}$ , równą zeru dla $n$ podzielnych przez $m$ ; pobudzenie w węźle modu nie przekazuje mu energii, więc w $A_n$ pojawia się czynnik $\sin\tfrac{n\pi}{m} = 0$ . Klasyczne wyjaśnienie (Helmholtz): siódma harmoniczna brzmi fałszywie względem skali, a uderzenie blisko jej węzła ją osłabia. Współcześnie uważa się je za wątpliwe: w $\tfrac18$ – $\tfrac19$ mod $7$ nie ma węzła ( $\sin\tfrac{7\pi}{8} \approx 0{,}38$ ), a o miejscu uderzenia decydują głównie czas kontaktu młotka i sztywność struny.

3 Stygnący pręt

Te same kroki dla równania dyfuzji $u_t = Du_{xx}$ z końcami trzymanymi w temperaturze $0$ : $X = \sin\tfrac{n\pi x}{L}$ jak przy strunie, ale teraz $G' = -Dk^2G$ , czyli $G = e^{-Dk^2t}$ zamiast drgań:por. Boyce i DiPrima §10.5

Przewodnictwo w pręcie z zimnymi końcami

u(x,\ t) = \sum_{n=1}^{\infty}B_n\sin\frac{n\pi x}{L}\,e^{-t/\tau_n},\qquad \tau_n = \frac{L^2}{\pi^2n^2D} .

Mod $n$ gaśnie z czasem życia $\tau_n$ , $n^2$ razy krótszym niż mod podstawowy. Po czasie rzędu $\tau_1$ zostaje praktycznie sam mod $\sin\tfrac{\pi x}{L}$ : profil temperatury upodabnia się do pół sinusoidy i maleje jako całość. To ta sama zależność $\tau \propto\lambda^2$ , którą widzieliśmy w lekcji 3.5 Strumień, dywergencja i rotacja (zadanie 4.4).

Przykład 3.1 Miedziany pręt

Miedziany pręt o długości $1$ m ( $D \approx 1{,}11\cdot10^{-4}\ \mathrm{m^2/s}$ ) ma temperaturę o $T_0$ wyższą od otoczenia, a w chwili $0$ jego końce zanurzamy w wodzie o temperaturze otoczenia. Wyznacz $u(x,\ t)$ , czas $\tau_1$ i temperaturę środka po czasie $\tau_1$ (boczna powierzchnia izolowana).

$B_n = \tfrac2L\int_0^LT_0\sin\tfrac{n\pi x}{L}\,\mathrm dx = \tfrac{2T_0(1 - (-1)^n)}{n\pi}$ : $\tfrac{4T_0}{n\pi}$ dla nieparzystych $n$ , $0$ dla parzystych.
$\tau_1 = \tfrac{1}{\pi^2\cdot1{,}11\cdot10^{-4}} \approx 913$ s, czyli ok. $15$ minut.
W środku $\sin\tfrac{n\pi}{2} = \pm1$ . Po czasie $\tau_1$ : $u = \tfrac{4T_0}{\pi}\left(e^{-1} - \tfrac13e^{-9} + \ldots\right) \approx 0{,}468\,T_0$ .

Wynik: $u = \tfrac{4T_0}{\pi}\sum_{n\ \text{nieparz.}}\tfrac1n\sin\tfrac{n\pi x}{L}\,e^{-n^2t/\tau_1}$ , $\tau_1 \approx 15$ min, w środku po $\tau_1$ zostaje ok. $47\%$ początkowej nadwyżki temperatury.

Sprawdzenie: po $\tau_1$ mod $3$ jest stłumiony o $e^{-9} \approx 10^{-4}$ , więc wynik to praktycznie $\tfrac4\pi e^{-1} \approx 0{,}468$ ✓. W $t = 0$ szereg daje $T_0$ wewnątrz pręta (szereg fali prostokątnej, lekcja 4.2) ✓. Pręt dziesięć razy krótszy stygnie sto razy szybciej: $\tau_1 \approx 9$ s.

Zadania · część 3

4 zadania · ok. 30 min

Ile razy szybciej gaśnie mod $3$ niż mod $1$ ? A mod $10$ ?

Odpowiedź
$\tau_n \propto \tfrac1{n^2}$ : mod $3$ gaśnie $9$ razy szybciej, mod $10$ $100$ razy.
Oblicz $\tau_1$ dla miedzianego pręta o długości $10$ cm. Dlaczego łyżeczka w gorącej herbacie szybko się nagrzewa, a długi pręt powoli?

Odpowiedź
$\tau_1 = \tfrac{0{,}01}{\pi^2\cdot1{,}11\cdot10^{-4}} \approx 9$ s. Czas rośnie z kwadratem długości: $10$ razy dłuższy pręt potrzebuje $100$ razy więcej czasu.
Pręt ma izolowane końce: $u_x(0,\ t) = u_x(L,\ t) = 0$ . Jakie funkcje $X$ są teraz dozwolone? Jaka temperatura ustali się po długim czasie, jeśli na początku $u(x,\ 0) = x$ ?

Odpowiedź
$X = \cos\tfrac{n\pi x}{L}$ , $n = 0,\ 1,\ 2\ldots$ ; mod $n = 0$ (stała) nie gaśnie. Po długim czasie zostaje średnia $\tfrac1L\int_0^Lx\,\mathrm dx = \tfrac L2$ : ciepło nie ucieka, tylko się wyrównuje.
Współczynnik dyfuzji cząsteczek zapachu w nieruchomym powietrzu to ok. $2\cdot10^{-5}\ \mathrm{m^2/s}$ . Z zadania 1.4: typowa odległość dyfuzji po czasie $t$ to $\sqrt{2Dt}$ . Ile trwałoby dotarcie zapachu na odległość $1$ m przez samą dyfuzję? Dlaczego w rzeczywistości dzieje się to w kilka sekund?

Odpowiedź
$t = \tfrac{x^2}{2D} = \tfrac{1}{4\cdot10^{-5}} = 25\,000$ s, prawie $7$ godzin. W praktyce zapach przenoszą ruchy powietrza (konwekcja, przeciągi), a dyfuzja działa tylko na krótkich odległościach. Ta różnica jest typowa: dyfuzja jest szybka na małych skalach i bardzo wolna na dużych.

4 Równanie Laplace'a

Gdy temperatura przestaje się zmieniać, $u_t = 0$ i z równania dyfuzji zostaje $\nabla^2u = 0$ . Funkcje spełniające to równanie to funkcje harmoniczne. Z lekcji 3.5 wiemy, że wartość takiej funkcji w punkcie to średnia z otoczenia, więc (jeśli nie jest stała) nie ma ścisłych maksimów ani minimów wewnątrz obszaru: najcieplejszy i najzimniejszy punkt płyty w stanie ustalonym leżą na brzegu (zadanie 4.5).

Przykład 4.1 Płyta z jednym gorącym bokiem

Kwadratowa płyta $[0;\ 1]^2$ ma górny bok w temperaturze $1$ , a trzy pozostałe w temperaturze $0$ . Znajdź rozkład temperatury w stanie ustalonym i temperaturę środka.

Rozdzielenie $u = X(x)Y(y)$ : $\tfrac{X''}{X} = -\tfrac{Y''}{Y} = -k^2$ . Boki pionowe dają $X = \sin n\pi x$ ; dolny bok ( $u = 0$ dla $y = 0$ ) daje $Y = \sinh n\pi y$ (lekcja 0.3 Trygonometria i funkcje hiperboliczne).
Górny bok: $\sum C_n\sin n\pi x\,\sinh n\pi = 1$ . To szereg sinusów funkcji stałej: $C_n\sinh n\pi = \tfrac{4}{n\pi}$ dla nieparzystych $n$ .
$u(x,\ y) = \sum_{n\ \text{nieparz.}}\dfrac{4}{n\pi}\sin(n\pi x)\dfrac{\sinh n\pi y}{\sinh n\pi}$ .
Środek: sumujemy szereg w $(0{,}5;\ 0{,}5)$ : $0{,}2500$ .

Wynik: szereg z punktu 3; w środku dokładnie $\tfrac14$ .

Sprawdzenie bez rachunku: zsumuj cztery takie problemy, każdy z gorącym innym bokiem. Suma ma temperaturę $1$ na całym brzegu, więc (jedyne rozwiązanie) $u = 1$ wszędzie. Z symetrii każdy z czterech daje w środku tyle samo: $\tfrac14$ ✓. To superpozycja, możliwa, bo równanie jest liniowe.

4.1 We współrzędnych sferycznych

Rozdzielając zmienne we współrzędnych sferycznych (lekcja 3.2 Współrzędne biegunowe, walcowe i sferyczne), dostaje się rozwiązania postaci $r^lY_l^m(\theta,\ \varphi)$ oraz $r^{-(l+1)}Y_l^m$ (te drugie poza kulą, np. potencjał ładunku), gdzie $Y_l^m$ to harmoniki sferyczne: „mody” na powierzchni sfery, odpowiednik $\sin nx$ na odcinku. Dla funkcji niezależnych od $\varphi$ to wielomiany Legendre'a od $\cos\theta$ :

r^0\cdot1,\qquad r\cos\theta = z,\qquad r^2\cdot\tfrac12(3\cos^2\theta - 1) = z^2 - \tfrac12(x^2 + y^2) .

Wszystkie są harmoniczne (zadanie 4.3). Pierwsza to potencjał stały, druga to potencjał jednorodnego pola, trzecia to potencjał pola kwadrupolowego wokół środka (np. w pułapce jonowej); pole samego kwadrupola na zewnątrz to $r^{-3}P_2$ . Te same funkcje kątowe dają kształty orbitali atomowych: $l = 0,\ 1,\ 2$ to orbitale s, p i d (Dział 19: Atom wodoru i układ okresowy).

Zadania · część 4

5 zadań · ok. 45 min

Które z funkcji są harmoniczne w płaszczyźnie: $x^2 - y^2$ , $\;xy$ , $\;x^2 + y^2$ , $\;e^x\cos y$ ?

Odpowiedź
Wszystkie oprócz $x^2 + y^2$ (laplasjan $4$ ).
Oblicz numerycznie temperaturę płyty z przykładu 4.1 w punktach $(0{,}5;\ 0{,}9)$ i $(0{,}5;\ 0{,}1)$ , biorąc pierwsze wyrazy szeregu. Ile wyrazów potrzeba w każdym punkcie?

Odpowiedź
$(0{,}5;\ 0{,}1)$ : już pierwszy wyraz daje $\approx 0{,}035$ (dokładnie $0{,}0351$ ), bo czynnik $\tfrac{\sinh n\pi y}{\sinh n\pi} \approx e^{-n\pi(1 - y)}$ jest tam bardzo mały dla $n \ge 3$ . $(0{,}5;\ 0{,}9)$ : $\approx 0{,}802$ , potrzeba ok. pięciu wyrazów, bo blisko gorącego boku wyższe mody gasną wolniej.
Sprawdź, że $z$ i $z^2 - \tfrac12(x^2 + y^2)$ są harmoniczne w przestrzeni. Dlaczego $z^2$ nie jest?

Odpowiedź
$\nabla^2z = 0$ ; $\nabla^2\left(z^2 - \tfrac12x^2 - \tfrac12y^2\right) = 2 - 1 - 1 = 0$ . $\nabla^2z^2 = 2 \neq 0$ : trzeba odjąć część „kulistą”, $\tfrac13r^2$ (wynik to $\tfrac23$ tego samego wielomianu), żeby zostać z czystym wyrazem $l = 2$ .
Na brzegu koła jednostkowego temperatura to $\cos2\theta$ . Jaka jest temperatura wewnątrz w stanie ustalonym?

Wskazówka
We współrzędnych biegunowych funkcje $r^n\cos n\theta$ są harmoniczne.

Odpowiedź
$u = r^2\cos2\theta = x^2 - y^2$ . Na brzegu ( $r = 1$ ) zgadza się z warunkiem, a $\nabla^2(x^2 - y^2) = 0$ . W środku temperatura $0$ : średnia z brzegu.
Uzasadnij zasadę maksimum: funkcja harmoniczna w obszarze ograniczonym osiąga największą wartość na brzegu. Wywnioskuj, że rozwiązanie równania Laplace'a z danymi wartościami na brzegu jest jedyne.

Odpowiedź
Niech maksimum $M$ będzie osiągane w punkcie wewnętrznym i będzie większe od wartości na brzegu. Wartość $M$ równa się średniej z małego okręgu wokół tego punktu (lekcja 3.5), a żadna wartość na okręgu nie przekracza $M$ , więc na całym okręgu $u = M$ . Powiększając okręgi (i przesuwając środek), dochodzimy do brzegu, gdzie $u < M$ . Sprzeczność. Jednoznaczność: jeśli $u_1$ , $u_2$ mają te same wartości na brzegu, to $w = u_1 - u_2$ jest harmoniczna i zerowa na brzegu, więc z zasady maksimum (i minimum) $w = 0$ wszędzie. Z tego korzystaliśmy w sprawdzeniu przykładu 4.1.

5 Błędne intuicje

„Rozdzielenie zmiennych daje wszystkie rozwiązania od razu.”: Daje tylko rozwiązania iloczynowe (mody). Ogólne rozwiązanie to ich suma, a współczynniki trzeba dopasować szeregiem Fouriera do warunku początkowego lub brzegowego.
„Struna drga z jedną częstotliwością.”: Drga ze wszystkimi pobudzonymi modami naraz. Częstotliwość podstawowa daje wysokość dźwięku, pozostałe barwę.
„Ciepło rozchodzi się ze stałą prędkością, jak fala.”: Dyfuzja nie ma stałej prędkości: odległość rośnie jak $\sqrt t$ , a czas wyrównania jak kwadrat rozmiaru (zadania 3.2, 3.4).
„W płycie w stanie ustalonym może być gorąca plama w środku.”: Bez źródeł ciepła nie: funkcja harmoniczna nie ma maksimów wewnątrz (zadanie 4.5).
„Trzy równania to trzy różne działy fizyki, każdy z własnymi metodami.”: Feynman: te same równania mają te same rozwiązania. Ustalony rozkład temperatury jest rozwiązaniem problemu elektrostatycznego o tych samych warunkach brzegowych.FLP II-12-1

6 Sprawdź się

1 Zapisz równania fali, dyfuzji i Laplace'a.

$u_{tt} = c^2\nabla^2u$ ; $\;u_t = D\nabla^2u$ ; $\;\nabla^2u = 0$ .

2 Na czym polega rozdzielenie zmiennych?

Szukamy $u = X(x)T(t)$ ; po podzieleniu każda strona zależy od jednej zmiennej, więc obie równają się stałej, i dostajemy równania zwyczajne.

3 Jakie częstotliwości ma struna zamocowana na końcach?

$f_n = \tfrac{nc}{2L}$ , $n = 1,\ 2,\ 3\ldots$

4 Skąd biorą się współczynniki

A_n

Z szeregu Fouriera (sinusów) kształtu początkowego.

5 Jak szybko gaśnie mod

n

w stygnącym pręcie?

Jak $e^{-t/\tau_n}$ z $\tau_n = \tfrac{L^2}{\pi^2n^2D}$ .

6 Gdzie funkcja harmoniczna osiąga maksimum?

Na brzegu obszaru.

7 Co to są harmoniki sferyczne?

Funkcje $Y_l^m(\theta,\ \varphi)$ : kątowe części rozwiązań $r^lY_l^m$ równania Laplace'a; mody na sferze.

7 Karta wzorów i co dalej

Fala i dyfuzja

$u_{tt} = c^2u_{xx}$ , struna: $c = \sqrt{T/\mu}$ ; d'Alembert: $f(x - ct) + g(x + ct)$

struna: $\sum\sin\tfrac{n\pi x}{L}(A_n\cos\omega_nt + B_n\sin\omega_nt)$ , $\;f_n = \tfrac{nc}{2L}$

$A_n = \tfrac2L\int_0^Lu(x,\ 0)\sin\tfrac{n\pi x}{L}\,\mathrm dx$ ; środek: $A_n = \tfrac{8h}{\pi^2n^2}\sin\tfrac{n\pi}2$

$u_t = Du_{xx}$ : $\sum B_n\sin\tfrac{n\pi x}{L}e^{-t/\tau_n}$ , $\;\tau_n = \tfrac{L^2}{\pi^2n^2D}$

punkt: Gauss o szerokości $\sqrt{2Dt}$

Laplace

$\nabla^2u = 0$ : stan ustalony, potencjał w pustej przestrzeni

płyta: $\sin(n\pi x)\tfrac{\sinh n\pi y}{\sinh n\pi}$ ; środek kwadratu z jednym gorącym bokiem: $\tfrac14$

biegunowo: $r^n\cos n\theta$ , $r^n\sin n\theta$ ; sferycznie: $r^lY_l^m$

$1$ , $z$ , $z^2 - \tfrac12(x^2 + y^2)$ : $l = 0,\ 1,\ 2$

zasada maksimum ⇒ jednoznaczność; superpozycja

Do przeczytania u Feynmana

Obowiązkowo: t. I, 47-3 i 47-4 (równanie falowe i jego rozwiązania), 49-2 (fale w ograniczonym obszarze, mody); t. II, 12-1 i 12-2 (te same równania, te same rozwiązania; przepływ ciepła).

Do przeczytania w podręcznikach matematyki

W. E. Boyce, R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems: 10.5 (rozdzielenie zmiennych, przewodnictwo w pręcie), 10.6 (inne problemy cieplne), 10.7 (struna), 10.8 (równanie Laplace'a).
D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, rozdz. 3.3: rozdzielenie zmiennych w elektrostatyce, także we współrzędnych sferycznych (wielomiany Legendre'a).

Na tym kończy się część IV. Równanie falowe dla pola elektromagnetycznego wynika z równań Maxwella (Dział 16: Indukcja, równania Maxwella i fale elektromagnetyczne), równanie dyfuzji wróci w termodynamice i w błądzeniu losowym (część V), a równanie Laplace'a w elektrostatyce (Dział 14: Potencjał, przewodniki i kondensatory). W mechanice kwantowej równanie Schrödingera ma strukturę bardzo podobną do równania dyfuzji, ale z jednostką urojoną, która zamienia gaśnięcie modów w obracanie się ich fazy w płaszczyźnie zespolonej (Dział 19: Atom wodoru i układ okresowy).