3.5 Strumień, dywergencja i rotacja · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Prolog: co wypływa z kubka

Gorąca herbata stygnie, bo ciepło przepływa przez ścianki kubka na zewnątrz. Feynman opisuje to polem wektorowym $\vec h$ : przepływem ciepła, czyli energią cieplną przechodzącą w jednostce czasu przez jednostkową powierzchnię prostopadłą do $\vec h$ .FLP II-2-2 Ile ciepła ucieka z kubka na sekundę? Trzeba zsumować składową $\vec h$ prostopadłą do ścianki po całej jej powierzchni. To jest strumień. A skąd to ciepło się bierze? Jeśli w środku nie ma grzałki, ze stygnącej herbaty. Liczba, która mówi, ile czegoś „wypływa z punktu” na jednostkę objętości, to dywergencja.

Pytanie na start. Pole $\vec E = k\,\vec r/r^3$ (ładunek punktowy) rozbiega się od początku układu, a pole $[y;\ 0;\ 0]$ ma wszystkie strzałki równoległe. Czy w punkcie $(1;\ 1;\ 1)$ któreś z nich ma niezerową dywergencję? A niezerową rotację? Intuicja z rysunku zawodzi w obu przypadkach. Odpowiedź w przykładach 2.1 i 3.1.

1 Strumień przez powierzchnię

Niech woda płynie z prędkością $\vec v$ przez małą płaską ramkę o polu $\Delta A$ i jednostkowej normalnej $\hat n$ . W czasie $\Delta t$ przez ramkę przejdzie woda z ukośnego słupa o objętości $(\vec v\cdot\hat n)\,\Delta A\,\Delta t$ . Liczy się tylko składowa prostopadła: woda płynąca wzdłuż ramki przez nią nie przechodzi. Strumień pola $\vec C$ przez powierzchnię to suma takich kawałków:FLP II-3-2

Strumień (całka powierzchniowa)

\Phi = \iint_S \vec C\cdot\hat n\,\mathrm dA = \iint_S \vec C\cdot\mathrm d\vec A,\qquad \mathrm d\vec A = \hat n\,\mathrm dA .

Trzeba wybrać, w którą stronę wskazuje $\hat n$ . Dla powierzchni zamkniętej umowa mówi: na zewnątrz. Wtedy dodatni strumień znaczy, że więcej wypływa, niż wpływa.

1.1 Jak liczyć: parametryzacja powierzchni

Krzywą opisywaliśmy jednym parametrem (lekcja 3.4 Całki krzywoliniowe, pola potencjalne i różniczki zupełne), powierzchnię opisujemy dwoma: $\vec r(u,\ v)$ . Przesunięcie o $\mathrm du$ daje bok $\vec r_u\,\mathrm du$ , przesunięcie o $\mathrm dv$ bok $\vec r_v\,\mathrm dv$ . Te dwa wektory rozpinają mały równoległobok, a jego wektor powierzchni to iloczyn wektorowy (lekcja 1.1 Wektory):

\mathrm d\vec A = \vec r_u\times\vec r_v\,\mathrm du\,\mathrm dv,\qquad \Phi = \iint \vec C\big(\vec r(u,\ v)\big)\cdot(\vec r_u\times\vec r_v)\,\mathrm du\,\mathrm dv .

Kolejność czynników wybiera stronę normalnej; jeśli wyjdzie do środka, zmieniamy znak. Dla sfery o promieniu $R$ we współrzędnych sferycznych (lekcja 3.2 Współrzędne biegunowe, walcowe i sferyczne) $\vec r_\theta\times\vec r_\varphi = R^2\sin\theta\,\hat r$ : wektor na zewnątrz o długości $R^2\sin\theta$ , czyli dokładnie element powierzchni z lekcji 3.3 Całki podwójne i potrójne.

Przykład 1.1 Strumień przez sferę

Oblicz strumień pól $\vec C_1 = [x;\ y;\ z] = \vec r$ i $\vec C_2 = k\,\vec r/r^3$ przez sferę o promieniu $R$ ze środkiem w początku układu (normalna na zewnątrz).

Na sferze $\hat n = \hat r$ , a $\vec r = R\,\hat r$ . Zatem $\vec C_1\cdot\hat n = R$ w każdym punkcie, stałe.
Stałą mnożymy przez pole sfery: $\Phi_1 = R\cdot4\pi R^2 = 4\pi R^3$ .
$\vec C_2\cdot\hat n = k\,R/R^3 = k/R^2$ , też stałe: $\Phi_2 = \tfrac{k}{R^2}\cdot4\pi R^2 = 4\pi k$ .

Wynik: $\Phi_1 = 4\pi R^3$ ; $\;\Phi_2 = 4\pi k$ , niezależnie od promienia.

Sprawdzenie: całka z parametryzacji: $\vec r\cdot(\vec r_\theta\times\vec r_\varphi) = R\cdot R^2\sin\theta$ , a $\int_0^{2\pi}\!\int_0^\pi R^3\sin\theta\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\varphi = 4\pi R^3$ ✓. Wynik $4\pi k$ niezależny od $R$ to zapowiedź prawa Gaussa (Dział 13: Pole elektryczne i prawo Gaussa): cały strumień pochodzi z ładunku w środku.

Przykład 1.2 Powierzchnia zakrzywiona

Oblicz strumień pola $\vec C = [x;\ y;\ 0]$ (przepływ rozchodzący się poziomo od osi $z$ ) przez kopułę $z = 1 - x^2 - y^2$ , $z \ge 0$ , z normalną skierowaną w górę.

Parametryzacja $\vec r(u,\ v) = [u;\ v;\ 1 - u^2 - v^2]$ nad kołem $u^2 + v^2 \le 1$ . $\;\vec r_u = [1;\ 0;\ -2u]$ , $\vec r_v = [0;\ 1;\ -2v]$ .
$\vec r_u\times\vec r_v = [2u;\ 2v;\ 1]$ ; składowa $z$ dodatnia, więc normalna w górę ✓.
$\vec C\cdot(\vec r_u\times\vec r_v) = 2u^2 + 2v^2$ . We współrzędnych biegunowych: $\int_0^{2\pi}\!\int_0^1 2\rho^2\,\rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\varphi = 2\pi\cdot\tfrac12 = \pi$ .

Wynik: $\Phi = \pi$ .

Sprawdzenie: pole jest poziome, więc przez płaskie dno kopuły ( $z = 0$ , normalna w dół) strumień jest zerowy. Strumień przez całą zamkniętą powierzchnię (kopuła plus dno) to zatem też $\pi$ . Dywergencja pola to $2$ , a objętość kopuły $\int_0^{2\pi}\!\int_0^1(1 - \rho^2)\rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\varphi = \tfrac\pi2$ ; iloczyn $2\cdot\tfrac\pi2 = \pi$ ✓ (część 2 wyjaśni, dlaczego to się musi zgadzać).

Zadania · część 1

6 zadań · ok. 40 min

Oblicz strumień stałego pola $[1;\ 2;\ 3]$ przez kwadrat o boku $2$ leżący w płaszczyźnie $x = 0$ , z normalną $[1;\ 0;\ 0]$ . A z normalną $[-1;\ 0;\ 0]$ ?

Odpowiedź
$\vec C\cdot\hat n = 1$ , pole $4$ : strumień $4$ . Z przeciwną normalną $-4$ .
Oblicz strumień pola $[x;\ y;\ z]$ na zewnątrz przez każdą ścianę sześcianu $[0;\ 1]^3$ i przez całą jego powierzchnię.

Odpowiedź
Ściana $x = 1$ : $\vec C\cdot\hat n = x = 1$ , strumień $1$ . Ściana $x = 0$ : $\vec C\cdot\hat n = -x = 0$ . Tak samo dla $y$ i $z$ . Razem $3$ .
Oblicz strumień pola $[x;\ y;\ z]$ na zewnątrz przez powierzchnię walca $x^2 + y^2 \le R^2$ , $0 \le z \le H$ (bok, wieczko i dno). Porównaj z objętością walca.

Wskazówka
Na boku $\hat n = [x;\ y;\ 0]/R$ , więc $\vec C\cdot\hat n = R$ .

Odpowiedź
Bok: $R\cdot2\pi RH = 2\pi R^2H$ . Wieczko ( $\hat n = \hat z$ , $z = H$ ): $H\cdot\pi R^2$ . Dno ( $z = 0$ ): $0$ . Razem $3\pi R^2H = 3V$ . Tak jak w przykładzie 1.1 dla kuli ( $4\pi R^3 = 3\cdot\tfrac43\pi R^3$ ) i w zadaniu 1.2 dla sześcianu.
Deszcz pada pionowo: pole $[0;\ 0;\ -1]$ . Oblicz strumień przez półsferę $z \ge 0$ o promieniu $R$ z normalną na zewnątrz (parasol). Dlaczego jego wartość bezwzględna jest równa polu cienia parasola?

Odpowiedź
$\hat z\cdot\hat r\,R^2\sin\theta = R^2\cos\theta\sin\theta$ ; całka po $\theta \in [0;\ \tfrac\pi2]$ i $\varphi$ daje $\pi R^2$ , więc strumień to $-\pi R^2$ (minus, bo deszcz przechodzi przez powierzchnię do środka, przeciw normalnej). Każda kropla przechodząca przez parasol przechodzi też przez jego cień na ziemi, a liczy się tylko składowa prostopadła.
Wyprowadź pole powierzchni sfery z $|\vec r_\theta\times\vec r_\varphi|$ , gdzie $\vec r = R[\sin\theta\cos\varphi;\ \sin\theta\sin\varphi;\ \cos\theta]$ .

Odpowiedź
$\vec r_\theta\times\vec r_\varphi = R^2\sin\theta\,[\sin\theta\cos\varphi;\ \sin\theta\sin\varphi;\ \cos\theta]$ , długość $R^2\sin\theta$ . $\int_0^{2\pi}\!\int_0^\pi R^2\sin\theta\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\varphi = 4\pi R^2$ .
Ładunek punktowy siedzi w środku sześcianu. Jaki strumień pola $k\,\vec r/r^3$ przechodzi przez jedną ścianę? Odpowiedz bez całkowania, a potem sprawdź numerycznie dla sześcianu o boku $2$ ( $k = 1$ ).

Odpowiedź
Przez cały sześcian przechodzi $4\pi k$ , tyle co przez sferę (każdy promień z ładunku przebija obie powierzchnie raz). Ściany są równoważne z symetrii: $\tfrac{4\pi k}{6} = \tfrac{2\pi k}{3} \approx 2{,}094$ . Numerycznie ściana $z = 1$ : $\int_{-1}^{1}\!\int_{-1}^{1}\tfrac{\mathrm dx\,\mathrm dy}{(x^2 + y^2 + 1)^{3/2}} \approx 2{,}0944$ ✓.

2 Dywergencja

Weźmy mały prostopadłościan o bokach $\Delta x$ , $\Delta y$ , $\Delta z$ . Przez ścianę z lewej (normalna $-\hat x$ ) strumień to $-C_x(x)\,\Delta y\,\Delta z$ , przez ścianę z prawej $+C_x(x + \Delta x)\,\Delta y\,\Delta z$ . Razem $\big(C_x(x + \Delta x) - C_x(x)\big)\Delta y\,\Delta z \approx \tfrac{\partial C_x}{\partial x}\Delta x\,\Delta y\,\Delta z$ . Tak samo z dwiema pozostałymi parami ścian. Strumień na zewnątrz małej kostki to więc $\big(\partial_xC_x + \partial_yC_y + \partial_zC_z\big)\Delta x\,\Delta y\,\Delta z$ , a na jednostkę objętości:FLP II-3-3

Dywergencja

\nabla\cdot\vec C = \frac{\partial C_x}{\partial x} + \frac{\partial C_y}{\partial y} + \frac{\partial C_z}{\partial z} = \lim_{\Delta V\to0}\frac{\text{strumień na zewnątrz }\Delta V}{\Delta V} .

Dywergencja to strumień wypływający na jednostkę objętości: gęstość źródeł pola. Dodatnia: z punktu „coś wypływa” (źródło); ujemna: „coś znika” (ujście); zero: ile wpływa, tyle wypływa.por. Stewart §16.5

Zapis $\nabla\cdot\vec C$ to „iloczyn skalarny” operatora $\nabla = [\partial_x;\ \partial_y;\ \partial_z]$ z polem. Feynman ostrzega: $\nabla$ jest operatorem wektorowym, a nie zwykłym wektorem, a $\nabla\cdot\vec C$ to nie to samo co $\vec C\cdot\nabla$ .FLP II-2-4, 2-5 Rachunkowo dywergencja to suma trzech pochodnych cząstkowych (lekcja 1.4 Rachunek różniczkowy w praktyce), każda po „swojej” zmiennej.

Przykład 2.1 Źródło rozłożone i źródło punktowe

Oblicz dywergencję pól z przykładu 1.1: $\vec r = [x;\ y;\ z]$ i $k\,\vec r/r^3$ . Porównaj ze strumieniami przez sferę.

$\nabla\cdot\vec r = 1 + 1 + 1 = 3$ wszędzie. Strumień przez sferę $4\pi R^3 = 3\cdot\tfrac43\pi R^3$ : dywergencja razy objętość.
Dla $\vec r/r^3$ : $\partial_x\tfrac{x}{r^3} = \tfrac1{r^3} - \tfrac{3x^2}{r^5}$ (bo $\partial_xr = x/r$ ). Suma po trzech współrzędnych: $\tfrac3{r^3} - \tfrac{3(x^2 + y^2 + z^2)}{r^5} = 0$ dla $r \neq 0$ .
Ale strumień przez sferę to $4\pi k \neq 0$ . Całe źródło siedzi w jednym punkcie $r = 0$ , gdzie pole nie jest określone.

Wynik: $\nabla\cdot\vec r = 3$ ; $\;\nabla\cdot(k\vec r/r^3) = 0$ poza początkiem układu. W punkcie $(1;\ 1;\ 1)$ pole ładunku ma zerową dywergencję, choć strzałki się rozbiegają.

Sprawdzenie: strzałki pola $\vec r/r^3$ się rozchodzą, ale słabną jak $1/r^2$ , a powierzchnia sfery rośnie jak $r^2$ : przez dwie koncentryczne sfery przechodzi ten sam strumień, więc w warstwie między nimi nic nie przybywa ✓.

W fizyce dywergencja pojawia się zawsze, gdy coś jest zachowane. Feynman wiąże przepływ ciepła z temperaturą równaniem $\vec h = -\kappa\nabla T$ : ciepło płynie „w dół” temperatury, z przewodnością cieplną $\kappa$ .FLP II-2-6 Jeśli w danym miejscu $\nabla\cdot\vec h > 0$ , ciepło stamtąd ucieka i ośrodek stygnie. Pole elektryczne ma dywergencję proporcjonalną do gęstości ładunku (Dział 13: Pole elektryczne i prawo Gaussa), a nieściśliwa ciecz bez źródeł ma $\nabla\cdot\vec v = 0$ (Dział 10: Płyny: ciśnienie, przepływ, lepkość i siły aerodynamiczne).

Zadania · część 2

5 zadań · ok. 35 min

Oblicz $\nabla\cdot[x^2y;\ -xy^2;\ z]$ .

Odpowiedź
$2xy - 2xy + 1 = 1$ .
Oblicz dywergencję pól $[-y;\ x;\ 0]$ i $[x;\ y;\ 0]$ . Narysuj je i wyjaśnij wynik obrazkiem.

Odpowiedź
$0$ i $2$ . Wir krąży, nic nie wypływa z żadnego punktu. Pole $[x;\ y;\ 0]$ rozchodzi się od osi $z$ i rośnie z odległością: z każdego kawałka wypływa więcej, niż wpływa.
Wewnątrz jednorodnej kuli o masie $M$ i promieniu $R$ natężenie grawitacji to $\vec g = -\tfrac{GM}{R^3}\vec r$ . Oblicz $\nabla\cdot\vec g$ i zapisz przez gęstość $\rho_m$ .

Odpowiedź
$\nabla\cdot\vec g = -\tfrac{3GM}{R^3} = -4\pi G\cdot\tfrac{M}{\tfrac43\pi R^3} = -4\pi G\rho_m$ . Masa jest „ujściem” pola grawitacji; na zewnątrz kuli dywergencja jest zerowa (przykład 2.1).
W pręcie temperatura w chwili $t = 0$ to $T = T_0 - ax^2$ ( $a > 0$ ). Oblicz przepływ ciepła $\vec h = -\kappa\nabla T$ i jego dywergencję. Czy środek pręta stygnie, czy się grzeje?

Odpowiedź
$\vec h = [2\kappa ax;\ 0;\ 0]$ : ciepło płynie od środka na boki. $\nabla\cdot\vec h = 2\kappa a > 0$ wszędzie: z każdego kawałka ciepło ucieka, więc pręt stygnie (najszybciej tam, gdzie krzywizna profilu jest największa; tu wszędzie tak samo).
Pokaż, że $\nabla\cdot(r^n\hat r) = (n + 2)\,r^{n-1}$ dla $r \neq 0$ . Dla jakiego $n$ pole radialne nie ma źródeł poza zerem? Dlaczego to właśnie prawo odwrotnych kwadratów?

Wskazówka
$r^n\hat r = r^{n-1}\vec r$ ; użyj $\partial_x r^{m} = m\,r^{m-2}x$ .

Odpowiedź
$\partial_x(r^{n-1}x) = r^{n-1} + (n - 1)r^{n-3}x^2$ . Suma: $3r^{n-1} + (n - 1)r^{n-1} = (n + 2)r^{n-1}$ . Zero dla $n = -2$ . Tylko przy spadku $1/r^2$ strumień przez każdą sferę jest ten sam, bo pole sfery rośnie jak $r^2$ .

3 Rotacja

Teraz zamiast strumienia przez małą zamkniętą powierzchnię liczymy cyrkulację (lekcja 3.4 Całki krzywoliniowe, pola potencjalne i różniczki zupełne) po małym kwadracie o bokach $\Delta x$ , $\Delta y$ w płaszczyźnie $xy$ , przebieganym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Dolny bok daje $C_x(y)\,\Delta x$ , górny, przebyty w lewo, $-C_x(y + \Delta y)\,\Delta x$ ; razem $-\tfrac{\partial C_x}{\partial y}\Delta x\,\Delta y$ . Boki pionowe dają $+\tfrac{\partial C_y}{\partial x}\Delta x\,\Delta y$ . Cyrkulacja na jednostkę powierzchni to $\tfrac{\partial C_y}{\partial x} - \tfrac{\partial C_x}{\partial y}$ , czyli wielkość z testu na pole potencjalne z lekcji 3.4 Całki krzywoliniowe, pola potencjalne i różniczki zupełne.FLP II-3-6 Te same rachunki dla kwadratów w płaszczyznach $yz$ i $zx$ dają dwie pozostałe składowe:

Rotacja

\nabla\times\vec C = \begin{bmatrix} \partial_yC_z - \partial_zC_y \\ \partial_zC_x - \partial_xC_z \\ \partial_xC_y - \partial_yC_x \end{bmatrix} = \det\begin{bmatrix} \hat x & \hat y & \hat z \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ C_x & C_y & C_z \end{bmatrix} .

Składowa rotacji wzdłuż jednostkowego wektora $\hat n$ to cyrkulacja na jednostkę powierzchni po małej pętli leżącej w płaszczyźnie prostopadłej do $\hat n$ , obieganej zgodnie z regułą prawej dłoni: $(\nabla\times\vec C)\cdot\hat n = \lim\limits_{\Delta A\to0}\tfrac{1}{\Delta A}\oint\vec C\cdot\mathrm d\vec r$ .por. Stewart §16.8

Wyznacznik to tylko sposób zapamiętania, tak jak przy iloczynie wektorowym; pochodne stoją zawsze przed składowymi pola. Fizyczny obraz: wstaw w przepływ wody małe kółko łopatkowe zamocowane na osi $\hat n$ . Kręci się z prędkością kątową $\tfrac12(\nabla\times\vec v)\cdot\hat n$ (zadanie 3.2). Rotacja mierzy lokalne wirowanie, a nie to, czy linie pola są zakrzywione.

Symulacja 2 Pole wektorowe w przestrzeni. Przeciągnij rysunek, żeby obejrzeć je z różnych stron. W punkcie

P

czerwona strzałka to

\nabla\times\vec F

, a kółko łopatkowe na osi

\hat n

obraca się z prędkością kątową

\tfrac12(\nabla\times\vec F)\cdot\hat n

. Obracaj oś kółka: kręci się najszybciej wzdłuż rotacji, a przy osi prostopadłej stoi. Porównaj obrót wokół osi ukośnej (rotacja też ukośna), ścinanie (proste strzałki, a rotacja niezerowa) i pole przewodu (zakrzywione linie, a rotacja zero).

Przykład 3.1 Wir i ścinanie

Oblicz rotację pól $[-y;\ x;\ 0]$ (obrót sztywny) i $[y;\ 0;\ 0]$ (ścinanie: warstwy przesuwają się równolegle, szybciej im wyżej). Dla drugiego pola sprawdź wynik cyrkulacją po kwadracie $[0;\ 1]^2$ .

$[-y;\ x;\ 0]$ : składowe $x$ i $y$ rotacji zawierają pochodne po $z$ albo $C_z = 0$ , więc znikają. Składowa $z$ : $\partial_x(x) - \partial_y(-y) = 2$ . Wynik $[0;\ 0;\ 2]$ .
$[y;\ 0;\ 0]$ : składowa $z$ : $\partial_x(0) - \partial_y(y) = -1$ . Wynik $[0;\ 0;\ -1]$ .
Cyrkulacja $[y;\ 0]$ po kwadracie przeciwnie do wskazówek zegara: dół ( $y = 0$ ) daje $0$ , boki pionowe $0$ (pole poziome), góra ( $y = 1$ , w lewo) $-1\cdot1$ . Razem $-1$ , pole kwadratu $1$ .

Wynik: $\nabla\times[-y;\ x;\ 0] = [0;\ 0;\ 2]$ ; $\;\nabla\times[y;\ 0;\ 0] = [0;\ 0;\ -1]$ , wszędzie, także w $(1;\ 1;\ 1)$ .

Sprawdzenie: cyrkulacja $-1$ na polu $1$ zgadza się z rotacją $-1$ ✓. Proste, równoległe strzałki, a jednak wirowanie: kółko łopatkowe w ścinaniu dostaje mocniej od góry niż od dołu i kręci się zgodnie z ruchem wskazówek zegara (symulacja 1, pole „ścinanie”).

Odwrotnie: wir wokół przewodu $\tfrac{[-y;\ x]}{x^2 + y^2}$ z lekcji 3.4 Całki krzywoliniowe, pola potencjalne i różniczki zupełne ma zakrzywione linie, a rotację zero poza osią. Kółko łopatkowe płynie po okręgu, ale się nie obraca: zewnętrzne łopatki dostają słabszy przepływ niż wewnętrzne, a to dokładnie znosi obrót, który kółko zyskałoby, idąc po zakrzywionym torze. Pole o zerowej rotacji nazywamy bezwirowym, pole o zerowej dywergencji bezźródłowym.FLP II-3-7

Zadania · część 3

5 zadań · ok. 40 min

Oblicz $\nabla\times[yz;\ xz;\ xy]$ . Co z tego wynika według lekcji 3.4 Całki krzywoliniowe, pola potencjalne i różniczki zupełne? Znajdź potencjał.

Odpowiedź
$[x - x;\ y - y;\ z - z] = \vec 0$ . Pole jest potencjalne (przestrzeń jednospójna): $\varphi = xyz$ .
Bryła obraca się z prędkością kątową $\vec\omega$ , więc prędkość jej punktów to $\vec v = \vec\omega\times\vec r$ . Pokaż, że $\nabla\times\vec v = 2\vec\omega$ . Co to mówi o kółku łopatkowym?

Odpowiedź
$\vec v = [\omega_yz - \omega_zy;\ \omega_zx - \omega_xz;\ \omega_xy - \omega_yx]$ . Składowa $z$ rotacji: $\partial_x(\omega_zx - \omega_xz) - \partial_y(\omega_yz - \omega_zy) = 2\omega_z$ ; reszta analogicznie. Kółko zanurzone w obracającej się sztywno cieczy obraca się razem z nią, z $\omega = \tfrac12|\nabla\times\vec v|$ : stąd czynnik $\tfrac12$ .
Woda w kanale o szerokości $2a$ płynie z prędkością $\vec v = [v_0(1 - y^2/a^2);\ 0;\ 0]$ : najszybciej w środku, zero przy brzegach. Oblicz rotację. Gdzie kółko łopatkowe kręci się najszybciej, a gdzie wcale?

Odpowiedź
$\nabla\times\vec v = [0;\ 0;\ 2v_0y/a^2]$ . Najszybciej przy brzegach ( $|y| = a$ , $|\nabla\times\vec v| = 2v_0/a$ ), w przeciwne strony przy lewym i prawym brzegu. W środku kanału, gdzie woda płynie najszybciej, kółko się nie obraca.
Sprawdź, że wir punktowy $\vec v = \tfrac{\Gamma}{2\pi}\tfrac{[-y;\ x;\ 0]}{x^2 + y^2}$ ma zerową rotację poza osią $z$ , choć jego cyrkulacja po każdym okręgu wokół osi to $\Gamma$ .

Odpowiedź
Składowa $z$ : $\tfrac\Gamma{2\pi}\left(\tfrac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} - \tfrac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}\right) = 0$ (lekcja 3.4 Całki krzywoliniowe, pola potencjalne i różniczki zupełne, zadanie 3.4). Cała „rotacja” siedzi na osi, jak całe źródło pola ładunku w jednym punkcie (przykład 2.1).
Pokaż, że dla funkcji $f$ i pola $\vec A$ o ciągłych drugich pochodnych $\nabla\times(\nabla f) = \vec 0$ i $\nabla\cdot(\nabla\times\vec A) = 0$ . Zinterpretuj: co mówi pierwsza tożsamość o polach potencjalnych, a co druga o liniach pola magnetycznego?

Odpowiedź
Składowa $z$ rotacji gradientu: $\partial_x\partial_yf - \partial_y\partial_xf = 0$ (twierdzenie Schwarza). $\nabla\cdot(\nabla\times\vec A) = \partial_x(\partial_yA_z - \partial_zA_y) + \partial_y(\partial_zA_x - \partial_xA_z) + \partial_z(\partial_xA_y - \partial_yA_x) = 0$ : wyrazy znoszą się parami. Pola potencjalne są bezwirowe. Pole będące rotacją jest bezźródłowe; pole magnetyczne ma postać $\vec B = \nabla\times\vec A$ , więc jego linie nigdzie się nie zaczynają ani nie kończą.FLP II-2-7

4 Drugie pochodne i laplasjan

Operator $\nabla$ można przyłożyć dwa razy. Feynman wypisuje wszystkie kombinacje.FLP II-2-7 Dwie dają zawsze zero: $\nabla\times(\nabla f) = \vec 0$ i $\nabla\cdot(\nabla\times\vec A) = 0$ (zadanie 3.5). Najważniejsza jest dywergencja gradientu:

Laplasjan

\nabla^2 f = \nabla\cdot(\nabla f) = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2f}{\partial z^2} .

Dla funkcji zależnej tylko od $r$ : $\;\nabla^2 f = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dr}\!\left(r^2\dfrac{\mathrm df}{\mathrm dr}\right)$ . Laplasjan pola wektorowego to laplasjan każdej składowej kartezjańskiej, a $\nabla\times(\nabla\times\vec A) = \nabla(\nabla\cdot\vec A) - \nabla^2\vec A$ .

Co mierzy laplasjan? W jednym wymiarze $f''$ to krzywizna: $f(x + h) + f(x - h) - 2f(x) \approx h^2f''(x)$ . Na płaskiej siatce o kroku $h$ tak samo:

\nabla^2 f \approx \frac{f_{\text{lewy}} + f_{\text{prawy}} + f_{\text{górny}} + f_{\text{dolny}} - 4f}{h^2} = \frac{4}{h^2}\big(\bar f_{\text{sąsiedzi}} - f\big) .

Laplasjan jest proporcjonalny do tego, o ile średnia z otoczenia przewyższa wartość w punkcie. W punkcie, który jest „dołkiem” względem sąsiadów, $\nabla^2f > 0$ ; na „górce” $\nabla^2f < 0$ . Stąd sens równania przewodnictwa: ciepło uciekające z punktu obniża temperaturę, $c\,\partial T/\partial t = -\nabla\cdot\vec h$ ( $c$ to pojemność cieplna jednostki objętości), a z $\vec h = -\kappa\nabla T$ wychodzi $\partial T/\partial t = D\,\nabla^2T$ , gdzie $D = \kappa/c$ (dyfuzyjność cieplna, $\mathrm{m^2/s}$ ).FLP II-3-4 Punkt chłodniejszy od średniej sąsiadów się ogrzewa, cieplejszy stygnie. Funkcja z $\nabla^2f = 0$ (harmoniczna) nie ma lokalnych górek ani dołków: w każdym punkcie równa się średniej z otoczenia. Tak wygląda potencjał elektryczny w pustej przestrzeni (Dział 14: Potencjał, przewodniki i kondensatory).

Przykład 4.1 Trzy laplasjany

Oblicz $\nabla^2(x^2 + y^2 + z^2)$ , $\;\nabla^2(x^2 - y^2)$ i $\;\nabla^2\tfrac1r$ dla $r \neq 0$ .

$x^2 + y^2 + z^2$ : $2 + 2 + 2 = 6$ . Wzorem radialnym: $f = r^2$ , $r^2f' = 2r^3$ , pochodna $6r^2$ , przez $r^2$ : $6$ ✓.
$x^2 - y^2$ : $2 - 2 + 0 = 0$ . Siodło: w kierunku $x$ wygięte w górę, w kierunku $y$ tak samo mocno w dół.
$\tfrac1r$ : $r^2f' = r^2\cdot(-\tfrac1{r^2}) = -1$ , pochodna $0$ . Zatem $\nabla^2\tfrac1r = 0$ poza zerem.

Wynik: $6$ , $0$ , $0$ .

Sprawdzenie: $\nabla\tfrac1r = -\tfrac{\vec r}{r^3}$ , a $\nabla\cdot\tfrac{\vec r}{r^3} = 0$ (przykład 2.1), więc $\nabla^2\tfrac1r = 0$ ✓. Potencjał ładunku punktowego jest harmoniczny wszędzie poza ładunkiem.

Zadania · część 4

4 zadania · ok. 35 min

Oblicz $\nabla^2(e^x\sin y)$ i $\;\nabla^2(x^3 + xyz)$ .

Odpowiedź
$e^x\sin y - e^x\sin y = 0$ (funkcja harmoniczna). $6x + 0 + 0 = 6x$ .
Wzorem radialnym oblicz $\nabla^2 r$ i $\nabla^2 r^n$ . Dla jakich $n$ funkcja $r^n$ jest harmoniczna poza zerem?

Odpowiedź
$\nabla^2r = \tfrac1{r^2}(r^2)' = \tfrac2r$ . $\;\nabla^2r^n = \tfrac1{r^2}(n\,r^{n+1})' = n(n + 1)r^{n-2}$ . Zero dla $n = 0$ (stała) i $n = -1$ (potencjał ładunku).
Oblicz dyskretny laplasjan funkcji $f = x^2 + y^2$ w punkcie $(1;\ 2)$ z krokiem $h = 0{,}1$ (tylko $x$ i $y$ , wzór z pięciu punktów). Porównaj z dokładnym $\nabla^2f$ . Dlaczego zgodność jest tak dobra?

Odpowiedź
$\tfrac{1}{0{,}01}\big(f(1{,}1;\ 2) + f(0{,}9;\ 2) + f(1;\ 2{,}1) + f(1;\ 1{,}9) - 4f(1;\ 2)\big) = \tfrac{0{,}04}{0{,}01} = 4$ . Dokładnie $2 + 2 = 4$ . Dla wielomianu drugiego stopnia wzór jest dokładny: błąd pochodzi z czwartych pochodnych (wzór Taylora, lekcja 1.4 Rachunek różniczkowy w praktyce), a tu są zerowe.
Sprawdź, że $T(x,\ t) = e^{-Dk^2t}\sin kx$ spełnia równanie $\partial_tT = D\,\partial_x^2T$ . Dla miedzi $D \approx 1{,}1\cdot10^{-4}\ \mathrm{m^2/s}$ . Po jakim czasie amplituda zaburzenia temperatury o długości fali $10$ cm spada $e$ razy? A dla $1$ m? Co stąd wynika o wygładzaniu drobnych i dużych nierówności?

Odpowiedź
$\partial_tT = -Dk^2T$ , $\;\partial_x^2T = -k^2T$ ✓. Czas zaniku $\tau = \tfrac{1}{Dk^2}$ z $k = 2\pi/\lambda$ : dla $10$ cm $\tau \approx 2{,}3$ s, dla $1$ m $\tau \approx 230$ s. Czas rośnie jak $\lambda^2$ : drobne nierówności znikają szybko, duże bardzo powoli. Równanie dyfuzji wróci w lekcji 4.7 Równania cząstkowe: fali, dyfuzji i Laplace'a.

5 Błędne intuicje

„Strzałki się rozbiegają, więc dywergencja jest dodatnia.”: Liczy się też, jak zmienia się ich długość. Pole ładunku $\vec r/r^3$ rozbiega się, a ma dywergencję zero poza ładunkiem (przykład 2.1).
„Linie pola są proste, więc rotacja jest zerowa.”: Ścinanie $[y;\ 0;\ 0]$ ma proste linie i rotację $-1$ (przykład 3.1). Odwrotnie, wir wokół przewodu ma linie kołowe i zerową rotację poza osią.
„ $\nabla$ to wektor, więc $\nabla\cdot\vec C = \vec C\cdot\nabla$ .”: $\nabla\cdot\vec C$ to liczba (funkcja), $\vec C\cdot\nabla = C_x\partial_x + C_y\partial_y + C_z\partial_z$ to operator, który czeka na funkcję. Kolejność ma znaczenie.
„Strumień przez powierzchnię zamkniętą wokół ładunku zależy od jej kształtu.”: Dla pola $1/r^2$ nie: przez sferę, sześcian i każdą inną powierzchnię otaczającą ładunek przechodzi $4\pi k$ (przykład 1.1, zadanie 1.6).
„Laplasjan to po prostu druga pochodna, więc mówi o krzywiźnie w jednym kierunku.”: To suma krzywizn wzdłuż trzech osi. Siodło $x^2 - y^2$ jest mocno wygięte w obu kierunkach, a ma laplasjan zero.

6 Sprawdź się

1 Jak obliczyć strumień przez powierzchnię

\vec r(u,\ v)

$\iint\vec C(\vec r(u,\ v))\cdot(\vec r_u\times\vec r_v)\,\mathrm du\,\mathrm dv$ , ze znakiem zależnym od wybranej strony normalnej.

2 Co mierzy dywergencja?

Strumień wypływający z małej objętości, podzielony przez tę objętość: gęstość źródeł.

3 Ile wynosi

\nabla\cdot[x;\ y;\ z]

, a ile

\nabla\cdot(\vec r/r^3)

$3$ i $0$ (dla $r \neq 0$ ).

4 Co mierzy składowa rotacji wzdłuż

\hat n

Cyrkulację na jednostkę powierzchni po małej pętli leżącej w płaszczyźnie prostopadłej do $\hat n$ ; dla przepływu: podwojoną prędkość kątową kółka łopatkowego.

5 Jakie dwie kombinacje drugich pochodnych są zawsze zerowe?

$\nabla\times(\nabla f) = \vec 0$ i $\nabla\cdot(\nabla\times\vec A) = 0$ .

6 Co oznacza

\nabla^2 f > 0

w punkcie?

Wartość w punkcie jest mniejsza od średniej z otoczenia (lokalny „dołek”).

7 Ile wynosi

\nabla^2\tfrac1r

poza zerem?

$0$ : potencjał ładunku punktowego jest harmoniczny.

7 Karta wzorów i co dalej

Strumień i dywergencja

$\Phi = \iint_S\vec C\cdot\hat n\,\mathrm dA$ ; $\;\mathrm d\vec A = \vec r_u\times\vec r_v\,\mathrm du\,\mathrm dv$

sfera: $\mathrm d\vec A = R^2\sin\theta\,\hat r\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\varphi$

$\nabla\cdot\vec C = \partial_xC_x + \partial_yC_y + \partial_zC_z$ = strumień / objętość

$\nabla\cdot\vec r = 3$ ; $\;\nabla\cdot(r^n\hat r) = (n + 2)r^{n-1}$

przepływ ciepła: $\vec h = -\kappa\nabla T$

Rotacja i laplasjan

$\nabla\times\vec C = [\partial_yC_z - \partial_zC_y;\ \partial_zC_x - \partial_xC_z;\ \partial_xC_y - \partial_yC_x]$

$(\nabla\times\vec C)\cdot\hat n$ = cyrkulacja / pole; $\;\nabla\times(\vec\omega\times\vec r) = 2\vec\omega$

$\nabla\times\nabla f = \vec 0$ ; $\;\nabla\cdot\nabla\times\vec A = 0$

$\nabla^2f = \partial_x^2f + \partial_y^2f + \partial_z^2f$ ; radialnie $\tfrac1{r^2}(r^2f')'$

$\nabla^2r^2 = 6$ ; $\;\nabla^2\tfrac1r = 0$ ; $\;\nabla^2f \approx \tfrac4{h^2}(\bar f - f)$ (2D)

Do przeczytania u Feynmana

Obowiązkowo: t. II, 2-3…2-8 (gradient, operator $\nabla$ , przepływ ciepła, drugie pochodne, pułapki) i 3-2…3-7 (strumień, strumień z sześcianu, przewodnictwo cieplne, cyrkulacja po kwadracie, pola bezwirowe i bezźródłowe).

Do przeczytania w podręcznikach matematyki

J. Stewart, Multivariable Calculus, wyd. 7: §16.5 (rotacja i dywergencja), §16.6 (powierzchnie parametryczne i ich pola), §16.7 (całki powierzchniowe).
K. A. Stroud, Engineering Mathematics: operator $\nabla$ , dywergencja i rotacja.

Sumując dywergencję po całej objętości, dostaniemy strumień przez jej brzeg, a sumując rotację po powierzchni, cyrkulację po jej brzegu. To twierdzenia Gaussa i Stokesa z lekcji 3.6 Twierdzenia Greena, Stokesa i Gaussa, z których wyjdą równanie ciągłości i równania Maxwella. Laplasjan wróci w równaniach dyfuzji, falowym i Laplace'a (4.7 Równania cząstkowe: fali, dyfuzji i Laplace'a).