10 Płyny: ciśnienie, przepływ, lepkość i siły aerodynamiczne

0 Prolog: co trzyma latawiec?

Latawiec o powierzchni 0,8 m² i masie 250 g wisi w wietrze wiejącym z prędkością 6 m/s (umiarkowany wiatr, 4 w skali Beauforta). Ciężar latawca to 2,5 N. Powietrze ma gęstość prawie tysiąc razy mniejszą od wody, a mimo to linka ciągnie dłoń z siłą prawie 9 N, a latawiec stoi wysoko nad głową.

Skala sił wynika z jednej wielkości: ciśnienia dynamicznego $q = \tfrac12\rho v^2$ . Przy 6 m/s to $\tfrac12\cdot1{,}2\cdot36 \approx 22$ Pa, a pomnożone przez powierzchnię daje ok. 18 N, siedem razy więcej niż ciężar. Wszystkie siły aerodynamiczne zapisuje się jako $q$ razy powierzchnia razy współczynnik zależny od kształtu i ustawienia. Ten dział tłumaczy, skąd biorą się te współczynniki, a przykład 10.6 i symulacja 4 ustawią latawiec w równowadze.

Feynman poświęca płynom dwa rozdziały tomu II: „przepływ suchej wody” (ciecz bez lepkości, idealna dla matematyków) i „przepływ mokrej wody” (prawdziwa ciecz z lepkością). Pokazuje, że teoria suchej wody przewiduje zerowy opór i zerową siłę nośną dla wielu kształtów, co jest jawnie fałszywe, i że kluczem jest cienka warstwa płynu przy powierzchni ciała.FLP II-40-4, 41-4

Pytanie na start. Dlaczego nie da się wypić napoju słomką o długości 11 m, nawet z najlepszą pompą? Odpowiedź w części 1 i w zadaniu feynmanowskim 2.

1 Płyn w spoczynku: ciśnienie i wypór

Płyn (ciecz lub gaz) w spoczynku nie przenosi sił stycznych: gdyby je przenosił, zacząłby płynąć. Na każdy kawałek powierzchni działa więc tylko siła prostopadła, proporcjonalna do pola. Stosunek siły do pola to ciśnienie $p$ , wielkość skalarna: w danym punkcie jest takie samo we wszystkich kierunkach.FLP II-40-1

Weźmy poziomą warstwę cieczy o grubości $dh$ i polu $A$ . Ciśnienie od dołu musi podtrzymać jej ciężar: $A\,dp = \rho gA\,dh$ . Dla cieczy o stałej gęstości:

Prawo · ciśnienie hydrostatyczne i wypór

p = p_0 + \rho gh,\qquad F_\text{wyporu} = \rho_\text{płynu}\,V_\text{zanurzone}\,g .

$h$ to głębokość pod powierzchnią, na której panuje ciśnienie $p_0$ . Ciśnienie zależy tylko od głębokości, nie od kształtu naczynia. Zmiana ciśnienia w jednym miejscu przenosi się na całą ciecz (prawo Pascala). Wypór (prawo Archimedesa) wynika z różnicy ciśnień: na dolną powierzchnię ciała ciecz naciska mocniej niż na górną, a wypadkowa równa się ciężarowi wypartej cieczy.

Liczby warte zapamiętania: 1 atm = 101 325 Pa to ciśnienie słupa wody o wysokości 10,3 m albo słupa rtęci 760 mm. Na każde 10 m głębokości w wodzie przybywa ok. 1 atm; na dnie Rowu Mariańskiego (11 km) panuje ok. 1100 atm. W gazach ciśnienie maleje z wysokością wykładniczo, bo gęstość zależy od ciśnienia (dział 8 „Ciepło i teoria kinetyczna”).

Ciało pływa, gdy jego średnia gęstość jest mniejsza od gęstości cieczy; zanurza się wtedy w takiej części, żeby wyparta ciecz ważyła tyle co ono. Stalowy statek pływa, bo jego kadłub otacza ogromną objętość powietrza: średnia gęstość kadłuba z zawartością jest mniejsza od gęstości wody.

Zadania · część 1

5 zadań · ok. 30 min

Jakie ciśnienie (bezwzględne i nadciśnienie) panuje na głębokości 30 m w wodzie słodkiej? Z jaką siłą woda naciska na tamę o szerokości 100 m i wysokości wody 30 m?

Wskazówka
Ciśnienie rośnie liniowo z głębokością, więc średnie nadciśnienie na tamie to połowa wartości przy dnie.

Odpowiedź
Nadciśnienie $\rho gh \approx 294$ kPa, bezwzględne ok. 395 kPa (3,9 atm). Siła: $\tfrac12\rho gh^2\cdot b \approx 441$ MN (licząc tylko nadciśnienie, bo atmosfera naciska z obu stron).
Jaka część objętości góry lodowej ( $\rho = 917\ \mathrm{kg/m^3}$ ) wystaje nad wodę morską ( $1025\ \mathrm{kg/m^3}$ )?

Odpowiedź
Zanurzona część to $917/1025 \approx 89{,}5\%$ , wystaje ok. 10,5%.
Podnośnik hydrauliczny ma tłoki o polach 2 cm² i 200 cm². Jaką siłę trzeba przyłożyć do małego tłoka, by unieść samochód o masie 1200 kg? O ile musi przesunąć się mały tłok, by samochód podniósł się o 10 cm?

Odpowiedź
Ciśnienie jest to samo: $F = 11\,770\ \mathrm N\cdot2/200 \approx 118$ N. Objętość cieczy się nie zmienia: mały tłok przesuwa się o 10 m (w praktyce w wielu ruchach pompki). Praca jest ta sama po obu stronach.
Kostka drewna o krawędzi 10 cm i gęstości 600 kg/m³ pływa w wodzie. Jak głęboko jest zanurzona? Jaką siłą trzeba ją wcisnąć, by zanurzyła się całkowicie?

Odpowiedź
Zanurzenie $0{,}6\cdot10 = 6$ cm. Pełne zanurzenie: wypór $1000\cdot10^{-3}\cdot9{,}81 = 9{,}81$ N minus ciężar 5,89 N, czyli 3,9 N.
Dlaczego słomką nie da się wypić napoju z wysokości większej niż ok. 10 m? Co by się zmieniło na Evereście?

Odpowiedź
Ssanie tylko zmniejsza ciśnienie nad napojem w słomce; do góry pcha go ciśnienie atmosferyczne. Nawet przy próżni w słomce podniesie go najwyżej na $p_0/\rho g \approx 10{,}3$ m. Na Evereście ( $p \approx 34$ kPa) tylko na ok. 3,5 m.

2 Przepływ idealny: ciągłość i Bernoulli

Ruch płynu opisujemy polem prędkości $\vec v(\vec r, t)$ : w każdym punkcie podajemy prędkość płynu, który akurat tam jest. Linie styczne do tego pola to linie prądu; w przepływie ustalonym (niezależnym od czasu) cząstki płynu poruszają się wzdłuż nich.FLP II-40-2, 40-3

2.1 Równanie ciągłości

Masa się nie tworzy ani nie znika, więc to, co wypływa z małej objętości, ubywa z jej wnętrza: $\partial\rho/\partial t + \nabla\cdot(\rho\vec v) = 0$ (dywergencja, lekcja 3.5 Strumień, dywergencja i rotacja). Ciecze, a także gazy przy prędkościach znacznie mniejszych od prędkości dźwięku (do ok. 0,3 Macha gęstość zmienia się o kilka procent), są praktycznie nieściśliwe: $\nabla\cdot\vec v = 0$ . W rurze lub strudze o przekroju $A$ oznacza to, że strumień objętości $Q = Av$ jest wszędzie taki sam: tam, gdzie rura się zwęża, płyn płynie szybciej.

2.2 Równanie Eulera i twierdzenie Bernoulliego

Druga zasada dynamiki dla kawałka płynu bez lepkości: przyspieszenie (pochodna substancjalna, lekcja 3.1 Reguła łańcuchowa, ekstrema i mnożniki Lagrange'a w wielu zmiennych) razy gęstość równa się sile na jednostkę objętości od gradientu ciśnienia i grawitacji:

\rho\Big(\frac{\partial\vec v}{\partial t} + (\vec v\cdot\nabla)\vec v\Big) = -\nabla p + \rho\vec g .

Dla przepływu ustalonego wzdłuż linii prądu z tego równania (albo prościej, z bilansu energii dla odcinka strugi: praca sił ciśnienia na końcach równa się zmianie energii kinetycznej i potencjalnej) wynika:FLP II-40-3

Prawo · twierdzenie Bernoulliego

p + \tfrac12\rho v^2 + \rho gz = \text{const}\quad\text{wzdłuż linii prądu}.

Warunki: płyn nieściśliwy, bez lepkości, przepływ ustalony. Jeśli przepływ jest bezwirowy, stała jest ta sama w całym przepływie. $\tfrac12\rho v^2$ to ciśnienie dynamiczne: o tyle ciśnienie w rurce zwróconej otworem pod prąd, gdzie płyn zostaje zatrzymany, przewyższa ciśnienie statyczne.

Zastosowania: woda wypływa z otworu na głębokości $h$ pod powierzchnią z prędkością $\sqrt{2gh}$ , jak ciało spadające z tej wysokości (prawo Torricellego). W przewężeniu rury ciśnienie spada (zwężka Venturiego). Rurka Pitota na samolocie mierzy różnicę między ciśnieniem całkowitym (otwór zwrócony do przodu) i statycznym (otwór boczny), równą $\tfrac12\rho v^2$ ; stąd prędkościomierz (przykład 10.2).

2.3 Cyrkulacja i wiry

Cyrkulacja to całka prędkości wzdłuż zamkniętej krzywej, $\Gamma = \oint\vec v\cdot d\vec l$ (lekcja 3.4 Całki krzywoliniowe, pola potencjalne i różniczki zupełne), a wirowość to rotacja pola prędkości, $\vec\Omega = \nabla\times\vec v$ . W płynie idealnym cyrkulacja wokół krzywej poruszającej się razem z płynem się nie zmienia (twierdzenie Kelvina), a linie wirowe płyną razem z płynem: dlatego pierścień dymu tak długo zachowuje kształt. Cyrkulacja wróci w części 5 jako klucz do siły nośnej.FLP II-40-4, 40-5

Zadania · część 2

5 zadań · ok. 30 min

Woda płynie rurą o średnicy 4 cm z prędkością 1 m/s, a potem przewężeniem o średnicy 2 cm. Jaka jest prędkość w przewężeniu i różnica ciśnień?

Odpowiedź
Pole maleje 4 razy: $v_2 = 4$ m/s. $\Delta p = \tfrac12\cdot1000\cdot(16 - 1) = 7{,}5$ kPa.
Z jaką prędkością wypływa woda z otworu 1 m pod powierzchnią w beczce? Na jaką odległość poziomą doleci, jeśli otwór jest 1 m nad ziemią?

Odpowiedź
$v = \sqrt{2gh} \approx 4{,}4$ m/s; czas spadania $\sqrt{2\cdot1/9{,}81} \approx 0{,}45$ s, zasięg ok. 2 m.
Wiatr o prędkości 30 m/s (wichura) wieje nad płaskim dachem o powierzchni 100 m². Oszacuj, z jaką siłą może go podrywać, przyjmując różnicę ciśnień rzędu $\tfrac12\rho v^2$ .

Odpowiedź
$\tfrac12\cdot1{,}225\cdot900 \approx 550$ Pa, razy 100 m²: ok. 55 kN, ciężar ok. 5,6 tony. Dlatego wichury zrywają dachy, a nie wgniatają ich do środka.
Pokaż, że strumień wody z kranu zwęża się ku dołowi. Jeśli na wylocie ma prędkość 0,5 m/s i średnicę 1 cm, jaką średnicę ma 10 cm niżej?

Odpowiedź
Woda przyspiesza w spadku: $v = \sqrt{v_0^2 + 2gh} \approx 1{,}49$ m/s. $Av$ stałe: $d = d_0\sqrt{v_0/v} \approx 0{,}58$ cm.
Wyprowadź twierdzenie Bernoulliego z zasady zachowania energii dla odcinka strugi między przekrojami 1 i 2, w czasie, w którym przez każdy przekrój przepływa objętość $\Delta V$ .

Odpowiedź
Praca sił ciśnienia: $p_1\Delta V - p_2\Delta V$ . Zmiana energii: masa $\rho\Delta V$ „przeniesiona” z 1 do 2: $\rho\Delta V\big[\tfrac12(v_2^2 - v_1^2) + g(z_2 - z_1)\big]$ . Przyrównanie daje $p + \tfrac12\rho v^2 + \rho gz$ stałe.

3 Lepkość

Teoria płynu idealnego ma poważną wadę, znaną jako paradoks d'Alemberta: ciało poruszające się ze stałą prędkością w takim płynie nie doznaje żadnego oporu. Prawdziwe płyny mają lepkość: sąsiednie warstwy poruszające się z różnymi prędkościami ciągną się nawzajem. Między dwiema płytami, z których górna przesuwa się z prędkością $u$ nad dolną w odległości $d$ , potrzebna jest siła na jednostkę pola $\eta u/d$ .FLP II-41-1

Prawo · lepkość newtonowska

\tau = \eta\frac{du}{dy},\qquad \nu = \frac\eta\rho .

$\tau$ to naprężenie styczne (siła na jednostkę pola), $\eta$ lepkość dynamiczna (Pa·s), $\nu$ lepkość kinematyczna (m²/s). Woda w 20 °C: $\eta = 1{,}0$ mPa·s, $\nu = 1{,}0\cdot10^{-6}\ \mathrm{m^2/s}$ . Powietrze: $\eta = 1{,}8\cdot10^{-5}$ Pa·s, ale $\nu = 1{,}5\cdot10^{-5}\ \mathrm{m^2/s}$ , piętnaście razy więcej niż woda. Miód: kilka Pa·s.

Lepkość gazu wynika z ruchu cząsteczek (dział 8 „Ciepło i teoria kinetyczna”): cząsteczki przeskakujące między warstwami przenoszą pęd. Dlatego lepkość gazów rośnie z temperaturą, a cieczy maleje. Dopisanie siły lepkości do równania Eulera daje równanie Naviera–Stokesa:FLP II-41-2

\rho\Big(\frac{\partial\vec v}{\partial t} + (\vec v\cdot\nabla)\vec v\Big) = -\nabla p + \eta\nabla^2\vec v + \rho\vec g,\qquad \nabla\cdot\vec v = 0 .

To równanie opisuje prawie wszystkie przepływy, od kropli po huragany, ale rozwiązuje się je dokładnie tylko w nielicznych przypadkach. Dwa najważniejsze:

Przepływ Poiseuille'a w rurze o promieniu $R$ i długości $L$ : profil prędkości jest paraboliczny, $v(r) = \frac{\Delta p}{4\eta L}(R^2 - r^2)$ , a strumień objętości $Q = \frac{\pi R^4\Delta p}{8\eta L}$ . Czwarta potęga promienia sprawia, że zwężenie naczynia krwionośnego o 20% zmniejsza przepływ ponad dwukrotnie (przykład 10.3).
Opór Stokesa na małą kulę o promieniu $a$ poruszającą się powoli: $F = 6\pi\eta av$ (dział 8, ruchy Browna). Kropelka mgły o średnicy 10 μm opada w powietrzu z prędkością ok. 3 mm/s, dlatego mgła wisi godzinami (przykład 10.4).

Zadania · część 3

5 zadań · ok. 30 min

Płyta o polu 0,5 m² sunie z prędkością 0,2 m/s po warstwie oleju ( $\eta = 0{,}1$ Pa·s) grubości 1 mm. Jaka siła jest potrzebna?

Odpowiedź
$F = \eta Au/d = 0{,}1\cdot0{,}5\cdot0{,}2/0{,}001 = 10$ N.
O ile zmieni się przepływ przez rurę, gdy podwoimy jej średnicę przy tym samym spadku ciśnienia? A gdy podwoimy długość?

Odpowiedź
$Q \propto R^4$ : 16 razy więcej. Podwojenie długości: dwa razy mniej.
Kulka stalowa o średnicy 2 mm ( $\rho = 7800\ \mathrm{kg/m^3}$ ) opada w glicerynie ( $\rho = 1260\ \mathrm{kg/m^3}$ , $\eta = 1{,}4$ Pa·s). Oblicz prędkość graniczną ze wzoru Stokesa i sprawdź, czy wzór był uprawniony (Re < 1).

Odpowiedź
$v = \frac{2a^2(\rho_k - \rho_c)g}{9\eta} = \frac{2\cdot10^{-6}\cdot6540\cdot9{,}81}{12{,}6} \approx 1{,}0$ cm/s. $\mathrm{Re} = 1260\cdot0{,}010\cdot0{,}002/1{,}4 \approx 0{,}018$ ✓. Tak mierzy się lepkość wiskozymetrem kulkowym.
Wyprowadź z profilu parabolicznego, że średnia prędkość w przepływie Poiseuille'a to połowa prędkości na osi.

Odpowiedź
$\bar v = \frac1{\pi R^2}\int_0^Rv(r)\,2\pi r\,dr = \frac{2v_0}{R^2}\int_0^R\big(1 - \tfrac{r^2}{R^2}\big)r\,dr = \frac{2v_0}{R^2}\cdot\frac{R^2}4 = \frac{v_0}2$ .
Dlaczego olej silnikowy gęstnieje na mrozie, a lepkość powietrza w upale rośnie?

Odpowiedź
W cieczy cząsteczki są stale w kontakcie i przeskok warstwy wymaga pokonania bariery energetycznej; w wyższej temperaturze częściej się to udaje (czynnik Boltzmanna, dział 8), więc lepkość maleje. W gazie pęd przenoszą swobodne cząsteczki, a w wyższej temperaturze są szybsze i przenoszą go więcej: lepkość rośnie (w najprostszym modelu jak $\sqrt T$ , w rzeczywistości nieco szybciej).

4 Liczba Reynoldsa, warstwa przyścienna i opór

Porównajmy w równaniu Naviera–Stokesa wyraz bezwładności $\rho(\vec v\cdot\nabla)\vec v \sim \rho v^2/L$ z wyrazem lepkości $\eta\nabla^2\vec v \sim \eta v/L^2$ . Ich stosunek to jedyna bezwymiarowa liczba, od której zależy charakter przepływu wokół ciała o danym kształcie (lekcja 0.5 Jednostki, analiza wymiarowa, szacowanie i niepewność pomiaru):FLP II-41-3

Definicja · liczba Reynoldsa

\mathrm{Re} = \frac{\rho vL}{\eta} = \frac{vL}\nu .

Dwa przepływy wokół geometrycznie podobnych ciał przy tej samej liczbie Reynoldsa (i małej liczbie Macha) są podobne: różnią się tylko skalą. Na tym opiera się badanie modeli w tunelach aerodynamicznych. Bakteria pływa przy $\mathrm{Re} \sim 10^{-4}$ , człowiek idący w powietrzu przy $\sim10^5$ , samochód przy $\sim10^7$ .

Feynman opisuje, jak zmienia się przepływ wokół walca, gdy rośnie Re.FLP II-41-4 Przy $\mathrm{Re} < 1$ linie prądu opływają walec symetrycznie (przepływ pełzający, rządzi lepkość). Około $\mathrm{Re} \approx 10$ za walcem pojawiają się dwa stojące wiry. Powyżej ok. 40–50 wiry odrywają się na przemian z jednej i drugiej strony, tworząc ścieżkę wirową Kármána. (Poza Feynmanem: odrywają się z częstotliwością ok. $0{,}2\,v/d$ , co słychać jako „śpiew” drutów na wietrze.) Przy $\mathrm{Re} \sim 10^3$ – $10^5$ ślad za walcem jest turbulentny, a w okolicy $\mathrm{Re} \approx 3\cdot10^5$ opór gwałtownie spada (kryzys oporu, symulacja 2).

4.1 Warstwa przyścienna

Nawet przy ogromnych Re lepkość nie znika z gry. Płyn tuż przy powierzchni ciała przylega do niej (ma prędkość zerową), a w cienkiej warstwie przyściennej prędkość rośnie do wartości przepływu zewnętrznego. Pojęcie warstwy przyściennej wprowadził Prandtl (1904); dla warstwy laminarnej jej grubość to ok. $5x/\sqrt{\mathrm{Re}_x}$ (rozwiązanie Blasiusa, 1908), gdzie $x$ to odległość od krawędzi natarcia: na skrzydle o cięciwie 2 m przy 50 m/s wychodzi kilka milimetrów, a warstwa turbulentna, jaka rzeczywiście tam występuje, ma kilka centymetrów. Poza tą warstwą płyn zachowuje się jak idealny, ale to warstwa decyduje o oporze: gdy przy tylnej części ciała ciśnienie rośnie, spowolniony płyn w warstwie nie daje rady płynąć „pod górę ciśnienia” i warstwa się odrywa, zostawiając za ciałem szeroki, wirujący ślad o niskim ciśnieniu.FLP II-41-4, 41-5

4.2 Opór

Siłę oporu przy dużych Re zapisuje się wzorem z analizy wymiarowej:

F_D = \tfrac12C_D\rho v^2A ,

gdzie $A$ to pole przekroju poprzecznego, a współczynnik oporu $C_D$ zależy od kształtu i (słabo) od Re. Typowe wartości: płaska płyta prostopadła do przepływu ok. 1,2; walec 1,0–1,2; kula 0,4–0,5 (przed kryzysem oporu); samochód osobowy 0,25–0,35; kształt opływowy (kropla) ok. 0,04. Kula w przepływie pełzającym ma $C_D = 24/\mathrm{Re}$ , co jest wzorem Stokesa zapisanym w tej samej postaci.

Zadania · część 4

5 zadań · ok. 35 min

Oblicz Re dla: samochodu (4 m, 30 m/s, powietrze), pływaka (2 m, 1,5 m/s, woda), bakterii (2 μm, 30 μm/s, woda).

Odpowiedź
$8\cdot10^6$ ; $3\cdot10^6$ ; $6\cdot10^{-5}$ . Bakteria żyje w świecie, w którym bezwładność nie gra roli: przestaje płynąć natychmiast, gdy przestaje poruszać wicią.
Samochód ma $C_D = 0{,}3$ i pole przekroju 2,2 m². Jaką moc pochłania opór powietrza przy 108 km/h, a jaką przy 144 km/h?

Odpowiedź
$P = \tfrac12C_D\rho Av^3$ : przy 30 m/s ok. 11 kW, przy 40 m/s ok. 26 kW. Moc rośnie jak $v^3$ : o jedną trzecią szybciej to 2,4 raza więcej mocy.
Skoczek spadochronowy o masie 80 kg w pozycji „na brzuchu” ma $C_DA \approx 0{,}45$ m². Jaką osiąga prędkość graniczną? Ile razy musi wzrosnąć $C_DA$ po otwarciu spadochronu, by spadał z prędkością 5 m/s?

Odpowiedź
$v = \sqrt{2mg/(\rho C_DA)} \approx 53$ m/s (ok. 190 km/h). Dla 5 m/s: $C_DA \approx 51$ m², ponad 100 razy więcej.
Linka latawca o średnicy 1,5 mm brzęczy w wietrze 6 m/s. Oszacuj częstotliwość dźwięku. Jaka jest liczba Reynoldsa?

Odpowiedź
$f \approx 0{,}2v/d = 0{,}2\cdot6/0{,}0015 = 800$ Hz. $\mathrm{Re} = 6\cdot0{,}0015/1{,}5\cdot10^{-5} = 600$ : zakres ścieżki wirowej Kármána ✓.
Oszacuj grubość warstwy przyściennej na końcu skrzydła o cięciwie 2 m przy 50 m/s ze wzoru $\delta \approx 5x/\sqrt{\mathrm{Re}_x}$ . Dlaczego wynik, choć mały, ma tak duże znaczenie?

Odpowiedź
$\mathrm{Re} = 50\cdot2/1{,}5\cdot10^{-5} \approx 6{,}7\cdot10^6$ , $\delta \approx 10/2580 \approx 3{,}9$ mm (w praktyce warstwa jest już turbulentna i grubsza, kilka centymetrów). W tej warstwie gradient prędkości jest ogromny, więc to w niej działają siły lepkości, a jej oderwanie decyduje o oporze i o przeciągnięciu skrzydła.

5 Siła nośna: cyrkulacja, skrzydło i latawiec

Ta część wykracza poza wykłady Feynmana, który na przykładzie walca pokazuje tylko, że bez cyrkulacji nie ma siły nośnej, a z cyrkulacją się ona pojawia. Skrzydło ustawione pod niewielkim kątem do przepływu odchyla strumień powietrza w dół; z trzeciej zasady dynamiki powietrze pcha skrzydło w górę. Matematycznie: przepływ wokół skrzydła to opływ bez cyrkulacji plus wir z cyrkulacją $\Gamma$ , przez co nad skrzydłem powietrze płynie szybciej, a pod nim wolniej, i z twierdzenia Bernoulliego ciśnienie na górze jest mniejsze.FLP II-40-4

Prawo · twierdzenie Kutty–Żukowskiego i współczynnik siły nośnej

L' = \rho v\Gamma,\qquad L = \tfrac12C_L\rho v^2S,\qquad C_L \approx 2\pi\alpha\ \ \text{(cienki profil, mały kąt }\alpha\text{ w radianach)}.

$L'$ to siła nośna na jednostkę rozpiętości, $S$ powierzchnia skrzydła. Cyrkulacja ustala się tak, by powietrze schodziło gładko z ostrej krawędzi spływu (warunek Kutty); przy starcie skrzydło zostawia za sobą „wir startowy” o przeciwnej cyrkulacji. Dla skrzydła o skończonym wydłużeniu $AR = b^2/S$ nachylenie jest mniejsze, ok. $2\pi\,AR/(AR + 2)$ , a powyżej kąta krytycznego (zwykle 12–16°) przepływ odrywa się od górnej powierzchni i siła nośna spada: przeciągnięcie.

Skończone skrzydło płaci za siłę nośną dodatkowym oporem indukowanym: na końcach skrzydła powietrze przepływa spod spodu na górę, tworząc wiry brzegowe, które odchylają strumień w dół i pochylają siłę aerodynamiczną do tyłu. Współczynnik oporu to w przybliżeniu

C_D = C_{D0} + \frac{C_L^2}{\pi eAR} ,

gdzie $C_{D0}$ to opór przy zerowej sile nośnej, a $e \approx 0{,}7$ – $0{,}9$ to współczynnik Oswalda. Stosunek $L/D$ (doskonałość) mówi, ile metrów samolot przeleci w locie ślizgowym na każdy metr wysokości: Cessna ok. 9, szybowiec 40–60, albatros ok. 20.

5.1 Latawiec

Latawiec to skrzydło przy dużym kącie natarcia, zwykle 20–45°, uwiązane linką. Siła aerodynamiczna na płaską powierzchnię działa w przybliżeniu prostopadle do niej; jej składowa prostopadła do wiatru to siła nośna $L$ , a składowa wzdłuż wiatru to opór $D$ . W równowadze siła aerodynamiczna, ciężar i naciąg linki sumują się do zera. Kąt natarcia ustala uzda (miejsce przyczepienia linki), a ogon stabilizuje latawiec, przesuwając środek oporu do tyłu.

Prosty model płaskiej płyty przy dużych kątach natarcia: siła normalna $F_N = q S C_N$ z $C_N \approx 1{,}2\sin\alpha$ (przy $90^\circ$ płyta ma $C_D \approx 1{,}2$ ). Wtedy $L = F_N\cos\alpha$ , $D = F_N\sin\alpha$ . To przybliżenie rzędu kilkudziesięciu procent, ale dobrze pokazuje kompromis: umiarkowanie mały kąt natarcia (ok. 15°) daje wysoko stojący latawiec, duży daje silny naciąg, a zbyt mały – za małą siłę nośną (symulacja 4, przykład 10.6).

Zadania · część 5

5 zadań · ok. 35 min

Samolot o masie 1100 kg i powierzchni skrzydeł 16,2 m² leci poziomo z prędkością 55 m/s na poziomie morza. Jaki jest współczynnik siły nośnej?

Odpowiedź
$C_L = 2mg/(\rho v^2S) = 2\cdot10\,791/(1{,}225\cdot3025\cdot16{,}2) \approx 0{,}36$ .
Ten sam samolot ma $C_{L,\max} = 1{,}6$ (z klapami). Z jaką najmniejszą prędkością może lecieć poziomo?

Odpowiedź
$v_\text{min} = \sqrt{2mg/(\rho SC_{L,\max})} \approx 26$ m/s (ok. 94 km/h): prędkość przeciągnięcia.
Jaka cyrkulacja jest potrzebna wokół skrzydła o rozpiętości 11 m, by przy 55 m/s utrzymać 1100 kg (rozkład siły nośnej przyjmij jednorodny)?

Odpowiedź
$L' = mg/b \approx 981$ N/m, $\Gamma = L'/(\rho v) \approx 14{,}6\ \mathrm{m^2/s}$ .
Jak zmienia się opór indukowany, gdy samolot leci dwa razy szybciej przy tym samym ciężarze? A opór pasożytniczy $C_{D0}$ ? Dlaczego istnieje prędkość najmniejszego oporu?

Odpowiedź
$C_L \propto 1/v^2$ , więc $D_i = qS\,C_L^2/(\pi eAR) \propto v^2\cdot v^{-4} = v^{-2}$ : cztery razy mniejszy. Opór pasożytniczy $\propto v^2$ : cztery razy większy. Suma ma minimum, gdy oba są równe.
Latawiec z prologu (0,8 m², 0,25 kg, $C_N = 1{,}2\sin\alpha$ ) przy kącie natarcia 45°. Jaki jest najmniejszy wiatr, przy którym się utrzyma?

Odpowiedź
Siła nośna $L = qS\cdot1{,}2\sin\alpha\cos\alpha$ jest największa przy $45^\circ$ : $L = 0{,}6\,qS$ . Warunek $L = mg$ : $q = 2{,}45/(0{,}6\cdot0{,}8) \approx 5{,}1$ Pa, $v = \sqrt{2q/\rho} \approx 2{,}9$ m/s.

6 Metoda i przykłady rozwiązane

Metoda dla zadań z płynów

Spoczynek czy ruch? W spoczynku: $p = p_0 + \rho gh$ i wypór. W ruchu: równanie ciągłości $Av = \text{const}$ i Bernoulli wzdłuż linii prądu.
Policz Re, zanim wybierzesz wzór na opór: $\mathrm{Re} < 1$ Stokes, $\mathrm{Re} \gg 1000$ wzór kwadratowy z $C_D$ .
Siły aerodynamiczne: zawsze $q = \tfrac12\rho v^2$ razy powierzchnia razy współczynnik; sprawdź, którą powierzchnię (przekrój czy skrzydło) wiąże podany współczynnik.
Równowaga: rysuj wszystkie siły (nośna prostopadle do przepływu, opór wzdłuż, ciężar, naciąg lub ciąg) i rozkładaj na składowe.
Sprawdź założenia: nieściśliwość (Mach < 0,3), brak lepkości poza warstwą przyścienną, przepływ ustalony.
Sprawdzenie: jednostki, rząd wielkości (1 atm = 10 m wody, $q$ przy 30 m/s to ok. 550 Pa).

Przykład 10.1 Dlaczego pływa stalowy statek

Barka ma prostopadłościenny kadłub 50 m × 10 m. Ile ładunku przyjmie, zanurzając się z 1 m do 3 m w wodzie morskiej? Jaka jest średnia gęstość barki z ładunkiem przy zanurzeniu 3 m, jeśli kadłub ma wysokość 5 m?

Wyparta objętość przy zanurzeniu 3 m: $50\cdot10\cdot3 = 1500$ m³, masa wody $1500\cdot1025 \approx 1{,}54\cdot10^6$ kg. Przy 1 m: $5{,}1\cdot10^5$ kg.
Ładunek to różnica: ok. 1000 ton.
Średnia gęstość całości (objętość kadłuba 2500 m³): $1{,}54\cdot10^6/2500 \approx 615\ \mathrm{kg/m^3}$ , mniej niż woda.

Wynik: barka przyjmie ok. 1000 t ładunku; pływa, bo jej średnia gęstość z powietrzem w środku jest mniejsza od gęstości wody.

Sprawdzenie: każdy centymetr zanurzenia to $50\cdot10\cdot0{,}01\cdot1025 \approx 5$ t ładunku; 200 cm to ok. 1000 t ✓.

Przykład 10.2 Prędkościomierz samolotu

Rurka Pitota pokazuje różnicę ciśnienia całkowitego i statycznego 600 Pa. Jaka jest prędkość samolotu na poziomie morza, a jaka na wysokości 3000 m (gęstość 0,909 kg/m³)?

Bernoulli między punktem spiętrzenia i przepływem swobodnym: $\Delta p = \tfrac12\rho v^2$ .
Poziom morza: $v = \sqrt{2\cdot600/1{,}225} \approx 31{,}3$ m/s.
3000 m: $v = \sqrt{2\cdot600/0{,}909} \approx 36{,}3$ m/s.

Wynik: ten sam odczyt to 31 m/s przy ziemi i 36 m/s na 3000 m. Prędkościomierz jest wyskalowany dla gęstości przy ziemi i pokazuje prędkość przyrządową (IAS); prędkość rzeczywista (TAS) jest na wysokości większa.

Sprawdzenie: dla pilota to zaleta: siła nośna zależy od $\tfrac12\rho v^2$ , czyli od wskazania prędkościomierza, więc prędkość przeciągnięcia „na wskaźniku” jest taka sama na każdej wysokości ✓.

Przykład 10.3 Zwężone naczynie krwionośne

Blaszka miażdżycowa zmniejsza promień tętnicy o 20% na pewnym odcinku. Ile razy wzrasta opór hydrauliczny tego odcinka? O ile musiałaby wzrosnąć różnica ciśnień, by utrzymać ten sam przepływ, gdyby cały opór tętnicy pochodził z tego odcinka?

Poiseuille: $Q \propto R^4\Delta p$ , opór $\propto 1/R^4$ .
$1/0{,}8^4 \approx 2{,}44$ : opór rośnie prawie dwa i pół raza.
Przy tej samej różnicy ciśnień przepływ spada do $0{,}8^4 \approx 41\%$ ; żeby go utrzymać, różnica ciśnień musiałaby wzrosnąć 2,44 raza.

Wynik: 20% mniejszy promień to 2,4 raza większy opór. Organizm kompensuje to częściowo rozszerzaniem innych naczyń i podnoszeniem ciśnienia.

Sprawdzenie: prawo Poiseuille'a dotyczy przepływu laminarnego w sztywnej rurze; krew nie jest cieczą newtonowską, a tętnice są sprężyste, więc to oszacowanie, ale kierunek i siła efektu są właściwe ✓.

Przykład 10.4 Mgła i deszcz

Oblicz prędkość opadania kropelki mgły o średnicy 10 μm i kropli deszczu o średnicy 2 mm w powietrzu. Sprawdź, który wzór na opór stosuje się w każdym przypadku.

Mgła, Stokes: $v = \frac{2a^2\rho_wg}{9\eta} = \frac{2\cdot(5\cdot10^{-6})^2\cdot1000\cdot9{,}81}{9\cdot1{,}81\cdot10^{-5}} \approx 3$ mm/s; $\mathrm{Re} \approx 0{,}002$ ✓.
Deszcz: przy Re rzędu setek wzór kwadratowy z $C_D \approx 0{,}5$ : $mg = \tfrac12C_D\rho_av^2\pi a^2$ , czyli $v = \sqrt{\frac{8a\rho_wg}{3C_D\rho_a}} \approx 6{,}5$ m/s; $\mathrm{Re} \approx 900$ ✓.

Wynik: mgła opada z prędkością 3 mm/s (ok. 10 m na godzinę), kropla deszczu 6,5 m/s. Promień różni się 200 razy, prędkość ponad 2000 razy.

Sprawdzenie: zmierzona prędkość graniczna kropli o średnicy 2 mm to ok. 6,5 m/s ✓. Duże krople (powyżej ok. 5 mm) spłaszczają się i rozpadają, więc deszcz rzadko spada szybciej niż 9 m/s.

Przykład 10.5 Lekki samolot w locie poziomym

Samolot: 1100 kg, skrzydło 16,2 m², wydłużenie 7,3, $e = 0{,}8$ , $C_{D0} = 0{,}03$ . Lot poziomy z prędkością 55 m/s na poziomie morza. Oblicz kąt natarcia, opór, doskonałość i moc potrzebną do lotu.

$C_L = 0{,}36$ (zadanie 5.1). Nachylenie krzywej nośnej $2\pi\cdot7{,}3/9{,}3 \approx 4{,}93$ /rad, więc $\alpha \approx 0{,}073$ rad $\approx 4{,}2^\circ$ (od kąta zerowej siły nośnej).
$C_D = 0{,}03 + 0{,}36^2/(\pi\cdot0{,}8\cdot7{,}3) \approx 0{,}03 + 0{,}007 = 0{,}037$ .
$L/D \approx 9{,}7$ ; opór $mg/(L/D) \approx 1{,}1$ kN; moc $Dv \approx 61$ kW.

Wynik: ok. 4° kąta natarcia, opór 1,1 kN, doskonałość prawie 10 i ok. 61 kW mocy użytecznej, czyli ok. 75 kW na wale silnika przy sprawności śmigła 0,8.

Sprawdzenie: lekkie samoloty tej klasy mają silniki o mocy 110–130 kW i przy ok. 60% mocy przelatują z prędkością ok. 55–60 m/s ✓.

Przykład 10.6 Latawiec w równowadze

Latawiec z prologu (0,8 m², 0,25 kg) przy wietrze 6 m/s i kącie natarcia 30°, w modelu $C_N = 1{,}2\sin\alpha$ . Oblicz siłę nośną, opór, naciąg linki i kąt, pod jakim linka wznosi się nad ziemię (linkę traktujemy jako prostą i nieważką).

$q = \tfrac12\cdot1{,}225\cdot36 \approx 22{,}1$ Pa; $F_N = qS\cdot1{,}2\sin30^\circ \approx 10{,}6$ N.
$L = F_N\cos30^\circ \approx 9{,}2$ N, $D = F_N\sin30^\circ \approx 5{,}3$ N, ciężar 2,45 N.
Linka musi zrównoważyć wypadkową: składowa pozioma 5,3 N, pionowa $9{,}2 - 2{,}45 = 6{,}7$ N. Naciąg $\approx 8{,}6$ N, kąt $\operatorname{arctg}(6{,}7/5{,}3) \approx 52^\circ$ .

Wynik: naciąg ok. 8,6 N, linka pod kątem ok. 52° do ziemi. Przy kącie natarcia 15° naciąg spada do ok. 3 N, a linka staje bardziej stromo (ok. 64°).

Sprawdzenie: przy wietrze 3 m/s siła nośna przy 30° (2,3 N) nie równoważy ciężaru, a model daje najmniejszy wiatr ok. 2,9 m/s przy 45° (zadanie 5.5) ✓.

7 Błędne intuicje, których trzeba się oduczyć

„Powietrze nad skrzydłem musi dogonić powietrze pod spodem.”: Nie musi i tego nie robi: dociera do krawędzi spływu wcześniej. Siła nośna wynika z kąta natarcia i cyrkulacji.
„Szybciej płynący płyn zawsze ma niższe ciśnienie.”: Tylko wzdłuż jednej linii prądu (lub w przepływie bezwirowym) i bez lepkości. Struga z wentylatora ma ciśnienie atmosferyczne.
„Ciężkie przedmioty toną, lekkie pływają.”: Decyduje średnia gęstość, nie ciężar. Lotniskowiec o masie 100 000 t pływa, gwóźdź tonie.
„Ciśnienie w wodzie naciska tylko w dół.”: Ciśnienie działa jednakowo we wszystkich kierunkach; dlatego woda wypływa z boku butelki i naciska na dno łodzi od spodu.
„Gęsta ciecz jest lepka.”: Rtęć jest 13,6 razy gęstsza od wody, a ma podobną lepkość (1,5 mPa·s). Olej jest lżejszy od wody i sto razy bardziej lepki.
„Im szybciej, tym zawsze większy opór.”: W kryzysie oporu kuli (Re ok. $3\cdot10^5$ ) siła oporu w pewnym zakresie maleje przy rosnącej prędkości.
„Skrzydło musi być wypukłe od góry.”: Płaska płyta też daje siłę nośną, a samoloty akrobacyjne mają symetryczne profile i latają do góry nogami, zwiększając kąt natarcia.

8 Zadania feynmanowskie

Te zadania wymagają więcej myślenia niż liczenia.

Zadania feynmanowskie

8 zadań · ok. 2 godziny

Myszy i ludzie. Przy oporze kwadratowym prędkość graniczna to $\sqrt{2mg/(\rho C_DA)}$ . Pokaż, że dla zwierząt podobnych kształtem rośnie jak $\sqrt L$ (gdzie $L$ to rozmiar). Jeśli człowiek (1,8 m) spada z prędkością ok. 55 m/s, to z jaką prędkością spada mysz (3 cm)? Haldane pisał („On Being the Right Size”, 1926), że mysz zrzucona do szybu kopalni wstaje i odchodzi. Dlaczego?
Rozwiązanie
1. $m \propto L^3$ , $A \propto L^2$ , więc $v \propto \sqrt{L}$ . Mysz: $55\sqrt{0{,}03/1{,}8} \approx 7$ m/s (w rzeczywistości jeszcze mniej, bo futro i rozłożone łapki zwiększają $C_DA$ ).
2. Energia na jednostkę masy przy uderzeniu $\propto v^2 \propto L$ , a wytrzymałość kości i tkanek na jednostkę masy rośnie przy małych rozmiarach (przekrój do masy $\propto 1/L$ ). Mysz uderza 60 razy łagodniej na kilogram niż człowiek, a jest dużo bardziej odporna.
Słomka i pompa. Studniarze i górnicy w XVII w. nie mogli wypompować wody z głębokości większej niż ok. 10 m pompami ssącymi. Wyjaśnij to. Jak rozwiązano problem?
Rozwiązanie
1. Pompa ssąca tylko obniża ciśnienie nad wodą; wodę podnosi ciśnienie atmosferyczne, a ono zrównoważy słup wody o wysokości najwyżej $p_0/\rho g \approx 10{,}3$ m. Ten problem doprowadził Torricellego do barometru (1643).
2. Rozwiązanie: pompy tłoczące umieszczone na dole (pchające wodę do góry) albo kilka pomp ssących jedna nad drugą, każda podnosząca wodę o kilka metrów.
Podkręcona piłka. Piłka obracająca się w locie skręca (efekt Magnusa). Wyjaśnij to za pomocą cyrkulacji. W którą stronę skręci piłka nożna kopnięta tak, że patrząc z góry obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara?
Rozwiązanie
1. Obracająca się powierzchnia wlecze za sobą powietrze w warstwie przyściennej i przesuwa punkty oderwania: przepływ wokół piłki dostaje cyrkulację. Z twierdzenia Kutty–Żukowskiego pojawia się siła prostopadła do prędkości. Prościej: ślad za piłką jest odchylony w jedną stronę, więc piłka jest pchana w drugą.
2. Obrót zgodny z ruchem wskazówek zegara (patrząc z góry) przy locie „do przodu”: lewa strona piłki porusza się do przodu (pod wiatr), prawa do tyłu (z wiatrem). Powietrze szybciej opływa stronę, która porusza się z wiatrem, czyli prawą; siła działa w prawo.
Start jumbo jeta. Boeing 747 o masie 400 t i powierzchni skrzydeł 511 m² odrywa się od ziemi przy ok. 80 m/s. Jaki $C_L$ jest potrzebny? Dlaczego przy starcie wysuwa się klapy, a w przelocie je chowa?
Rozwiązanie
1. $C_L = 2mg/(\rho v^2S) \approx 2{,}0$ . Gładkie skrzydło osiąga najwyżej ok. 1,4–1,6, zanim nastąpi przeciągnięcie.
2. Klapy i sloty zwiększają krzywiznę i powierzchnię skrzydła oraz opóźniają oderwanie: $C_{L,\max}$ rośnie do 2,5–3. W przelocie (250 m/s na 11 km, gdzie $\rho \approx 0{,}36$ ) potrzebne $C_L$ to ok. 0,5–0,7, a klapy dawałyby tylko dodatkowy opór.
Tunel wodny. Chcemy zbadać opływ samochodu (4 m, 30 m/s w powietrzu) na modelu w skali 1:10. Jaką prędkość powietrza w tunelu trzeba by ustawić, by zachować Re? Dlaczego to niemożliwe i jak pomaga tunel wodny?
Rozwiązanie
1. $\mathrm{Re} = 8\cdot10^6$ ; model 0,4 m w powietrzu wymagałby 300 m/s, blisko prędkości dźwięku: powietrze przestaje być nieściśliwe i przepływ jest zupełnie inny.
2. W wodzie ( $\nu$ 15 razy mniejsze): $v = 8\cdot10^6\cdot10^{-6}/0{,}4 = 20$ m/s, osiągalne. W praktyce często godzi się na mniejsze Re i poprawia wyniki, bo $C_D$ powyżej $10^6$ zmienia się powoli.
Śpiewające druty. Przewody trakcji elektrycznej i liny masztów „śpiewają” na wietrze. Przy jakiej częstotliwości śpiewa drut o średnicy 2 mm przy wietrze 10 m/s? Co się stanie, jeśli ta częstotliwość pokryje się z częstotliwością własną liny?
Rozwiązanie
1. $f \approx 0{,}2v/d = 1000$ Hz (liczba Strouhala ok. 0,2 w szerokim zakresie Re).
2. Odrywające się na przemian wiry działają na linę okresową siłą poprzeczną. Przy zgodności częstotliwości pojawia się rezonans (dział 6 „Drgania, rezonans i układy liniowe”); wiry potrafią się wtedy „zablokować” na częstotliwości drgań. Dlatego na wysokich kominach montuje się spiralne żebra, które psują regularność wirów.
Latawiec w ciszy. Jest bezwietrznie. Dlaczego latawiec da się podnieść, biegnąc? Z jaką prędkością trzeba biec dla latawca z przykładu 10.6? Co się dzieje z latawcem, gdy przestajesz biec?
Rozwiązanie
1. Siły aerodynamiczne zależą od prędkości względem powietrza. Biegnąc z prędkością $u$ , tworzysz „wiatr” $u$ względem latawca.
2. Według modelu potrzeba ok. 2,9 m/s przy najlepszym kącie natarcia (zadanie 5.5): szybki marsz lub trucht.
3. Po zatrzymaniu prędkość względna maleje, latawiec ślizga się w dół, a jego opór przez chwilę jeszcze napina linkę. Bez wiatru spadnie.
Kropla, która nie spada. Chmura składa się z kropelek o średnicy ok. 10–20 μm. Prądy wznoszące w chmurze kłębiastej mają prędkość kilku metrów na sekundę. Dlaczego chmury nie opadają i co musi się stać, żeby spadł deszcz?
Rozwiązanie
1. Prędkość opadania kropli 10–20 μm to 3–12 mm/s (Stokes, $v \propto a^2$ ). Najsłabszy prąd wznoszący ją przewyższa.
2. Deszcz wymaga wzrostu kropli milion razy w objętości (do ok. 1–2 mm), przez zderzenia i zlewanie się kropel lub przez wzrost kryształków lodu kosztem kropel wody. Dopiero takie krople spadają z prędkością metrów na sekundę i pokonują prąd wznoszący.

9 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Od czego zależy ciśnienie na dnie naczynia z wodą?

Tylko od głębokości (i ciśnienia nad powierzchnią): $p = p_0 + \rho gh$ ; nie od kształtu naczynia.

2 Ile wynosi siła wyporu?

Ciężar wypartej cieczy: $\rho_\text{płynu}V_\text{zanurzone}g$ .

3 Jak zmienia się prędkość wody, gdy rura zwęża się do połowy pola przekroju?

Rośnie dwukrotnie (równanie ciągłości).

4 Co mierzy rurka Pitota?

Ciśnienie dynamiczne $\tfrac12\rho v^2$ , czyli różnicę ciśnienia całkowitego i statycznego.

5 Co mówi liczba Reynoldsa?

Stosunek sił bezwładności do sił lepkości; przepływy o tej samej Re wokół podobnych ciał są podobne.

6 Jak opór kropelki mgły zależy od prędkości, a jak opór samochodu?

Mgła (Re < 1): liniowo, $F = 6\pi\eta av$ . Samochód: kwadratowo, $F = \tfrac12C_D\rho v^2A$ .

7 Co dzieje się przy przeciągnięciu skrzydła?

Przepływ odrywa się od górnej powierzchni, siła nośna spada, a opór rośnie.

8 Dlaczego szybowce mają długie, wąskie skrzydła?

Duże wydłużenie zmniejsza opór indukowany $C_L^2/(\pi eAR)$ , więc rośnie doskonałość $L/D$ .

10 Karta wzorów i co dalej

Spoczynek i przepływ idealny

$p = p_0 + \rho gh$ ; $\;F_w = \rho_\text{pł}Vg$ ; $\;$ 1 atm $\approx$ 10,3 m wody

ciągłość: $\nabla\cdot\vec v = 0$ , $\;Av = \text{const}$

Bernoulli: $p + \tfrac12\rho v^2 + \rho gz = \text{const}$

Torricelli: $v = \sqrt{2gh}$ ; $\;$ Pitot: $\Delta p = \tfrac12\rho v^2$

cyrkulacja $\Gamma = \oint\vec v\cdot d\vec l$ ; $\;$ Kutta–Żukowski $L' = \rho v\Gamma$

Lepkość, opór, siła nośna

$\tau = \eta\,du/dy$ ; $\;\nu = \eta/\rho$ ; $\;\mathrm{Re} = vL/\nu$

Poiseuille: $Q = \pi R^4\Delta p/(8\eta L)$ ; $\;$ Stokes: $F = 6\pi\eta av$

opór: $F_D = \tfrac12C_D\rho v^2A$ ; $\;$ warstwa: $\delta \approx 5x/\sqrt{\mathrm{Re}_x}$

nośna: $L = \tfrac12C_L\rho v^2S$ , $\;C_L \approx 2\pi\alpha\,\tfrac{AR}{AR + 2}$

$C_D = C_{D0} + C_L^2/(\pi eAR)$ ; $\;$ Strouhal: $f \approx 0{,}2v/d$

Do przeczytania u Feynmana

Obowiązkowo: t. II, rozdz. 40 (przepływ „suchej wody”) i 41 (przepływ „mokrej wody”).
Dla chętnych: aerodynamika skrzydła wykracza poza Feynmana; przystępne wprowadzenie dają materiały NASA Glenn Research Center („Beginner's Guide to Aeronautics”) i podręczniki aerodynamiki, np. J. D. Anderson, Fundamentals of Aerodynamics.

Następny dział: Fale i dźwięk. Ściśliwość powietrza, którą tu pomijaliśmy, pozwala mu przenosić fale ciśnienia. Zobaczymy, jak z równań ruchu ośrodka wynika równanie falowe, skąd bierze się prędkość dźwięku i dlaczego struny i piszczałki brzmią harmonicznie. A siły aerodynamiczne z tego działu wrócą w automatyce, w równaniach ruchu samolotu.