3.4 Całki krzywoliniowe, pola potencjalne i różniczki zupełne

0 Prolog: dwa szlaki na szczyt

Ze schroniska na szczyt prowadzą dwa szlaki: krótki i stromy oraz długi zakosami. Wnosisz plecak o masie $m$ na wysokość $h$ wyżej. Ile pracy wykonujesz przeciw grawitacji? Oba szlaki dają $mgh$ . Teraz pchasz skrzynię po podłodze z tarciem z jednego rogu pokoju do drugiego. Droga prosta i droga wzdłuż ścian dają różną pracę, bo tarcie działa przez całą drogę.

Feynman nazywa siłę zachowawczą, jeśli praca między dwoma punktami jest taka sama po każdej drodze. Dla takiej siły można zdefiniować energię potencjalną, a energia mechaniczna jest zachowana.FLP I-14-3 Ale „po każdej drodze” to nieskończenie wiele sprawdzeń.

Pytanie na start. Siła w płaszczyźnie ma składowe $F = [y;\ x]$ albo $F = [-y;\ x]$ . Która z nich jest zachowawcza? Czy da się to rozstrzygnąć bez liczenia pracy po wielu drogach? Odpowiedź w części 3, a liczby w przykładzie 2.1.

1 Pola wektorowe

Pole wektorowe przypisuje każdemu punktowi przestrzeni wektor: $\vec F(x,\ y,\ z) = [P;\ Q;\ R]$ , gdzie $P$ , $Q$ , $R$ to funkcje położenia. Przykłady z fizyki: siła grawitacji $-GMm\,\vec r/r^3$ , pole elektryczne, prędkość wiatru albo wody w rzece, siła sprężyny $-k\vec r$ . Gradient z lekcji 1.4 Rachunek różniczkowy w praktyce to też pole wektorowe, zbudowane z funkcji skalarnej.

Pole rysujemy jako strzałki w wybranych punktach albo jako linie pola, styczne w każdym punkcie do wektora pola. Dwa przykłady warto mieć przed oczami. Pole $[x;\ y]$ to strzałki skierowane od środka, coraz dłuższe. Pole $[-y;\ x]$ to wir: strzałki okrążają środek przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, jak prędkość obracającej się płyty (lekcja 3.2 Współrzędne biegunowe, walcowe i sferyczne, zadanie 2.4).

2 Całka krzywoliniowa i praca

Feynman definiuje pracę jako sumę $\vec F\cdot\Delta\vec s$ po małych odcinkach drogi, w granicy coraz krótszych: tylko składowa siły wzdłuż przesunięcia wykonuje pracę.FLP I-14-1 To jest całka krzywoliniowa (skierowana) pola $\vec F$ po krzywej $C$ . Liczymy ją, opisując krzywą parametrycznie, $\vec r(t)$ dla $a \le t \le b$ , tak jak tor w lekcji 1.3 Pochodne. Wtedy $\mathrm d\vec r = \vec r\,'(t)\,\mathrm dt$ i

Całka krzywoliniowa (praca)

W = \int_C \vec F\cdot\mathrm d\vec r = \int_a^b \vec F\big(\vec r(t)\big)\cdot\vec r\,'(t)\,\mathrm dt = \int_C P\,\mathrm dx + Q\,\mathrm dy + R\,\mathrm dz .

Wynik nie zależy od wyboru parametryzacji (szybkości przebiegania krzywej), ale zmienia znak przy zmianie kierunku przebiegu.por. Stewart §16.2

Przykład 2.1 Trzy drogi, dwa pola

Oblicz pracę pól $\vec F_1 = [y;\ x]$ i $\vec F_2 = [-y;\ x]$ od $(0;\ 0)$ do $(1;\ 1)$ po trzech drogach: prostej $y = x$ , paraboli $y = x^2$ i łamanej przez $(1;\ 0)$ .

Prosta: $\vec r = [t;\ t]$ , $\vec r\,' = [1;\ 1]$ . $\;\vec F_1\cdot\vec r\,' = t + t$ , $\int_0^1 2t\,\mathrm dt = 1$ . $\;\vec F_2\cdot\vec r\,' = -t + t = 0$ .
Parabola: $\vec r = [t;\ t^2]$ , $\vec r\,' = [1;\ 2t]$ . $\;\vec F_1$ : $\int_0^1(t^2 + 2t^2)\,\mathrm dt = 1$ . $\;\vec F_2$ : $\int_0^1(-t^2 + 2t^2)\,\mathrm dt = \tfrac13$ .
Łamana: najpierw $[t;\ 0]$ ( $\mathrm dy = 0$ ), potem $[1;\ t]$ ( $\mathrm dx = 0$ ). $\;\vec F_1$ : $\int_0^1 0\,\mathrm dt + \int_0^1 1\,\mathrm dt = 1$ . $\;\vec F_2$ : $0 + \int_0^1 1\,\mathrm dt = 1$ .

Wynik: $\vec F_1$ daje zawsze $1$ ; $\vec F_2$ daje $0$ , $\tfrac13$ , $1$ , zależnie od drogi.

Sprawdzenie: $\vec F_1 = \nabla(xy)$ , a $xy$ zmienia się od $0$ do $1$ : praca to różnica wartości, niezależnie od drogi (część 3) ✓. Dla $\vec F_2$ na prostej $y = x$ pole jest prostopadłe do drogi ( $[-t;\ t]\cdot[1;\ 1] = 0$ ), więc praca zero ✓.

Bywa też potrzebna całka po długości łuku z funkcji skalarnej, $\int_C f\,\mathrm ds$ z $\mathrm ds = |\vec r\,'(t)|\,\mathrm dt$ : na przykład masa drutu o gęstości liniowej $f$ . Ta całka nie zależy od kierunku przebiegu (zadanie 2.5).

Zadania · część 2

6 zadań · ok. 40 min

Oblicz pracę pola $[-y;\ x]$ po okręgu jednostkowym przebieganym raz przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, a potem zgodnie z nim.

Odpowiedź
$\vec r = [\cos t;\ \sin t]$ : $\vec F\cdot\vec r\,' = \sin^2t + \cos^2t = 1$ , praca $2\pi$ . W drugą stronę $-2\pi$ .
Oblicz $\int_C x\,\mathrm dy - y\,\mathrm dx$ po odcinku od $(1;\ 0)$ do $(0;\ 1)$ .

Odpowiedź
$\vec r = [1 - t;\ t]$ : $(1 - t)\cdot1 - t\cdot(-1) = 1$ , całka $1$ .
Pokaż, że zmiana parametryzacji $t = 2s$ (dwa razy szybszy przebieg) nie zmienia całki z przykładu 2.1 po paraboli dla $\vec F_2$ .

Odpowiedź
$\vec r = [2s;\ 4s^2]$ , $0 \le s \le \tfrac12$ , $\vec r\,' = [2;\ 8s]$ : $\int_0^{1/2}(-4s^2\cdot2 + 2s\cdot8s)\,\mathrm ds = \int_0^{1/2}8s^2\,\mathrm ds = \tfrac13$ ✓. Szybszy przebieg daje większe $\vec r\,'$ , ale krótszy przedział $s$ .
Wynosisz satelitę o masie $1$ t z powierzchni Ziemi ( $R = 6371$ km) na wysokość $400$ km. Jaką pracę wykonujesz przeciw grawitacji $\vec F = -\tfrac{GMm}{r^2}\hat r$ (z $GM = 3{,}986\cdot10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}$ )? Porównaj z $mgh$ .

Odpowiedź
$W = GMm\left(\tfrac1R - \tfrac1{R + h}\right) \approx 3{,}70\cdot10^9$ J. $\;mgh \approx 3{,}92\cdot10^9$ J, o 6% za dużo, bo $g$ maleje z wysokością.
Drut ma kształt półokręgu $x^2 + y^2 = 1$ (w metrach), $y \ge 0$ , i gęstość liniową $\lambda = 1 + y$ (kg/m). Oblicz jego masę.

Odpowiedź
$\mathrm ds = \mathrm dt$ dla $[\cos t;\ \sin t]$ : $\int_0^\pi(1 + \sin t)\,\mathrm dt = \pi + 2 \approx 5{,}14$ kg. Zmiana kierunku przebiegu nic nie zmienia, bo $\mathrm ds > 0$ .
Pchasz skrzynię z siłą pokonującą tarcie $10$ N (stały opór skierowany przeciw ruchowi). Ile pracy wykonasz na drodze prostej $5$ m, a ile po półokręgu o tej samej cięciwie? Dlaczego siła tarcia nie jest polem wektorowym w sensie tej lekcji?

Odpowiedź
$50$ J i $10\cdot\pi\cdot2{,}5 \approx 78{,}5$ J. Siła tarcia zależy od kierunku ruchu, a nie tylko od położenia, więc nie da się jej zapisać jako $\vec F(x,\ y)$ . Feynman podkreśla, że tarcie tylko pozornie łamie zasadę zachowania energii: energia przechodzi w ciepło.FLP I-14-4

3 Pola potencjalne

Jeśli pole jest gradientem, $\vec F = \nabla\varphi$ , to wzdłuż drogi $\vec F\cdot\mathrm d\vec r = \nabla\varphi\cdot\mathrm d\vec r = \mathrm d\varphi$ (lekcja 3.1 Reguła łańcuchowa, ekstrema i mnożniki Lagrange'a w wielu zmiennych), a całka z różniczki to przyrost funkcji:

Podstawowe twierdzenie dla całek krzywoliniowych

\int_C \nabla\varphi\cdot\mathrm d\vec r = \varphi(B) - \varphi(A) .

Praca pola gradientowego zależy tylko od końców drogi. Pole $\vec F = \nabla\varphi$ nazywamy potencjalnym (fizycy mówią: zachowawczym), a $\varphi$ jego potencjałem. W fizyce piszemy $\vec F = -\nabla U$ z energią potencjalną $U = -\varphi$ .por. Stewart §16.3

To odpowiednik wzoru Newtona–Leibniza z lekcji 1.5 Całki: potencjał jest „funkcją pierwotną” pola. Feynman dochodzi do tego samego od strony fizyki: praca siły zachowawczej od $1$ do $2$ to $U(1) - U(2)$ , a $\vec F = -\nabla U$ , bo dla małego przesunięcia $F_x\Delta x = -\Delta U$ .FLP I-14-3, 14-5

Dla pola ciągłego na zbiorze otwartym i spójnym (z każdego punktu da się dojść do każdego) trzy warunki są równoważne:

$\vec F = \nabla\varphi$ dla pewnej funkcji $\varphi$ ;
praca $\int_C\vec F\cdot\mathrm d\vec r$ zależy tylko od końców drogi;
praca po każdej drodze zamkniętej (cyrkulacja $\oint_C\vec F\cdot\mathrm d\vec r$ ) jest zerowa.

Równoważność 2 i 3: drogę zamkniętą rozcinamy na dwie drogi z $A$ do $B$ , jedną przebytą w przeciwną stronę. Z 2 wynika 1: definiujemy $\varphi(P)$ jako pracę od ustalonego punktu do $P$ , jak Feynman definiuje $U$ .

3.1 Test, który nie wymaga sprawdzania dróg

Jeśli $\vec F = [P;\ Q] = \nabla\varphi$ , to $P = \varphi_x$ , $Q = \varphi_y$ , a z twierdzenia Schwarza o pochodnych mieszanych (lekcja 1.4 Rachunek różniczkowy w praktyce) $\partial P/\partial y = \varphi_{xy} = \varphi_{yx} = \partial Q/\partial x$ . To warunek konieczny. Na obszarze bez „dziur” wystarcza:

Kryterium pola potencjalnego

Na płaszczyźnie: jeśli $P$ , $Q$ mają ciągłe pochodne na obszarze jednospójnym (bez dziur: każdą krzywą zamkniętą da się ściągnąć do punktu, nie wychodząc z obszaru), to

\vec F = [P;\ Q]\ \text{jest potencjalne} \iff \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y} .

W przestrzeni warunek to trzy równości $\partial_yR = \partial_zQ$ , $\;\partial_zP = \partial_xR$ , $\;\partial_xQ = \partial_yP$ , czyli $\nabla\times\vec F = \vec 0$ (rotacja, lekcja 3.5 Strumień, dywergencja i rotacja), znów na obszarze jednospójnym. Uwaga: w przestrzeni przeszkadza wycięta prosta (np. przewód), a nie wycięty punkt. $\mathbb R^3$ bez początku układu jest jednospójne, dlatego test działa dla pola Coulomba.

Wróćmy do prologu. Dla $[y;\ x]$ : $\partial_xQ = 1 = \partial_yP$ , pole potencjalne z $\varphi = xy$ . Dla $[-y;\ x]$ : $\partial_xQ = 1$ , $\partial_yP = -1$ , różnica $2$ : pole nie jest potencjalne, a praca zależy od drogi.

Przykład 3.1 Szukanie potencjału

Sprawdź, że $\vec F = [2xy + z;\ x^2;\ x]$ jest potencjalne, znajdź potencjał i pracę od $(0;\ 0;\ 0)$ do $(1;\ 2;\ 3)$ .

Test: $\partial_yR = 0 = \partial_zQ$ ; $\;\partial_zP = 1 = \partial_xR$ ; $\;\partial_xQ = 2x = \partial_yP$ ✓. Przestrzeń nie ma dziur, więc pole jest potencjalne.
$\varphi_x = 2xy + z$ , więc $\varphi = x^2y + xz + g(y,\ z)$ . Z $\varphi_y = x^2 + g_y = x^2$ mamy $g_y = 0$ . Z $\varphi_z = x + g_z = x$ : $g_z = 0$ , więc $g$ jest stałą.
$\varphi = x^2y + xz$ ; praca $\varphi(1;\ 2;\ 3) - \varphi(0;\ 0;\ 0) = 2 + 3 = 5$ .

Wynik: $\varphi = x^2y + xz$ (z dokładnością do stałej), praca $5$ .

Sprawdzenie: $\nabla(x^2y + xz) = [2xy + z;\ x^2;\ x]$ ✓. Po odcinku $\vec r = [t;\ 2t;\ 3t]$ : $\vec F\cdot\vec r\,' = (4t^2 + 3t) + 2t^2 + 3t = 6t^2 + 6t$ , $\int_0^1 = 2 + 3 = 5$ ✓.

3.2 Pułapka: wir wokół przewodu

Pole $\vec F = \dfrac{[-y;\ x]}{x^2 + y^2}$ (tak, z dokładnością do stałej, wygląda pole magnetyczne prostego przewodu z prądem, Dział 15: Prąd i pole magnetyczne) spełnia $\partial_xQ = \partial_yP$ wszędzie poza początkiem układu (sprawdź w zadaniu 3.4). A jednak jego cyrkulacja po okręgu wokół początku wynosi $2\pi$ , a nie zero. Nie ma sprzeczności: pole nie jest określone w $(0;\ 0)$ , więc obszar ma dziurę i kryterium nie obowiązuje. Lokalnie to jest gradient kąta, $\vec F = \nabla\theta$ , ale kąt po obejściu początku rośnie o $2\pi$ i nie jest jednoznaczną funkcją. Cyrkulacja po krzywej, która nie okrąża początku, jest zerowa. W fizyce dokładnie to mówi prawo Ampère'a: cyrkulacja pola magnetycznego zależy tylko od prądu objętego drogą.

Zadania · część 3

6 zadań · ok. 45 min

Które pola są potencjalne: $[3x^2y;\ x^3 + 2y]$ , $\;[y\cos x;\ \sin x + 1]$ , $\;[xy;\ xy]$ , $\;[y^2;\ 2xy + e^y]$ ? Znajdź potencjały.

Odpowiedź
Pierwsze: $\varphi = x^3y + y^2$ . Drugie: $\varphi = y\sin x + y$ . Trzecie nie ( $\partial_xQ - \partial_yP = y - x$ ). Czwarte: $\varphi = xy^2 + e^y$ .
Oblicz pracę pola $[3x^2y;\ x^3 + 2y]$ od $(0;\ 0)$ do $(2;\ 1)$ po dowolnej drodze.

Odpowiedź
$\varphi(2;\ 1) - \varphi(0;\ 0) = 8 + 1 = 9$ .
Pokaż, że siła kulombowska (lub grawitacyjna) $\vec F = k\,\vec r/r^3$ jest potencjalna, i znajdź jej potencjał.

Wskazówka
Policz $\nabla(1/r)$ we współrzędnych sferycznych (lekcja 3.2 Współrzędne biegunowe, walcowe i sferyczne).

Odpowiedź
$\nabla\tfrac1r = -\tfrac{1}{r^2}\hat r = -\tfrac{\vec r}{r^3}$ , więc $\vec F = \nabla\left(-\tfrac kr\right)$ . Energia potencjalna $U = -\varphi = \tfrac kr$ (dla przyciągania $k < 0$ , np. $k = -GMm$ : $U = -\tfrac{GMm}{r}$ ).
Sprawdź, że dla $\vec F = \tfrac{[-y;\ x]}{x^2 + y^2}$ zachodzi $\partial_xQ = \partial_yP$ poza zerem, i oblicz cyrkulację po okręgu o promieniu $3$ wokół zera.

Odpowiedź
$\partial_x\tfrac{x}{x^2 + y^2} = \tfrac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} = \partial_y\tfrac{-y}{x^2 + y^2}$ ✓. Na okręgu $\vec F = \tfrac1r\hat\theta$ , a $\mathrm d\vec r = r\,\mathrm d\theta\,\hat\theta$ , więc cyrkulacja to $\int_0^{2\pi}\mathrm d\theta = 2\pi$ , niezależnie od promienia.
Energia potencjalna to $U = x^2 + xy + y^2$ . Oblicz siłę i pracę tej siły od $(1;\ 0)$ do $(0;\ 1)$ .

Odpowiedź
$\vec F = -\nabla U = [-2x - y;\ -x - 2y]$ . Praca $= U(A) - U(B) = 1 - 1 = 0$ .
Pokaż, że pole stałe $\vec F = [F_x;\ F_y;\ F_z]$ jest potencjalne i wywnioskuj stąd, że praca grawitacji w pobliżu Ziemi to $-mg\Delta z$ po każdej drodze. Dlaczego zakosy na szlaku nic nie zmieniają w pracy, a jednak pomagają turyście?

Odpowiedź
$\varphi = F_xx + F_yy + F_zz$ . Dla $\vec F = [0;\ 0;\ -mg]$ : praca $-mg\Delta z$ . Zakosy rozkładają tę samą pracę na dłuższą drogę, więc wymagana siła (i moc przy tej samej prędkości) jest mniejsza. Praca mięśni to inna sprawa: organizm zużywa energię także na samo napinanie mięśni, co Feynman wyraźnie odróżnia od pracy fizycznej.FLP I-14-1

4 Różniczki zupełne i funkcje stanu

Wyrażenie $P\,\mathrm dx + Q\,\mathrm dy$ nazywamy różniczką zupełną, jeśli jest różniczką pewnej funkcji: $P\,\mathrm dx + Q\,\mathrm dy = \mathrm d\varphi$ . To dokładnie warunek, że pole $[P;\ Q]$ jest potencjalne, więc test jest ten sam: $\partial_yP = \partial_xQ$ (na obszarze bez dziur). Całka z różniczki zupełnej po drodze to przyrost $\varphi$ , niezależny od drogi. Gdy test nie zachodzi, piszemy często $\delta$ zamiast $\mathrm d$ , żeby pamiętać, że wynik zależy od drogi.

4.1 Termodynamika: co jest funkcją stanu

Stan gazu doskonałego opisują np. temperatura $T$ i objętość $V$ . Pierwsza zasada termodynamiki (Dział 9: Termodynamika i entropia) mówi, że ciepło dostarczone przy małej, quasi-statycznej (odwracalnej) zmianie to $\delta Q = C_V\,\mathrm dT + p\,\mathrm dV$ , gdzie $p = nRT/V$ i $C_V$ to pojemność cieplna przy stałej objętości (dla gazu doskonałego zależy co najwyżej od $T$ ; dla jednoatomowego stała, $\tfrac32nR$ ). Zastosujmy test do $\delta Q = C_V\,\mathrm dT + \tfrac{nRT}{V}\,\mathrm dV$ :

\frac{\partial C_V}{\partial V} = 0 \neq \frac{\partial}{\partial T}\frac{nRT}{V} = \frac{nR}{V} .

Ciepło nie jest różniczką zupełną: nie istnieje „ilość ciepła zawarta w gazie”, a ciepło pobrane między dwoma stanami zależy od drogi. Ale po podzieleniu przez $T$ :

\frac{\delta Q}{T} = \frac{C_V}{T}\,\mathrm dT + \frac{nR}{V}\,\mathrm dV,\qquad \frac{\partial}{\partial V}\frac{C_V}{T} = 0 = \frac{\partial}{\partial T}\frac{nR}{V} .

To już różniczka zupełna funkcji $S = C_V\ln T + nR\ln V + \text{const}$ : entropii. Czynnik $1/T$ , który zamienia $\delta Q$ w różniczkę zupełną, to czynnik całkujący. Dla dwóch zmiennych jakiś czynnik całkujący zawsze istnieje; treścią drugiej zasady jest to, że dla każdego układu działa ten sam, uniwersalny czynnik $1/T$ .

Przykład 4.1 Dwie drogi między tymi samymi stanami

Jeden mol jednoatomowego gazu doskonałego ( $C_V = \tfrac32R$ , $R = 8{,}314\ \mathrm{J/(mol\,K)}$ ) przechodzi ze stanu $A$ ( $300$ K, $10$ L) do stanu $B$ ( $400$ K, $20$ L). Droga 1: najpierw ogrzanie przy stałej objętości do $400$ K, potem rozprężanie izotermiczne. Droga 2: najpierw rozprężanie izotermiczne w $300$ K, potem ogrzanie przy stałej objętości. Oblicz $Q$ , $W$ , $\Delta U$ i $\Delta S$ .

$\Delta U = C_V\Delta T = \tfrac32\cdot8{,}314\cdot100 \approx 1247$ J na obu drogach (energia wewnętrzna to funkcja stanu).
Praca gazu przy rozprężaniu izotermicznym $W = nRT\ln\tfrac{V_B}{V_A}$ : droga 1 w $400$ K: $W_1 \approx 2305$ J; droga 2 w $300$ K: $W_2 \approx 1729$ J. Przy stałej objętości praca jest zerowa.
$Q = \Delta U + W$ : $Q_1 \approx 3552$ J, $Q_2 \approx 2976$ J.
$\Delta S = C_V\ln\tfrac{T_B}{T_A} + nR\ln\tfrac{V_B}{V_A} = 12{,}47\cdot0{,}2877 + 8{,}314\cdot0{,}6931 \approx 9{,}35\ \mathrm{J/K}$ na obu drogach.

Wynik: $Q$ i $W$ zależą od drogi (różnica $576$ J), a $\Delta U$ i $\Delta S$ nie.

Sprawdzenie: $Q_1 - Q_2 = W_1 - W_2 = R\cdot100\cdot\ln2 \approx 576$ J ✓. Dla trzeciej drogi, prostej na wykresie $p(V)$ , numeryczna całka $\int\delta Q/T$ też daje $9{,}35$ J/K (symulacja 2).

Zadania · część 4

5 zadań · ok. 35 min

Czy $2xy\,\mathrm dx + x^2\,\mathrm dy$ jest różniczką zupełną? A $y\,\mathrm dx - x\,\mathrm dy$ ?

Odpowiedź
Tak: $\mathrm d(x^2y)$ . Nie: $\partial_y(y) = 1 \neq \partial_x(-x) = -1$ .
Pokaż, że $\tfrac{1}{x^2}$ jest czynnikiem całkującym dla $y\,\mathrm dx - x\,\mathrm dy$ (dla $x \neq 0$ ) i znajdź funkcję, której różniczką jest wynik.

Odpowiedź
$\tfrac{y}{x^2}\,\mathrm dx - \tfrac1x\,\mathrm dy$ : $\partial_y\tfrac{y}{x^2} = \tfrac1{x^2} = \partial_x\left(-\tfrac1x\right)$ ✓. To $\mathrm d\left(-\tfrac yx\right)$ .
Oblicz $Q$ i $W$ dla drogi z przykładu 4.1 biegnącej po prostej na wykresie $p(V)$ , z $p_A = 249{,}4$ kPa do $p_B = 166{,}3$ kPa.

Odpowiedź
$W$ to pole trapezu: $\tfrac12(p_A + p_B)(V_B - V_A) \approx \tfrac12\cdot415{,}7\ \mathrm{kPa}\cdot0{,}01\ \mathrm{m^3} = 2078{,}5$ J. $\;Q = \Delta U + W \approx 3326$ J. Inne niż na drogach 1 i 2.
Gaz przechodzi cykl zamknięty. Ile wynoszą $\oint\mathrm dU$ i $\oint\mathrm dS$ ? Czy $\oint\delta Q$ musi być zerowe? Co oznacza niezerowe $\oint\delta Q$ ?

Odpowiedź
$\oint\mathrm dU = \oint\mathrm dS = 0$ (funkcje stanu, cyrkulacja zerowa). $\oint\delta Q$ nie musi być zerowe; z pierwszej zasady $\oint\delta Q = \oint\delta W$ , czyli pole cyklu na wykresie $p(V)$ : tak pracuje silnik cieplny.
Pokaż, że $\mathrm dp = \tfrac{nR}{V}\,\mathrm dT - \tfrac{nRT}{V^2}\,\mathrm dV$ dla gazu doskonałego jest różniczką zupełną, i wyjaśnij, dlaczego musiało tak wyjść.

Odpowiedź
$\partial_V\tfrac{nR}{V} = -\tfrac{nR}{V^2} = \partial_T\left(-\tfrac{nRT}{V^2}\right)$ ✓. Musiało, bo $p = nRT/V$ jest funkcją stanu, a to jej różniczka zupełna (lekcja 1.4 Rachunek różniczkowy w praktyce).

5 Błędne intuicje

„Praca zależy tylko od początku i końca drogi.”: Tylko dla pól potencjalnych. Pole $[-y;\ x]$ daje na trzech drogach $0$ , $\tfrac13$ i $1$ (przykład 2.1).
„Jeśli $\partial_xQ = \partial_yP$ , to pole jest potencjalne.”: Tylko na obszarze bez dziur. Wir $\tfrac{[-y;\ x]}{x^2 + y^2}$ spełnia test poza zerem, a ma cyrkulację $2\pi$ wokół zera.
„Całka krzywoliniowa zależy od tego, jak szybko przebiegamy krzywą.”: Nie zależy od parametryzacji (zadanie 2.3). Zależy tylko od kierunku przebiegu: odwrócenie kierunku zmienia znak.
„Ciało ma określoną ilość ciepła.”: Ciepło nie jest funkcją stanu: $\delta Q$ nie jest różniczką zupełną, a ciepło pobrane między dwoma stanami zależy od drogi (przykład 4.1). Funkcjami stanu są energia wewnętrzna i entropia.
„Potencjał jest jeden.”: Z dokładnością do stałej. Fizyczne są tylko różnice potencjałów, dlatego wybór zera energii potencjalnej jest umowny.
„W fizyce i w matematyce potencjał to to samo.”: Znak bywa inny: matematycy piszą $\vec F = \nabla\varphi$ , fizycy $\vec F = -\nabla U$ . Siła pcha w stronę spadku energii potencjalnej.

6 Sprawdź się

1 Jak obliczyć

\int_C\vec F\cdot\mathrm d\vec r

dla krzywej

\vec r(t)

$\int_a^b\vec F(\vec r(t))\cdot\vec r\,'(t)\,\mathrm dt$ .

2 Ile wynosi praca pola

\nabla\varphi

A

B

$\varphi(B) - \varphi(A)$ , po każdej drodze.

3 Jaki test sprawdza, czy

[P;\ Q]

jest potencjalne?

$\partial_xQ = \partial_yP$ na obszarze jednospójnym.

4 Ile wynosi cyrkulacja pola potencjalnego?

Zero po każdej drodze zamkniętej.

5 Dlaczego wir

\tfrac{[-y;\ x]}{x^2 + y^2}

nie jest potencjalny?

Bo ma cyrkulację $2\pi$ wokół zera; test nie obowiązuje, bo obszar ma dziurę w zerze.

6 Czy

\delta Q

jest różniczką zupełną?

Nie. Dla procesów odwracalnych różniczką zupełną jest $\delta Q/T = \mathrm dS$ .

7 Jaki jest związek siły z energią potencjalną?

$\vec F = -\nabla U$ .

7 Karta wzorów i co dalej

Całki krzywoliniowe

$\int_C\vec F\cdot\mathrm d\vec r = \int_a^b\vec F(\vec r(t))\cdot\vec r\,'(t)\,\mathrm dt = \int_C P\,\mathrm dx + Q\,\mathrm dy + R\,\mathrm dz$

zmiana kierunku: znak minus; parametryzacja: bez znaczenia

$\int_C f\,\mathrm ds$ , $\;\mathrm ds = |\vec r\,'|\,\mathrm dt$ (masa drutu, długość)

cyrkulacja: $\oint_C\vec F\cdot\mathrm d\vec r$

Pola potencjalne i różniczki

$\int_C\nabla\varphi\cdot\mathrm d\vec r = \varphi(B) - \varphi(A)$ ; fizyka: $\vec F = -\nabla U$

potencjalne $\iff$ niezależność od drogi $\iff$ zerowe cyrkulacje

test 2D: $\partial_xQ = \partial_yP$ ; 3D: $\nabla\times\vec F = \vec 0$ ; obszar jednospójny!

potencjał: całkuj $\varphi_x = P$ po $x$ , dobierz $g(y,\ z)$

$P\,\mathrm dx + Q\,\mathrm dy = \mathrm d\varphi$ (zupełna) $\iff$ ten sam test

$\delta Q$ nie zupełna; $\;\delta Q/T = \mathrm dS$ (proces odwracalny; czynnik całkujący $1/T$ )

Do przeczytania u Feynmana

Obowiązkowo: 14-1, 14-3…14-5 (praca jako całka, siły zachowawcze i niezachowawcze, potencjał i $\vec F = -\nabla U$ ).

Do przeczytania w podręcznikach matematyki

J. Stewart, Multivariable Calculus, wyd. 7: §16.1 (pola wektorowe), §16.2 (całki krzywoliniowe), §16.3 (podstawowe twierdzenie dla całek krzywoliniowych, pola zachowawcze).
K. A. Stroud, Engineering Mathematics: całki krzywoliniowe i różniczki zupełne.

Cyrkulację po małej pętli zamienimy w lekcji 3.5 Strumień, dywergencja i rotacja w rotację, a strumień przez małą zamkniętą powierzchnię w dywergencję. Twierdzenia Greena i Stokesa (3.6 Twierdzenia Greena, Stokesa i Gaussa) powiedzą, że cyrkulacja po brzegu to suma rotacji wewnątrz, co wyjaśni, dlaczego dziura w obszarze tak wszystko zmienia. Różniczki zupełne wrócą w termodynamice (Dział 9: Termodynamika i entropia), a pola potencjalne w elektrostatyce (Dział 14: Potencjał, przewodniki i kondensatory).