3.3 Całki podwójne i potrójne · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Prolog: całka, której nie da się policzyć

Rozkład normalny (krzywa Gaussa), który opisuje rozrzut wyników pomiarów (lekcje 0.5 Jednostki, analiza wymiarowa, szacowanie i niepewność pomiaru i 5.1 Prawdopodobieństwo i rozkłady), ma kształt $e^{-x^2/(2\sigma^2)}$ , a po zmianie skali $e^{-x^2}$ . Żeby go unormować, potrzebujemy

I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,\mathrm dx .

Funkcja $e^{-x^2}$ nie ma funkcji pierwotnej wyrażającej się przez funkcje elementarne. Metody z lekcji 1.5 Całki tu nie pomogą: ani podstawienie, ani całkowanie przez części. A mimo to $I$ ma dokładną, prostą wartość.

Pytanie na start. Zgadnij, ile wynosi $I$ . Podpowiedź: wynik zawiera $\pi$ , choć w całce nie ma żadnego okręgu. Skąd tu okrąg? Odpowiedź w przykładzie 2.1.

Sztuczka polega na tym, żeby zamiast jednej całki policzyć jej kwadrat, czyli całkę po całej płaszczyźnie. Wtedy pojawia się okrąg, a wraz z nim współrzędne biegunowe z lekcji 3.2 Współrzędne biegunowe, walcowe i sferyczne. Najpierw jednak musimy wiedzieć, czym jest całka po płaszczyźnie.

1 Całka podwójna

Niech $f(x,\ y) \ge 0$ będzie wysokością „dachu” nad obszarem $D$ na płaszczyźnie. Dzielimy $D$ na małe prostokąty o polach $\Delta A_k$ , nad każdym stawiamy słupek o wysokości $f$ w jakimś jego punkcie i sumujemy objętości. Gdy prostokąty maleją, suma dąży do objętości bryły pod wykresem. To całka podwójna:

\iint_D f(x,\ y)\,\mathrm dA = \lim\sum_k f(x_k,\ y_k)\,\Delta A_k .

To ta sama konstrukcja co suma Riemanna w lekcji 1.5 Całki, tylko kawałki są prostokącikami $\Delta A = \Delta x\,\Delta y$ . Dla $f$ o dowolnym znaku całka to objętość nad płaszczyzną minus objętość pod nią. Interpretacja zależy od tego, czym jest $f$ : dla $f = 1$ całka to pole $D$ , dla gęstości powierzchniowej $\sigma$ (kg/m²) to masa, dla gęstości prawdopodobieństwa to prawdopodobieństwo.

1.1 Liczymy po jednej zmiennej naraz

Całki podwójnej nie liczy się z definicji. Na prostokącie $[a;\ b]\times[c;\ d]$ najpierw całkujemy po $y$ przy ustalonym $x$ (pole przekroju bryły płaszczyzną $x = \text{const}$ ), a potem to pole całkujemy po $x$ . To „krojenie chleba”: objętość = suma pól przekrojów razy ich grubość. Taki zapis, całka z całki, to całka iterowana.

Twierdzenie Fubiniego (całka iterowana)

\iint_{[a;\ b]\times[c;\ d]} f\,\mathrm dA = \int_a^b\left(\int_c^d f(x,\ y)\,\mathrm dy\right)\mathrm dx = \int_c^d\left(\int_a^b f(x,\ y)\,\mathrm dx\right)\mathrm dy

dla funkcji ciągłej, a także ograniczonej, której nieciągłości leżą na skończenie wielu gładkich krzywych (o ile całki iterowane istnieją). Kolejność całkowania można zamienić. Na obszarze nieograniczonym, jak w prologu, to samo działa dla $f \ge 0$ .por. Stewart §15.2

Przykład 1.1 Na prostokącie

Oblicz $\displaystyle\iint_D (x + y^2)\,\mathrm dA$ dla $D = [0;\ 2]\times[0;\ 1]$ .

Wewnętrzna, po $y$ ( $x$ jest stałą): $\displaystyle\int_0^1 (x + y^2)\,\mathrm dy = x + \tfrac13$ .
Zewnętrzna: $\displaystyle\int_0^2\left(x + \tfrac13\right)\mathrm dx = 2 + \tfrac23 = \tfrac83$ .

Wynik: $\tfrac83$ .

Sprawdzenie: w odwrotnej kolejności $\int_0^2(x + y^2)\,\mathrm dx = 2 + 2y^2$ , a $\int_0^1(2 + 2y^2)\,\mathrm dy = 2 + \tfrac23$ ✓. Szacunek: wartość w środku prostokąta $f(1;\ \tfrac12) = 1{,}25$ razy pole 2 daje $2{,}5 \approx 2{,}67$ ✓.

1.2 Obszary, które nie są prostokątami

Jeśli $D$ to obszar między wykresami, $a \le x \le b$ , $\;g_1(x) \le y \le g_2(x)$ , to granice wewnętrznej całki zależą od $x$ :

\iint_D f\,\mathrm dA = \int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,\ y)\,\mathrm dy\,\mathrm dx .

Ten sam obszar można często opisać „poziomo”: $c \le y \le d$ , $\;h_1(y) \le x \le h_2(y)$ . Wybór kolejności nie zmienia wyniku, ale może zmienić trudność rachunku z niemożliwego na łatwy. Zawsze zaczynaj od rysunku obszaru.

Przykład 1.2 Zmiana kolejności ratuje rachunek

Oblicz $\displaystyle\int_0^1\int_x^1 e^{y^2}\,\mathrm dy\,\mathrm dx$ .

W tej kolejności się nie da: $e^{y^2}$ nie ma elementarnej funkcji pierwotnej (prolog).
Obszar: $0 \le x \le 1$ , $x \le y \le 1$ , czyli trójkąt nad przekątną $y = x$ , o wierzchołkach $(0;\ 0)$ , $(0;\ 1)$ , $(1;\ 1)$ . Poziomo: $0 \le y \le 1$ , $0 \le x \le y$ .
$\displaystyle\int_0^1\int_0^y e^{y^2}\,\mathrm dx\,\mathrm dy = \int_0^1 y\,e^{y^2}\,\mathrm dy = \left[\tfrac12e^{y^2}\right]_0^1 = \tfrac{e - 1}{2}$ .

Wynik: $\tfrac{e - 1}{2} \approx 0{,}859$ .

Sprawdzenie: $e^{y^2}$ na trójkącie leży między 1 a $e \approx 2{,}72$ , a pole trójkąta to $\tfrac12$ , więc wynik musi leżeć między $0{,}5$ a $1{,}36$ ✓. Czynnik $y$ po wewnętrznej całce to długość odcinka $0 \le x \le y$ , i to on umożliwił podstawienie.

Zadania · część 1

6 zadań · ok. 45 min

Oblicz $\displaystyle\int_0^1\int_0^2 xy^2\,\mathrm dy\,\mathrm dx$ .

Odpowiedź
$\int_0^1 x\cdot\tfrac83\,\mathrm dx = \tfrac43$ .
Oblicz $\iint_D xy\,\mathrm dA$ dla trójkąta $0 \le y \le x \le 1$ w obu kolejnościach.

Odpowiedź
$\int_0^1\int_0^x xy\,\mathrm dy\,\mathrm dx = \int_0^1\tfrac{x^3}{2}\,\mathrm dx = \tfrac18$ ; $\;\int_0^1\int_y^1 xy\,\mathrm dx\,\mathrm dy = \int_0^1\tfrac{y(1 - y^2)}{2}\,\mathrm dy = \tfrac14 - \tfrac18 = \tfrac18$ ✓.
Oblicz $\displaystyle\iint_{[0;\ 1]\times[0;\ 2]} x\,e^{xy}\,\mathrm dA$ . W której kolejności jest łatwiej?

Odpowiedź
Najpierw po $y$ : $\int_0^2 xe^{xy}\,\mathrm dy = e^{2x} - 1$ , potem $\int_0^1(e^{2x} - 1)\,\mathrm dx = \tfrac{e^2 - 1}{2} - 1 = \tfrac{e^2 - 3}{2} \approx 2{,}19$ . Najpierw po $x$ trzeba by całkować przez części.
Oblicz pole obszaru między parabolą $y = x^2$ a prostą $y = x$ jako całkę podwójną z $f = 1$ .

Odpowiedź
$\int_0^1\int_{x^2}^x\mathrm dy\,\mathrm dx = \int_0^1(x - x^2)\,\mathrm dx = \tfrac16$ .
Zamień kolejność całkowania: $\displaystyle\int_0^4\int_{\sqrt x}^2 f(x,\ y)\,\mathrm dy\,\mathrm dx$ . Narysuj obszar.

Odpowiedź
Obszar: $0 \le x \le 4$ , $\sqrt x \le y \le 2$ . Czyli między osią $y$ a parabolą $x = y^2$ (nad krzywą $y = \sqrt x$ ), pod prostą $y = 2$ . Poziomo: $0 \le y \le 2$ , $0 \le x \le y^2$ : $\int_0^2\int_0^{y^2} f\,\mathrm dx\,\mathrm dy$ .
Pokaż, że dla $f(x,\ y) = g(x)h(y)$ na prostokącie całka podwójna to iloczyn dwóch całek pojedynczych. Wykorzystaj to w prologu: zapisz $I^2$ jako całkę podwójną.

Odpowiedź
$\int_a^b\int_c^d g(x)h(y)\,\mathrm dy\,\mathrm dx = \int_a^b g(x)\left(\int_c^d h\right)\mathrm dx = \int_a^b g\cdot\int_c^d h$ . Zatem $I^2 = \int e^{-x^2}\mathrm dx\int e^{-y^2}\mathrm dy = \iint_{\mathbb R^2} e^{-(x^2 + y^2)}\,\mathrm dA$ .

2 Zamiana zmiennych i jakobian

Gdy obszar albo funkcja mają symetrię kołową, kroimy płaszczyznę na kawałki pierścieni zamiast prostokątów. W lekcji 3.2 Współrzędne biegunowe, walcowe i sferyczne pole takiego kawałka to $\mathrm dA = r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta$ : prostokącik o bokach $\mathrm dr$ i $r\,\mathrm d\theta$ . Zatem

\iint_D f\,\mathrm dA = \iint f(r\cos\theta,\ r\sin\theta)\;r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta .

Czynnika $r$ nie wolno zgubić: kawałki daleko od środka są większe niż te przy środku.

Przykład 2.1 Całka Gaussa

Oblicz $I = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,\mathrm dx$ .

Z zadania 1.6: $I^2 = \displaystyle\iint_{\mathbb R^2} e^{-(x^2 + y^2)}\,\mathrm dA$ .
We współrzędnych biegunowych $x^2 + y^2 = r^2$ , a cała płaszczyzna to $0 \le r < \infty$ , $0 \le \theta < 2\pi$ : $\;I^2 = \displaystyle\int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2}\,r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta$ .
Czynnik $r$ zrobił swoje: $\int_0^\infty re^{-r^2}\,\mathrm dr = \left[-\tfrac12e^{-r^2}\right]_0^\infty = \tfrac12$ . Zatem $I^2 = 2\pi\cdot\tfrac12 = \pi$ .

Wynik: $I = \sqrt\pi \approx 1{,}7725$ .

Sprawdzenie: numerycznie suma $e^{-x^2}\Delta x$ dla $\Delta x = 0{,}1$ na $[-5;\ 5]$ daje $1{,}77245$ ✓. Okrąg pojawił się, bo $e^{-x^2}e^{-y^2} = e^{-r^2}$ zależy tylko od odległości od środka.

2.1 Jakobian: skąd czynnik przy $\mathrm dA$

Ogólnie: niech $x = x(u,\ v)$ , $y = y(u,\ v)$ . Mały prostokącik $\mathrm du\times\mathrm dv$ w zmiennych $(u;\ v)$ przechodzi (w pierwszym przybliżeniu, lekcja 1.4 Rachunek różniczkowy w praktyce) w równoległobok rozpięty na wektorach $[x_u;\ y_u]\,\mathrm du$ i $[x_v;\ y_v]\,\mathrm dv$ . Jego pole to moduł wyznacznika z lekcji 2.1 Macierze, wyznaczniki i układy równań (piszemy krótko $x_u = \partial x/\partial u$ i tak dalej):

Zamiana zmiennych w całce podwójnej

\mathrm dA = |J|\,\mathrm du\,\mathrm dv,\qquad J = \frac{\partial(x,\ y)}{\partial(u,\ v)} = \begin{vmatrix} x_u & x_v\\ y_u & y_v \end{vmatrix} .

$J$ to jakobian, wyznacznik macierzy pochodnych cząstkowych. Mówi, ile razy przekształcenie powiększa małe pola. W trzech wymiarach $\mathrm dV = |J|\,\mathrm du\,\mathrm dv\,\mathrm dw$ z wyznacznikiem $3\times3$ . Przekształcenie musi być wzajemnie jednoznaczne (poza zbiorem o zerowym polu): gdyby $\theta$ biegło od 0 do $4\pi$ , każde pole policzylibyśmy dwa razy.por. Stewart §15.10

Dla biegunowych: $J = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} = r$ . Dla przekształcenia liniowego jakobian jest stały i równy jego wyznacznikowi: to dokładnie „współczynnik zmiany pól” z lekcji 2.1. Przekształcenie nieliniowe w małej skali wygląda jak liniowe, więc lokalnie mnoży pola przez $|J|$ .

Zadania · część 2

5 zadań · ok. 40 min

Oblicz objętość bryły pod paraboloidą $z = 4 - x^2 - y^2$ i nad płaszczyzną $z = 0$ .

Odpowiedź
Paraboloida przecina $z = 0$ na okręgu $r = 2$ . $\int_0^{2\pi}\int_0^2(4 - r^2)\,r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta = 2\pi(8 - 4) = 8\pi$ .
Tarcza o promieniu $R$ ma gęstość powierzchniową $\sigma = \sigma_0(1 + r/R)$ . Oblicz jej masę.

Odpowiedź
$2\pi\sigma_0\int_0^R(r + r^2/R)\,\mathrm dr = 2\pi\sigma_0\left(\tfrac{R^2}{2} + \tfrac{R^2}{3}\right) = \tfrac53\pi\sigma_0R^2$ .
Oblicz pole elipsy $\tfrac{x^2}{a^2} + \tfrac{y^2}{b^2} \le 1$ podstawieniem $x = ar\cos\theta$ , $y = br\sin\theta$ .

Odpowiedź
$J = \begin{vmatrix} a\cos\theta & -ar\sin\theta\\ b\sin\theta & br\cos\theta \end{vmatrix} = abr$ . Pole: $\int_0^{2\pi}\int_0^1 abr\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta = \pi ab$ .
Jaka jest średnia odległość punktu koła o promieniu $R$ od jego środka? Dlaczego wynik jest większy niż $R/2$ ?

Odpowiedź
$\tfrac{1}{\pi R^2}\int_0^{2\pi}\int_0^R r\cdot r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta = \tfrac{2R}{3}$ . Pierścienie przy brzegu mają większe pole niż te przy środku, więc dalekie punkty ważą więcej.
Gęstość prawdopodobieństwa położenia cząstki na płaszczyźnie to $p(x,\ y) = C\,e^{-(x^2 + y^2)/(2s^2)}$ . Wyznacz $C$ z warunku, że całkowite prawdopodobieństwo to 1, i oblicz prawdopodobieństwo, że cząstka jest dalej niż $2s$ od środka.

Odpowiedź
$C\cdot2\pi\int_0^\infty re^{-r^2/(2s^2)}\,\mathrm dr = C\cdot2\pi s^2 = 1$ , $C = \tfrac{1}{2\pi s^2}$ . $\;P(r > 2s) = \tfrac{1}{s^2}\int_{2s}^\infty re^{-r^2/(2s^2)}\,\mathrm dr = e^{-2} \approx 0{,}135$ .

3 Całki potrójne

Całka potrójna $\iiint_V f\,\mathrm dV$ to suma po prostopadłościanikach $\Delta V = \Delta x\,\Delta y\,\Delta z$ . Liczymy ją jak podwójną: trzy całki pojedyncze, od wewnętrznej do zewnętrznej. Dla $f = 1$ to objętość, dla gęstości masy (kg/m³) masa. Przy symetrii osiowej lub środkowej używamy współrzędnych z lekcji 3.2 Współrzędne biegunowe, walcowe i sferyczne:

Elementy objętości

\mathrm dV = \mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz = \rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\varphi\,\mathrm dz = r^2\sin\theta\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\varphi .

Czynniki $\rho$ i $r^2\sin\theta$ to jakobiany przejścia od kartezjańskich do walcowych i sferycznych (wyznaczniki $3\times3$ macierzy pochodnych). Uwaga: tu $\rho$ to odległość od osi $z$ ; gdy w tej samej całce występuje gęstość masy, piszemy ją $\rho_m$ .por. Stewart §15.8, §15.9

Przykład 3.1 Objętość kuli dwoma sposobami

Oblicz objętość kuli o promieniu $R$ we współrzędnych sferycznych i walcowych.

Sferyczne: $\displaystyle\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^R r^2\sin\theta\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\varphi = 2\pi\cdot2\cdot\frac{R^3}{3} = \frac43\pi R^3$ .
Walcowe: dla danego $\rho$ kula sięga od $z = -\sqrt{R^2 - \rho^2}$ do $+\sqrt{R^2 - \rho^2}$ : $\;\displaystyle\int_0^{2\pi}\int_0^R 2\sqrt{R^2 - \rho^2}\,\rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\varphi = 2\pi\left[-\tfrac23(R^2 - \rho^2)^{3/2}\right]_0^R = \frac43\pi R^3$ .

Wynik: $\tfrac43\pi R^3$ , oba sposoby zgodne.

Sprawdzenie: wymiar $[R^3]$ ✓. Kula zajmuje $\tfrac{\pi}{6} \approx 52\%$ sześcianu, w który jest wpisana: rozsądne.

Zadania · część 3

5 zadań · ok. 40 min

Oblicz $\displaystyle\iiint_{[0;\ 1]^3}(x + y + z)\,\mathrm dV$ .

Odpowiedź
Każdy z trzech wyrazów daje $\tfrac12$ , razem $\tfrac32$ .
Oblicz objętość walca o promieniu $R$ i wysokości $H$ oraz stożka o tych samych wymiarach we współrzędnych walcowych.

Wskazówka
W stożku z podstawą na dole promień przekroju na wysokości $z$ to $R(1 - z/H)$ .

Odpowiedź
Walec: $\pi R^2H$ . Stożek: $\int_0^H\pi R^2(1 - z/H)^2\,\mathrm dz = \tfrac13\pi R^2H$ .
Oblicz objętość „rożka lodowego”: części kuli $r \le 1$ leżącej w stożku $\theta \le 45^\circ$ .

Odpowiedź
$2\pi\int_0^{\pi/4}\sin\theta\,\mathrm d\theta\cdot\tfrac13 = \tfrac{2\pi}{3}\left(1 - \tfrac{\sqrt2}{2}\right) \approx 0{,}613$ .
Średnia gęstość Ziemi: masa $5{,}97\cdot10^{24}$ kg, promień $6371$ km. Porównaj z gęstością skał skorupy (około $2700\ \mathrm{kg/m^3}$ ). Co z tego wynika?

Odpowiedź
$V = \tfrac43\pi R^3 \approx 1{,}083\cdot10^{21}\ \mathrm{m^3}$ , $\;\bar\rho_m \approx 5510\ \mathrm{kg/m^3}$ , dwa razy więcej niż skorupa. Wnętrze musi być znacznie gęstsze od powierzchni (żelazne jądro).
Jaka jest średnia odległość punktu kuli o promieniu $R$ od środka?

Odpowiedź
$\tfrac{1}{\frac43\pi R^3}\int_0^R r\cdot4\pi r^2\,\mathrm dr = \tfrac34R$ . Więcej niż w kole ( $\tfrac23R$ ), bo powłoki rosną jak $r^2$ .

4 Środek masy i moment bezwładności

Feynman definiuje środek masy jako średnią położeń ważoną masami, $\vec R_{\text{śm}} = \sum m_i\vec r_i/\sum m_i$ , i przypomina (dowód w rozdziale 18), że układ ciał porusza się tak, jakby cała masa była skupiona w tym punkcie.FLP I-19-1 Fizykę środka masy omawia lekcja Dział 3: Pęd, zderzenia i środek masy. Dla ciała ciągłego suma staje się całką:

Środek masy i moment bezwładności ciała ciągłego

\vec R_{\text{śm}} = \frac{1}{M}\iiint \vec r\,\rho_m\,\mathrm dV,\qquad M = \iiint\rho_m\,\mathrm dV,\qquad I_z = \iiint (x^2 + y^2)\,\rho_m\,\mathrm dV .

$\rho_m$ to gęstość masy (indeks odróżnia ją od współrzędnej walcowej $\rho$ ). $I_z$ to moment bezwładności względem osi $z$ : każdy kawałek masy liczy się z kwadratem odległości od osi.

Przykład 4.1 Środek masy półkola

Znajdź środek masy jednorodnego półkola $x^2 + y^2 \le R^2$ , $y \ge 0$ .

Z symetrii $\bar x = 0$ . Pole $A = \tfrac12\pi R^2$ .
$\displaystyle\bar y = \frac1A\int_0^\pi\int_0^R (r\sin\theta)\,r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta = \frac1A\cdot\frac{R^3}{3}\cdot2 = \frac{4R}{3\pi} .$

Wynik: $\bar y = \tfrac{4R}{3\pi} \approx 0{,}42R$ .

Sprawdzenie: Feynman dostaje ten sam wynik bez całki, z (drugiego) twierdzenia Pappusa–Guldina: obracając półkole wokół jego średnicy, dostajemy kulę, a objętość bryły obrotowej to pole figury razy droga, którą przebywa jej środek masy. $\tfrac43\pi R^3 = \tfrac12\pi R^2\cdot2\pi\bar y$ , więc $\bar y = \tfrac{4R}{3\pi}$ ✓.FLP I-19-2 Wynik jest mniejszy niż $\tfrac R2$ , bo półkole jest szersze przy średnicy.

Przykład 4.2 Moment bezwładności kuli i wnętrze Ziemi

Oblicz moment bezwładności jednorodnej kuli o masie $M$ i promieniu $R$ względem osi przez środek. Zmierzona wartość dla Ziemi to $I \approx 0{,}331\,MR^2$ . Co to mówi o jej wnętrzu?

Kwadrat odległości od osi $z$ : $x^2 + y^2 = r^2\sin^2\theta$ . $\;I = \rho_m\displaystyle\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi\!\!\int_0^R r^2\sin^2\theta\cdot r^2\sin\theta\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\varphi = \rho_m\cdot\frac{R^5}{5}\cdot\frac43\cdot2\pi = \frac{8\pi}{15}\rho_mR^5$ .
Z $M = \tfrac43\pi R^3\rho_m$ : $\;I = \tfrac25MR^2 = 0{,}4\,MR^2$ (Feynman podaje ten wynik w tabeli bez wyprowadzenia).FLP I-19-3
Dla kuli, której gęstość maleje liniowo od środka do zera na powierzchni, $\rho_m = \rho_0(1 - r/R)$ , ten sam rachunek daje $I = \tfrac{4}{15}MR^2 \approx 0{,}267\,MR^2$ (zadanie 4.5).

Wynik: jednorodna kula: $0{,}4\,MR^2$ . Ziemia: $0{,}331\,MR^2$ , czyli masa jest skupiona bliżej środka niż w kuli jednorodnej, choć nie tak bardzo jak w modelu liniowym.

Sprawdzenie: $\int_0^\pi\sin^3\theta\,\mathrm d\theta = \tfrac43$ ✓ (podstawienie $u = \cos\theta$ ). Wniosek zgadza się z zadaniem 3.4: średnia gęstość dwa razy większa niż skał przy powierzchni. Dwie niezależne całki mówią to samo o jądrze Ziemi.

Zadania · część 4

6 zadań · ok. 50 min

Znajdź środek masy jednorodnego trójkąta o wierzchołkach $(0;\ 0)$ , $(1;\ 0)$ , $(0;\ 1)$ .

Odpowiedź
$\bar x = \tfrac{1}{1/2}\int_0^1\int_0^{1-x}x\,\mathrm dy\,\mathrm dx = 2\cdot\tfrac16 = \tfrac13$ , z symetrii $\bar y = \tfrac13$ : średnia wierzchołków.
Pokaż, że moment bezwładności jednorodnej tarczy względem jej osi to $\tfrac12MR^2$ .

Odpowiedź
$\sigma\int_0^{2\pi}\int_0^R r^2\,r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta = \sigma\cdot\tfrac{\pi R^4}{2} = \tfrac12MR^2$ , bo $M = \sigma\pi R^2$ . (W lekcji 1.5 ten sam wynik dało sumowanie pierścieni.)
Znajdź środek masy jednorodnej półkuli $r \le R$ , $z \ge 0$ .

Odpowiedź
$\bar z = \tfrac{1}{\frac23\pi R^3}\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}\int_0^R r\cos\theta\,r^2\sin\theta\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\varphi = \tfrac{2\pi\cdot\frac12\cdot\frac{R^4}{4}}{\frac23\pi R^3} = \tfrac38R$ .
Gdzie leży środek masy jednorodnego stożka o wysokości $H$ (od podstawy)?

Odpowiedź
$\bar z = \tfrac{\int_0^H z\,\pi R^2(1 - z/H)^2\,\mathrm dz}{\frac13\pi R^2H} = \tfrac H4$ .
Sprawdź wynik z przykładu 4.2 dla $\rho_m = \rho_0(1 - r/R)$ : oblicz $M$ i $I$ .

Odpowiedź
$M = 4\pi\rho_0\int_0^R(r^2 - r^3/R)\,\mathrm dr = \tfrac\pi3\rho_0R^3$ . $\;I = \tfrac{8\pi}{3}\rho_0\int_0^R(r^4 - r^5/R)\,\mathrm dr = \tfrac{8\pi}{3}\rho_0\cdot\tfrac{R^5}{30} = \tfrac{4\pi}{45}\rho_0R^5$ . $\;I/(MR^2) = \tfrac{4}{15}$ .
Udowodnij twierdzenie Steinera: moment bezwładności względem osi odległej o $d$ od równoległej osi przez środek masy to $I = I_{\text{śm}} + Md^2$ . Użyj go dla pręta o długości $L$ obracanego wokół końca.

Wskazówka
Ustaw środek masy w zerze, nową oś w $x = d$ , $y = 0$ . Rozwiń $(x - d)^2 + y^2$ i użyj $\iiint x\rho_m\,\mathrm dV = 0$ .

Odpowiedź
$\iiint\left[(x - d)^2 + y^2\right]\rho_m\,\mathrm dV = I_{\text{śm}} - 2d\iiint x\rho_m\,\mathrm dV + d^2M = I_{\text{śm}} + Md^2$ . Pręt: $I_{\text{śm}} = \int_{-L/2}^{L/2}x^2\tfrac ML\,\mathrm dx = \tfrac{1}{12}ML^2$ , więc $\tfrac{1}{12}ML^2 + M\left(\tfrac L2\right)^2 = \tfrac13ML^2$ , jak u Feynmana.

5 Błędne intuicje

„We współrzędnych biegunowych $\mathrm dA = \mathrm dr\,\mathrm d\theta$ .”: Brakuje jakobianu: $\mathrm dA = r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta$ . Bez niego pole koła wyszłoby $2\pi R$ , z jednostką długości.
„Przy zamianie kolejności całkowania wystarczy zamienić granice miejscami.”: Tylko na prostokącie. Na innych obszarach trzeba narysować obszar i opisać go od nowa (przykład 1.2, zadanie 1.5).
„Środek masy jednorodnej figury leży w połowie jej wysokości.”: Półkole: $0{,}42R$ , nie $0{,}5R$ ; stożek: $\tfrac H4$ , nie $\tfrac H2$ . Środek masy przesuwa się tam, gdzie jest więcej materii.
„Jakobian to zawsze $r$ .”: To jakobian biegunowych i walcowych. Sferyczne mają $r^2\sin\theta$ , elipsa $abr$ , każde podstawienie swój wyznacznik.
„Jak funkcja nie ma funkcji pierwotnej, to całki nie da się policzyć dokładnie.”: Całka Gaussa (przykład 2.1) i przykład 1.2 pokazują, że czasem pomaga przejście do wyższego wymiaru albo zmiana kolejności.
„Moment bezwładności zależy tylko od masy i rozmiaru.”: Zależy od rozkładu masy: kula jednorodna $0{,}4MR^2$ , Ziemia $0{,}33MR^2$ , cienka sfera $\tfrac23MR^2$ . Właśnie dlatego pomiar $I$ mówi coś o wnętrzu planety.

6 Sprawdź się

1 Co oznacza

\iint_D 1\,\mathrm dA

Pole obszaru $D$ .

2 Kiedy można zamienić kolejność całkowania?

Dla funkcji ciągłej (twierdzenie Fubiniego), ale na obszarze nieprostokątnym trzeba opisać obszar od nowa.

3 Ile wynosi

\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,\mathrm dx

$\sqrt\pi$ .

4 Czym jest jakobian geometrycznie?

Współczynnikiem, przez który przekształcenie mnoży małe pola (objętości): wyznacznikiem macierzy pochodnych.

5 Jaki jest element objętości we współrzędnych sferycznych?

$r^2\sin\theta\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\varphi$ .

6 Gdzie leży środek masy półkola?

Na osi symetrii, $\tfrac{4R}{3\pi} \approx 0{,}42R$ od średnicy.

7 Ile wynosi moment bezwładności jednorodnej kuli?

$\tfrac25MR^2$ .

7 Karta wzorów i co dalej

Całki wielokrotne

$\iint_D f\,\mathrm dA = \lim\sum f\,\Delta A$ ; $\;f = 1$ : pole; $\;f = \sigma$ : masa

Fubini: $\int_a^b\int_c^d f\,\mathrm dy\,\mathrm dx$ , kolejność dowolna (na prostokącie; inne obszary opisz od nowa)

obszar $g_1(x) \le y \le g_2(x)$ : granice wewnętrzne zależą od $x$

$\mathrm dA = r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta$ ; $\;\mathrm dA = |J|\,\mathrm du\,\mathrm dv$ , $\;J = \tfrac{\partial(x,\ y)}{\partial(u,\ v)}$

$\mathrm dV = \rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\varphi\,\mathrm dz = r^2\sin\theta\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\varphi$ ( $\rho$ : odległość od osi)

$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,\mathrm dx = \sqrt\pi$

Masa, środek masy, bezwładność

$M = \iiint\rho_m\,\mathrm dV$ , $\;\vec R_{\text{śm}} = \tfrac1M\iiint\vec r\rho_m\,\mathrm dV$

$I_z = \iiint(x^2 + y^2)\rho_m\,\mathrm dV$ ; Steiner: $I = I_{\text{śm}} + Md^2$

półkole $\tfrac{4R}{3\pi}$ ; półkula $\tfrac38R$ ; stożek $\tfrac H4$ ; trójkąt: średnia wierzchołków

tarcza $\tfrac12MR^2$ ; kula $\tfrac25MR^2$ ; pręt (koniec) $\tfrac13ML^2$ , (środek) $\tfrac1{12}ML^2$

Pappus: $V_{\text{obrotowa}} = A\cdot2\pi\bar y$ , $\;\bar y$ = odległość środka figury od osi obrotu

Do przeczytania u Feynmana

Obowiązkowo: 19-1…19-3 (środek masy, twierdzenie Pappusa, momenty bezwładności i twierdzenie o osiach równoległych).

Do przeczytania w podręcznikach matematyki

J. Stewart, Multivariable Calculus, wyd. 7: rozdz. 15 (całki podwójne i potrójne, zamiana zmiennych, zastosowania).
K. A. Stroud, Engineering Mathematics: całki wielokrotne i ich zastosowania (środki masy, momenty bezwładności).

Całki po krzywej (3.4 Całki krzywoliniowe, pola potencjalne i różniczki zupełne) i po powierzchni (3.5 Strumień, dywergencja i rotacja) zbudujemy z tej samej idei: suma po małych kawałkach łuku $\mathrm d\vec r$ albo powierzchni $\mathrm d\vec S$ . Momenty bezwładności wrócą przy ruchu obrotowym (Dział 4: Ruch obrotowy i bryła sztywna), a całki z gęstości prawdopodobieństwa w rachunku prawdopodobieństwa (5.1 Prawdopodobieństwo i rozkłady) i w mechanice kwantowej, gdzie $|\psi|^2\,\mathrm dV$ to prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w objętości $\mathrm dV$ (Dział 19: Atom wodoru i układ okresowy).