Matematyka i fizyka od podstaw
PLEN

Matematyka › Część III. Funkcje wielu zmiennych › 3.2 szkic · PDF do druku

Zanim zaczniesz 0.3 Trygonometria i funkcje hiperboliczne3.1 Reguła łańcuchowa, ekstrema i mnożniki Lagrange'a w wielu zmiennych

Nowe pojęcia w tej lekcji (3)

wersory współrzędnych krzywoliniowychwspółrzędne sferycznewspółrzędne walcowe

Matematyka 3.2

Współrzędne biegunowe, walcowe i sferyczne

Planeta krąży wokół Słońca, prąd płynie w prostym przewodzie, elektron siedzi w atomie. W każdym z tych problemów jest wyróżniony środek albo oś i współrzędne kartezjańskie tylko przeszkadzają. Ta lekcja daje trzy układy dopasowane do takiej symetrii. Ważniejsze od samych wzorów jest jedno spostrzeżenie: wersory tych układów zmieniają kierunek z miejsca na miejsce. Z tego biorą się przyspieszenie dośrodkowe, człon Coriolisa w przyspieszeniu i dodatkowe czynniki we wzorze na gradient.

Czas
ok. 2,5 h teorii + 2 h zadań
Zadania
20 zadań w treści, z podpowiedziami i odpowiedziami
Źródła
J. Stewart, Multivariable Calculus, wyd. 7, §10.3, §15.8, §15.9; K. A. Stroud, Engineering Mathematics

0 Prolog: z Warszawy do Nowego Jorku

Warszawa leży na szerokości 52,23∘52{,}23^\circ N i długości 21,01∘21{,}01^\circ E, Nowy Jork na 40,71∘40{,}71^\circ N i 74,01∘74{,}01^\circ W. Jak daleko leci samolot? Na płaskiej mapie wystarczyłoby twierdzenie Pitagorasa, ale Ziemia jest (prawie) kulą, a szerokość i długość geograficzna to nie są współrzędne kartezjańskie. Na typowej mapie (np. w odwzorowaniu Merkatora) najkrótsza trasa wygląda w dodatku na łuk wygięty na północ.

Pytanie na start. Oszacuj odległość po powierzchni Ziemi (promień 63716371 km). Czy łuk na mapie oznacza, że samolot nadkłada drogi? Odpowiedź w przykładzie 3.1.

Szerokość i długość geograficzna to w istocie współrzędne sferyczne. Żeby z nich liczyć, trzeba umieć przejść do zwykłych osi xx, yy, zz i z powrotem. Zaczniemy od płaszczyzny, gdzie widać najważniejsze zjawisko: wersory „idą” razem z punktem.

1 Współrzędne biegunowe i ruchome wersory

W lekcji 0.4 Geometria analityczna i krzywe stożkowe punkt płaszczyzny opisaliśmy odległością rr od początku i kątem θ\theta od dodatniej półosi xx: x=rcos⁡θx = r\cos\theta, y=rsin⁡θy = r\sin\theta. Teraz dołóżmy do każdego punktu dwa wersory: r^\hat r wskazuje kierunek, w którym rośnie rr (od środka na zewnątrz), a θ^\hat\theta kierunek, w którym rośnie θ\theta (prostopadle, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara):

Wersory biegunowe

r^=[cos⁡θ; sin⁡θ],θ^=[−sin⁡θ; cos⁡θ],dr^dθ=θ^,dθ^dθ=−r^.\hat r = [\cos\theta;\ \sin\theta],\qquad \hat\theta = [-\sin\theta;\ \cos\theta],\qquad \frac{\mathrm d\hat r}{\mathrm d\theta} = \hat\theta,\qquad \frac{\mathrm d\hat\theta}{\mathrm d\theta} = -\hat r .

Wektor położenia to r⃗=r r^\vec r = r\,\hat r. Wersory są prostopadłe i mają długość 1, ale ich kierunek zależy od θ\theta.

Wersory ı⃗\vec\imath, ȷ⃗\vec\jmath są wszędzie takie same, a r^\hat r i θ^\hat\theta obracają się razem z punktem. Gdy punkt się porusza, zmieniają się więc nie tylko współrzędne, ale i wersory. Różniczkujemy r⃗=rr^\vec r = r\hat r iloczynowo (lekcja 1.3 Pochodne), pamiętając, że r^˙=θ˙ θ^\dot{\hat r} = \dot\theta\,\hat\theta (reguła łańcuchowa):

Prędkość i przyspieszenie we współrzędnych biegunowych

v⃗=r˙ r^+rθ˙ θ^,a⃗=(r¨−rθ˙2) r^+(rθ¨+2r˙θ˙) θ^.\vec v = \dot r\,\hat r + r\dot\theta\,\hat\theta,\qquad \vec a = \big(\ddot r - r\dot\theta^2\big)\,\hat r + \big(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta\big)\,\hat\theta .

Każdy wyraz ma sens fizyczny. r˙\dot r to prędkość oddalania się od środka, rθ˙r\dot\theta to prędkość „po okręgu”. W przyspieszeniu −rθ˙2-r\dot\theta^2 to przyspieszenie dośrodkowe z lekcji 1.3 Pochodne (dla ruchu po okręgu zostaje tylko ono i rθ¨r\ddot\theta). Wyraz 2r˙θ˙2\dot r\dot\theta pojawia się, gdy punkt jednocześnie oddala się od środka i obraca: to człon Coriolisa. W układzie inercjalnym to nie jest siła, tylko część przyspieszenia; w układzie obracającym się razem z ciałem ten sam wyraz pojawia się jako pozorna siła Coriolisa. Nikt tu nie wprowadza nowych sił. Te wyrazy biorą się wyłącznie z tego, że wersory się obracają.

Przykład 1.1 Biedronka na obracającej się platformie

Obrotowa platforma (jak karuzela) obraca się ze stałą prędkością kątową ω=2 rad/s\omega = 2\ \mathrm{rad/s}. Biedronka idzie od środka wzdłuż narysowanego na niej promienia z prędkością v=0,1 m/sv = 0{,}1\ \mathrm{m/s} względem platformy, więc r=vtr = vt, θ=ωt\theta = \omega t. Oblicz jej prędkość i przyspieszenie (względem podłogi) po t=3 st = 3\ \mathrm s.

  1. r=0,3 mr = 0{,}3\ \mathrm m, r˙=0,1 m/s\dot r = 0{,}1\ \mathrm{m/s}, r¨=0\ddot r = 0, θ˙=2 rad/s\dot\theta = 2\ \mathrm{rad/s}, θ¨=0\ddot\theta = 0.
  2. v⃗=0,1 r^+0,3⋅2 θ^=0,1 r^+0,6 θ^\vec v = 0{,}1\,\hat r + 0{,}3\cdot2\,\hat\theta = 0{,}1\,\hat r + 0{,}6\,\hat\theta (m/s),   ∣v⃗∣≈0,61 m/s\;|\vec v| \approx 0{,}61\ \mathrm{m/s}.
  3. a⃗=(0−0,3⋅4) r^+(0+2⋅0,1⋅2) θ^=−1,2 r^+0,4 θ^\vec a = (0 - 0{,}3\cdot4)\,\hat r + (0 + 2\cdot0{,}1\cdot2)\,\hat\theta = -1{,}2\,\hat r + 0{,}4\,\hat\theta (m/s²).

Wynik: v⃗=0,1 r^+0,6 θ^ m/s\vec v = 0{,}1\,\hat r + 0{,}6\,\hat\theta\ \mathrm{m/s},   a⃗=−1,2 r^+0,4 θ^ m/s2\;\vec a = -1{,}2\,\hat r + 0{,}4\,\hat\theta\ \mathrm{m/s^2}.

Sprawdzenie: biedronka idzie po prostej względem platformy ze stałą prędkością, a mimo to ma przyspieszenie względem podłogi. Składowa 0,4 m/s20{,}4\ \mathrm{m/s^2} wzdłuż θ^\hat\theta to człon Coriolisa. Połowa (r˙θ˙=0,2\dot r\dot\theta = 0{,}2) bierze się stąd, że im dalej od środka, tym szybciej porusza się podłoże; druga połowa stąd, że prędkość r˙ r^\dot r\,\hat r obraca się razem z platformą. Jednostki: m⋅rad2/s2=m/s2\mathrm{m}\cdot\mathrm{rad^2/s^2} = \mathrm{m/s^2} ✓.

Dla siły centralnej (skierowanej wzdłuż promienia, do środka lub od środka, jak grawitacja) składowa θ^\hat\theta przyspieszenia jest zerowa: rθ¨+2r˙θ˙=1rddt(r2θ˙)=0r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta = \tfrac1r\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}(r^2\dot\theta) = 0. Zatem r2θ˙r^2\dot\theta jest stałe: to zachowanie momentu pędu, a geometrycznie drugie prawo Keplera (promień zakreśla równe pola w równych czasach, bo prędkość polowa to 12r2θ˙\tfrac12r^2\dot\theta). Tę historię opowiada lekcja fizyki o grawitacji (Dział 5: Grawitacja i orbity).

1.1 Gradient we współrzędnych biegunowych

Przesunięcie o dr\mathrm dr zmienia położenie o dr\mathrm dr wzdłuż r^\hat r, a przesunięcie o dθ\mathrm d\theta o r dθr\,\mathrm d\theta wzdłuż θ^\hat\theta (łuk okręgu). Zatem dr⃗=dr r^+r dθ θ^\mathrm d\vec r = \mathrm dr\,\hat r + r\,\mathrm d\theta\,\hat\theta. Piszemy ∇f=Ar^+Bθ^\nabla f = A\hat r + B\hat\theta; wtedy ∇f⋅dr⃗=A dr+Br dθ\nabla f\cdot\mathrm d\vec r = A\,\mathrm dr + Br\,\mathrm d\theta, a to ma być równe df=fr dr+fθ dθ\mathrm df = f_r\,\mathrm dr + f_\theta\,\mathrm d\theta. Porównanie daje A=frA = f_r, B=1rfθB = \tfrac1rf_\theta (to samo wychodzi z reguły łańcuchowej z lekcji 3.1 Reguła łańcuchowa, ekstrema i mnożniki Lagrange'a w wielu zmiennych):

∇f=∂f∂r r^+1r∂f∂θ θ^.\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r}\,\hat r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial\theta}\,\hat\theta .

Czynnik 1/r1/r jest konieczny: kąt nie jest długością, a zmiana θ\theta o dθ\mathrm d\theta przesuwa punkt o r dθr\,\mathrm d\theta. Ten sam pomysł daje element pola dA=r dr dθ\mathrm dA = r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta (prostokącik o bokach dr\mathrm dr i r dθr\,\mathrm d\theta), którego użyjemy w lekcji 3.3 Całki podwójne i potrójne.

Symulacja 1 Ruchome wersory. Punkt porusza się po okręgu albo po spirali. Przy punkcie widać wersory r^\hat r, θ^\hat\theta (na rysunku e^r\hat e_r, e^θ\hat e_\theta; obracają się razem z punktem), a także rozkład prędkości i przyspieszenia na składowe. Na spirali pojawia się składowa Coriolisa 2r˙θ˙2\dot r\dot\theta wzdłuż θ^\hat\theta (przerywana). Strzałki v⃗\vec v i a⃗\vec a są narysowane w zmniejszonej skali.

Zadania · część 1

7 zadań · ok. 45 min

  1. Sprawdź, że r^⋅θ^=0\hat r\cdot\hat\theta = 0 i że dr^dθ=θ^\tfrac{\mathrm d\hat r}{\mathrm d\theta} = \hat\theta.

    Odpowiedź

    −cos⁡θsin⁡θ+sin⁡θcos⁡θ=0-\cos\theta\sin\theta + \sin\theta\cos\theta = 0.   ddθ[cos⁡θ; sin⁡θ]=[−sin⁡θ; cos⁡θ]=θ^\;\tfrac{\mathrm d}{\mathrm d\theta}[\cos\theta;\ \sin\theta] = [-\sin\theta;\ \cos\theta] = \hat\theta.

  2. Punkt porusza się po okręgu o promieniu 2 m2\ \mathrm m, θ=3t\theta = 3t (t w sekundach). Podaj v⃗\vec v i a⃗\vec a we współrzędnych biegunowych.

    Odpowiedź

    r˙=0\dot r = 0, θ˙=3\dot\theta = 3: v⃗=6 θ^ m/s\vec v = 6\,\hat\theta\ \mathrm{m/s},   a⃗=−18 r^ m/s2\;\vec a = -18\,\hat r\ \mathrm{m/s^2} (czysto dośrodkowe, v2/r=36/2v^2/r = 36/2 ✓).

  3. Wyprowadź wzór na a⃗\vec a, różniczkując v⃗=r˙ r^+rθ˙ θ^\vec v = \dot r\,\hat r + r\dot\theta\,\hat\theta i używając r^˙=θ˙θ^\dot{\hat r} = \dot\theta\hat\theta, θ^˙=−θ˙r^\dot{\hat\theta} = -\dot\theta\hat r.

    Odpowiedź

    v⃗˙=r¨r^+r˙θ˙θ^+(r˙θ˙+rθ¨)θ^+rθ˙(−θ˙r^)\dot{\vec v} = \ddot r\hat r + \dot r\dot\theta\hat\theta + (\dot r\dot\theta + r\ddot\theta)\hat\theta + r\dot\theta(-\dot\theta\hat r). Zbierając: (r¨−rθ˙2)r^+(rθ¨+2r˙θ˙)θ^(\ddot r - r\dot\theta^2)\hat r + (r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta)\hat\theta. Dwójka przy r˙θ˙\dot r\dot\theta bierze się z dwóch różnych miejsc.

  4. Oblicz gradient f=x2+y2f = x^2 + y^2 i g=y/xg = y/x we współrzędnych biegunowych. Porównaj z kartezjańskim wynikiem dla ff.

    Odpowiedź

    f=r2f = r^2: ∇f=2r r^\nabla f = 2r\,\hat r, czyli 2r⃗=[2x; 2y]2\vec r = [2x;\ 2y] ✓.   g=tan⁡θ\;g = \tan\theta: ∇g=1rcos⁡2θ θ^\nabla g = \tfrac{1}{r\cos^2\theta}\,\hat\theta.

  5. Satelita na orbicie eliptycznej wokół pewnej planety ma w perycentrum r=7000r = 7000 km i prędkość 88 km/s, a w apocentrum r=14 000r = 14\,000 km. Jaka jest prędkość w apocentrum?

    Wskazówka

    W perycentrum i apocentrum r˙=0\dot r = 0, więc v=rθ˙v = r\dot\theta. Zachowane jest r2θ˙=rvr^2\dot\theta = rv.

    Odpowiedź

    7000⋅8=14 000⋅v7000\cdot8 = 14\,000\cdot v, więc v=4v = 4 km/s.

  6. Zapisz element pola dA\mathrm dA we współrzędnych biegunowych i oblicz nim pole koła o promieniu RR (całkując po rr od 0 do RR i po θ\theta od 0 do 2π2\pi).

    Odpowiedź

    dA=r dr dθ\mathrm dA = r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta; ∫02π ⁣∫0Rr dr dθ=2π⋅R22=πR2\int_0^{2\pi}\!\int_0^R r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta = 2\pi\cdot\tfrac{R^2}{2} = \pi R^2 ✓.

  7. Koralik ślizga się bez tarcia po pręcie, który obraca się w płaszczyźnie poziomej ze stałą ω\omega. W płaszczyźnie ruchu siła pręta działa tylko wzdłuż θ^\hat\theta (w pionie równoważy ciężar). Pokaż, że r¨=ω2r\ddot r = \omega^2r, i rozwiąż to równanie dla r(0)=r0r(0) = r_0, r˙(0)=0\dot r(0) = 0. Jaką siłą pręt działa na koralik o masie mm?

    Odpowiedź

    Składowa r^\hat r siły jest zerowa: r¨−rω2=0\ddot r - r\omega^2 = 0. Rozwiązanie: r=r0cosh⁡ωtr = r_0\cosh\omega t (funkcje hiperboliczne z lekcji 0.3 Trygonometria i funkcje hiperboliczne). Siła: m(rθ¨+2r˙θ˙)=2mωr˙=2mω2r0sinh⁡ωtm(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta) = 2m\omega\dot r = 2m\omega^2r_0\sinh\omega t, wzdłuż θ^\hat\theta.

2 Współrzędne walcowe

W trzech wymiarach najprostsze rozszerzenie to dołożenie do biegunowych zwykłej wysokości zz. Odległość od osi zz oznaczamy ρ\rho (żeby nie mylić jej z odległością od początku), a kąt azymutalny φ\varphi. Uwaga: kąt θ\theta z płaszczyzny nazywa się teraz φ\varphi; litera θ\theta zostaje zarezerwowana dla kąta od osi zz we współrzędnych sferycznych.

Współrzędne walcowe (ρ; φ; z)(\rho;\ \varphi;\ z)

x=ρcos⁡φ,y=ρsin⁡φ,z=z;ρ=x2+y2,φ=atan2⁡(y, x).x = \rho\cos\varphi,\qquad y = \rho\sin\varphi,\qquad z = z;\qquad \rho = \sqrt{x^2 + y^2},\quad \varphi = \operatorname{atan2}(y,\ x) .

Wersory: ρ^=[cos⁡φ; sin⁡φ; 0]\hat\rho = [\cos\varphi;\ \sin\varphi;\ 0],   φ^=[−sin⁡φ; cos⁡φ; 0]\;\hat\varphi = [-\sin\varphi;\ \cos\varphi;\ 0],   z^\;\hat z. Przesunięcie: dr⃗=dρ ρ^+ρ dφ φ^+dz z^\mathrm d\vec r = \mathrm d\rho\,\hat\rho + \rho\,\mathrm d\varphi\,\hat\varphi + \mathrm dz\,\hat z.

∇f=∂f∂ρ ρ^+1ρ∂f∂φ φ^+∂f∂z z^,dV=ρ dρ dφ dz.\nabla f = \frac{\partial f}{\partial\rho}\,\hat\rho + \frac1\rho\frac{\partial f}{\partial\varphi}\,\hat\varphi + \frac{\partial f}{\partial z}\,\hat z,\qquad \mathrm dV = \rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\varphi\,\mathrm dz .

Walcowe pasują do wszystkiego, co ma oś symetrii: przewodu z prądem, rury, wiru, pręta. Pole elektryczne naładowanego, długiego przewodu jest skierowane wzdłuż ρ^\hat\rho i maleje jak 1/ρ1/\rho (Dział 13: Pole elektryczne i prawo Gaussa), a pole magnetyczne przewodu z prądem okrąża go wzdłuż φ^\hat\varphi (Dział 15: Prąd i pole magnetyczne). W kartezjańskich byłoby to ∝[x; y; 0]x2+y2\propto \tfrac{[x;\ y;\ 0]}{x^2 + y^2} i ∝[−y; x; 0]x2+y2\propto \tfrac{[-y;\ x;\ 0]}{x^2 + y^2}.

Zadania · część 2

5 zadań · ok. 30 min

  1. Zamień na walcowe punkt (1; 1; 1)(1;\ 1;\ 1), a na kartezjańskie punkt ρ=3\rho = 3, φ=120∘\varphi = 120^\circ, z=−2z = -2.

    Odpowiedź

    ρ=2\rho = \sqrt2, φ=45∘\varphi = 45^\circ, z=1z = 1.   (−1,5; 2,60; −2)\;(-1{,}5;\ 2{,}60;\ -2).

  2. Jakie powierzchnie opisują równania ρ=2\rho = 2, φ=30∘\varphi = 30^\circ, z=5z = 5?

    Odpowiedź

    Walec o osi zz i promieniu 2; półpłaszczyzna zawierająca oś zz; płaszczyzna pozioma.

  3. Oblicz gradient f=ln⁡ρf = \ln\rho i g=φg = \varphi. Gdzie te funkcje się pojawiają w fizyce?

    Odpowiedź

    ∇ln⁡ρ=1ρρ^\nabla\ln\rho = \tfrac1\rho\hat\rho: tak maleje pole elektryczne przewodu (potencjał przewodu jest proporcjonalny do −ln⁡ρ-\ln\rho).   ∇φ=1ρφ^\;\nabla\varphi = \tfrac1\rho\hat\varphi: kształt pola magnetycznego przewodu z prądem i prędkości w wirze potencjalnym (φ\varphi nie jest jednoznaczną funkcją, bo po obejściu osi rośnie o 2π2\pi).

  4. Zapisz wektor F⃗=[−y; x; 0]\vec F = [-y;\ x;\ 0] we współrzędnych walcowych. Jak wygląda jego wykres?

    Odpowiedź

    [−y; x; 0]=ρ[−sin⁡φ; cos⁡φ; 0]=ρ φ^[-y;\ x;\ 0] = \rho[-\sin\varphi;\ \cos\varphi;\ 0] = \rho\,\hat\varphi. Wiry wokół osi zz, coraz szybsze z odległością, jak w obracającej się bryle sztywnej.

  5. Oblicz objętość walca o promieniu RR i wysokości HH, całkując dV=ρ dρ dφ dz\mathrm dV = \rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\varphi\,\mathrm dz.

    Odpowiedź

    R22⋅2π⋅H=πR2H\tfrac{R^2}{2}\cdot2\pi\cdot H = \pi R^2H ✓.

3 Współrzędne sferyczne

Gdy jest wyróżniony środek (Słońce, jądro atomu, ładunek punktowy), naturalnym opisem jest odległość od środka rr i dwa kąty. Używamy konwencji fizycznej (normy ISO 80000-2): θ\theta to kąt od dodatniej półosi zz (kąt biegunowy, od 00 na „biegunie północnym” do π\pi na „południowym”), a φ\varphi to azymut, jak w walcowych.

Współrzędne sferyczne (r; θ; φ)(r;\ \theta;\ \varphi)

x=rsin⁡θcos⁡φ,y=rsin⁡θsin⁡φ,z=rcos⁡θ;r≥0,  0≤θ≤π,  0≤φ<2π.x = r\sin\theta\cos\varphi,\qquad y = r\sin\theta\sin\varphi,\qquad z = r\cos\theta;\qquad r \ge 0,\ \ 0 \le \theta \le \pi,\ \ 0 \le \varphi < 2\pi .

Równoważnie −180∘<φ≤180∘-180^\circ < \varphi \le 180^\circ; np. φ=−74,01∘\varphi = -74{,}01^\circ to to samo co 285,99∘285{,}99^\circ.

Przesunięcie: dr⃗=dr r^+r dθ θ^+rsin⁡θ dφ φ^\mathrm d\vec r = \mathrm dr\,\hat r + r\,\mathrm d\theta\,\hat\theta + r\sin\theta\,\mathrm d\varphi\,\hat\varphi.

∇f=∂f∂r r^+1r∂f∂θ θ^+1rsin⁡θ∂f∂φ φ^,dV=r2sin⁡θ dr dθ dφ.\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r}\,\hat r + \frac1r\frac{\partial f}{\partial\theta}\,\hat\theta + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial\varphi}\,\hat\varphi,\qquad \mathrm dV = r^2\sin\theta\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\varphi .

Czynniki przy przesunięciach mają prosty sens. Zmiana θ\theta przesuwa punkt po południku, okręgu o promieniu rr: łuk r dθr\,\mathrm d\theta. Zmiana φ\varphi przesuwa go po równoleżniku, okręgu o promieniu rsin⁡θr\sin\theta (odległość od osi): łuk rsin⁡θ dφr\sin\theta\,\mathrm d\varphi. Równoleżniki kurczą się ku biegunom i stąd sin⁡θ\sin\theta w mianowniku gradientu oraz w elemencie objętości. Prostopadłościanik o bokach dr\mathrm dr, r dθr\,\mathrm d\theta, rsin⁡θ dφr\sin\theta\,\mathrm d\varphi ma objętość r2sin⁡θ dr dθ dφr^2\sin\theta\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\varphi.por. Stewart §15.9

Pułapka · dwie konwencje

Matematycy (w tym Stewart) często piszą (ρ; θ; φ)(\rho;\ \theta;\ \varphi) z θ\theta jako azymutem i φ\varphi jako kątem od osi zz, czyli odwrotnie niż fizycy. Wzory są te same po zamianie liter. U Stewarta ρ\rho w sferycznych to odległość od początku (u nas rr), a walcowe zapisuje on jako (r; θ; z)(r;\ \theta;\ z). Zawsze sprawdź, który kąt mierzy się od osi zz. W tym kursie: θ\theta od osi zz, φ\varphi azymut.

Wersor r^=[sin⁡θcos⁡φ; sin⁡θsin⁡φ; cos⁡θ]\hat r = [\sin\theta\cos\varphi;\ \sin\theta\sin\varphi;\ \cos\theta] wskazuje od środka, θ^\hat\theta na „południe” wzdłuż południka, φ^\hat\varphi na „wschód” wzdłuż równoleżnika. Geografia używa tego samego układu z dwiema zmianami: szerokość geograficzna to 90∘−θ90^\circ - \theta (liczona od równika), a długość to φ\varphi (na zachód ujemna).

Przykład 3.1 Warszawa–Nowy Jork

Oblicz odległość po powierzchni Ziemi (R=6371R = 6371 km) między Warszawą (52,23∘52{,}23^\circ N, 21,01∘21{,}01^\circ E) a Nowym Jorkiem (40,71∘40{,}71^\circ N, 74,01∘74{,}01^\circ W).

  1. Wersory r^\hat r: dla Warszawy θ=37,77∘\theta = 37{,}77^\circ, φ=21,01∘\varphi = 21{,}01^\circ: r^W≈[0,572; 0,220; 0,790]\hat r_W \approx [0{,}572;\ 0{,}220;\ 0{,}790]. Dla Nowego Jorku θ=49,29∘\theta = 49{,}29^\circ, φ=−74,01∘\varphi = -74{,}01^\circ: r^N≈[0,209; −0,729; 0,652]\hat r_N \approx [0{,}209;\ -0{,}729;\ 0{,}652].
  2. Kąt między nimi z iloczynu skalarnego (lekcja 1.1 Wektory): cos⁡γ=r^W⋅r^N≈0,475\cos\gamma = \hat r_W\cdot\hat r_N \approx 0{,}475,   γ≈61,6∘≈1,076\;\gamma \approx 61{,}6^\circ \approx 1{,}076 rad.
  3. Najkrótsza droga po kuli to łuk koła wielkiego (o środku w środku Ziemi): s=Rγ≈6371⋅1,076s = R\gamma \approx 6371\cdot1{,}076.

Wynik: około 68506850 km.

Sprawdzenie: cięciwa (tunel przez Ziemię) R∣r^W−r^N∣≈6530R|\hat r_W - \hat r_N| \approx 6530 km jest krótsza od łuku, jak powinna. Łuk na mapie nie oznacza nadkładania drogi: to płaska mapa zniekształca koło wielkie, które na kuli jest najkrótszą drogą.

Symulacja 2 Współrzędne sferyczne w przestrzeni. Zmieniaj rr, θ\theta i φ\varphi. Przy punkcie widać wersory r^\hat r, θ^\hat\theta, φ^\hat\varphi (na rysunku e^r\hat e_r, e^θ\hat e_\theta, e^φ\hat e_\varphi), a na sferze południk i równoleżnik przez punkt. Zwróć uwagę, jak równoleżnik maleje do zera przy θ→0\theta \to 0: dlatego w elemencie objętości stoi sin⁡θ\sin\theta. Przeciągnij rysunek, żeby obrócić widok.

Zadania · część 3

8 zadań · ok. 55 min

  1. Zamień na sferyczne punkty (1; 1; 1)(1;\ 1;\ 1), (−2; 0; 0)(-2;\ 0;\ 0), (0; 0; −3)(0;\ 0;\ -3), a na kartezjańskie punkt r=2r = 2, θ=60∘\theta = 60^\circ, φ=90∘\varphi = 90^\circ.

    Odpowiedź

    r=3r = \sqrt3, θ=arccos⁡13≈54,7∘\theta = \arccos\tfrac{1}{\sqrt3} \approx 54{,}7^\circ, φ=45∘\varphi = 45^\circ.   r=2\;r = 2, θ=90∘\theta = 90^\circ, φ=180∘\varphi = 180^\circ.   r=3\;r = 3, θ=180∘\theta = 180^\circ, φ\varphi dowolne (na osi zz azymut nie jest określony).   (0; 3; 1)\;(0;\ \sqrt3;\ 1).

  2. Jakie powierzchnie opisują r=5r = 5, θ=30∘\theta = 30^\circ, φ=0\varphi = 0?

    Odpowiedź

    Sfera; górna połowa stożka o wierzchołku w zerze i osi zz (półkąt rozwarcia 30∘30^\circ, nad płaszczyzną xyxy); półpłaszczyzna xzxz z x>0x > 0.

  3. Oblicz gradient energii potencjalnej U=−GMmrU = -\tfrac{GMm}{r} we współrzędnych sferycznych. Jaka jest siła?

    Odpowiedź

    ∇U=GMmr2r^\nabla U = \tfrac{GMm}{r^2}\hat r, więc F⃗=−∇U=−GMmr2r^\vec F = -\nabla U = -\tfrac{GMm}{r^2}\hat r: prawo powszechnego ciążenia, jedną linijką.

  4. Wyraź z^\hat z przez r^\hat r i θ^\hat\theta, licząc gradient funkcji f=z=rcos⁡θf = z = r\cos\theta na dwa sposoby.

    Odpowiedź

    Kartezjańsko ∇z=z^\nabla z = \hat z. Sferycznie: fr=cos⁡θf_r = \cos\theta, 1rfθ=−sin⁡θ\tfrac1rf_\theta = -\sin\theta, więc z^=cos⁡θ r^−sin⁡θ θ^\hat z = \cos\theta\,\hat r - \sin\theta\,\hat\theta.

  5. Z jaką prędkością porusza się Warszawa (52,23∘52{,}23^\circ N) wokół osi Ziemi? Długość doby gwiazdowej (obrót względem gwiazd, a nie Słońca) to 86 16486\,164 s. Ile wynosi długość równoleżnika Warszawy?

    Odpowiedź

    Promień równoleżnika Rsin⁡θ=Rcos⁡(52,23∘)≈3902R\sin\theta = R\cos(52{,}23^\circ) \approx 3902 km, obwód ≈24 500\approx 24\,500 km, prędkość ≈285\approx 285 m/s (na równiku 465465 m/s).

  6. Oblicz pole sfery i objętość kuli, całkując dA=R2sin⁡θ dθ dφ\mathrm dA = R^2\sin\theta\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\varphi i dV\mathrm dV.

    Odpowiedź

    R2∫02π ⁣dφ∫0πsin⁡θ dθ=R2⋅2π⋅2=4πR2R^2\int_0^{2\pi}\!\mathrm d\varphi\int_0^\pi\sin\theta\,\mathrm d\theta = R^2\cdot2\pi\cdot2 = 4\pi R^2.   ∫0Rr2 dr⋅4π=43πR3\;\int_0^Rr^2\,\mathrm dr\cdot4\pi = \tfrac43\pi R^3 ✓.

  7. Jaka część powierzchni Ziemi leży na północ od koła podbiegunowego (66,56∘66{,}56^\circ N)?

    Wskazówka

    Czapka 0≤θ≤θ00 \le \theta \le \theta_0 ma pole 2πR2(1−cos⁡θ0)2\pi R^2(1 - \cos\theta_0).

    Odpowiedź

    θ0=23,44∘\theta_0 = 23{,}44^\circ,   1−cos⁡θ02≈0,041\;\tfrac{1 - \cos\theta_0}{2} \approx 0{,}041, czyli około 4% (ok. 2121 mln km²).

  8. Dwa punkty leżą na tym samym równoleżniku 52,23∘52{,}23^\circ N, 90∘90^\circ długości od siebie. Porównaj drogę wzdłuż równoleżnika z drogą po kole wielkim. Dlaczego samoloty nie lecą wzdłuż równoleżnika?

    Odpowiedź

    Po równoleżniku: ćwierć obwodu 24 500/4≈613024\,500/4 \approx 6130 km. Po kole wielkim: cos⁡γ=sin⁡2(52,23∘)\cos\gamma = \sin^2(52{,}23^\circ) (tu szerokość!) daje γ≈51,3∘\gamma \approx 51{,}3^\circ, s≈5710s \approx 5710 km, o 420 km mniej. Równoleżnik (poza równikiem) nie jest kołem wielkim, więc nie jest najkrótszą drogą.

4 Błędne intuicje

„Wersory r^\hat r, θ^\hat\theta są stałe jak ı⃗\vec\imath, ȷ⃗\vec\jmath.”
Zmieniają się z położeniem. Różniczkując wektor zapisany w tych wersorach, trzeba różniczkować także wersory. Stąd człony −rθ˙2-r\dot\theta^2 i 2r˙θ˙2\dot r\dot\theta.
„∇f=[fr; fθ; fφ]\nabla f = [f_r;\ f_\theta;\ f_\varphi].”
Nie: kąty to nie długości. Poprawnie frr^+1rfθθ^+1rsin⁡θfφφ^f_r\hat r + \tfrac1rf_\theta\hat\theta + \tfrac{1}{r\sin\theta}f_\varphi\hat\varphi. Sprawdź wymiary: fθf_\theta ma inną jednostkę niż frf_r.
„dV=dr dθ dφ\mathrm dV = \mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\varphi.”
Brakuje r2sin⁡θr^2\sin\theta. Bez tego objętość kuli wyszłaby 2π2R2\pi^2R, z jednostką długości zamiast objętości.
„Kąt θ\theta w sferycznych to szerokość geograficzna.”
Szerokość to 90∘−θ90^\circ - \theta. Na równiku θ=90∘\theta = 90^\circ, na biegunie północnym θ=0\theta = 0.
„Każdy punkt ma jednoznaczne współrzędne sferyczne.”
Na osi zz azymut φ\varphi jest dowolny, a w zerze dowolne są oba kąty. W tych punktach wzory z 1/(rsin⁡θ)1/(r\sin\theta) wymagają ostrożności.
„Najkrótsza trasa to ta, która na mapie jest odcinkiem prostej.”
Na kuli najkrótsza jest droga po kole wielkim, która na typowej mapie (np. Merkatora) wygląda na łuk (przykład 3.1).

5 Sprawdź się

1 Ile wynosi dr^/dθ\mathrm d\hat r/\mathrm d\theta?

θ^\hat\theta.

2 Co oznacza wyraz −rθ˙2-r\dot\theta^2 w przyspieszeniu?

Przyspieszenie dośrodkowe.

3 Jaka wielkość jest stała przy ruchu w polu siły centralnej?

r2θ˙r^2\dot\theta (moment pędu na jednostkę masy); stąd drugie prawo Keplera.

4 Jak wygląda element objętości we współrzędnych walcowych?

ρ dρ dφ dz\rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\varphi\,\mathrm dz.

5 A w sferycznych?

r2sin⁡θ dr dθ dφr^2\sin\theta\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\varphi.

6 Od czego mierzy się kąt θ\theta w konwencji fizycznej?

Od dodatniej półosi zz.

7 Jak obliczyć odległość dwóch miast po powierzchni Ziemi?

RγR\gamma, gdzie cos⁡γ=r^1⋅r^2\cos\gamma = \hat r_1\cdot\hat r_2.

6 Karta wzorów i co dalej

Biegunowe i walcowe

x=rcos⁡θx = r\cos\theta, y=rsin⁡θy = r\sin\theta;   r^=[cos⁡θ; sin⁡θ]\;\hat r = [\cos\theta;\ \sin\theta], θ^=[−sin⁡θ; cos⁡θ]\hat\theta = [-\sin\theta;\ \cos\theta]

r^˙=θ˙θ^\dot{\hat r} = \dot\theta\hat\theta,   θ^˙=−θ˙r^\;\dot{\hat\theta} = -\dot\theta\hat r

v⃗=r˙r^+rθ˙θ^\vec v = \dot r\hat r + r\dot\theta\hat\theta

a⃗=(r¨−rθ˙2)r^+(rθ¨+2r˙θ˙)θ^\vec a = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat r + (r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta)\hat\theta

siła centralna: r2θ˙=constr^2\dot\theta = \text{const}

∇f=frr^+1rfθθ^\nabla f = f_r\hat r + \tfrac1rf_\theta\hat\theta;   dA=r dr dθ\;\mathrm dA = r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta

walcowe: ∇f=fρρ^+1ρfφφ^+fzz^\nabla f = f_\rho\hat\rho + \tfrac1\rho f_\varphi\hat\varphi + f_z\hat z;   dV=ρ dρ dφ dz\;\mathrm dV = \rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\varphi\,\mathrm dz

Sferyczne (θ\theta od osi zz)

x=rsin⁡θcos⁡φx = r\sin\theta\cos\varphi, y=rsin⁡θsin⁡φy = r\sin\theta\sin\varphi, z=rcos⁡θz = r\cos\theta

dr⃗=dr r^+r dθ θ^+rsin⁡θ dφ φ^\mathrm d\vec r = \mathrm dr\,\hat r + r\,\mathrm d\theta\,\hat\theta + r\sin\theta\,\mathrm d\varphi\,\hat\varphi

∇f=frr^+1rfθθ^+1rsin⁡θfφφ^\nabla f = f_r\hat r + \tfrac1rf_\theta\hat\theta + \tfrac{1}{r\sin\theta}f_\varphi\hat\varphi

dV=r2sin⁡θ dr dθ dφ\mathrm dV = r^2\sin\theta\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\varphi;   dAsfery=R2sin⁡θ dθ dφ\;\mathrm dA_{\text{sfery}} = R^2\sin\theta\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\varphi

geografia: szerokość =90∘−θ= 90^\circ - \theta, długość =φ= \varphi

koło wielkie: s=Rγs = R\gamma,   cos⁡γ=r^1⋅r^2\;\cos\gamma = \hat r_1\cdot\hat r_2

Do przeczytania w podręcznikach matematyki

  • J. Stewart, Multivariable Calculus: §10.3 (współrzędne biegunowe), §15.8 i §15.9 (całki potrójne we współrzędnych walcowych i sferycznych). Uwaga na konwencję kątów.
  • K. A. Stroud, Engineering Mathematics: współrzędne biegunowe, walcowe i sferyczne oraz ich elementy pola i objętości.

Elementy r dr dθr\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta i r2sin⁡θ dr dθ dφr^2\sin\theta\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\varphi to jakobiany, z których korzysta lekcja 3.3 Całki podwójne i potrójne (całki wielokrotne). Dywergencja i rotacja w tych współrzędnych pojawią się w 3.5 Strumień, dywergencja i rotacja, a prawo Gaussa dla ładunku punktowego i naładowanego przewodu (Dział 13: Pole elektryczne i prawo Gaussa) oraz prawo Ampère'a dla przewodu z prądem (Dział 15: Prąd i pole magnetyczne). Wzór na przyspieszenie we współrzędnych biegunowych to punkt wyjścia do równania orbity (Dział 5: Grawitacja i orbity). Kąty opisujące położenie orbity w przestrzeni (nachylenie, długość węzła) to w istocie kąty sferyczne kierunku momentu pędu (2 Elementy orbitalne, równanie Keplera i ślad naziemny).

Korzystają z tej lekcji 3.3 Całki podwójne i potrójne4.7 Równania cząstkowe: fali, dyfuzji i Laplace'a