1.3 Pochodne · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Prolog: dwie prędkości na zegarku

Biegaczka przebiegła 10 km w 50 minut. Zegarek sportowy pokazuje jej dwie liczby. Pierwsza to prędkość średnia: 10 km w 50 minut, czyli 12 km/h. Druga to prędkość „bieżąca”, która na podbiegu spadła do 9 km/h, a na zbiegu wzrosła do 15 km/h. Co właściwie znaczy, że w danej chwili biegła 15 km/h, skoro w żadnej chwili nie biegła przez całą godzinę?

Zegarek liczy prędkość bieżącą z położeń GPS: bierze drogę przebytą w ostatnich kilku sekundach i dzieli ją przez ten czas. To nadal jest prędkość średnia, tylko na bardzo krótkim odcinku czasu. Gdyby zegarek brał dziesięć sekund, potem jedną, potem jeszcze mniej, wynik zbliżałby się do pewnej wartości. Tę wartość nazwiemy prędkością chwilową. Zegarek ją tylko przybliża, a sama prędkość istnieje niezależnie od przyrządu.

Rozwiązanie wygląda tak. Sprawdzamy, ile biegaczka przebiegła w bardzo krótkim czasie, i dzielimy drogę przez ten czas. Czas bierzemy coraz krótszy i patrzymy, do jakiej wartości zbliża się iloraz. Ta wartość graniczna to pochodna. Feynman podkreśla, że rachunek różniczkowy wymyślono właśnie po to, żeby opisać ruch, i od takiego pytania (u niego zadaje je policjant kierowczyni) zaczyna rozdział o ruchu.FLP I-8-2

Rachunek różniczkowy wymyślono po to, żeby opisać ruch.

R. Feynman, FLP I-8-2 (tłum. własne)

Ta lekcja to matematyczna strona tego pomysłu. Fizyczną stronę (prędkość chwilowa, przyspieszenie, ruch po okręgu) znasz z fizyki (zob. Dział 1: Ruch i jego przyczyny, §1–3). Tu zobaczysz, jak liczyć pochodne sprawnie i dlaczego reguły działają.

1 Pochodna z definicji

1.1 Iloraz różnicowy

Weźmy funkcję $f$ i punkt $x_0$ . Zmieniamy argument o mały przyrost $h$ (piszemy też $\Delta x$ ). Wartość funkcji zmienia się wtedy o przyrost $\Delta f = f(x_0 + h) - f(x_0)$ . Stosunek tych przyrostów to iloraz różnicowy:Leitner §47 · GS 4.1

\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}, \qquad h \neq 0 .

Gdy $f$ to położenie, a argument to czas, iloraz różnicowy jest prędkością średnią w przedziale od $t_0$ do $t_0 + h$ . Na wykresie to nachylenie siecznej, czyli prostej przechodzącej przez dwa punkty wykresu.

Feynman ostrzega przed jednym nawykiem. Symbol $\Delta$ nie jest liczbą, przez którą się mnoży. $\Delta s$ to „mały kawałek $s$ ”, tak samo jak $\sin\theta$ nie oznacza $s\cdot i\cdot n\cdot\theta$ . Nie wolno więc skracać $\dfrac{\Delta s}{\Delta t}$ do $\dfrac{s}{t}$ .FLP I-8-3

1.2 Granica: od siecznej do stycznej

Teraz zmniejszamy $h$ . Drugi punkt siecznej zbliża się do pierwszego, a sieczna obraca się i dąży do położenia granicznego. Tę graniczną prostą nazywamy styczną. Granicę funkcji i jej definicję poznaliśmy w lekcji 1.2 Ciągi, granice i ciągłość.

Definicja · pochodna w punkcie

f'(x_0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h},

o ile ta granica istnieje i jest skończona. Wtedy mówimy, że $f$ jest różniczkowalna w $x_0$ . Geometrycznie $f'(x_0) = \tan\alpha$ , gdzie $\alpha$ to kąt nachylenia stycznej do dodatniej półosi $x$ (przy jednakowych jednostkach na osiach). Równanie stycznej w punkcie $(x_0,\ f(x_0))$ :

y = f(x_0) + f'(x_0)\,(x - x_0).

Pochodna zależy od punktu, więc sama jest funkcją: $x \mapsto f'(x)$ . Nazywamy ją pochodną funkcji $f$ . Szukanie jej to różniczkowanie.

1.3 Trzy zapisy jednej rzeczy

Lagrange: $f'(x)$ , $y'$ . Wygodny w matematyce, gdy wiadomo, po czym różniczkujemy.
Leibniz: $\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ , $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ . Przypomina, że to granica ilorazu przyrostów, i mówi, po jakiej zmiennej różniczkujemy. Wygląda jak ułamek, ale traktujemy go jako jeden symbol.Leitner §47
Newton: $\dot x$ , $\ddot x$ . Kropka oznacza pochodną po czasie i tylko po czasie.

Fizycy lubią zapis Leibniza, bo pozwala mówić o przyrostach. Feynman pisze $\mathrm{d}s = v\,\mathrm{d}t$ . Dla skończonego $\Delta t$ wzór $\Delta s = v\,\Delta t$ jest tylko przybliżeniem, bo prędkość może się w tym czasie zmienić. Przybliżenie jest tym lepsze, im krótszy przedział. Symbole $\mathrm{d}s$ i $\mathrm{d}t$ nazywamy różniczkami. Dokładniej zajmiemy się nimi w lekcji 1.4 Rachunek różniczkowy w praktyce.FLP I-8-3

1.4 Chwyt Feynmana: wyrzuć wyższe potęgi

Policzmy pochodną $s(t) = At^3 + Bt + C$ tak jak Feynman. Zmieniamy $t$ na $t + \Delta t$ :

\Delta s = 3At^2\,\Delta t + B\,\Delta t + 3At\,(\Delta t)^2 + A\,(\Delta t)^3 .

Dzielimy przez $\Delta t$ i zostaje $3At^2 + B + 3At\,\Delta t + A\,(\Delta t)^2$ . Przy $\Delta t \to 0$ dwa ostatnie wyrazy znikają, więc $\dot s = 3At^2 + B$ . Feynman zauważa, że po krótkiej praktyce każdy wyraz z $(\Delta t)^2$ lub wyższą potęgą można wyrzucić od razu, bo i tak zniknie w granicy.FLP I-8-3

Ten chwyt ma ładny obraz. Gdy powiększasz wykres funkcji różniczkowalnej wokół jednego punktu, krzywa wygląda coraz bardziej jak prosta. Ta „prawie prosta” to styczna, a jej nachylenie to pochodna. Wyrazy z $(\Delta x)^2$ opisują właśnie to, o ile krzywa odchyla się od stycznej, a przy dużym powiększeniu tego odchylenia nie widać.

1.5 Kiedy pochodnej nie ma

Granica w definicji pochodnej musi być taka sama, gdy $h \to 0$ z prawej i z lewej strony. Te dwie granice nazywamy pochodnymi jednostronnymi $f'_+(x_0)$ i $f'_-(x_0)$ . Pochodna istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy obie istnieją i są równe.GS 4.2

Klasyczny przykład to $f(x) = |x|$ w zerze. Iloraz różnicowy $\dfrac{|h|}{h}$ wynosi $+1$ dla $h > 0$ i $-1$ dla $h < 0$ . Wykres ma tam ostrze, a styczne z lewej i z prawej mają różne nachylenia. Inny przypadek to $\sqrt[3]{x}$ w zerze. Iloraz $h^{1/3}/h = h^{-2/3}$ rośnie bez ograniczeń, styczna jest pionowa, a pochodna (skończona) nie istnieje.

Twierdzenie · różniczkowalność a ciągłość

Jeśli $f$ ma pochodną w punkcie, to jest w nim ciągła. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe: $|x|$ jest ciągła w zerze, a pochodnej tam nie ma.Leitner 50.1 · GS 4.1.15

Dowód zajmuje jedną linijkę: $\Delta f = \dfrac{\Delta f}{h}\cdot h \to f'(x_0)\cdot 0 = 0$ . W XIX wieku znaleziono nawet funkcje ciągłe na całej prostej, które w żadnym punkcie nie mają pochodnej. Jedną z pierwszych podał Bolzano, ale jej nie opublikował. Najbardziej znana jest funkcja Weierstrassa.

Przykład 1.1 Prędkość spadającej kulki, krok po kroku

Kulka spada swobodnie: $s(t) = 4{,}9\,t^2$ (metry, sekundy). Oblicz prędkość średnią w przedziałach $[2;\ 2{,}1]$ i $[2;\ 2{,}001]$ s, a potem prędkość chwilową dla $t_0 = 2$ s. (Ten sam rachunek Feynman przeprowadza w stopach: $s = 16t^2$ , $t_0 = 5$ s.)

$s(2) = 19{,}6$ m. Dla $h = 0{,}1$ : $s(2{,}1) = 21{,}609$ m, więc $\dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \dfrac{2{,}009}{0{,}1} = 20{,}09$ m/s.
Dla $h = 0{,}001$ : $s(2{,}001) = 19{,}6196049$ m, więc $\dfrac{\Delta s}{\Delta t} = 19{,}6049$ m/s.
Ogólnie: $\Delta s = 4{,}9\left(2t_0h + h^2\right)$ , więc $\dfrac{\Delta s}{h} = 9{,}8\,t_0 + 4{,}9\,h$ . Przy $h \to 0$ zostaje $9{,}8\,t_0$ .

Wynik: $v(t) = 9{,}8\,t$ m/s, w chwili 2 s prędkość wynosi $19{,}6$ m/s.

Sprawdzenie: błąd ilorazu różnicowego to dokładnie $4{,}9\,h$ : $0{,}49$ dla $h = 0{,}1$ i $0{,}0049$ dla $h = 0{,}001$ ✓. Prędkości średnie są większe od chwilowej, bo kulka przyspiesza.

Przykład 1.2 Styczna i normalna do wykresu pierwiastka

Wyznacz z definicji pochodną $f(x) = \sqrt x$ w punkcie $x_0 = 4$ . Napisz równanie stycznej i normalnej w punkcie $(4,\ 2)$ . Użyj stycznej, żeby oszacować $\sqrt{4{,}1}$ .

Mnożymy licznik i mianownik przez sumę pierwiastków: $\dfrac{\sqrt{4 + h} - 2}{h} = \dfrac{(4 + h) - 4}{h\left(\sqrt{4 + h} + 2\right)} = \dfrac{1}{\sqrt{4 + h} + 2} \to \dfrac14$ .
Styczna: $y = 2 + \tfrac14(x - 4)$ , czyli $y = \tfrac14x + 1$ .
Normalna to prosta prostopadła do stycznej w tym samym punkcie. Ma nachylenie $-1/f'(x_0) = -4$ : $y = 2 - 4(x - 4)$ .Leitner 48.5
Szacunek: $\sqrt{4{,}1} \approx 2 + \tfrac14\cdot0{,}1 = 2{,}025$ .

Wynik: $f'(4) = \tfrac14$ ; styczna $y = \tfrac14x + 1$ ; normalna $y = -4x + 18$ ; $\sqrt{4{,}1}\approx 2{,}025$ .

Sprawdzenie: kalkulator daje $\sqrt{4{,}1} = 2{,}02485$ . Błąd $0{,}00015$ jest rzędu $h^2$ , zgodnie z chwytem z części 1.4 ✓

Zadania · część 1

5 zadań · ok. 40 min

Oblicz z definicji pochodną $f(x) = 2x^2 - 3x$ w punkcie $x_0 = 1$ . Napisz równanie stycznej w tym punkcie.

Odpowiedź
$\dfrac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \dfrac{h + 2h^2}{h} = 1 + 2h \to 1$ . $f(1) = -1$ , styczna $y = -1 + (x - 1) = x - 2$ .
Leitner podaje pomiary stygnącego ciała: w chwilach $0,\ 10,\ 20,\ 30$ min temperatura wynosiła $100,\ 75,\ 59,\ 47\ ^\circ$ C. Oszacuj tempo stygnięcia w chwili $t = 10$ min na trzy sposoby: ilorazem „do przodu” (10–20 min), „do tyłu” (0–10 min) i „symetrycznym” (0–20 min). Który szacunek jest najlepszy?

Wskazówka
Zastanów się, w którym punkcie przedziału iloraz różnicowy najlepiej przybliża pochodną.

Odpowiedź
Do przodu: $\dfrac{59 - 75}{10} = -1{,}6\ ^\circ\mathrm{C/min}$ . Do tyłu: $\dfrac{75 - 100}{10} = -2{,}5\ ^\circ\mathrm{C/min}$ . Symetrycznie: $\dfrac{59 - 100}{20} = -2{,}05\ ^\circ\mathrm{C/min}$ . Najlepszy jest symetryczny, bo $t = 10$ leży w środku przedziału (zadanie 5 w tej części pokazuje dlaczego). Stygnięcie zwalnia, więc szacunek „do tyłu” zawyża tempo, a „do przodu” je zaniża.
Napisz równanie stycznej do hiperboli $y = 1/x$ w punkcie o odciętej $a > 0$ . Wykaż, że trójkąt odcięty przez tę styczną od pierwszej ćwiartki ma zawsze pole 2, niezależnie od $a$ .

Odpowiedź
$f'(a) = -\dfrac{1}{a^2}$ , styczna $y = \dfrac1a - \dfrac{x - a}{a^2} = \dfrac2a - \dfrac{x}{a^2}$ . Przecina osie w $x = 2a$ i $y = \dfrac2a$ , więc pole $\tfrac12\cdot2a\cdot\dfrac2a = 2$ .
Zbadaj pochodne jednostronne w zerze funkcji (a) $f(x) = x\,|x|$ , (b) $g(x) = |\sin x|$ . Która z nich ma pochodną w zerze? Sprawdź odpowiedź w symulacji 2.

Odpowiedź
(a) $\dfrac{h|h|}{h} = |h| \to 0$ z obu stron, więc $f'(0) = 0$ . (b) $\dfrac{|\sin h|}{h} \to +1$ dla $h \to 0^+$ i $-1$ dla $h \to 0^-$ , więc $g'(0)$ nie istnieje. Wykres $|\sin x|$ ma w zerze ostrze, a $x|x|$ jest tam gładki.
Dla $f(x) = x^3$ w punkcie $x_0 = 1$ porównaj iloraz „do przodu” $\dfrac{f(1 + h) - f(1)}{h}$ z ilorazem symetrycznym $\dfrac{f(1 + h) - f(1 - h)}{2h}$ . Wyznacz ich błędy względem $f'(1) = 3$ jako funkcje $h$ i oblicz je dla $h = 0{,}1$ . Dlaczego iloraz symetryczny jest dokładniejszy?

Wskazówka
Rozwiń $(1 \pm h)^3$ . W ilorazie symetrycznym wyrazy z $h^2$ w liczniku się skracają.

Odpowiedź
Do przodu: $3 + 3h + h^2$ , błąd $3h + h^2 = 0{,}31$ (wynik $3{,}31$ ). Symetrycznie: $\dfrac{6h + 2h^3}{2h} = 3 + h^2$ , błąd $h^2 = 0{,}01$ (wynik $3{,}01$ ). W ilorazie symetrycznym wyraz $h^2$ z rozwinięcia wchodzi raz z plusem i raz z minusem, więc błąd jest rzędu $h^2$ , a nie $h$ . Ten sam pomysł stoi za metodą połowy kroku w fizyce (zob. Dział 1: Ruch i jego przyczyny, §6.2).

Więcej zadań: Leitner §47–50 · GS ćw. 4.1.4, 4.2.2.

2 Pochodne funkcji elementarnych

Z definicji wystarczy policzyć kilka pochodnych. Resztę dają reguły z części 3 i 4. Oto najważniejsze rachunki.

2.1 Potęgi

Dla $f(x) = x^n$ i naturalnego $n$ rozwijamy dwumian Newtona:

(x + h)^n = x^n + n\,x^{n-1}h + \binom n2 x^{n-2}h^2 + \dots + h^n .

Po odjęciu $x^n$ i podzieleniu przez $h$ wszystkie wyrazy oprócz $n\,x^{n-1}$ zawierają $h$ i w granicy znikają. Zatem $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ . Wzór działa dla dowolnego wykładnika rzeczywistego $r$ , $(x^r)' = r\,x^{r-1}$ dla $x > 0$ . Dowód dla $r$ ujemnych i niecałkowitych podamy w części 4.Leitner 47.6, 47.10

Dlatego pierwiastki i ułamki warto zapisywać jako potęgi: $\sqrt x = x^{1/2}$ , $\dfrac{1}{x^3} = x^{-3}$ . Na przykład $\left(\sqrt x\right)' = \tfrac12x^{-1/2} = \dfrac{1}{2\sqrt x}$ , co zgadza się z przykładem 1.2.

2.2 Sinus i cosinus: dlaczego radiany

Ze wzoru na sinus sumy:

\frac{\sin(x + h) - \sin x}{h} = \sin x\cdot\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\cdot\frac{\sin h}{h} .

Potrzebne są dwie granice z lekcji 1.2 Ciągi, granice i ciągłość: $\dfrac{\sin h}{h} \to 1$ i $\dfrac{\cos h - 1}{h} \to 0$ (ta druga wynika z $\dfrac{1 - \cos h}{h^2} \to \dfrac12$ ). Pierwsza mówi, że dla małego kąta łuk $h$ i połowa cięciwy $\sin h$ są prawie równe. Dla $h = 0{,}1$ rad: $\dfrac{\sin h}{h} = 0{,}99833$ , a $\dfrac{\cos h - 1}{h} = -0{,}04996$ . Stąd

(\sin x)' = \cos x, \qquad (\cos x)' = -\sin x .

Te wzory są prawdziwe tylko wtedy, gdy kąt mierzymy w radianach. Tylko wtedy łuk jednostkowego okręgu ma długość równą kątowi i $\dfrac{\sin h}{h} \to 1$ . Dla kąta w stopniach $\left(\sin x^\circ\right)' = \dfrac{\pi}{180}\cos x^\circ \approx 0{,}01745\cos x^\circ$ . Dlatego w fizyce i w rachunku różniczkowym kąty są zawsze w radianach.Leitner 47.12–47.13

2.3 Funkcja wykładnicza i liczba $e$

Dla $f(x) = a^x$ iloraz różnicowy rozkłada się na dwa czynniki:

\frac{a^{x + h} - a^x}{h} = a^x\cdot\frac{a^h - 1}{h} .

Pochodna jest więc proporcjonalna do samej funkcji. Współczynnik $C(a) = \lim_{h\to0}\dfrac{a^h - 1}{h}$ zależy tylko od podstawy. Numerycznie $C(2) \approx 0{,}693$ , a $C(3) \approx 1{,}099$ . Istnieje dokładnie jedna podstawa, dla której $C = 1$ . To liczba $e \approx 2{,}718$ . Dla niej

(e^x)' = e^x .

Funkcja $e^x$ jest swoją własną pochodną i właśnie dlatego pojawia się wszędzie tam, gdzie tempo zmian jest proporcjonalne do aktualnej wartości: rozpad promieniotwórczy, rozładowanie kondensatora, stygnięcie herbaty (tu chodzi o różnicę temperatur herbaty i otoczenia). Dla innych podstaw $(a^x)' = a^x\ln a$ , czyli $C(a) = \ln a$ (część 4).Leitner wzory (51.9)–(51.10)

2.4 Tabela

Funkcja	Pochodna	Uwagi
$c$ (stała)	$0$	stała się nie zmienia
$x^r$	$r\,x^{r-1}$	dla $x > 0$ ; dla całkowitego $r$ wszędzie, gdzie $x^r$ ma sens
$\sin x$ , $\ \cos x$	$\cos x$ , $\ -\sin x$	kąt w radianach
$\tan x$	$\dfrac{1}{\cos^2x} = 1 + \tan^2x$	$x \neq \tfrac\pi2 + k\pi$
$e^x$ , $\ a^x$	$e^x$ , $\ a^x\ln a$	$a > 0$
$\ln x$ , $\ \log_a x$	$\dfrac1x$ , $\ \dfrac{1}{x\ln a}$	$x > 0$
$\arcsin x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	$\|x\| < 1$
$\arctan x$	$\dfrac{1}{1 + x^2}$	wszystkie $x$

Pochodne funkcji odwrotnych (logarytm, arcus) wyprowadzimy w części 4. Pełniejsza tabela, z funkcjami hiperbolicznymi, jest w GS 4.1 (ciąg dalszy w 4.3).GS 4.1 · Leitner §51

Przykład 2.1 Rozpad promieniotwórczy: aktywność to pochodna

Liczba jąder izotopu maleje jak $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ . Aktywność $A$ to liczba rozpadów na sekundę, czyli $A = -\dot N$ . Wykaż, że $A = \lambda N$ , i oblicz aktywność próbki zawierającej $10^{12}$ jąder węgla C-14 (czas połowicznego rozpadu $T_{1/2} = 5730$ lat).

Pochodna $e^{-\lambda t}$ : na razie zgadujemy przez analogię do $e^x$ , a w części 4 uzasadnimy regułą łańcuchową: $\dot N = -\lambda N_0e^{-\lambda t} = -\lambda N$ . Zatem $A = \lambda N$ .
Z warunku $N(T_{1/2}) = \tfrac12N_0$ mamy $e^{-\lambda T_{1/2}} = \tfrac12$ , więc $\lambda = \dfrac{\ln2}{T_{1/2}} = 1{,}21\cdot10^{-4}\ \text{rok}^{-1}$ .
Rok to $3{,}156\cdot10^7$ s, więc $\lambda = 3{,}83\cdot10^{-12}\ \mathrm{s^{-1}}$ i $A = 3{,}83\cdot10^{-12}\cdot10^{12} \approx 3{,}8$ rozpadu na sekundę.

Wynik: $A = \lambda N \approx 3{,}8$ Bq.

Sprawdzenie: jednostka $\lambda$ to $\mathrm{s^{-1}}$ , więc $\lambda N$ ma jednostkę „na sekundę” ✓. Tempo rozpadu jest proporcjonalne do liczby jąder, czyli do wartości funkcji. To właśnie własność $e^x$ z części 2.3.

Zadania · część 2

5 zadań · ok. 35 min

Oblicz pochodne: (a) $x^5$ , (b) $\sqrt[3]x$ , (c) $\dfrac{1}{x^2}$ , (d) $3^x$ , (e) $\log_{10}x$ .

Odpowiedź
(a) $5x^4$ ; (b) $\tfrac13x^{-2/3} = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ ; (c) $-2x^{-3} = -\dfrac{2}{x^3}$ ; (d) $3^x\ln3$ ; (e) $\dfrac{1}{x\ln10}$ .
Wyprowadź wzór $(\cos x)' = -\sin x$ z definicji, tak jak w części 2.2 zrobiliśmy to dla sinusa.

Odpowiedź
$\dfrac{\cos(x + h) - \cos x}{h} = \cos x\cdot\dfrac{\cos h - 1}{h} - \sin x\cdot\dfrac{\sin h}{h} \to \cos x\cdot0 - \sin x\cdot1 = -\sin x$ .
Kalkulator ustawiony na stopnie liczy $g(x) = \sin x^\circ$ . Ile wynosi $g'(30)$ ? Ile wynosi pochodna sinusa w tym samym punkcie, gdy kąt mierzymy w radianach? Dlaczego wyniki są różne, choć „to ten sam kąt”?

Odpowiedź
$g(x) = \sin\dfrac{\pi x}{180}$ , więc $g'(30) = \dfrac{\pi}{180}\cos30^\circ \approx 0{,}0151$ na stopień. W radianach $(\sin)'\left(\tfrac\pi6\right) = \cos\tfrac\pi6 \approx 0{,}866$ na radian. Pochodna to tempo zmian na jednostkę argumentu. Jeden radian to ok. $57{,}3^\circ$ , więc tempa różnią się o ten czynnik: $0{,}866/57{,}3 \approx 0{,}0151$ .
Kondensator rozładowuje się przez opornik: $q(t) = q_0e^{-t/(RC)}$ . Natężenie prądu to $I = -\dot q$ . Wykaż, że $I = q/(RC)$ , i oblicz prąd w chwili $t = RC$ dla $q_0 = 1$ mC i $RC = 2$ ms.

Odpowiedź
$\dot q = -\dfrac{1}{RC}q_0e^{-t/(RC)} = -\dfrac{q}{RC}$ , więc $I = \dfrac{q}{RC}$ . W chwili $t = RC$ : $q = q_0/e \approx 0{,}368$ mC, $I \approx \dfrac{0{,}368\cdot10^{-3}}{2\cdot10^{-3}} \approx 0{,}184$ A.
Funkcje hiperboliczne to $\operatorname{sh}x = \tfrac12(e^x - e^{-x})$ i $\operatorname{ch}x = \tfrac12(e^x + e^{-x})$ . Wykaż, że $(\operatorname{sh}x)' = \operatorname{ch}x$ i $(\operatorname{ch}x)' = \operatorname{sh}x$ . Łańcuch zwisający między dwoma słupami ma kształt $y = a\operatorname{ch}(x/a)$ (krzywa łańcuchowa). Oblicz nachylenie łańcucha w punkcie $x = a$ , korzystając z tego, że $(e^{x/a})' = \tfrac1ae^{x/a}$ .

Odpowiedź
$(e^{-x})' = -e^{-x}$ , więc $(\operatorname{sh}x)' = \tfrac12(e^x + e^{-x}) = \operatorname{ch}x$ i $(\operatorname{ch}x)' = \tfrac12(e^x - e^{-x}) = \operatorname{sh}x$ . Dla łańcucha $y' = \operatorname{sh}(x/a)$ , w punkcie $x = a$ : $\operatorname{sh}1 \approx 1{,}175$ , czyli kąt ok. $49{,}6^\circ$ z poziomem.

Więcej zadań: Leitner §47, §52 · GS 4.1.

3 Reguły różniczkowania

3.1 Stała, suma, różnica

Przyrost sumy to suma przyrostów, więc $(f \pm g)' = f' \pm g'$ . Stały czynnik wychodzi przed pochodną: $(c\,f)' = c\,f'$ . Razem oznacza to, że różniczkowanie jest liniowe. Wielomian różniczkujemy wyraz po wyrazie: $(3x^4 - 2x + 7)' = 12x^3 - 2$ .Leitner tw. 51.1

3.2 Iloczyn: pole prostokąta

Niech $u$ i $v$ to boki prostokąta, a $uv$ jego pole. Gdy oba boki urosną o $\Delta u$ i $\Delta v$ , pole rośnie o dwa paski i mały narożnik:

\Delta(uv) = u\,\Delta v + v\,\Delta u + \Delta u\,\Delta v .

Dzielimy przez $\Delta x$ . Narożnik daje $\dfrac{\Delta u}{\Delta x}\cdot\Delta v$ , a to dąży do $u'\cdot 0 = 0$ . Narożnik jest „drugiego rzędu małości” i znika, tak jak wyrazy z $(\Delta t)^2$ u Feynmana. Zostają paski:

Reguły · iloczyn i iloraz

(u\,v)' = u'\,v + u\,v', \qquad \left(\frac uv\right)' = \frac{u'\,v - u\,v'}{v^2}\quad (v \neq 0).

Dla trzech czynników: $(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'$ . Każdy czynnik różniczkujemy po kolei, a pozostałe zostawiamy bez zmian.Leitner wzory (51.3)–(51.4), (51.18)

Regułę ilorazu najłatwiej zapamiętać, wyprowadzając ją z reguły iloczynu (zadanie 5 w tej części). W liczniku jest minus, więc kolejność ma znaczenie: zaczynamy od pochodnej licznika.

3.3 Wzór Feynmana dla iloczynu potęg

W tabeli pochodnych Feynman podaje regułę, którą podręczniki matematyki zwykle chowają pod nazwą pochodnej logarytmicznej, a która w fizyce jest bardzo wygodna:FLP I-8-3, tab. 8-3

s = u^a\,v^b\,w^c \quad\Longrightarrow\quad \frac{\dot s}{s} = a\,\frac{\dot u}{u} + b\,\frac{\dot v}{v} + c\,\frac{\dot w}{w} .

Słowami: względne tempo zmian iloczynu potęg to suma względnych temp zmian czynników, pomnożonych przez wykładniki. Dla małych zmian działa to też na procenty. Gdy prędkość rośnie o 1%, energia kinetyczna $\tfrac12mv^2$ rośnie o ok. 2%. Wzór wynika z pochodnej logarytmu (część 4.4), bo $\ln s = a\ln u + b\ln v + c\ln w$ (dla $u, v, w > 0$ ).

Przykład 3.1 Dopasowanie obciążenia do źródła

Bateria o sile elektromotorycznej $\mathcal E = 12$ V i oporze wewnętrznym $r = 2\ \Omega$ zasila opornik $R$ . Moc wydzielana w oporniku to $P(R) = \dfrac{\mathcal E^2R}{(R + r)^2}$ . Przy jakim $R$ moc jest największa?

Reguła ilorazu: $u = \mathcal E^2R$ , $u' = \mathcal E^2$ ; $v = (R + r)^2$ , $v' = 2(R + r)$ (rozwiń kwadrat albo zajrzyj do części 4).
$P'(R) = \dfrac{\mathcal E^2(R + r)^2 - \mathcal E^2R\cdot2(R + r)}{(R + r)^4} = \dfrac{\mathcal E^2(r - R)}{(R + r)^3}$ .
$P' > 0$ dla $R < r$ i $P' < 0$ dla $R > r$ . Moc rośnie, a potem maleje, więc największa jest dla $R = r$ .
$P_\text{max} = \dfrac{\mathcal E^2}{4r} = \dfrac{144}{8} = 18$ W.

Wynik: największą moc dostajemy, gdy opór obciążenia jest równy oporowi wewnętrznemu: $R = 2\ \Omega$ , $P_\text{max} = 18$ W.

Sprawdzenie: $P(1\ \Omega) = 16$ W i $P(3\ \Omega) = 17{,}28$ W, obie mniejsze od 18 W ✓. Ekstrema zbadamy dokładniej w lekcji 1.4 Rachunek różniczkowy w praktyce.

Przykład 3.2 Zegar wahadłowy w upale

Okres wahadła to $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ . Mosiężny pręt wahadła wydłuża się o $\alpha = 19\cdot10^{-6}$ swojej długości na każdy kelwin. Ile sekund na dobę spóźni się zegar, gdy temperatura wzrośnie o 10 K?

$T = 2\pi\,l^{1/2}g^{-1/2}$ . Wzór Feynmana: $\dfrac{\Delta T}{T} \approx \tfrac12\dfrac{\Delta l}{l} - \tfrac12\dfrac{\Delta g}{g}$ , a $g$ się nie zmienia.
$\dfrac{\Delta l}{l} = 19\cdot10^{-6}\cdot10 = 1{,}9\cdot10^{-4}$ , więc $\dfrac{\Delta T}{T} \approx 0{,}95\cdot10^{-4}$ .
Okres wydłuża się, więc zegar wykonuje mniej wahnięć w ciągu doby i się spóźnia: $86\,400\ \mathrm{s}\cdot 0{,}95\cdot10^{-4} \approx 8{,}2$ s.

Wynik: ok. 8 s na dobę.

Sprawdzenie: nie potrzebowaliśmy ani długości wahadła, ani $g$ , tylko wykładnik $\tfrac12$ ✓. 8 s na dobę to ponad 4 minuty na miesiąc. Dlatego zegary precyzyjne miały wahadła kompensowane, na przykład z prętów z dwóch różnych metali.

Zadania · część 3

5 zadań · ok. 35 min

Oblicz pochodną $(x^2 - 1)(x^3 + 2)$ na dwa sposoby: regułą iloczynu i po wymnożeniu nawiasów. Porównaj wyniki.

Odpowiedź
Regułą: $2x(x^3 + 2) + (x^2 - 1)\cdot3x^2 = 5x^4 - 3x^2 + 4x$ . Po wymnożeniu: $(x^5 - x^3 + 2x^2 - 2)' = 5x^4 - 3x^2 + 4x$ ✓.
Oblicz pochodne: (a) $x^3\ln x$ , (b) $\dfrac{x + 1}{x^2 + 1}$ .

Odpowiedź
(a) $3x^2\ln x + x^3\cdot\dfrac1x = 3x^2\ln x + x^2$ ; (b) $\dfrac{(x^2 + 1) - (x + 1)\cdot2x}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{1 - 2x - x^2}{(x^2 + 1)^2}$ .
Oblicz pochodną iloczynu trzech funkcji $x\,e^x\sin x$ . Ile wynosi w $x = 0$ ?

Odpowiedź
$e^x\sin x + x\,e^x\sin x + x\,e^x\cos x$ . W zerze każdy wyraz zawiera $\sin0 = 0$ albo czynnik $x = 0$ , więc pochodna wynosi 0.
Moc promieniowania ciała doskonale czarnego to $P = \sigma A T^4$ (prawo Stefana–Boltzmanna). O ile procent w przybliżeniu wzrośnie moc, gdy temperatura wzrośnie o 1%? A gdy jednocześnie pole powierzchni zmaleje o 2%?

Odpowiedź
Wzorem Feynmana: $\dfrac{\Delta P}{P} \approx \dfrac{\Delta A}{A} + 4\dfrac{\Delta T}{T}$ . Przy samej temperaturze: o 4%. Z polem: $-2\% + 4\% = 2\%$ . (Dokładnie $1{,}01^4 \approx 1{,}0406$ , a $0{,}98\cdot1{,}01^4 \approx 1{,}0198$ , więc przybliżenie jest dobre dla małych zmian.)
Wyprowadź regułę ilorazu z reguły iloczynu. Przyjmij, że $q = u/v$ jest różniczkowalna, i zróżniczkuj równość $u = q\,v$ .

Odpowiedź
$u' = q'v + qv'$ , więc $q' = \dfrac{u' - qv'}{v} = \dfrac{u' - \frac uv v'}{v} = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ . Założenie, że $q$ jest różniczkowalna, też da się udowodnić (Leitner §51 robi to wprost z definicji).

Więcej zadań: Leitner §51 · GS 4.3.

4 Funkcja złożona i odwrotna

4.1 Reguła łańcuchowa: tempa się mnożą

Rower ma przekładnię. Gdy pedały obrócą się raz, koło zębate z tyłu obraca się 3 razy, a tylne koło obraca się razem z nim. Jeśli każdy obrót koła to 2 m drogi, to jeden obrót pedałów daje $3\cdot2 = 6$ m. Tempa zmian się mnożą. To cała reguła łańcuchowa.

Funkcja złożona $y = f(g(x))$ powstaje w dwóch krokach: $x \mapsto u = g(x) \mapsto y = f(u)$ . Przyrost $\Delta x$ wywołuje przyrost $\Delta u$ , a ten przyrost $\Delta y$ . Dla $\Delta u \neq 0$

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x} .

Reguła · funkcja złożona (łańcuchowa)

\big[f(g(x))\big]' = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x), \qquad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} .

Pochodna funkcji zewnętrznej, obliczona w punkcie $u = g(x)$ , razy pochodna funkcji wewnętrznej. Dla trzech ogniw: $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}v}\cdot\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$ .Leitner tw. 51.3, wzory (51.16)–(51.20)

Rachunek z ilorazami przyrostów nie jest jeszcze dowodem, bo $\Delta u$ może być zerem dla niektórych $\Delta x$ . Leitner obchodzi to, zapisując przyrost przez różniczkę, $\Delta y = f'(u)\,\Delta u + \alpha(\Delta u)\,\Delta u$ , gdzie $\alpha(\Delta u) \to 0$ i $\alpha(0) = 0$ . Dzięki temu wzór działa także wtedy, gdy $\Delta u = 0$ , a wynik jest ten sam.

Najczęstsze przypadki w fizyce:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sin\omega t = \omega\cos\omega t, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e^{-t/\tau} = -\frac1\tau\,e^{-t/\tau}, \qquad (e^{kx})' = k\,e^{kx}, \qquad \big((ax + b)^n\big)' = n\,a\,(ax + b)^{n-1} .

W każdym z nich funkcja wewnętrzna jest liniowa, więc jej pochodna to po prostu współczynnik. Częstość kołowa (pulsacja) $\omega$ , w rad/s, mówi, jak szybko rośnie faza $\omega t$ , a stała czasowa $\tau$ (w sekundach) mówi, jak szybko zanika wykładnicza.

4.2 Pochodna funkcji odwrotnej

Wykres funkcji odwrotnej to odbicie wykresu w prostej $y = x$ . Odbicie zamienia miejscami przyrosty $\Delta x$ i $\Delta y$ , więc nachylenie przechodzi w swoją odwrotność:Leitner tw. 51.2

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{1}{\mathrm{d}y/\mathrm{d}x}, \qquad \text{o ile}\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \neq 0 .

Zakładamy, że $f$ jest ciągła i ściśle monotoniczna na przedziale. Wtedy funkcja odwrotna istnieje i jest ciągła, a wzór działa w punktach, w których $f' \neq 0$ . Gdy styczna do $f$ jest pozioma, styczna do funkcji odwrotnej jest pionowa i pochodna odwrotnej nie istnieje. Tak jest z $\sqrt[3]x$ w zerze: to odwrotność $x^3$ , a $(x^3)' = 0$ w zerze.

Przykład 4.1 Logarytm i arcus tangens z funkcji odwrotnej

Wyprowadź $(\ln x)' = \dfrac1x$ i $(\arctan x)' = \dfrac{1}{1 + x^2}$ ze wzoru na pochodną funkcji odwrotnej.

$y = \ln x \iff x = e^y$ . Stąd $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = e^y = x$ , więc $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{1}{x}$ .
$y = \arctan x \iff x = \tan y$ dla $y \in \left(-\tfrac\pi2,\ \tfrac\pi2\right)$ . Stąd $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = 1 + \tan^2y = 1 + x^2$ .
Odwracamy: $(\arctan x)' = \dfrac{1}{1 + x^2}$ .

Wynik: $(\ln x)' = \dfrac1x$ dla $x > 0$ ; $(\arctan x)' = \dfrac{1}{1 + x^2}$ dla wszystkich $x$ .

Sprawdzenie: $\arctan$ jest rosnąca, więc pochodna powinna być dodatnia ✓. Dla dużych $|x|$ wykres się spłaszcza (dąży do $\pm\tfrac\pi2$ ), więc pochodna powinna dążyć do zera ✓.

Teraz możemy też domknąć wzór na potęgę. Dla $x > 0$ zapisujemy $x^r = e^{r\ln x}$ i stosujemy regułę łańcuchową: $(x^r)' = e^{r\ln x}\cdot\dfrac rx = r\,x^{r-1}$ . Działa to dla każdego rzeczywistego $r$ . Tak samo $a^x = e^{x\ln a}$ daje $(a^x)' = a^x\ln a$ .Leitner §51

4.3 Różniczkowanie równania (funkcja uwikłana)

Okrąg $x^2 + y^2 = 25$ nie jest wykresem jednej funkcji, ale w pobliżu większości swoich punktów jest. Nie musimy wyliczać $y$ . Wystarczy zróżniczkować całe równanie po $x$ , pamiętając, że $y$ zależy od $x$ , więc $(y^2)' = 2y\,y'$ z reguły łańcuchowej:

2x + 2y\,y' = 0 \quad\Longrightarrow\quad y' = -\frac{x}{y} .

W punkcie $(3,\ 4)$ nachylenie stycznej wynosi $-\tfrac34$ . Sprawdzenie wprost: $y = \sqrt{25 - x^2}$ , $y' = -\dfrac{x}{\sqrt{25 - x^2}} = -\tfrac34$ ✓. Styczna jest prostopadła do promienia o nachyleniu $\tfrac43$ , bo $\left(-\tfrac34\right)\cdot\tfrac43 = -1$ . Ten sam chwyt, zastosowany do równań, w których zmienne zależą od czasu, to tempa powiązane z części 7.

4.4 Pochodna logarytmiczna

Gdy funkcja jest iloczynem potęg albo ma zmienną w wykładniku, łatwiej najpierw ją zlogarytmować. Pochodna $\big(\ln y\big)' = \dfrac{y'}{y}$ to pochodna logarytmiczna, czyli względne tempo zmian. Na przykład dla $y = x^x$ (z $x > 0$ ):Leitner przykł. 51.5

\ln y = x\ln x \quad\Longrightarrow\quad \frac{y'}{y} = \ln x + 1 \quad\Longrightarrow\quad (x^x)' = x^x(\ln x + 1).

Wzór Feynmana z części 3.3 to ten sam rachunek: $\ln(u^av^bw^c) = a\ln u + b\ln v + c\ln w$ , a potem różniczkujemy obie strony.

Przykład 4.2 Barometr w balonie

Ciśnienie atmosferyczne maleje z wysokością w przybliżeniu jak $p(h) = p_0\,e^{-h/H}$ , gdzie $p_0 = 101\,325$ Pa, a $H \approx 8$ km. Balon wznosi się ze stałą prędkością $5$ m/s. Jak szybko spada ciśnienie odczytywane na pokładzie tuż po starcie i na wysokości 8 km?

Ciśnienie zależy od wysokości, a wysokość od czasu: $p(h(t))$ . Reguła łańcuchowa: $\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}h}\cdot\dfrac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}$ .
$\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}h} = -\dfrac{p}{H}$ , a $\dfrac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t} = 5$ m/s.
Przy ziemi: $-\dfrac{101\,325}{8000}\cdot5 \approx -63$ Pa/s. Na wysokości $H$ ciśnienie jest $e$ razy mniejsze, więc tempo też: ok. $-23$ Pa/s.

Wynik: ok. $63$ Pa/s przy starcie i ok. $23$ Pa/s na wysokości 8 km.

Sprawdzenie: jednostki $\dfrac{\mathrm{Pa}}{\mathrm m}\cdot\dfrac{\mathrm m}{\mathrm s} = \mathrm{Pa/s}$ ✓. Gradient ciśnienia przy ziemi to ok. $12{,}7$ Pa na metr, czyli mniej więcej 1 hPa na 8 m. Taka jest znana reguła z meteorologii ✓.

Zadania · część 4

6 zadań · ok. 45 min

Oblicz pochodne: (a) $\sin(3x^2)$ , (b) $e^{-t^2}$ (po $t$ ), (c) $\sqrt{1 + 4x}$ , (d) $\ln(\cos x)$ .

Odpowiedź
(a) $6x\cos(3x^2)$ ; (b) $-2t\,e^{-t^2}$ ; (c) $\dfrac{4}{2\sqrt{1 + 4x}} = \dfrac{2}{\sqrt{1 + 4x}}$ ; (d) $\dfrac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$ .
Wyprowadź $(\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ ze wzoru na pochodną funkcji odwrotnej. Dlaczego w pierwiastku bierzemy znak plus?

Odpowiedź
$x = \sin y$ dla $y \in \left[-\tfrac\pi2,\ \tfrac\pi2\right]$ , $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \cos y = \sqrt{1 - \sin^2y} = \sqrt{1 - x^2}$ . Znak plus, bo na tym przedziale $\cos y \ge 0$ . Wzór działa dla $|x| < 1$ . Na końcach przedziału styczna do $\arcsin$ jest pionowa.
Natężenie światła w wodzie maleje z głębokością jak $I(x) = I_0e^{-\mu x}$ , gdzie $\mu = 0{,}5\ \mathrm{m^{-1}}$ . Oblicz $\dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}x}$ na głębokości $x = 2$ m, jako ułamek $I_0$ . Nurek schodzi w dół z prędkością $0{,}3$ m/s. Jak szybko maleje natężenie, które widzi?

Odpowiedź
$\dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}x} = -\mu I_0e^{-\mu x} = -0{,}5\,e^{-1}I_0 \approx -0{,}184\,I_0$ na metr. Dla nurka: $\dot I = \dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}x}\cdot\dot x \approx -0{,}184\cdot0{,}3 \approx -0{,}055\,I_0$ na sekundę.
Wyznacz nachylenie stycznej do elipsy $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ w punkcie $\left(2,\ \tfrac{3\sqrt3}{2}\right)$ , różniczkując równanie stronami.

Odpowiedź
$\dfrac{2x}{16} + \dfrac{2y\,y'}{9} = 0$ , więc $y' = -\dfrac{9x}{16y} = -\dfrac{18}{24\sqrt3} = -\dfrac{\sqrt3}{4} \approx -0{,}433$ .
Za pomocą pochodnej logarytmicznej oblicz $(x^x)'$ . Dla jakiego $x > 0$ funkcja $x^x$ ma poziomą styczną? Ile wynosi wtedy jej wartość?

Odpowiedź
$(x^x)' = x^x(\ln x + 1) = 0 \iff \ln x = -1 \iff x = 1/e \approx 0{,}368$ . Wartość $e^{-1/e} \approx 0{,}692$ . To najmniejsza wartość $x^x$ dla $x > 0$ .
Funkcja $f$ jest rosnąca i różniczkowalna, $f(2) = 5$ , $f'(2) = 4$ . Ile wynosi $(f^{-1})'(5)$ ? Napisz równanie stycznej do wykresu $f^{-1}$ w punkcie $(5,\ 2)$ i wyjaśnij geometrycznie, dlaczego jest to odbicie stycznej do $f$ w punkcie $(2,\ 5)$ .

Odpowiedź
$(f^{-1})'(5) = \dfrac{1}{f'(2)} = \dfrac14$ . Styczna: $y = 2 + \tfrac14(x - 5)$ . Styczna do $f$ to $y = 5 + 4(x - 2)$ . Zamiana $x \leftrightarrow y$ daje $x = 5 + 4(y - 2)$ , czyli $y = 2 + \tfrac14(x - 5)$ . Odbicie w prostej $y = x$ zamienia role osi, więc styczne też się odbijają, a nachylenie przechodzi w odwrotność.

Więcej zadań: Leitner §51 · GS 4.3.

5 Pochodne po czasie

5.1 Położenie, prędkość, przyspieszenie

Ciało porusza się po prostej, a $x(t)$ to jego położenie. Prędkość to tempo zmian położenia, a przyspieszenie to tempo zmian prędkości. Pochodną pochodnej nazywamy pochodną drugiego rzędu:FLP I-8-5 · Leitner §49, §60

v = \dot x = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}, \qquad a = \dot v = \ddot x = \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} .

Zapis $\dfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}$ czytamy „d dwa x po d t kwadrat”. Pochodną trzeciego rzędu położenia, czyli tempo zmian przyspieszenia, inżynierowie nazywają zrywem (ang. jerk). Projektanci wind i torów kolejowych dbają, żeby był mały, bo nagła zmiana przyspieszenia jest dla pasażerów nieprzyjemna.

Z wykresu $x(t)$ odczytasz wszystko jakościowo:

Znak $v$ to kierunek ruchu. Ciało stoi (chwilowo), gdy $v = 0$ : styczna do $x(t)$ jest pozioma.
Znak $a$ mówi, w którą stronę wykres $x(t)$ się wygina: do góry, gdy $a > 0$ , w dół, gdy $a < 0$ .
Ciało przyspiesza, gdy $v$ i $a$ mają ten sam znak, a hamuje, gdy przeciwne. Ujemne przyspieszenie nie zawsze oznacza hamowanie.

5.2 Droga to nie to samo co przemieszczenie

Przemieszczenie w przedziale czasu to $x(t_2) - x(t_1)$ . Droga to suma długości wszystkich odcinków, które ciało przebyło. Jeśli ciało w międzyczasie zawraca (czyli $v$ zmienia znak), droga jest większa od wartości przemieszczenia. Żeby ją policzyć, trzeba znaleźć chwile, w których $v = 0$ , i dodać wartości bezwzględne przemieszczeń w każdym kawałku.

Przykład 5.1 Ruch, który dwa razy zawraca

Położenie ciała to $x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ (SI). Wyznacz $v(t)$ i $a(t)$ . Kiedy ciało stoi? Kiedy przyspiesza, a kiedy hamuje? Oblicz przemieszczenie i drogę w przedziale $[0;\ 4]$ s.

$v = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3)$ , $\ a = 6t - 12$ .
$v = 0$ dla $t = 1$ s i $t = 3$ s. Ruch w przód dla $t < 1$ i $t > 3$ , wstecz dla $1 < t < 3$ . Zmiana znaku $a$ w $t = 2$ s.
Znaki: $(0;\ 1)$ : $v > 0$ , $a < 0$ , hamuje; $(1;\ 2)$ : $v < 0$ , $a < 0$ , przyspiesza (wstecz); $(2;\ 3)$ : $v < 0$ , $a > 0$ , hamuje; $t > 3$ : $v > 0$ , $a > 0$ , przyspiesza.
$x(0) = 0$ , $x(1) = 4$ , $x(3) = 0$ , $x(4) = 4$ m. Przemieszczenie $x(4) - x(0) = 4$ m. Droga $4 + 4 + 4 = 12$ m.

Wynik: ciało stoi w chwilach 1 s i 3 s; przemieszczenie 4 m, droga 12 m.

Sprawdzenie: największa prędkość wstecz jest wtedy, gdy $a = 0$ , czyli w $t = 2$ s: $v(2) = -3$ m/s. Ten ruch jest pierwszym wariantem w symulacji 5 ✓

Przykład 5.2 Membrana głośnika

Membrana głośnika drga jak $x(t) = A\cos\omega t$ z amplitudą $A = 0{,}1$ mm przy częstotliwości $f = 1$ kHz. Wyznacz $v(t)$ , $a(t)$ i ich największe wartości. Porównaj przyspieszenie z $g$ .

Reguła łańcuchowa: $v = -A\omega\sin\omega t$ , $\ a = -A\omega^2\cos\omega t = -\omega^2x$ .
$\omega = 2\pi f \approx 6283\ \mathrm{s^{-1}}$ . $\ v_\text{max} = A\omega \approx 0{,}63$ m/s.
$a_\text{max} = A\omega^2 = 10^{-4}\cdot6283^2 \approx 3950\ \mathrm{m/s^2} \approx 400\,g$ .

Wynik: $v_\text{max} \approx 0{,}63$ m/s, $a_\text{max} \approx 3{,}9\cdot10^3\ \mathrm{m/s^2}$ , czyli ok. $400\,g$ .

Sprawdzenie: każde różniczkowanie dokłada czynnik $\omega$ . Przy dużej częstotliwości nawet bardzo mała amplituda daje ogromne przyspieszenie. Dlatego membrany głośników, zwłaszcza wysokotonowych, muszą być bardzo lekkie ✓

Zadania · część 5

5 zadań · ok. 40 min

$x(t) = 2t^3 - 9t^2 + 12t$ (SI). Wyznacz chwile, w których ciało stoi, i chwilę, w której przyspieszenie jest zerowe.

Odpowiedź
$v = 6t^2 - 18t + 12 = 6(t - 1)(t - 2)$ : ciało stoi w $t = 1$ s i $t = 2$ s. $a = 12t - 18 = 0$ dla $t = 1{,}5$ s.
Piłkę rzucono pionowo w górę: $h(t) = 15t - 5t^2$ (SI, przyjmujemy $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ ). Kiedy osiągnie największą wysokość i jaką? Z jaką prędkością spadnie na ziemię? Ile wynosi przyspieszenie w najwyższym punkcie?

Odpowiedź
$v = 15 - 10t = 0$ dla $t = 1{,}5$ s, $h_\text{max} = 11{,}25$ m. Upadek w $t = 3$ s, $v = -15$ m/s. Przyspieszenie wynosi $-10\ \mathrm{m/s^2}$ przez cały czas, także w najwyższym punkcie.
Kulka spada w powietrzu. Przyjmij prosty model oporu proporcjonalnego do prędkości: $v(t) = v_\infty\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$ . Oblicz $a(t)$ . Na początku kulka spada swobodnie, więc $a(0) = g$ . Wyznacz stąd $\tau$ dla $v_\infty = 50$ m/s i $g = 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$ . Po jakim czasie przyspieszenie spadnie do $g/2$ i jaka jest wtedy prędkość?

Odpowiedź
$a = \dfrac{v_\infty}{\tau}e^{-t/\tau}$ , $a(0) = \dfrac{v_\infty}{\tau} = g$ , więc $\tau = \dfrac{v_\infty}{g} \approx 5{,}1$ s. $a = g/2$ dla $e^{-t/\tau} = \tfrac12$ , czyli $t = \tau\ln2 \approx 3{,}5$ s. Wtedy $v = v_\infty/2 = 25$ m/s.
Czasem znamy prędkość jako funkcję położenia, a nie czasu. Wykaż regułą łańcuchową, że wtedy $a = v\,\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$ . Sprawdź wzór na spadku swobodnym z zerową prędkością początkową, gdzie $v = \sqrt{2gx}$ ( $x$ mierzymy w dół).

Odpowiedź
$a = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\cdot\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = v\,\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$ . Dla $v = \sqrt{2gx}$ : $\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} = \dfrac{2g}{2\sqrt{2gx}}$ , więc $a = \sqrt{2gx}\cdot\dfrac{g}{\sqrt{2gx}} = g$ ✓.
Wykaż, że w ruchu ze stałym przyspieszeniem, $x(t) = x_0 + v_0t + \tfrac12at^2$ , prędkość średnia w dowolnym przedziale $[t_1;\ t_2]$ jest równa prędkości chwilowej w środku przedziału. Czy to prawda dla $x(t) = t^3$ ?

Odpowiedź
$\dfrac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1} = v_0 + \tfrac12a(t_1 + t_2) = v\left(\tfrac{t_1 + t_2}{2}\right)$ . Dla $t^3$ nie: w przedziale $[0;\ 2]$ prędkość średnia to $\tfrac82 = 4$ , a $v(1) = 3$ . Przy stałym przyspieszeniu wykres $v(t)$ jest prostą, więc średnia równa się wartości w środku. To uzasadnia metodę połowy kroku (zob. Dział 1: Ruch i jego przyczyny, §6.2).

Więcej zadań: Leitner §49, §60.

6 Pochodna wektora

6.1 Różniczkujemy po składowych

Wektor położenia $\vec r(t)$ zmienia się w czasie. Prędkość to granica $\dfrac{\Delta\vec r}{\Delta t}$ , a wektory odejmujemy i dzielimy przez liczbę po składowych. Dlatego pochodną wektora liczymy po składowych:FLP I-9-2…9-3

\vec r = [x,\ y,\ z] \quad\Longrightarrow\quad \vec v = \dot{\vec r} = [\dot x,\ \dot y,\ \dot z], \qquad \vec a = \dot{\vec v} = [\ddot x,\ \ddot y,\ \ddot z] .

Wersory osi $\vec\imath$ , $\vec\jmath$ , $\vec k$ są stałe, więc ich pochodne są zerowe. Wektor $\Delta\vec r$ to cięciwa toru, a przy $\Delta t \to 0$ jej kierunek dąży do kierunku stycznej. Prędkość jest zawsze styczna do toru. Szybkość to długość (wartość) wektora prędkości, $|\vec v| = \sqrt{\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2}$ .

Reguły iloczynu działają tak samo dla iloczynów wektorów. Dowód to reguła iloczynu zastosowana do każdej składowej:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(f\,\vec a) = \dot f\,\vec a + f\,\dot{\vec a}, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec a\cdot\vec b) = \dot{\vec a}\cdot\vec b + \vec a\cdot\dot{\vec b}, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec a\times\vec b) = \dot{\vec a}\times\vec b + \vec a\times\dot{\vec b} .

W iloczynie wektorowym trzeba zachować kolejność czynników, bo zamiana zmienia znak.

6.2 Wektor o stałej długości jest prostopadły do swojej pochodnej

To fakt zapowiedziany na końcu lekcji o wektorach (1.1 Wektory). Jeśli $|\vec u(t)|$ jest stała, to $\vec u\cdot\vec u = \text{const}$ . Różniczkujemy:

0 = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec u\cdot\vec u) = 2\,\vec u\cdot\dot{\vec u} \quad\Longrightarrow\quad \vec u\perp\dot{\vec u} .

Wektor stałej długości może się tylko obracać, a jego zmiana jest prostopadła do niego samego. Dwa zastosowania wynikają od razu:

Ruch po okręgu: $|\vec r| = R$ , więc prędkość jest prostopadła do promienia.
Ruch ze stałą szybkością po dowolnym torze: $|\vec v| = \text{const}$ , więc przyspieszenie jest prostopadłe do prędkości. Ciało skręca, ale nie rozpędza się ani nie zwalnia.

W ruchu jednostajnym po okręgu $\vec r = R\,[\cos\omega t,\ \sin\omega t]$ dostajemy $\vec v = R\omega\,[-\sin\omega t,\ \cos\omega t]$ i $\vec a = -\omega^2\vec r$ . Przyspieszenie jest skierowane do środka i ma wartość $\omega^2R = v^2/R$ . Tak wygląda przyspieszenie dośrodkowe (zob. Dział 1: Ruch i jego przyczyny, §3), wyprowadzone w trzech linijkach.

6.3 Przyspieszenie styczne i normalne

W ogólnym ruchu przyspieszenie rozkładamy na dwie części. Składowa wzdłuż prędkości, czyli przyspieszenie styczne, zmienia szybkość. Składowa prostopadła, czyli przyspieszenie normalne, zmienia kierunek ruchu:

a_t = \frac{\vec a\cdot\vec v}{|\vec v|} = \frac{\mathrm{d}|\vec v|}{\mathrm{d}t}, \qquad a_n = \sqrt{|\vec a|^2 - a_t^2} = \frac{v^2}{\rho} .

Tu $\rho$ to promień krzywizny, czyli promień okręgu ściśle stycznego do toru (okręgu krzywizny) w danym punkcie. Wzór $a_t = \mathrm{d}|\vec v|/\mathrm{d}t$ wynika z $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec v\cdot\vec v) = 2\,\vec v\cdot\vec a$ .

Przykład 6.1 Punkt na obręczy toczącego się koła

Koło o promieniu $R = 0{,}3$ m toczy się bez poślizgu, a jego oś porusza się z prędkością $10$ m/s. Punkt na obręczy zakreśla cykloidę $\vec r(t) = R\,[\omega t - \sin\omega t,\ 1 - \cos\omega t]$ , gdzie $\omega = v/R$ . Wyznacz prędkość i przyspieszenie tego punktu. Ile wynosi szybkość w najniższym i w najwyższym punkcie?

Punkt obręczy: w dole stoi, u góry jedzie dwa razy szybciej niż oś

$\omega = \dfrac{10}{0{,}3} \approx 33{,}3$ rad/s. Różniczkujemy po składowych: $\vec v = R\omega\,[1 - \cos\omega t,\ \sin\omega t]$ .
$|\vec v|^2 = R^2\omega^2\left(2 - 2\cos\omega t\right) = 4R^2\omega^2\sin^2\tfrac{\omega t}{2}$ , więc $|\vec v| = 2R\omega\left|\sin\tfrac{\omega t}{2}\right|$ .
Na dole ( $\omega t = 0$ ): $|\vec v| = 0$ . Na górze ( $\omega t = \pi$ ): $|\vec v| = 2R\omega = 20$ m/s.
$\vec a = R\omega^2\,[\sin\omega t,\ \cos\omega t]$ , $|\vec a| = R\omega^2 = \dfrac{v^2}{R} \approx 333\ \mathrm{m/s^2}$ . Oś koła jest w punkcie $[R\omega t,\ R]$ , więc $\vec r - \vec r_\text{oś} = -R\,[\sin\omega t,\ \cos\omega t]$ , a przyspieszenie wskazuje zawsze na oś.

Wynik: na dole punkt chwilowo stoi, u góry ma prędkość 20 m/s. Przyspieszenie ma stałą wartość ok. $333\ \mathrm{m/s^2}$ (ok. $34\,g$ ) i jest skierowane do osi koła.

Sprawdzenie: w układzie związanym z osią koła punkt krąży ruchem jednostajnym, a oś jedzie ze stałą prędkością. Przyspieszenie musi więc być dośrodkowe, $v^2/R$ ✓. Na dole $\vec a$ wskazuje w górę, choć prędkość jest zerowa. Zero prędkości nie oznacza zera przyspieszenia.

Zadania · część 6

6 zadań · ok. 50 min

$\vec r(t) = [2t,\ t^2,\ 1 - t]$ (SI). Wyznacz $\vec v(t)$ , $\vec a(t)$ i szybkość w chwili $t = 1$ s.

Odpowiedź
$\vec v = [2,\ 2t,\ -1]$ , $\vec a = [0,\ 2,\ 0]$ . W $t = 1$ : $|\vec v| = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3$ m/s.
Wirówka o promieniu $0{,}5$ m wykonuje 120 obrotów na minutę. Oblicz $\omega$ , szybkość próbki na brzegu i jej przyspieszenie dośrodkowe.

Odpowiedź
$\omega = 2\pi\cdot2 = 4\pi \approx 12{,}57$ rad/s, $v = \omega R \approx 6{,}28$ m/s, $a = \omega^2R \approx 79\ \mathrm{m/s^2} \approx 8\,g$ .
Ciało porusza się po elipsie $\vec r = [3\cos t,\ 2\sin t]$ . W których punktach szybkość jest największa, a w których najmniejsza? Gdzie przyspieszenie ma największą wartość? Sprawdź w symulacji 6.

Odpowiedź
$\vec v = [-3\sin t,\ 2\cos t]$ , $|\vec v|^2 = 9\sin^2t + 4\cos^2t$ . Największa szybkość 3 w punktach $(0,\ \pm2)$ , najmniejsza 2 w punktach $(\pm3,\ 0)$ . $\vec a = -\vec r$ , więc $|\vec a|$ jest największe (równe 3) w punktach $(\pm3,\ 0)$ , czyli tam, gdzie ciało jest najwolniejsze, a tor najbardziej zakrzywiony.
Kamień rzucono z prędkością $v_0 = 20$ m/s pod kątem $60^\circ$ do poziomu ( $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ ). Zapisz $\vec r(t)$ , $\vec v(t)$ i znajdź chwilę, w której szybkość jest najmniejsza. Ile wtedy wynosi?

Odpowiedź
$\vec r = [10t,\ 10\sqrt3\,t - 5t^2]$ , $\vec v = [10,\ 10\sqrt3 - 10t]$ . $|\vec v|^2 = 100 + (10\sqrt3 - 10t)^2$ jest najmniejsze dla $t = \sqrt3 \approx 1{,}73$ s (najwyższy punkt). Szybkość wynosi wtedy $10$ m/s.
Dla kamienia z poprzedniego zadania oblicz przyspieszenie styczne i normalne tuż po wyrzuceniu oraz promień krzywizny toru w punkcie wyrzutu i w najwyższym punkcie.

Wskazówka
$\vec a = [0,\ -10]$ cały czas. Rozłóż je na kierunek $\vec v$ i kierunek prostopadły, potem użyj $a_n = v^2/\rho$ .

Odpowiedź
Na starcie $\hat v = [\cos60^\circ,\ \sin60^\circ]$ : $a_t = \vec a\cdot\hat v = -10\sin60^\circ \approx -8{,}66\ \mathrm{m/s^2}$ (kamień zwalnia), $a_n = 10\cos60^\circ = 5\ \mathrm{m/s^2}$ , $\rho = \dfrac{400}{5} = 80$ m. W najwyższym punkcie $a_t = 0$ , $a_n = 10\ \mathrm{m/s^2}$ , $\rho = \dfrac{100}{10} = 10$ m. Tor jest tam zakrzywiony najsilniej.
Wykaż, że $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec r\times\vec v) = \vec r\times\vec a$ . Wywnioskuj, że jeśli siła działająca na ciało jest zawsze skierowana do jednego punktu (siła centralna, np. grawitacja Słońca), to moment pędu $\vec L = m\,\vec r\times\vec v$ jest stały.

Odpowiedź
$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec r\times\vec v) = \vec v\times\vec v + \vec r\times\vec a = \vec r\times\vec a$ , bo $\vec v\times\vec v = \vec 0$ . Dla siły centralnej $\vec a\parallel\vec r$ , więc $\vec r\times\vec a = \vec 0$ i $\dot{\vec L} = \vec 0$ . Stąd ruch planety odbywa się w jednej płaszczyźnie i obowiązuje drugie prawo Keplera.

7 Tempa powiązane

Tak nazywamy zadania o powiązanych szybkościach zmian. Często dwie wielkości są związane równaniem i obie zmieniają się w czasie. Znamy tempo zmian jednej, a szukamy tempa drugiej. Przepis jest zawsze taki sam:

Zapisz równanie wiążące wielkości, które się zmieniają. Najczęściej daje je geometria: twierdzenie Pitagorasa, trójkąty podobne, wzór na objętość.
Zróżniczkuj całe równanie po czasie, regułą łańcuchową, jak w części 4.3. Na przykład $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(x^2) = 2x\,\dot x$ .
Dopiero teraz wstaw liczby i wylicz szukane tempo.

Kolejność kroków 2 i 3 jest ważna. Gdy wstawisz liczby przed różniczkowaniem, „zamrozisz” zmienne i pochodna wyjdzie zero.

Przykład 7.1 Napełnianie zbiornika w kształcie stożka

Zbiornik ma kształt stożka ustawionego wierzchołkiem w dół: promień podstawy 1 m, wysokość 2 m. Woda wpływa z wydatkiem $0{,}05\ \mathrm{m^3/min}$ . Jak szybko podnosi się lustro wody, gdy głębokość wynosi 1 m?

Woda w stożku: promień lustra jest proporcjonalny do głębokości

Z trójkątów podobnych promień lustra to $r = \tfrac12h$ . Objętość wody $V = \tfrac13\pi r^2h = \dfrac{\pi h^3}{12}$ .
Różniczkujemy po czasie: $\dot V = \dfrac{\pi h^2}{4}\,\dot h$ .
Wstawiamy: $\dot h = \dfrac{4\dot V}{\pi h^2} = \dfrac{4\cdot0{,}05}{\pi\cdot1} \approx 0{,}064$ m/min.

Wynik: lustro podnosi się o ok. 6,4 cm na minutę.

Sprawdzenie: $\dot V = (\text{pole lustra})\cdot\dot h$ , a pole lustra przy $h = 1$ m to $\pi\cdot0{,}5^2 \approx 0{,}785\ \mathrm{m^2}$ . $0{,}05/0{,}785 \approx 0{,}064$ ✓. Im wyżej woda, tym szersze lustro i tym wolniej rośnie poziom.

Przykład 7.2 Samolot na radarze

Samolot leci poziomo na wysokości 3 km z prędkością 600 km/h. Jego trasa przechodzi dokładnie nad radarem. Jak szybko rośnie odległość samolotu od radaru, gdy wynosi ona 5 km, a samolot już minął radar?

Odległość s rośnie wolniej niż odległość pozioma x

$x$ to odległość pozioma od radaru, $s$ to odległość w linii prostej: $s^2 = x^2 + 3^2$ .
Różniczkujemy: $2s\,\dot s = 2x\,\dot x$ , więc $\dot s = \dfrac{x}{s}\,\dot x$ .
Dla $s = 5$ km: $x = 4$ km, $\dot s = \tfrac45\cdot600 = 480$ km/h.

Wynik: odległość rośnie w tempie 480 km/h.

Sprawdzenie: $x/s = \cos\theta$ , gdzie $\theta$ to kąt między trasą a linią widzenia. Radar mierzy tylko składową prędkości wzdłuż linii widzenia: $\vec v\cdot\hat s$ ✓. Tuż nad radarem ( $x = 0$ ) odległość chwilowo się nie zmienia, a daleko $\dot s \to 600$ km/h ✓

Zadania · część 7

6 zadań · ok. 45 min

Kula śnieżna topnieje, tracąc $10\ \mathrm{cm^3}$ objętości na minutę i pozostając kulą. Jak szybko maleje jej promień, gdy wynosi 5 cm?

Odpowiedź
$\dot V = 4\pi r^2\dot r$ , więc $\dot r = \dfrac{-10}{4\pi\cdot25} \approx -0{,}032$ cm/min.
Na wodzie rozchodzi się kolista fala, której promień rośnie w tempie $0{,}3$ m/s. Jak szybko rośnie pole koła, gdy promień wynosi 2 m?

Odpowiedź
$\dot P = 2\pi r\,\dot r = 2\pi\cdot2\cdot0{,}3 \approx 3{,}77\ \mathrm{m^2/s}$ . To obwód razy prędkość brzegu.
Samochód jedzie od skrzyżowania na północ z prędkością $20$ m/s, a pociąg oddala się od tego samego skrzyżowania na wschód z prędkością $30$ m/s. Jak szybko rośnie odległość między nimi, gdy samochód jest 60 m, a pociąg 80 m od skrzyżowania?

Odpowiedź
$s^2 = x^2 + y^2$ , $s = 100$ m, $\dot s = \dfrac{x\dot x + y\dot y}{s} = \dfrac{80\cdot30 + 60\cdot20}{100} = 36$ m/s.
Przedmiot zbliża się do soczewki skupiającej o ogniskowej $f = 10$ cm z prędkością $2$ cm/s. Odległości przedmiotu $x$ i obrazu $y$ od soczewki spełniają równanie $\dfrac1x + \dfrac1y = \dfrac1f$ . Jak szybko i w którą stronę przesuwa się obraz, gdy $x = 30$ cm?

Odpowiedź
$y = 15$ cm. Różniczkujemy: $-\dfrac{\dot x}{x^2} - \dfrac{\dot y}{y^2} = 0$ , więc $\dot y = -\dfrac{y^2}{x^2}\dot x = -\dfrac{225}{900}\cdot(-2) = +0{,}5$ cm/s. Obraz oddala się od soczewki z prędkością $0{,}5$ cm/s.
Gaz sprężamy adiabatycznie, czyli tak, że $pV^\gamma = \text{const}$ , gdzie $\gamma = 1{,}4$ . Przy $p = 100$ kPa i $V = 2$ L objętość maleje w tempie $0{,}1$ L/s. Jak szybko rośnie ciśnienie? Porównaj z przemianą izotermiczną ( $pV = \text{const}$ ).

Odpowiedź
$\dot p\,V^\gamma + p\,\gamma V^{\gamma - 1}\dot V = 0$ , więc $\dot p = -\gamma\dfrac{p}{V}\dot V = 1{,}4\cdot\dfrac{100}{2}\cdot0{,}1 = 7$ kPa/s. W przemianie izotermicznej $5$ kPa/s, czyli $\gamma$ razy mniej.
Drabina o długości 5 m zsuwa się tak, że dolny koniec oddala się od ściany z prędkością $0{,}5$ m/s. Jak szybko maleje kąt $\theta$ między drabiną a podłogą, gdy dolny koniec jest 3 m od ściany? Odpowiedz w rad/s i w stopniach na sekundę.

Odpowiedź
$\cos\theta = x/5$ , więc $-\sin\theta\,\dot\theta = \dot x/5$ . Dla $x = 3$ : $\sin\theta = 0{,}8$ , $\dot\theta = -\dfrac{0{,}5}{5\cdot0{,}8} = -0{,}125$ rad/s $\approx -7{,}2^\circ$ /s.

8 Błędne intuicje

Większość błędów przy pochodnych nie bierze się z nieznajomości tabeli, tylko z fałszywego obrazu. Oto najczęstsze.

„Pochodna iloczynu to iloczyn pochodnych.”: $(uv)' = u'v + uv'$ . Iloczyn pochodnych $u'v'$ odpowiada narożnikowi $\Delta u\,\Delta v$ na rysunku prostokąta, czyli dokładnie tej części, która w granicy znika (część 3.2).
„Skoro prędkość jest zerowa, przyspieszenie też jest zerowe.”: W najwyższym punkcie rzutu w górę $v = 0$ , a $a = -g$ . Punkt obręczy toczącego się koła na dole stoi, a jego przyspieszenie wynosi $v^2/R$ (przykład 6.1). Zero wartości nie oznacza zera tempa zmian.
„Ujemne przyspieszenie to hamowanie.”: Hamowanie oznacza, że $v$ i $a$ mają przeciwne znaki. Ciało jadące wstecz ( $v < 0$ ) z $a < 0$ przyspiesza (przykład 5.1).
„ $(\sin x)' = \cos x$ niezależnie od jednostek kąta.”: Tylko w radianach. Dla kąta w stopniach pojawia się czynnik $\pi/180$ (część 2.2).
„Funkcja ciągła ma pochodną.”: Na odwrót: funkcja z pochodną jest ciągła. Funkcja $|x|$ jest ciągła w zerze, a pochodnej tam nie ma. Istnieją nawet funkcje ciągłe, które nie mają pochodnej w żadnym punkcie.
„Styczna ma z wykresem tylko jeden punkt wspólny i go nie przecina.”: Styczna do $y = x^3$ w zerze to oś $x$ , a wykres ją przecina. Styczna do sinusoidy w punkcie $\left(\tfrac\pi2,\ 1\right)$ dotyka wykresu nieskończenie wiele razy. Z kolei prosta pionowa przecina parabolę $y = x^2$ w jednym punkcie, ale nie jest do niej styczna. Styczna to graniczne położenie siecznych (GS 4.1.8).
„ $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ to zwykły ułamek, więc wolno go dowolnie skracać.”: To jeden symbol oznaczający granicę. W regule łańcuchowej i we wzorze na funkcję odwrotną zachowuje się jak ułamek i właśnie dlatego zapis Leibniza jest tak wygodny. Ale $\dfrac{\Delta s}{\Delta t}$ nie skraca się do $\dfrac{s}{t}$ , bo $\Delta$ nie jest czynnikiem (FLP I-8-3).
„W ruchu po krzywej przyspieszenie jest zawsze prostopadłe do prędkości.”: Tylko gdy szybkość jest stała. W ogólności przyspieszenie ma też część styczną, która zmienia szybkość (część 6.3, symulacja 6).

9 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź. Żadne z tych pytań nie wymaga długiego liczenia.

1 Biegaczka przebiegła 10 km w 50 minut. Czy w którejś chwili biegła dokładnie 12 km/h?

Musiała. Średnio biegła dokładnie 12 km/h, a prędkość zmienia się w sposób ciągły, więc w którejś chwili była dokładnie równa średniej. To twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej (Leitner §57, GS rozdz. 5).

2 Ile wynosi pochodna funkcji, której wykres jest poziomą prostą? A ukośną prostą

y = 3x - 7

Zero i 3. Pochodna to nachylenie stycznej, a styczna do prostej to ta sama prosta.

f'(x_0) = 0

. Czy

f

ma w

x_0

maksimum albo minimum?

Niekoniecznie. $x^3$ ma w zerze poziomą styczną, ale jest rosnąca. Pochodna zerowa to warunek konieczny ekstremum funkcji różniczkowalnej, ale nie wystarczający (1.4 Rachunek różniczkowy w praktyce).

4 Jaka funkcja jest równa swojej pochodnej?

$e^x$ , a ogólniej $C\,e^x$ dla dowolnej stałej $C$ . Na przedziale tylko takie: jeśli $f' = f$ , to $(f e^{-x})' = (f' - f)e^{-x} = 0$ , więc $f e^{-x}$ jest stała.

5 Dlaczego

(e^{3x})' = 3e^{3x}

, a nie

e^{3x}

Reguła łańcuchowa: funkcja wewnętrzna $3x$ rośnie trzy razy szybciej niż $x$ , więc całość też zmienia się trzy razy szybciej.

6 Ciało porusza się po okręgu, a jego szybkość rośnie. Czy przyspieszenie jest skierowane do środka?

Nie. Ma część dośrodkową $v^2/R$ i część styczną $\mathrm{d}|\vec v|/\mathrm{d}t$ skierowaną do przodu. Wypadkowa jest odchylona od promienia w stronę ruchu.

7 Wektor jednostkowy

\hat u(t)

obraca się. Jaki kąt tworzy z nim

\dot{\hat u}

Kąt prosty, bo $|\hat u| = 1$ jest stała, więc $\hat u\cdot\dot{\hat u} = 0$ (część 6.2).

8 W zadaniu o drabinie ktoś najpierw wstawił

x = 3

y = 4

do równania

x^2 + y^2 = 25

, a potem zróżniczkował po czasie. Co dostał?

$0 = 0$ , czyli nic. Po wstawieniu liczb równanie przestaje zależeć od czasu. Najpierw różniczkujemy, potem wstawiamy.

10 Karta wzorów i co dalej

Definicja i reguły

$f'(x_0) = \lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

styczna: $\;y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

$(c f)' = c f',\;\; (f \pm g)' = f' \pm g'$

$(uv)' = u'v + uv',\;\; \left(\dfrac uv\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$

$\big[f(g(x))\big]' = f'(g(x))\,g'(x),\;\; \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$

odwrotna: $\;\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = 1\Big/\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$

logarytmiczna: $\;\dfrac{y'}{y} = (\ln y)'$ ; $\;s = u^av^b \Rightarrow \dfrac{\dot s}{s} = a\dfrac{\dot u}{u} + b\dfrac{\dot v}{v}$

Tabela i ruch

$(x^r)' = rx^{r-1},\;\; (e^x)' = e^x,\;\; (\ln x)' = \dfrac1x$

$(\sin x)' = \cos x,\;\; (\cos x)' = -\sin x$ (radiany)

$(a^x)' = a^x\ln a,\;\; (\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2x}$

$(\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}},\;\; (\arctan x)' = \dfrac{1}{1 + x^2}$

$v = \dot x,\;\; a = \dot v = \ddot x,\;\; a = v\,\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$

$\vec v = [\dot x,\ \dot y,\ \dot z],\;\; |\vec u| = \text{const} \Rightarrow \vec u\perp\dot{\vec u}$

$a_t = \dfrac{\mathrm{d}|\vec v|}{\mathrm{d}t},\;\; a_n = \dfrac{v^2}{\rho}$ ; okrąg: $\vec a = -\omega^2\vec r$

Do przeczytania u Feynmana

Obowiązkowo: rozdz. 8 (całość, szczególnie 8-2 i 8-3: problem policjanta i prędkość jako pochodna).
Dla chętnych: 8-5 (przyspieszenie, pochodne drugiego rzędu), 9-2…9-3 (prędkość jako wektor, składowe), 9-6…9-7 (rozwiązywanie równań ruchu krok po kroku).

Do przeczytania w podręcznikach matematyki

R. Leitner, Zarys matematyki wyższej dla studiów technicznych, cz. I: §47 (definicja, pochodne z definicji), §48 (styczna, normalna, różniczkowanie graficzne), §49 (fizyczny sens pochodnej), §50 (ciągłość a różniczkowalność), §51 (reguły, funkcja odwrotna i złożona, pochodna logarytmiczna).
M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. Definicje, twierdzenia, wzory, rozdz. 4: precyzyjne definicje, pochodne jednostronne, tabela pochodnych i dużo ćwiczeń.

Po przybliżeniach i ekstremach (1.4 Rachunek różniczkowy w praktyce) przyjdą całki (1.5 Całki). Feynman stawia tam odwrotne pytanie: znamy prędkość w każdej chwili, ile wynosi droga? Odpowiedź to suma wielu iloczynów $v\,\Delta t$ , a związek z pochodną okaże się najważniejszym twierdzeniem całego rachunku.