1.2 Ciągi, granice i ciągłość · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Prolog: Achilles i żółw

Feynman przytacza paradoks Zenona. Achilles biegnie dziesięć razy szybciej niż żółw, który startuje 100 m przed nim. Gdy Achilles przebiegnie te 100 m, żółw jest 10 m dalej. Gdy Achilles przebiegnie 10 m, żółw jest metr dalej, potem 10 cm dalej i tak bez końca. Wniosek Zenona: żółw zawsze jest z przodu. Feynman odpowiada, że skończony odcinek czasu da się podzielić na nieskończenie wiele kawałków, tak jak odcinek dzieli się wciąż na pół. Nieskończenie wiele kroków w rozumowaniu nie oznacza nieskończenie długiego czasu.FLP I-8-2

Policzmy to. Achilles przebiega kolejno $100$ , $10$ , $1$ , $0{,}1$ , … metrów. Po kolejnych krokach ma za sobą

100,\quad 110,\quad 111,\quad 111{,}1,\quad 111{,}11,\quad \dots

Te liczby rosną z każdym krokiem, ale nigdy nie przekraczają $111{,}\overline{1} = 1000/9$ m (to suma ciągu geometrycznego, lekcja 0.2 Równania, nierówności, wielomiany i ułamki proste) i zbliżają się do tej wartości dowolnie blisko. Właśnie tam Achilles dogania żółwia. To samo daje prosty rachunek: przy prędkościach 10 m/s i 1 m/s z równania $10t = 100 + t$ wychodzi $t = 100/9$ s, czyli $1000/9$ m.

Pytanie na start. Co dokładnie znaczy „zbliżają się dowolnie blisko”? Jak to sprawdzić, nie wypisując nieskończenie wielu liczb? Odpowiedź w części 2.

1 Ciągi

Ciąg to ponumerowana lista liczb $a_1, a_2, a_3, \dots$ , czyli funkcja, która numerowi $n$ przypisuje liczbę $a_n$ (lekcja 0.1 Liczby, potęgi, logarytmy i funkcje elementarne). Ciąg można podać na dwa sposoby:

Wzorem ogólnym, np. $a_n = \dfrac1n$ : od razu policzysz dowolny wyraz.
Rekurencyjnie: pierwszy wyraz i przepis na następny z poprzedniego, np. $a_1 = 1$ , $a_{n+1} = \dfrac12\left(a_n + \dfrac{2}{a_n}\right)$ . Tak działa większość algorytmów numerycznych.

Dwa ciągi spotkasz wszędzie. Arytmetyczny ma stałą różnicę $r$ : $a_n = a_1 + (n - 1)r$ . Geometryczny ma stały iloraz $q$ : $a_n = a_1q^{n-1}$ . Odległości Achillesa to ciąg geometryczny z $q = 0{,}1$ , a wysokości odbić piłki, która za każdym razem traci tę samą część energii, też.

Ciąg jest rosnący, gdy $a_{n+1} > a_n$ dla każdego $n$ , i malejący, gdy $a_{n+1} < a_n$ . Jest ograniczony, gdy wszystkie wyrazy mieszczą się w jakimś przedziale $[m;\ M]$ .

Przykład 1.1 Jak policzyć $\sqrt2$ samym dzieleniem?

Znany od starożytności przepis (metoda Herona, zwana babilońską; jej odmiany działają dziś w bibliotekach numerycznych) to $a_{n+1} = \dfrac12\left(a_n + \dfrac{2}{a_n}\right)$ z $a_1 = 1$ . Policz kilka wyrazów i porównaj z $\sqrt2 = 1{,}414\,213\,562\ldots$

Pomysł: jeśli $a_n$ jest za duże, to $2/a_n$ jest za małe, więc średnia jest bliżej $\sqrt2$ .
$a_2 = \tfrac12(1 + 2) = 1{,}5$ ; $\;a_3 = \tfrac12(1{,}5 + 1{,}333\ldots) = 1{,}416\,67$ ; $\;a_4 = 1{,}414\,215\,7$ ; $\;a_5 = 1{,}414\,213\,562\,37$ .

Wynik: po czterech krokach 12 poprawnych cyfr. Błędy: $9\cdot10^{-2}$ , $2\cdot10^{-3}$ , $2\cdot10^{-6}$ , $2\cdot10^{-12}$ . Liczba poprawnych cyfr mniej więcej podwaja się w każdym kroku.

Sprawdzenie: $1{,}414\,213\,562\,37^2 = 2{,}000\,000\,000\,0$ ✓. To przypadek metody Newtona, którą poznasz w lekcji 6.2 Metody numeryczne: Python i C++.

Zadania · część 1

4 zadania · ok. 20 min

Wypisz pięć pierwszych wyrazów ciągów $a_n = \dfrac{n}{n + 1}$ i $b_n = (-1)^n$ . Który jest monotoniczny, a który ograniczony?

Odpowiedź
$\tfrac12, \tfrac23, \tfrac34, \tfrac45, \tfrac56$ : rosnący i ograniczony (między 0 a 1). $-1, 1, -1, 1, -1$ : ograniczony, nie jest monotoniczny.
Piłka spada z 2 m, a każde odbicie wynosi ją na 60% poprzedniej wysokości. Zapisz wzór na wysokość po $n$ -tym odbiciu. Po którym odbiciu wysokość spadnie poniżej 1 cm?

Odpowiedź
$h_n = 2\cdot0{,}6^n$ m. $\;0{,}6^n < 0{,}005$ dla $n > \tfrac{\ln0{,}005}{\ln0{,}6} \approx 10{,}4$ : po 11. odbiciu.
Policz trzy kroki przepisu z przykładu 1.1 dla $\sqrt{10}$ : $a_{n+1} = \tfrac12\left(a_n + \tfrac{10}{a_n}\right)$ , $a_1 = 3$ .

Odpowiedź
$a_2 = 3{,}166\,67$ , $a_3 = 3{,}162\,28$ , $a_4 = 3{,}162\,277\,7$ ; $\sqrt{10} = 3{,}162\,277\,66$ .
Ciąg Fibonacciego: $F_1 = F_2 = 1$ , $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ . Policz $F_{10}$ i ilorazy $F_{n+1}/F_n$ dla $n = 5, \dots, 10$ . Do czego się zbliżają?

Odpowiedź
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89; $F_{10} = 55$ . Ilorazy: 1,6; 1,625; 1,615; 1,619; 1,618; 1,618 → złota liczba $\tfrac{1 + \sqrt5}{2} \approx 1{,}618$ .

2 Granica ciągu

Liczba $g$ jest granicą ciągu, gdy wyrazy zbliżają się do niej dowolnie blisko i już tak zostają. „Dowolnie blisko” zapisujemy tak: dla każdej, nawet bardzo małej odległości $\varepsilon > 0$ od pewnego miejsca wszystkie wyrazy leżą w odległości mniejszej niż $\varepsilon$ od $g$ :

Definicja granicy ciągu

\lim_{n\to\infty} a_n = g \quad\Longleftrightarrow\quad \text{dla każdego } \varepsilon > 0 \text{ istnieje } N \text{ takie, że } |a_n - g| < \varepsilon \text{ dla wszystkich } n > N .

Wartość bezwzględna mierzy tu odległość (lekcja 0.2 Równania, nierówności, wielomiany i ułamki proste). Definicję czyta się jak grę: przeciwnik podaje $\varepsilon$ , ty musisz wskazać $N$ . Jeśli dla każdego $\varepsilon$ potrafisz, granica wynosi $g$ . Gdy przy ciągu piszemy samo $\lim$ , chodzi o $n \to \infty$ . Ciąg, który ma skończoną granicę, nazywamy zbieżnym, a pozostałe rozbieżnymi.

Dla $a_n = 1/n$ i $g = 0$ : $|1/n| < \varepsilon$ , gdy $n > 1/\varepsilon$ . Dla $\varepsilon = 0{,}01$ wystarczy $N = 100$ , dla $\varepsilon = 10^{-6}$ wystarczy $N = 10^6$ . Zawsze się da, więc $1/n \to 0$ . W paradoksie Zenona odległość Achillesa od $1000/9$ m po $n$ krokach to $\tfrac{1000}{9}\cdot10^{-n}$ , więc też dąży do zera.

2.1 Granice, które warto znać

$\dfrac{1}{n^k} \to 0$ dla $k > 0$ .
$q^n \to 0$ dla $|q| < 1$ ; $\;q^n \to \infty$ dla $q > 1$ ; dla $q = 1$ ciąg jest stały; dla $q = -1$ skacze między $-1$ a $1$ , a dla $q < -1$ skacze z rosnącą amplitudą; w obu przypadkach nie ma granicy.
$\sqrt[n]{a} \to 1$ dla $a > 0$ , $\;\sqrt[n]{n} \to 1$ (bez dowodu).
$\dfrac{n^k}{b^n} \to 0$ dla $b > 1$ : funkcja wykładnicza w końcu pokonuje każdą potęgę (lekcja 0.1 Liczby, potęgi, logarytmy i funkcje elementarne; bez dowodu).

Ciąg może też dążyć do nieskończoności: $a_n \to \infty$ , gdy wyrazy przekraczają każdą liczbę i już nad nią zostają, np. $n^2$ albo $2^n$ . To nie jest skończona granica: taki ciąg jest rozbieżny.

2.2 Działania na granicach

Jeśli $a_n \to a$ i $b_n \to b$ (skończone), to $a_n \pm b_n \to a \pm b$ , $\;a_nb_n \to ab$ i $\;a_n/b_n \to a/b$ dla $b \neq 0$ . Dzięki temu granice ułamków liczy się, dzieląc licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $n$ :

\frac{3n^2 - n}{2n^2 + 5} = \frac{3 - \frac1n}{2 + \frac{5}{n^2}} \;\longrightarrow\; \frac{3 - 0}{2 + 0} = \frac32 .

Reguły nie obejmują wyrażeń nieoznaczonych: $\tfrac{\infty}{\infty}$ , $\infty - \infty$ , $\tfrac00$ , $0\cdot\infty$ , $1^\infty$ , $0^0$ , $\infty^0$ . Ich wynik zależy od tego, jak szybko poszczególne części rosną lub maleją. Trzeba je najpierw przekształcić, jak wyżej.

2.3 Twierdzenie o trzech ciągach

Jeśli $a_n \le b_n \le c_n$ od pewnego miejsca, a skrajne ciągi mają tę samą granicę $g$ , to środkowy też dąży do $g$ . Ciąg „ściśnięty” między dwoma zbieżnymi do tej samej liczby nie ma wyboru. Przykład: $-\tfrac1n \le \tfrac{\sin n}{n} \le \tfrac1n$ , więc $\tfrac{\sin n}{n} \to 0$ , choć $\sin n$ skacze nieregularnie.

Drugie ważne twierdzenie: ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny. Sumy Achillesa rosną i nie przekraczają $1000/9$ , więc muszą mieć granicę, nawet zanim ją policzymy.

Przykład 2.1 Różnica dwóch dużych liczb

Oblicz granicę $a_n = \sqrt{n^2 + n} - n$ . To przypadek $\infty - \infty$ .

Mnożymy i dzielimy przez sumę $\sqrt{n^2 + n} + n$ (tzw. wyrażenie sprzężone): $\sqrt{n^2 + n} - n = \dfrac{(n^2 + n) - n^2}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \dfrac{n}{\sqrt{n^2 + n} + n}$ .
Dzielimy licznik i mianownik przez $n$ : $\dfrac{1}{\sqrt{1 + 1/n} + 1} \to \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac12$ .

Wynik: $\tfrac12$ .

Sprawdzenie: dla $n = 1000$ : $\sqrt{1\,001\,000} - 1000 \approx 0{,}49988$ ✓. Ten sam chwyt ratuje też obliczenia numeryczne przed utratą cyfr (lekcja 0.2 Równania, nierówności, wielomiany i ułamki proste, pierwiastki równania kwadratowego).

Zadania · część 2

6 zadań · ok. 40 min

Oblicz granice: $\dfrac{5n + 2}{3n - 1}$ ; $\;\dfrac{n^2 + 1}{n^3}$ ; $\;\dfrac{2n^3}{n^2 + 4}$ ; $\;0{,}99^n$ .

Odpowiedź
$\tfrac53$ ; $\;0$ ; $\;\infty$ (rozbieżny); $\;0$ .
Dla $a_n = \dfrac{2n + 1}{n + 3}$ i $g = 2$ znajdź $N$ dla $\varepsilon = 0{,}01$ .

Wskazówka
Policz $|a_n - 2|$ wprost: wyjdzie prosty ułamek.

Odpowiedź
$|a_n - 2| = \dfrac{5}{n + 3} < 0{,}01$ dla $n > 497$ , więc $N = 497$ .
Od którego $n$ zachodzi $0{,}9^n < 0{,}001$ ? Użyj logarytmu (lekcja 0.1 Liczby, potęgi, logarytmy i funkcje elementarne).

Odpowiedź
$n > \dfrac{\ln0{,}001}{\ln0{,}9} \approx 65{,}6$ , czyli od $n = 66$ . Uwaga: dzieląc przez $\ln0{,}9 < 0$ , odwracamy nierówność.
Oblicz $\lim\left(\sqrt{n^2 + 4n} - n\right)$ i $\lim\left(\sqrt{n + 1} - \sqrt n\right)$ .

Odpowiedź
$2$ (tym samym chwytem: $\tfrac{4n}{\sqrt{n^2 + 4n} + n}$ ); $\;0$ ( $\tfrac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt n}$ ).
Pokaż twierdzeniem o trzech ciągach, że $\dfrac{\cos n + 2}{n} \to 0$ .

Odpowiedź
$1 \le \cos n + 2 \le 3$ , więc $\tfrac1n \le a_n \le \tfrac3n$ , a oba skrajne dążą do 0.
Wytłumacz, dlaczego $1^\infty$ jest wyrażeniem nieoznaczonym. Wskaż dwa ciągi postaci $(1 + x_n)^{n}$ z $x_n \to 0$ , które mają różne granice.

Odpowiedź
Podstawa dąży do 1, ale wykładnik rośnie, i wynik zależy od tego, które dzieje się „szybciej”. $\left(1 + \tfrac{1}{n^2}\right)^n \to 1$ , bo $1 < \left(1 + \tfrac{1}{n^2}\right)^n = \left[\left(1 + \tfrac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right]^{1/n} < 3^{1/n} \to 1$ . A $\left(1 + \tfrac1n\right)^n \to e$ (część 3).

3 Liczba $e$ i procent składany

W lekcji 0.1 Liczby, potęgi, logarytmy i funkcje elementarne zapisaliśmy $e = \lim\left(1 + \frac1n\right)^n$ . Teraz widać, dlaczego ta granica jest ciekawa: to przypadek nieoznaczony $1^\infty$ . Najprościej zrozumieć ją przez procent składany. Bank daje 100% rocznie. Jeśli dopisze odsetki raz na rok, 1 zł zmienia się w 2 zł. Jeśli dwa razy po 50%, to $1{,}5^2 = 2{,}25$ zł. Dopisując $n$ razy po $\tfrac{100\%}{n}$ , dostajesz $\left(1 + \tfrac1n\right)^n$ :

kapitalizacja	raz	co pół roku	co miesiąc	co tydzień	codziennie	co godzinę
$\left(1 + \frac1n\right)^n$	2	2,25	2,613	2,693	2,7146	2,71813

Można pokazać (ze wzoru dwumianowego Newtona), że ciąg rośnie i nigdy nie przekracza 3. Jest monotoniczny i ograniczony, więc ma granicę: $e = 2{,}718\,28\ldots$ Częstsze dopisywanie odsetek nie daje nieograniczonego zysku, tylko dąży do kapitalizacji ciągłej. Ogólniej

\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac xn\right)^n = e^x .

Feynman dochodzi do $e$ inną drogą, przez $10^{\varepsilon} \approx 1 + 2{,}3026\,\varepsilon$ dla małych $\varepsilon$ (lekcja 0.1 Liczby, potęgi, logarytmy i funkcje elementarne). Obie drogi prowadzą do tej samej liczby (pokażemy to w części 4): $e$ to podstawa, dla której $e^{h} \approx 1 + h$ przy małym $h$ .FLP I-22-4

Zadania · część 3

3 zadania · ok. 20 min

Lokata 10 000 zł na 6% rocznie przez 10 lat. Przy kapitalizacji ciągłej daje $10\,000\,e^{0{,}6} \approx 18\,221$ zł. Ile razy w roku trzeba dopisywać odsetki, żeby wynik różnił się od tego o mniej niż 1 zł?

Wskazówka
Policz kalkulatorem $10\,000\left(1 + \tfrac{0{,}06}{n}\right)^{10n}$ dla $n = 12$ , $52$ , $365$ i zawęź.

Odpowiedź
$n = 12$ : brakuje 27 zł; $n = 52$ : 6,30 zł; $n = 365$ : 0,90 zł. Granica 1 zł wypada przy ok. $n = 330$ , czyli prawie przy kapitalizacji dziennej. Zbieżność jest powolna: różnica maleje mniej więcej jak $\tfrac1n$ .
Oblicz $\lim\left(1 - \dfrac1n\right)^n$ i $\lim\left(1 + \dfrac{3}{n}\right)^{2n}$ .

Odpowiedź
$e^{-1} \approx 0{,}368$ ; $\;\left[\left(1 + \tfrac3n\right)^n\right]^2 \to (e^3)^2 = e^6$ .
Losowanie z prawdopodobieństwem $\tfrac1n$ wygranej powtarzamy $n$ razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie wygramy ani razu, dla dużego $n$ ?

Odpowiedź
$\left(1 - \tfrac1n\right)^n \to e^{-1} \approx 0{,}37$ . Na przykład przy szansie 1 na milion i milionie prób zostaje 37% szans na brak wygranej.

4 Granica funkcji

Granica funkcji w punkcie $a$ mówi, do czego zbliża się $f(x)$ , gdy $x$ zbliża się do $a$ . Wartość $f(a)$ nie gra roli; funkcja może nawet nie być w $a$ określona. Najprościej zdefiniować to przez ciągi: $\lim_{x\to a} f(x) = g$ , gdy dla każdego ciągu $x_n \to a$ o wyrazach z dziedziny $f$ i $x_n \neq a$ mamy $f(x_n) \to g$ . Równoważna definicja w stylu $\varepsilon$ : dla każdego $\varepsilon > 0$ istnieje $\delta > 0$ takie, że $|f(x) - g| < \varepsilon$ , gdy $0 < |x - a| < \delta$ .

Gdy $x$ zbliża się do $a$ tylko z prawej lub tylko z lewej, mówimy o granicach jednostronnych $\lim_{x\to a^+}$ i $\lim_{x\to a^-}$ . Granica istnieje, gdy obie jednostronne istnieją i są równe. Dla $f(x) = \tfrac1x$ w zerze są nieskończone i różne: $+\infty$ z prawej, $-\infty$ z lewej. To pionowa asymptota, biegun z lekcji 0.2 Równania, nierówności, wielomiany i ułamki proste.

4.1 Przypadek $\frac00$ : skróć, zanim podstawisz

Funkcja $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ nie jest określona w $x = 1$ . Ale dla $x \neq 1$ mamy $f(x) = x + 1$ , więc $\lim_{x\to1} f(x) = 2$ . Wykres to prosta z „dziurką” w punkcie $(1;\ 2)$ . To najczęstsza sytuacja przy liczeniu pochodnych: iloraz różnicowy funkcji ciągłej w granicy $h \to 0$ daje $\tfrac00$ (lekcja 1.3 Pochodne).

4.2 Trzy granice, na których stoi rachunek różniczkowy

Ważne granice

\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = 1,\qquad \lim_{x\to0}\frac{e^x - 1}{x} = 1,\qquad \lim_{x\to0}(1 + x)^{1/x} = e .

Kąt $x$ w radianach (lekcja 0.3 Trygonometria i funkcje hiperboliczne).

Pierwszą pokazuje rysunek. Na okręgu jednostkowym dla kąta $0 < x < \tfrac\pi2$ porównujemy trzy pola: trójkąt o wierzchołkach w środku okręgu, w punkcie $(1;\ 0)$ i w punkcie na okręgu ( $\tfrac12\sin x$ ), wycinek koła ( $\tfrac12x$ , lekcja 0.3 Trygonometria i funkcje hiperboliczne) i trójkąt z bokiem na stycznej ( $\tfrac12\tan x$ ). Każde zawiera poprzednie, więc $\sin x < x < \tan x$ . Dzieląc przez $\sin x$ i odwracając: $\cos x < \tfrac{\sin x}{x} < 1$ . Gdy $x \to 0$ , $\cos x \to 1$ (ciągłość cosinusa, część 5), więc z twierdzenia o trzech ciągach (zastosowanego do dowolnego ciągu $x_n \to 0$ , zgodnie z definicją przez ciągi) $\tfrac{\sin x}{x} \to 1$ . Dla ujemnych $x$ wynik jest ten sam, bo $\tfrac{\sin x}{x}$ jest funkcją parzystą.

Drugą wyprowadzamy z trzeciej. Podstawiamy $t = e^x - 1$ , czyli $x = \ln(1 + t)$ , a $t \to 0$ , gdy $x \to 0$ . Wtedy $\dfrac{e^x - 1}{x} = \dfrac{t}{\ln(1 + t)} = \dfrac{1}{\ln(1 + t)^{1/t}} \to \dfrac{1}{\ln e} = 1$ (korzystamy z ciągłości logarytmu, część 5). To jest dokładnie przybliżenie $e^x \approx 1 + x$ z lekcji 0.1 Liczby, potęgi, logarytmy i funkcje elementarne. Dla $x = \tfrac1n$ trzecia granica to dokładnie ciąg z części 3. Że ten sam wynik wychodzi dla dowolnego $x \to 0$ , także ujemnego, przyjmujemy tu bez dowodu.

Przykład 4.1 Dwie granice z sinusem i cosinusem

Oblicz $\lim_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{x}$ i $\lim_{x\to0}\dfrac{1 - \cos x}{x^2}$ .

$\dfrac{\sin3x}{x} = 3\cdot\dfrac{\sin3x}{3x} \to 3\cdot1 = 3$ (podstawiamy $u = 3x \to 0$ ).
$\dfrac{1 - \cos x}{x^2} = \dfrac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{x^2(1 + \cos x)} = \dfrac{\sin^2x}{x^2}\cdot\dfrac{1}{1 + \cos x} \to 1\cdot\dfrac12 = \dfrac12$ .

Wynik: 3 i $\tfrac12$ .

Sprawdzenie: dla $x = 0{,}01$ : $\sin0{,}03/0{,}01 = 2{,}99955$ ✓ i $(1 - \cos0{,}01)/10^{-4} = 0{,}499996$ ✓. Druga granica uzasadnia przybliżenie $\cos x \approx 1 - \tfrac{x^2}{2}$ z lekcji 0.3 Trygonometria i funkcje hiperboliczne.

Zadania · część 4

7 zadań · ok. 45 min

Oblicz: $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ ; $\;\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{2x^2 + 1}{x^2 - x}$ ; $\;\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin5x}{2x}$ .

Odpowiedź
4; $\;2$ ; $\;\tfrac52$ .
Podaj granice jednostronne $f(x) = \dfrac{|x|}{x}$ w zerze. Czy istnieje $\lim_{x\to0}f(x)$ ?

Odpowiedź
Z prawej $1$ , z lewej $-1$ . Są różne, więc granica nie istnieje.
Wahadło o długości $l$ wychylone o kąt $\theta$ podnosi ciężarek o $h = l(1 - \cos\theta)$ . Korzystając z przykładu 4.1, pokaż, że dla małych kątów $h \approx \tfrac12l\theta^2$ . Policz $h$ dokładnie i w przybliżeniu dla $l = 1$ m i $\theta = 10^\circ$ .

Odpowiedź
$1 - \cos\theta \approx \tfrac{\theta^2}{2}$ . $\;\theta = 0{,}1745$ rad: dokładnie $1 - \cos10^\circ = 0{,}015\,19$ m, przybliżenie $0{,}015\,23$ m. Różnica ok. 0,25%.
Oblicz $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{2x} - 1}{x}$ i $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}$ .

Odpowiedź
$2\cdot\dfrac{e^{2x} - 1}{2x} \to 2$ ; $\;\dfrac{\sin x}{x}\cdot\dfrac{1}{\cos x} \to 1$ .
Jakie asymptoty ma $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ ? Policz odpowiednie granice.

Odpowiedź
Pionowa $x = 3$ ( $\lim_{x\to3^\pm} = \pm\infty$ ), pozioma $y = 2$ ( $\lim_{x\to\pm\infty} = 2$ ).
Kalkulator w trybie stopni liczy $\dfrac{\sin x}{x}$ dla $x = 0{,}001$ . Co pokaże i dlaczego to nie jest 1?

Odpowiedź
$\sin0{,}001^\circ/0{,}001 \approx 0{,}017\,453 = \tfrac{\pi}{180}$ . Granica równa 1 zachodzi tylko dla kąta w radianach; w stopniach $\sin x \approx \tfrac{\pi}{180}x$ .
Czy istnieje $\lim\limits_{x\to0}\sin\dfrac1x$ ? A $\lim\limits_{x\to0}x\sin\dfrac1x$ ? Uzasadnij przez ciągi lub twierdzenie o trzech ciągach.

Wskazówka
Weź ciągi $x_n = \tfrac{1}{n\pi}$ i $x_n = \tfrac{1}{2n\pi + \pi/2}$ .

Odpowiedź
Pierwsza nie: dla $x_n = \tfrac{1}{n\pi}$ wartości to 0, dla $x_n = \tfrac{1}{2n\pi + \pi/2}$ wartości to 1, a oba ciągi dążą do 0. Druga tak: $-|x| \le x\sin\tfrac1x \le |x|$ , więc granica to 0.

5 Ciągłość i bisekcja

Funkcja jest ciągła w punkcie $a$ , gdy $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$ : granica istnieje, wartość istnieje i są równe. Intuicyjnie: wykres w tym miejscu można narysować bez odrywania ołówka. Wszystkie funkcje elementarne z lekcji 0.1–0.3 (wielomiany, wykładnicza, logarytm, sinus, cosinus) są ciągłe w swoich dziedzinach. Ciągłe są też ich sumy, iloczyny, ilorazy (poza zerami mianownika) i złożenia.

Najczęściej spotkasz trzy rodzaje nieciągłości (bywają też inne, np. oscylacja $\sin\tfrac1x$ w zerze z zadania 4.7). Formalnie o ciągłości mówimy w punktach dziedziny; $\tfrac1x$ i $\tfrac{\sin x}{x}$ są ciągłe w swoich dziedzinach, a zero do nich nie należy. Mówimy wtedy potocznie, że wykres „rwie się” w tym punkcie:

Skok: granice jednostronne istnieją, ale są różne, np. napięcie po włączeniu przełącznika albo $\tfrac{|x|}{x}$ w zerze.
Dziurka (nieciągłość usuwalna): granica istnieje, ale wartości nie ma albo jest inna, np. $\tfrac{\sin x}{x}$ w zerze. Wystarczy dopisać $f(0) = 1$ , żeby funkcja stała się ciągła.
Nieskończoność: funkcja ucieka do $\pm\infty$ , np. $\tfrac1x$ w zerze.

Ciągłość to coś słabszego niż różniczkowalność: $|x|$ jest ciągła w zerze, ale ma tam ostrze i nie ma pochodnej (lekcja 1.3 Pochodne).

5.1 Własność Darboux i bisekcja

Funkcja ciągła na przedziale $[a;\ b]$ przyjmuje każdą wartość pośrednią między $f(a)$ a $f(b)$ . W szczególności: jeśli $f(a)$ i $f(b)$ mają przeciwne znaki, to gdzieś między $a$ a $b$ jest miejsce zerowe. To własność Darboux. Z niej wynika prosty i niezawodny algorytm, bisekcja:

Weź przedział, na którego końcach $f$ ma różne znaki.
Policz $f$ w środku przedziału. Jeśli wyjdzie zero, koniec.
Zostaw tę połowę, na której końcach znaki są nadal różne. Wróć do kroku 2.

Po $n$ krokach przedział ma szerokość $(b - a)/2^n$ , więc ciąg środków dąży do miejsca zerowego. Każdy krok daje jeden bit dokładności: z przedziału o szerokości 1 na 6 cyfr po przecinku trzeba ok. 20 kroków, bo $2^{20} \approx 10^6$ .

Przykład 5.1 Rozwiązanie równania, którego nie da się rozwiązać wzorem

Równanie $\cos x = x$ nie ma rozwiązania w postaci wzoru. Pokaż, że ma rozwiązanie w $[0;\ 1]$ , i znajdź je bisekcją z dokładnością do 0,001.

$f(x) = \cos x - x$ jest ciągła; $f(0) = 1 > 0$ , $f(1) = \cos1 - 1 \approx -0{,}46 < 0$ . Z własności Darboux jest miejsce zerowe.
$f(0{,}5) \approx 0{,}38 > 0$ , więc $[0{,}5;\ 1]$ . $\;f(0{,}75) \approx -0{,}018 < 0$ , więc $[0{,}5;\ 0{,}75]$ . $\;f(0{,}625) > 0$ , więc $[0{,}625;\ 0{,}75]$ , i tak dalej.
Szerokość $2^{-n} < 0{,}001$ dla $n = 10$ . Po 10 krokach przedział to $[0{,}738\,28;\ 0{,}739\,26]$ .

Wynik: $x \approx 0{,}739$ (dokładniej $0{,}739\,085$ ).

Sprawdzenie: $\cos0{,}739\,085 = 0{,}739\,085$ ✓. Wpisz dowolną liczbę do kalkulatora w trybie radianów i naciskaj „cos”: po ok. 35 naciśnięciach wynik ustali się na 6 cyfrach. To ciąg rekurencyjny $x_{n+1} = \cos x_n$ . Jego granica spełnia $x = \cos x$ , czyli jest punktem stałym cosinusa, a taka metoda to iteracja punktu stałego.

Zadania · część 5

7 zadań · ok. 45 min

Dla jakiej wartości $c$ funkcja $f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ dla $x \neq 3$ i $f(3) = c$ jest ciągła?

Odpowiedź
$c = 6$ , bo $\tfrac{x^2 - 9}{x - 3} = x + 3 \to 6$ .
Jakiego rodzaju nieciągłości mają: $\tfrac{1}{(x - 2)^2}$ w $x = 2$ ; $\;\lfloor x\rfloor$ (największa liczba całkowita nie większa niż $x$ ) w $x = 1$ ; $\;\tfrac{\sin x}{x}$ w zerze?

Odpowiedź
Nieskończona; skok; usuwalna.
Pokaż, że równanie $x^3 - x - 1 = 0$ ma pierwiastek w $[1;\ 2]$ . Wykonaj trzy kroki bisekcji.

Odpowiedź
$f(1) = -1$ , $f(2) = 5$ . $\;f(1{,}5) = 0{,}875 > 0$ : $[1;\ 1{,}5]$ . $\;f(1{,}25) \approx -0{,}30$ : $[1{,}25;\ 1{,}5]$ . $\;f(1{,}375) \approx 0{,}22$ : $[1{,}25;\ 1{,}375]$ . Pierwiastek: $1{,}3247$ .
Ile kroków bisekcji trzeba, żeby z przedziału o szerokości 10 dojść do dokładności $10^{-9}$ ?

Odpowiedź
$10/2^n < 10^{-9}$ , czyli $2^n > 10^{10}$ , $n > 10\log_2 10 \approx 33{,}2$ : 34 kroki.
O 6:00 turysta wychodzi z dołu na szczyt i dochodzi tam o 18:00. Następnego dnia o 6:00 schodzi tą samą ścieżką i jest na dole przed 18:00. Pokaż, że jest takie miejsce na ścieżce, w którym był o tej samej godzinie w oba dni.

Wskazówka
Niech $s_1(t)$ i $s_2(t)$ to droga przebyta od dołu wzdłuż ścieżki o godzinie $t$ w dniu pierwszym i drugim. Rozważ $d(t) = s_1(t) - s_2(t)$ .

Odpowiedź
$d(6{:}00) = 0 - L < 0$ i $d(18{:}00) = L - 0 > 0$ , gdzie $L$ to długość ścieżki (drugiego dnia turysta jest o 18:00 już na dole). Funkcja $d$ jest ciągła, więc ma miejsce zerowe: o tej godzinie turysta był w obu dniach w tym samym miejscu ścieżki. Sama równa wysokość by nie wystarczyła, bo ścieżka może iść w górę i w dół.
Pokaż, że wielomian stopnia nieparzystego zawsze ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

Odpowiedź
Dla dużych $|x|$ decyduje wyraz $a_nx^n$ (lekcja 0.2 Równania, nierówności, wielomiany i ułamki proste), a przy nieparzystym $n$ ma on różne znaki dla $x \to +\infty$ i $x \to -\infty$ . Wielomian jest ciągły, więc z własności Darboux przechodzi przez zero.
Bisekcja daje jeden bit na krok, a przepis z przykładu 1.1 podwaja liczbę cyfr. Czemu w ogóle używa się bisekcji?

Odpowiedź
Bisekcja zawsze działa dla funkcji ciągłej ze zmianą znaku i daje gwarantowany przedział. Szybkie metody (Newton) potrzebują pochodnej (lekcja 1.3 Pochodne) i dobrego punktu startu; mogą się rozbiec. W praktyce łączy się obie: bisekcja zawęża przedział, Newton kończy (lekcja 6.2 Metody numeryczne: Python i C++).

6 Błędne intuicje

„Ciąg rosnący dąży do nieskończoności.”: Nie musi: $\tfrac{n}{n + 1}$ rośnie i dąży do 1. Sumy Achillesa rosną i dążą do $1000/9$ .
„Granica to wartość, którą ciąg w końcu osiąga.”: Nie musi jej osiągać: $\tfrac1n$ nigdy nie jest zerem. Granica mówi, do czego ciąg zbliża się dowolnie blisko.
„ $1^\infty = 1$ , $\;\infty - \infty = 0$ , $\;\tfrac00 = 1$ .”: To wyrażenia nieoznaczone: wynik zależy od szczegółów. $\left(1 + \tfrac1n\right)^n \to e$ , a nie 1.
„Granica funkcji w punkcie to po prostu jej wartość.”: Tylko dla funkcji ciągłej. $\tfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ w $x = 1$ nie ma wartości, a granica wynosi 2.
„Funkcja ciągła ma pochodną.”: $|x|$ jest ciągła, a w zerze pochodnej nie ma. Istnieją nawet funkcje ciągłe wszędzie i nigdzie nieróżniczkowalne.
„Nieskończenie wiele kroków to nieskończenie długo.”: Paradoks Zenona: kroki coraz krótsze mogą się sumować do skończonej wartości. Kiedy dokładnie tak jest, powie lekcja o szeregach (1.6 Szeregi liczbowe i potęgowe).

7 Sprawdź się

1 Ile wynosi

\lim\frac{4n - 1}{2n + 7}

2 Czy ciąg

(-1)^n

ma granicę?

Nie: wyrazy skaczą między $-1$ a $1$ .

3 Do czego dąży

\left(1 + \frac1n\right)^n

Do $e \approx 2{,}718$ .

4 Ile wynosi

\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}

i dlaczego tylko w radianach?

1. W stopniach $\sin x \approx \frac{\pi}{180}x$ , więc granica to $\frac{\pi}{180}$ .

5 Kiedy funkcja jest ciągła w punkcie

a

Gdy $\lim_{x\to a}f(x) = f(a)$ .

6 O ile zwęża się przedział w jednym kroku bisekcji?

Dwa razy.

7 Gdzie Achilles dogania żółwia w przykładzie Zenona?

Po $1000/9 \approx 111{,}1$ m.

8 Karta wzorów i co dalej

Ciągi

$a_n \to g$ : dla każdego $\varepsilon > 0$ jest $N$ , że $|a_n - g| < \varepsilon$ dla $n > N$

arytmetyczny $a_1 + (n - 1)r$ ; $\;$ geometryczny $a_1q^{n-1}$

$\tfrac{1}{n^k} \to 0$ ; $\;q^n \to 0$ dla $|q| < 1$ ; $\;\sqrt[n]{n} \to 1$ ; $\;\tfrac{n^k}{b^n} \to 0$ ( $b > 1$ )

ułamki: dziel przez najwyższą potęgę; $\;\infty - \infty$ : mnóż i dziel przez sumę pierwiastków

trzy ciągi; $\;$ monotoniczny i ograniczony $\Rightarrow$ zbieżny

$\left(1 + \tfrac xn\right)^n \to e^x$

nieoznaczone: $\tfrac00$ , $\tfrac\infty\infty$ , $\infty - \infty$ , $0\cdot\infty$ , $1^\infty$ , $0^0$ , $\infty^0$

Funkcje

$\lim_{x\to a}f = g$ : $f(x_n) \to g$ dla każdego $x_n \to a$ , $x_n \neq a$ , $x_n$ z dziedziny

granica istnieje $\Leftrightarrow$ obie jednostronne istnieją i są równe

$\tfrac{\sin x}{x} \to 1$ , $\;\tfrac{e^x - 1}{x} \to 1$ , $\;(1 + x)^{1/x} \to e$ , $\;\tfrac{1 - \cos x}{x^2} \to \tfrac12$ (przy $x \to 0$ )

ciągłość: $\lim_{x\to a}f(x) = f(a)$

nieciągłości: skok, usuwalna, nieskończona

Darboux: $f$ ciągła na $[a;\ b]$ i zmiana znaku $\Rightarrow$ miejsce zerowe; $\;$ bisekcja: szerokość $(b - a)/2^n$

Do przeczytania u Feynmana

Obowiązkowo: 8-2 (paradoks Zenona i problem z definicją prędkości; prowadzi wprost do pochodnej).
Dla chętnych: 22-4 (skąd się bierze $e$ , przez kolejne pierwiastki z 10).

Do przeczytania w podręcznikach matematyki

K. A. Stroud, Engineering Mathematics: rozdziały o ciągach, szeregach i granicach.
Dowolny podręcznik analizy matematycznej dla pierwszego roku studiów: definicja granicy w języku $\varepsilon$ – $\delta$ z dowodami.

Granica ilorazu różnicowego to pochodna (1.3 Pochodne): tam ważne granice z części 4 dadzą pochodne sinusa i funkcji wykładniczej. Granica sum to całka (1.5 Całki), a granica sum częściowych to szereg (1.6 Szeregi liczbowe i potęgowe), który dokończy rachunek Zenona.