1.5 Całki · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Prolog: problem odwrotny

W lekcji 1.3 Pochodne znaliśmy położenie w każdej chwili i pytaliśmy o prędkość. Feynman od razu odwraca pytanie. Zamiast tabeli położeń mamy tabelę prędkości, na przykład odczyty prędkościomierza co pół minuty. Ile kilometrów przejechał samochód?FLP I-8-4

Pomysł jest prosty. W pierwszej sekundzie prędkość była mniej więcej taka i taka, więc samochód przejechał mniej więcej $v\,\Delta t$ . W drugiej sekundzie prędkość była trochę inna, więc znowu $v\,\Delta t$ . Sumujemy te kawałki. Wynik nie jest dokładny, bo prędkość zmieniała się w trakcie każdej sekundy. Bierzemy więc coraz krótsze przedziały, czyli sumujemy coraz więcej coraz mniejszych kawałków. Wartość, do której ta suma dąży, to całka.

Feynman zwraca uwagę na samą nazwę. Znak $\int$ to wydłużona litera S od łacińskiego summa, a $\mathrm{d}t$ przypomina, że kawałki czasu są tak małe, jak to tylko możliwe.

Jeden operator ( $\mathrm{d}$ ) odwraca drugi ( $\int$ ).

R. Feynman, FLP I-8-4 (tłum. własne)

To zdanie zapowiada najważniejszy wynik tej lekcji. Całkowanie, czyli sumowanie kawałków, i różniczkowanie, czyli liczenie tempa zmian, są operacjami odwrotnymi. Dzięki temu tabelę całek dostajemy za darmo, czytając tabelę pochodnych od tyłu.

1 Całka jako suma

1.1 Suma całkowa

Niech $f$ będzie ograniczona na $[a,\ b]$ . Dzielimy przedział na $n$ kawałków o długościach $\Delta x_k$ . W każdym kawałku wybieramy dowolny punkt $x_k^*$ (np. lewy koniec, prawy koniec albo środek) i tworzymy sumę całkową:GS 8.1.3

S_n = \sum_{k=1}^{n} f(x_k^*)\,\Delta x_k .

Gdy $f \ge 0$ , każdy wyraz to pole cienkiego prostokąta o podstawie $\Delta x_k$ i wysokości $f(x_k^*)$ . Suma przybliża pole pod wykresem.

Definicja · całka oznaczona (Riemanna)

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_k^*)\,\Delta x_k ,

gdzie długość najdłuższego kawałka dąży do zera, o ile granica istnieje, jest skończona i nie zależy od sposobu podziału ani od wyboru punktów $x_k^*$ . Taką funkcję nazywamy całkowalną. Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym jest całkowalna, a także każda ograniczona funkcja o skończonej liczbie skoków.GS 8.1.5, 8.4.1

Całka oznaczona jest liczbą. Zmienna $x$ pod znakiem całki jest „niema”: $\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \int_0^1 t^2\,\mathrm{d}t$ . Symbol $\mathrm{d}x$ mówi, po czym sumujemy, i niesie jednostkę. Całka z prędkości [m/s] po czasie [s] ma jednostkę metra.

1.2 Pole ze znakiem

Gdy funkcja jest ujemna, wyraz $f(x_k^*)\,\Delta x_k$ jest ujemny. Całka liczy więc pole ze znakiem: części nad osią z plusem, części pod osią z minusem. Na przykład $\int_0^{2\pi}\sin x\,\mathrm{d}x = 0$ , bo dodatnia i ujemna połowa się znoszą. Pole „geometryczne”, które zawsze jest dodatnie, to $\int_a^b |f(x)|\,\mathrm{d}x$ .GS 8.2

W fizyce znak niesie informację. Całka z prędkości to przemieszczenie, które może być ujemne. Całka z wartości bezwzględnej prędkości to droga, która ujemna nie jest (część 5).

1.3 Gdy wzoru nie ma: liczymy

Feynman zauważa ważną asymetrię. Każdą funkcję zbudowaną ze znanych funkcji da się zróżniczkować (tam, gdzie pochodna istnieje) i wynik też jest zbudowany ze znanych funkcji. Z całkami tak nie jest. Funkcje pierwotne funkcji $e^{-x^2}$ , $\dfrac{\sin x}{x}$ czy $\sqrt{1 + x^3}$ istnieją, ale nie da się ich zapisać za pomocą funkcji elementarnych. Całkę oznaczoną zawsze można jednak policzyć numerycznie, z definicji, czyli z sumy.FLP I-8-4 · GS 7.1

W praktyce zamiast prostokątów „z lewego końca” używamy lepszych przepisów:

Metoda środków: wysokość prostokąta to wartość w środku kawałka.
Metoda trapezów: wykres zastępujemy łamaną, a prostokąty trapezami.GS 8.8

Dla funkcji gładkich błąd obu metod maleje jak $1/n^2$ , a dla lewych lub prawych końców tylko jak $1/n$ . To ten sam efekt co przy ilorazie symetrycznym w lekcji 1.3 Pochodne: symetria kasuje błąd pierwszego rzędu.

Przykład 1.1 Droga spadającej kulki z tabeli prędkości

Prędkość spadającej kulki to $v(t) = 9{,}8\,t$ m/s (tabela 8-4 u Feynmana, tylko w metrach). Oszacuj drogę w pierwszych 3 s sumą prędkości z lewych końców i z prawych końców, najpierw dla $\Delta t = 1$ s, potem dla $\Delta t = 0{,}5$ s. Porównaj z wartością dokładną $\tfrac12g t^2$ .

$\Delta t = 1$ s, lewe końce: $9{,}8\,(0 + 1 + 2)\cdot1 = 29{,}4$ m. Prawe końce: $9{,}8\,(1 + 2 + 3) = 58{,}8$ m.
$\Delta t = 0{,}5$ s, lewe końce: $9{,}8\cdot0{,}5\cdot(0 + 0{,}5 + 1 + \dots + 2{,}5) = 4{,}9\cdot7{,}5 = 36{,}75$ m. Prawe końce: $4{,}9\cdot10{,}5 = 51{,}45$ m.
Dokładnie: $\tfrac12\cdot9{,}8\cdot3^2 = 44{,}1$ m. Lewa suma zaniża, bo kulka przyspiesza, a prawa zawyża.

Wynik: sumy osaczają wartość dokładną $44{,}1$ m: $29{,}4 < 36{,}75 < 44{,}1 < 51{,}45 < 58{,}8$ .

Sprawdzenie: średnia lewej i prawej sumy to metoda trapezów: $\tfrac12(36{,}75 + 51{,}45) = 44{,}1$ m. Dla funkcji liniowej trapezy są dokładne, bo łamana pokrywa się z wykresem ✓

Przykład 1.2 Archimedes i parabola: całka z definicji

Oblicz $\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x$ jako granicę sum z prawych końców przy podziale na $n$ równych części. Skorzystaj ze wzoru $1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \tfrac16n(n + 1)(2n + 1)$ .

$\Delta x = \dfrac1n$ , prawe końce $x_k = \dfrac kn$ : $\ S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(\frac kn\right)^2\frac1n = \frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n}k^2$ .
$S_n = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6n^3} = \dfrac{(n + 1)(2n + 1)}{6n^2}$ . Dla $n = 10$ : $S_{10} = 0{,}385$ .
$S_n = \dfrac{(1 + \frac1n)(2 + \frac1n)}{6} \to \dfrac26 = \dfrac13$ przy $n \to \infty$ .

Wynik: $\displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \frac13$ .

Sprawdzenie: pole pod parabolą to jedna trzecia kwadratu jednostkowego. Archimedes znał ten wynik ok. 250 r. p.n.e., prawie dwa tysiące lat przed Newtonem ✓. W części 2 dostaniemy go w jednej linijce.

Przykład 1.3 Całka bez wzoru: krzywa dzwonowa

Funkcja $e^{-x^2}$ (kształt rozkładu normalnego) nie ma elementarnej funkcji pierwotnej. Oszacuj $\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,\mathrm{d}x$ metodą trapezów i metodą środków dla $n = 4$ .

$h = 0{,}25$ . Wartości: $f(0) = 1$ , $f(0{,}25) = 0{,}9394$ , $f(0{,}5) = 0{,}7788$ , $f(0{,}75) = 0{,}5698$ , $f(1) = 0{,}3679$ .
Trapezy: $h\left(\tfrac12f(0) + f(0{,}25) + f(0{,}5)\right.$ $\left. {}+ f(0{,}75) + \tfrac12f(1)\right) \approx 0{,}7430$ .
Środki: $h\left(f(0{,}125) + f(0{,}375)\right.$ $\left. {}+ f(0{,}625) + f(0{,}875)\right) \approx 0{,}7487$ .

Wynik: trapezy $0{,}7430$ , środki $0{,}7487$ ; dokładna wartość to $0{,}74682$ .

Sprawdzenie: błędy wynoszą $-0{,}0038$ i $+0{,}0019$ : mają przeciwne znaki, a błąd środków jest mniej więcej o połowę mniejszy. Dla funkcji gładkich i dostatecznie dużych $n$ tak jest zawsze (stosunek błędów dąży do $-\tfrac12$ ). Na tym spostrzeżeniu opiera się metoda Simpsona: $S = \tfrac13(2M + T) \approx 0{,}746826$ ✓

Zadania · część 1

5 zadań · ok. 40 min

Oszacuj $\int_0^2 x\,\mathrm{d}x$ sumą z lewych końców i sumą z prawych końców dla $n = 4$ . Porównaj z polem trójkąta.

Odpowiedź
$\Delta x = 0{,}5$ . Lewe: $0{,}5(0 + 0{,}5 + 1 + 1{,}5) = 1{,}5$ . Prawe: $0{,}5(0{,}5 + 1 + 1{,}5 + 2) = 2{,}5$ . Pole trójkąta $\tfrac12\cdot2\cdot2 = 2$ leży dokładnie pośrodku.
Ile wynosi $\int_0^{2\pi}\sin x\,\mathrm{d}x$ , a ile $\int_0^{2\pi}|\sin x|\,\mathrm{d}x$ ? Wyjaśnij różnicę rysunkiem.

Wskazówka
Pole pod jednym „łukiem” sinusa na $[0,\ \pi]$ wynosi 2.

Odpowiedź
0 i 4. W pierwszej całce łuk pod osią liczy się z minusem i znosi łuk nad osią. W drugiej oba łuki liczą się z plusem.
Prędkościomierz samochodu odczytywano co 10 s: $0,\ 8,\ 14,\ 18,\ 20,\ 20$ m/s w chwilach $0,\ 10,\ \dots,\ 50$ s. Oszacuj przejechaną drogę metodą trapezów. Między jakimi wartościami musi leżeć prawdziwa droga, jeśli prędkość nigdy nie malała?

Odpowiedź
Trapezy: $10\left(\tfrac02 + 8 + 14 + 18 + 20 + \tfrac{20}{2}\right) = 700$ m. Dla prędkości niemalejącej lewa suma zaniża, a prawa zawyża: droga leży między $10(0 + 8 + 14 + 18 + 20) = 600$ m a $10(8 + 14 + 18 + 20 + 20) = 800$ m.
Oblicz $\int_0^1 x^3\,\mathrm{d}x$ jako granicę sum z prawych końców. Skorzystaj ze wzoru $1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \left(\tfrac12n(n + 1)\right)^2$ .

Odpowiedź
$S_n = \dfrac{1}{n^4}\cdot\dfrac{n^2(n + 1)^2}{4} = \dfrac{(n + 1)^2}{4n^2} \to \dfrac14$ .
Dla $\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \tfrac13$ oblicz błędy sumy z lewych końców, metody trapezów i metody środków dla $n = 10$ i $n = 20$ . Jak każdy błąd zmienia się po podwojeniu $n$ ? Sprawdź wynik w symulacji 1.

Odpowiedź
$n = 10$ : lewe $-0{,}0483$ , trapezy $+0{,}00167$ , środki $-0{,}00083$ . $n = 20$ : lewe $-0{,}0246$ , trapezy $+0{,}00042$ , środki $-0{,}00021$ . Błąd lewych końców maleje ok. 2 razy (jak $1/n$ ), a błędy trapezów i środków 4 razy (jak $1/n^2$ ). Dla $x^2$ dokładnie: błąd trapezów $\dfrac{1}{6n^2}$ , a środków $-\dfrac{1}{12n^2}$ .

Więcej zadań: GS ćw. 8.1.4, 8.4.3, 8.8.4.

2 Twierdzenie główne

2.1 Całka z ruchomą granicą

Ustalmy dolną granicę $a$ , a górną zróbmy zmienną. Dostajemy funkcję, która mówi, ile „uzbierało się” od $a$ do $x$ :GS 8.7

F(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t .

Jak szybko rośnie $F$ ? Gdy przesuniemy górną granicę z $x$ do $x + h$ , do pola dochodzi wąski pasek o szerokości $h$ i wysokości prawie równej $f(x)$ :

F(x + h) - F(x) = \int_x^{x + h} f(t)\,\mathrm{d}t \approx f(x)\,h \quad\Longrightarrow\quad \frac{F(x + h) - F(x)}{h} \to f(x) .

Twierdzenie główne rachunku całkowego

(I) Jeśli $f$ jest ciągła na przedziale, to $F(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ jest różniczkowalna i $F'(x) = f(x)$ .

(II, wzór Newtona–Leibniza) Jeśli $f$ jest ciągła na $[a,\ b]$ , a $G$ jest dowolną funkcją, dla której $G' = f$ , to

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = G(b) - G(a) = \Big[G(x)\Big]_a^b .

Część (I) Gewert i Skoczylas nazywają drugim, a (II) pierwszym twierdzeniem głównym; numeracja bywa różna. GS podają (II) w ogólniejszej wersji: wystarczy, że $f$ jest całkowalna i ciągła w danym punkcie.GS 8.4.4, 8.7.4

Druga część wynika z pierwszej. Dwie funkcje o tej samej pochodnej różnią się o stałą, więc $G(x) = F(x) + C$ . Stąd $G(b) - G(a) = F(b) - F(a) = \int_a^b f - 0$ . Słowami: żeby zsumować kawałki, wystarczy znaleźć funkcję, której pochodną jest to, co sumujemy. Rachunek z przykładu 1.2 skraca się do $\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\tfrac13x^3\right]_0^1 = \tfrac13$ .

2.2 Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona

Funkcję $F$ , dla której $F' = f$ na przedziale, nazywamy funkcją pierwotną funkcji $f$ . Jeśli $F$ jest pierwotna, to każda inna ma postać $F + C$ , i tylko takie. Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych to całka nieoznaczona:GS 7.1.1, 7.1.5, 7.2.1

\int f(x)\,\mathrm{d}x = F(x) + C .

Całka oznaczona to liczba, całka nieoznaczona to rodzina funkcji. Stała $C$ to informacja, którą różniczkowanie „zgubiło”. W fizyce odzyskujemy ją z warunku początkowego, na przykład znanego położenia w chwili $t = 0$ .

Tabelę całek czytamy z tabeli pochodnych od tyłu. Wynik zawsze można sprawdzić, różniczkując go.

$f(x)$	$\int f(x)\,\mathrm{d}x$ (do każdej dodaj $C$ )	Uwagi
$x^r$	$\dfrac{x^{r+1}}{r + 1}$	$r \neq -1$
$\dfrac1x$	$\ln\|x\|$	na przedziale bez zera
$e^{kx}$	$\dfrac1k\,e^{kx}$	$k \neq 0$
$\sin kx$ , $\ \cos kx$	$-\dfrac1k\cos kx$ , $\ \dfrac1k\sin kx$	radiany
$\dfrac{1}{\cos^2x}$	$\tan x$
$\dfrac{1}{1 + x^2}$ , $\ \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	$\arctan x$ , $\ \arcsin x$	drugi wzór dla $\|x\| < 1$

Wzór na $\int\frac{\mathrm{d}x}{x}$ ma moduł, bo dla $x < 0$ mamy $\left(\ln(-x)\right)' = \dfrac{-1}{-x} = \dfrac1x$ . Wzór na $x^r$ przy $r = -1$ dawałby dzielenie przez zero, i właśnie w tę lukę wchodzi logarytm.GS 7.2

Przykład 2.1 Od przyspieszenia do położenia

Samochód rusza z miejsca z przyspieszeniem, które maleje w miarę rozpędzania: $a(t) = 3\,e^{-t/5}$ (SI). Wyznacz $v(t)$ i $x(t)$ , jeśli $v(0) = 0$ i $x(0) = 0$ . Ile wynoszą prędkość i przejechana droga po 10 s? Do jakiej prędkości dąży samochód?

$v(t) = \int 3e^{-t/5}\,\mathrm{d}t = -15\,e^{-t/5} + C_1$ . Z $v(0) = 0$ : $C_1 = 15$ , więc $v(t) = 15\left(1 - e^{-t/5}\right)$ .
$x(t) = \int 15\left(1 - e^{-t/5}\right)\mathrm{d}t = 15t + 75\,e^{-t/5} + C_2$ . Z $x(0) = 0$ : $C_2 = -75$ , więc $x(t) = 15t - 75\left(1 - e^{-t/5}\right)$ .
Po 10 s: $v = 15(1 - e^{-2}) \approx 13{,}0$ m/s, $x = 150 - 75(1 - e^{-2}) \approx 85{,}2$ m.
Dla $t \to \infty$ : $v \to 15$ m/s.

Wynik: $v(t) = 15(1 - e^{-t/5})$ , $x(t) = 15t - 75(1 - e^{-t/5})$ ; po 10 s ok. 13 m/s i 85 m; prędkość graniczna 15 m/s.

Sprawdzenie: $\dot x = 15 - 15e^{-t/5} = v$ ✓, $\dot v = 3e^{-t/5} = a$ ✓. Droga 85 m jest mniejsza niż $15\cdot10 = 150$ m, bo samochód dopiero się rozpędzał ✓

Zadania · część 2

6 zadań · ok. 45 min

Oblicz: (a) $\int(3x^2 - 4x + 5)\,\mathrm{d}x$ , (b) $\int\left(\dfrac1x + e^{2x}\right)\mathrm{d}x$ , (c) $\int\cos3x\,\mathrm{d}x$ . Sprawdź każdy wynik różniczkowaniem.

Odpowiedź
(a) $x^3 - 2x^2 + 5x + C$ ; (b) $\ln|x| + \tfrac12e^{2x} + C$ ; (c) $\tfrac13\sin3x + C$ .
Oblicz: (a) $\int_1^e\dfrac{\mathrm{d}x}{x}$ , (b) $\int_0^{\pi/2}\cos x\,\mathrm{d}x$ , (c) $\int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x$ .

Odpowiedź
(a) $\ln e - \ln1 = 1$ ; (b) $\sin\tfrac\pi2 - \sin0 = 1$ ; (c) $e - 1 \approx 1{,}718$ .
Niech $F(x) = \int_0^x t\,e^{-t}\,\mathrm{d}t$ . Nie licząc całki, wyznacz $F'(x)$ i odpowiedz, czy $F$ jest rosnąca dla $x > 0$ .

Odpowiedź
Z twierdzenia głównego $F'(x) = x\,e^{-x}$ . Dla $x > 0$ pochodna jest dodatnia, więc $F$ rośnie. Każdy kolejny pasek dokłada dodatnie pole.
Oblicz pochodną funkcji $G(x) = \int_0^{x^2}\sin t\,\mathrm{d}t$ na dwa sposoby: z twierdzenia głównego i reguły łańcuchowej oraz po obliczeniu całki.

Odpowiedź
$G(x) = F(x^2)$ , gdzie $F' = \sin$ , więc $G'(x) = \sin(x^2)\cdot2x$ . Wprost: $G(x) = 1 - \cos(x^2)$ , $G'(x) = 2x\sin(x^2)$ ✓.
Piłkę rzucono pionowo w górę z wysokości 5 m z prędkością 20 m/s ( $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ ). Całkując $a = -g$ dwukrotnie, wyznacz $v(t)$ i $h(t)$ . Na jaką wysokość się wzniesie i kiedy spadnie na ziemię?

Odpowiedź
$v = 20 - 10t$ , $h = 5 + 20t - 5t^2$ . Najwyżej dla $t = 2$ s: $h = 25$ m. Upadek: $5t^2 - 20t - 5 = 0$ , $t = 2 + \sqrt5 \approx 4{,}24$ s.
Student liczy $\int_{-1}^{1}\dfrac{\mathrm{d}x}{x^2} = \left[-\dfrac1x\right]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2$ . Dlaczego wynik musi być błędny bez żadnego liczenia? Które założenie wzoru Newtona–Leibniza nie jest spełnione?

Odpowiedź
Funkcja podcałkowa jest dodatnia, więc całka nie może być ujemna. Wzór wymaga, żeby $f$ była ciągła na całym $[a,\ b]$ , a $1/x^2$ nie jest nawet określona w zerze i rośnie tam nieograniczenie. To całka niewłaściwa (część 7), w tym przypadku rozbieżna: pole jest nieskończone.

Więcej zadań: GS ćw. 7.2.4, 8.4.5, 8.7.6.

3 Własności i wartość średnia

3.1 Rachunek na całkach

Poniższe reguły wynikają z tego, że całka jest granicą sumy (zamiana granic to umowa zgodna z tą intuicją):GS 8.4.7, 8.6

Liniowość: $\int_a^b(\alpha f + \beta g) = \alpha\int_a^b f + \beta\int_a^b g$ .
Addytywność względem przedziału: $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$ . Dzięki temu możemy dzielić przedział tam, gdzie zmienia się wzór albo znak funkcji.
Zamiana granic: $\int_b^a f = -\int_a^b f$ i $\int_a^a f = 0$ . Sumowanie „pod prąd” daje ujemne $\Delta x$ .
Nierówności: jeśli $f \le g$ na $[a,\ b]$ , to $\int_a^b f \le \int_a^b g$ . W szczególności, gdy $m \le f \le M$ , to $m(b - a) \le \int_a^b f \le M(b - a)$ . To pozwala szybko oszacować całkę, zanim ją policzymy.

3.2 Wartość średnia funkcji

Średnia arytmetyczna $n$ liczb to ich suma podzielona przez $n$ . Średnia funkcji na przedziale to „suma” wartości, czyli całka, podzielona przez długość przedziału:GS 8.6.10, 8.6.13

Definicja i twierdzenie · wartość średnia

\bar f = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x .

Geometrycznie $\bar f$ to wysokość prostokąta o podstawie $b - a$ i tym samym polu co obszar pod wykresem. Jeśli $f$ jest ciągła, to przyjmuje wartość średnią w co najmniej jednym punkcie $c \in (a,\ b)$ : $\int_a^b f = (b - a)\,f(c)$ .

Najważniejszy przykład w fizyce to prędkość średnia. Przemieszczenie to $\int v\,\mathrm{d}t$ , więc $\bar v = \dfrac{1}{t_2 - t_1}\int_{t_1}^{t_2}v\,\mathrm{d}t = \dfrac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}$ . Definicja średniej z całki zgadza się z tą, którą znasz ze szkoły. Średnia w czasie nie jest jednak średnią z wartości na końcach przedziału. Dla funkcji liniowej te dwie średnie są zawsze równe, dla innych funkcji na ogół się różnią.

3.3 Symetria oszczędza rachunki

Dla funkcji nieparzystej ( $f(-x) = -f(x)$ ) całka po przedziale symetrycznym $[-a,\ a]$ jest zerem, bo pola po obu stronach zera się znoszą. Dla funkcji parzystej ( $f(-x) = f(x)$ ) jest równa podwojonej całce po $[0,\ a]$ . Dla funkcji okresowej o okresie $T$ całka po dowolnym przedziale długości $T$ jest taka sama.GS 8.6.14

Przykład 3.1 Średnia temperatura w godzinach pracy

Temperatura w ciągu doby zmienia się w przybliżeniu jak $T(t) = 12 + 6\sin\dfrac{\pi(t - 9)}{12}$ °C, gdzie $t$ to godzina (od 0 do 24). Oblicz średnią temperaturę z całej doby i z godzin pracy od 9 do 17.

Sinus ma okres 24 h, więc jego całka po całej dobie jest zerem. Średnia dobowa to $12$ °C.
Godziny pracy: $\bar T = 12 + \dfrac68\displaystyle\int_9^{17}\sin\frac{\pi(t - 9)}{12}\,\mathrm{d}t$ . Funkcja pierwotna sinusa: $-\dfrac{12}{\pi}\cos\dfrac{\pi(t - 9)}{12}$ .
$\displaystyle\int_9^{17}\dots = \frac{12}{\pi}\left(\cos0 - \cos\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{12}{\pi}\cdot\frac32 = \frac{18}{\pi}$ .
$\bar T = 12 + \dfrac68\cdot\dfrac{18}{\pi} = 12 + \dfrac{27}{2\pi} \approx 16{,}3$ °C.

Wynik: średnia dobowa 12 °C, średnia w godzinach pracy ok. 16,3 °C.

Sprawdzenie: wynik mieści się między najniższą temperaturą w tym przedziale (12 °C o godz. 9) a najwyższą (18 °C o godz. 15) ✓

Przykład 3.2 Całka, której nie trzeba liczyć

Oblicz $\displaystyle\int_{-2}^{2}\left(x^3 + x\cos x + 4\right)\mathrm{d}x$ .

$x^3$ jest nieparzysta. $x\cos x$ też, bo $(-x)\cos(-x) = -x\cos x$ . Ich całki po $[-2,\ 2]$ są zerami.
Zostaje $\int_{-2}^{2}4\,\mathrm{d}x = 4\cdot4 = 16$ .

Wynik: 16.

Sprawdzenie: funkcja pierwotna $x\cos x$ wymaga całkowania przez części (część 4) i daje $x\sin x + \cos x$ . Wyrażenie $\left[x\sin x + \cos x\right]_{-2}^{2}$ jest równe zeru, bo funkcja pierwotna jest parzysta ✓

Zadania · część 3

5 zadań · ok. 35 min

Oblicz wartość średnią $\sin x$ na przedziale $[0,\ \pi]$ . Czy jest większa, czy mniejsza od $\tfrac12$ ?

Odpowiedź
$\dfrac1\pi\int_0^\pi\sin x\,\mathrm{d}x = \dfrac2\pi \approx 0{,}637$ . Większa od $\tfrac12$ , bo łuk sinusa jest „pełniejszy” od trójkąta.
Oblicz wartość średnią $x^2$ na $[0,\ 3]$ i znajdź punkt $c$ , w którym funkcja ją przyjmuje.

Odpowiedź
$\bar f = \tfrac13\cdot9 = 3$ , $c^2 = 3$ , $c = \sqrt3 \approx 1{,}73$ . Punkt nie leży w środku przedziału, bo funkcja nie jest liniowa.
Bez liczenia funkcji pierwotnej oszacuj z dołu i z góry $\int_0^1\dfrac{\mathrm{d}x}{1 + x^2}$ . Potem oblicz ją dokładnie.

Odpowiedź
Na $[0,\ 1]$ : $\tfrac12 \le \dfrac{1}{1 + x^2} \le 1$ , więc całka leży między $0{,}5$ a $1$ . Dokładnie: $\arctan1 = \tfrac\pi4 \approx 0{,}785$ .
Punkt rusza z prędkością $v_0 = 5$ m/s i przyspiesza jednostajnie z $a = 2\ \mathrm{m/s^2}$ . Oblicz jego średnią szybkość w pierwszych 5 s jako średnią całkową. Porównaj z $\tfrac12(v_0 + v_5)$ . (GS ćw. 8.6.12)

Odpowiedź
$\bar v = \tfrac15\int_0^5(5 + 2t)\,\mathrm{d}t = \tfrac15(25 + 25) = 10$ m/s. $\tfrac12(5 + 15) = 10$ m/s: równe, bo prędkość jest liniową funkcją czasu.
Oblicz $\int_0^{10\pi}|\sin x|\,\mathrm{d}x$ , korzystając z okresowości. Jaka jest średnia wartość $|\sin x|$ w długim czasie? Gdzie w elektrotechnice pojawia się ta liczba?

Odpowiedź
$|\sin x|$ ma okres $\pi$ , a $\int_0^\pi\sin x = 2$ , więc wynik to $10\cdot2 = 20$ . Średnia: $\dfrac{2}{\pi} \approx 0{,}637$ . To średnia wartość napięcia po wyprostowaniu dwupołówkowym: $U_\text{śr} = \dfrac2\pi U_0$ .

Więcej zadań: GS ćw. 8.6.11, 8.6.15.

4 Podstawienie i części

Różniczkować umiemy wszystko, a całkować tylko to, co rozpoznamy jako pochodną. Dwie najważniejsze techniki to dwie reguły różniczkowania czytane od tyłu.

4.1 Podstawienie: reguła łańcuchowa od tyłu

Z reguły łańcuchowej $\big[F(g(x))\big]' = f(g(x))\,g'(x)$ , gdzie $F' = f$ . Czytając ją od tyłu:GS 7.3.11, 8.5.3

Twierdzenie · całkowanie przez podstawienie

\int f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,\mathrm{d}x = \int f(u)\,\mathrm{d}u\Big|_{u = g(x)}, \qquad \int_a^b f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,\mathrm{d}x = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,\mathrm{d}u .

Zapis Leibniza robi to automatycznie: $u = g(x)$ , $\mathrm{d}u = g'(x)\,\mathrm{d}x$ . W całce oznaczonej zmieniamy granice razem ze zmienną i nie musimy wracać do $x$ .

Czego szukać pod całką? Pary: jakiejś funkcji wewnętrznej $g(x)$ i jej pochodnej $g'(x)$ jako czynnika. W $\int x\,e^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x$ funkcją wewnętrzną jest $-x^2/2$ , a jej pochodna $-x$ stoi obok (z dokładnością do znaku). Najczęstszy przypadek to funkcja liniowa w środku: $\int f(ax + b)\,\mathrm{d}x = \dfrac1a\,F(ax + b) + C$ .

4.2 Przez części: reguła iloczynu od tyłu

Całkujemy regułę iloczynu $(uv)' = u'v + uv'$ i przenosimy jeden wyraz na drugą stronę:GS 7.3.4, 8.5.1

Twierdzenie · całkowanie przez części

\int u\,v'\,\mathrm{d}x = u\,v - \int u'\,v\,\mathrm{d}x, \qquad \int_a^b u\,v'\,\mathrm{d}x = \Big[u\,v\Big]_a^b - \int_a^b u'\,v\,\mathrm{d}x .

Za $u$ bierzemy czynnik, który po zróżniczkowaniu się upraszcza (wielomian, $\ln x$ ). Za $v'$ bierzemy czynnik, który łatwo scałkować ( $e^x$ , $\sin x$ , $\cos x$ ).

Wzór nie oblicza całki do końca, tylko zamienia ją na inną. Opłaca się, gdy nowa całka $\int u'v$ jest prostsza od starej. Przy $x^n e^x$ każde całkowanie przez części obniża potęgę o 1, więc po $n$ krokach zostaje całka elementarna.

Przykład 4.1 Podstawienie w całce oznaczonej

Oblicz $\displaystyle\int_0^2 x\,e^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x$ .

Podstawienie $u = \dfrac{x^2}{2}$ , $\mathrm{d}u = x\,\mathrm{d}x$ . Czynnik $x\,\mathrm{d}x$ stoi pod całką.
Granice: $x = 0 \mapsto u = 0$ , $\ x = 2 \mapsto u = 2$ .
$\displaystyle\int_0^2 e^{-u}\,\mathrm{d}u = \Big[-e^{-u}\Big]_0^2 = 1 - e^{-2} \approx 0{,}865$ .

Wynik: $1 - e^{-2} \approx 0{,}865$ .

Sprawdzenie: $\left(-e^{-x^2/2}\right)' = x\,e^{-x^2/2}$ ✓. Funkcja $x\,e^{-x^2/2}$ to gęstość rozkładu Rayleigha (z $\sigma = 1$ ). Gdy górna granica rośnie do nieskończoności, całka dąży do 1: to normalizacja tego rozkładu. Całki do nieskończoności omawiamy w części 7.

Przykład 4.2 Przez części w całce oznaczonej

Oblicz $\displaystyle\int_0^{\pi/2}x\cos x\,\mathrm{d}x$ .

$u = x$ , $u' = 1$ ; $\ v' = \cos x$ , $v = \sin x$ .
$\displaystyle\int_0^{\pi/2}x\cos x\,\mathrm{d}x = \Big[x\sin x\Big]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2}\sin x\,\mathrm{d}x = \frac\pi2 - 1$ .

Wynik: $\dfrac\pi2 - 1 \approx 0{,}571$ .

Sprawdzenie: funkcja pierwotna $x\sin x + \cos x$ ma pochodną $\sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x$ ✓. Szacunek: $0 \le x\cos x \le 0{,}57$ na tym przedziale, a przedział ma długość $1{,}57$ , więc całka jest mniejsza od $0{,}9$ ✓

Zadania · część 4

6 zadań · ok. 50 min

Oblicz: (a) $\int\sin\omega t\,\mathrm{d}t$ , (b) $\int(3x - 1)^4\,\mathrm{d}x$ , (c) $\int e^{-kt}\,\mathrm{d}t$ ( $k \neq 0$ ).

Odpowiedź
(a) $-\dfrac1\omega\cos\omega t + C$ ; (b) $\dfrac{(3x - 1)^5}{15} + C$ ; (c) $-\dfrac1k e^{-kt} + C$ .
Oblicz: (a) $\int\dfrac{2x}{x^2 + 1}\,\mathrm{d}x$ , (b) $\int\cos x\,e^{\sin x}\,\mathrm{d}x$ .

Odpowiedź
(a) $u = x^2 + 1$ : $\ln(x^2 + 1) + C$ ; (b) $u = \sin x$ : $e^{\sin x} + C$ .
Oblicz $\int_0^1 x^3\sqrt{1 + x^4}\,\mathrm{d}x$ , zmieniając granice całkowania.

Odpowiedź
$u = 1 + x^4$ , $\mathrm{d}u = 4x^3\mathrm{d}x$ , granice $1 \mapsto 2$ : $\tfrac14\int_1^2\sqrt u\,\mathrm{d}u = \tfrac16\left(2^{3/2} - 1\right) \approx 0{,}305$ .
Oblicz $\int x\ln x\,\mathrm{d}x$ . Którą funkcję wybierasz za $u$ i dlaczego?

Odpowiedź
$u = \ln x$ (upraszcza się do $1/x$ ), $v' = x$ , $v = \tfrac12x^2$ : $\tfrac12x^2\ln x - \int\tfrac12x\,\mathrm{d}x = \tfrac12x^2\ln x - \tfrac14x^2 + C$ . Odwrotny wybór ( $u = x$ , $v' = \ln x$ ) wymaga najpierw znalezienia $\int\ln x\,\mathrm{d}x = x\ln x - x$ i prowadzi do całki, która zawiera wyjściową: to droga okrężna.
Oblicz $\int_0^\pi x^2\sin x\,\mathrm{d}x$ . Całkowania przez części trzeba użyć dwa razy.

Odpowiedź
Funkcja pierwotna: $-x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x$ . Wynik: $(\pi^2 - 2) - 2 = \pi^2 - 4 \approx 5{,}87$ .
Oblicz $\int_0^1\sqrt{1 - x^2}\,\mathrm{d}x$ podstawieniem $x = \sin t$ . Jaką figurę opisuje ta całka i czy wynik się zgadza?

Wskazówka
$\mathrm{d}x = \cos t\,\mathrm{d}t$ , granice $0 \mapsto 0$ , $1 \mapsto \tfrac\pi2$ , a $\cos^2t = \tfrac12(1 + \cos2t)$ .

Odpowiedź
$\int_0^{\pi/2}\cos^2t\,\mathrm{d}t = \tfrac12\left[t + \tfrac12\sin2t\right]_0^{\pi/2} = \tfrac\pi4$ . To ćwiartka koła o promieniu 1, czyli $\tfrac14\pi\cdot1^2$ ✓.

Więcej zadań: GS ćw. 7.3.5, 7.3.13, 8.5.2, 8.5.4.

5 Całka w kinematyce

5.1 Przemieszczenie i droga

W krótkim czasie $\mathrm{d}t$ ciało przesuwa się o $v\,\mathrm{d}t$ . Sumując te kawałki, dostajemy przemieszczenie, a sumując ich długości, drogę:FLP I-8-4 · GS 8.3, 9.2.1

\Delta x = x(t_2) - x(t_1) = \int_{t_1}^{t_2}v(t)\,\mathrm{d}t, \qquad s = \int_{t_1}^{t_2}|v(t)|\,\mathrm{d}t .

Na wykresie $v(t)$ przemieszczenie to pole ze znakiem, a droga to pole bez znaku. Żeby policzyć drogę, dzielimy przedział w chwilach, w których $v = 0$ , i dodajemy wartości bezwzględne całek z kawałków. Tak samo prędkość to całka z przyspieszenia: $v(t_2) - v(t_1) = \int_{t_1}^{t_2}a\,\mathrm{d}t$ .

5.2 Całka z wektora

Wektory całkujemy po składowych, tak jak je różniczkowaliśmy. Jeśli znamy $\vec a(t)$ , położenie i prędkość początkowe, to:GS 8.3.2

\vec v(t) = \vec v_0 + \int_0^t\vec a(\tau)\,\mathrm{d}\tau, \qquad \vec r(t) = \vec r_0 + \int_0^t\vec v(\tau)\,\mathrm{d}\tau .

Zmienną pod całką oznaczyliśmy $\tau$ , bo $t$ jest już zajęte przez górną granicę. Dla stałego przyspieszenia wychodzi znany wzór $\vec r = \vec r_0 + \vec v_0t + \tfrac12\vec a\,t^2$ . Rzut ukośny to po prostu ten wzór z $\vec a = [0,\ -g]$ .

Przykład 5.1 Ruch drgający: tam i z powrotem

Prędkość ciała to $v(t) = 6\cos\dfrac{\pi t}{4}$ m/s. Oblicz przemieszczenie i drogę w przedziale $[0;\ 6]$ s.

Funkcja pierwotna: $X(t) = \dfrac{24}{\pi}\sin\dfrac{\pi t}{4}$ .
Przemieszczenie: $X(6) - X(0) = \dfrac{24}{\pi}\sin\dfrac{3\pi}{2} = -\dfrac{24}{\pi} \approx -7{,}64$ m.
$v = 0$ dla $t = 2$ s. Na $[0;\ 2]$ : $X(2) - X(0) = \dfrac{24}{\pi} \approx 7{,}64$ m. Na $[2;\ 6]$ : $X(6) - X(2) = -\dfrac{48}{\pi} \approx -15{,}28$ m.
Droga: $7{,}64 + 15{,}28 \approx 22{,}9$ m.

Wynik: przemieszczenie $-\dfrac{24}{\pi} \approx -7{,}6$ m, droga $\dfrac{72}{\pi} \approx 22{,}9$ m.

Sprawdzenie: droga $\ge |\text{przemieszczenie}|$ ✓. Ruch to drgania z amplitudą $24/\pi \approx 7{,}6$ m: ciało przeszło od środka do skrajnego położenia, potem przez środek do drugiego skrajnego. To trzy amplitudy ✓

Przykład 5.2 Położenie z wektora prędkości

Prędkość punktu to $\vec v(t) = [1,\ \cos t,\ \sin t]$ , a w chwili $t = 0$ był on w początku układu. Gdzie jest w chwili $t = \pi$ ? Jaką drogę przebył? (GS ćw. 8.3.3)

Po składowych: $\vec r(t) = \left[t,\ \sin t,\ 1 - \cos t\right]$ . Stałe dobraliśmy tak, żeby $\vec r(0) = \vec 0$ .
$\vec r(\pi) = [\pi,\ 0,\ 2]$ .
Szybkość: $|\vec v| = \sqrt{1 + \cos^2t + \sin^2t} = \sqrt2$ , stała. Droga to $\sqrt2\,\pi \approx 4{,}44$ .

Wynik: $\vec r(\pi) = [\pi,\ 0,\ 2]$ ; droga $\sqrt2\,\pi \approx 4{,}44$ .

Sprawdzenie: odległość od startu to $\sqrt{\pi^2 + 4} \approx 3{,}72$ , mniej niż droga ✓. Tor to linia śrubowa o osi równoległej do osi $x$ (prosta $y = 0$ , $z = 1$ ): składowe $y$ i $z$ krążą po okręgu o promieniu 1 wokół punktu $(0,\ 1)$ .

Zadania · część 5

5 zadań · ok. 40 min

$v(t) = 3t^2 - 12$ m/s. Oblicz przemieszczenie i drogę w przedziale $[0;\ 3]$ s.

Odpowiedź
$X(t) = t^3 - 12t$ . Przemieszczenie $X(3) - X(0) = -9$ m. $v = 0$ dla $t = 2$ : na $[0;\ 2]$ przemieszczenie $-16$ m, na $[2;\ 3]$ $+7$ m. Droga $23$ m.
$a(t) = 2t$ (SI), $v(0) = 1$ m/s, $x(0) = 0$ . Wyznacz $v(t)$ , $x(t)$ i położenie po 3 s.

Odpowiedź
$v = t^2 + 1$ , $x = \tfrac13t^3 + t$ , $x(3) = 12$ m.
Winda rusza z przyspieszeniem $1\ \mathrm{m/s^2}$ przez 2 s, potem jedzie ze stałą prędkością przez 6 s, a na koniec hamuje z opóźnieniem $1\ \mathrm{m/s^2}$ do zatrzymania. Narysuj $v(t)$ i oblicz wysokość, na jaką wjechała, jako pole pod wykresem.

Odpowiedź
Wykres to trapez: $v_\text{max} = 2$ m/s, hamowanie trwa 2 s. Pole $= 2 + 12 + 2 = 16$ m.
Skoczek w dal rozpędza się z miejsca ze stałym przyspieszeniem $2\ \mathrm{m/s^2}$ przez 5 s. Oblicz długość rozbiegu i prędkość w chwili odbicia. (GS ćw. 9.2.2)

Odpowiedź
$v = 2t$ , $s = \int_0^5 2t\,\mathrm{d}t = 25$ m, $v(5) = 10$ m/s.
Kamień rzucono z ziemi z prędkością $\vec v_0 = [12,\ 16]$ m/s, przyspieszenie $\vec a = [0,\ -10]\ \mathrm{m/s^2}$ . Całkując po składowych, wyznacz $\vec r(t)$ . Kiedy i gdzie kamień spadnie? Jak wysoko się wzniesie?

Odpowiedź
$\vec v = [12,\ 16 - 10t]$ , $\vec r = [12t,\ 16t - 5t^2]$ . Upadek dla $t = 3{,}2$ s, w odległości $38{,}4$ m. Najwyżej dla $t = 1{,}6$ s: $12{,}8$ m.

Więcej zadań: GS ćw. 9.2.2.

6 Wytnij, zapisz, zsumuj

W fizyce całka rzadko pojawia się jako „pole pod wykresem”. Prawie zawsze powstaje z tego samego przepisu w trzech krokach:

Wytnij mały kawałek: odcinek pręta $\mathrm{d}x$ , chwilę $\mathrm{d}t$ , cienką warstwę $\mathrm{d}r$ .
Zapisz wkład tego kawałka, zakładając, że w jego obrębie wszystko jest stałe: masa $\mathrm{d}m = \lambda\,\mathrm{d}x$ , praca $\mathrm{d}W = F\,\mathrm{d}x$ , moment bezwładności $\mathrm{d}I = r^2\,\mathrm{d}m$ .
Zsumuj wkłady całką po wszystkich kawałkach.

Założenie „w obrębie kawałka wszystko jest stałe” jest fałszywe dla każdego skończonego kawałka, ale błąd znika w granicy. To dokładnie ten sam argument, którego Feynman używa przy drodze i prędkości.

6.1 Masa i środek masy

Pręt o gęstości liniowej $\lambda(x)$ [kg/m] dzielimy na kawałki o masie $\mathrm{d}m = \lambda(x)\,\mathrm{d}x$ . Masa i środek masy to:FLP I-19-1

m = \int_0^L\lambda(x)\,\mathrm{d}x, \qquad x_S = \frac1m\int_0^L x\,\lambda(x)\,\mathrm{d}x .

Środek masy to więc średnia położeń, ważona masą. Dla jednorodnego pręta wypada w środku, a dla pręta gęstniejącego ku jednemu końcowi przesuwa się w jego stronę.

6.2 Praca siły zmiennej

Gdy siła zależy od położenia, praca na krótkim odcinku $\mathrm{d}x$ to $F(x)\,\mathrm{d}x$ , a cała praca to całka. Feynman dochodzi do tej całki, wyprowadzając z drugiej zasady dynamiki twierdzenie o pracy i energii kinetycznej: $\mathrm{d}T = \vec F\cdot\mathrm{d}\vec s$ , więc $\Delta T = \int\vec F\cdot\mathrm{d}\vec s$ . Liczy się tylko składowa siły wzdłuż drogi.FLP I-13-1 · GS 9.2.3

W = \int_{x_1}^{x_2}F(x)\,\mathrm{d}x .

Trzy przypadki, które spotkasz na każdym kroku:

Sprężyna: praca potrzebna do rozciągnięcia, $F = kx$ : $W = \tfrac12kx_2^2 - \tfrac12kx_1^2$ . Pole trójkąta, stąd ułamek $\tfrac12$ .
Grawitacja: praca potrzebna do oddalenia ciała z $r_1$ na $r_2$ wbrew przyciąganiu $F = \dfrac{GMm}{r^2}$ : $W = GMm\left(\dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2}\right)$ .
Gaz: praca wykonana przez gaz rozprężający się w tłoku, $W = \int p\,\mathrm{d}V$ . W przemianie izotermicznej $p = nRT/V$ , więc $W = nRT\ln\dfrac{V_2}{V_1}$ .

6.3 Moment bezwładności

Moment bezwładności to suma $m_ir_i^2$ po wszystkich punktach ciała. Dla ciała ciągłego wycinamy kawałki $\mathrm{d}m$ w odległości $r$ od osi i sumujemy: $I = \int r^2\,\mathrm{d}m$ . Feynman liczy tak moment bezwładności pręta i pokazuje, że pręt znacznie łatwiej obracać wokół środka niż wokół końca. Wyprowadza też twierdzenie o osiach równoległych (Steinera).FLP I-19-3

Przykład 6.1 Praca gazu w izotermicznym rozprężaniu

Mol gazu doskonałego w temperaturze 300 K rozpręża się izotermicznie, aż jego objętość się podwoi. Oblicz pracę wykonaną przez gaz.

Wytnij: mała zmiana objętości $\mathrm{d}V$ . Zapisz: $\mathrm{d}W = p\,\mathrm{d}V$ , gdzie $p = \dfrac{nRT}{V}$ .
Zsumuj: $W = \displaystyle\int_{V_1}^{2V_1}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V = nRT\Big[\ln V\Big]_{V_1}^{2V_1} = nRT\ln2$ .
$W = 1\cdot8{,}314\cdot300\cdot0{,}693 \approx 1730$ J.

Wynik: $W = nRT\ln2 \approx 1{,}73$ kJ.

Sprawdzenie: wynik nie zależy od tego, jaka była objętość początkowa, tylko od stosunku $V_2/V_1$ ✓. Ciśnienie maleje w trakcie rozprężania, więc praca jest mniejsza niż $p_1(V_2 - V_1) = nRT$ ✓

Przykład 6.2 Moment bezwładności pręta

Jednorodny pręt ma masę $M$ i długość $L$ . Oblicz jego moment bezwładności względem osi prostopadłej do pręta, przechodzącej przez środek, i względem osi przechodzącej przez koniec.

Kawałek pręta o masie dm = λ dx w odległości x od osi

Wytnij: kawałek $\mathrm{d}x$ w odległości $x$ od osi. Zapisz: $\mathrm{d}m = \dfrac ML\,\mathrm{d}x$ , $\mathrm{d}I = x^2\,\mathrm{d}m$ .
Oś w środku: $I_S = \dfrac ML\displaystyle\int_{-L/2}^{L/2}x^2\,\mathrm{d}x = \frac ML\cdot\frac{2}{3}\left(\frac L2\right)^3 = \frac{ML^2}{12}$ .
Oś na końcu: $I_0 = \dfrac ML\displaystyle\int_0^L x^2\,\mathrm{d}x = \frac{ML^2}{3}$ .

Wynik: $I_S = \tfrac{1}{12}ML^2$ , $\ I_0 = \tfrac13ML^2$ .

Sprawdzenie: twierdzenie Steinera, $I_0 = I_S + M\left(\tfrac L2\right)^2 = \tfrac{1}{12}ML^2 + \tfrac14ML^2 = \tfrac13ML^2$ ✓. Wokół osi na końcu pręt obraca się trudniej, bo więcej masy jest daleko od osi. Feynman liczy $I_S$ sprytniej, bez drugiej całki: pręt obracany wokół środka to dwa pręty o masie $M/2$ i długości $L/2$ obracane wokół końca, więc $I_S = 2\cdot\tfrac13\cdot\tfrac M2\left(\tfrac L2\right)^2 = \tfrac{1}{12}ML^2$ .

Zadania · część 6

5 zadań · ok. 45 min

Sprężyna ma stałą $k = 400$ N/m. Oblicz pracę potrzebną do rozciągnięcia jej o pierwsze 10 cm i o kolejne 10 cm. Dlaczego druga praca jest większa?

Odpowiedź
$\tfrac12\cdot400\cdot0{,}1^2 = 2$ J oraz $\tfrac12\cdot400\cdot(0{,}2^2 - 0{,}1^2) = 6$ J. Na drugim odcinku siła jest większa, bo rośnie z wydłużeniem, więc pole pod wykresem jest trzy razy większe.
Pręt o długości 2 m ma gęstość $\lambda(x) = 1 + x$ kg/m. Oblicz jego masę i położenie środka masy.

Odpowiedź
$m = \int_0^2(1 + x)\,\mathrm{d}x = 4$ kg, $x_S = \tfrac14\int_0^2x(1 + x)\,\mathrm{d}x = \tfrac14\left(2 + \tfrac83\right) = \tfrac76 \approx 1{,}17$ m, czyli bliżej cięższego końca.
Walcowy zbiornik o promieniu 1 m i wysokości 3 m jest pełen wody. Jaką pracę trzeba wykonać, żeby wypompować całą wodę przez górną krawędź?

Wskazówka
Wytnij poziomą warstwę grubości $\mathrm{d}y$ na wysokości $y$ . Trzeba ją podnieść o $3 - y$ .

Odpowiedź
$\mathrm{d}W = \rho g\pi R^2(3 - y)\,\mathrm{d}y$ , $W = \rho g\pi\int_0^3(3 - y)\,\mathrm{d}y = 1000\cdot9{,}81\cdot\pi\cdot4{,}5 \approx 1{,}39\cdot10^5$ J. To tyle, ile praca podniesienia całej wody o 1,5 m, czyli od jej środka masy do krawędzi.
Oblicz pracę potrzebną do podniesienia ciała o masie 400 kg na wysokość 140 km nad powierzchnię Ziemi ( $R = 6400$ km, $g = 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$ ). Porównaj z $mgh$ . (GS ćw. 9.2.4)

Wskazówka
$GM = gR^2$ .

Odpowiedź
$W = GMm\left(\dfrac1R - \dfrac{1}{R + h}\right) = mg\dfrac{Rh}{R + h} \approx 5{,}38\cdot10^8$ J. $mgh \approx 5{,}49\cdot10^8$ J, ok. 2% za dużo, bo zakłada, że siła ciężkości nie maleje z wysokością.
Oblicz moment bezwładności jednorodnego cienkiego krążka o masie $M$ i promieniu $R$ względem osi prostopadłej do krążka przez jego środek. Wytnij cienki pierścień o promieniu $r$ i szerokości $\mathrm{d}r$ .

Odpowiedź
Gęstość powierzchniowa $\sigma = \dfrac{M}{\pi R^2}$ . Pierścień: $\mathrm{d}m = \sigma\,2\pi r\,\mathrm{d}r$ , $\mathrm{d}I = r^2\mathrm{d}m$ . $I = 2\pi\sigma\int_0^R r^3\,\mathrm{d}r = \tfrac12MR^2$ .

Więcej zadań: GS ćw. 8.3.1, 9.2.4.

7 Całki niewłaściwe

Definicja z części 1 wymaga skończonego przedziału i ograniczonej funkcji. W fizyce często potrzebujemy więcej: pracy potrzebnej do odsunięcia ciała „do nieskończoności” albo ładunku, który przepłynie przez rozładowujący się kondensator w „nieskończenie długim” czasie. Takie całki definiujemy jako granice:

\int_a^\infty f(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x, \qquad \int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{\varepsilon\to0^+}\int_\varepsilon^1 f(x)\,\mathrm{d}x \ \ (\text{gdy } f \text{ nie jest ograniczona przy } 0) .

Gdy granica istnieje i jest skończona, całka jest zbieżna. W przeciwnym razie jest rozbieżna.

Wzorzec · potęgi

\int_1^\infty\frac{\mathrm{d}x}{x^p}\ \text{jest zbieżna} \iff p > 1, \qquad \int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{x^p}\ \text{jest zbieżna} \iff p < 1 .

Przypadek graniczny to $p = 1$ , czyli $\dfrac1x$ , której funkcja pierwotna $\ln x$ jest nieograniczona zarówno przy $x\to\infty$ , jak i przy $x\to0^+$ , choć rośnie bardzo powoli.

Z tym wzorcem porównujemy inne funkcje. Wykładnicza $e^{-x}$ maleje szybciej niż każda potęga, więc $\int_0^\infty e^{-x}\,\mathrm{d}x = 1$ jest zbieżna. Siła grawitacji maleje jak $1/r^2$ , więc praca do nieskończoności jest skończona. Gdyby malała jak $1/r$ , żadne ciało nie mogłoby uciec z żadnej planety.

Przykład 7.1 Prędkość ucieczki z Ziemi

Jaką najmniejszą prędkość trzeba nadać ciału na powierzchni Ziemi, żeby oddaliło się nieskończenie daleko (bez oporu powietrza)? $GM = 3{,}986\cdot10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}$ , $R = 6371$ km.

Praca przeciw grawitacji: $W = \displaystyle\int_R^\infty\frac{GMm}{r^2}\,\mathrm{d}r = \lim_{b\to\infty}GMm\left(\frac1R - \frac1b\right) = \frac{GMm}{R}$ .
Energia kinetyczna musi wystarczyć na tę pracę: $\tfrac12mv^2 = \dfrac{GMm}{R}$ , więc $v = \sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$ .
$v = \sqrt{\dfrac{2\cdot3{,}986\cdot10^{14}}{6{,}371\cdot10^6}} \approx 11{,}2$ km/s.

Wynik: $v = \sqrt{2GM/R} \approx 11{,}2$ km/s.

Sprawdzenie: masa ciała się skróciła, więc wynik jest taki sam dla piłki i rakiety ✓. Mimo nieskończonej drogi praca jest skończona i wynosi tyle, co podniesienie ciała o $R$ przy stałym $g$ : $\dfrac{GMm}{R} = mgR$ ✓

Przykład 7.2 Cały ładunek kondensatora

Prąd rozładowania kondensatora maleje jak $I(t) = I_0e^{-t/\tau}$ . Jaki ładunek przepłynie w nieskończenie długim czasie? Po jakim czasie przepłynie połowa tego ładunku?

$Q = \displaystyle\int_0^\infty I_0e^{-t/\tau}\,\mathrm{d}t = \lim_{b\to\infty}I_0\tau\left(1 - e^{-b/\tau}\right) = I_0\tau$ .
Połowa: $I_0\tau\left(1 - e^{-T/\tau}\right) = \tfrac12I_0\tau$ , więc $e^{-T/\tau} = \tfrac12$ i $T = \tau\ln2 \approx 0{,}69\,\tau$ .

Wynik: $Q = I_0\tau$ ; połowa ładunku przepływa w czasie $\tau\ln2$ .

Sprawdzenie: $I_0\tau$ to pole prostokąta o wysokości $I_0$ i szerokości $\tau$ . Prąd nigdy nie spada do zera, a mimo to ładunek jest skończony ✓

Zadania · część 7

5 zadań · ok. 40 min

Oblicz: (a) $\int_1^\infty\dfrac{\mathrm{d}x}{x^3}$ , (b) $\int_0^\infty e^{-2x}\,\mathrm{d}x$ .

Odpowiedź
(a) $\lim\left[-\dfrac{1}{2x^2}\right]_1^b = \tfrac12$ ; (b) $\tfrac12$ .
Która z całek jest zbieżna: $\int_0^1\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt x}$ czy $\int_0^1\dfrac{\mathrm{d}x}{x}$ ? Oblicz zbieżną.

Odpowiedź
$\int_\varepsilon^1x^{-1/2} = 2 - 2\sqrt\varepsilon \to 2$ : zbieżna. $\int_\varepsilon^1\dfrac{\mathrm{d}x}{x} = -\ln\varepsilon \to \infty$ : rozbieżna.
Oblicz prędkość ucieczki z Księżyca ( $GM = 4{,}90\cdot10^{12}\ \mathrm{m^3/s^2}$ , $R = 1737$ km). Dlaczego Księżyc praktycznie nie ma atmosfery?

Odpowiedź
$v = \sqrt{2GM/R} \approx 2{,}38$ km/s. W temperaturze nasłonecznionej powierzchni (ok. 390 K) średnia prędkość cząsteczek lekkich gazów to setki m/s do ponad 2 km/s (wodór), a szybsze cząsteczki z ogona rozkładu uciekają. W ciągu miliardów lat Księżyc stracił prawie cały gaz.
Przez opornik płynie prąd $I = I_0e^{-t/\tau}$ . Wydzielana moc to $P = RI^2$ . Oblicz całkowite ciepło wydzielone od $t = 0$ do nieskończoności. Ile go wydzieli się w pierwszym czasie $\tau$ ?

Odpowiedź
$Q_c = RI_0^2\int_0^\infty e^{-2t/\tau}\,\mathrm{d}t = \tfrac12RI_0^2\tau$ . W czasie $\tau$ : $\tfrac12RI_0^2\tau\left(1 - e^{-2}\right)$ , czyli ok. 86% całości.
Wykres $y = 1/x$ dla $x \ge 1$ obracamy wokół osi $x$ (tzw. trąbka Torricellego, nazywana też trąbką Gabriela). Wykaż, że objętość bryły, $\pi\int_1^\infty y^2\,\mathrm{d}x$ , jest skończona, a pole powierzchni, $2\pi\int_1^\infty y\sqrt{1 + y'^2}\,\mathrm{d}x$ , jest nieskończone.

Odpowiedź
Objętość: $\pi\int_1^\infty x^{-2}\,\mathrm{d}x = \pi$ . Pole: $\sqrt{1 + y'^2} \ge 1$ , więc $2\pi\int_1^\infty\dfrac1x\sqrt{1 + x^{-4}}\,\mathrm{d}x \ge 2\pi\int_1^\infty\dfrac{\mathrm{d}x}{x} = \infty$ . „Trąbkę można napełnić farbą, ale nie da się jej pomalować”: o zbieżności decyduje wykładnik, $x^{-2}$ czy $x^{-1}$ .

Więcej zadań: całki niewłaściwe omawia druga część skryptu Gewerta i Skoczylasa (Analiza matematyczna 2).

8 Błędne intuicje

Najczęstsze błędy przy całkach to nie pomyłki w tabeli, tylko fałszywe obrazy.

„Całka to pole, więc zawsze jest dodatnia.”: Całka to pole ze znakiem. Części pod osią liczą się z minusem, więc $\int_0^{2\pi}\sin x = 0$ . Pole geometryczne to całka z $|f|$ (część 1.2).
„Przemieszczenie i droga to to samo.”: Tylko gdy ciało nie zawraca. Droga to $\int|v|\,\mathrm{d}t$ i trzeba dzielić przedział tam, gdzie $v = 0$ (część 5, przykład 5.1).
„Stałą $C$ można pominąć.”: W całce oznaczonej się skraca, ale w całce nieoznaczonej niesie informację. W fizyce to warunek początkowy. Bez niego nie wiadomo, gdzie ciało było na starcie (przykład 2.1).
„Całka iloczynu to iloczyn całek.”: Nie. Do iloczynów służy całkowanie przez części (część 4.2), czyli reguła iloczynu czytana od tyłu.
„Po podstawieniu wystarczy podmienić funkcję.”: Trzeba też podmienić $\mathrm{d}x$ na $\mathrm{d}u/g'(x)$ i w całce oznaczonej zmienić granice. Inaczej wynik jest po prostu inną całką (symulacja 3).
„Wzór Newtona–Leibniza działa zawsze.”: Wymaga, żeby funkcja była ciągła na całym przedziale (ogólniej: całkowalna i mająca tam funkcję pierwotną). $\left[-1/x\right]_{-1}^{1} = -2$ to bzdura, bo $1/x^2$ nie jest ograniczona w zerze (zadanie 6 w części 2).
„Jeśli funkcja maleje do zera, pole pod nią jest skończone.”: $1/x$ maleje do zera, a $\int_1^\infty\frac{\mathrm{d}x}{x} = \infty$ . O zbieżności decyduje szybkość malenia (część 7).
„Każdą całkę da się policzyć wzorem.”: Nie. $\int e^{-x^2}\,\mathrm{d}x$ nie ma postaci elementarnej. Całkę oznaczoną zawsze można jednak policzyć numerycznie (część 1.3).

9 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Jaką jednostkę ma całka z siły [N] po czasie [s]? Co oznacza fizycznie?

N·s, czyli kg·m/s. To popęd (impuls) siły, równy zmianie pędu (Dział 3: Pęd, zderzenia i środek masy).

2 Wykres prędkości jest symetrycznym trójkątem: od 0 do 10 m/s w 5 s i z powrotem do 0 w kolejne 5 s. Jaka jest droga?

Pole trójkąta: $\tfrac12\cdot10\ \mathrm{s}\cdot10\ \mathrm{m/s} = 50$ m.

3 Ile wynosi

\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_0^x\cos(t^2)\,\mathrm{d}t

$\cos(x^2)$ , z twierdzenia głównego. Samej całki nie da się wyrazić funkcjami elementarnymi, ale jej pochodną znamy od razu.

4 Dlaczego

\int_{-5}^{5}x^7\cos x\,\mathrm{d}x = 0

bez liczenia?

Funkcja jest nieparzysta (nieparzysta razy parzysta), a przedział jest symetryczny.

5 Suma z lewych końców dla funkcji rosnącej: zaniża czy zawyża?

Zaniża, bo w każdym kawałku wysokość prostokąta to najmniejsza wartość funkcji na tym kawałku.

6 Siła sprężyny rośnie liniowo z wydłużeniem. Dlaczego energia sprężyny to

\tfrac12kx^2

, a nie

kx^2

Praca to pole pod wykresem $F(x) = kx$ , czyli pole trójkąta, a nie prostokąta o wysokości $kx$ .

7 Jeden pręt ma masę skupioną przy końcach, drugi przy środku. Masy i długości są równe. Który ma większy moment bezwładności względem środka?

Ten z masą przy końcach, bo w $\int r^2\,\mathrm{d}m$ wkład każdego kawałka rośnie z kwadratem jego odległości od osi.

8 Czy pole pod wykresem

e^{-x}

na całej półosi

[0,\ \infty)

jest skończone?

Tak, równe 1, bo $\int_0^b e^{-x}\,\mathrm{d}x = 1 - e^{-b} \to 1$ .

10 Karta wzorów i co dalej

Definicje i twierdzenia

$\displaystyle\int_a^b f\,\mathrm{d}x = \lim\sum f(x_k^*)\,\Delta x_k$ (pole ze znakiem)

$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t = f(x)$

$\displaystyle\int_a^b f\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$ , gdy $F' = f$

$\displaystyle\int f\,\mathrm{d}x = F(x) + C$

$\bar f = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f\,\mathrm{d}x$

podstawienie: $\displaystyle\int_a^b f(g(x))g'(x)\,\mathrm{d}x = \int_{g(a)}^{g(b)}f(u)\,\mathrm{d}u$

części: $\displaystyle\int uv'\,\mathrm{d}x = uv - \int u'v\,\mathrm{d}x$

$\displaystyle\int_1^\infty\frac{\mathrm{d}x}{x^p} < \infty \iff p > 1$

Tabela i zastosowania

$\displaystyle\int x^r\mathrm{d}x = \frac{x^{r+1}}{r + 1}\ (r \neq -1),\;\; \int\frac{\mathrm{d}x}{x} = \ln|x|$

$\displaystyle\int e^{kx}\mathrm{d}x = \frac{e^{kx}}{k},\;\; \int\sin kx\,\mathrm{d}x = -\frac{\cos kx}{k}$

$\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{1 + x^2} = \arctan x,\;\; \int\frac{\mathrm{d}x}{\cos^2x} = \tan x$

$\Delta x = \displaystyle\int v\,\mathrm{d}t,\;\; s = \int|v|\,\mathrm{d}t,\;\; \Delta v = \int a\,\mathrm{d}t$

$\vec r(t) = \vec r_0 + \displaystyle\int_0^t\vec v\,\mathrm{d}\tau$

$m = \displaystyle\int\lambda\,\mathrm{d}x,\;\; x_S = \frac1m\int x\,\mathrm{d}m,\;\; I = \int r^2\,\mathrm{d}m$

$W = \displaystyle\int F\,\mathrm{d}x$ : sprężyna $\tfrac12kx^2$ , gaz $nRT\ln\dfrac{V_2}{V_1}$

$v_\text{ucieczki} = \sqrt{2GM/R}$

Do przeczytania u Feynmana

Obowiązkowo: 8-4 (droga jako całka), 13-1 (praca jako całka z siły).
Dla chętnych: 13-3…13-4 (energia układu wielu ciał; pole płaskiej warstwy i energia potencjalna powłoki kulistej jako całki), 19-1 (środek masy jako średnia ważona), 19-2…19-3 (środek masy, twierdzenie Pappusa, moment bezwładności pręta).

Do przeczytania w podręcznikach matematyki

M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. Definicje, twierdzenia, wzory: rozdz. 7 (całki nieoznaczone, tabela, przez części, podstawienie), rozdz. 8 (całka oznaczona, twierdzenia główne, wartość średnia, metody przybliżone), rozdz. 9 (zastosowania w geometrii i fizyce).
R. Leitner, Zarys matematyki wyższej dla studiów technicznych: całki są w części II, której tu nie cytujemy.

Całki wrócą w szeregach (1.6 Szeregi liczbowe i potęgowe), w całkach wielokrotnych (3.3 Całki podwójne i potrójne) i w równaniach różniczkowych (4.1 Równania różniczkowe zwyczajne), gdzie z prędkości odtworzymy cały ruch nawet wtedy, gdy prędkość zależy od położenia.