Równania, nierówności, wielomiany i ułamki proste

0 Prolog: kiedy piłka spadnie?

W przykładzie 3.1 lekcji 0.1 Liczby, potęgi, logarytmy i funkcje elementarne piłkę wyrzucono pionowo w górę z wysokości 1,5 m z prędkością 12 m/s. Jej wysokość to

Wierzchołek paraboli dał nam najwyższy punkt lotu. Fizyk zada jednak od razu dwa kolejne pytania. Kiedy piłka uderzy w ziemię? To pytanie o chwilę, w której $h(t) = 0$, czyli o rozwiązanie równania kwadratowego. Jak długo piłka jest wyżej niż 5 m? To pytanie o zbiór chwil, w których $h(t) > 5$, czyli o rozwiązanie nierówności.

Oba pytania prowadzą do jednej idei, która wraca w całym kursie: rozłożyć wyrażenie na prostsze czynniki albo składniki. Trójmian zapisany w postaci iloczynowej $a(t - t_1)(t - t_2)$ od razu pokazuje, kiedy jest zerem i kiedy zmienia znak. Ułamek rozłożony na ułamki proste daje się scałkować, a w automatyce przetłumaczyć z powrotem na przebieg w czasie. Tę samą drogę przejdziemy w tej lekcji od równań liniowych do ułamków prostych.

Pytanie na start. Po ilu sekundach piłka spadnie na ziemię? Co oznacza drugie, ujemne rozwiązanie równania? Odpowiedź w przykładzie 2.1.

1 Równania liniowe i układy dwóch równań

1.1 Jedno równanie liniowe

Równanie $ax + b = 0$ z $a \neq 0$ ma dokładnie jedno rozwiązanie, $x = -b/a$. Rozwiązujemy je, wykonując po obu stronach te same działania: dodajemy, odejmujemy, mnożymy lub dzielimy przez liczbę różną od zera. Każde takie działanie zamienia równanie na równoważne, czyli mające te same rozwiązania. Mnożenie przez zero albo przez wyrażenie, które może być zerem, tej własności nie ma. To źródło wielu błędów i wróci przy nierównościach.

1.2 Układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi

Dwie niewiadome wymagają dwóch niezależnych informacji. Układ

rozwiązujemy jedną z dwóch metod. Podstawianie: z jednego równania wyznaczamy jedną niewiadomą i wstawiamy do drugiego. Przeciwne współczynniki: mnożymy równania przez takie liczby, żeby po dodaniu jedna niewiadoma znikła. Na przykład w układzie $2x + 3y = 12$, $x - y = 1$ mnożymy drugie równanie przez 3 i dodajemy: $5x = 15$, więc $x = 3$, a potem $y = x - 1 = 2$.

Geometrycznie każde równanie to prosta na płaszczyźnie $(x;\ y)$, a rozwiązanie to punkt przecięcia. Są trzy możliwości: proste się przecinają (jedno rozwiązanie), są równoległe (brak rozwiązań, układ sprzeczny) albo się pokrywają (nieskończenie wiele rozwiązań, układ nieoznaczony). Rozstrzyga o tym jedna liczba, wyznacznik układu:

Dla układu z poprzedniego akapitu $W = 2\cdot(-1) - 1\cdot3 = -5$, $W_x = 12\cdot(-1) - 1\cdot3 = -15$, $W_y = 2\cdot1 - 1\cdot12 = -10$, więc $x = 3$, $y = 2$, jak wyżej. Wyznaczniki większych układów i ich sens geometryczny (pole, objętość) poznasz w lekcji 2.1 Macierze, wyznaczniki i układy równań. To samo wyrażenie $a_1b_2 - a_2b_1$ pojawi się w lekcji 1.1 Wektory jako pole równoległoboku rozpiętego na wektorach $[a_1;\ a_2]$ i $[b_1;\ b_2]$. Gdy $W = 0$, wektory są równoległe, a równoległobok jest „spłaszczony” do odcinka.

2 Równanie kwadratowe

2.1 Wzór z postaci kanonicznej

W lekcji 0.1 Liczby, potęgi, logarytmy i funkcje elementarne sprowadziliśmy funkcję kwadratową do postaci kanonicznej $a(x - p)^2 + q$. Równanie $ax^2 + bx + c = 0$ rozwiązujemy tą samą drogą. Po wyciągnięciu $a$ i uzupełnieniu do kwadratu:

Lewa strona jest kwadratem, więc nie może być ujemna. Wszystko zależy od znaku wyróżnika $\Delta$:

Postać iloczynowa wyjaśnia, dlaczego pierwiastki tak dużo mówią: iloczyn jest zerem dokładnie wtedy, gdy zerem jest któryś czynnik, a znak iloczynu zmienia się tylko w pierwiastkach. Wzory Viète'a pozwalają sprawdzić rozwiązanie bez wstawiania: dla $x^2 - 5x + 6 = 0$ pierwiastki 2 i 3 mają sumę $5 = -b/a$ i iloczyn $6 = c/a$ ✓.

Przy $\Delta < 0$ rozwiązań nie ma wśród liczb rzeczywistych, ale są wśród zespolonych. Feynman nazywa wprowadzenie liczby $i$ z $i^2 = -1$ „ostatnim wynalazkiem”: gdy ją dopiszemy, każde równanie algebraiczne ma rozwiązanie i nie trzeba już wymyślać nowych liczb. Wrócimy do tego w lekcji 1.7 Liczby zespolone i fazory.FLP I-22-5

3 Wielomiany

3.1 Stopień, pierwiastki, dzielenie

Wielomian stopnia $n$ to $P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0$ z $a_n \neq 0$. Funkcja liniowa to wielomian stopnia 1, kwadratowa stopnia 2. Dla dużych $|x|$ o zachowaniu wielomianu decyduje najwyższa potęga: $x^3 - 100x^2$ różni się od $x^3$ o 10% dla $x = 1000$, a dla $x = 10^5$ już tylko o 0,1%.

Wielomiany dzieli się z resztą jak liczby: $P(x) = Q(x)\cdot D(x) + R(x)$, gdzie stopień reszty $R$ jest mniejszy od stopnia dzielnika $D$. Najważniejszy przypadek to dzielenie przez dwumian $x - a$:

Każdy znaleziony pierwiastek obniża więc stopień o jeden. Gdy wielomian ma współczynniki całkowite, jego pierwiastki wymierne $p/q$ (ułamek skrócony) spełniają warunek: $p$ dzieli wyraz wolny $a_0$, a $q$ dzieli współczynnik $a_n$. Daje to skończoną listę kandydatów do sprawdzenia.

Precyzyjna wersja faktu, o którym mówi Feynman (u niego jej nie ma), to zasadnicze twierdzenie algebry: wielomian stopnia $n \ge 1$ ma dokładnie $n$ pierwiastków zespolonych, licząc z krotnościami. Dla wielomianu o współczynnikach rzeczywistych pierwiastki nierzeczywiste występują parami sprzężonymi (lekcja 1.7 Liczby zespolone i fazory), więc każdy taki wielomian rozkłada się na czynniki liniowe i kwadratowe bez pierwiastków rzeczywistych. Właśnie te dwa rodzaje czynników zobaczymy w ułamkach prostych (część 7).

3.2 Schemat Hornera

Żeby policzyć $P(a)$, nie trzeba liczyć potęg. Wystarczy zapisać wielomian „od środka”: $a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = \big((a_3x + a_2)x + a_1\big)x + a_0$. W każdym kroku mnożymy dotychczasowy wynik przez $a$ i dodajemy kolejny współczynnik. Przy stopniu $n$ to tylko $n$ mnożeń. Tak liczą wielomiany biblioteki numeryczne. Kolejne wyniki pośrednie to przy okazji współczynniki ilorazu $Q(x)$ z dzielenia przez $x - a$, a ostatni wynik to reszta.

4 Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna $|x|$ to odległość liczby $x$ od zera na osi liczbowej: $|x| = x$ dla $x \ge 0$ i $|x| = -x$ dla $x < 0$. Ważniejsze od definicji jest jej uogólnienie: $|x - a|$ to odległość między punktami $x$ i $a$. Dzięki temu zdania o odległości zapisują się krótko:

Ten zapis spotkasz w dwóch miejscach. W technice to tolerancja: wałek o średnicy $25{,}00 \pm 0{,}02$ mm to warunek $|d - 25{,}00| \le 0{,}02$ mm. W analizie warunek $|f(x) - g| < \varepsilon$ jest sercem definicji granicy (lekcja 1.2 Ciągi, granice i ciągłość).

Równania i nierówności z wartością bezwzględną rozwiązuje się, rozbijając oś na przedziały, w których wyrażenia pod modułem mają stały znak. Na każdym przedziale moduł zamienia się na zwykłe wyrażenie z plusem albo minusem.

5 Nierówności

Nierówności rozwiązuje się prawie jak równania, z jednym wyjątkiem: mnożenie lub dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności. Z $-2x > 4$ wynika $x < -2$. Stąd zasada: nigdy nie mnożymy nierówności przez wyrażenie, którego znaku nie znamy, np. przez $x$ albo przez mianownik $x + 2$.

5.1 Nierówności kwadratowe

Nierówność $ax^2 + bx + c > 0$ odczytujemy z wykresu paraboli. Znajdujemy pierwiastki, a potem patrzymy, gdzie parabola jest nad osią. Dla $a > 0$ i dwóch pierwiastków $x_1 < x_2$: $ax^2 + bx + c > 0$ poza przedziałem $[x_1;\ x_2]$, a $< 0$ wewnątrz. Dla $a < 0$ odwrotnie. Symulacja 2 pokazuje te przedziały na zielono.

5.2 Nierówności wymierne i tabela znaków

Nierówność wymierna to taka, w której niewiadoma stoi w mianowniku (funkcję wymierną zdefiniujemy dokładnie w części 7). W nierówności $\dfrac{x - 1}{x + 2} \ge 0$ nie wolno pomnożyć przez $x + 2$, bo nie wiemy, czy jest dodatnie. Zamiast tego badamy znak każdego czynnika osobno. Ułamek zmienia znak tylko tam, gdzie licznik albo mianownik jest zerem: w $x = 1$ i $x = -2$. W trzech przedziałach znak jest stały:

Rozwiązanie: $x < -2$ lub $x \ge 1$. Punkt $x = 1$ należy do zbioru (ułamek jest tam zerem), punkt $x = -2$ nie (dzielenie przez zero).

6 Symbol sumy

Długie sumy zapisujemy symbolem $\Sigma$ (wielka grecka litera sigma):

Litera $k$ to indeks: przebiega liczby całkowite od dolnej granicy do górnej. Jego nazwa nie ma znaczenia, $\sum_{k=1}^n k^2 = \sum_{j=1}^n j^2$. Z definicji wynikają dwie reguły używane bez przerwy: stałą można wyciągnąć przed sumę, $\sum c\,a_k = c\sum a_k$, a sumę sum rozbić, $\sum(a_k + b_k) = \sum a_k + \sum b_k$. Indeks można też przesunąć: $\sum_{k=1}^{n} a_{k-1} = \sum_{j=0}^{n-1} a_j$.

Dwie sumy warto znać na pamięć, bo pojawiają się w fizyce i w algorytmach:

Pierwszą dowodzi się, pisząc sumę dwa razy, raz od przodu i raz od tyłu: każda para daje $n + 1$, a par jest $n$, więc $2S = n(n + 1)$. Drugą: jeśli $S = 1 + q + \dots + q^n$, to $qS = q + q^2 + \dots + q^{n+1}$, a po odjęciu prawie wszystko się skraca: $S - qS = 1 - q^{n+1}$. Ten chwyt, mnożenie i odejmowanie, przyda się wielokrotnie.

7 Ułamki proste

7.1 Po co rozkładać ułamki

Funkcja wymierna to iloraz dwóch wielomianów, $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$. Dodawanie ułamków jest łatwe: $\dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{2}{x + 3} = \dfrac{3x + 5}{(x + 1)(x + 3)}$. Działanie odwrotne, czyli rozkład na ułamki proste, jest trudniejsze, ale bardzo potrzebne. Całkę z $\dfrac{1}{x + 1}$ umiemy policzyć (lekcja 1.5 Całki), a całki z $\dfrac{3x + 5}{(x + 1)(x + 3)}$ wprost nie. W automatyce transmitancja obwodu to właśnie funkcja wymierna, a każdy ułamek prosty odpowiada jednemu składnikowi odpowiedzi w czasie, np. jednej zanikającej eksponencie (lekcja 4.4 Transformata Laplace'a).

Jeśli stopień licznika jest równy stopniowi mianownika lub od niego większy, najpierw dzielimy wielomiany z resztą. Dostajemy wielomian plus ułamek „właściwy”, który rozkładamy dalej.

7.2 Metoda zasłaniania

Dla czynników liniowych występujących raz współczynniki znajduje się błyskawicznie. Żeby znaleźć $A$ przy $\dfrac{A}{x - a}$, zasłaniamy w mianowniku czynnik $(x - a)$ i w resztę wstawiamy $x = a$. To nie sztuczka: po pomnożeniu równości przez $(x - a)$ wszystkie inne ułamki mają czynnik $(x - a)$, więc znikają w $x = a$.

8 Błędne intuicje

„Można podzielić obie strony przez $x$.”

Tylko gdy $x \neq 0$. Z $x^2 = 3x$ po podzieleniu przez $x$ zostaje $x = 3$, a ginie rozwiązanie $x = 0$. Bezpiecznie: $x^2 - 3x = x(x - 3) = 0$.

„Nierówność mnoży się jak równanie.”

Mnożenie przez liczbę ujemną odwraca znak, a przez wyrażenie o nieznanym znaku jest zabronione (część 5).

„$\Delta < 0$, więc równanie nie ma rozwiązań.”

Nie ma rozwiązań rzeczywistych. Ma dwa zespolone, a w fizyce drgań to właśnie one opisują oscylacje (lekcje 1.7 Liczby zespolone i fazory i 4.1 Równania różniczkowe zwyczajne).

„Ujemne rozwiązanie jest błędne, więc je skreślam.”

Najpierw zastanów się, co znaczy. W przykładzie 2.1 to chwila sprzed rzutu na tej samej paraboli. Czasem ujemny wynik mówi, że model nie pasuje do sytuacji.

„$|a + b| = |a| + |b|$.”

Tylko gdy $ab \ge 0$. Ogólnie $|a + b| \le |a| + |b|$ (nierówność trójkąta). Dla $a = 3$, $b = -5$: $2 \le 8$.

„$\sum (a_kb_k) = \sum a_k\cdot\sum b_k$.”

Suma iloczynów to nie iloczyn sum. Dla $a = b = (1;\ 1)$: $2 \neq 4$.

„Każdy ułamek rozkłada się na ułamki z czynnikami liniowymi.”

Czynnik kwadratowy bez pierwiastków rzeczywistych, np. $x^2 + 1$, daje ułamek $\dfrac{Bx + C}{x^2 + 1}$ z licznikiem liniowym (zadanie 3 w części 7).

9 Sprawdź się