2.1 Macierze, wyznaczniki i układy równań · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Prolog: lampa na dwóch linach

Lampa o masie 12 kg wisi na dwóch linach. Lewa tworzy z poziomem kąt $\alpha = 30^\circ$ , prawa kąt $\beta = 60^\circ$ . Lampa się nie porusza, więc siły się równoważą (to pierwsza zasada dynamiki, Dział 1: Ruch i jego przyczyny). Składowe poziome naciągów $T_1$ i $T_2$ muszą się znosić, a pionowe razem muszą utrzymać ciężar $mg = 117{,}72\ \mathrm N$ :

\begin{cases} -T_1\cos\alpha + T_2\cos\beta = 0\\ \phantom{-}T_1\sin\alpha + T_2\sin\beta = mg \end{cases}

To układ dwóch równań liniowych z niewiadomymi $T_1$ , $T_2$ . W lekcji 0.2 Równania, nierówności, wielomiany i ułamki proste rozwiązywaliśmy takie układy wzorami Cramera. Wyznacznik układu wynosi $W = -\cos\alpha\sin\beta - \sin\alpha\cos\beta = -\sin(\alpha + \beta)$ , a rozwiązanie

T_1 = \frac{mg\cos\beta}{\sin(\alpha + \beta)} \approx 58{,}9\ \mathrm N,\qquad T_2 = \frac{mg\cos\alpha}{\sin(\alpha + \beta)} \approx 101{,}9\ \mathrm N .

Bardziej stroma lina niesie więcej, co zgadza się z intuicją. Ciekawsze jest co innego: wyznacznik stoi w mianowniku. Gdy liny są prawie poziome, $\alpha + \beta$ jest małe i $W \approx 0$ , a naciągi rosną bez ograniczeń.

Pytanie na start. Lampę zawieszono symetrycznie na linach nachylonych pod kątem $5^\circ$ do poziomu. Zgadnij, zanim policzysz: naciąg każdej liny jest mniejszy od ciężaru lampy, porównywalny z nim czy kilka razy większy? Odpowiedź w zadaniu 5.1.

W tej lekcji uogólnimy to, co znasz z układu 2 × 2, na dowolną liczbę niewiadomych. Fizyka potrzebuje tego stale: trzy składowe siły, trzy prądy w obwodzie, tysiące węzłów w symulacji. Wyznacznik okaże się nie tylko „liczbą z mianownika”, ale też polem i objętością, czyli wielkością geometryczną z lekcji 1.1 Wektory.

1 Układy równań i eliminacja Gaussa

Równanie liniowe z niewiadomymi $x_1, \dots, x_n$ ma postać $a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n = b$ : niewiadome występują tylko w pierwszej potędze i nie mnożą się przez siebie. Układ $m$ takich równań zapisujemy krótko, wypisując same współczynniki w prostokątnej tabeli. Pionowa kreska oddziela współczynniki od prawych stron:

\begin{cases} x + y + z = 6\\ 2x + y - z = 1\\ x + 3y + 2z = 13 \end{cases}\qquad\longrightarrow\qquad \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\ 2 & 1 & -1 & 1\\ 1 & 3 & 2 & 13 \end{array}\right).

Tabela po lewej stronie kreski to macierz układu $A$ , a cała tabela to macierz rozszerzona $[A\,|\,\vec b]$ . Wiersz odpowiada równaniu, kolumna niewiadomej (ostatnia kolumna: prawym stronom).

1.1 Trzy operacje, które nie zmieniają rozwiązań

Operacje elementarne na wierszach

zamiana dwóch wierszy miejscami: $w_i \leftrightarrow w_j$ ;
pomnożenie wiersza przez liczbę różną od zera: $w_i \leftarrow c\,w_i$ , $c \neq 0$ ;
dodanie do wiersza wielokrotności innego wiersza: $w_i \leftarrow w_i + c\,w_j$ .

Każda z nich zamienia układ na równoważny, czyli o tych samych rozwiązaniach.

Dlaczego? Każdą z tych operacji da się cofnąć operacją tego samego typu: drugi raz zamienić wiersze, pomnożyć przez $1/c$ , odjąć to, co się dodało. Rozwiązanie starego układu spełnia nowy, a skoro da się wrócić, to rozwiązanie nowego spełnia stary. Dlatego zakaz mnożenia przez zero jest ważny: tej operacji nie da się cofnąć. To ta sama zasada co przy jednym równaniu w lekcji 0.2 Równania, nierówności, wielomiany i ułamki proste.

Eliminacja Gaussa to plan użycia tych operacji. Bierzemy pierwszą kolumnę i jej element w pierwszym wierszu, zwany elementem głównym (ang. pivot). Odejmując wielokrotności pierwszego wiersza, zerujemy wszystko pod nim. Jeśli element główny jest zerem, najpierw zamieniamy wiersz z którymś niższym. Jeśli w całej kolumnie od bieżącego wiersza w dół stoją zera, ta kolumna nie ma elementu głównego i przechodzimy do następnej. Potem to samo robimy z drugą kolumną i wierszami od drugiego w dół, i tak dalej. Na końcu macierz ma postać schodkową: każdy kolejny element główny leży bardziej na prawo niż poprzedni, a pod nimi są same zera. Ostatnie równanie ma jedną niewiadomą, przedostatnie dwie i tak dalej, więc rozwiązujemy je od dołu (podstawianie wsteczne).

Przykład 1.1 Układ 3 × 3 krok po kroku

Rozwiąż układ z początku tej części.

Zerujemy pierwszą kolumnę pod jedynką: $w_2 \leftarrow w_2 - 2w_1$ i $w_3 \leftarrow w_3 - w_1$ : $\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\ 0 & -1 & -3 & -11\\ 0 & 2 & 1 & 7 \end{array}\right).$
Zerujemy drugą kolumnę pod elementem $-1$ : $w_3 \leftarrow w_3 + 2w_2$ : $\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\ 0 & -1 & -3 & -11\\ 0 & 0 & -5 & -15 \end{array}\right).$
Od dołu: $-5z = -15$ , więc $z = 3$ . Potem $-y - 3\cdot3 = -11$ , więc $y = 2$ . Na końcu $x = 6 - 2 - 3 = 1$ .

Wynik: $x = 1$ , $y = 2$ , $z = 3$ .

Sprawdzenie: wstawiamy do wyjściowych równań (nie do przekształconych, bo błąd w eliminacji by się nie ujawnił): $1 + 2 + 3 = 6$ ✓, $2 + 2 - 3 = 1$ ✓, $1 + 6 + 6 = 13$ ✓.

Można też iść dalej: zamiast podstawiać wstecz, zerujemy elementy nad elementami głównymi i dzielimy każdy wiersz przez jego element główny. Na końcu po lewej stoi tabela z jedynkami na przekątnej i zerami gdzie indziej, a po prawej gotowe rozwiązanie. To metoda Gaussa–Jordana. Przy rachunkach ręcznych jest nieco dłuższa, ale przyda się do macierzy odwrotnej w części 4.

1.2 Kiedy rozwiązań nie ma albo jest ich nieskończenie wiele

Każde równanie z trzema niewiadomymi to płaszczyzna w przestrzeni (lekcja 1.1 Wektory). Trzy płaszczyzny mogą się przeciąć w jednym punkcie, ale mogą też mieć wspólną prostą albo nie mieć żadnego punktu wspólnego wszystkim trzem. Mogą się też pokrywać: wtedy rozwiązania tworzą całą płaszczyznę. Eliminacja pokazuje, który przypadek zachodzi, bez rysowania.

Przykład 1.2 Układ nieoznaczony i sprzeczny

Rozwiąż układ $x + y + z = 6$ , $2x + y - z = 1$ , $3x + 2y = c$ dla $c = 7$ i dla $c = 8$ .

$w_2 \leftarrow w_2 - 2w_1$ , $w_3 \leftarrow w_3 - 3w_1$ , potem $w_3 \leftarrow w_3 - w_2$ : $\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\ 0 & -1 & -3 & -11\\ 0 & 0 & 0 & c - 7 \end{array}\right).$
Dla $c = 8$ ostatni wiersz mówi $0 = 1$ . Układ jest sprzeczny.
Dla $c = 7$ ostatni wiersz to $0 = 0$ : trzecie równanie było sumą dwóch pierwszych i nie niosło nowej informacji. Zostają dwa równania i trzy niewiadome. Taki układ nazywamy nieoznaczonym. Jedną z nich, na przykład $z = t$ , wybieramy dowolnie. Wtedy $y = 11 - 3t$ i $x = 6 - y - z = -5 + 2t$ .

Wynik: dla $c = 8$ brak rozwiązań; dla $c = 7$ nieskończenie wiele: $(x;\ y;\ z) = (-5 + 2t;\ 11 - 3t;\ t)$ , $t \in \mathbb R$ . To prosta w przestrzeni.

Sprawdzenie: dla $t = 3$ dostajemy $(1;\ 2;\ 3)$ , rozwiązanie z przykładu 1.1, które spełnia też $3x + 2y = 7$ ✓. Dla dowolnego $t$ : $3(-5 + 2t) + 2(11 - 3t) = 7$ ✓.

Liczbę niezerowych wierszy po eliminacji nazywamy rzędem macierzy, $\operatorname{rz} A$ . To liczba równań, które naprawdę niosą informację. W przykładzie 1.2 $\operatorname{rz} A = 2$ , a rząd macierzy rozszerzonej to 2 dla $c = 7$ i 3 dla $c = 8$ .

Twierdzenie Kroneckera–Capellego

Układ $m$ równań z $n$ niewiadomymi ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy $\operatorname{rz} A = \operatorname{rz}[A\,|\,\vec b]$ . Jeśli ten wspólny rząd $r$ równa się $n$ , rozwiązanie jest jedno. Jeśli $r < n$ , rozwiązań jest nieskończenie wiele, a $n - r$ niewiadomych można wybrać dowolnie (parametry).

W praktyce nie trzeba pamiętać nazwy. Wystarczy przeprowadzić eliminację i spojrzeć na wiersze z samymi zerami po lewej: zero po prawej oznacza nadmiarowe równanie, liczba różna od zera oznacza sprzeczność.

Zadania · część 1

6 zadań · ok. 40 min

Rozwiąż eliminacją, zapisując macierz rozszerzoną: $x + 2y = 5$ , $3x - y = 1$ .

Odpowiedź
$w_2 \leftarrow w_2 - 3w_1$ : $-7y = -14$ , więc $y = 2$ , $x = 1$ .
Rozwiąż: $x + y + z = 2$ , $\;2x - y + z = 6$ , $\;x + 2y - z = -1$ .

Odpowiedź
$(x;\ y;\ z) = (2;\ -1;\ 1)$ . Po $w_2 - 2w_1$ , $w_3 - w_1$ : $-3y - z = 2$ , $y - 2z = -3$ . Dalej $w_3 \leftarrow 3w_3 + w_2$ : $-7z = -7$ .
Rozwiąż: $x + 2y - z = 1$ , $\;2x + 5y + z = 4$ , $\;3x + 7y = 5$ . Ile rozwiązań ma układ i jak wygląda ich zbiór?

Odpowiedź
Trzeci wiersz zeruje się (trzecie równanie to suma dwóch pierwszych). $z = t$ , $y = 2 - 3t$ , $x = -3 + 7t$ . Nieskończenie wiele rozwiązań, prosta w przestrzeni.
Dla jakich $a$ i $b$ układ $x + y = 1$ , $x + ay = b$ ma jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele albo żadnego?

Odpowiedź
Po $w_2 - w_1$ : $(a - 1)y = b - 1$ . Dla $a \neq 1$ jedno rozwiązanie. Dla $a = 1$ , $b = 1$ nieskończenie wiele (to samo równanie dwa razy). Dla $a = 1$ , $b \neq 1$ brak (proste równoległe).
Uzgodnij równanie spalania propanu $a\,\mathrm{C_3H_8} + b\,\mathrm{O_2} \to c\,\mathrm{CO_2} + d\,\mathrm{H_2O}$ . Zapisz bilans atomów C, H, O jako układ równań. Ile ma rozwiązań i dlaczego chemika to nie martwi?

Wskazówka
C: $3a = c$ ; H: $8a = 2d$ ; O: $2b = 2c + d$ . Trzy równania, cztery niewiadome.

Odpowiedź
$c = 3a$ , $d = 4a$ , $b = 5a$ : nieskończenie wiele rozwiązań, jeden parametr. To oczekiwane, bo równanie reakcji można pomnożyć przez dowolną liczbę. Najmniejsze liczby całkowite: $a = 1$ , $b = 5$ , $c = 3$ , $d = 4$ .
Znajdź parabolę $y = ax^2 + bx + c$ przechodzącą przez punkty $(1;\ 2)$ , $(2;\ 3)$ , $(3;\ 6)$ .

Odpowiedź
Układ $a + b + c = 2$ , $4a + 2b + c = 3$ , $9a + 3b + c = 6$ daje $a = 1$ , $b = -2$ , $c = 3$ , czyli $y = x^2 - 2x + 3$ . Sprawdzenie: $9 - 6 + 3 = 6$ ✓.

2 Macierze i działania na nich

Macierz o wymiarach $m\times n$ to prostokątna tablica liczb o $m$ wierszach i $n$ kolumnach. Element w $i$ -tym wierszu i $j$ -tej kolumnie oznaczamy $a_{ij}$ : najpierw wiersz, potem kolumna. Macierz $n\times n$ jest kwadratowa. Wektor $\vec x$ o $n$ składowych zapisujemy jako macierz $n\times1$ , czyli kolumnę.

Macierze tych samych wymiarów dodajemy element po elemencie i mnożymy przez liczbę element po elemencie. Najważniejsze jest jednak mnożenie macierzy przez wektor. Lewa strona układu z przykładu 1.1 to

A\vec x = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 1 & -1\\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + y + z\\ 2x + y - z\\ x + 3y + 2z \end{pmatrix},

więc cały układ to jedno równanie $A\vec x = \vec b$ . Każdy element wyniku to iloczyn skalarny (lekcja 1.1 Wektory) odpowiedniego wiersza $A$ z wektorem $\vec x$ : „wiersz razy kolumna”.

Ten sam iloczyn można przeczytać inaczej, kolumnami:

A\vec x = x\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 3 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 2 \end{pmatrix}.

$A\vec x$ to kombinacja liniowa kolumn macierzy $A$ ze współczynnikami $x$ , $y$ , $z$ . Rozwiązanie układu odpowiada więc na pytanie: ile wziąć każdej kolumny, żeby po złożeniu wyszedł wektor $\vec b$ ? To drugi obraz układu równań, obok obrazu przecinających się prostych i płaszczyzn. Gdy kolumny są równoległe (albo, w trzech wymiarach, leżą w jednej płaszczyźnie), składając je, nie dojdziemy do każdego $\vec b$ . To dokładnie przypadek zerowego wyznacznika (część 3).

2.1 Iloczyn dwóch macierzy

Definicja · iloczyn macierzy

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{in}b_{nj} .

Element $(i, j)$ iloczynu to iloczyn skalarny $i$ -tego wiersza $A$ z $j$ -tą kolumną $B$ . Iloczyn istnieje tylko wtedy, gdy $A$ ma tyle kolumn, ile $B$ ma wierszy: $(m\times n)\cdot(n\times p) = m\times p$ .

Skąd taka dziwna definicja? Z wymogu, żeby $(AB)\vec x = A(B\vec x)$ . Najpierw działamy na wektor macierzą $B$ , potem $A$ , a $AB$ to jedna macierz, która robi obie rzeczy naraz. Iloczyn macierzy to złożenie działań, tak jak złożenie funkcji. Dlatego jest łączny, $(AB)C = A(BC)$ , ale na ogół nie jest przemienny.

Przykład 2.1 $AB \neq BA$

Oblicz $AB$ i $BA$ dla $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

$AB$ : wiersz $(1;\ 2)$ razy kolumny $B$ daje $(2;\ 1)$ ; wiersz $(3;\ 4)$ daje $(4;\ 3)$ . $\;AB = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ .
$BA$ : wiersz $(0;\ 1)$ wybiera drugi wiersz $A$ , wiersz $(1;\ 0)$ pierwszy. $\;BA = \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ .

Wynik: $AB \neq BA$ . Mnożenie przez $B$ z prawej zamienia kolumny $A$ , a z lewej wiersze.

Sprawdzenie: $B^2 = I$ (dwie zamiany wracają do początku), więc $(AB)B$ powinno dać $A$ : zamiana kolumn $\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ daje $\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ ✓.

Kilka macierzy ma własne nazwy. Macierz jednostkowa $I$ ma jedynki na przekątnej i zera poza nią; $AI = IA = A$ (dla kwadratowej $A$ ), tak jak mnożenie przez 1. Macierz zerowa ma same zera. Transpozycja $A^{\mathsf T}$ zamienia wiersze na kolumny: $(A^{\mathsf T})_{ij} = a_{ji}$ . Macierz symetryczna spełnia $A^{\mathsf T} = A$ . Przydaje się reguła $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}$ (kolejność się odwraca) i to, że iloczyn skalarny wektorów kolumnowych to $\vec a\cdot\vec b = \vec a^{\mathsf T}\vec b$ .

2.2 Macierz w fizyce: gdy skutek nie jest równoległy do przyczyny

Feynman wprowadza macierz (u niego: tensor) na przykładzie kryształu w polu elektrycznym. W materiale izotropowym (gaz, szkło) pole $\vec E$ przesuwa ładunki wzdłuż siebie, więc polaryzacja $\vec P$ jest równoległa do $\vec E$ i wystarczy jedna liczba: $\vec P = \alpha\vec E$ . W krysztale elektronom łatwiej poruszać się w jednych kierunkach niż w innych. Pole wzdłuż osi $x$ może wtedy dać polaryzację o składowych $x$ , $y$ i $z$ . Każda składowa $\vec P$ jest liniową funkcją wszystkich trzech składowych $\vec E$ :FLP II-31-1

\begin{pmatrix} P_x\\ P_y\\ P_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{xx} & \alpha_{xy} & \alpha_{xz}\\ \alpha_{yx} & \alpha_{yy} & \alpha_{yz}\\ \alpha_{zx} & \alpha_{zy} & \alpha_{zz} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} E_x\\ E_y\\ E_z \end{pmatrix}.

Dziewięć liczb zamiast jednej. Tak samo opisuje się moment bezwładności bryły (moment pędu nie musi być równoległy do prędkości kątowej, Dział 4: Ruch obrotowy i bryła sztywna), przewodnictwo kryształu i naprężenia w materiale. Gdy widzisz, że jedna wielkość wektorowa zależy liniowo od drugiej, ale nie musi być do niej równoległa, w tle stoi macierz.

Zadania · część 2

7 zadań · ok. 40 min

Dla $A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ oblicz $A + B$ , $2A$ , $AB$ i $BA$ .

Odpowiedź
$A + B = \begin{pmatrix} 3 & 0\\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ , $\;2A = \begin{pmatrix} 4 & 2\\ 0 & 6 \end{pmatrix}$ , $\;AB = \begin{pmatrix} 4 & -2\\ 6 & 0 \end{pmatrix}$ , $\;BA = \begin{pmatrix} 2 & -2\\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ .
$A$ ma wymiary $2\times3$ , $B$ ma wymiary $3\times4$ . Które z iloczynów $AB$ , $BA$ , $A^{\mathsf T}A$ , $AA^{\mathsf T}$ istnieją i jakie mają wymiary?

Odpowiedź
$AB$ : $2\times4$ . $\;BA$ nie istnieje (4 kolumny, 2 wiersze). $\;A^{\mathsf T}A$ : $3\times3$ . $\;AA^{\mathsf T}$ : $2\times2$ .
Zapisz układ $2x - y = 3$ , $x + 4y = -3$ w postaci $A\vec x = \vec b$ i jako kombinację kolumn. Rozwiąż go.

Odpowiedź
$\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ -3 \end{pmatrix}$ , czyli $x\begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} -1\\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ -3 \end{pmatrix}$ . Rozwiązanie: $x = 1$ , $y = -1$ .
Oblicz $N^2$ dla $N = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ . Czego to uczy o równaniu $AB = 0$ ?

Odpowiedź
$N^2 = 0$ , choć $N \neq 0$ . Z $AB = 0$ nie wynika, że $A = 0$ lub $B = 0$ . Dla liczb to prawda, dla macierzy nie.
Sprawdź na macierzach z zadania 2.1, że $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}$ , ale $(AB)^{\mathsf T} \neq A^{\mathsf T}B^{\mathsf T}$ .

Odpowiedź
$(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T}A^{\mathsf T} = \begin{pmatrix} 4 & 6\\ -2 & 0 \end{pmatrix}$ , a $A^{\mathsf T}B^{\mathsf T} = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ -2 & 2 \end{pmatrix}$ .
Kryształ ma macierz polaryzowalności $\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ (w umownych jednostkach). Oblicz $\vec P$ dla $\vec E = [1;\ 0;\ 0]$ i $\vec E = [0;\ 1;\ 0]$ . O jaki kąt $\vec P$ odchyla się od $\vec E$ ? Dla $\vec E = [0;\ 0;\ 1]$ ?

Odpowiedź
$[3;\ 1;\ 0]$ , odchylenie $\arctan\tfrac13 \approx 18{,}4^\circ$ . $\;[1;\ 2;\ 0]$ , odchylenie $\arctan\tfrac12 \approx 26{,}6^\circ$ . $\;[0;\ 0;\ 1]$ : równoległy. Kierunki, w których $\vec P \parallel \vec E$ , to kierunki własne, temat lekcji 2.3 Wartości i wektory własne.
Macierz $R(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}$ obraca wektor o kąt $\alpha$ (lekcja 2.2 Przekształcenia liniowe: obroty, zmiana bazy, transformacja Lorentza). Oblicz $R(\alpha)R(\beta)$ . Co musi wyjść, skoro dwa obroty to obrót o $\alpha + \beta$ ? Jakie wzory dostajesz?

Odpowiedź
$R(\alpha)R(\beta) = \begin{pmatrix} \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta & -(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)\\ \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta & \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \end{pmatrix}$ . Porównanie z $R(\alpha + \beta)$ daje wzory na $\cos(\alpha + \beta)$ i $\sin(\alpha + \beta)$ , te same co z liczb zespolonych w lekcji 1.7 Liczby zespolone i fazory. Tutaj $R(\alpha)R(\beta) = R(\beta)R(\alpha)$ : obroty płaszczyzny są przemienne, obroty w przestrzeni już nie.

3 Wyznacznik

W lekcji 0.2 Równania, nierówności, wielomiany i ułamki proste wyznacznik $W = a_1b_2 - a_2b_1$ układu 2 × 2 decydował, czy układ ma jedno rozwiązanie. W lekcji 1.1 Wektory to samo wyrażenie było polem równoległoboku rozpiętego na dwóch wektorach. Połączmy te fakty. Macierz $A$ zamienia wektor $[1;\ 0]$ na swoją pierwszą kolumnę, a $[0;\ 1]$ na drugą. Kwadrat jednostkowy przechodzi więc w równoległobok rozpięty na kolumnach.

Wyznacznik 2 × 2 i jego sens

\det\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc .

$|\det A|$ to pole równoległoboku rozpiętego na kolumnach $A$ , czyli współczynnik, przez który $A$ mnoży pola. Znak mówi o orientacji: plus, gdy obrót od pierwszej kolumny do drugiej (o kąt mniejszy niż $180^\circ$ ) jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara, minus, gdy figura zostaje „odbita w lustrze”.

Teraz widać, dlaczego $\det A = 0$ oznacza kłopot z układem. Macierz zgniata płaszczyznę do prostej (albo punktu). Różne wektory $\vec x$ lądują w tym samym miejscu, więc rozwiązanie nie jest jednoznaczne. Za to punkty spoza tej prostej nie są obrazem niczego, więc dla takich $\vec b$ rozwiązania nie ma wcale.

3.1 Wyznacznik 3 × 3

W trzech wymiarach wyznacznik to objętość równoległościanu rozpiętego na trzech kolumnach (lub wierszach), ze znakiem. To iloczyn mieszany z lekcji 1.1 Wektory. Liczymy go rozwinięciem Laplace'a względem pierwszego wiersza:

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}.

Każdy element pierwszego wiersza mnożymy przez wyznacznik 2 × 2, który zostaje po skreśleniu jego wiersza i kolumny, a znaki zmieniają się na przemian: $+,\ -,\ +$ . Rozwijać można względem dowolnego wiersza lub kolumny, ze znakiem $(-1)^{i+j}$ dla elementu $a_{ij}$ (szachownica znaków). Najlepiej wybrać wiersz z największą liczbą zer. Ten sam przepis działa dla macierzy $4\times4$ i większych: wyznacznik $n\times n$ sprowadza się do $n$ wyznaczników $(n-1)\times(n-1)$ .

Dla 3 × 3 istnieje też skrót, reguła Sarrusa: dopisujemy dwie pierwsze kolumny z prawej, dodajemy trzy iloczyny „z góry na dół w prawo” i odejmujemy trzy iloczyny „z dołu do góry w prawo”. Uwaga: działa tylko dla 3 × 3.

Przykład 3.1 Jeden wyznacznik, trzy sposoby

Oblicz $\det A$ dla macierzy $A$ z przykładu 1.1.

Sarrus: $1\cdot1\cdot2 + 1\cdot(-1)\cdot1 + 1\cdot2\cdot3 - 1\cdot1\cdot1 - 3\cdot(-1)\cdot1 - 2\cdot2\cdot1 = 2 - 1 + 6 - 1 + 3 - 4 = 5$ .
Laplace względem pierwszego wiersza: $1\cdot(2 + 3) - 1\cdot(4 + 1) + 1\cdot(6 - 1) = 5 - 5 + 5 = 5$ .
Eliminacja: w przykładzie 1.1 dostaliśmy macierz trójkątną z elementami głównymi $1$ , $-1$ , $-5$ , a dodawanie wielokrotności wierszy nie zmienia wyznacznika (patrz niżej). Wyznacznik macierzy trójkątnej to iloczyn przekątnej: $1\cdot(-1)\cdot(-5) = 5$ .

Wynik: $\det A = 5$ . Trzy kolumny $A$ rozpinają równoległościan o objętości 5.

Sprawdzenie: trzy niezależne metody dały to samo. Wyznacznik jest różny od zera, zgodnie z tym, że układ 1.1 miał dokładnie jedno rozwiązanie.

3.2 Własności, które oszczędzają rachunków

Własności wyznacznika ( $A$ , $B$ kwadratowe $n\times n$ )

zamiana dwóch wierszy (lub kolumn) zmienia znak wyznacznika;
pomnożenie jednego wiersza przez $c$ mnoży wyznacznik przez $c$ ; stąd $\det(cA) = c^n\det A$ ;
dodanie do wiersza wielokrotności innego wiersza nie zmienia wyznacznika;
$\det A^{\mathsf T} = \det A$ , więc wszystko, co prawdziwe dla wierszy, jest prawdziwe dla kolumn;
$\det(AB) = \det A\cdot\det B$ ;
wyznacznik macierzy trójkątnej to iloczyn elementów na przekątnej;
$\det A = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy któraś kolumna (wiersz) jest kombinacją liniową pozostałych.

Wszystkie mają sens geometryczny. Dodanie do jednej krawędzi równoległościanu wielokrotności innej krawędzi to „przesunięcie warstw talii kart”: objętość się nie zmienia. Rozciągnięcie jednej krawędzi $c$ razy zwiększa objętość $c$ razy. Złożenie przekształceń mnoży współczynniki zmiany objętości, stąd $\det(AB) = \det A\det B$ . Wynika z tego praktyczna metoda: duże wyznaczniki liczy się eliminacją. Doprowadzamy macierz do postaci trójkątnej, mnożymy elementy przekątnej i zmieniamy znak przy każdej zamianie wierszy. To ta sama robota, co przy rozwiązywaniu układu.

Zadania · część 3

6 zadań · ok. 40 min

Oblicz $\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix}$ , $\;\begin{vmatrix} 2 & 4\\ 1 & 2 \end{vmatrix}$ , $\;\begin{vmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{vmatrix}$ . Co oznacza każdy wynik geometrycznie?

Odpowiedź
5: pole rośnie pięciokrotnie. $\;$ 0: kolumny równoległe ( $[4;\ 2] = 2\cdot[2;\ 1]$ ), płaszczyzna zgnieciona do prostej. $\;\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ : obrót nie zmienia pól ani orientacji.
Oblicz $\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 3 & 1\\ 0 & 1 & 4 \end{vmatrix}$ dwiema metodami.

Odpowiedź
Laplace względem pierwszego wiersza: $2\cdot(12 - 1) - 1\cdot(4 - 0) + 0 = 18$ . Sarrus: $24 + 0 + 0 - 0 - 2 - 4 = 18$ .
Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach $(1;\ 1)$ , $(4;\ 2)$ , $(2;\ 5)$ .

Wskazówka
Weź wektory od pierwszego wierzchołka do dwóch pozostałych. Trójkąt to połowa równoległoboku.

Odpowiedź
$\vec u = [3;\ 1]$ , $\vec v = [1;\ 4]$ , $\;\tfrac12|3\cdot4 - 1\cdot1| = 5{,}5$ .
$A$ jest macierzą $3\times3$ i $\det A = 5$ . Oblicz $\det(2A)$ , $\det(-A)$ , $\det A^{\mathsf T}$ , $\det(A^2)$ .

Odpowiedź
$2^3\cdot5 = 40$ ; $\;(-1)^3\cdot5 = -5$ ; $\;5$ ; $\;25$ . Najczęstszy błąd to $\det(2A) = 10$ .
Dla jakiego $t$ zachodzi $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4\\ 1 & 3 & t \end{vmatrix} = 0$ ? Który wiersz jest wtedy kombinacją pozostałych?

Odpowiedź
Wyznacznik to $t - 7$ , więc $t = 7$ . Wtedy $w_3 = 2w_2 - w_1$ : $(2 - 1;\ 4 - 1;\ 8 - 1) = (1;\ 3;\ 7)$ ✓.
Pokaż, że $\begin{vmatrix} 1 & a & a^2\\ 1 & b & b^2\\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix} = (b - a)(c - a)(c - b)$ (wyznacznik Vandermonde'a). Co to mówi o zadaniu 1.6: kiedy przez trzy punkty przechodzi dokładnie jedna parabola?

Wskazówka
Odejmij pierwszy wiersz od dwóch pozostałych i rozwiń względem pierwszej kolumny. Wyciągnij $(b - a)$ i $(c - a)$ z wierszy.

Odpowiedź
Po odjęciu: $\begin{vmatrix} b - a & b^2 - a^2\\ c - a & c^2 - a^2 \end{vmatrix} = (b - a)(c - a)\begin{vmatrix} 1 & b + a\\ 1 & c + a \end{vmatrix} = (b - a)(c - a)(c - b)$ . To jest wyznacznik układu z zadania 1.6 (z kolumnami w innej kolejności, co zmienia najwyżej znak). Jest różny od zera, gdy $a$ , $b$ , $c$ są różne: przez trzy punkty o różnych odciętych przechodzi dokładnie jedna parabola (gdy współczynnik przy $x^2$ wyjdzie zerem, jest to prosta).

4 Macierz odwrotna i wzory Cramera

Równanie liczbowe $ax = b$ rozwiązujemy, dzieląc przez $a$ , czyli mnożąc przez $a^{-1}$ . Dla macierzy dzielenia nie ma, ale czasem istnieje odpowiednik odwrotności.

Definicja · macierz odwrotna

Macierz $A^{-1}$ jest odwrotna do kwadratowej macierzy $A$ , jeśli $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ . Istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy $\det A \neq 0$ (macierz jest nieosobliwa). Wtedy układ $A\vec x = \vec b$ ma dokładnie jedno rozwiązanie $\vec x = A^{-1}\vec b$ .

\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}.

Dla 2 × 2: zamień elementy na przekątnej, zmień znaki pozostałych, podziel przez wyznacznik. Geometrycznie $A^{-1}$ cofa to, co zrobiła $A$ . Jeśli $A$ zgniotła płaszczyznę do prostej, cofnąć się tego nie da. Stąd warunek $\det A \neq 0$ , a także $\det A^{-1} = 1/\det A$ .

Dla większych macierzy najprościej użyć metody Gaussa–Jordana. Zapisujemy obok siebie $[A\,|\,I]$ i operacjami na wierszach doprowadzamy lewą część do $I$ . Prawa część staje się wtedy $A^{-1}$ . To nie sztuczka: każda kolumna $A^{-1}$ to rozwiązanie układu $A\vec x = \vec e_j$ , gdzie $\vec e_j$ to $j$ -ta kolumna $I$ . Rozwiązujemy więc $n$ układów naraz.

Przykład 4.1 Odwracamy macierz z przykładu 1.1

Znajdź $A^{-1}$ dla $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 1 & -1\\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$ i rozwiąż ponownie układ 1.1.

Eliminacja w przód taka jak w przykładzie 1.1 ( $w_2 - 2w_1$ , $w_3 - w_1$ , $w_3 + 2w_2$ ), tylko na dłuższych wierszach: $\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & -3 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -5 & -5 & 2 & 1 \end{array}\right).$
Wstecz: $w_3 \leftarrow w_3/(-5)$ ; $\;w_1 \leftarrow w_1 - w_3$ , $\;w_2 \leftarrow w_2 + 3w_3$ ; $\;w_2 \leftarrow -w_2$ ; $\;w_1 \leftarrow w_1 - w_2$ : $\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & \tfrac15 & -\tfrac25\\ 0 & 1 & 0 & -1 & \tfrac15 & \tfrac35\\ 0 & 0 & 1 & 1 & -\tfrac25 & -\tfrac15 \end{array}\right).$
$\vec x = A^{-1}\vec b = \tfrac15\begin{pmatrix} 5 & 1 & -2\\ -5 & 1 & 3\\ 5 & -2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6\\ 1\\ 13 \end{pmatrix} = \tfrac15\begin{pmatrix} 5\\ 10\\ 15 \end{pmatrix}$ .

Wynik: $A^{-1} = \tfrac15\begin{pmatrix} 5 & 1 & -2\\ -5 & 1 & 3\\ 5 & -2 & -1 \end{pmatrix}$ , a $\vec x = [1;\ 2;\ 3]$ , jak w przykładzie 1.1.

Sprawdzenie: pierwszy wiersz $A$ razy pierwsza kolumna $A^{-1}$ : $\tfrac15(5 - 5 + 5) = 1$ ✓; pierwszy wiersz razy druga kolumna: $\tfrac15(1 + 1 - 2) = 0$ ✓. Mianownik 5 to $\det A$ , i to nie przypadek (wzór poniżej).

Przydaje się reguła $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ . Kolejność się odwraca z tego samego powodu co przy skarpetkach i butach: zakładamy najpierw skarpetki, potem buty, a zdejmujemy w odwrotnej kolejności.

4.1 Wzory Cramera

Wzory Cramera

Jeśli $W = \det A \neq 0$ , układ $A\vec x = \vec b$ ma jedno rozwiązanie

x_j = \frac{W_j}{W},

gdzie $W_j$ to wyznacznik macierzy $A$ , w której $j$ -tą kolumnę zastąpiono wektorem $\vec b$ .

Dla układu 1.1: $W = 5$ , $W_x = 5$ , $W_y = 10$ , $W_z = 15$ , więc znów $(1;\ 2;\ 3)$ . Wzory Cramera są piękne i przydatne w teorii: od razu widać, że rozwiązanie zależy od $\vec b$ liniowo i że kłopot zaczyna się, gdy $W \to 0$ (jak w prologu). Ogólny wzór na odwrotność, $A^{-1} = \tfrac{1}{\det A}\,D^{\mathsf T}$ , gdzie $D$ to macierz dopełnień algebraicznych (wyznaczników po skreśleniu wiersza i kolumny, ze znakami szachownicy), ma to samo źródło.

Pułapka · ile to kosztuje

Wyznacznik $n\times n$ liczony rozwinięciem Laplace'a wymaga około $n!$ mnożeń, a wzory Cramera potrzebują $n + 1$ takich wyznaczników. Eliminacja Gaussa potrzebuje około $\tfrac23n^3$ działań. Dla $n = 20$ to kilka tysięcy działań wobec około $5\cdot10^{19}$ : przy miliardzie działań na sekundę mikrosekundy wobec 1600 lat. Programy numeryczne (np. numpy.linalg.solve) używają eliminacji (z wyborem największego co do modułu elementu głównego, co ogranicza błędy zaokrągleń), nie Cramera, i nie liczą $A^{-1}$ , gdy trzeba tylko rozwiązać układ. Ręcznie: Cramer dla 2 × 2 i czasem 3 × 3, powyżej eliminacja.

Zadania · część 4

6 zadań · ok. 35 min

Znajdź odwrotność $\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 5 & 2 \end{pmatrix}$ i sprawdź mnożeniem.

Odpowiedź
Wyznacznik 1, więc $\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -5 & 3 \end{pmatrix}$ . Sprawdzenie: $\begin{pmatrix} 6 - 5 & -3 + 3\\ 10 - 10 & -5 + 6 \end{pmatrix} = I$ ✓.
Znajdź odwrotności $\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 5 \end{pmatrix}$ i $\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}$ . Zinterpretuj je.

Odpowiedź
$\begin{pmatrix} 1/2 & 0\\ 0 & 1/5 \end{pmatrix}$ : cofnięcie rozciągnięć wzdłuż osi. $\;\begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha\\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}$ : obrót o $-\alpha$ . Dla obrotu odwrotność to transpozycja.
Korzystając z zadania 4.1, rozwiąż $3x + y = 4$ , $5x + 2y = 7$ . Potem bez nowej eliminacji rozwiąż ten sam układ z prawą stroną $[1;\ 0]$ .

Odpowiedź
$\vec x = \begin{pmatrix} 2 & -1\\ -5 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4\\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}$ . Dla $[1;\ 0]$ wynik to pierwsza kolumna odwrotności: $[2;\ -5]$ .
Znajdź metodą Gaussa–Jordana odwrotność $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ .

Odpowiedź
Wyznacznik 1. $\;w_3 - w_1$ , potem $w_1 - 2w_3$ : $\begin{pmatrix} 3 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
Rozwiąż wzorami Cramera układ z zadania 1.2.

Odpowiedź
$W = 7$ , $W_x = 14$ , $W_y = -7$ , $W_z = 7$ : $(2;\ -1;\ 1)$ ✓.
Pokaż, że $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ , mnożąc. Dlaczego $A^{-1}B^{-1}$ zwykle nie jest odwrotnością $AB$ ?

Odpowiedź
$(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = I$ , podobnie z drugiej strony. Natomiast $(AB)(A^{-1}B^{-1})$ wymagałoby przestawienia $B$ i $A^{-1}$ , co jest dozwolone tylko, gdy te macierze są przemienne.

5 Zastosowania i uwarunkowanie

Prawa Kirchhoffa (omówimy je w fizyce, Dział 15: Prąd i pole magnetyczne; tu przyjmij je jako dane) mówią: w każdym węźle suma prądów wpływających równa się sumie wypływających, a w każdym zamkniętym oczku suma sił elektromotorycznych równa się sumie spadków napięcia $RI$ (ze znakami zależnymi od kierunku obiegu). Każde z tych praw to równanie liniowe w prądach.

Przykład 5.1 Obwód z dwiema bateriami

Baterie $\mathcal E_1 = 12\ \mathrm V$ i $\mathcal E_2 = 6\ \mathrm V$ są połączone z opornikami $R_1 = 2\ \Omega$ , $R_2 = 4\ \Omega$ , $R_3 = 6\ \Omega$ jak na rysunku. Oblicz prądy $I_1$ , $I_2$ , $I_3$ (kierunki strzałek na rysunku są założone; wynik ujemny oznacza przepływ w przeciwną stronę).

Węzeł górny: $I_1 + I_2 = I_3$ . Oczko lewe: $12 = 2I_1 + 6I_3$ . Oczko prawe: $6 = 4I_2 + 6I_3$ .
Macierz rozszerzona i eliminacja ( $w_2 - 2w_1$ , potem $w_3 + 2w_2$ , a na końcu prosty rachunek wsteczny): $\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 0\\ 2 & 0 & 6 & 12\\ 0 & 4 & 6 & 6 \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & -2 & 8 & 12\\ 0 & 0 & 22 & 30 \end{array}\right).$
$I_3 = \tfrac{30}{22} = \tfrac{15}{11}$ ; $\;-2I_2 = 12 - 8\cdot\tfrac{15}{11} = \tfrac{12}{11}$ , więc $I_2 = -\tfrac{6}{11}$ ; $\;I_1 = I_3 - I_2 = \tfrac{21}{11}$ .

Wynik: $I_1 \approx 1{,}91\ \mathrm A$ , $I_2 \approx -0{,}55\ \mathrm A$ , $I_3 \approx 1{,}36\ \mathrm A$ . Minus przy $I_2$ znaczy, że prąd płynie przez baterię 6 V „pod prąd”, od plusa do minusa: silniejsza bateria ją ładuje.

Sprawdzenie: oczko lewe $2\cdot\tfrac{21}{11} + 6\cdot\tfrac{15}{11} = \tfrac{132}{11} = 12$ ✓; prawe $4\cdot(-\tfrac{6}{11}) + 6\cdot\tfrac{15}{11} = \tfrac{66}{11} = 6$ ✓. Jednostki: $\mathrm{V}/\Omega = \mathrm A$ ✓.

5.1 Uwarunkowanie: kiedy rozwiązanie istnieje, ale nie można mu ufać

Wyznacznik różny od zera gwarantuje jedno rozwiązanie. Nie gwarantuje, że to rozwiązanie da się wiarygodnie policzyć z danych obarczonych błędem. Zawsze tak jest w fizyce, bo prawe strony (a często i współczynniki) pochodzą z pomiarów (lekcja 0.5 Jednostki, analiza wymiarowa, szacowanie i niepewność pomiaru).

Przykład 5.2 Prawie równoległe proste

Rozwiąż $x + y = 2$ , $\;x + 1{,}001\,y = b_2$ dla $b_2 = 2{,}001$ i dla $b_2 = 2{,}002$ .

$w_2 - w_1$ : $0{,}001\,y = b_2 - 2$ , więc $y = 1000\,(b_2 - 2)$ i $x = 2 - y$ .
$b_2 = 2{,}001$ : $y = 1$ , $x = 1$ . $\;b_2 = 2{,}002$ : $y = 2$ , $x = 0$ .

Wynik: zmiana prawej strony o 0,05% (z 2,001 na 2,002) przesunęła rozwiązanie z $(1;\ 1)$ do $(0;\ 2)$ . Zmiana danych o 0,001 dała zmianę wyniku o 1, tysiąc razy większą.

Sprawdzenie: $0 + 1{,}001\cdot2 = 2{,}002$ ✓. Geometrycznie: proste o nachyleniach $-1$ i $-1/1{,}001$ są prawie równoległe, więc małe przesunięcie jednej z nich przesuwa punkt przecięcia daleko wzdłuż drugiej.

Taki układ nazywamy źle uwarunkowanym. Miarą jest wskaźnik uwarunkowania macierzy, który mówi, ile razy może się wzmocnić względny błąd danych. W tym przykładzie wynosi około 4000. Dokładna definicja wymaga norm macierzy; tu wystarczy intuicja. Wyznacznik tu jest mały (0,001), ale sam mały wyznacznik nie świadczy o złym uwarunkowaniu: macierz $0{,}1\cdot I$ o wymiarach $10\times10$ ma wyznacznik $10^{-10}$ , a układ z nią rozwiązuje się idealnie (każdą niewiadomą mnożymy przez 10). Liczy się to, czy kolumny są prawie zależne (w dwóch wymiarach: prawie równoległe), a nie to, że wszystkie są jednakowo krótkie.

Prolog jest przykładem tego samego zjawiska. Kolumny macierzy mają tam długość 1, więc mały wyznacznik naprawdę oznacza prawie równoległe kolumny. Gdy liny są prawie poziome, wyznacznik $-\sin(\alpha + \beta)$ jest mały, a naciąg ogromny i bardzo czuły na kąt. Inżynier nie powie „ten układ ma rozwiązanie”, tylko „ta konstrukcja jest źle pomyślana”.

Zadania · część 5

5 zadań · ok. 35 min

Lampa z prologu ( $mg = 117{,}72\ \mathrm N$ ) wisi symetrycznie na dwóch linach nachylonych pod kątem $\theta$ do poziomu. Pokaż, że naciąg każdej liny to $T = \dfrac{mg}{2\sin\theta}$ , i oblicz go dla $\theta = 30^\circ$ , $10^\circ$ , $5^\circ$ , $1^\circ$ .

Odpowiedź
Symetria daje $T_1 = T_2 = T$ , a z równania pionowego $2T\sin\theta = mg$ . $\;117{,}7\ \mathrm N$ (tyle, ile ciężar); $\;339\ \mathrm N$ ; $\;675\ \mathrm N$ (prawie sześć razy ciężar); $\;3373\ \mathrm N$ . Lina zupełnie pozioma nie utrzyma niczego: $\theta \to 0$ daje $T \to \infty$ .
Powtórz przykład 5.1 dla $\mathcal E_1 = 9\ \mathrm V$ , $\mathcal E_2 = 3\ \mathrm V$ , $R_1 = 1\ \Omega$ , $R_2 = 2\ \Omega$ , $R_3 = 3\ \Omega$ .

Odpowiedź
Układ $I_1 + I_2 - I_3 = 0$ , $I_1 + 3I_3 = 9$ , $2I_2 + 3I_3 = 3$ . $\;I_1 = \tfrac{36}{11} \approx 3{,}27\ \mathrm A$ , $I_2 = -\tfrac{15}{11} \approx -1{,}36\ \mathrm A$ , $I_3 = \tfrac{21}{11} \approx 1{,}91\ \mathrm A$ .
Rozwiąż $x + y = 2$ , $x + 0{,}99\,y = b_2$ dla $b_2 = 1{,}99$ , $\;2{,}00$ i $1{,}98$ . O ile zmienia się prawa strona, a o ile rozwiązanie?

Odpowiedź
$(1;\ 1)$ , $\;(2;\ 0)$ , $\;(0;\ 2)$ . Prawa strona zmienia się o 0,01, czyli o pół procenta, a rozwiązanie o 1 w każdej współrzędnej, czyli o 100% wartości.
Kwadratowa płyta ma na górnej krawędzi temperaturę $100^\circ\mathrm C$ , a na pozostałych $0^\circ\mathrm C$ . Dzielimy ją siatką tak, że w środku są cztery węzły (dwa górne $T_1$ , $T_2$ i dwa dolne $T_3$ , $T_4$ ), a każdy węzeł wewnętrzny ma temperaturę równą średniej czterech sąsiadów. Każdy węzeł ma dwóch sąsiadów na brzegu i dwóch wewnątrz. Ułóż układ i rozwiąż go.

Wskazówka
Na przykład $4T_1 = 100 + 0 + T_2 + T_3$ . Z symetrii $T_1 = T_2$ i $T_3 = T_4$ .

Odpowiedź
$3T_1 - T_3 = 100$ , $3T_3 - T_1 = 0$ , czyli $T_1 = T_2 = 37{,}5^\circ\mathrm C$ , $T_3 = T_4 = 12{,}5^\circ\mathrm C$ . Średnia czterech węzłów to $25^\circ\mathrm C$ , tyle co średnia czterech krawędzi. Tak w uproszczeniu wygląda numeryczne rozwiązywanie równania Laplace'a (4.7 Równania cząstkowe: fali, dyfuzji i Laplace'a): przy gęstej siatce to układ tysięcy równań.
Komputer wykonuje $10^9$ działań na sekundę. Ile czasu zajęłoby rozwiązanie układu $n\times n$ wzorami Cramera z wyznacznikami liczonymi rozwinięciem Laplace'a (przyjmij $(n+1)!$ działań), a ile eliminacją ( $\tfrac23n^3$ ) dla $n = 10$ , $20$ , $30$ ?

Odpowiedź
$n = 10$ : 0,04 s wobec 0,7 μs. $\;n = 20$ : około 1600 lat wobec 5 μs. $\;n = 30$ : około $2{,}6\cdot10^{17}$ lat (około 20 milionów razy więcej niż wiek Wszechświata) wobec 18 μs.

6 Błędne intuicje

„ $AB = BA$ , jak dla liczb.”: Na ogół nie (przykład 2.1). Iloczyn to złożenie działań, a kolejność działań ma znaczenie: obrót, a potem rozciągnięcie wzdłuż osi to co innego niż rozciągnięcie, a potem obrót.
„ $\det(A + B) = \det A + \det B$ i $\det(2A) = 2\det A$ .”: Oba fałszywe. Wyznacznik jest multiplikatywny ( $\det AB = \det A\det B$ ), a nie addytywny. Dla $n\times n$ : $\det(2A) = 2^n\det A$ , bo każda z $n$ krawędzi wydłuża się dwa razy.
„ $(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$ .”: Kolejność się odwraca: $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ . Tak samo przy transpozycji.
„Tyle równań, ile niewiadomych, więc jest jedno rozwiązanie.”: Tylko gdy wyznacznik jest różny od zera. Równania mogą być zależne (przykład 1.2) albo sprzeczne. Liczy się rząd, a nie liczba równań.
„Mały wyznacznik oznacza źle uwarunkowany układ.”: Nie: $0{,}1\cdot I$ o wymiarach $10\times10$ ma wyznacznik $10^{-10}$ i jest idealnie uwarunkowana. Wyznacznik zależy od skali. Uwarunkowanie zależy od tego, czy kolumny są prawie zależne (prawie równoległe) albo mają bardzo różne długości. Jednakowe przeskalowanie wszystkich kolumn go nie zmienia.
„Wzory Cramera to najlepsza metoda, bo dają gotowy wzór.”: Najlepsza do teorii i do 2 × 2. Dla większych układów eliminacja jest nieporównanie szybsza (zadanie 5.5). Programy numeryczne do typowych układów używają eliminacji (do bardzo dużych i rzadkich metod iteracyjnych), nigdy wzorów Cramera.
„Skoro $A\vec x = \vec b$ , to $\vec x = \vec b/A$ .”: Dzielenia przez macierz nie ma. Jest mnożenie przez odwrotność, i to z lewej strony: $\vec x = A^{-1}\vec b$ , a nie $\vec bA^{-1}$ (ten iloczyn nawet nie istnieje).

7 Sprawdź się

1 Które operacje na wierszach nie zmieniają zbioru rozwiązań układu?

Zamiana wierszy, pomnożenie wiersza przez liczbę różną od zera, dodanie do wiersza wielokrotności innego wiersza.

2 Po eliminacji pojawił się wiersz

(0\ \ 0\ \ 0\ |\ 3)

. Co to znaczy?

Równanie $0 = 3$ : układ jest sprzeczny.

3 Jakie wymiary ma iloczyn macierzy

3\times2

2\times5

$3\times5$ .

4 Co oznacza geometrycznie

\det A = -2

dla macierzy

2\times2

Pola rosną dwukrotnie, a orientacja się odwraca (odbicie).

5 Jak zmienia się wyznacznik przy zamianie dwóch wierszy?

Zmienia znak.

6 Kiedy macierz kwadratowa ma odwrotność?

Wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest różny od zera.

7 Dlaczego programy numeryczne nie używają wzorów Cramera?

Z wyznacznikami liczonymi rozwinięciem Laplace'a kosztują około $(n+1)!$ działań, a eliminacja około $\tfrac23n^3$ . Nawet gdy wyznaczniki liczy się eliminacją, Cramer wymaga $n + 1$ eliminacji zamiast jednej i jest bardziej wrażliwy na błędy zaokrągleń.

8 Karta wzorów i co dalej

Układy i macierze

układ: $A\vec x = \vec b$ ; $\;$ macierz rozszerzona $[A\,|\,\vec b]$

operacje: $w_i \leftrightarrow w_j$ ; $\;w_i \leftarrow cw_i$ ( $c \neq 0$ ); $\;w_i \leftarrow w_i + cw_j$

Kronecker–Capelli: rozwiązanie istnieje $\iff \operatorname{rz} A = \operatorname{rz}[A\,|\,\vec b]$ ; parametrów $n - r$

$(AB)_{ij} = \sum_k a_{ik}b_{kj}$ ; $\;(m\times n)(n\times p) = m\times p$

$A\vec x$ = kombinacja kolumn $A$ ; $\;AB \neq BA$ na ogół

$(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}$ ; $\;(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

Wyznacznik i odwrotność

$\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ = pole ze znakiem

3 × 3: Laplace (znaki szachownicy) lub Sarrus; = iloczyn mieszany

zamiana wierszy: $-$ ; $\;w_i + cw_j$ : bez zmian; $\;\det(cA) = c^n\det A$

$\det AB = \det A\det B$ ; $\;\det A^{\mathsf T} = \det A$

$\det A \neq 0 \iff A^{-1}$ istnieje $\iff$ jedno rozwiązanie

$\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \tfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$ ; $\;[A\,|\,I] \to [I\,|\,A^{-1}]$

Cramer: $x_j = W_j/W$ ; $\;$ duże układy: eliminacja

Do przeczytania u Feynmana

Dla chętnych: II-31-1 i 31-2 (tensor polaryzowalności: dlaczego jedna liczba nie wystarcza i jak zachowuje się dziewięć liczb przy zmianie osi).

Do przeczytania w podręcznikach matematyki

K. A. Stroud, Engineering Mathematics: rozdziały o wyznacznikach i macierzach (eliminacja Gaussa, macierz odwrotna, rozwiązywanie układów).
G. Strang, Introduction to Linear Algebra: rozdziały 1–2 i 5. Najlepsze źródło obrazu kolumnowego i myślenia o macierzach jako przekształceniach.

W lekcji 2.2 Przekształcenia liniowe: obroty, zmiana bazy, transformacja Lorentza macierz przestanie być tabelą współczynników i stanie się przekształceniem: obrotem, zmianą bazy, transformacją Lorentza. W 2.3 Wartości i wektory własne zapytamy o kierunki, które macierz tylko wydłuża (to kierunki $\vec P \parallel \vec E$ z zadania 2.6), a wyznacznik da równanie na te kierunki. Wyznacznik jako współczynnik zmiany objętości wróci w całkach wielokrotnych jako jakobian (3.3 Całki podwójne i potrójne), a układy równań w metodzie najmniejszych kwadratów (5.2 Statystyka pomiarów i dopasowania) i w przestrzeni stanów (4.5 Układy równań liniowych i przestrzeń stanów). W mechanice kwantowej (Dział 18: Stany kwantowe, układy dwustanowe i spin) stan układu dwustanowego to wektor, a jego ewolucja to mnożenie przez macierz.