Przekształcenia liniowe: obroty, zmiana bazy, transformacja Lorentza

0 Prolog: Joe i Moe patrzą na ten sam punkt

W rozdziale o wektorach Feynman wprowadza dwóch fizyków, Joego i Moe. Moe ustawił swoje osie obrócone o kąt $\theta$ względem osi Joego. Ten sam punkt $P$ ma u Joego współrzędne $(x;\ y)$, a u Moe $(x';\ y')$. Z rysunku (prostokąty i trójkąty z lekcji 0.3 Trygonometria i funkcje hiperboliczne) Feynman odczytujeFLP I-11-3

Obaj wykonują to samo doświadczenie, każdy w swoich osiach, i dostają te same prawa fizyki. Na tym Feynman buduje całą ideę wektora: wielkość, której trzy składowe zmieniają się przy obrocie osi dokładnie tak jak $x$, $y$, $z$. Są też liczby, które się nie zmieniają. Długość: $x'^2 + y'^2 = x^2 + y^2$ (sprawdź, wymnażając). Iloczyn skalarny dwóch wektorów. Pole i objętość.

Te wzory są liniowe: $x'$ i $y'$ to kombinacje $x$ i $y$ bez wyrazów wolnych i bez kwadratów. Można je więc zapisać jako mnożenie przez macierz, tak jak układ równań w lekcji 2.1 Macierze, wyznaczniki i układy równań.

Pytanie na start. Obrót zachowuje $x^2 + y^2$. Czy istnieje liniowe przekształcenie, które miesza współrzędną $x$ z czasem $ct$ i zachowuje $(ct)^2 - x^2$, z minusem? Jak wyglądałaby jego macierz? Odpowiedź w części 4.

1 Przekształcenia liniowe i ich macierze

Słownie: obraz sumy to suma obrazów, a obraz wektora $k$ razy dłuższego jest $k$ razy dłuższy. Geometrycznie: proste przechodzą w proste (albo w punkty), równoległe w równoległe, równe odcinki na jednej prostej w równe odcinki, a zero zostaje w miejscu, bo $T(\vec 0) = T(0\cdot\vec 0) = 0\cdot T(\vec 0) = \vec 0$. Przesunięcie o stały wektor nie jest więc liniowe, mimo że prostych nie wygina.

Najważniejszy fakt tej części: przekształcenie liniowe jest w całości wyznaczone przez to, co robi z wektorami bazy. Każdy wektor płaszczyzny to $\vec v = x\,\vec\imath + y\,\vec\jmath$, więc z liniowości

To jest dokładnie obraz kolumnowy iloczynu macierzy przez wektor z lekcji 2.1 Macierze, wyznaczniki i układy równań. Wystarczy wpisać $T(\vec\imath)$ i $T(\vec\jmath)$ jako kolumny macierzy:

Ten przepis od razu daje macierze najważniejszych przekształceń płaszczyzny. Rozciągnięcie $k$ razy wzdłuż osi $x$: $\vec\imath \to k\vec\imath$, $\vec\jmath \to \vec\jmath$, więc $\begin{pmatrix} k & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Ścinanie (talia kart przesunięta warstwami): $\vec\imath \to \vec\imath$, $\vec\jmath \to \vec\jmath + k\vec\imath$, więc $\begin{pmatrix} 1 & k\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Odbicie względem osi $x$: $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$. Rzut na oś $x$: $\vec\jmath \to \vec 0$, więc $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Złożenie przekształceń (najpierw $S$, potem $T$) to iloczyn macierzy $TS$. Kolejność czytamy od prawej, jak przy funkcjach: $(TS)\vec v = T(S\vec v)$. Wartość bezwzględna wyznacznika z lekcji 2.1 Macierze, wyznaczniki i układy równań mówi, ile razy przekształcenie zmienia pola, a znak minus oznacza zmianę orientacji: ścinanie ma wyznacznik 1 (talia kart ma tę samą objętość), odbicie $-1$, rzut 0. Rzutu nie da się odwrócić, bo różne wektory (np. $[2;\ 1]$ i $[2;\ 5]$) mają ten sam obraz $[2;\ 0]$: informacja o $y$ zginęła.

2 Obroty i odbicia

Obrót płaszczyzny o kąt $\theta$ (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) przenosi $\vec\imath$ na $[\cos\theta;\ \sin\theta]$ (punkt okręgu jednostkowego, lekcja 0.3 Trygonometria i funkcje hiperboliczne), a $\vec\jmath$ na wektor obrócony o $90^\circ$ dalej, $[-\sin\theta;\ \cos\theta]$. To są kolumny macierzy:

Wzór na złożenie to wzory na sinus i cosinus sumy (zadanie 2.7 w lekcji 2.1 Macierze, wyznaczniki i układy równań). W lekcji 1.7 Liczby zespolone i fazory to samo zapisaliśmy krócej: obrót o $\theta$ to mnożenie przez $e^{i\theta}$. Macierz $R(\theta)$ i liczba $e^{i\theta}$ opisują to samo przekształcenie płaszczyzny.

Skąd $R^{-1} = R^{\mathsf T}$? Kolumny $R$ mają długość 1 i są do siebie prostopadłe. Element $(i, j)$ iloczynu $R^{\mathsf T}R$ to iloczyn skalarny $i$-tej kolumny z $j$-tą, więc $R^{\mathsf T}R = I$. Macierz o tej własności nazywamy ortogonalną. Zachowuje iloczyn skalarny, bo $(R\vec u)\cdot(R\vec v) = \vec u^{\mathsf T}R^{\mathsf T}R\,\vec v = \vec u^{\mathsf T}\vec v$. Macierze ortogonalne to dokładnie obroty (wyznacznik $1$) i obroty złożone z odbiciem (wyznacznik $-1$; na płaszczyźnie to po prostu odbicia względem prostych). Innych wyznaczników mieć nie mogą, bo $(\det Q)^2 = \det(Q^{\mathsf T}Q) = 1$. Odwracanie obrotu nie wymaga eliminacji: wystarczy transpozycja.

2.1 Odbicie względem dowolnej prostej

Odbicie względem prostej przez początek układu, nachylonej pod kątem $\varphi$, ma macierz

Skąd ten wzór, zobaczysz w części 3.2: tam wyprowadzimy go w trzech linijkach. Na razie sprawdź przypadki szczególne: $\varphi = 0$ daje odbicie względem osi $x$, a $\varphi = 45^\circ$ daje $\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, czyli zamianę $x$ z $y$ (odbicie względem prostej $y = x$).

2.2 Obroty w przestrzeni nie są przemienne

W trzech wymiarach obrót o kąt $\theta$ wokół osi $z$ zostawia oś $z$ w spokoju i obraca płaszczyznę $xy$:

Obroty płaszczyzny są przemienne, bo kąty się po prostu dodają: $R(\alpha)R(\beta) = R(\alpha + \beta) = R(\beta)R(\alpha)$ (wszystkie obroty płaszczyzny mają tę samą oś, prostopadłą do płaszczyzny). W przestrzeni już nie. Weź książkę i obróć ją o $90^\circ$ wokół osi $x$, a potem wokół $z$ (osie nieruchome, związane z pokojem, a nie z książką). Drugą książkę obróć w odwrotnej kolejności. Leżą inaczej. Macierze mówią to samo:

Pierwsza kolumna pokazuje, gdzie trafia $\vec\imath$: w pierwszym przypadku na $\vec\jmath$, w drugim na $\vec k$. Dlatego trzech kątów obrotu nie można dodawać jak składowych wektora. Orientację samolotu czy satelity opisuje się kątami Eulera (trzy obroty w ustalonej kolejności) albo kwaternionami, a obroty składa się mnożeniem macierzy lub kwaternionów (lekcja 1 Orientacja w 3D: macierz obrotu, kąty Eulera, oś i kąt, kwaterniony).

3 Obracamy wektor czy osie? Zmiana bazy

Porównaj wzory Feynmana z prologu z macierzą $R(\theta)$. Feynman ma $x' = x\cos\theta + y\sin\theta$, czyli plus przy sinusie w pierwszym wierszu, a $R(\theta)$ ma tam minus. To nie błąd. Są dwa różne pytania:

• Obrót wektora (punkt widzenia aktywny): osie stoją, wektor obraca się o $\theta$. Nowe współrzędne: $R(\theta)\vec v$.
• Obrót osi (punkt widzenia pasywny): wektor stoi, osie obracają się o $\theta$. Względem nowych osi wektor wygląda tak, jakby obrócił się o $-\theta$. Nowe współrzędne: $R(-\theta)\vec v = R(\theta)^{\mathsf T}\vec v$.

Przy zmianie obserwatora chodzi o drugie: zjawisko jest jedno, a zmienia się tylko jego opis. Pomylenie tych dwóch punktów widzenia to częste źródło błędów znaku w mechanice bryły sztywnej i w nawigacji.

3.1 Współrzędne w dowolnej bazie

Obrót osi to szczególny przypadek ogólniejszej operacji. Bazą płaszczyzny jest każda para liniowo niezależnych (niezerowych i nierównoległych) wektorów $\vec b_1$, $\vec b_2$: każdy wektor da się wtedy zapisać jednoznacznie jako $\vec v = x'_1\vec b_1 + x'_2\vec b_2$. Liczby $x'_1$, $x'_2$ to współrzędne w bazie $\{\vec b_1, \vec b_2\}$. Jeśli $P$ to macierz o kolumnach $\vec b_1$, $\vec b_2$, to $\vec v = P\vec x'$, a więc

Macierze $A$ i $A' = P^{-1}AP$ nazywamy podobnymi. Opisują to samo przekształcenie w różnych bazach, więc mają te same własności geometryczne: ten sam wyznacznik (współczynnik zmiany pól nie zależy od opisu) i ten sam ślad, czyli sumę elementów na przekątnej (zadanie 3.6). Dla bazy ortonormalnej (wektory jednostkowe i prostopadłe, np. obrócone osie) $P^{-1} = P^{\mathsf T}$. Przy obrocie osi $P = R(\theta)$, więc $\vec x' = R(\theta)^{\mathsf T}\vec v$: to są wzory Feynmana z prologu.

Szukanie bazy, w której macierz staje się przekątniowa, to temat lekcji 2.3 Wartości i wektory własne: wektory $\vec b_1$, $\vec b_2$ z przykładu to wektory własne $A$, a liczby 3 i 1 to wartości własne.

3.2 Wzór na odbicie z dobrze dobranej bazy

Teraz obiecane wyprowadzenie wzoru na odbicie. W bazie złożonej z wersora prostej $\hat u = [\cos\varphi;\ \sin\varphi]$ i wersora do niej prostopadłego $\hat n = [-\sin\varphi;\ \cos\varphi]$ odbicie jest trywialne: $\hat u \to \hat u$, $\hat n \to -\hat n$, czyli $A' = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$. Macierz $P$ o kolumnach $\hat u$, $\hat n$ to $R(\varphi)$. Z $A' = P^{-1}AP$ mamy $A = PA'P^{-1}$, a tu $P^{-1} = R(\varphi)^{\mathsf T}$. Zatem

Ta sama metoda działa dla każdego przekształcenia, które ma „naturalne” kierunki: wybierz bazę zgodną z geometrią problemu, zapisz tam prostą macierz i wróć do zwykłych osi.

4 Transformacja Lorentza: obrót hiperboliczny

Wróćmy do pytania z prologu. Obserwator S' porusza się względem S z prędkością $v$ wzdłuż osi $x$. Szczególna teoria względności mówi (transformację wyprowadzimy w fizyce, Dział 7: Układy odniesienia i szczególna teoria względności; tutaj bierzemy gotowy wynik), że współrzędne zdarzenia przeliczamy transformacją Lorentza:FLP I-15-2

Przyjmijmy oznaczenia $\beta = v/c$ i $\gamma = 1/\sqrt{1 - \beta^2}$ (czynnik Lorentza; w tym kursie $\gamma$ oznacza zwykle współczynnik tłumienia, a jako czynnik Lorentza pojawia się tylko tu i w fizyce, Dział 7: Układy odniesienia i szczególna teoria względności). Mierzmy czas w jednostkach długości, $ct$, tak jak w diagramach czasoprzestrzeni. Wtedy transformacja jest symetryczna:

Dla dwóch zdarzeń interwał to $(c\Delta t)^2 - (\Delta x)^2$. Też jest niezmienniczy, bo $L$ jest liniowa: różnice współrzędnych przekształcają się tak samo jak współrzędne.

Odwrotność $L(-\beta)$ ma prosty sens: S porusza się względem S' z prędkością $-v$. Niezmienniczość interwału łatwo sprawdzić: $(ct')^2 - x'^2 = \gamma^2\big[(ct - \beta x)^2 - (x - \beta ct)^2\big] = \gamma^2(1 - \beta^2)\big[(ct)^2 - x^2\big]$. Feynman wskazuje tę analogię wprost: transformacja Lorentza jest dla czasoprzestrzeni tym, czym obrót dla przestrzeni, a interwał odgrywa rolę odległości.FLP I-17-1, 17-2 Różnica jest w jednym znaku: obrót zachowuje $x^2 + y^2$, czyli okręgi, a transformacja Lorentza zachowuje $(ct)^2 - x^2$, czyli hiperbole.

4.1 Pospieszność: kąt hiperboliczny

W lekcji 0.3 Trygonometria i funkcje hiperboliczne funkcje hiperboliczne spełniały $\cosh^2\phi - \sinh^2\phi = 1$, tak jak $\cos^2 + \sin^2 = 1$. Skoro $\gamma^2 - (\beta\gamma)^2 = 1$, możemy napisać $\gamma = \cosh\phi$, $\beta\gamma = \sinh\phi$ dla pewnej liczby $\phi$, zwanej pospiesznością (ang. rapidity, lekcja 0.3 Trygonometria i funkcje hiperboliczne). Uwaga: $\phi$ to co innego niż kąt $\varphi$ prostej odbicia z części 2 i 3. Wtedy $\beta = \tanh\phi$ i

Wzory na sumę, $\cosh(a + b) = \cosh a\cosh b + \sinh a\sinh b$ i $\sinh(a + b) = \sinh a\cosh b + \cosh a\sinh b$ (sprawdź z definicji), różnią się od trygonometrycznych tylko znakiem w $\cosh$. Dlatego tak jak $R(\theta_1)R(\theta_2) = R(\theta_1 + \theta_2)$, tak pospieszności się dodają: macierz $\Lambda(\phi)$, czyli $L$ wyrażona przez $\phi$, spełnia $\Lambda(\phi_1)\Lambda(\phi_2) = \Lambda(\phi_1 + \phi_2)$. Prędkości się nie dodają, ale ich „kąty hiperboliczne” tak. Stąd relatywistyczne składanie prędkości:

Ponieważ $\tanh$ nigdy nie osiąga 1, złożenie dowolnie wielu prędkości mniejszych od $c$ daje prędkość mniejszą od $c$. Dla małych prędkości $\tanh\phi \approx \phi$ i pospieszność to po prostu $\beta$: wracamy do zwykłego dodawania.

Zestawmy oba przekształcenia. To jedna z najważniejszych tabel w fizyce, bo mówi, jak teoria względności „przerabia” geometrię Euklidesa:

5 Błędne intuicje

„Przekształcenie liniowe to takie, które nie wygina prostych.”

To za mało. Przesunięcie nie wygina prostych, a nie jest liniowe, bo przesuwa zero. Liniowe musi zachowywać sumy i wielokrotności.

„Wzór na obrót osi to ta sama macierz co obrót wektora.”

Nie: różnią się znakiem kąta. Obrót osi o $\theta$ działa na współrzędne jak $R(-\theta)$ (część 3). Zawsze ustal, czy obracasz obiekt, czy opis.

„Kolejność obrotów nie ma znaczenia.”

Na płaszczyźnie nie ma. W przestrzeni ma, i to bardzo (książka w części 2.2).

„Macierz przekształcenia jest jedna.”

Przekształcenie jest jedno, macierzy tyle, ile baz. Te same są tylko wielkości niezależne od bazy: wyznacznik, ślad (i wartości własne z lekcji 2.3 Wartości i wektory własne).

„Transformacja Lorentza to obrót w czasoprzestrzeni, więc zachowuje $(ct)^2 + x^2$.”

Zachowuje $(ct)^2 - x^2$. To obrót hiperboliczny, a nie zwykły: jej elementy to $\cosh$ i $\sinh$, a nie $\cos$ i $\sin$, i osie $ct'$, $x'$ zbliżają się do siebie zamiast pozostać prostopadłe na diagramie.

„Prędkości przy transformacji Lorentza się dodają.”

Dodają się pospieszności $\phi = \operatorname{artanh}\beta$. Prędkości składa się wzorem $\tfrac{\beta_1 + \beta_2}{1 + \beta_1\beta_2}$, który dla małych $\beta$ daje zwykłą sumę.

6 Sprawdź się