2.3 Wartości i wektory własne · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Prolog: dwa wahadła i sprężyna

Dwa jednakowe wahadła wiszą obok siebie, a ich ciężarki łączy słaba sprężyna. Odchyl jedno i puść, drugie zostaw w spokoju. Pierwsze zaczyna się wahać, ale jego wahania powoli słabną, a drugie się rozkołysze. Po chwili pierwsze prawie stoi, a całą energię ma drugie. Potem energia wraca. Ruch wygląda skomplikowanie: żadne z wahadeł nie drga ze stałą amplitudą.

Feynman (49-4) stawia inne pytanie: czy istnieją takie ruchy, w których oba wahadła drgają harmonicznie z tą samą częstością?FLP I-49-4 Są dwa. Gdy wahadła odchylimy jednakowo w tę samą stronę, sprężyna się nie rozciąga i każde wahadło drga jak swobodne, z częstością $\omega_0$ . Gdy odchylimy je jednakowo w przeciwne strony, sprężyna (raz rozciągnięta, raz ściśnięta) pcha albo ciągnie każde z nich ku jego położeniu równowagi, czyli dokłada się do siły powrotnej, więc drgają szybciej. Te dwa ruchy to mody normalne (inaczej: drgania własne). Feynman nie omawia tu dudnień, ale łatwo je teraz zrozumieć: dziwny ruch z początku to po prostu suma modów, a dwa drgania o bliskich częstościach dają dudnienia (lekcja 0.3 Trygonometria i funkcje hiperboliczne).

Pytanie na start. Jak znaleźć takie „dobre” ruchy dla trzech wahadeł, dla dziesięciu, dla cząsteczki z kilkunastoma atomami? Zgadywanie przestaje działać. W części 4 zobaczysz, że to zawsze ten sam problem: znaleźć kierunki, które pewna macierz tylko rozciąga.

1 Kierunki, które macierz tylko rozciąga

Definicja · wartość i wektor własny

Niezerowy wektor $\vec v$ jest wektorem własnym macierzy kwadratowej $A$ , a liczba $\lambda$ jej wartością własną, jeśli

A\vec v = \lambda\vec v,\qquad \vec v \neq \vec 0 .

Przekształcenie $A$ nie zmienia kierunku $\vec v$ , tylko mnoży go przez $\lambda$ : wydłuża ( $\lambda > 1$ ), skraca ( $0 < \lambda < 1$ ), odwraca zwrot ( $\lambda < 0$ ) albo zeruje ( $\lambda = 0$ ). Jeśli $\vec v$ jest wektorem własnym, to $2\vec v$ i $-\vec v$ też (z tą samą $\lambda$ ), więc właściwie chodzi o kierunki własne. Wektor zerowy wykluczamy, bo $A\vec 0 = \lambda\vec 0$ dla każdej $\lambda$ i nic by to nie mówiło.

Przypomnij sobie przykład 3.1 z lekcji 2.2 Przekształcenia liniowe: obroty, zmiana bazy, transformacja Lorentza. Macierz $A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ ma $A[1;\ 1] = [3;\ 3] = 3[1;\ 1]$ i $A[-1;\ 1] = [-1;\ 1]$ . Wektory $[1;\ 1]$ i $[-1;\ 1]$ są własne, z wartościami 3 i 1. W bazie z tych wektorów macierz stała się przekątniowa. To nie przypadek, tylko główny powód, dla którego wartości własne są ważne (część 3).

Kilka przekształceń z lekcji 2.2 ma kierunki własne widoczne gołym okiem:

Odbicie względem prostej: wektory na prostej się nie zmieniają ( $\lambda = 1$ ), prostopadłe zmieniają zwrot ( $\lambda = -1$ ).
Rzut na prostą: wektory na prostej zostają ( $\lambda = 1$ ), prostopadłe giną ( $\lambda = 0$ ).
Ścinanie $\begin{pmatrix} 1 & k\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ : tylko oś $x$ zostaje na miejscu ( $\lambda = 1$ ). Drugiego kierunku własnego nie ma.
Obrót o kąt różny od $0^\circ$ i $180^\circ$ : żaden niezerowy wektor płaszczyzny nie zachowuje kierunku. Rzeczywistych wektorów własnych nie ma (ale zespolone są, część 2).

Zadania · część 1

5 zadań · ok. 25 min

Które z wektorów $[1;\ 0]$ , $[1;\ 1]$ , $[1;\ -1]$ są wektorami własnymi macierzy $\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ ? Z jakimi wartościami własnymi?

Odpowiedź
$A[1;\ 0] = [3;\ 0]$ : tak, $\lambda = 3$ . $\;A[1;\ 1] = [4;\ 2]$ : nie. $\;A[1;\ -1] = [2;\ -2]$ : tak, $\lambda = 2$ .
Podaj wartości i wektory własne macierzy $\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & -3 \end{pmatrix}$ , macierzy jednostkowej $I$ i macierzy zerowej.

Odpowiedź
$2$ z $\vec\imath$ i $-3$ z $\vec\jmath$ . $\;I$ : każdy niezerowy wektor jest własny, $\lambda = 1$ . $\;$ Macierz zerowa: każdy niezerowy wektor, $\lambda = 0$ .
Bez rachunków podaj wartości i wektory własne rzutu na prostą $y = x$ i odbicia względem tej prostej. Sprawdź na macierzach $\tfrac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ (rzut) i $O(45^\circ)$ (odbicie) z lekcji 2.2 Przekształcenia liniowe: obroty, zmiana bazy, transformacja Lorentza.

Odpowiedź
Rzut: $[1;\ 1]$ z $\lambda = 1$ , $[1;\ -1]$ z $\lambda = 0$ . Odbicie: $[1;\ 1]$ z $\lambda = 1$ , $[1;\ -1]$ z $\lambda = -1$ . Macierze: $\tfrac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ i $\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .
Pokaż, że jeśli $A\vec v = \lambda\vec v$ , to $A^2\vec v = \lambda^2\vec v$ , a dla odwracalnej $A$ także $A^{-1}\vec v = \lambda^{-1}\vec v$ .

Odpowiedź
$A^2\vec v = A(\lambda\vec v) = \lambda A\vec v = \lambda^2\vec v$ . Mnożąc $A\vec v = \lambda\vec v$ z lewej przez $A^{-1}$ : $\vec v = \lambda A^{-1}\vec v$ . Przy tym $\lambda \neq 0$ (zadanie 1.5), więc $A^{-1}\vec v = \lambda^{-1}\vec v$ .
Pokaż, że $0$ jest wartością własną $A$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\det A = 0$ .

Odpowiedź
$\lambda = 0$ znaczy, że $A\vec v = \vec 0$ dla pewnego $\vec v \neq \vec 0$ . Układ jednorodny ma niezerowe rozwiązanie dokładnie wtedy, gdy $\det A = 0$ (lekcja 2.1 Macierze, wyznaczniki i układy równań): macierz zgniata jakiś kierunek do zera.

2 Równanie charakterystyczne

Jak znaleźć $\lambda$ , nie zgadując? Przepiszmy definicję jako $A\vec v - \lambda\vec v = \vec 0$ , czyli $(A - \lambda I)\vec v = \vec 0$ . To układ jednorodny. Ma zawsze rozwiązanie $\vec v = \vec 0$ , a nas interesuje niezerowe. Z lekcji 2.1 Macierze, wyznaczniki i układy równań wiemy, kiedy takie istnieje: gdy wyznacznik macierzy układu jest zerem.

Równanie charakterystyczne

\det(A - \lambda I) = 0 .

Lewa strona to wielomian stopnia $n$ zmiennej $\lambda$ (wielomian charakterystyczny). Jego pierwiastki to wartości własne. Dla każdej z nich wektory własne to niezerowe rozwiązania układu $(A - \lambda I)\vec v = \vec 0$ .

Dla $2\times2$ : $\;\lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\,\lambda + \det A = 0$ , więc $\lambda_1 + \lambda_2 = \operatorname{tr}A$ , $\;\lambda_1\lambda_2 = \det A$ .

Wzory na sumę i iloczyn to wzory Viète'a z lekcji 0.2 Równania, nierówności, wielomiany i ułamki proste. Dają szybkie sprawdzenie każdego rachunku. W zadaniu 3.6 lekcji 2.2 Przekształcenia liniowe: obroty, zmiana bazy, transformacja Lorentza pokazaliśmy, że ślad i wyznacznik nie zależą od bazy. Teraz widać dlaczego: są zbudowane z wartości własnych, a te opisują samo przekształcenie, nie jego zapis.

Przykład 2.1 Krok po kroku dla 2 × 2

Znajdź wartości i wektory własne $A = \begin{pmatrix} 4 & 1\\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ .

$\operatorname{tr}A = 7$ , $\det A = 10$ , więc $\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0$ i $\lambda_1 = 5$ , $\lambda_2 = 2$ .
$\lambda_1 = 5$ : $A - 5I = \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 2 & -2 \end{pmatrix}$ . Oba wiersze mówią $x = y$ (drugi to pierwszy razy $-2$ ), więc $\vec v_1 = [1;\ 1]$ .
$\lambda_2 = 2$ : $A - 2I = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ , równanie $2x + y = 0$ , więc $\vec v_2 = [1;\ -2]$ .

Wynik: $\lambda_1 = 5$ z $[1;\ 1]$ , $\lambda_2 = 2$ z $[1;\ -2]$ .

Sprawdzenie: $A[1;\ 1] = [5;\ 5]$ ✓, $A[1;\ -2] = [2;\ -4] = 2[1;\ -2]$ ✓; $5 + 2 = 7 = \operatorname{tr}A$ , $5\cdot2 = 10 = \det A$ ✓. Wiersze $A - \lambda I$ zawsze muszą wyjść proporcjonalne. Jeśli nie wychodzą, $\lambda$ jest źle policzona.

2.1 Wartości zespolone: obrót

Dla obrotu $R(\theta)$ mamy $\operatorname{tr}R = 2\cos\theta$ , $\det R = 1$ , więc $\lambda^2 - 2\lambda\cos\theta + 1 = 0$ i

\lambda = \cos\theta \pm i\sin\theta = e^{\pm i\theta} .

Wartości własne obrotu to liczby zespolone z lekcji 1.7 Liczby zespolone i fazory, leżące na okręgu jednostkowym pod kątem $\pm\theta$ . Wektory własne też są zespolone: dla $R(90^\circ)$ i $\lambda = i$ jest to $[1;\ -i]$ , bo $R(90^\circ)[1;\ -i] = [i;\ 1] = i\,[1;\ -i]$ . Wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastki nierzeczywiste w parach sprzężonych, więc wartości własne macierzy rzeczywistej też występują parami: $\lambda$ i $\bar\lambda$ . Dla rzeczywistej macierzy $2\times2$ zespolone wartości własne oznaczają, że żaden kierunek nie jest zachowany: w odpowiednio dobranej (na ogół nieprostopadłej) bazie macierz to obrót o $\arg\lambda$ połączony ze skalowaniem $|\lambda|$ . W równaniach ruchu oznaczają drgania (lekcja 4.5 Układy równań liniowych i przestrzeń stanów).

2.2 Wartości wielokrotne i 3 × 3

Ścinanie $\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ma wielomian $(\lambda - 1)^2$ : wartość własna 1 jest podwójna, a kierunek własny tylko jeden (oś $x$ ). Takiej macierzy brakuje wektorów własnych. Za to $I$ też ma podwójną wartość 1, a wektorem własnym jest każdy wektor. Krotność pierwiastka nie mówi więc, ile jest niezależnych wektorów własnych.

Przykład 2.2 Macierz 3 × 3

Znajdź wartości i wektory własne $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 4\\ 0 & 4 & -3 \end{pmatrix}$ .

Rozwinięcie Laplace'a względem pierwszego wiersza: $\det(A - \lambda I) = (2 - \lambda)\big[(3 - \lambda)(-3 - \lambda) - 16\big] = (2 - \lambda)(\lambda^2 - 25)$ .
Wartości własne: $2$ , $5$ , $-5$ .
$\lambda = 2$ : $\vec\imath = [1;\ 0;\ 0]$ (pierwsza kolumna $A$ to $2\vec\imath$ ). $\;\lambda = 5$ : z drugiego wiersza $A - 5I$ : $-2y + 4z = 0$ , więc $[0;\ 2;\ 1]$ . $\;\lambda = -5$ : $8y + 4z = 0$ , więc $[0;\ 1;\ -2]$ .

Wynik: $2$ z $[1;\ 0;\ 0]$ , $\;5$ z $[0;\ 2;\ 1]$ , $\;-5$ z $[0;\ 1;\ -2]$ .

Sprawdzenie: suma $2 + 5 - 5 = 2 = \operatorname{tr}A$ ✓, iloczyn $2\cdot5\cdot(-5) = -50 = \det A$ ✓. Trzy wektory własne są do siebie prostopadłe. To nie przypadek: $A$ jest symetryczna (część 3).

Zadania · część 2

6 zadań · ok. 45 min

Znajdź wartości i wektory własne $\begin{pmatrix} 5 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ .

Odpowiedź
$\lambda^2 - 7\lambda + 6 = 0$ : $6$ z $[2;\ 1]$ , $1$ z $[1;\ -2]$ .
Znajdź wartości i wektory własne macierzy trójkątnej $\begin{pmatrix} 2 & 5\\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ . Co zauważasz?

Odpowiedź
$2$ z $[1;\ 0]$ , $3$ z $[5;\ 1]$ . Wartości własne macierzy trójkątnej stoją na jej przekątnej, bo $\det(A - \lambda I)$ to iloczyn elementów przekątnej $A - \lambda I$ .
Znajdź wartości własne $\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ . Zapisz je w postaci wykładniczej i zinterpretuj przekształcenie.

Odpowiedź
$\lambda^2 - 2\lambda + 2 = 0$ , $\lambda = 1 \pm i = \sqrt2\,e^{\pm i\pi/4}$ . Macierz to $\sqrt2\,R(45^\circ)$ : obrót o $45^\circ$ połączony z wydłużeniem $\sqrt2$ razy.
Pokaż, że ścinanie $\begin{pmatrix} 1 & k\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $k \neq 0$ , ma tylko jeden kierunek własny.

Odpowiedź
Jedyna wartość własna to 1 (podwójna). $A - I = \begin{pmatrix} 0 & k\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ , równanie $ky = 0$ , więc $y = 0$ : tylko kierunek $[1;\ 0]$ .
Znajdź wartości i wektory własne $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ . Ile niezależnych wektorów własnych ma wartość własna 3?

Odpowiedź
$\det(A - \lambda I) = (3 - \lambda)\big[(1 - \lambda)^2 - 4\big] = (3 - \lambda)^2(-1 - \lambda)$ . $-1$ z $[1;\ -1;\ 0]$ ; $3$ (podwójna) z dwoma niezależnymi wektorami $[1;\ 1;\ 0]$ i $[0;\ 0;\ 1]$ : cała płaszczyzna własna. Inaczej niż przy ścinaniu.
Pokaż, że dla macierzy $2\times2$ wielomian charakterystyczny to $\lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\lambda + \det A$ . Kiedy wartości własne są zespolone?

Odpowiedź
$\begin{vmatrix} a - \lambda & b\\ c & d - \lambda \end{vmatrix} = \lambda^2 - (a + d)\lambda + (ad - bc)$ . Zespolone, gdy wyróżnik jest ujemny: $(\operatorname{tr}A)^2 < 4\det A$ .

3 Diagonalizacja i potęgi macierzy

Jeśli macierz $n\times n$ ma $n$ niezależnych wektorów własnych, użyjmy ich jako bazy. W tej bazie przekształcenie tylko rozciąga każdą oś, więc jego macierz jest przekątniowa (diagonalna), a na przekątnej stoją wartości własne. Z zamiany bazy z lekcji 2.2 Przekształcenia liniowe: obroty, zmiana bazy, transformacja Lorentza:

Diagonalizacja

A = PDP^{-1},\qquad P = \big[\vec v_1\ \vec v_2\ \dots\ \vec v_n\big],\qquad D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix}.

Kolumny $P$ to wektory własne, w tej samej kolejności co wartości własne w $D$ . Wystarczy (ale nie jest konieczne), żeby macierz miała $n$ różnych wartości własnych (w razie potrzeby zespolonych).

Do czego to służy? Potęgi macierzy przekątniowej liczy się trywialnie, a w iloczynie $A^n = (PDP^{-1})(PDP^{-1})\cdots$ środkowe $P^{-1}P$ się skracają:

A^n = PD^nP^{-1},\qquad D^n = \operatorname{diag}(\lambda_1^n;\ \dots;\ \lambda_n^n) .

Dla dużego $n$ wygrywa wartość własna o największym module: $A^n\vec v$ ustawia się wzdłuż jej wektora własnego, a długość mnoży się mniej więcej przez $|\lambda_{\max}|$ w każdym kroku. Warunki: jedna wartość własna ma moduł ściśle największy, a $\vec v$ ma składową wzdłuż jej wektora własnego. Gdy największy moduł mają dwie wartości (np. para zespolona albo $\pm\lambda$ ), kierunek się nie ustala. Na tym działa metoda potęgowa, którą komputery szukają największej wartości własnej. Ta sama zasada decyduje o stabilności: jeśli wszystkie $|\lambda| < 1$ , to $A^n \to 0$ .

Przykład 3.1 Ciąg Fibonacciego bez rekurencji

Ciąg $F_0 = 0$ , $F_1 = 1$ , $F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$ . Znajdź wzór na $F_n$ .

Zapis macierzowy: $\begin{pmatrix} F_{n+1}\\ F_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} F_n\\ F_{n-1} \end{pmatrix}$ , więc $\begin{pmatrix} F_{n+1}\\ F_n \end{pmatrix} = A^n\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$ , bo $[F_1;\ F_0] = [1;\ 0]$ .
$\lambda^2 - \lambda - 1 = 0$ : $\;\lambda_1 = \tfrac{1 + \sqrt5}{2} \approx 1{,}618$ (złota liczba), $\;\lambda_2 = \tfrac{1 - \sqrt5}{2} \approx -0{,}618$ . Wektory własne $[\lambda_1;\ 1]$ i $[\lambda_2;\ 1]$ .
Rozkładamy $[1;\ 0]$ w tej bazie: $[1;\ 0] = \tfrac{1}{\sqrt5}\big([\lambda_1;\ 1] - [\lambda_2;\ 1]\big)$ , bo $\lambda_1 - \lambda_2 = \sqrt5$ . Każda składowa mnoży się przy kolejnym kroku przez swoją $\lambda$ , więc $A^n[1;\ 0] = \tfrac{1}{\sqrt5}\big(\lambda_1^n[\lambda_1;\ 1] - \lambda_2^n[\lambda_2;\ 1]\big)$ , a $F_n$ to druga współrzędna.

Wynik: $F_n = \dfrac{\lambda_1^n - \lambda_2^n}{\sqrt5}$ (wzór Bineta). Ponieważ $|\lambda_2| < 1$ , dla dużych $n$ wystarcza $F_n \approx \lambda_1^n/\sqrt5$ .

Sprawdzenie: $n = 1$ : $\tfrac{\sqrt5}{\sqrt5} = 1$ ✓. $\;n = 10$ : $\lambda_1^{10}/\sqrt5 \approx 55{,}004$ , a $F_{10} = 55$ ✓.

3.1 Macierze symetryczne: osie główne

Twierdzenie spektralne (dla macierzy rzeczywistych symetrycznych)

Jeśli $A^{\mathsf T} = A$ , to wszystkie wartości własne są rzeczywiste, a wektory własne można wybrać tak, żeby były wzajemnie prostopadłe i miały długość 1. Wtedy $A = QDQ^{\mathsf T}$ , gdzie $Q$ jest ortogonalna (obrót, ewentualnie z odbiciem).

Geometrycznie: każda macierz symetryczna to rozciągnięcie wzdłuż $n$ wzajemnie prostopadłych osi (w przestrzeni: trzech) ze współczynnikami $\lambda_i$ , widziane w obróconym układzie. Ujemny współczynnik oznacza też odbicie. Te osie nazywa się osiami głównymi. W fizyce macierze symetryczne są wszędzie: polaryzowalność kryształu (lekcja 2.1 Macierze, wyznaczniki i układy równań, zadanie 2.6), moment bezwładności (Dział 4: Ruch obrotowy i bryła sztywna), naprężenia, macierz sztywności. Feynman szkicuje argument energetyczny (cykl włączania i wyłączania pól $E_x$ , $E_y$ ), z którego wynika symetria tensora polaryzowalności, a więc istnienie trzech prostopadłych osi głównych, wzdłuż których $\vec P \parallel \vec E$ .FLP II-31-3

Dla polaryzowalności $\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ z lekcji 2.1 wartości własne to $1$ (oś $z$ ) i pierwiastki $\lambda^2 - 5\lambda + 5$ : $\tfrac{5 \pm \sqrt5}{2} \approx 3{,}618$ i $1{,}382$ . Oś główna o największej polaryzowalności leży w płaszczyźnie $xy$ , pod kątem $\arctan\tfrac{\sqrt5 - 1}{2} \approx 31{,}7^\circ$ do osi $x$ . Pole wzdłuż tej osi wywołuje polaryzację dokładnie równoległą.

Zadania · część 3

6 zadań · ok. 45 min

Zapisz $A = \begin{pmatrix} 5 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ jako $PDP^{-1}$ (wektory własne z zadania 2.1). Sprawdź mnożeniem.

Odpowiedź
$P = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ , $D = \operatorname{diag}(6;\ 1)$ , $P^{-1} = \tfrac15\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ . Iloczyn daje $A$ .
Korzystając z przykładu 2.1, wyprowadź wzór na $A^n$ dla $A = \begin{pmatrix} 4 & 1\\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ i oblicz lewy górny element $A^{10}$ .

Wskazówka
$P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ , $P^{-1} = \tfrac13\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

Odpowiedź
$A^n = \tfrac13\begin{pmatrix} 2\cdot5^n + 2^n & 5^n - 2^n\\ 2\cdot5^n - 2\cdot2^n & 5^n + 2\cdot2^n \end{pmatrix}$ . Dla $n = 1$ daje $A$ ✓. $\;(A^{10})_{11} = \tfrac{2\cdot9\,765\,625 + 1024}{3} = 6\,510\,758$ .
Oblicz $F_{20}$ ze wzoru przybliżonego $\lambda_1^{20}/\sqrt5$ . Jak duży jest błąd i dlaczego tak mały?

Odpowiedź
$\lambda_1^{20}/\sqrt5 \approx 6765{,}00003$ , więc $F_{20} = 6765$ . Błąd to $|\lambda_2|^{20}/\sqrt5 \approx 3\cdot10^{-5}$ , bo $|\lambda_2| \approx 0{,}618 < 1$ .
Sprawdź, że wektory własne z zadania 2.1 są prostopadłe. Dlaczego trzeba się było tego spodziewać? A w przykładzie 2.1?

Odpowiedź
$[2;\ 1]\cdot[1;\ -2] = 0$ ✓: macierz jest symetryczna. W przykładzie 2.1 macierz nie jest symetryczna i $[1;\ 1]\cdot[1;\ -2] = -1 \neq 0$ .
Macierz $\begin{pmatrix} 0{,}9 & 0\\ 0 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ działa na wektor $[1;\ 1]$ wiele razy. Co się dzieje z kierunkiem i długością wyniku? Po ilu krokach druga składowa spadnie poniżej $10^{-3}$ ?

Odpowiedź
Obie składowe maleją do zera (wszystkie $|\lambda| < 1$ ), ale druga szybciej, więc kierunek dąży do osi $x$ . $0{,}5^n < 10^{-3}$ dla $n \ge 10$ ( $0{,}5^{10} \approx 0{,}00098$ ).
Pokaż, że dla diagonalizowalnej $A$ wyznacznik to iloczyn, a ślad to suma wartości własnych (dowolne $n$ ).

Odpowiedź
$A = PDP^{-1}$ jest podobna do $D$ , a ślad i wyznacznik są niezmiennicze przy podobieństwie (lekcja 2.2 Przekształcenia liniowe: obroty, zmiana bazy, transformacja Lorentza, zadanie 3.6). Dla $D$ są to suma i iloczyn elementów przekątnej. (Zdanie jest prawdziwe także dla macierzy niediagonalizowalnych, jeśli liczyć wartości własne z krotnościami.)

4 Mody normalne

Wróćmy do wahadeł z prologu. Przy małych wychyleniach wahadło o długości $l$ ma równanie $\ddot x = -\omega_0^2x$ , gdzie $\omega_0^2 = g/l$ ; jego rozwiązaniem jest $\cos\omega_0t$ (dokładniej w lekcji 4.1 Równania różniczkowe zwyczajne). Sprężyna o współczynniku $k$ łączy ciężarki o masie $m$ (wahadło 1 po lewej, wychylenia w prawo dodatnie). Wydłuża się o $y - x$ i działa na pierwszy ciężarek siłą $-k(x - y)$ , a na drugi siłą $+k(x - y)$ . Oznaczmy $\kappa = k/m$ . Równania ruchu:

\ddot x = -\omega_0^2x - \kappa(x - y),\qquad \ddot y = -\omega_0^2y - \kappa(y - x),\qquad\text{czyli}\qquad \ddot{\vec q} = -K\vec q,\quad K = \begin{pmatrix} \omega_0^2 + \kappa & -\kappa\\ -\kappa & \omega_0^2 + \kappa \end{pmatrix},

gdzie $\vec q = [x;\ y]$ . Szukamy ruchu, w którym oba wahadła drgają z tą samą częstością i stałym kształtem: $\vec q(t) = \vec v\cos\omega t$ . Wstawiamy: $-\omega^2\vec v\cos\omega t = -K\vec v\cos\omega t$ , czyli

K\vec v = \omega^2\vec v .

To jest zagadnienie własne. Kwadraty częstości modów to wartości własne $K$ , a kształty modów to wektory własne. $K$ jest symetryczna, więc $\omega^2$ są rzeczywiste, a mody prostopadłe; ponieważ tu $\omega^2 > 0$ , rzeczywiste są także same częstości. Tu: $\operatorname{tr}K = 2\omega_0^2 + 2\kappa$ , $\det K = (\omega_0^2 + \kappa)^2 - \kappa^2$ , więc

\omega_1^2 = \omega_0^2,\ \ \vec v_1 = [1;\ 1];\qquad \omega_2^2 = \omega_0^2 + 2\kappa,\ \ \vec v_2 = [1;\ -1].

Dokładnie to samo dostaje Feynman w 49-4: podstawia drgania o wspólnej częstości i z warunku zgodności dwóch równań otrzymuje te same dwie częstości. Mod zgodny ma częstość swobodną, bo sprężyna się nie odkształca. W modzie przeciwnym sprężyna dokłada się do siły powrotnej.

Mody normalne układu liniowego

Dla $\ddot{\vec q} = -K\vec q$ z symetryczną $K$ o dodatnich wartościach własnych (taką macierz nazywamy dodatnio określoną; wtedy każde $\omega_j^2 > 0$ ) każdy ruch jest sumą modów:

\vec q(t) = \sum_j \vec v_j\,\big(a_j\cos\omega_jt + b_j\sin\omega_jt\big),\qquad K\vec v_j = \omega_j^2\vec v_j .

Stałe $a_j$ , $b_j$ wynikają z warunków początkowych. W bazie modów układ rozpada się na niezależne oscylatory harmoniczne.

Feynman podkreśla, że to ogólna własność każdego układu liniowego: dowolnie skomplikowany ruch jest sumą modów, z których każdy drga z jedną częstością.FLP I-49-5 Ta sama myśl prowadzi do mechaniki kwantowej, gdzie częstości modów zamieniają się w poziomy energii (Dział 18: Stany kwantowe, układy dwustanowe i spin).

Przykład 4.1 Skąd dudnienia

Wahadła mają $\omega_0 = 2\ \mathrm{rad/s}$ (długość $l = g/\omega_0^2 \approx 2{,}45\ \mathrm m$ ), sprężyna daje $\kappa = 0{,}2\ \mathrm{s^{-2}}$ . W chwili $0$ pierwsze wahadło odchylono o $x_0$ , drugie stoi, oba w spoczynku. Opisz ruch. Po jakim czasie cała energia przejdzie do drugiego wahadła?

$\omega_1 = 2\ \mathrm{rad/s}$ , $\;\omega_2 = \sqrt{4 + 0{,}4} \approx 2{,}0976\ \mathrm{rad/s}$ .
Warunek początkowy w bazie modów: $[x_0;\ 0] = \tfrac{x_0}{2}[1;\ 1] + \tfrac{x_0}{2}[1;\ -1]$ . Prędkości zerowe, więc same cosinusy: $\vec q(t) = \tfrac{x_0}{2}[1;\ 1]\cos\omega_1t + \tfrac{x_0}{2}[1;\ -1]\cos\omega_2t$ .
Ze wzorów na sumę i różnicę cosinusów (lekcja 0.3 Trygonometria i funkcje hiperboliczne): $x = x_0\cos\tfrac{(\omega_2 - \omega_1)t}{2}\cos\tfrac{(\omega_1 + \omega_2)t}{2}$ , $\;y = x_0\sin\tfrac{(\omega_2 - \omega_1)t}{2}\sin\tfrac{(\omega_1 + \omega_2)t}{2}$ .
Amplituda $x$ spada do zera, gdy $\tfrac{(\omega_2 - \omega_1)t}{2} = \tfrac\pi2$ , czyli $t = \tfrac{\pi}{\omega_2 - \omega_1} \approx \tfrac{\pi}{0{,}0976} \approx 32\ \mathrm s$ .

Wynik: wahadła drgają z częstością średnią, a amplitudy „przelewają się” z jednego do drugiego. Pełne przekazanie energii trwa około 32 s, cały cykl tam i z powrotem około 64 s.

Sprawdzenie: $t = 0$ : $x = x_0$ , $y = 0$ ✓. Przypadek graniczny: bez sprężyny ( $\kappa \to 0$ ) $\omega_2 \to \omega_1$ i czas przekazania rośnie do nieskończoności, czyli energia zostaje w pierwszym wahadle ✓. Dla słabego sprzężenia $\omega_2 - \omega_1 \approx \kappa/\omega_0$ , co daje $\pi\omega_0/\kappa \approx 31{,}4\ \mathrm s$ , blisko dokładnego wyniku.

Zadania · część 4

5 zadań · ok. 40 min

Dla $\omega_0 = 2\ \mathrm{rad/s}$ oblicz $\omega_2$ i czas przekazania energii $\pi/(\omega_2 - \omega_1)$ przy $\kappa = 0{,}05$ i $\kappa = 1\ \mathrm{s^{-2}}$ .

Odpowiedź
$\kappa = 0{,}05$ : $\omega_2 = \sqrt{4{,}1} \approx 2{,}0248\ \mathrm{rad/s}$ , czas $\approx 126\ \mathrm s$ . $\;\kappa = 1$ : $\omega_2 = \sqrt6 \approx 2{,}449\ \mathrm{rad/s}$ , czas $\approx 7{,}0\ \mathrm s$ .
Dwie masy $m$ połączone trzema sprężynami $k$ (ściana–masa–masa–ściana) ślizgają się bez tarcia. Ułóż równania ruchu, macierz $K$ i znajdź mody.

Odpowiedź
$\ddot x = -\tfrac km(2x - y)$ , $\ddot y = -\tfrac km(2y - x)$ , $K = \tfrac km\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ . Mody: $[1;\ 1]$ z $\omega^2 = k/m$ (środkowa sprężyna nie pracuje), $[1;\ -1]$ z $\omega^2 = 3k/m$ .
Jakie warunki początkowe wahadeł z przykładu 4.1 wzbudzą tylko mod 2? Co wtedy widać?

Odpowiedź
Wychylenia (i prędkości) proporcjonalne do $[1;\ -1]$ : równe i przeciwne. Oba wahadła drgają ze stałą amplitudą, z częstością $\omega_2$ , w przeciwfazie. Żadnych dudnień.
Pokaż, że dla słabego sprzężenia ( $\kappa \ll \omega_0^2$ ) $\;\omega_2 - \omega_1 \approx \kappa/\omega_0$ .

Wskazówka
$\sqrt{1 + \varepsilon} \approx 1 + \tfrac\varepsilon2$ (lekcja 1.4 Rachunek różniczkowy w praktyce).

Odpowiedź
$\omega_2 = \omega_0\sqrt{1 + 2\kappa/\omega_0^2} \approx \omega_0(1 + \kappa/\omega_0^2) = \omega_0 + \kappa/\omega_0$ .
Trzy jednakowe masy w łańcuchu (ściana– $k$ – $m$ – $k$ – $m$ – $k$ – $m$ – $k$ –ściana) mają $K = \tfrac km\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\ -1 & 2 & -1\\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$ . Znajdź częstości i kształty modów. Narysuj kształty.

Odpowiedź
Niech $K' = \tfrac mk K$ . $\;\det(K' - \lambda I) = (2 - \lambda)\big[(2 - \lambda)^2 - 2\big]$ , więc $\lambda = 2 - \sqrt2$ , $2$ , $2 + \sqrt2$ (w jednostkach $k/m$ ). Mody: $[1;\ \sqrt2;\ 1]$ (wszystkie w tę samą stronę, środkowa najbardziej), $[1;\ 0;\ -1]$ (środkowa stoi), $[1;\ -\sqrt2;\ 1]$ (środkowa przeciwnie). To trzy pierwsze kształty drgań struny, próbkowane w trzech punktach (4.7 Równania cząstkowe: fali, dyfuzji i Laplace'a).

5 Błędne intuicje

„Wektor zerowy też jest wektorem własnym.”: Nie, z definicji. Zero spełniałoby $A\vec 0 = \lambda\vec 0$ dla każdej $\lambda$ . Za to wartość własna $\lambda = 0$ jest dozwolona i oznacza, że $\det A = 0$ .
„Każda macierz ma rzeczywiste wartości własne.”: Obrót płaszczyzny ich nie ma: wartości własne $e^{\pm i\theta}$ są zespolone. Rzeczywiste gwarantuje symetria $A^{\mathsf T} = A$ .
„Każdą macierz da się zdiagonalizować.”: Ścinanie się nie da: ma jedną wartość własną i tylko jeden kierunek własny. Diagonalizacja wymaga $n$ niezależnych wektorów własnych.
„Wartości własne $A + B$ to sumy wartości własnych $A$ i $B$ .”: Na ogół nie, bo $A$ i $B$ mają zwykle różne wektory własne. Prawdziwe jest tylko to, że suma wszystkich wartości własnych $A + B$ równa się sumie wartości własnych $A$ i $B$ , bo ślad jest addytywny.
„Operacje na wierszach z eliminacji Gaussa nie zmieniają wartości własnych.”: Zmieniają. Eliminacja zachowuje rozwiązania układu równań, a nie przekształcenie. Wartości własne zachowuje zmiana bazy (podobieństwo) $P^{-1}AP$ .
„Mody normalne to szczególne, rzadkie ruchy.”: Każdy ruch układu liniowego jest ich sumą. Mody to „alfabet”, z którego składa się każdy ruch, jak nuty w akordzie.

6 Sprawdź się

1 Co znaczy, że

\vec v

jest wektorem własnym

A

$A\vec v = \lambda\vec v$ dla pewnej liczby $\lambda$ i $\vec v \neq \vec 0$ : $A$ nie zmienia kierunku $\vec v$ .

2 Jakie równanie spełniają wartości własne?

$\det(A - \lambda I) = 0$ .

3 Ile wynosi suma i iloczyn wartości własnych macierzy

\begin{pmatrix} 4 & 1\\ 2 & 3 \end{pmatrix}

Suma 7 (ślad), iloczyn 10 (wyznacznik).

4 Jakie wartości własne ma obrót o kąt

\theta

$e^{\pm i\theta}$ .

5 Co stoi w kolumnach

P

i na przekątnej

D

w rozkładzie

A = PDP^{-1}

Wektory własne i odpowiadające im wartości własne.

6 Co gwarantuje macierz symetryczna?

Rzeczywiste wartości własne i prostopadłe wektory własne (osie główne).

7 Jak znaleźć częstości modów normalnych układu

\ddot{\vec q} = -K\vec q

Jako pierwiastki z wartości własnych macierzy $K$ .

7 Karta wzorów i co dalej

Wartości i wektory własne

$A\vec v = \lambda\vec v$ , $\;\vec v \neq \vec 0$

$\det(A - \lambda I) = 0$ ; potem $(A - \lambda I)\vec v = \vec 0$

$2\times2$ : $\lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\lambda + \det A = 0$

$\sum\lambda_i = \operatorname{tr}A$ , $\;\prod\lambda_i = \det A$

trójkątna: $\lambda$ na przekątnej; $\;\lambda = 0 \iff \det A = 0$

obrót: $\lambda = e^{\pm i\theta}$ ; macierz rzeczywista: pary $\lambda$ , $\bar\lambda$

Diagonalizacja i mody

$A = PDP^{-1}$ : kolumny $P$ = wektory własne

$A^n = PD^nP^{-1}$ ; dominuje największe $|\lambda|$

symetryczna: $\lambda \in \mathbb R$ , $\;A = QDQ^{\mathsf T}$ , osie główne prostopadłe

$\ddot{\vec q} = -K\vec q$ : $\;K\vec v = \omega^2\vec v$

ruch = suma modów $\vec v_j(a_j\cos\omega_jt + b_j\sin\omega_jt)$

wahadła sprzężone: $\omega_1 = \omega_0$ , $\;\omega_2 = \sqrt{\omega_0^2 + 2\kappa}$

Do przeczytania u Feynmana

Obowiązkowo: 49-4 i 49-5 (sprzężone wahadła i ogólna zasada: ruch układu liniowego to suma modów).
Dla chętnych: 49-2 i 49-3 (mody struny i membrany, ciągła wersja tej samej idei) oraz t. II, 31-3 (symetria tensora polaryzowalności i osie główne).

Do przeczytania w podręcznikach matematyki

K. A. Stroud, Engineering Mathematics: rozdziały o wartościach i wektorach własnych.
G. Strang, Introduction to Linear Algebra: rozdział 6 (eigenvalues and eigenvectors), z diagonalizacją, ciągiem Fibonacciego i macierzami symetrycznymi.

Wartości własne wrócą wiele razy. W układach równań różniczkowych $\dot{\vec x} = A\vec x$ (4.5 Układy równań liniowych i przestrzeń stanów) ich znak decyduje o stabilności, a część urojona o drganiach. Mody struny i membrany to nieskończenie wymiarowa wersja tej lekcji (4.7 Równania cząstkowe: fali, dyfuzji i Laplace'a), a w mechanice kwantowej mierzalne wartości to wartości własne macierzy (Dział 18: Stany kwantowe, układy dwustanowe i spin). Osie główne bryły sztywnej opisuje lekcja Dział 4: Ruch obrotowy i bryła sztywna.