4.5 Układy równań liniowych i przestrzeń stanów

0 Prolog: dwa pokoje

Dwa sąsiednie pokoje są cieplejsze od otoczenia o $x_1$ i $x_2$ stopni. Każdy traci ciepło na zewnątrz, a przez wspólną ścianę ciepło płynie z cieplejszego do chłodniejszego. W prostym modelu (prawo stygnięcia Newtona, lekcja 4.1 Równania różniczkowe zwyczajne) z wybranymi stałymi:

\dot x_1 = -2x_1 + (x_2 - x_1),\qquad \dot x_2 = -2x_2 + (x_1 - x_2) .

Każde równanie zawiera obie niewiadome, więc nie da się ich rozwiązać po kolei. W lekcji 2.3 Wartości i wektory własne mieliśmy podobny kłopot z dwoma wahadłami połączonymi sprężyną i rozwiązaliśmy go, szukając modów: kombinacji, które zachowują się niezależnie.FLP I-49-4

Pytanie na start. W chwili $0$ pierwszy pokój jest o $1$ stopień cieplejszy od otoczenia, a drugi ma temperaturę otoczenia. Jak zmieniają się oba w czasie? Która kombinacja temperatur gaśnie szybciej: średnia czy różnica? Odpowiedź w przykładzie 2.1.

1 Stan i równanie stanu

Stan układu to zestaw liczb, który razem z przyszłymi wymuszeniami wyznacza całą przyszłość. Dla punktu materialnego to położenie i prędkość, nie samo położenie. Dla liniowego układu bez wymuszeń zapisujemy go jako wektor $\vec x$ i dostajemy

Równanie stanu

\dot{\vec x} = A\,\vec x,\qquad \vec x(0) = \vec x_0 ,

gdzie $A$ to stała macierz $n\times n$ . Przestrzeń wszystkich możliwych wektorów $\vec x$ to przestrzeń stanów. Każde jednorodne równanie liniowe rzędu $n$ o stałych współczynnikach sprowadza się do tej postaci: za zmienne stanu bierze się funkcję i jej pochodne do rzędu $n - 1$ .por. Boyce i DiPrima §7.1

Przykład 1.1 Oscylator jako układ pierwszego rzędu

Zapisz równanie oscylatora $m\ddot y + \gamma\dot y + ky = 0$ w postaci $\dot{\vec x} = A\vec x$ i sprawdź, że wielomian charakterystyczny $A$ to (z dokładnością do czynnika) wielomian charakterystyczny równania.

Stan: $x_1 = y$ (położenie), $x_2 = \dot y$ (prędkość).
$\dot x_1 = x_2$ ; $\;\dot x_2 = \ddot y = -\tfrac km x_1 - \tfrac\gamma m x_2$ .
$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -k/m & -\gamma/m \end{pmatrix}$ , $\;\det(A - \lambda I) = \lambda^2 + \tfrac\gamma m\lambda + \tfrac km$ .

Wynik: $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -k/m & -\gamma/m \end{pmatrix}$ , a $\det(A - \lambda I) = \tfrac1m(m\lambda^2 + \gamma\lambda + k)$ .

Sprawdzenie: pierwiastki to wykładniki z lekcji 4.1 i bieguny transmitancji z lekcji 4.4 Transformata Laplace'a ✓. Ten sam układ, trzy języki: równanie charakterystyczne, bieguny, wartości własne.

Zadania · część 1

4 zadania · ok. 30 min

Zapisz $y'' + 5y' + 6y = 0$ jako układ $\dot{\vec x} = A\vec x$ .

Odpowiedź
$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -6 & -5 \end{pmatrix}$ ; $\det(A - \lambda I) = \lambda^2 + 5\lambda + 6$ .
Zapisz $y''' + 2y'' - y = 0$ jako układ trzech równań pierwszego rzędu.

Odpowiedź
$\vec x = [y;\ y';\ y'']$ , $\;A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}$ . Wielomian charakterystyczny $\lambda^3 + 2\lambda^2 - 1$ .
Dwie masy $m$ połączone sprężynami $k$ (ściana–sprężyna–masa–sprężyna–masa–sprężyna–ściana) spełniają $m\ddot x_1 = -2kx_1 + kx_2$ , $\;m\ddot x_2 = kx_1 - 2kx_2$ . Zapisz układ w przestrzeni stanów. Jaki ma wymiar?

Odpowiedź
Stan $[x_1;\ x_2;\ \dot x_1;\ \dot x_2]$ , wymiar $4$ . $A = \begin{pmatrix} 0 & I \\ -K & 0 \end{pmatrix}$ z $K = \tfrac km\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ (bloki $2\times2$ ).
Obwód szeregowy $RLC$ z napięciem $V(t)$ : $L\ddot q + R\dot q + q/C = V$ . Zapisz go jako $\dot{\vec x} = A\vec x + \vec b\,V$ ze stanem $[q;\ i]$ , gdzie $i = \dot q$ .

Odpowiedź
$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\tfrac{1}{LC} & -\tfrac RL \end{pmatrix}$ , $\;\vec b = [0;\ 1/L]$ . Analogia z oscylatorem: $L \leftrightarrow m$ , $R \leftrightarrow \gamma$ , $1/C \leftrightarrow k$ .FLP I-25-4

2 Rozwiązanie przez wartości własne

Dla jednego równania $\dot x = ax$ rozwiązanie to $e^{at}x_0$ . Zgadnijmy więc $\vec x = \vec v\,e^{\lambda t}$ ze stałym wektorem $\vec v$ . Wstawienie daje $\lambda\vec ve^{\lambda t} = A\vec ve^{\lambda t}$ , czyli $A\vec v = \lambda\vec v$ : $\lambda$ musi być wartością własną, a $\vec v$ wektorem własnym (lekcja 2.3 Wartości i wektory własne).

Rozwiązanie ogólne (macierz diagonalizowalna)

\vec x(t) = c_1\vec v_1e^{\lambda_1t} + c_2\vec v_2e^{\lambda_2t} + \ldots + c_n\vec v_ne^{\lambda_nt},

gdzie $A\vec v_k = \lambda_k\vec v_k$ , a stałe $c_k$ wyznacza warunek początkowy: $\vec x_0 = \sum c_k\vec v_k$ , czyli rozkład $\vec x_0$ w bazie wektorów własnych. Każdy wektor własny to mod: dla rzeczywistej $\lambda$ kierunek w przestrzeni stanów, wzdłuż którego układ tylko rośnie albo gaśnie z własnym wykładnikiem.por. Boyce i DiPrima §7.5

Gdy $A$ nie jest diagonalizowalna (wartość własna wielokrotna z za małą liczbą wektorów własnych), pojawiają się wyrazy $t\,e^{\lambda t}$ (Boyce i DiPrima §7.8); wzór $e^{At}\vec x_0$ z części 3 działa zawsze.

Przykład 2.1 Dwa pokoje

Rozwiąż układ z prologu, $\dot{\vec x} = A\vec x$ z $A = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$ i $\vec x_0 = [1;\ 0]$ .

$\det(A - \lambda I) = (\lambda + 3)^2 - 1 = 0$ : $\lambda_1 = -2$ , $\lambda_2 = -4$ .
Wektory własne: dla $-2$ : $[1;\ 1]$ (oba pokoje tak samo ciepłe); dla $-4$ : $[1;\ -1]$ (różnica temperatur).
$[1;\ 0] = \tfrac12[1;\ 1] + \tfrac12[1;\ -1]$ , więc $c_1 = c_2 = \tfrac12$ .
$\vec x(t) = \tfrac12[1;\ 1]e^{-2t} + \tfrac12[1;\ -1]e^{-4t}$ .

Wynik: $x_1 = \tfrac12(e^{-2t} + e^{-4t})$ , $\;x_2 = \tfrac12(e^{-2t} - e^{-4t})$ . Średnia gaśnie jak $e^{-2t}$ , różnica dwa razy szybciej, jak $e^{-4t}$ .

Sprawdzenie: $\vec x(0) = [1;\ 0]$ ✓. Fizycznie: średnia temperatura spada tylko przez straty na zewnątrz (stała $2$ ); różnica maleje przez straty i dodatkowo przez wymianę przez ścianę ( $2 + 2\cdot1 = 4$ ) ✓. Dla $t = 0{,}5$ : $x_1 \approx 0{,}252$ , $x_2 \approx 0{,}116$ .

Gdy wartości własne są zespolone, $\lambda = \sigma \pm i\omega$ (macierz rzeczywista daje je w parach sprzężonych), rozwiązania rzeczywiste to kombinacje $e^{\sigma t}\cos\omega t$ i $e^{\sigma t}\sin\omega t$ : spirala w przestrzeni stanów, gasnąca lub rosnąca zależnie od znaku $\sigma$ (dla $\sigma = 0$ zamknięta orbita, środek).por. Boyce i DiPrima §7.6 Tak wygląda słabo tłumiony oscylator z przykładu 1.1 na płaszczyźnie (położenie, prędkość).

Zadania · część 2

5 zadań · ok. 45 min

Rozwiąż $\dot{\vec x} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\vec x$ dla dowolnego $\vec x_0$ . Jak wyglądają trajektorie?

Odpowiedź
$x_1 = x_{10}e^{2t}$ , $x_2 = x_{20}e^{-t}$ . Wzdłuż osi $x_2$ trajektorie wpadają do zera, wzdłuż osi $x_1$ uciekają. Pozostałe są hiperbolami $x_1x_2^2 = \text{const}$ : siodło, równowaga niestabilna.
Rozwiąż $\dot{\vec x} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\vec x$ , $\vec x_0 = [1;\ 0]$ .

Odpowiedź
Wartości własne $3$ ( $[1;\ 1]$ ) i $-1$ ( $[1;\ -1]$ ). $\vec x = \tfrac12[1;\ 1]e^{3t} + \tfrac12[1;\ -1]e^{-t}$ . Dla dużych $t$ dominuje mod $e^{3t}$ : stan ustawia się wzdłuż $[1;\ 1]$ i rośnie.
Znajdź wartości i wektory własne macierzy z zadania 1.1 i porównaj z pierwiastkami $\lambda^2 + 5\lambda + 6$ . Co oznacza wektor własny $[1;\ -2]$ ?

Odpowiedź
$-2$ z wektorem $[1;\ -2]$ i $-3$ z $[1;\ -3]$ , te same co pierwiastki. Wektor $[1;\ -2]$ oznacza stan, w którym prędkość to $-2$ razy położenie; wtedy $y = e^{-2t}$ i rzeczywiście $\dot y = -2y$ . Dla równania $y'' + \ldots$ wektory własne zawsze mają postać $[1;\ \lambda]$ .
Znajdź wartości własne $\begin{pmatrix} -1 & -4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ i opisz ruch w przestrzeni stanów. Ile trwa jeden obrót spirali?

Odpowiedź
$(\lambda + 1)^2 + 4 = 0$ : $\lambda = -1 \pm 2i$ . Spirala zbieżna do zera: obrót z częstością $2$ (okres $\pi \approx 3{,}14$ ), trajektoria to obracająca się elipsa zmniejszana jak $e^{-t}$ . Po jednym obrocie odległość od zera spada $e^{\pi} \approx 23$ razy.
Dla mas z zadania 1.3 przyjmij $k/m = 1$ . Pokaż, że szukając rozwiązań $\vec q = \vec ue^{i\omega t}$ równania $\ddot{\vec q} = -K\vec q$ , gdzie $\vec q = [x_1;\ x_2]$ to same położenia, dostajesz $\omega^2$ jako wartości własne $K$ . Znajdź częstości i mody i porównaj z lekcją 2.3.

Odpowiedź
$-\omega^2\vec u = -K\vec u$ , czyli $K\vec u = \omega^2\vec u$ . $K = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ ma wartości własne $1$ ( $[1;\ 1]$ : masy w fazie, środkowa sprężyna nie pracuje) i $3$ ( $[1;\ -1]$ : masy w przeciwfazie). Częstości $1$ i $\sqrt3 \approx 1{,}73$ . To ta sama struktura co wahadła sprzężone z lekcji 2.3. W pełnej przestrzeni stanów $4\times4$ wartości własne to $\pm i$ i $\pm i\sqrt3$ .FLP I-49-4

3 Macierz wykładnicza

Dla liczby $e^{at} = 1 + at + \tfrac{(at)^2}{2!} + \ldots$ (lekcja 1.6 Szeregi liczbowe i potęgowe). Ten sam szereg ma sens dla macierzy kwadratowej, bo potęgi macierzy są określone:

Macierz wykładnicza

e^{At} = I + At + \frac{(At)^2}{2!} + \frac{(At)^3}{3!} + \ldots,\qquad \vec x(t) = e^{At}\,\vec x_0 .

Szereg jest zbieżny dla każdej macierzy. Różniczkując wyraz po wyrazie: $\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}e^{At} = Ae^{At}$ , więc $e^{At}\vec x_0$ spełnia równanie stanu i warunek początkowy.por. Boyce i DiPrima §7.7 Jeśli $A = VDV^{-1}$ (diagonalizacja, lekcja 2.3), to $A^k = VD^kV^{-1}$ i $e^{At} = V\,e^{Dt}\,V^{-1}$ , gdzie $e^{Dt}$ ma na przekątnej $e^{\lambda_kt}$ . Przez transformatę Laplace'a: $e^{At} = \mathcal L^{-1}\{(sI - A)^{-1}\}$ .

Przykład 3.1 Dwie macierze, w których szereg się urywa albo zamyka

Oblicz $e^{At}$ dla $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ (cząstka swobodna: $\dot y = v$ , $\dot v = 0$ ) i dla $A = \begin{pmatrix} 0 & -\omega \\ \omega & 0 \end{pmatrix}$ .

Pierwsza: $A^2 = 0$ , więc szereg kończy się po dwóch wyrazach: $e^{At} = I + At = \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Zatem $y = y_0 + v_0t$ , $v = v_0$ .
Druga: $A^2 = -\omega^2I$ , $A^3 = -\omega^2A$ , $A^4 = \omega^4I$ … Wyrazy z $I$ układają się w szereg $\cos\omega t$ , wyrazy z $A$ w $\tfrac{\sin\omega t}{\omega}$ : $e^{At} = I\cos\omega t + \tfrac A\omega\sin\omega t$ .

Wynik: $e^{At} = \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ oraz $e^{At} = \begin{pmatrix} \cos\omega t & -\sin\omega t \\ \sin\omega t & \cos\omega t \end{pmatrix}$ : macierz obrotu o kąt $\omega t$ .

Sprawdzenie: pierwsza macierz nie jest diagonalizowalna (podwójna wartość własna $0$ , jeden wektor własny), a szereg działa mimo to ✓. Druga to dokładnie wzór Eulera $e^{i\omega t} = \cos\omega t + i\sin\omega t$ (lekcja 1.7 Liczby zespolone i fazory), w którym rolę $i$ gra macierz $A/\omega$ , bo $(A/\omega)^2 = -I$ ✓.

Zadania · część 3

5 zadań · ok. 40 min

Oblicz $e^{At}$ dla $A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$ .

Odpowiedź
$\begin{pmatrix} e^{at} & 0 \\ 0 & e^{bt} \end{pmatrix}$ : każda potęga macierzy diagonalnej jest diagonalna.
Sprawdź, że $e^{At} = \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ z przykładu 3.1 spełnia $\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}e^{At} = Ae^{At}$ .

Odpowiedź
Lewa: $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ . Prawa: $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ ✓.
Oblicz $e^{At}$ dla macierzy dwóch pokoi z przykładu 2.1 wzorem $Ve^{Dt}V^{-1}$ .

Odpowiedź
$V = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ , $V^{-1} = \tfrac12V$ , $D = \operatorname{diag}(-2,\ -4)$ . $e^{At} = \tfrac12\begin{pmatrix} e^{-2t} + e^{-4t} & e^{-2t} - e^{-4t} \\ e^{-2t} - e^{-4t} & e^{-2t} + e^{-4t} \end{pmatrix}$ . Pierwsza kolumna to rozwiązanie z przykładu 2.1 ✓.
Oblicz $(sI - A)^{-1}$ dla $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ i odwrotną transformatą Laplace'a odzyskaj $e^{At}$ .

Odpowiedź
$sI - A = \begin{pmatrix} s & -1 \\ 0 & s \end{pmatrix}$ , odwrotność $\begin{pmatrix} 1/s & 1/s^2 \\ 0 & 1/s \end{pmatrix}$ . Element po elemencie: $\begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ✓.
Dla $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ oblicz $e^Ae^B$ i $e^{A + B}$ . Dlaczego nie są równe, choć dla liczb $e^ae^b = e^{a + b}$ ?

Wskazówka
$A + B$ ma wartości własne $\pm1$ z wektorami $[1;\ 1]$ i $[1;\ -1]$ .

Odpowiedź
$e^A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $e^B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ , iloczyn $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ . $e^{A + B} = \begin{pmatrix} \cosh1 & \sinh1 \\ \sinh1 & \cosh1 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 1{,}543 & 1{,}175 \\ 1{,}175 & 1{,}543 \end{pmatrix}$ . Równość $e^Ae^B = e^{A + B}$ jest zagwarantowana, gdy $AB = BA$ ; bez przemienności zwykle zawodzi: tu $AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Przy mnożeniu szeregów kolejność czynników ma znaczenie.

4 Wejście, wyjście i transmitancja

Układ sterowany ma wejście $u(t)$ (siła, napięcie, ciąg silnika) i mierzone wyjście $y(t)$ :

Model w przestrzeni stanów

\dot{\vec x} = A\vec x + B\,u,\qquad y = C\vec x .

Rozwiązanie (wzór Duhamela, odpowiednik czynnika całkującego z lekcji 4.1):por. Boyce i DiPrima §7.9

\vec x(t) = e^{At}\vec x_0 + \int_0^te^{A(t - \tau)}B\,u(\tau)\,\mathrm d\tau .

Po transformacie Laplace'a przy $\vec x_0 = \vec 0$ : $(sI - A)\vec X = BU$ , więc $H(s) = C(sI - A)^{-1}B$ . Przed skróceniem mianownik $H$ to $\det(sI - A)$ : bieguny transmitancji są wartościami własnymi macierzy $A$ . Zwykle są to wszystkie wartości własne, ale licznik może skrócić któryś czynnik; wtedy mod znika z $H(s)$ , choć dalej jest w układzie (sterowalność i obserwowalność, 4.1 Sprzężenie od stanu, lokowanie biegunów i sterowalność i 4.2 Obserwator stanu i obserwowalność). Układ jest stabilny, gdy wszystkie wartości własne mają ujemną część rzeczywistą.

Feynman podkreśla, że ta sama matematyka opisuje bardzo różne układy: masy na sprężynach, obwody elektryczne, wahadła.FLP I-49-5 Dla układów $n$ -tego rzędu łatwiej pracować z macierzami niż z jednym równaniem wysokiego rzędu: komputer liczy wartości własne i $e^{At}$ w ułamku sekundy, a model może mieć wiele wejść i wyjść naraz.

Przykład 4.1 Od macierzy do transmitancji

Dla oscylatora $m\ddot y + \gamma\dot y + ky = u$ ze stanem $[y;\ \dot y]$ oblicz $H(s) = C(sI - A)^{-1}B$ .

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -k/m & -\gamma/m \end{pmatrix}$ , $\;B = [0;\ 1/m]$ , $\;C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ .
$sI - A = \begin{pmatrix} s & -1 \\ k/m & s + \gamma/m \end{pmatrix}$ , $\;\det = s^2 + \tfrac\gamma ms + \tfrac km$ .
Odwrotność $2\times2$ (lekcja 2.1 Macierze, wyznaczniki i układy równań): $\tfrac1{\det}\begin{pmatrix} s + \gamma/m & 1 \\ -k/m & s \end{pmatrix}$ . Element $(1,\ 2)$ to $\tfrac1{\det}$ , a $C(\ldots)B$ wybiera go i mnoży przez $\tfrac1m$ .

Wynik: $H(s) = \dfrac{1/m}{s^2 + \tfrac\gamma ms + \tfrac km} = \dfrac{1}{ms^2 + \gamma s + k}$ .

Sprawdzenie: to ta sama transmitancja co w lekcji 4.4 ✓; bieguny to wartości własne $A$ z przykładu 1.1 ✓.

Zadania · część 4

4 zadania · ok. 35 min

Oblicz $H(s)$ dla $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$ , $B = [0;\ 1]$ , $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

Odpowiedź
$\tfrac{1}{s^2 + 3s + 2}$ , bieguny $-1$ i $-2$ : stabilny.
Czy układ $\dot{\vec x} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}\vec x$ jest stabilny, mimo że jeden z elementów przekątnej jest dodatni?

Odpowiedź
Ślad $-3$ , wyznacznik $-4 + 6 = 2$ , wartości własne $-1$ i $-2$ : stabilny. O stabilności decydują wartości własne, a nie znaki pojedynczych elementów.
Wzorem Duhamela znajdź odpowiedź $\dot x = -2x + u$ , $x(0) = 0$ , na skok $u = 1$ .

Odpowiedź
$x = \int_0^te^{-2(t - \tau)}\,\mathrm d\tau = \tfrac12(1 - e^{-2t})$ . Wartość ustalona $\tfrac12 = H(0)$ dla $H = \tfrac1{s + 2}$ ✓.
Pokaż, że układ $2\times2$ jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy $\operatorname{tr}A < 0$ i $\det A > 0$ .

Wskazówka
$\lambda_1 + \lambda_2 = \operatorname{tr}A$ , $\lambda_1\lambda_2 = \det A$ . Rozważ osobno pierwiastki rzeczywiste i zespolone.

Odpowiedź
Pierwiastki zespolone $\sigma \pm i\omega$ : $\det = \sigma^2 + \omega^2 > 0$ zawsze, a $\operatorname{tr} = 2\sigma$ , więc stabilność $\iff \operatorname{tr} < 0$ . Pierwiastki rzeczywiste: oba ujemne $\iff$ suma ujemna i iloczyn dodatni. W obu przypadkach warunek to $\operatorname{tr}A < 0$ i $\det A > 0$ . Dla $n > 2$ to już nie wystarcza; ogólny test daje kryterium Routha (2.2 Bieguny i zera pętli zamkniętej, linie pierwiastkowe).

5 Błędne intuicje

„Stan to położenie.”: Stan musi wystarczyć do przewidzenia przyszłości. Dla układu drugiego rzędu to położenie i prędkość: z samego położenia nie wiadomo, w którą stronę ciało się porusza.
„ $e^{At}$ to macierz z elementami $e^{a_{ij}t}$ .”: Nie, nawet dla macierzy diagonalnej: poza przekątną $e^{0\cdot t} = 1$ , a w $e^{At}$ stoją tam zera. Dla diagonalnej zgadza się tylko przekątna. Ogólnie $e^{At}$ to szereg potęg macierzy; np. dla $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ wychodzi $\begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , a nie $\begin{pmatrix} 1 & e^t \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .
„ $e^Ae^B = e^{A + B}$ .”: Gwarantuje ją dopiero $AB = BA$ (zadanie 3.5).
„Dodatni element na przekątnej $A$ oznacza niestabilność.”: Liczą się wartości własne (zadanie 4.2).
„Układ z $n$ zmiennymi stanu ma $n$ niezależnych sposobów drgania.”: Ma $n$ wartości własnych; rzeczywiste dają mody bez drgań, a zespolone przychodzą w parach i jedna para to jeden mod drgań. Dwie masy na sprężynach: stan $4$ -wymiarowy, dwa mody (zadanie 2.5).

6 Sprawdź się

1 Jak zapisać

y'' + py' + qy = 0

jako układ pierwszego rzędu?

$\vec x = [y;\ y']$ , $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -q & -p \end{pmatrix}$ .

2 Jaką postać ma rozwiązanie

\dot{\vec x} = A\vec x

dla diagonalizowalnej

A

$\sum c_k\vec v_ke^{\lambda_kt}$ , gdzie $(\lambda_k,\ \vec v_k)$ to pary własne.

3 Jak wyznaczyć stałe

c_k

Rozkładając $\vec x_0$ w bazie wektorów własnych.

4 Zdefiniuj

e^{At}

$I + At + \tfrac{(At)^2}{2!} + \ldots$ ; wtedy $\vec x = e^{At}\vec x_0$ .

5 Jak policzyć

e^{At}

dla

A = VDV^{-1}

$Ve^{Dt}V^{-1}$ , z $e^{\lambda_kt}$ na przekątnej $e^{Dt}$ .

6 Jaki jest związek wartości własnych

A

z biegunami transmitancji?

Bieguny są pierwiastkami $\det(sI - A)$ , czyli wartościami własnymi $A$ ; bez skróceń w $H(s)$ to wszystkie wartości własne.

7 Kiedy układ

2\times2

jest stabilny?

Gdy $\operatorname{tr}A < 0$ i $\det A > 0$ .

7 Karta wzorów i co dalej

Układy jednorodne

$\dot{\vec x} = A\vec x$ ; rząd $n$ → stan $[y;\ y';\ \ldots;\ y^{(n-1)}]$

$\vec x = \sum c_k\vec v_ke^{\lambda_kt}$ , $\;A\vec v_k = \lambda_k\vec v_k$ , $\;\vec x_0 = \sum c_k\vec v_k$

$\lambda = \sigma \pm i\omega$ : spirala, $e^{\sigma t}\cos\omega t$ , $e^{\sigma t}\sin\omega t$

$e^{At} = \sum\tfrac{(At)^k}{k!} = Ve^{Dt}V^{-1} = \mathcal L^{-1}\{(sI - A)^{-1}\}$

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ; $\;\begin{pmatrix} 0 & -\omega \\ \omega & 0 \end{pmatrix} \to$ obrót o $\omega t$

Wejście i wyjście

$\dot{\vec x} = A\vec x + Bu$ , $\;y = C\vec x$

$\vec x(t) = e^{At}\vec x_0 + \int_0^te^{A(t - \tau)}Bu(\tau)\,\mathrm d\tau$

$H(s) = C(sI - A)^{-1}B$ ; bieguny ⊆ wartości własne $A$ (równe, gdy nic się nie skraca)

stabilność: $\operatorname{Re}\lambda_k < 0$ ; $\;2\times2$ : $\operatorname{tr}A < 0$ , $\det A > 0$

$e^Ae^B = e^{A + B}$ gdy $AB = BA$

Do przeczytania w podręcznikach

W. E. Boyce, R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems: 7.1 (wprowadzenie do układów), 7.5 (układy o stałych współczynnikach), 7.6 (zespolone wartości własne), 7.7 (macierze fundamentalne i $e^{At}$ ), 7.8 (wielokrotne wartości własne), 7.9 (układy niejednorodne).
Feynman, t. I, 25-4 (analogie), 49-4 i 49-5 (wahadła sprzężone, układy liniowe i mody).

Układy nieliniowe (4.6 Układy nieliniowe, płaszczyzna fazowa i stabilność) linearyzuje się w okolicy punktów równowagi, a wtedy cała ta lekcja mówi, co dzieje się w ich pobliżu. W automatyce przestrzeń stanów to punkt wyjścia: lokowanie biegunów i sterowalność (4.1 Sprzężenie od stanu, lokowanie biegunów i sterowalność), obserwator i obserwowalność (4.2 Obserwator stanu i obserwowalność) oraz regulator LQR (4.3 LQR: koszt zamiast biegunów).