4.1 Sprzężenie od stanu, lokowanie biegunów i sterowalność

0 Prolog: stan zamiast wyjścia

W 1960 r. na pierwszym kongresie IFAC w Moskwie Rudolf Kálmán przedstawił pracę „On the general theory of control systems”. Zamiast transmitancji, czyli relacji wejście–wyjście, opisał obiekt stanem: zestawem liczb, który razem z przyszłymi wejściami wyznacza całą przyszłość. Zadał też pytanie, którego teoria klasyczna nie stawiała: czy wejście w ogóle jest w stanie dosięgnąć każdej części obiektu? Nazwał tę własność sterowalnością.

Moment był nieprzypadkowy: trwał wyścig kosmiczny, a rakiety i statki kosmiczne mają wiele wejść, wiele wyjść i dynamikę, której nie da się wygodnie opisać jedną transmitancją. Opis stanowy szybko trafił do programu Apollo (nawigacja z filtrem Kalmana, lekcja 4.4), a potem stał się językiem całej nowoczesnej automatyki. W lekcji 4.5 Układy równań liniowych i przestrzeń stanów poznaliśmy równanie stanu $\dot{\mathbf x} = A\mathbf x + B\mathbf u$ . Teraz zamykamy przez nie pętlę.

Pytanie na start. Pod dronem wiszą na linkach dwa ładunki. Dron może się poruszać w bok, żeby wygasić ich wahania. Czy zawsze mu się to uda? Odpowiedź w części 3.

1 Od PD do sprzężenia od stanu

Wysokość drona ( $m = 1$ kg, $b = 0{,}5$ N·s/m) ma stan $\mathbf x = [z, v]^T$ :

\dot{\mathbf x} = \begin{bmatrix}0 & 1\\ 0 & -0{,}5\end{bmatrix}\mathbf x + \begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}u .

Sprzężenie od stanu to sterowanie liniowo zależne od całego stanu: $u = -K\mathbf x = -k_1z - k_2v$ . To po prostu regulator PD ( $K_p = k_1$ , $K_d = k_2$ ), tyle że pochodną wysokości bierzemy z pomiaru prędkości, a nie z różniczkowania. Pętla zamknięta:

\dot{\mathbf x} = (A - BK)\,\mathbf x,\qquad \det(sI - A + BK) = s^2 + (0{,}5 + k_2)s + k_1 .

Bieguny to wartości własne $A - BK$ (lekcja 2.3 Wartości i wektory własne). Mamy dwa wzmocnienia i dwa współczynniki wielomianu, więc bieguny ustawiamy dowolnie: dla $\omega_0 = 2$ , $\zeta = 0{,}7$ ( $s^2 + 2{,}8s + 4$ ) wychodzi $k_1 = 4$ , $k_2 = 2{,}3$ , dokładnie PD z lekcji 2.2.

Sprzężenie od stanu

u = -K\mathbf x\quad\Rightarrow\quad\dot{\mathbf x} = (A - BK)\,\mathbf x,\qquad\text{bieguny} = \text{wartości własne } A - BK .

Dla jednego wejścia $K$ jest wierszem o $n$ elementach, a wielomian charakterystyczny ma $n$ współczynników. Jeśli obiekt jest sterowalny, każdy zestaw $n$ biegunów (zespolone w parach sprzężonych) da się osiągnąć dokładnie jednym $K$ .

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 20 min

Wyznacz $A - BK$ dla wysokości drona i sprawdź jej wielomian charakterystyczny.

Odpowiedź
$A - BK = \begin{bmatrix}0 & 1\\ -k_1 & -0{,}5 - k_2\end{bmatrix}$ , $\det(sI - A + BK) = s(s + 0{,}5 + k_2) + k_1$ ✓.
Dobierz $K$ dla biegunów $-3$ i $-4$ .

Odpowiedź
$(s + 3)(s + 4) = s^2 + 7s + 12$ : $k_1 = 12$ , $k_2 = 6{,}5$ .
Czym sprzężenie od stanu $u = -k_1z - k_2v$ różni się w praktyce od PD $u = -K_pz - K_d\dot z$ liczonego z barometru?

Odpowiedź
Matematycznie niczym. W praktyce $v$ trzeba skądś wziąć: z osobnego czujnika albo z estymatora, a nie z różniczkowania zaszumionego $z$ (lekcja 2.5). Sprzężenie od stanu przenosi problem pomiaru pochodnych na estymację stanu: to temat lekcji 4.2 Obserwator stanu i obserwowalność.

2 Lokowanie biegunów: dron w płaszczyźnie

Dron, który ma się przesunąć w bok, pochyla się o kąt $\theta$ . Składowa pozioma ciągu $mg\sin\theta \approx mg\,\theta$ przyspiesza go w bok. Pochylenie zmienia moment $u$ od różnicy ciągu silników (moment bezwładności $J = 0{,}01$ kg·m²). Wokół zawisu:

\ddot x = g\,\theta,\qquad \ddot\theta = \frac{u}{J};\qquad \mathbf x = \begin{bmatrix}x\\ \dot x\\ \theta\\ \dot\theta\end{bmatrix},\quad A = \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & g & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 1/J\end{bmatrix} .

To cztery całkowania w szeregu: moment → prędkość kątowa → kąt → przyspieszenie → prędkość → położenie. Z $u = -k_1x - k_2\dot x - k_3\theta - k_4\dot\theta$ wielomian charakterystyczny wynosi

s^4 + \frac{k_4}{J}s^3 + \frac{k_3}{J}s^2 + \frac{gk_2}{J}s + \frac{gk_1}{J} .

Cztery wzmocnienia i cztery współczynniki: wybieramy bieguny, mnożymy czynniki i porównujemy. Rozsądny wybór to para wolna „położenie” ( $\omega_0 \approx 1{,}5$ rad/s) i para szybka „pochylenie” ( $\omega_0 \approx 6$ rad/s). To ta sama myśl co w kaskadzie z lekcji 3.2 Strojenie: model z testu, reguły nastaw i regulacja kaskadowa, tyle że w jednym regulatorze.

Dla większych $n$ porównywanie współczynników staje się żmudne, ale istnieje wzór zamknięty, wzór Ackermanna: $K = [0\ \cdots\ 0\ 1]\,W_c^{-1}\,\varphi(A)$ , gdzie $\varphi$ to pożądany wielomian charakterystyczny, a $W_c$ macierz sterowalności z części 3. W Pythonie: control.place(A, B, bieguny).

Zadania · część 2

3 zadania · ok. 30 min

Wyprowadź wielomian charakterystyczny drona w płaszczyźnie. Wskazówka: z $\ddot x = g\theta$ i $J\ddot\theta = u$ dostajemy $J\,x^{(4)} = g\,u$ .

Odpowiedź
$Jx^{(4)} = g\,u = -g(k_1x + k_2\dot x + k_3\theta + k_4\dot\theta)$ , a $\theta = \ddot x/g$ , $\dot\theta = \dddot x/g$ . Stąd $Jx^{(4)} + k_4\dddot x + k_3\ddot x + gk_2\dot x + gk_1x = 0$ ; dzielimy przez $J$ ✓.
Policz $K$ dla par $\omega_0 = 1{,}5$ i 6 rad/s, obie z $\zeta = 0{,}7$ .

Odpowiedź
$(s^2 + 2{,}1s + 2{,}25)(s^2 + 8{,}4s + 36) = s^4 + 10{,}5s^3 + 55{,}89s^2 + 94{,}5s + 81$ . Stąd $k_4 = 10{,}5J = 0{,}105$ , $k_3 = 0{,}559$ , $k_2 = 94{,}5J/g = 0{,}0963$ , $k_1 = 81J/g = 0{,}0826$ .
W symulacji 1 porównaj $\omega_0$ „położenia” 1, 1,5 i 2 rad/s (para „pochylenie” 6, 6, 8 rad/s). Jak zmieniają się czas ustalania i największe pochylenie?

Odpowiedź
Czas ustalania (2 cm): ok. 6,2; 4,2; 3,2 s. Pochylenie: ok. 3,8°; 7,3°; 12,9°. Szybciej znaczy mocniej się pochylić, a więc odejść dalej od zawisu i od założeń modelu liniowego.

3 Sterowalność

Kiedy lokowanie biegunów zawodzi? Wtedy, gdy jakaś część stanu jest „poza zasięgiem” wejścia. Kálmán podał prosty test. Wejście działa bezpośrednio w kierunku $B$ , po chwili też $AB$ (bo $\dot{\mathbf x}$ zawiera $A\mathbf x$ ), potem $A^2B$ i tak dalej. Obiekt jest sterowalny, gdy te kierunki rozpinają całą przestrzeń stanu:Åström–Murray 7.1

W_c = \begin{bmatrix}B & AB & A^2B & \cdots & A^{n-1}B\end{bmatrix},\qquad \text{sterowalny} \iff \operatorname{rank} W_c = n .

Dla drona w płaszczyźnie $W_c$ ma niezerowe elementy tylko na antyprzekątnej (100, 100, 981, 981): rząd 4, sterowalny.

Odpowiedź na pytanie z prologu. Dwa ładunki na linkach $L_1$ , $L_2$ pod dronem, sterowanie to przyspieszenie poziome drona $a$ . Wokół pionu każdy ładunek to wahadło popychane przez $a$ : $\ddot\theta_i = -\frac{g}{L_i}\theta_i - \frac{a}{L_i}$ . Gdy $L_1 = L_2$ , oba równania są identyczne. Różnica $\theta_1 - \theta_2$ spełnia wtedy $\ddot{(\theta_1 - \theta_2)} = -\frac gL(\theta_1 - \theta_2)$ niezależnie od $a$ : żaden ruch drona jej nie zmieni. Rząd $W_c$ wynosi 2, nie 4. Gdy długości są różne, wahadła mają różne częstości i jednym sterowaniem można wygasić oba wahania. Im bliższe długości, tym większego przyspieszenia to wymaga.

Zadania · część 3

3 zadania · ok. 25 min

Policz $W_c$ dla wysokości drona i sprawdź sterowalność.

Odpowiedź
$B = [0, 1]^T$ , $AB = [1, -0{,}5]^T$ . $W_c = \begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & -0{,}5\end{bmatrix}$ , $\det = -1 \ne 0$ : sterowalny.
W symulacji 2 odczytaj największe przyspieszenie dla $L_2 = 2$ ; 1,5; 1,1; 1,02 m. Co się dzieje, gdy $L_2 \to L_1$ ?

Odpowiedź
Ok. 2,5; 4,3; 18,5; 89 m/s², a największe wychylenie rośnie od 17° do ponad 300° (model liniowy dawno przestał obowiązywać). Wzmocnienia od kątów rosną jak $1/|L_2 - L_1|$ : obiekt jest formalnie sterowalny, ale praktycznie nie. Ilościową miarą jest najmniejsza wartość osobliwa $W_c$ (względem największej), która dąży do zera.
Obiekt $\dot x_1 = -x_1 + u$ , $\dot x_2 = -2x_2$ . Czy jest sterowalny? Czy da się go ustabilizować?

Odpowiedź
$W_c = \begin{bmatrix}1 & -1\\ 0 & 0\end{bmatrix}$ , rząd 1: niesterowalny. Stan $x_2$ nie zależy od $u$ , ale sam z siebie gaśnie ( $-2$ ). Taki obiekt nazywa się stabilizowalnym: niesterowalne są tylko mody stabilne. Gdyby było $\dot x_2 = +2x_2$ , żaden regulator by go nie uratował.

4 Wartość zadana i całkowanie

$u = -K\mathbf x$ sprowadza stan do zera. Żeby dron poleciał na wysokość $r$ , potrzebujemy wartości zadanej. Dwa sposoby:

wzmocnienie w przód: $u = -K\mathbf x + Nr$ z $N$ dobranym tak, żeby w stanie ustalonym $z = r$ . Działa tylko przy dokładnym modelu: stała siła (paczka) zostawi uchyb jak w PD;
całkowanie uchybu: dokładamy stan $\xi$ z $\dot\xi = r - z$ i sprzęgamy od rozszerzonego stanu $[z, v, \xi]$ : $u = -k_1z - k_2v + k_i\xi$ . W stanie ustalonym $\dot\xi = 0$ , więc $z = r$ przy każdym stałym zakłóceniu.

Dla wysokości drona z biegunami $-2$ i $-1{,}4 \pm 1{,}43j$ (lekcja 3.1) rozszerzony obiekt daje $k_1 = 9{,}6$ , $k_2 = 4{,}3$ , $k_i = 8$ : dokładnie PID z przykładu 6.1 w lekcji 3.1, w wersji I-PD (wartość zadana działa tylko przez całkę). Sprzężenie od stanu z całkowaniem to uogólnienie PID na dowolną liczbę stanów.

Zadania · część 4

3 zadania · ok. 25 min

Dla wysokości drona z $K = [4;\ 2{,}3]$ dobierz $N$ , żeby $z \to r$ .

Odpowiedź
W stanie ustalonym $v = 0$ , $\dot v = 0 = -0{,}5\cdot 0 + u$ , więc $u = 0 = -4z + Nr$ : $N = 4$ .
Napisz macierze rozszerzonego obiektu $[z, v, \xi]$ i jego wielomian charakterystyczny przy $u = -k_1z - k_2v + k_i\xi$ .

Odpowiedź
$\dot z = v$ , $\dot v = -0{,}5v + u$ , $\dot\xi = -z$ (dla $r = 0$ ). Wielomian: $s^3 + (0{,}5 + k_2)s^2 + k_1s + k_i$ , identyczny jak PID z lekcji 3.1 ✓.
Dlaczego wersja z $N$ nie usuwa uchybu od paczki, a wersja z $\xi$ tak?

Odpowiedź
Przy sile $F$ : w stanie ustalonym $u + F = 0$ , czyli $-4z + Nr = -F$ , $z = r + F/4$ : uchyb. Z całką $\xi$ rośnie, dopóki $z \ne r$ , a stan ustalony istnieje tylko przy $z = r$ (wtedy $k_i\xi = -F + k_1r$ ).

5 Metoda i przykłady rozwiązane

Metoda: lokowanie biegunów

Model stanowy $A$ , $B$ (linearyzacja wokół punktu pracy, lekcja 4.6 Układy nieliniowe, płaszczyzna fazowa i stabilność).
Sterowalność: $\operatorname{rank} W_c = n$ ; sprawdź też, czy nie jest „prawie” niesterowalny.
Bieguny: dominująca para z wymagań (lekcja 2.2), pozostałe 2–5 razy szybsze, ale nie szybsze, niż pozwalają element wykonawczy i szum.
K: porównanie współczynników, wzór Ackermanna albo control.place.
Całka dla zakłóceń stałych; sprawdzenie w symulacji nieliniowej i z ograniczeniami.

Przykład 5.1 Przesunięcie drona o 1 m

Dron w płaszczyźnie ( $J = 0{,}01$ kg·m²), bieguny: $\omega_0 = 1{,}5$ i 6 rad/s, $\zeta = 0{,}7$ . Start 1 m od celu, w spoczynku.

$K = [0{,}0826;\ 0{,}0963;\ 0{,}559;\ 0{,}105]$ (zadanie 2.2).
Pierwsza reakcja: $u = -0{,}0826$ N·m, dron pochyla się w stronę celu.
Symulacja: największe pochylenie 7,3°, moment 0,083 N·m (różnica ciągu ok. 0,55 N przy ramieniu 0,15 m), czas ustalania 4,2 s, przelot 4,7 cm.

Wynik: jeden wektor czterech liczb robi to, co w kaskadzie robią dwa regulatory.

Sprawdzenie: wartości własne $A - BK$ policzone numerycznie to zadane bieguny ✓. Pochylenie 7° jest dalekie od granicy modelu liniowego ✓.

Przykład 5.2 Dwa ładunki o podobnych linkach

Linki 1 m i 1,1 m. Regulator ma zostawić częstości wahadeł i dodać tłumienie $\zeta = 0{,}3$ . Ile wynoszą wzmocnienia i największe przyspieszenie drona?

Częstości wahadeł: 3,13 i 2,99 rad/s, różnią się o 5%.
$K \approx [-37;\ -1{,}9;\ 37;\ -2{,}0]$ : wielkie wzmocnienia od kątów o przeciwnych znakach (regulator gra na różnicy wychyleń).
Największe przyspieszenie ok. 18,5 m/s², prawie $2g$ , a ładunki wychylają się do ok. 65°. Dla linek 1 i 2 m wystarcza 2,5 m/s² i wychylenia do 17°.

Wynik: formalnie sterowalny, praktycznie nie.

Sprawdzenie: dla linek 1 i 1,02 m potrzeba już ok. 90 m/s², a dla równych linek rząd $W_c$ spada do 2 ✓.

Przykład 5.3 PID jako sprzężenie od stanu

Rozszerzony stan wysokości $[z, v, \xi]$ , bieguny $-2$ i $-1{,}4 \pm 1{,}43j$ . Wyznacz $K$ .

Pożądany wielomian $(s + 2)(s^2 + 2{,}8s + 4) = s^3 + 4{,}8s^2 + 9{,}6s + 8$ .
Porównanie z $s^3 + (0{,}5 + k_2)s^2 + k_1s + k_i$ : $k_2 = 4{,}3$ , $k_1 = 9{,}6$ , $k_i = 8$ .

Wynik: te same liczby co PID z lekcji 3.1; struktura I-PD (wartość zadana tylko przez całkę).

Sprawdzenie: control.place dla rozszerzonego obiektu daje $[9{,}6;\ 4{,}3;\ -8]$ (znak minus, bo $\dot\xi = -z$ ) ✓.

6 Błędne intuicje, których trzeba się oduczyć

„Skoro bieguny da się ustawić dowolnie, to wybierzmy bardzo szybkie.”: Szybkie bieguny to ogromne wzmocnienia: nasycenie, szum, wyjście poza zakres modelu liniowego. Bieguny wybiera się z wymagań, nie „im szybciej, tym lepiej”.
„Sterowalny znaczy łatwy do sterowania.”: Rząd macierzy to odpowiedź tak/nie. Obiekt prawie niesterowalny wymaga absurdalnych sterowań.
„Sprzężenie od stanu to coś zupełnie innego niż PID.”: Dla obiektu drugiego rzędu to PD, a z całkowaniem uchybu PID. Nowość to możliwość objęcia wielu stanów naraz.
„Żeby sprzęgać od stanu, trzeba mierzyć cały stan.”: Stan można estymować z mniejszej liczby pomiarów: obserwator w lekcji 4.2 Obserwator stanu i obserwowalność.
„Niesterowalny obiekt jest bezużyteczny.”: Jeśli niesterowalne części same gasną (obiekt stabilizowalny), regulator zrobi swoje z resztą.

7 Zadania do przemyślenia

Te zadania wymagają więcej myślenia niż liczenia.

Zadania do przemyślenia

5 zadań · ok. 1,5 godziny

Kelner z tacą. Kelner niesie na tacy dwa kieliszki: jeden pełny, jeden w połowie. Ciecz w każdym kołysze się z inną częstością. Czy ruchami tacy da się uspokoić oba naraz? A gdyby kieliszki były identyczne?
Rozwiązanie
1. Różne częstości: obiekt sterowalny, taca może wygasić oba kołysania (jak ładunki na różnych linkach).
2. Identyczne kieliszki: różnica faz ich kołysań jest niesterowalna. Taca może uspokoić „wspólną część”, a ich wzajemnego przesunięcia już nie.
Dron bez śmigła ogonowego. Czy dron w płaszczyźnie z momentem $u$ może kontrolować położenie $x$ , mimo że $u$ nie działa na $x$ bezpośrednio? Odpowiedz przez kierunki $B$ , $AB$ , $A^2B$ , $A^3B$ .
Rozwiązanie
1. $B$ działa tylko na $\dot\theta$ , $AB$ na $\theta$ , $A^2B$ na $\dot x$ (przez $g$ ), $A^3B$ na $x$ . Po trzech „krokach” sterowanie dociera do położenia.
2. Rząd 4: sterowalny. Kolejność kierunków to ten sam łańcuch co w kaskadzie: moment → pochylenie → prędkość → położenie.
Dlaczego nie skasować dynamiki? Kusi, żeby wybrać bieguny tak, by pętla zamknięta była „idealna”: wszystkie w $-100$ . Oszacuj $k_1$ dla drona w płaszczyźnie i oceń.
Rozwiązanie
1. $(s + 100)^4$ ma wyraz wolny $10^8$ , więc $k_1 = 10^8J/g \approx 10^5$ N·m/m. Przesunięcie o 1 cm daje 1000 N·m momentu, przy możliwościach rzędu 0,5 N·m.
2. W praktyce silniki natychmiast w nasyceniu, a szum czujnika pozycji wzmocniony $10^5$ razy. Szybkość pętli ograniczają element wykonawczy, szum i niemodelowana dynamika, jak w lekcji 2.5.
Sterowalność a transmitancja. Obiekt $\dot x_1 = -x_1 + u$ , $\dot x_2 = x_2$ , $y = x_1$ . Policz transmitancję $Y/U$ . Czy z niej widać, że obiekt jest niestabilny?
Rozwiązanie
1. $Y/U = \frac{1}{s + 1}$ : stabilna, nic nie zdradza.
2. Stan $x_2 = x_2(0)e^{t}$ rośnie niezależnie od $u$ , a wyjście go nie widzi. Transmitancja pokazuje tylko część sterowalną i obserwowalną. To jeden z powodów, dla których Kálmán wprowadził opis stanowy.
Dwa wejścia. Dron może zmieniać zarówno moment $u_1$ , jak i całkowity ciąg $u_2$ . Ile wierszy i kolumn ma wtedy $K$ ? Czy wybór $K$ dla zadanych biegunów jest jednoznaczny?
Rozwiązanie
1. Stan np. 6-wymiarowy ( $x, \dot x, z, \dot z, \theta, \dot\theta$ ), 2 wejścia: $K$ ma wymiar $2\times 6$ , czyli 12 liczb na 6 biegunów.
2. Niejednoznaczny: zostaje 6 „wolnych” stopni swobody (można np. kształtować wektory własne). Potrzebne jest dodatkowe kryterium. Najpopularniejsze to koszt kwadratowy: LQR w lekcji 4.3 LQR: koszt zamiast biegunów.

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Czym jest sprzężenie od stanu?

$u = -K\mathbf x$ ; pętla zamknięta $\dot{\mathbf x} = (A - BK)\mathbf x$ .

2 Gdzie są bieguny pętli zamkniętej?

W wartościach własnych $A - BK$ .

3 Jak sprawdzić sterowalność?

$\operatorname{rank}[B\ AB\ \cdots\ A^{n-1}B] = n$ .

4 Dlaczego dwa ładunki na równych linkach są niesterowalne?

Różnica ich wychyleń spełnia równanie niezależne od sterowania.

5 Co to wzór Ackermanna?

$K = [0\ \cdots\ 0\ 1]\,W_c^{-1}\varphi(A)$ : lokowanie biegunów dla jednego wejścia.

6 Jak dodać całkowanie do sprzężenia od stanu?

Nowy stan $\dot\xi = r - y$ i sprzężenie od rozszerzonego stanu.

7 Co to obiekt stabilizowalny?

Taki, którego niesterowalne mody są stabilne.

8 Czym jest PD w języku stanu?

Sprzężeniem od stanu $[z, v]$ obiektu drugiego rzędu.

9 Karta wzorów i co dalej

Sprzężenie od stanu

$\dot{\mathbf x} = A\mathbf x + B\mathbf u$ , $\;u = -K\mathbf x + Nr$

bieguny: $\det(sI - A + BK) = 0$

Ackermann: $K = [0\ \cdots\ 1]\,W_c^{-1}\varphi(A)$

całka: $\dot\xi = r - y$ , $\;u = -K\mathbf x + k_i\xi$

Sterowalność i dron

$W_c = [B\ AB\ \cdots\ A^{n-1}B]$ , sterowalny $\iff \operatorname{rank} W_c = n$

dron w płaszczyźnie: $\ddot x = g\theta$ , $\ddot\theta = u/J$

$s^4 + \frac{k_4}{J}s^3 + \frac{k_3}{J}s^2 + \frac{gk_2}{J}s + \frac{gk_1}{J}$

Python: control.ctrb(A, B), control.place(A, B, p)

Do przeczytania

Obowiązkowo: K. J. Åström, R. M. Murray, Feedback Systems, rozdz. 7 (sprzężenie od stanu, wolny dostęp online).
Dla chętnych: A. Tewari, Modern Control Design with MATLAB and SIMULINK, rozdz. 5 (lokowanie biegunów, przykłady lotnicze); S. Brunton, Control Bootcamp (wykłady wideo o sterowalności i lokowaniu biegunów).

Sprzężenie od stanu potrzebuje całego stanu, a czujniki mierzą zwykle tylko jego część: barometr daje wysokość, ale nie prędkość, a żyroskop prędkość kątową, ale nie kąt. Następna lekcja pokazuje, jak odtworzyć brakujące stany z tych, które mierzymy, i kiedy jest to w ogóle możliwe.