3.1 Regulator PID: działanie P, I, D i uchyb ustalony

0 Prolog: sternik pancernika

Na początku lat 20. XX wieku Nicolas Minorsky, rosyjski inżynier pracujący dla marynarki wojennej USA, obserwował sterników prowadzących okręty. Zauważył, że dobry sternik patrzy na trzy rzeczy naraz: o ile okręt odchylił się od kursu (teraz), czy mimo poprawek wciąż znosi go w jedną stronę, np. przez prąd lub wiatr (dotąd), i jak szybko odchyłka się zmienia (co zaraz będzie). W 1922 r. opisał to matematycznie jako sterowanie proporcjonalne do uchybu, jego całki i pochodnej. Rok później jego automatyczny sternik prowadził pancernik USS New Mexico.

Tak narodził się regulator PID. Sto lat później jest wciąż najczęściej używanym algorytmem sterowania na świecie: w termostatach, napędach, procesach chemicznych i w każdym kontrolerze lotu drona.

Pytanie na start. Dwa regulatory wysokości drona mają identyczne bieguny pętli zamkniętej. Po doczepieniu paczki oba zachowują się tak samo. A po poleceniu „wznieś się o 1 m” jeden przelatuje cel o 34 cm, drugi o 1,5 cm. Jak to możliwe? Odpowiedź w części 3.

1 Trzy człony: teraźniejszość, przeszłość, przyszłość

Regulator PID

u(t) = K_p\,e(t) + K_i\int_0^t e(\tau)\,\mathrm d\tau + K_d\,\frac{\mathrm de}{\mathrm dt},\qquad C(s) = K_p + \frac{K_i}{s} + K_ds .

Postać standardowa (przemysłowa): $C(s) = K_p\left(1 + \frac{1}{T_is} + T_ds\right)$ z czasem zdwojenia $T_i = K_p/K_i$ i czasem wyprzedzenia $T_d = K_d/K_p$ .

P (teraźniejszość): im większy uchyb teraz, tym mocniej działa. Sam nie usuwa uchybu od stałego zakłócenia, bo do utrzymania stałej siły potrzebuje stałego uchybu (lekcja 1.1 Po co sprzężenie zwrotne? Pętla otwarta i zamknięta).
I (przeszłość): sumuje uchyb. Dopóki uchyb nie jest zerowy, całka rośnie, więc w stanie ustalonym uchyb musi być zerowy (lekcja 1.3 Regulator P i PI w pętli: dlaczego całka usuwa uchyb). Cena: opóźnienie fazy i skłonność do przeregulowań.
D (przyszłość): $e(t + T_d) \approx e(t) + T_d\dot e(t)$ , więc $K_p(e + T_d\dot e)$ to człon P działający na przewidywany uchyb za $T_d$ sekund. Daje tłumienie (lekcja 2.2 Bieguny i zera pętli zamkniętej, linie pierwiastkowe), ale wzmacnia szum, więc w praktyce zawsze ma filtr (lekcja 2.5 Zakłócenia, szum i wrażliwość: S, T i kształtowanie pętli): $K_ds \to \frac{K_ds}{1 + T_ds/N}$ .

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 15 min

PID ma $K_p = 9{,}6$ , $K_i = 8$ , $K_d = 4{,}3$ . Podaj $T_i$ i $T_d$ .

Odpowiedź
$T_i = 9{,}6/8 = 1{,}2$ s, $T_d = 4{,}3/9{,}6 \approx 0{,}45$ s.
Uchyb skacze z 0 do 1 i zostaje stały. Narysuj w myślach odpowiedź członu P i I. Po jakim czasie człon I da tyle co człon P?

Odpowiedź
P: stałe $K_p$ . I: rampa $K_it$ . Równe w $t = K_p/K_i = T_i$ , stąd nazwa „czas zdwojenia”: po $T_i$ suma P + I jest dwa razy większa niż samo P.
Uchyb rośnie liniowo: $e(t) = 0{,}2t$ . Ile wynosi wyjście członu PD $K_p(e + T_d\dot e)$ w chwili $t$ i jaki uchyb „przewiduje”?

Odpowiedź
$K_p(0{,}2t + 0{,}2T_d) = K_p\cdot 0{,}2(t + T_d)$ : dokładnie uchyb z chwili $t + T_d$ . Dla liniowego uchybu przewidywanie jest dokładne; dla zakrzywionego tylko przybliżone.

2 PID wysokości drona

Wysokość drona ( $m = 1$ kg, $b = 0{,}5$ N·s/m, ciąg zawisu ustawiony w przód) to obiekt $G(s) = \frac{1}{s(s + 0{,}5)}$ od korekty ciągu do wysokości. Ma już jedno całkowanie (prędkość → wysokość). Co daje każdy człon:

sam P: $s^2 + 0{,}5s + K_p$ , tłumienie $\zeta = 0{,}25/\sqrt{K_p}$ , czyli coraz słabsze, im mocniej (lekcja 2.2 Bieguny i zera pętli zamkniętej, linie pierwiastkowe);
PD: dokłada tłumienie, ale stała siła (cięższy dron, wiatr w dół) zostawia uchyb $F/K_p$ ;
PID: usuwa ten uchyb. Pętla ma wtedy trzy bieguny.

Mianownik pętli zamkniętej $1 + CG = 0$ :

s^3 + (0{,}5 + K_d)\,s^2 + K_p\,s + K_i = 0 .

Trzy nastawy, trzy współczynniki: bieguny można ustawić dowolnie. Wystarczy wybrać pożądany wielomian i porównać współczynniki. Warunek stabilności z kryterium Routha (lekcja 2.2): wszystkie współczynniki dodatnie i $(0{,}5 + K_d)\,K_p > K_i$ . Za dużo całki przy za małym P i D rozkołysze pętlę.

Zadania · część 2

4 zadania · ok. 30 min

Wyprowadź mianownik pętli zamkniętej $s^3 + (0{,}5 + K_d)s^2 + K_ps + K_i$ .

Odpowiedź
$1 + \frac{K_ds^2 + K_ps + K_i}{s}\cdot\frac{1}{s(s + 0{,}5)} = 0$ ; mnożymy przez $s^2(s + 0{,}5)$ : $s^3 + 0{,}5s^2 + K_ds^2 + K_ps + K_i = 0$ .
PD z $K_p = 4$ . Dron okazuje się cięższy o 0,1 kg (zawis ustawiony dla 1 kg). O ile opadnie w stanie ustalonym?

Odpowiedź
Brakuje $0{,}1\cdot 9{,}81 = 0{,}981$ N. W stanie ustalonym $K_pe = 0{,}981$ , czyli $e \approx 0{,}245$ m.
Dla $K_p = 4$ , $K_d = 2{,}3$ jakie największe $K_i$ zachowuje stabilność?

Odpowiedź
$(0{,}5 + 2{,}3)\cdot 4 = 11{,}2 > K_i$ . Przy $K_i = 11{,}2$ para biegunów leży na osi urojonej.
W symulacji 1 ustaw $K_i = 25$ przy domyślnych $K_p$ i $K_d$ . Pętla jest stabilna (sprawdź warunek), ale co się dzieje z przeregulowaniem i dlaczego?

Odpowiedź
$(0{,}5 + 4{,}3)\cdot 9{,}6 = 46 > 25$ , stabilna. Przeregulowanie rośnie: całka zbiera uchyb w czasie wznoszenia i musi go „oddać” przelotem nad celem. Do tego ciąg wchodzi w nasycenie, a całka dalej rośnie (to windup, lekcja 3.3 Nieliniowa rzeczywistość: nasycenie, windup, feedforward i gain scheduling).

3 Te same bieguny, różne zera: PID, PI-D, I-PD

Regulator nie musi traktować wartości zadanej $r$ i pomiaru $y$ tak samo. Ogólnie:

u = K_p(b\,r - y) + K_i\int(r - y)\,\mathrm dt + K_d\,\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(c\,r - y) .

Całka zawsze działa na prawdziwy uchyb $r - y$ (inaczej zostałby uchyb ustalony). Wagi $b$ i $c$ wybieramy:

PID ( $b = c = 1$ ): wszystko od uchybu. Skok $r$ przechodzi przez człon D i daje kopnięcie sterowania (ang. derivative kick).
PI-D ( $b = 1$ , $c = 0$ ): D tylko od pomiaru. Bez kopnięcia; najczęstszy wybór w praktyce.
I-PD ( $b = c = 0$ ): wartość zadana działa tylko przez całkę. Najłagodniejsza reakcja na zmianę $r$ .

Pomiar $y$ zawsze przechodzi przez pełne $K_p + K_i/s + K_ds$ , więc mianownik pętli zamkniętej, czyli bieguny, jest ten sam we wszystkich trzech wersjach. Reakcja na zakłócenia (paczka, podmuch) też jest identyczna. Różni się tylko licznik transmitancji od $r$ do $y$ , czyli jej zera:

\frac{Y}{R} = \frac{K_ds^2 + K_ps + K_i}{\text{mianownik}}\ (\text{PID}),\qquad \frac{K_ps + K_i}{\text{mianownik}}\ (\text{PI-D}),\qquad \frac{K_i}{\text{mianownik}}\ (\text{I-PD}) .

Zera blisko osi urojonej przyspieszają start i dokładają przeregulowania (lekcja 2.2). Odpowiedź na pytanie z prologu: dla projektu z przykładu 6.1 (idealny człon D) PI-D ma jedno wolne zero w $-K_i/K_p = -0{,}83$ i daje 34% przeregulowania, I-PD nie ma zer i daje 1,5%. Pełny PID (zera w $-1{,}12 \pm 0{,}78j$ ) daje 23%. Z filtrem D ( $N = 8$ , jak w symulacji 1) liczby są trochę inne: 29%, 1,5% i 26%, a pełny PID dodatkowo nasyca ciąg kopnięciem (część 3). Bieguny wszystkich trzech: $-2$ i $-1{,}4 \pm 1{,}43j$ . Projektowanie przez dwa niezależne tory (bieguny dla zakłóceń, zera dla wartości zadanej) nazywa się regulacją o dwóch stopniach swobody.

Zadania · część 3

3 zadania · ok. 25 min

Ile wynosi sterowanie tuż po skoku $r$ o 1 m w wersji PID z filtrem D ( $N = 8$ )? Ile w PI-D i I-PD?

Odpowiedź
Filtr D $\frac{K_ds}{1 + T_ds/N}$ przy skoku daje natychmiast $K_dN/T_d = K_pN$ . Razem z P: $K_p(1 + N) = 9{,}6\cdot 9 = 86$ N, prawie 9 razy więcej niż zapas ciągu. PI-D: $K_p = 9{,}6$ N. I-PD: 0 (całka rośnie od zera), w maksimum ok. 1,2 N.
Pokaż, że transmitancja od siły zakłócającej $F$ do wysokości jest taka sama dla PID, PI-D i I-PD.

Odpowiedź
Dla $r = 0$ wszystkie trzy dają $u = -(K_p + K_i/s + K_ds)\,y = -C\,y$ . Wtedy $y = G(u + F)$ , czyli $\frac YF = \frac{G}{1 + CG}$ niezależnie od $b$ i $c$ .
Dlaczego I-PD jest wolniejszy od PI-D, mimo tych samych biegunów?

Odpowiedź
W I-PD nic nie „pcha” od razu: sterowanie od $r$ narasta tylko przez całkę. Brak zer w liczniku oznacza odpowiedź tak wolną, jak pozwalają same bieguny (czas narastania ok. 1,5 s zamiast 0,3–0,5 s). Kompromis: spokój kontra szybkość.

4 Typ pętli i uchyb ustalony

W lekcji 2.1 Schematy blokowe i transmitancja pętli zdefiniowaliśmy typ pętli jako liczbę całkowań w $L(s)$ . Z twierdzenia o wartości końcowej uchyb ustalony dla wejścia $r(t) = t^k/k!$ (skok, rampa, parabola) zależy tylko od typu i jednej liczby:

typ pętli	skok	rampa $t$	parabola $t^2/2$
0	$\frac{1}{1 + K_0}$ , $K_0 = L(0)$	∞	∞
1	0	$\frac{1}{K_v}$ , $K_v = \lim_{s\to0} sL(s)$	∞
2	0	0	$\frac{1}{K_a}$ , $K_a = \lim_{s\to0} s^2L(s)$

Dla drona: pętla prędkości z regulatorem P to typ 0 ( $K_0 = K_p/b$ ), z PI typ 1 ( $K_v = K_i/b$ ), a pętla wysokości z PID to typ 2 ( $K_a = K_i/b$ ): śledzi bez uchybu nawet stałą prędkość wznoszenia, a przy stałym przyspieszeniu zostaje mu stały uchyb.

Dla zakłóceń liczy się co innego: liczba całkowań w regulatorze, czyli między uchybem a miejscem wejścia zakłócenia. Całkowanie w obiekcie leży za siłą zakłócającą, więc uchybu od niej nie usuwa (zadanie 4.3).

Zadania · część 4

3 zadania · ok. 25 min

Pętla prędkości z regulatorem P, $K_p = 3{,}5$ . Uchyb ustalony dla skoku 1 m/s?

Odpowiedź
$K_0 = 3{,}5/0{,}5 = 7$ , uchyb $1/8 = 0{,}125$ m/s.
PID wysokości ( $K_i = 8$ ). Wartość zadana rośnie z przyspieszeniem 1 m/s² ( $r = t^2/2$ ). Jaki uchyb się ustali?

Odpowiedź
$K_a = K_i/b = 16$ , uchyb $1/16 \approx 0{,}06$ m.
PD wysokości to pętla typu 1 (całkowanie w obiekcie). Dlaczego mimo to stała siła zostawia uchyb, a skok wartości zadanej nie?

Odpowiedź
Uchyb od $r$ zależy od typu całej pętli: $\frac{1}{1 + L}\to 0$ dla skoku. Uchyb od siły: $\frac{G}{1 + CG}\to\frac{1}{C(0)} = \frac{1}{K_p}$ , bo całkowanie w $G$ jest za siłą i skraca się w tym ilorazie. Żeby siła nie zostawiała uchybu, całkowanie musi być przed nią, czyli w regulatorze.

5 PID w dziedzinie częstotliwości

Na wykresie Bodego trzy człony to trzy proste: P poziomo ( $K_p$ , faza $0^\circ$ ), I opada −20 dB/dek. (faza $-90^\circ$ ), D rośnie +20 dB/dek. (faza $+90^\circ$ ). Suma ma kształt litery V z minimum przy $\omega = \sqrt{K_i/K_d}$ , gdzie składowe I i D się znoszą, $|C| = K_p$ i faza wynosi zero.

W języku lekcji 2.5: poniżej tej częstotliwości PID działa jak korektor opóźniający (duże wzmocnienie dla dokładności, faza ujemna), powyżej jak korektor wyprzedzający (dodatnia faza w okolicy $\omega_c$ , ale rosnące wzmocnienie szumu). Dobrze nastrojony PID ma minimum V wyraźnie poniżej $\omega_c$ , tak żeby w $\omega_c$ dominował człon D z dodatnią fazą.

Zadania · część 5

3 zadania · ok. 20 min

Dla $K_p = 9{,}6$ , $K_i = 8$ , $K_d = 4{,}3$ : gdzie jest minimum $|C|$ i ile wynosi?

Odpowiedź
$\omega = \sqrt{8/4{,}3} \approx 1{,}36$ rad/s, $|C| = 9{,}6$ (20 dB).
Pętla z tym PID ma $\omega_c \approx 4{,}4$ rad/s. Jaką fazę ma tam regulator? (Oblicz.)

Odpowiedź
$C(j4{,}4) = 9{,}6 + j(4{,}3\cdot 4{,}4 - 8/4{,}4) = 9{,}6 + j17{,}1$ , faza $\arctan(17{,}1/9{,}6) \approx 61^\circ$ . Obiekt ma tam $-90^\circ - \arctan 8{,}8 \approx -174^\circ$ , razem $-113^\circ$ : zapas ok. $67^\circ$ .
Dlaczego sam regulator PI nie wystarczy dla wysokości drona? Odpowiedz przez fazę.

Odpowiedź
Obiekt $\frac{1}{s(s + 0{,}5)}$ ma fazę od $-90^\circ$ w dół do $-180^\circ$ . PI dokłada fazę ujemną (od $-90^\circ$ do $0^\circ$ ). Faza pętli to $-180^\circ - \arctan(\omega/0{,}5) + \arctan(\omega T_i)$ : powyżej $-180^\circ$ tylko wtedy, gdy zero regulatora jest wolniejsze od bieguna obiektu ( $T_i > 2$ s). Routh daje to samo: stabilność tylko przy $K_i < 0{,}5K_p$ . Taka pętla jest stabilna, ale bardzo wolna (np. $T_i = 20$ s daje $\omega_c \approx 0{,}16$ rad/s). Przy nastawach z symulacji 1 ( $K_i = 8 > 4{,}8$ ) i $K_d = 0$ pętla jest niestabilna. Szybka pętla wysokości potrzebuje D.

6 Metoda i przykłady rozwiązane

Metoda: PID przez lokowanie biegunów (obiekt 2. rzędu)

Model: $G = \frac{k}{s^2 + a_1s + a_0}$ (u nas $k = 1$ , $a_1 = 0{,}5$ , $a_0 = 0$ ).
Cel: para dominująca $\omega_0$ , $\zeta$ z wymagań (lekcja 2.2) i trzeci biegun rzeczywisty $-p$ , nie wolniejszy niż $\zeta\omega_0$ .
Porównanie $s^3 + (a_1 + kK_d)s^2 + (a_0 + kK_p)s + kK_i$ z $(s + p)(s^2 + 2\zeta\omega_0s + \omega_0^2)$ .
Struktura: zera wybierz osobno (PID, PI-D, I-PD) pod wymagania na odpowiedź na $r$ .
Sprawdzenie: filtr D, nasycenie, symulacja z szumem; zapas fazy.

Przykład 6.1 PID wysokości drona przez lokowanie biegunów

Dron $G = \frac{1}{s(s + 0{,}5)}$ . Cel: para $\omega_0 = 2$ rad/s, $\zeta = 0{,}7$ , trzeci biegun w $-2$ .

Pożądany wielomian: $(s + 2)(s^2 + 2{,}8s + 4) = s^3 + 4{,}8s^2 + 9{,}6s + 8$ .
Porównanie z $s^3 + (0{,}5 + K_d)s^2 + K_ps + K_i$ : $K_d = 4{,}3$ , $K_p = 9{,}6$ , $K_i = 8$ .
Routh: $4{,}8\cdot 9{,}6 = 46 > 8$ ✓.
Odpowiedzi na skok 1 m (python-control): PID 23% przeregulowania, czas ustalania 3,2 s; PI-D 34%, 3,1 s; I-PD 1,5%, 2,4 s, ale czas narastania 1,5 s zamiast 0,3 s.

Wynik: $K_p = 9{,}6$ N/m, $K_i = 8$ N/(m·s), $K_d = 4{,}3$ N·s/m. Zapas fazy $67^\circ$ przy $\omega_c = 4{,}4$ rad/s (z filtrem D, $N = 8$ : $56^\circ$ przy 4,8 rad/s, lekcja 3.4).

Sprawdzenie: sam PD z tymi $K_p$ , $K_d$ daje 14% przeregulowania; dodanie całki dokłada zero i przeregulowanie rośnie ✓. Same bieguny nie mówią wszystkiego.

Przykład 6.2 Paczka: PD kontra PID

Dron z przykładu 6.1 wisi na zadanej wysokości. Doczepiamy paczkę 0,1 kg (brakuje 0,98 N ciągu). Porównaj PD ( $K_p = 4$ , $K_d = 2{,}3$ ) i PID z przykładu 6.1.

PD: ustalony spadek $0{,}981/4 \approx 0{,}25$ m, na zawsze.
PID: największy spadek ok. 8 cm, po ok. 2,3 s dron jest z powrotem w pasie ±2 cm, uchyb ustalony zero.
Gdzie podziała się brakująca siła? Całka urosła do $K_i\int e = 0{,}981$ N: regulator „nauczył się” nowego zawisu.

Wynik: PD: 25 cm uchybu na stałe. PID: 8 cm chwilowo, 0 cm po kilku sekundach.

Sprawdzenie: w symulacji 1 przy $t > 8$ s uchyb wraca do zera dla każdej struktury ✓. Ta sama reakcja dla PID, PI-D, I-PD, bo bieguny są te same.

Przykład 6.3 Kopnięcie członu D

PID z przykładu 6.1, filtr D $N = 8$ , zmiana wartości zadanej o 1 m. Ile wynosi sterowanie w pierwszej chwili?

Człon D z filtrem: $\frac{K_ds}{1 + (T_d/N)s}$ ; odpowiedź na skok w chwili $0^+$ : $K_dN/T_d = K_pN = 76{,}8$ N.
Plus człon P: $9{,}6$ N, razem $86$ N (symulacja: 86,4 N).
Zapas ciągu drona: $\pm 9{,}81$ N. Silniki dostają skok do maksimum, a regulator „myśli”, że dał 86 N.

Wynik: 86 N, prawie 9 razy więcej niż dostępne. PI-D: 9,6 N, I-PD: 0 N na starcie.

Sprawdzenie: bez filtra kopnięcie byłoby impulsem (nieskończonym) ✓. Dlatego w kontrolerach lotu człon D liczy się od pomiaru, nie od uchybu.

Przykład 6.4 Wznoszenie ze stałą prędkością

Wartość zadana wysokości rośnie liniowo 0,5 m/s. Jaki uchyb ustalony dla PD ( $K_p = 4$ , $K_d = 2{,}3$ ) i dla PID z przykładu 6.1?

PD: pętla typu 1, $K_v = \lim sL = K_p/0{,}5 = 8$ , uchyb $0{,}5/8 \approx 0{,}06$ m.
Fizycznie: ruch 0,5 m/s wymaga dodatkowej siły na opór $b\cdot 0{,}5 = 0{,}25$ N, którą PD daje tylko z uchybu: $0{,}25/4$ ✓.
PID: typ 2, uchyb dla rampy zero.

Wynik: PD ok. 6 cm za wartością zadaną; PID bez uchybu.

Sprawdzenie: symulacja 2 (typ 1 i rampa) pokazuje ten sam mechanizm ✓.

7 Błędne intuicje, których trzeba się oduczyć

„Bieguny wyznaczają odpowiedź skokową.”: Wyznaczają tempo i charakter, ale zera potrafią zmienić przeregulowanie z 1,5% na 34%. Odpowiedź na zakłócenia i na wartość zadaną to dwie różne transmitancje.
„Więcej całki = dokładniej.”: Uchyb ustalony jest zerowy przy każdym $K_i > 0$ . Więcej całki to szybsze usuwanie uchybu, ale też mniej fazy, większe przeregulowanie i windup.
„Człon D liczy się od uchybu.”: Tak w podręcznikach, nie w praktyce. Od pomiaru: bez kopnięcia przy zmianie wartości zadanej, ta sama stabilność.
„Każdą pętlę trzeba regulować pełnym PID.”: Większość pętli przemysłowych to PI: D jest kłopotliwy przy szumie i wolnych procesach. Dron potrzebuje D, bo obiekt ma całkowanie i inercję (ciąg → prędkość → wysokość): sam PI stabilizuje go tylko bardzo wolno.
„Typ pętli mówi o uchybie od zakłóceń.”: Tylko o uchybie od wartości zadanej. Dla zakłóceń liczą się całkowania między uchybem a miejscem wejścia zakłócenia.

8 Zadania do przemyślenia

Te zadania wymagają więcej myślenia niż liczenia.

Zadania do przemyślenia

5 zadań · ok. 1,5 godziny

Sternik Minorsky’ego. Okręt płynie przy stałym bocznym prądzie. Co w zachowaniu okrętu odpowiada uchybowi ustalonemu, gdy sternik reaguje tylko na bieżącą odchyłkę kursu? Jaki człon ten uchyb usuwa i jak sternik „wykonuje” go w głowie?
Rozwiązanie
1. Prąd to stałe zakłócenie. Sternik P musi trzymać ster stale wychylony, a do tego potrzebuje stałej odchyłki kursu: okręt płynie lekko obok zadanego kierunku.
2. Człon I: sternik zauważa, że „ciągle znosi w lewo”, i przestawia „zero” steru. To jest pamięć uchybu, czyli całka.
Tempomat pod górę. Tempomat z regulatorem PI wjeżdża na wzniesienie o stałym nachyleniu. Czy prędkość wróci do zadanej? A jeśli nachylenie rośnie liniowo z drogą?
Rozwiązanie
1. Stałe nachylenie to stała siła: PI ma całkę przed nią, więc uchyb wraca do zera.
2. Siła rosnąca liniowo w czasie (przy stałej prędkości nachylenie rośnie liniowo z czasem) to „rampa” zakłócenia; jedna całka w regulatorze zostawi stały uchyb, potrzebne byłyby dwie. W praktyce takie drogi nie występują długo, a uchyb jest mały.
Enkoder z kwantyzacją. Pozycję silnika mierzy enkoder o rozdzielczości 0,01 rad, a regulator liczy pochodną co 1 ms. Jakie „skoki” prędkości widzi człon D przy jednym takcie enkodera? Co z tego wynika?
Rozwiązanie
1. Jedna zmiana odczytu o 0,01 rad w ciągu 1 ms to 10 rad/s „prędkości”, podczas gdy wolny ruch o 1 rad/s daje zmianę odczytu co 10 ms. Pochodna to seria szpilek 10 rad/s przeplatanych zerami.
2. Człon D zamienia je na szarpnięcia momentu. Rozwiązania: filtr D, liczenie prędkości z dłuższego okna albo z czasu między taktami enkodera.
Ile członów potrzeba? Obiekt $\frac{1}{s^2}$ (podwójny integrator, np. dron bez oporu). Który z regulatorów P, PI, PD, PID go stabilizuje? Uzasadnij przez mianownik.
Rozwiązanie
1. P: $s^2 + K_p$ , bieguny na osi urojonej, nie. PI: $s^3 + K_ps + K_i$ , brak $s^2$ , Routh: nie.
2. PD: $s^2 + K_ds + K_p$ , tak. PID: $s^3 + K_ds^2 + K_ps + K_i$ , tak przy $K_dK_p > K_i$ . D jest konieczny.
Kolejność strojenia. Technik stroi PID „od P”: zwiększa $K_p$ , aż pętla zacznie oscylować, potem dokłada D, potem I. Dlaczego w pętli wysokości drona sam P „od razu oscyluje” i ta metoda jest mylna?
Rozwiązanie
1. Z samym P mianownik $s^2 + 0{,}5s + K_p$ ma $\zeta = 0{,}25/\sqrt{K_p}$ : już przy $K_p = 1$ to $\zeta = 0{,}25$ , ok. 44% przeregulowania. Nie ma „dobrego P”, od którego można zacząć.
2. Dla takich obiektów stroi się najpierw D (tłumienie), potem P, na końcu I, albo od razu z modelu. Systematyczne metody strojenia w lekcji 3.2 Strojenie: model z testu, reguły nastaw i regulacja kaskadowa.

9 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Co robi każdy z członów P, I, D?

P reaguje na uchyb teraz, I usuwa uchyb ustalony (pamięć), D przewiduje uchyb za $T_d$ i daje tłumienie.

2 Co to

T_i

T_d

$T_i = K_p/K_i$ (czas zdwojenia), $T_d = K_d/K_p$ (czas wyprzedzenia).

3 Dlaczego PID wysokości drona ma trzy bieguny i ile nastaw je ustawia?

Obiekt ma 2 bieguny, całka dokłada trzeci. Trzy nastawy $K_p$ , $K_i$ , $K_d$ ustawiają trzy współczynniki mianownika.

4 Czym różnią się PID, PI-D i I-PD?

Tym, jak wartość zadana wchodzi do członów P i D. Bieguny i reakcja na zakłócenia są te same, zera w torze $r \to y$ różne.

5 Co to kopnięcie członu D?

Skok sterowania przy skokowej zmianie wartości zadanej, gdy D działa na uchyb: $K_p(1 + N)$ z filtrem.

6 Jaki uchyb ma pętla typu 1 dla rampy?

$1/K_v$ , $K_v = \lim_{s\to0} sL(s)$ .

7 Gdzie musi być całkowanie, żeby stała siła nie zostawiała uchybu?

Między uchybem a miejscem wejścia siły, czyli w regulatorze.

8 Jak wygląda PID na wykresie Bodego?

Litera V z minimum $K_p$ przy $\sqrt{K_i/K_d}$ ; faza od $-90^\circ$ do $+90^\circ$ .

10 Karta wzorów i co dalej

PID

$C = K_p + \frac{K_i}{s} + K_ds = K_p\left(1 + \frac{1}{T_is} + T_ds\right)$

filtr D: $\frac{K_ds}{1 + T_ds/N}$ , $N = 5$ –20

$u = K_p(br - y) + K_i\!\int(r - y) + K_d\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(cr - y)$

PID: $b = c = 1$ ; PI-D: $c = 0$ ; I-PD: $b = c = 0$

kopnięcie: $K_p(1 + N)\,\Delta r$

Dron i uchyby

$G = \frac{1}{s(s + 0{,}5)}$ : $s^3 + (0{,}5 + K_d)s^2 + K_ps + K_i$

Routh: $(0{,}5 + K_d)K_p > K_i$

typ 0: skok $\frac{1}{1 + K_0}$ ; typ 1: rampa $\frac{1}{K_v}$ ; typ 2: parabola $\frac{1}{K_a}$

$K_0 = L(0)$ , $K_v = \lim sL$ , $K_a = \lim s^2L$

minimum $|C| = K_p$ przy $\omega = \sqrt{K_i/K_d}$

Do przeczytania

Obowiązkowo: K. J. Åström, R. M. Murray, Feedback Systems, rozdz. o regulatorach PID (wolny dostęp online); J. Kowal, Podstawy automatyki, rozdz. 10 (algorytmy P, I, PI, PD, PID), po polsku.
Dla chętnych: K. J. Åström, T. Hägglund, Advanced PID Control, rozdz. 3 (warianty PID, wagi wartości zadanej, filtr D); S. Bennett, „Nicholas Minorsky and the automatic steering of ships”, IEEE Control Systems Magazine (1984), dla historii.

Umiemy zaprojektować PID, gdy znamy model. Zwykle go nie znamy, a w każdym razie nie dokładnie. Następna lekcja pokazuje, jak zdobyć model z prostego testu, jak dobrać nastawy regułami, które działają od 80 lat, i jak ułożyć pętle w kaskadę: wewnętrzną szybką (prędkość) i zewnętrzną wolną (wysokość), dokładnie tak jak w kontrolerach lotu.