Regulator P i PI w pętli: dlaczego całka usuwa uchyb

0 Prolog: moderatory i gubernatory

Maszyna parowa Watta z 1788 r. miała regulator odśrodkowy: dwie kule na obracającym się wałku. Gdy maszyna przyspieszała, kule rozchodziły się na boki i przez dźwignie przymykały zawór pary. To regulator proporcjonalny: im szybciej, tym mniej pary. Miał znaną wadę. Gdy maszynę obciążono, np. włączając kolejne krosna w tkalni, ustalała się na nieco mniejszej prędkości. Kule musiały być trochę niżej, żeby zawór był trochę bardziej otwarty, a to wymagało niższej prędkości.

W 1868 r. James Clerk Maxwell w pracy On Governors rozróżnił dwa rodzaje urządzeń. Te, w których korekta jest proporcjonalna do odchyłki prędkości, nazwał moderatorami: pod obciążeniem zostawiają stały błąd. Te, w których korekta jest proporcjonalna do całki odchyłki, nazwał właściwymi gubernatorami: one doprowadzają prędkość dokładnie do zadanej. Ta lekcja wyjaśnia, dlaczego całka to potrafi.

Pytanie na start. Tempomat z regulatorem P traci pod górę 2 km/h. Jak sprawić, by nie tracił nic, jeśli regulator nie zna ani nachylenia drogi, ani masy samochodu? Odpowiedź w części 2.

1 Regulator P na prędkości drona

W lekcji 1.2 Jak reagują układy: człony podstawowe i odpowiedź skokowa rozłożyliśmy drona na człony: ciąg zmienia prędkość pionową jak człon inercyjny, a prędkość zmienia wysokość jak człon całkujący. Zaczniemy od pętli prędkości, bo obiekt jest tu prostszy: tylko jeden człon inercyjny. Prawdziwe drony też mają taką wewnętrzną pętlę prędkości, a pętla wysokości wydaje jej polecenia (to tzw. kaskada, lekcja 3.2 Strojenie: model z testu, reguły nastaw i regulacja kaskadowa).

Obiekt: $m\dot v = T - mg - bv$. Ciąg to podpowiedź z modelu plus korekta regulatora: $T = \hat mg + \Delta T$. Siłę, której model nie przewidział, oznaczmy $F = (\hat m - m)g$ plus ewentualne podmuchy. Wtedy

Regulator P: $\Delta T = K_p(v_\text{zad} - v)$. Po podstawieniu i przeniesieniu wyrazów z $v$ na lewą stronę dostajemy człon inercyjny:

Liczby: dla $m = 1$ kg i $K_p = 3{,}5$ N/(m/s) stała czasowa spada z 2 s do 0,25 s. Ale polecenie „wznoś się 1 m/s” daje tylko 0,875 m/s. Dron z kamerą ($m = 1{,}1$ kg), któremu każemy wisieć ($v_\text{zad} = 0$), opada z prędkością $0{,}981/4 \approx 0{,}25$ m/s, czyli bez końca traci wysokość. Uchyb prędkości to błąd, który się całkuje.

Skąd uchyb? To ten sam mechanizm co w lekcji 1.1 Po co sprzężenie zwrotne? Pętla otwarta i zamknięta. Żeby utrzymać się w powietrzu, dron potrzebuje dodatkowej siły $(m - \hat m)g + bv_\text{zad}$. Regulator P wytwarza ją tylko z uchybu: $\Delta T = K_pe$. Zerowy uchyb oznaczałby zerową korektę, a wtedy dron by opadał. Uchyb ustala się więc dokładnie na takiej wartości, przy której $K_pe$ (plus ułamek, który „dokłada” opór) pokrywa brakującą siłę.

2 Całka jako pamięć uchybu

Dodajmy do regulatora drugi człon: sumę wszystkich dotychczasowych uchybów, pomnożoną przez stałą $K_i$.

Dowód jest jednym zdaniem. W stanie ustalonym wszystko jest stałe, także człon całkujący $I(t) = K_i\int_0^t e\,\mathrm{d}s$. Jego pochodna to $K_ie$, więc $I$ może być stałe tylko wtedy, gdy $e = 0$. Jeśli uchyb byłby choć trochę różny od zera, całka rosłaby (albo malała) liniowo, a razem z nią sterowanie. Nie byłby to więc stan ustalony.

Ważniejsze od dowodu jest to, gdzie ląduje całka. Gdy uchyb znika, człon P daje zero, więc całą brakującą siłę $(m - \hat m)g + bv_\text{zad}$ musi dostarczać człon I. Całka zatrzymuje się dokładnie na tej wartości. Regulator PI sam się uczy, czego brakuje w modelu, i to „pamięta”. Odpowiedź na pytanie z prologu: tempomat z całką dodaje gazu tak długo, aż prędkość wróci do zadanej. Całka zapamiętuje, ile gazu potrzeba na tym wzniesieniu, nie znając ani nachylenia, ani masy samochodu.

Trzy obrazy pomagają w intuicji. Człon P patrzy na teraźniejszość: jak daleko jesteśmy od celu. Człon I patrzy na przeszłość: jak długo i jak bardzo już się mylimy. Gdy uchyb jest mały, ale trwa uparcie, P go ignoruje, a I powoli, cierpliwie dokręca sterowanie. W lekcji 3.1 Regulator PID: działanie P, I, D i uchyb ustalony dojdzie trzeci człon, D, który patrzy na przyszłość: jak szybko uchyb się zmienia.

3 Strojenie PI przez człon oscylacyjny

Ile powinny wynosić $K_p$ i $K_i$? Z regulatorem PI pętla jest układem drugiego rzędu, a takie układy umiemy już opisywać. Wstawmy $\Delta T = K_pe + K_i\int e$ z $e = v_\text{zad} - v$ do równania obiektu i zróżniczkujmy całość, żeby pozbyć się całki:

Po lewej stronie widać człon oscylacyjny z lekcji 1.2 Jak reagują układy: człony podstawowe i odpowiedź skokowa: $\ddot v + 2\zeta\omega_0\dot v + \omega_0^2v$. Porównując współczynniki, odczytujemy

Przykład: $\zeta = 1$ i $\omega_0 = 2$ rad/s dla $m = 1$ kg dają $K_i = 4$ N/m i $K_p = 3{,}5$ N/(m/s). To nastawy domyślne symulacji. Dla drona z kamerą ($m = 1{,}1$ kg) te same nastawy dają $\zeta \approx 0{,}95$ i $\omega_0 \approx 1{,}9$ rad/s: prawie bez zmian. Pętla PI jest odporna na umiarkowany błąd modelu.

Dwie obserwacje z symulacji zasługują na uwagę. Po pierwsze, za duże $K_i$ przy stałym $K_p$ zmniejsza $\zeta$ i pętla zaczyna się kołysać: pamięć jest zbyt „nerwowa” i przelatuje. Po drugie, nawet przy $\zeta = 1$ odpowiedź na skok wartości zadanej ma przeregulowanie ok. 7%. Członu oscylacyjnego z $\zeta = 1$ nie powinno to dotyczyć. Winny jest wyraz $K_p\dot v_\text{zad}$ po prawej stronie: skok wartości zadanej daje przez człon P natychmiastowe szarpnięcie ciągu. Wyjaśnimy to w lekcji 2.2 Bieguny i zera pętli zamkniętej, linie pierwiastkowe (zera pętli). Znana praktyczna sztuczka: człon P liczy się nie od uchybu, a tylko od pomiaru, $-K_pv$. Wtedy skok wartości zadanej działa tylko przez całkę i przeregulowanie wraca do tego, co obiecuje $\zeta$.

4 Pętla jest programem

Prawdziwy regulator to nie równanie, tylko pętla w programie mikrokontrolera, która co $\Delta t$ sekund robi cztery rzeczy: czyta czujnik, liczy uchyb, aktualizuje całkę i wysyła sterowanie do silników. Całka staje się zwykłą sumą: $I \leftarrow I + K_ie\,\Delta t$. To metoda Eulera z lekcji 4.1 Równania różniczkowe zwyczajne, zastosowana do całki. Poniżej ta sama pętla co w symulacji 1, razem z modelem drona. W prawdziwym dronie model zastępuje fizyka.

# Pętla prędkości pionowej drona z regulatorem PI (krok Eulera).
g, m_hat, b = 9.81, 1.0, 0.5      # model: masa 1 kg, opór 0,5 N·s/m
m = 1.1                           # prawdziwa masa (kamera +100 g)
Kp, Ki = 3.5, 4.0                 # nastawy regulatora
dt = 0.01                         # okres pętli [s]
T_max = 2 * m_hat * g             # silniki dają najwyżej 2·m̂g

v, integral = 0.0, 0.0
for k in range(int(12 / dt) + 1):
    t = k * dt
    v_ref = 1.0 if t >= 1.0 else 0.0
    e = v_ref - v                         # 1. pomiar i uchyb
    integral += Ki * e * dt               # 2. pamięć uchybu
    T = m_hat * g + Kp * e + integral     # 3. sterowanie: model + P + I
    T = min(max(T, 0.0), T_max)           # 4. ograniczenie silników
    if k % 100 == 0:
        print(f"t = {t:4.1f} s   v = {v:6.3f} m/s   T = {T:6.2f} N   I = {integral:5.3f} N")
    v += dt * (T - m * g - b * v) / m     # obiekt: w dronie robi to fizyka

#include <algorithm>
#include <cstdio>
// Regulator PI z ograniczeniem sterowania i całkowaniem warunkowym (anti-windup).
struct PI {
    double Kp, Ki, dt, u_min, u_max;
    double integral = 0.0;
    double step(double ref, double meas, double u_ff) {
        double e = ref - meas;
        double i_new = integral + Ki * e * dt;
        double u = u_ff + Kp * e + i_new;
        if (u >= u_min && u <= u_max) integral = i_new;   // całkuj tylko poza nasyceniem
        u = u_ff + Kp * e + integral;
        return std::clamp(u, u_min, u_max);
    }
};
int main() {
    const double g = 9.81, m_hat = 1.0, b = 0.5, m = 1.1, dt = 0.01;
    PI pi{3.5, 4.0, dt, 0.0, 2 * m_hat * g};
    double v = 0.0;
    for (int k = 0; k <= 1200; ++k) {
        double t = k * dt, v_ref = t >= 1.0 ? 1.0 : 0.0;
        double T = pi.step(v_ref, v, m_hat * g);
        if (k % 200 == 0) std::printf("t = %4.1f s   v = %6.3f m/s   T = %6.2f N\n", t, v, T);
        v += dt * (T - m * g - b * v) / m;
    }
}

Oba programy wypisują po kilku sekundach $v = 1{,}000$ m/s i $T = 11{,}29$ N, czyli dokładnie ciężar drona z kamerą (10,79 N) plus opór przy 1 m/s (0,5 N). Wersja w Pythonie wypisuje też człon całkujący: 1,481 N. Program w C++ ma już gotową strukturę regulatora, którą można przenieść do mikrokontrolera, razem z ochroną przed nawijaniem całki z części 5.

Okres pętli $\Delta t$ ma znaczenie. Między obiegami pętli sterowanie stoi w miejscu, a regulator nie wie, co się dzieje. Schodki sterowania działają mniej więcej jak opóźnienie o $\Delta t/2$, a opóźnienie w pętli już znamy z prysznica w lekcji 1.1 Po co sprzężenie zwrotne? Pętla otwarta i zamknięta. Praktyczna reguła: pętla powinna obiec się co najmniej kilka, a lepiej ok. dziesięć razy w czasie narastania odpowiedzi. Szczegóły, w tym transformata Z, w lekcji 3.4 Sterowanie cyfrowe: próbkowanie, transformata Z i regulator w kodzie.

5 Pierwsze spotkanie z nasyceniem

Silniki drona dają ciąg od zera do pewnego maksimum, tu $2\hat mg \approx 19{,}6$ N. Element wykonawczy, który dostaje polecenie spoza swojego zakresu, robi tyle, ile może: nasyca się. Wtedy pętla przestaje być liniowa, a wzory z części 3 przestają obowiązywać.

Regulator PI ma z nasyceniem szczególny kłopot. Gdy silniki dają już maksimum, a uchyb wciąż jest duży, całka dalej rośnie, choć więcej ciągu i tak nie będzie. To nawijanie całki (ang. integrator windup). Gdy dron w końcu dogoni zadaną prędkość, całka jest „nawinięta” za daleko i przez dłuższą chwilę trzyma ciąg za wysoko. Dron przelatuje, aż całka się „rozwinie”.

Najprostsze lekarstwo widać w programie C++: nie całkuj, gdy sterowanie jest nasycone (całkowanie warunkowe, ang. clamping). Dla skoku polecenia z 0 do 5 m/s ($m = 1$ kg, $K_p = 3{,}5$, $K_i = 4$) przeregulowanie maleje wtedy z ok. 12% do ok. 2%, a czas ustalania z ok. 2,8 s do ok. 1 s. Inne metody i sprzężenie w przód, które pomaga omijać nasycenie, poznasz w lekcji 3.3 Nieliniowa rzeczywistość: nasycenie, windup, feedforward i gain scheduling.

6 Metoda i przykłady rozwiązane

7 Błędne intuicje, których trzeba się oduczyć

„Uchyb regulatora P to wina złego strojenia.”

To cecha samej struktury: korekta $K_pe$ wymaga uchybu. Większe $K_p$ go zmniejsza, usuwa dopiero całka.

„Całka usuwa każdy uchyb.”

Usuwa uchyb przy stałej wartości zadanej i stałych zakłóceniach, i tylko w tej wielkości, którą całkuje. Przy wartości zadanej rosnącej liniowo zostaje stały uchyb (zadanie 8.2), a PI prędkości zostawia uchyb wysokości (przykład 6.3).

„Większe $K_i$ to szybsze i lepsze usuwanie uchybu.”

Szybsze, ale przy stałym $K_p$ tłumienie maleje jak $1/\sqrt{K_i}$ i pętla zaczyna się kołysać.

„Regulator w programie działa tak samo jak na papierze.”

Tylko jeśli pętla obiega się dużo szybciej niż dynamika obiektu. Rzadkie próbkowanie działa jak opóźnienie.

„Nasycenie to problem silników, nie regulatora.”

Nawijanie całki to błąd algorytmu: regulator gromadzi „dług”, którego element wykonawczy nie może spłacić. Naprawia się go w kodzie (anti-windup).

„$\zeta = 1$ gwarantuje brak przeregulowania.”

Tylko dla czystego członu oscylacyjnego. Człon P działający na skok wartości zadanej dodaje szarpnięcie i przelot (przykład 6.2).

8 Zadania do przemyślenia

Te zadania wymagają więcej myślenia niż liczenia.

9 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

10 Karta wzorów i co dalej

Do przeczytania

• Obowiązkowo: K. J. Åström, R. M. Murray, Feedback Systems, rozdz. 1 (sprzężenie, regulator PI i rola całki na przykładach).
• Dla chętnych: G. C. Goodwin i in., Control System Design, rozdz. 6 (klasyczny regulator PID); J. C. Maxwell, On Governors, Proceedings of the Royal Society 16 (1868), krótki i wciąż czytelny.

To koniec części I. Umiemy już zamknąć pętlę, rozpoznać obiekt po odpowiedzi skokowej i dobrać regulator PI tak, by pętla zachowywała się jak człon oscylacyjny o wybranych $\zeta$ i $\omega_0$. Dla obiektu z jedną inercją to wystarcza. Dla obiektów złożonych (dron z silnikami, czujnikiem i opóźnieniem) liczenie równań w czasie staje się uciążliwe. Część II wprowadza narzędzie, które zamienia całki i pochodne na mnożenie: transmitancję i schematy blokowe.