2.5 Zakłócenia, szum i wrażliwość: S, T i kształtowanie pętli

0 Prolog: materac wodny Bodego

W 1945 r. Hendrik Bode opublikował książkę o projektowaniu wzmacniaczy ze sprzężeniem zwrotnym, w której udowodnił twierdzenie zaskakujące dla każdego, kto liczył na „idealny regulator”. Dla typowej pętli (stabilna pętla otwarta $L$ , czyli bez biegunów w prawej półpłaszczyźnie, i transmitancja pętli opadająca przy wysokich częstotliwościach co najmniej jak $1/\omega^2$ ) pole pod krzywą $\ln|S(j\omega)|$ jest zawsze równe zeru:

\int_0^\infty \ln|S(j\omega)|\,\mathrm d\omega = 0 .

Gdzie $|S| < 1$ , logarytm jest ujemny: tam pętla tłumi zakłócenia. Całka równa zeru oznacza, że gdzie indziej musi być $|S| > 1$ : tam pętla zakłócenia wzmacnia. Nazywa się to efektem materaca wodnego: wciśnij materac w jednym miejscu, a wybrzuszy się w innym. Sprzężenie zwrotne nie usuwa zakłóceń, tylko przenosi je z jednych częstotliwości na inne. Projektowanie pętli to decyzja, gdzie je przenieść.

Pytanie na start. Dron trzyma prędkość pionową regulatorem PI. Podmuch o okresie 20 s pętla tłumi prawie całkowicie. A drganie ramy od niewyważonego śmigła z częstotliwością 30 Hz? Czy pętla je stłumi, przepuści czy wzmocni? Odpowiedź w części 1.

1 Cztery funkcje pętli

W pętli z regulatorem $C$ i obiektem $P$ działają trzy sygnały zewnętrzne: wartość zadana $r$ , zakłócenie $d$ (na wejściu obiektu, jak podmuch, albo na wyjściu) i szum czujnika $n$ . Każde połączenie „sygnał zewnętrzny → interesujący nas sygnał” opisuje jedna z czterech funkcji, w literaturze nazywanych „bandą czterech” (ang. gang of four):Frank 3.4

Banda czterech

S = \frac{1}{1 + L},\qquad T = \frac{L}{1 + L},\qquad PS = \frac{P}{1 + L},\qquad CS = \frac{C}{1 + L} .

$S$ : zakłócenie na wyjściu → wyjście i wartość zadana → uchyb. $T$ : wartość zadana → wyjście i szum czujnika → wyjście (z minusem). $PS$ : zakłócenie na wejściu obiektu → wyjście. $CS$ : szum czujnika → sterowanie (z minusem), czyli jak bardzo szum szarpie elementem wykonawczym.

Najważniejsza tożsamość jest banalna: $S + T = \frac{1 + L}{1 + L} = 1$ . Przy żadnej częstotliwości nie można mieć jednocześnie małego $S$ (dobre tłumienie zakłóceń) i małego $T$ (dobre tłumienie szumu). Wyjście z tej pułapki jest jedno: zakłócenia są zwykle wolne, a szum szybki. Projektuje się więc pętlę, w której $|S| \ll 1$ przy niskich częstotliwościach, a $|T| \ll 1$ przy wysokich.

Odpowiedź na pytanie z prologu. 30 Hz to ok. 190 rad/s, daleko powyżej częstotliwości przejścia pętli PI drona (3,6 rad/s). Tam $|S| \approx 1$ : pętla drgań ramy nie widzi i ich nie tłumi. Nie wzmacnia ich jednak, bo dla tej pętli $|S|$ nigdzie nie przekracza 1 (zadanie 1.3). Drgania śmigła tłumi się mechanicznie albo filtrem w czujniku, nie pętlą.

Zadania · część 1

4 zadania · ok. 25 min

Dla pętli PI drona przy $\omega = 0{,}3$ rad/s $|S| = 0{,}043$ . Ile razy pętla tłumi zakłócenie na wyjściu o tej częstotliwości? Ile to dB?

Odpowiedź
Ok. 23 razy, czyli −27 dB.
Pokaż, że $|CS|$ dla regulatora PI przy bardzo wysokich częstotliwościach dąży do $K_p$ . Co to oznacza dla szumu czujnika?

Odpowiedź
Przy $\omega \to \infty$ : $L \to 0$ , więc $CS \to C \to K_p$ (człon $K_i/s$ znika). Szybki szum czujnika trafia do elementu wykonawczego pomnożony przez $K_p$ : 0,1 m/s szumu to 0,35 N szarpnięcia przy $K_p = 3{,}5$ .
W symulacji 1 bez silników $|S|$ nigdzie nie przekracza 0 dB. Z silnikami pojawia się wyraźny garb. Dlaczego? Odpowiedz przez całkę Bodego.

Odpowiedź
Bez silników $L \approx \frac{K_p}{s}$ przy wysokich częstotliwościach (spadek jak $1/\omega$ ), więc twierdzenie w wersji „całka = 0” nie obowiązuje: całka jest ujemna (dokładnie $-\frac\pi2K_p$ ). Silniki dokładają biegun, $L$ spada jak $1/\omega^2$ i całka musi wynosić zero: tłumienie przy niskich częstotliwościach trzeba „spłacić” garbem $|S| > 1$ w okolicy $\omega_c$ . Każdy prawdziwy obiekt ma jakieś dodatkowe bieguny, więc garb zawsze gdzieś jest.
Wyprowadź transmitancję od szumu czujnika $n$ do sterowania $u$ i wyjaśnij, dlaczego to $-CS$ .

Odpowiedź
Dla $r = 0$ : $u = C(-y - n)$ , $y = Pu$ . Stąd $u(1 + CP) = -Cn$ , czyli $\frac un = -\frac{C}{1 + L} = -CS$ .

2 Wymagania jako kształt |L|

Ponieważ $|S| \approx 1/|L|$ tam, gdzie $|L| \gg 1$ , i $|T| \approx |L|$ tam, gdzie $|L| \ll 1$ , wymagania na $S$ i $T$ tłumaczą się bezpośrednio na kształt charakterystyki $|L(j\omega)|$ . Tak projektuje się pętle metodą kształtowania pętli (ang. loop shaping):Frank 4.5

niskie częstotliwości (zakłócenia, wolne zmiany wartości zadanej): $|L|$ duże, np. ponad 20–40 dB; całkowanie w regulatorze daje $|L| \to \infty$ przy $\omega \to 0$ , czyli zerowy uchyb ustalony;
okolice $\omega_c$ : przejście przez 0 dB z nachyleniem ok. −20 dB/dek. przez mniej więcej dekadę, żeby faza była daleko od $-180^\circ$ (lekcja 2.3 Odpowiedź częstotliwościowa i charakterystyki Bodego, zadanie 8.3);
wysokie częstotliwości (szum, nieznane rezonanse, niedokładny model): $|L|$ małe i szybko malejące.

Między tymi pasmami jest okolica $\omega_c$ , gdzie $|S|$ i $|T|$ są oba bliskie 1 i gdzie siedzi garb $|S|$ . Jego wysokość, $\max|S|$ , to odwrotność najmniejszej odległości wykresu Nyquista od −1 (lekcja 2.4 Stabilność pętli: punkt −1, zapasy i opóźnienie). Typowy cel: $\max|S| < 2$ (6 dB), czyli wykres nie podchodzi do −1 bliżej niż na 0,5.

Zadania · część 2

3 zadania · ok. 20 min

Wymaganie: zakłócenia wolniejsze niż 0,5 rad/s mają być tłumione co najmniej 10 razy. Co to znaczy dla $|L|$ ?

Odpowiedź
$|S| \le 0{,}1$ , czyli $|L| \gtrsim 10$ (20 dB) dla $\omega \le 0{,}5$ rad/s.
Wymaganie: szum czujnika szybszy niż 50 rad/s ma przechodzić na wyjście najwyżej w 5%. Co to znaczy dla $|L|$ ?

Odpowiedź
$|T| \le 0{,}05$ , czyli $|L| \lesssim 0{,}05$ (−26 dB) dla $\omega \ge 50$ rad/s.
Oba wymagania z zadań 2.1 i 2.2 naraz: $|L| \ge 20$ dB przy 0,5 rad/s i $|L| \le -26$ dB przy 50 rad/s. Czy da się je spełnić pętlą przechodzącą przez 0 dB z nachyleniem −20 dB/dek.?

Odpowiedź
Między 0,5 a 50 rad/s są dwie dekady, a trzeba spaść o 46 dB. Przy −20 dB/dek. spadek wyniósłby tylko 40 dB. Trzeba gdzieś stromiej: np. −20 dB/dek. wokół $\omega_c$ i −40 dB/dek. dalej. Jest to możliwe, ale ciasne: zapas fazy będzie umiarkowany.

3 Szum czujnika i człon D

W lekcji 2.2 Bieguny i zera pętli zamkniętej, linie pierwiastkowe człon D (regulator PD) dał pętli wysokości drona tłumienie, którego regulator P dać nie mógł. Ma jednak ciemną stronę. Pochodna to mnożenie przez $s$ , więc $|C(j\omega)| = K|1 + j\omega T_d|$ rośnie bez końca z częstotliwością. Szum czujnika ma składowe o wysokich częstotliwościach, a $CS \to C$ przy $\omega \to \infty$ . Idealny człon D przepuszcza je do silników z ogromnym wzmocnieniem.

W kodzie wygląda to tak: pochodną liczy się z różnicy dwóch kolejnych pomiarów, $\frac{z_k - z_{k-1}}{\Delta t}$ . Jeśli barometr ma szum o odchyleniu $\sigma$ , różnica ma odchylenie $\sqrt2\sigma$ , a po podzieleniu przez małe $\Delta t$ wychodzi coś ogromnego (przykład 6.3). Rozwiązanie: filtr członu D. Pochodną przepuszcza się przez człon inercyjny o stałej czasowej $T_d/N$ (typowo $N = 5$ –20):

C_\text{PD}(s) = K\left(1 + \frac{T_ds}{1 + T_ds/N}\right) .

Przy niskich częstotliwościach to zwykłe PD. Przy wysokich wzmocnienie rośnie tylko do $K(1 + N)$ , a nie bez końca. Cena: filtr wnosi trochę opóźnienia fazy w okolicy $\omega_c$ , więc nie może być zbyt silny. Szczegóły strojenia filtru w lekcji 3.1 Regulator PID: działanie P, I, D i uchyb ustalony.

Zadania · część 3

3 zadania · ok. 25 min

PD wysokości ma $K = 4$ N/m, $T_d = 0{,}575$ s. Ile wynosi $|C(j\omega)|$ przy 100 rad/s bez filtra? A z filtrem $N = 8$ ?

Odpowiedź
Bez filtra: $4|1 + j57{,}5| \approx 230$ N/m. Z filtrem ograniczenie do $K(1 + N) = 36$ N/m (przy 100 rad/s prawie dokładnie tyle). Ponad sześć razy mniej.
W symulacji 2 porównaj RMS korekty ciągu z filtrem i bez (przy $\sigma = 0{,}1$ m). Czy spadek wysokości po podmuchu wyraźnie się zmienia?

Odpowiedź
Bez filtra RMS jest ok. 2,5 razy większe (ok. 8 N zamiast 3 N), a silniki prawie cały czas siedzą na granicach. Wbrew intuicji spadek po podmuchu jest wtedy większy (ok. 1,1 m zamiast 0,5 m), choć podmuch jest wolny, a filtr usuwa tylko szybkie składowe: nasycony silnik nie ma już zapasu ciągu na kompensację. W liniowym modelu filtr prawie nie zmieniałby reakcji na podmuch (rozdzielenie pasm z części 2), a nieliniowość nasycenia miesza pasma. Dokładne liczby zależą od losowego szumu.
Dlaczego w pętli prędkości drona lepiej mierzyć prędkość akcelerometrem (scałkowanym) niż różniczkować barometr?

Odpowiedź
Całkowanie tłumi szybki szum (zachowuje się jak $1/s$ ), różniczkowanie go wzmacnia ( $s$ ). Scałkowany akcelerometr ma za to dryf przy niskich częstotliwościach. Najlepiej połączyć oba: akcelerometr dla szybkich zmian, barometr dla wolnych. To filtr komplementarny (lekcja 4.5 Rozszerzony filtr Kalmana i fuzja czujników w jednej osi).

4 Korektory wyprzedzające i opóźniające

PD z filtrem ma transmitancję postaci $K\frac{s/\omega_z + 1}{s/\omega_p + 1}$ z $\omega_z < \omega_p$ . Taki człon nazywa się korektorem wyprzedzającym (ang. lead). Ma zero przed biegunem, więc w paśmie między nimi faza jest dodatnia: korektor „wyprzedza” sygnał.

Wynik · korektor wyprzedzający

C(s) = K\,\frac{s/\omega_z + 1}{s/\omega_p + 1},\quad \alpha = \frac{\omega_p}{\omega_z} > 1:\qquad \varphi_\text{max} = \arcsin\frac{\alpha - 1}{\alpha + 1}\ \text{ przy } \omega = \sqrt{\omega_z\omega_p} .

Przy wysokich częstotliwościach wzmocnienie rośnie $\alpha$ razy. Dla $\alpha = 4$ podbicie fazy to $37^\circ$ (kosztem 12 dB więcej szumu), dla $\alpha = 10$ : $55^\circ$ (20 dB), dla $\alpha = 20$ : $65^\circ$ (26 dB).

Przepis: wybierz $\omega_c$ , odczytaj fazę obiektu w $\omega_c$ , policz, ile fazy brakuje do wymaganego zapasu (plus kilka stopni zapasu), dobierz $\alpha$ ze wzoru, umieść środek korektora w $\omega_c$ ( $\omega_z = \omega_c/\sqrt\alpha$ , $\omega_p = \omega_c\sqrt\alpha$ ) i dobierz $K$ tak, żeby $|L(j\omega_c)| = 1$ . Przykład 6.2 robi to dla drona.

Odwrotny człon, $\frac{s/\omega_z + 1}{s/\omega_p + 1}$ z $\omega_p < \omega_z$ , to korektor opóźniający (ang. lag). Podnosi wzmocnienie przy niskich częstotliwościach $\omega_z/\omega_p$ razy, czyli poprawia dokładność, ale kosztuje trochę fazy. Dlatego umieszcza się go ok. dekadę poniżej $\omega_c$ , gdzie strata fazy w $\omega_c$ jest niewielka. Regulator PI to graniczny przypadek korektora opóźniającego z biegunem w zerze.

Zadania · część 4

4 zadania · ok. 35 min

Potrzeba $40^\circ$ fazy przy 5 rad/s. Jakie $\alpha$ , $\omega_z$ i $\omega_p$ ?

Odpowiedź
$\alpha = \frac{1 + \sin 40^\circ}{1 - \sin 40^\circ} \approx 4{,}6$ ; $\omega_z = 5/\sqrt{4{,}6} \approx 2{,}3$ rad/s, $\omega_p = 5\sqrt{4{,}6} \approx 10{,}7$ rad/s.
Wyprowadź $\alpha$ z wymaganego $\varphi_\text{max}$ , odwracając wzór z ramki.

Odpowiedź
$\sin\varphi = \frac{\alpha - 1}{\alpha + 1}$ , czyli $\alpha\sin\varphi + \sin\varphi = \alpha - 1$ i $\alpha = \frac{1 + \sin\varphi}{1 - \sin\varphi}$ .
Korektor opóźniający ma podnieść wzmocnienie przy niskich częstotliwościach 10 razy, a w $\omega_c = 2$ rad/s ma kosztować najwyżej ok. $6^\circ$ fazy. Gdzie umieścić $\omega_z$ i $\omega_p$ ?

Odpowiedź
$\omega_z/\omega_p = 10$ . Faza w $\omega_c$ : $\arctan(\omega_c/\omega_z) - \arctan(\omega_c/\omega_p)$ . Dla $\omega_z = 0{,}2$ , $\omega_p = 0{,}02$ rad/s: $84{,}3^\circ - 89{,}4^\circ \approx -5^\circ$ ✓. Dekada poniżej $\omega_c$ to dobra reguła.
W symulacji 3 zwiększ $\alpha$ do 15 przy tym samym $\omega_z$ . Zapas fazy rośnie, ale coś się pogarsza. Co?

Odpowiedź
Wzmocnienie dla szumu (przy $\omega \to \infty$ ) rośnie do $K\alpha$ , a środek korektora $\sqrt{\omega_z\omega_p}$ przesuwa się od $\omega_c$ . Więcej szumu w silnikach za mniej wykorzystanej fazy. Przy dużym $\alpha$ trzeba też przesunąć zero.

5 Granice, których nie przeskoczysz

Niektóre ograniczenia nie zależą od sprytu projektanta, tylko od obiektu. Trzy najważniejsze reguły (orientacyjne, z Goodwina i Åströma):

Reguły · fundamentalne ograniczenia

Opóźnienie $\theta$ : $\omega_c \lesssim 1/\theta$ (dokładniej $0{,}8/\theta$ przy zapasie fazy $45^\circ$ , lekcja 2.4 Stabilność pętli: punkt −1, zapasy i opóźnienie).

Zero w prawej półpłaszczyźnie w $z$ : $\omega_c \lesssim z/2$ . Szybsza pętla „zobaczy” odpowiedź w złą stronę i będzie z nią walczyć (lekcja 2.2 Bieguny i zera pętli zamkniętej, linie pierwiastkowe).

Biegun niestabilny w $p$ : $\omega_c \gtrsim 2p$ . Pętla musi być szybsza niż niestabilność, inaczej nie zdąży jej opanować. Całka Bodego dostaje wtedy dodatnią prawą stronę $\pi\sum p_i$ : każdy niestabilny biegun to większy garb $|S|$ .

Gdy obiekt ma i niestabilny biegun, i prawe zero, i $z < 4p$ (mniej więcej), wymagania $\omega_c \gtrsim 2p$ i $\omega_c \lesssim z/2$ się wykluczają: takiego obiektu nie da się dobrze ustabilizować żadnym regulatorem liniowym. Klasyczny przykład to rower jadący tyłem lub z kierownicą sterującą tylnym kołem. Tak samo trzeba myśleć o zakłóceniach o częstotliwości bliskiej $\omega_c$ : nie da się ich stłumić, a garb $|S|$ może je nawet wzmocnić.

Zadania · część 5

3 zadania · ok. 20 min

Odpowiedź wysokości samolotu na ster ma zero w $+2$ rad/s. Jak szybka może być bezpośrednia pętla wysokości? Jaki czas narastania?

Odpowiedź
$\omega_c \lesssim 1$ rad/s; $t_r \approx 1{,}5/\omega_c \approx 1{,}5$ s lub więcej.
Rakieta bez sterowania jest niestabilna z biegunem w $+3$ 1/s (przewraca się jak ołówek). Jak szybka musi być pętla orientacji? Co z opóźnieniem w tej pętli?

Odpowiedź
$\omega_c \gtrsim 6$ rad/s. Przy zapasie fazy $45^\circ$ opóźnienie musi spełniać $\theta \lesssim 0{,}8/6 \approx 0{,}13$ s. Szybki obiekt niestabilny wymaga szybkich czujników i obliczeń (lekcja 11 Rakieta: orientacja i ciąg wektorowany).
Dlaczego kulkę na odwróconej misce (lekcja 1.1) łatwiej utrzymać, gdy misa jest płaska, a trudniej, gdy jest stroma?

Odpowiedź
Stroma misa to szybsza niestabilność, czyli większe $p$ (kulka szybciej się stacza). Pętla musi mieć $\omega_c \gtrsim 2p$ , a z opóźnieniem regulatora (wiatrak musi się rozpędzić) granica $\omega_c \lesssim 1/\theta$ szybko staje się nieosiągalna. Tak samo łatwiej balansować długim kijem na palcu niż krótkim.

6 Metoda i przykłady rozwiązane

Metoda: kształtowanie pętli

Pasma: gdzie są zakłócenia (zwykle nisko), gdzie szum i niepewny model (wysoko). $\omega_c$ wybierz między nimi.
Granice: opóźnienie, prawe zera, niestabilne bieguny ograniczają $\omega_c$ z góry lub z dołu.
Niskie częstotliwości: całkowanie (PI) albo korektor opóźniający dla dokładności.
Okolica $\omega_c$ : korektor wyprzedzający (lub PD z filtrem) dla zapasu fazy 45–60°.
Wysokie częstotliwości: filtr, żeby $|CS|$ nie szarpało elementem wykonawczym.
Sprawdzenie: $\max|S| < 2$ , symulacja z szumem i nasyceniem.

Przykład 6.1 Co pętla PI drona robi z różnymi sygnałami

Pętla prędkości drona ( $m = 1$ kg, PI z $K_p = 3{,}5$ , $K_i = 4$ ). Jak przenosi: podmuch o częstotliwości 0,3 rad/s, szum czujnika prędkości przy 30 rad/s (na prędkość i na ciąg)?

Podmuch (siła na wejściu obiektu): $|PS(j0{,}3)| \approx 0{,}073$ (m/s)/N. Podmuch 1 N daje wahania prędkości 0,07 m/s; bez pętli byłoby to $|P(j0{,}3)| = 1/|0{,}5 + 0{,}3j| \approx 1{,}7$ m/s.
Szum przy 30 rad/s: $|T(j30)| \approx 0{,}12$ , czyli 12% szumu przechodzi na prawdziwą prędkość.
Ten sam szum na ciąg: $|CS(j30)| \approx 3{,}5$ N/(m/s), czyli prawie $K_p$ .

Wynik: wolny podmuch stłumiony ok. 23 razy; szybki szum prawie nie rusza drona, ale szarpie silnikami ze wzmocnieniem $K_p$ .

Sprawdzenie: zgadza się z symulacją 1 ✓. Kto chce mniej szarpania silników, musi zmniejszyć $K_p$ albo odfiltrować pomiar, i za każde z tych rozwiązań płaci wolniejszą pętlą.

Przykład 6.2 Korektor wyprzedzający dla wysokości drona

Obiekt $G = \frac{1}{s(s + 0{,}5)}$ (od ciągu do wysokości, $m = 1$ kg). Cel: $\omega_c = 2$ rad/s, zapas fazy $50^\circ$ . Zaprojektuj korektor wyprzedzający.

Faza $G$ w 2 rad/s: $-90^\circ - \arctan 4 \approx -166^\circ$ , czyli zapas $14^\circ$ . Brakuje $36^\circ$ ; dokładamy $5^\circ$ zapasu: $41^\circ$ .
$\alpha = \frac{1 + \sin 41^\circ}{1 - \sin 41^\circ} \approx 4{,}8$ ; $\omega_z = 2/\sqrt{4{,}8} \approx 0{,}91$ , $\omega_p = 2\sqrt{4{,}8} \approx 4{,}4$ rad/s.
$K$ z warunku $|L(j2)| = 1$ : $K \approx 1{,}88$ .
Wynik w python-control: $\omega_c = 2{,}0$ rad/s, zapas fazy $55^\circ$ , przeregulowanie 17% (zero korektora w $-0{,}91$ !), czas ustalania 2,9 s.

Wynik: $C(s) = 1{,}88\,\frac{s/0{,}91 + 1}{s/4{,}4 + 1}$ . Szum przy wysokich częstotliwościach wzmacniany $K\alpha \approx 9$ razy, a nie bez końca jak w idealnym PD.

Sprawdzenie: regulator PD z lekcji 2.2 dawał zapas $68^\circ$ , ale jego $|C|$ przy 100 rad/s wynosiło 230. Korektor daje mniej fazy, za to 25 razy mniej szarpania silnikami ✓. To ten sam kompromis co filtr członu D w części 3.

Przykład 6.3 Dlaczego nikt nie różniczkuje surowego barometru

Barometr drona ma szum o odchyleniu 0,3 m, regulator działa co 0,02 s. PD: $K = 4$ N/m, $T_d = 0{,}575$ s. Oszacuj szum w korekcie ciągu od członu D bez filtra.

Różnica dwóch niezależnych pomiarów: odchylenie $\sqrt2\cdot 0{,}3 \approx 0{,}42$ m.
Pochodna: $0{,}42/0{,}02 \approx 21$ m/s (!).
Korekta ciągu: $KT_d\cdot 21 \approx 49$ N.

Wynik: ok. 49 N szumu przy zapasie ciągu 9,8 N: silniki byłyby cały czas w nasyceniu, raz na maksimum, raz na zerze.

Sprawdzenie: sama część P daje tylko $K\cdot 0{,}3 = 1{,}2$ N ✓. Dlatego prędkość mierzy się innym czujnikiem albo filtruje, a człon D ma zawsze filtr.

Przykład 6.4 Garb, którego nie da się usunąć

Pętla $L = \frac{4}{(s + 1)^3}$ . Sprawdź numerycznie całkę Bodego i znajdź $\max|S|$ .

$L$ ma względny stopień 3 (trzy bieguny, brak zer) i jest stabilne, więc $\int_0^\infty\ln|S|\,\mathrm d\omega = 0$ .
Numerycznie (scipy): $-0{,}0000$ ✓.
$\max|S| = 3$ (najmniejsza odległość od −1 to 0,33, lekcja 2.4).

Wynik: głębokie tłumienie przy niskich częstotliwościach ( $|S(0)| = 0{,}2$ ) musi być spłacone garbem $|S| = 3$ w okolicy 1,5 rad/s.

Sprawdzenie: mniejsze $K$ zmniejsza tłumienie przy niskich częstotliwościach i garb jednocześnie ✓. Nie ma ustawienia, które daje tylko korzyści.

7 Błędne intuicje, których trzeba się oduczyć

„Dobra pętla tłumi zakłócenia na wszystkich częstotliwościach.”: Całka Bodego tego zabrania: gdzieś $|S| > 1$ . Przy wysokich częstotliwościach pętla zakłóceń nie widzi, a w okolicy $\omega_c$ może je wzmacniać.
„Człon D przewiduje przyszłość, więc zawsze pomaga.”: Dodaje fazy w okolicy $\omega_c$ , ale wzmacnia szum przy wysokich częstotliwościach. Bez filtra w praktyce jest bezużyteczny.
„Szum, którego dron nie odczuwa, jest nieszkodliwy.”: Może nie ruszać wyjściem ( $T$ małe), a mimo to szarpać silnikami ( $CS$ duże): grzanie, zużycie, nasycenie.
„Każdy obiekt da się dobrze ustabilizować, wystarczy sprytny regulator.”: Opóźnienia, prawe zera i niestabilne bieguny wyznaczają granice $\omega_c$ , a gdy się wykluczają, żaden regulator liniowy nie pomoże.
„ $S$ i $T$ to dwa niezależne pokrętła.”: $S + T = 1$ . Poprawiając jedną funkcję przy danej częstotliwości, pogarszasz drugą.

8 Zadania do przemyślenia

Te zadania wymagają więcej myślenia niż liczenia.

Zadania do przemyślenia

5 zadań · ok. 1,5 godziny

Słuchawki z redukcją szumu. Słuchawki z aktywną redukcją szumu mają mikrofon w muszli i pętlę, która odejmuje zmierzony dźwięk. Dobrze tłumią buczenie samolotu (ok. 100 Hz), słabo głosy (1–4 kHz). Wyjaśnij przez $S$ i całkę Bodego. Dlaczego czasem słychać lekki szum przy kilku kHz?
Rozwiązanie
1. Pętla ma duże $|L|$ przy niskich częstotliwościach ( $|S| \ll 1$ , tłumienie buczenia). Przy wyższych głośnik, mikrofon i elektronika wnoszą opóźnienia, więc $\omega_c$ musi być umiarkowane.
2. Całka Bodego: tłumienie przy niskich częstotliwościach musi być spłacone $|S| > 1$ wyżej, czyli w okolicy $\omega_c$ (kilka kHz pętla lekko wzmacnia hałas). Dlatego słuchawki mają też pasywne wygłuszenie, które działa na wysokie częstotliwości.
Dokładność za fazę. Regulator PI to korektor opóźniający z biegunem w zerze. Dlaczego zero regulatora PI ( $-K_i/K_p$ ) umieszcza się zwykle kilka razy poniżej $\omega_c$ ?
Rozwiązanie
1. Człon $\frac{K_ps + K_i}{s}$ ma fazę $-90^\circ + \arctan(\omega K_p/K_i)$ . Daleko powyżej zera faza jest bliska $0^\circ$ , blisko zera bliska $-45^\circ$ do $-90^\circ$ .
2. Zero kilka razy poniżej $\omega_c$ daje w $\omega_c$ stratę fazy kilkunastu stopni, a przy niskich częstotliwościach pełne całkowanie. W pętli prędkości drona zero leży w 1,14 rad/s przy $\omega_c = 3{,}6$ rad/s: strata ok. $18^\circ$ , przy zapasie fazy $80^\circ$ akceptowalna.
Model niepewny przy wysokich częstotliwościach. Model drona $\frac{1}{s(s + 0{,}5)}$ ignoruje zginanie ramion i aerodynamikę śmigieł powyżej ok. 50 rad/s. Dlaczego dobrze, że $|T|$ jest tam małe?
Rozwiązanie
1. Względny błąd modelu $\Delta$ (prawdziwe $P = P_0(1 + \Delta)$ ) nie zdestabilizuje pętli, jeśli $|T\Delta| < 1$ na wszystkich częstotliwościach (twierdzenie o małym wzmocnieniu, Frank rozdz. 7).
2. Przy wysokich częstotliwościach $|\Delta|$ może być rzędu 1 lub więcej, więc potrzeba $|T| \ll 1$ . Małe $|T|$ wysoko to nie tylko ochrona przed szumem, ale też odporność na to, czego model nie wie (lekcja 5.2 LQG i odporność).
Gdzie postawić $\omega_c$ ? Zakłócenia dla drona to podmuchy o pasmie do ok. 2 rad/s. Szum barometru jest istotny od ok. 10 rad/s, a rezonans ramy jest przy 80 rad/s. Pętla ma opóźnienie ok. 0,03 s. Zaproponuj $\omega_c$ i uzasadnij.
Rozwiązanie
1. Opóźnienie: $\omega_c \lesssim 0{,}8/0{,}03 \approx 27$ rad/s. Szum: chcemy $|T|$ małe od 10 rad/s, czyli $\omega_c$ wyraźnie poniżej 10.
2. Podmuchy do 2 rad/s chcemy tłumić, więc $\omega_c$ powinno być kilka razy wyżej. Kompromis: ok. 4–6 rad/s, z regulatorem PI i filtrem pomiaru. Rezonans przy 80 rad/s jest wtedy ponad dekadę wyżej i przy szybkim spadku $|L|$ niegroźny.
Rower tyłem. Rower z kierownicą sterującą tylnym kołem jest niestabilny (biegun $p$ ) i ma prawe zero ( $z$ ) w odpowiedzi kierunku na skręt. Dla pewnej prędkości $p \approx z$ . Czy człowiek może takim rowerem jeździć? Odpowiedz regułami z części 5.
Rozwiązanie
1. Potrzeba $\omega_c \gtrsim 2p$ (opanować niestabilność) i $\omega_c \lesssim z/2$ (prawe zero). Przy $p \approx z$ obie nierówności się wykluczają.
2. Nawet najlepszy regulator liniowy sobie nie poradzi. Doświadczenia z takimi rowerami opisywane w literaturze (Åström i in.) potwierdzają, że są w praktyce niejezdne.

9 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Co opisują

S

T

PS

CS

Zakłócenie na wyjściu → wyjście; szum i wartość zadana → wyjście; zakłócenie na wejściu → wyjście; szum → sterowanie.

2 Dlaczego nie można mieć małego

S

T

jednocześnie?

Bo $S + T = 1$ przy każdej częstotliwości.

3 Co mówi całka Bodego?

Dla stabilnej pętli otwartej $L$ opadającej co najmniej jak $1/\omega^2$ : $\int_0^\infty\ln|S|\,\mathrm d\omega = 0$ ; tłumienie w jednym paśmie oznacza wzmacnianie w innym.

4 Jaki kształt

|L|

jest dobry?

Duże przy niskich częstotliwościach, przejście przez 0 dB z nachyleniem ok. −20 dB/dek., małe i szybko malejące przy wysokich.

5 Dlaczego człon D potrzebuje filtra?

Bo $|C| \propto \omega$ wzmacnia szybki szum; filtr ogranicza wzmocnienie do $K(1 + N)$ .

6 Ile fazy daje korektor wyprzedzający o

\alpha = 10

Ok. $55^\circ$ przy $\sqrt{\omega_z\omega_p}$ , kosztem 20 dB więcej wzmocnienia szumu.

7 Jakie granice stawiają prawe zero i niestabilny biegun?

$\omega_c \lesssim z/2$ i $\omega_c \gtrsim 2p$ .

8 Gdzie umieszcza się korektor opóźniający?

Ok. dekadę poniżej $\omega_c$ , żeby podnieść wzmocnienie przy niskich częstotliwościach bez dużej straty fazy.

10 Karta wzorów i co dalej

Funkcje pętli

$S = \frac{1}{1 + L}$ , $\;T = \frac{L}{1 + L}$ , $\;S + T = 1$

$PS$ : zakłócenie na wejściu → wyjście; $\;CS$ : szum → sterowanie

$|L| \gg 1$ : $S \approx 1/L$ ; $\;|L| \ll 1$ : $T \approx L$

Bode: $\int_0^\infty\ln|S|\,\mathrm d\omega = \pi\sum p_i^{\text{niest.}}$ (0 dla stabilnego)

cel: $\max|S| < 2$

Korektory i granice

lead: $K\frac{s/\omega_z + 1}{s/\omega_p + 1}$ , $\alpha = \frac{\omega_p}{\omega_z}$ , $\;\sin\varphi_\text{max} = \frac{\alpha - 1}{\alpha + 1}$

$\alpha = \frac{1 + \sin\varphi}{1 - \sin\varphi}$ , środek w $\sqrt{\omega_z\omega_p} = \omega_c$

PD z filtrem: $K\left(1 + \frac{T_ds}{1 + T_ds/N}\right)$ , $\;|C|_\text{max} = K(1 + N)$

lag: dekadę poniżej $\omega_c$ ; PI = lag z biegunem w 0

$\omega_c \lesssim 1/\theta$ , $\;\omega_c \lesssim z/2$ , $\;\omega_c \gtrsim 2p$

Do przeczytania

Obowiązkowo: S. A. Frank, Control Theory Tutorial, rozdz. 3.4 (wrażliwości i kompromisy) i 4.5 (wrażliwości na wykresie Bodego), książka w otwartym dostępie.
Dla chętnych: G. C. Goodwin i in., Control System Design, rozdz. 8 (fundamentalne ograniczenia SISO) i 9 (kompromisy w częstotliwości); H. W. Bode, Network Analysis and Feedback Amplifier Design (1945), dla ciekawych historii.

To koniec części II. Mamy już cały klasyczny warsztat: transmitancje, bieguny i zera, wykresy Bodego i Nyquista, zapasy stabilności i kompromis między zakłóceniami a szumem. Część III wraca do praktyki: regulator PID w pełnej wersji, jego strojenie, kaskady, nasycenie, sprzężenie w przód i to, jak zapisać regulator w programie mikrokontrolera.