5.2 LQG i odporność · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Prolog: „There are none”

W latach 60. i 70. teoria sterowania optymalnego święciła triumfy. Filtr Kalmana prowadził nawigację Apollo, LQR stał się standardem projektowania, a pod koniec dekady regulator LQG (ang. linear-quadratic-Gaussian) uchodził za ostateczną odpowiedź na pytanie, jak sterować układem liniowym z szumami. Klasyczne zapasy fazy i wzmocnienia uważano za przeżytek inżynierów z epoki wzmacniaczy.

W 1978 r. w IEEE Transactions on Automatic Control ukazała się dwustronicowa notatka Johna Doyle’a „Guaranteed margins for LQG regulators”. Jej streszczenie składało się z trzech słów: „There are none”, czyli „Nie ma żadnych”. Doyle podał prosty układ drugiego rzędu, w którym LQG ma dowolnie małe zapasy stabilności. To otrzeźwienie skierowało automatykę lat 80. ku sterowaniu odpornemu: metodom, które projektują pętlę z myślą o błędach modelu.

Pytanie na start. LQR dla pewnego obiektu dopuszcza dowolny wzrost wzmocnienia i spadek do 0,16. Kalman dla tego obiektu jest optymalny. O ile może się zmienić wzmocnienie obiektu, zanim LQG z tymi dwoma składnikami straci stabilność? Odpowiedź w części 2.

1 Regulator LQG

Obiekt z szumami: $\dot{\mathbf x} = A\mathbf x + B\mathbf u + \mathbf w$ , $\mathbf y = C\mathbf x + \mathbf v$ (szumy białe, gaussowskie, kowariancje $W$ i $V$ ). Szukamy regulatora, który minimalizuje oczekiwany koszt kwadratowy $E\left[\int(\mathbf x^TQ\mathbf x + \mathbf u^TR\mathbf u)\,\mathrm dt\right]$ , mając tylko pomiary $\mathbf y$ .Tewari 2.12

Odpowiedź (twierdzenie o separacji w wersji stochastycznej): optymalny jest LQR z lekcji 4.3 LQR: koszt zamiast biegunów sterowany estymatą z filtru Kalmana z lekcji 4.4 Filtr Kalmana:

\dot{\hat{\mathbf x}} = A\hat{\mathbf x} + B\mathbf u + L(\mathbf y - C\hat{\mathbf x}),\qquad \mathbf u = -K\hat{\mathbf x} .

$K$ zależy tylko od $Q$ , $R$ (równanie Riccatiego regulatora), $L$ tylko od $W$ , $V$ (dualne równanie filtru). Bieguny całości to bieguny LQR i filtru (lekcja 4.2 Obserwator stanu i obserwowalność). Całość to regulator dynamiczny rzędu $n$ o transmitancji od $\mathbf y$ do $-\mathbf u$ :

C(s) = K\,(sI - A + BK + LC)^{-1}L .

Zadania · część 1

2 zadania · ok. 15 min

Wyprowadź transmitancję regulatora LQG $C(s)$ z równań obserwatora i $u = -K\hat{\mathbf x}$ .

Odpowiedź
Podstawiając $u = -K\hat{\mathbf x}$ : $\dot{\hat{\mathbf x}} = (A - BK - LC)\hat{\mathbf x} + L\mathbf y$ . Stąd $\hat{\mathbf x} = (sI - A + BK + LC)^{-1}L\,\mathbf y$ i $-u = K\hat{\mathbf x} = C(s)\,\mathbf y$ .
Ile stanów ma regulator LQG dla drona w płaszczyźnie (4 stany)? A klasyczny PID?

Odpowiedź
LQG: 4 (tyle co obiekt). PID: 1–2 (całka i filtr D). LQG jest regulatorem wyższego rzędu „z modelem w środku”, co jest jego siłą (wykorzystuje wiedzę o obiekcie) i słabością (zależy od tego, czy model jest dobry).

2 Kontrprzykład Doyle’a

Obiekt Doyle’a:

A = \begin{bmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix},\quad C = \begin{bmatrix}1 & 0\end{bmatrix},\qquad Q = q\begin{bmatrix}1 & 1\\ 1 & 1\end{bmatrix},\ R = 1,\qquad W = \sigma\begin{bmatrix}1 & 1\\ 1 & 1\end{bmatrix},\ V = 1 .

Obiekt jest niestabilny (podwójny biegun w $+1$ ), ale sterowalny i obserwowalny. Sam LQR ma klasyczne gwarancje: przy $q = 100$ pętla przecięta na wejściu obiektu dopuszcza wzmocnienie od 0,16 do nieskończoności, $\max|S| = 1$ . LQG z $q = \sigma = 100$ dopuszcza wzmocnienie tylko od 0,938 do 1,007, a $\max|S| \approx 150$ : wykres Nyquista przechodzi w odległości 0,007 od punktu −1.

Odpowiedź na pytanie z prologu: o mniej niż 1% w górę i ok. 6% w dół. Przy $q = \sigma = 1000$ wystarczy wzrost o 0,09%. Gwarancje LQR obowiązują tylko przy pełnym, dokładnym stanie. Filtr Kalmana potrzebuje wiedzieć, jakie sterowanie trafia do obiektu ( $B\mathbf u$ w predykcji). Gdy wzmocnienie obiektu się zmienia, model w filtrze i obiekt rozjeżdżają się dokładnie w tym kierunku, na który pętla jest najbardziej wrażliwa.

Zadania · część 2

3 zadania · ok. 25 min

W symulacji 1 (tryb Doyle’a) odczytaj zakres dopuszczalnego wzmocnienia LQG dla $q = 1$ , 10, 100, 1000.

Odpowiedź
Ok. 0,92–1,06; 0,91–1,03; 0,94–1,007; 0,973–1,001. Przedział kurczy się do zera wokół 1. (Symulacja sprawdza wzmocnienia na siatce, więc ostatnia cyfra może się różnić.)
Dlaczego zapas LQR dotyczy pętli przeciętej na wejściu obiektu, a nie gdzie indziej?

Odpowiedź
Gwarancja $|1 + L| \ge 1$ wynika z równania Riccatiego dla $L(s) = K(sI - A)^{-1}B$ , czyli pętli „sterowanie → obiekt → stan → $K$ → sterowanie”. W innym miejscu (np. na wyjściu) pętla to inna transmitancja i gwarancji nie ma. Błędy elementu wykonawczego (siła silnika) działają właśnie na wejściu.
Zasada separacji (lekcja 4.2) mówi, że bieguny LQG to bieguny LQR i filtru. Jak to pogodzić z utratą stabilności przy małym błędzie?

Odpowiedź
Separacja zakłada dokładny model. Błąd wzmocnienia psuje trójkątną strukturę macierzy układu: bieguny przestają być sumą obu zestawów i mogą przejść na prawą stronę. Separacja to wynik o nominalnym modelu, a nie o odporności.

3 Jak mierzyć odporność

Zapasy fazy i wzmocnienia z lekcji 2.4 mierzą odporność na jeden rodzaj błędu naraz. Ogólniejszy opis: prawdziwy obiekt to $G(1 + \Delta)$ , gdzie $\Delta(s)$ to nieznany względny błąd modelu, o którym wiemy tylko, że $|\Delta(j\omega)| \le \ell(\omega)$ (zwykle mały przy niskich częstotliwościach, duży przy wysokich). Z kryterium Nyquista (a ogólniej z twierdzenia o małym wzmocnieniu) wynika warunek odpornej stabilności dla nominalnie stabilnej pętli i każdego stabilnego $\Delta$ z $|\Delta(j\omega)| \le \ell(\omega)$ :Frank 7

\text{pętla odpornie stabilna}\iff |T(j\omega)|\,\ell(\omega) < 1\quad\text{dla każdego } \omega .

Dlatego w lekcji 2.5 Zakłócenia, szum i wrażliwość: S, T i kształtowanie pętli chcieliśmy małego $|T|$ przy wysokich częstotliwościach. Druga miara, $\max|S|$ , to odwrotność najmniejszej odległości Nyquista od −1: obejmuje jednocześnie błąd wzmocnienia i fazy.

Dla układów o wielu wejściach i wyjściach (MIMO) transmitancja jest macierzą, a „wzmocnienie” zależy od kierunku sygnału. Rolę modułu przejmują wartości osobliwe macierzy $G(j\omega)$ : największa $\bar\sigma$ to największe wzmocnienie po wszystkich kierunkach, najmniejsza $\underline\sigma$ najmniejsze. Kryteria odporności MIMO wyglądają tak samo jak SISO, tylko z $\bar\sigma$ zamiast modułu.

Zadania · część 3

3 zadania · ok. 20 min

Błąd modelu drona: do 10% przy niskich częstotliwościach, do 200% powyżej 50 rad/s (niemodelowane drgania ramy). Jakie $|T|$ wolno mieć przy 1 rad/s i przy 50 rad/s?

Odpowiedź
$|T| < 1/0{,}1 = 10$ przy 1 rad/s (praktycznie bez ograniczenia, typowo $|T| \approx 1$ ). $|T| < 1/2 = 0{,}5$ przy 50 rad/s: pętla musi tam już wyraźnie opadać.
Pokaż, że $\max|S| = 2$ gwarantuje zapas wzmocnienia co najmniej 2 (w górę) i zapas fazy co najmniej $29^\circ$ .

Odpowiedź
Nyquist nie wchodzi do koła o promieniu $1/2$ wokół −1. Przy fazie $-180^\circ$ punkt $L$ leży na prawo od $-1/2$ (między $-1/2$ a 0; przypadek $L \le -3/2$ , czyli pętlę stabilną warunkowo, pomijamy), więc $|L| \le 1/2$ i wzmocnienie może wzrosnąć dwukrotnie. Przy $|L| = 1$ : punkt na okręgu jednostkowym poza kołem o promieniu 0,5 wokół −1 ma kąt od −1 co najmniej $2\arcsin(0{,}25) = 29^\circ$ .
Macierz $G = \begin{bmatrix}10 & 9\\ 9 & 8\end{bmatrix}$ (statycznie). Policz wartości osobliwe. Co to znaczy dla regulatora?

Odpowiedź
Macierz symetryczna, więc wartości osobliwe to moduły wartości własnych: $\lambda = 9 \pm \sqrt{82}$ , czyli ok. 18,06 i 0,055. W jednym kierunku obiekt wzmacnia 330 razy mocniej niż w drugim (źle uwarunkowany, por. kolumna destylacyjna). Regulator, który „odwraca” obiekt, będzie w słabym kierunku wzmacniał błędy ogromnie.

4 Odzyskiwanie pętli (LTR)

Doyle i Stein (1979) zaproponowali lekarstwo, które nazwali odzyskiwaniem pętli (ang. loop transfer recovery, LTR). Projektujemy filtr Kalmana tak, jakby na wejściu obiektu działał dodatkowy, coraz silniejszy szum:

W = W_0 + q^2BB^T,\qquad q \to \infty .

Filtr „widzi”, że sterowanie może być dowolnie zaburzone, przestaje polegać na $B\mathbf u$ w modelu i coraz bardziej ufa pomiarom. Dla obiektów minimalnofazowych (bez zer w prawej półpłaszczyźnie) pętla LQG przecięta na wejściu dąży do pętli LQR i odzyskuje jej zapasy. Cena: szybki filtr przepuszcza więcej szumu pomiaru, więc $q$ dobiera się jako kompromis.

Dla wysokości drona (LQR z $Q = \operatorname{diag}(100, 0)$ , barometr 0,1 m): sam LQR ma zapas fazy $67^\circ$ , LQG bez LTR $39^\circ$ i $\max|S| = 1{,}87$ . Z $q = 100$ : $58^\circ$ , $\max|S| = 1{,}18$ . Z $q = 1000$ : $64^\circ$ , $\max|S| = 1{,}06$ , prawie jak LQR.

Zadania · część 4

2 zadania · ok. 15 min

W symulacji 1 (tryb „dron”) porównaj bieguny filtru dla $q = 0$ , 10, 100, 1000 (z pliku weryfikacyjnego: $\omega_0 \approx 3{,}2$ ; 10; 32; 100 rad/s). Dlaczego szybki filtr jest ceną za odporność?

Odpowiedź
Szybkie bieguny filtru to duże $L$ , czyli silne poprawki z każdego pomiaru barometru: szum 0,1 m jest wzmacniany do estymaty prędkości i dalej do silników (lekcja 4.2). Odporność na błąd wzmocnienia kupujemy wrażliwością na szum.
Dlaczego LTR nie działa dla obiektów z zerem w prawej półpłaszczyźnie?

Odpowiedź
Przy $q \to \infty$ filtr dąży do odwrócenia dynamiki obiektu (jego bieguny zmierzają do zer obiektu). Odwrócenie prawego zera daje niestabilny biegun w regulatorze, a skasowanie go jest nieodporne. Ograniczenia z lekcji 2.5 (prawe zero ogranicza pasmo) obowiązują każdy regulator, także LQG.

5 H∞: odporność wprost w kryterium

LQG minimalizuje średni koszt przy znanych szumach. Kryterium H∞ (George Zames, 1981; rozwiązanie w przestrzeni stanów: Doyle, Glover, Khargonekar i Francis, 1989) minimalizuje najgorszy przypadek: największe wzmocnienie od zakłóceń i błędów modelu do uchybów, po wszystkich częstotliwościach i kierunkach,

\|T_{zw}\|_\infty = \sup_\omega \bar\sigma\big(T_{zw}(j\omega)\big) .

W praktyce projektant wybiera wagi częstotliwościowe: „ $|S|$ ma być mały poniżej 1 rad/s”, „ $|T|$ ma być mały powyżej 50 rad/s”, „sterowanie nie może być duże powyżej 20 rad/s”. Algorytm znajduje regulator, który spełnia wszystkie te wymagania naraz albo mówi, że to niemożliwe. To kształtowanie pętli z lekcji 2.5, tylko dla wielu wejść i wyjść i z gwarancją. Regulator wynika znowu z dwóch równań Riccatiego. Tewari omawia H₂ i H∞ w podrozdziale 2.12.2, a pełny wykład daje podręcznik Skogestada i Postlethwaite’a.

Zadania · część 5

2 zadania · ok. 15 min

Co oznacza $\|S\|_\infty = 1{,}5$ dla pętli SISO?

Odpowiedź
$\max_\omega|S(j\omega)| = 1{,}5$ : Nyquist nie podchodzi do −1 bliżej niż na $1/1{,}5 = 0{,}67$ ; zakłócenia nie są nigdzie wzmacniane więcej niż 1,5 razy.
Dlaczego normę H₂ (LQG) nazywa się „średnią”, a H∞ „najgorszym przypadkiem”?

Odpowiedź
$\|T\|_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int|T(j\omega)|^2\mathrm d\omega$ : całka, czyli suma po wszystkich częstotliwościach (odpowiedź na biały szum). $\|T\|_\infty$ to maksimum: odpowiedź na najgorszą możliwą sinusoidę albo najgorszy błąd modelu. Mały $\|T\|_2$ nie wyklucza wąskiego, wysokiego szczytu, który decyduje o odporności (jak u Doyle’a).

6 Przewodnik: Tewari 2.12 i co dalej

Podrozdział 2.12 Tewariego („Robust Linear Time-Invariant Control”) streszcza tę lekcję: LQG/LTR (2.12.1) i metody H₂/H∞ (2.12.2), z zapasami MIMO opartymi na wartościach osobliwych. Po tej lekcji rozdział 2 Tewariego da się czytać w całości. Kolejne rozdziały stosują te narzędzia do samolotów (rozdz. 3), rakiet (rozdz. 4–5: naprowadzanie i orientacja) oraz statków kosmicznych (rozdz. 6–7).

Gdzie dalej w naszym kursie:

Dynamika lotu: orientacja w 3D i fuzja na kwaternionach (lekcja 3 Fuzja czujników w 3D: estymacja orientacji na kwaternionach), stateczność i mody samolotu, augmentacja i autopilot (lekcje 8 Augmentacja stateczności: tłumik odchylenia i pochylenia i 9 Autopilot: pętle wewnętrzne i zewnętrzne), rakieta z ciągiem wektorowanym (lekcja 11 Rakieta: orientacja i ciąg wektorowany) i naprowadzanie (lekcja 12 Naprowadzanie: trajektoria nominalna i śledzenie odchyłek), gdzie wraca zasada maksimum z lekcji 5.1.
Astronautyka: manewry orbitalne jako zadania optymalne (impulsy, bang-off-bang), wyznaczanie i sterowanie orientacją.

7 Metoda i przykłady rozwiązane

Metoda: regulator ze sprzężeniem od estymaty, który przetrwa rzeczywistość

Projekt nominalny: LQR + Kalman (LQG).
Sprawdzenie odporności pętli przeciętej na wejściu (i na wyjściu): zakres wzmocnienia, $\max|S|$ , $|T|\ell < 1$ .
Jeśli za mało: LTR (fikcyjny szum $q^2BB^T$ ), kompromis z szumem pomiaru.
Jeśli wymagania są częstotliwościowe i MIMO: H∞ z wagami.
Zawsze: symulacja z błędami parametrów (masa, ciąg, opóźnienie) i z szumem.

Przykład 7.1 Doyle liczbami

Obiekt Doyle’a, $q = \sigma = 100$ . Porównaj odporność LQR i LQG.

$K = [12{,}2;\ 12{,}2]$ , $L = [12{,}2;\ 12{,}2]^T$ (z symetrii zadania).
LQR: wzmocnienie dopuszczalne od 0,16 do ∞, $\max|S| = 1{,}00$ .
LQG: od 0,938 do 1,007, $\max|S| \approx 150$ .

Wynik: silnik, który daje 0,7% więcej siły niż w modelu, destabilizuje pętlę LQG.

Sprawdzenie: python-control i symulacja 1 dają te same liczby ✓; przy $q = \sigma = 1$ przedział jest szerszy (0,92–1,06), ale wciąż bez porównania z LQR.

Przykład 7.2 LTR dla wysokości drona

LQR $Q = \operatorname{diag}(100, 0)$ , $R = 1$ ( $K = [10;\ 4]$ ); barometr $V = 0{,}01$ m²; filtr z $W = \operatorname{diag}(0, 1 + q^2)$ .

LQR: zapas fazy $67^\circ$ przy $\omega_c = 4{,}5$ rad/s, $\max|S| = 1$ .
LQG, $q = 0$ : $39^\circ$ , $\max|S| = 1{,}87$ , wzmocnienie do 3,3.
$q = 100$ : $58^\circ$ , $\max|S| = 1{,}18$ , wzmocnienie do 12. $q = 1000$ : $64^\circ$ , $1{,}06$ , do 36.

Wynik: LTR przywraca prawie całe zapasy LQR; filtr ma wtedy bieguny ok. 100 rad/s.

Sprawdzenie: dron jest minimalnofazowy (brak zer), więc LTR musi działać ✓.

8 Błędne intuicje, których trzeba się oduczyć

„Złożenie dwóch optymalnych elementów daje odporny regulator.”: Daje regulator optymalny dla nominalnego modelu. Odporność trzeba sprawdzić osobno.
„Duży zapas fazy LQR przenosi się na LQG.”: Nie: gwarancja dotyczy pełnego stanu. Z estymatorem zapasy mogą być dowolnie małe.
„Klasyczne zapasy to przeżytek.”: Lekcja Doyle’a jest odwrotna: każdy projekt, nawet najbardziej nowoczesny, trzeba sprawdzić kryteriami z części II (Nyquist, $\max|S|$ , $|T|$ przy wysokich częstotliwościach).
„H∞ zastępuje wszystkie wcześniejsze metody.”: To narzędzie do jasno sformułowanych wymagań odporności. W praktyce PID, kaskady i LQR z harmonogramem wciąż dominują, a H∞ stosuje się tam, gdzie się opłaca (samoloty, układy MIMO o silnych sprzężeniach).

9 Zadania do przemyślenia

Te zadania wymagają więcej myślenia niż liczenia.

Zadania do przemyślenia

4 zadania · ok. 1 godzina

Gdzie przeciąć pętlę? Dron ma cztery silniki (4 wejścia) i mierzy 6 wielkości. Gdzie sprawdzałbyś zapasy i dlaczego jeden zapas na jednym kanale nie wystarcza?
Rozwiązanie
1. Na wejściach (każdy silnik może mieć inny błąd ciągu) i na wyjściach (błędy czujników). W MIMO błędy mogą działać jednocześnie w wielu kanałach i w niekorzystnym kierunku.
2. Zapas na jednym kanale (przy pozostałych zamkniętych) nie wykrywa kierunków, w których pętla jest wrażliwa. Właściwa miara to $\bar\sigma(S)$ i $\bar\sigma(T)$ albo analiza μ (wartość osobliwa strukturalna).
Dlaczego Doyle’owi wystarczyły duże q i σ? Co w jego przykładzie sprawia, że im „lepszy” regulator i filtr, tym gorsza odporność?
Rozwiązanie
1. Duże $q$ i $\sigma$ dają duże $K$ i $L$ : regulator i filtr są szybkie i „agresywne”. Regulator LQG ma wtedy duże wzmocnienie w pasmie, w którym model obiektu jest kluczowy.
2. Kierunki wag ( $[1\ 1]$ ) są dobrane tak, że szum procesu działa wzdłuż kierunku, który zamyka pętlę przez model w filtrze; mały błąd wzmocnienia zmienia tę pętlę dokładnie tam, gdzie jest najbliżej −1.
Odporność a opóźnienie. Do drona z LQG dochodzi opóźnienie 20 ms (obliczenia, ESC). Jak oszacować, czy pętla to wytrzyma?
Rozwiązanie
1. Zapas opóźnienia: $\text{PM}/\omega_c$ (lekcja 2.4). Dla LQG bez LTR: $39^\circ = 0{,}68$ rad przy 2,3 rad/s, czyli ok. 0,3 s; wystarczy.
2. Ale przy dużym $q$ w LTR szybki filtr i wyższe $\omega_c$ zmniejszają ten zapas; sprawdza się go dla całej pętli, a nie dla LQR.
Podsumowanie kursu. Wypisz trzy narzędzia z części II i trzy z części IV, które opisują ten sam kompromis „szybkość kontra odporność i szum”.
Rozwiązanie
1. Część II: zapas fazy a $\omega_c$ (2.4), $S + T = 1$ i całka Bodego (2.5), filtr członu D (2.5).
2. Część IV: szybkość obserwatora a szum (4.2), wagi $Q$ , $R$ w LQR (4.3), $Q$ i $R$ w filtrze Kalmana (4.4), LTR (5.2). Wszystkie to ten sam kompromis w różnych językach.

10 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Czym jest LQG?

LQR sterowany estymatą z filtru Kalmana; optymalny dla szumów gaussowskich i kosztu kwadratowego.

2 Co pokazał Doyle w 1978 r.?

Że LQG może mieć dowolnie małe zapasy stabilności, mimo gwarancji LQR.

3 Kiedy pętla jest odpornie stabilna przy błędzie względnym modelu

|\Delta| \le \ell

Pętla jest odpornie stabilna, gdy $|T(j\omega)|\ell(\omega) < 1$ dla każdego $\omega$ .

4 Jak działa LTR?

Filtr projektuje się z fikcyjnym szumem $q^2BB^T$ na wejściu; przy dużym $q$ pętla LQG zbliża się do pętli LQR.

5 Czym są wartości osobliwe w MIMO?

Wzmocnieniami w najkorzystniejszym i najgorszym kierunku; zastępują moduł transmitancji.

6 Czym H∞ różni się od LQG?

Minimalizuje najgorszy przypadek (maksimum po częstotliwościach), a nie średnią.

11 Karta wzorów i co dalej

LQG

$\dot{\hat{\mathbf x}} = A\hat{\mathbf x} + B\mathbf u + L(\mathbf y - C\hat{\mathbf x})$ , $\mathbf u = -K\hat{\mathbf x}$

$C(s) = K(sI - A + BK + LC)^{-1}L$

LQR: $|1 + K(sI - A)^{-1}B| \ge 1$ ; LQG: brak gwarancji

LTR: $W = W_0 + q^2BB^T$ , $q \to \infty$ (obiekt minimalnofazowy)

Odporność

obiekt $G(1 + \Delta)$ , $|\Delta| \le \ell$ : $|T|\ell < 1$

$\max|S| = 1/\min|1 + L|$ ; $\max|S| = 2$ : GM ≥ 2, PM ≥ 29°

MIMO: $\bar\sigma(G(j\omega))$ zamiast $|G|$

$\|T\|_\infty = \sup_\omega\bar\sigma(T(j\omega))$

Do przeczytania

Obowiązkowo: J. C. Doyle, „Guaranteed margins for LQG regulators”, IEEE Trans. Automatic Control 23 (1978), dwie strony; A. Tewari, Advanced Control of Aircraft, Spacecraft and Rockets, podrozdz. 2.12.
Dla chętnych: S. Skogestad, I. Postlethwaite, Multivariable Feedback Control (Wiley), standardowy podręcznik sterowania odpornego; S. A. Frank, Control Theory Tutorial, rozdz. 7 (odporność, w otwartym dostępie).

To koniec kursu automatyki. Zaczęliśmy od wzmacniacza Blacka i prysznica z długą rurą, a skończyliśmy na granicach teorii optymalnej. Wszystko, co po drodze, od sprzężenia zwrotnego i wykresów Bodego po filtr Kalmana i zasadę maksimum, wraca w kursach dynamiki lotu i astronautyki, tym razem na samolotach, rakietach i satelitach.