11 Rakieta: orientacja i ciąg wektorowany · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Prolog: ołówek na dłoni

Postaw ołówek na dłoni ostrzem do góry. Przewraca się, chyba że ciągle przesuwasz dłoń pod środek masy. Rakieta bez usterzenia jest w podobnej sytuacji: siła aerodynamiczna działa przed środkiem masy i każdy kąt natarcia rośnie sam. Dłonią jest silnik na przegubie (kardanie) u dołu rakiety. Wychylenie dyszy o kąt $\delta$ daje siłę poprzeczną $T\sin\delta$ na ramieniu kilkudziesięciu metrów, i to wystarcza, żeby trzymać rakietę na kursie.

Pierwsze rakiety (V-2, Redstone) miały stery gazowe w strumieniu wylotowym i duże stateczniki. Rakiety nośne od przełomu lat 50. i 60. wychylają cały silnik, a duże stateczniki zniknęły, bo przy prędkościach naddźwiękowych dają mało, a ważą i zwiększają opór. W tej lekcji używamy rakiety modelowej z lekcji astronautyki 4 Rakieta na orbitę: równanie rakietowe, stopniowanie i zakręt grawitacyjny: dwa stopnie, ciąg pierwszego 7,6 MN, start z ładunkiem 15 t i odchyleniem $1{,}2^\circ$ w 10. sekundzie.

1 Pochylenie rakiety w atmosferze

Zajmujemy się samym obrotem wokół osi poprzecznej w krótkiej skali czasu (sekundy), przy którym tor lotu prawie się nie zmienia. Kąt pochylenia $\theta$ liczymy od kierunku toru nominalnego, więc kąt natarcia to $\alpha = \theta + \alpha_w$ , gdzie $\alpha_w$ to kąt od wiatru poprzecznego. Siła normalna $N = qSC_{N\alpha}\alpha$ działa w środku parcia, w odległości $x_{cg} - x_{cp}$ przed środkiem masy; dysza wychylona o $\delta$ daje moment $T l_c\delta$ na ramieniu $l_c$ od środka masy do przegubu.

Pochylenie rakiety (bryła sztywna)

I\ddot\theta = qSC_{N\alpha}(x_{cg} - x_{cp})\,\alpha + T l_c\,\delta\qquad\Longrightarrow\qquad \ddot\theta = \mu_\alpha(\theta + \alpha_w) + \mu_c\,\delta,

\mu_\alpha = \frac{qSC_{N\alpha}(x_{cg} - x_{cp})}{I},\qquad \mu_c = \frac{Tl_c}{I}.

Gdy środek parcia leży przed środkiem masy ( $\mu_\alpha > 0$ ), rakieta jest statycznie niestateczna: bez sterowania ma biegun $+\sqrt{\mu_\alpha}$ .

Parametry rakiety modelowej (geometria założona): długość 48 m, średnica 3,66 m ( $S = 10{,}5$ m²), $C_{N\alpha} = 2{,}5$ /rad, środek parcia 12 m od nosa, środek masy przesuwa się z 28 na 24 m w miarę zużywania paliwa. Największe ciśnienie dynamiczne (max q) 34,2 kPa przypada w 65. sekundzie, na wysokości 12,5 km, przy 492 m/s. Wtedy $\mu_\alpha = 0{,}213$ 1/s², biegun niestabilny $+0{,}46$ 1/s: błąd podwaja się co 1,5 s. Dysza daje $\mu_c = 2{,}76$ 1/s² na radian wychylenia.

Współczynniki w kolejnych chwilach lotu pierwszego stopnia
t [s]	q [kPa]	$\mu_\alpha$ [1/s²]	biegun [1/s]	$\mu_c$ [1/s²]
10	1,4	0,006	+0,08	1,61
30	13,2	0,064	+0,25	1,93
65 (max q)	34,2	0,213	+0,46	2,76
100	15,9	0,136	+0,37	4,23
140	1,0	0,014	+0,12	8,24

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 20 min

Policz $\mu_\alpha$ na max q: $q = 34{,}2$ kPa, $S = 10{,}52$ m², $C_{N\alpha} = 2{,}5$ , $x_{cg} - x_{cp} = 14{,}2$ m, $I = 6{,}01\cdot10^7$ kg·m².

Odpowiedź
$34\,200\cdot 10{,}52\cdot 2{,}5\cdot 14{,}2/6{,}01\cdot10^7 = 0{,}213$ 1/s².
Ile trwa podwojenie błędu bez sterowania na max q? A w 10. sekundzie?

Odpowiedź
$\ln 2/\sqrt{\mu_\alpha}$ : $0{,}693/0{,}46 = 1{,}5$ s; w 10. sekundzie $0{,}693/0{,}078 = 8{,}9$ s. Na starcie ciśnienie dynamiczne jest małe i rakieta jest prawie obojętna.
Jak zmienić konstrukcję, żeby $\mu_\alpha < 0$ ? Dlaczego rakiety nośne rzadko to robią?

Odpowiedź
Przesunąć środek parcia za środek masy stabilizatorami (statecznikami) z tyłu albo przesunąć masę do przodu. Stabilizatory, które wystarczą przy max q, są duże, ciężkie i dają dodatkowy opór, a sterowanie dyszą i tak jest potrzebne do kierowania lotem. Rakiety meteorologiczne i pociski, które nie mają ciągu wektorowanego, używają stateczników.

2 Dysza jako ster: regulator PD

Regulator PD na pomiarach z układu inercjalnego (żyroskopy) wychyla dyszę: $\delta = -K_p\theta - K_d\dot\theta$ . Równanie charakterystyczne zamkniętej pętli:

s^2 + \mu_cK_d\,s + (\mu_cK_p - \mu_\alpha) = 0\qquad\Longrightarrow\qquad K_p = \frac{\omega_n^2 + \mu_\alpha}{\mu_c},\quad K_d = \frac{2\zeta\omega_n}{\mu_c}.

Warunek stabilności statycznej: $K_p > \mu_\alpha/\mu_c$ (dysza musi przezwyciężyć niestabilność aerodynamiczną). Na max q, dla $\omega_n = 2$ rad/s i $\zeta = 0{,}7$ : $K_p = 1{,}53$ , $K_d = 1{,}02$ s; minimalne $K_p$ to 0,077. Pasmo 2 rad/s to kompromis: dużo powyżej bieguna niestabilnego (0,46), dużo poniżej pierwszej postaci zginania kadłuba (część 5) i pasma siłowników dyszy (kilkanaście–kilkadziesiąt rad/s).

Ile wychylenia potrzeba? Żeby zrównoważyć moment aerodynamiczny przy $\alpha = 2{,}5^\circ$ na max q, wystarczy $\delta = \mu_\alpha\alpha/\mu_c = 0{,}19^\circ$ . Dysza wychyla się zwykle o $\pm 5$ – $8^\circ$ , więc zapas jest duży; ogranicza raczej szybkość wychylania i pasmo.

Zadania · część 2

3 zadania · ok. 20 min

Policz $K_p$ , $K_d$ na max q dla $\omega_n = 2$ rad/s, $\zeta = 0{,}7$ ( $\mu_\alpha = 0{,}213$ , $\mu_c = 2{,}76$ ).

Odpowiedź
$K_p = (4 + 0{,}213)/2{,}76 = 1{,}53$ ; $K_d = 2{,}8/2{,}76 = 1{,}02$ s.
Co się dzieje dla $K_p < \mu_\alpha/\mu_c$ , nawet z dużym $K_d$ ?

Odpowiedź
Wyraz wolny równania jest ujemny: jeden biegun rzeczywisty dodatni. Tłumienie nie pomoże, bo niestabilność jest statyczna: przy stałym $\theta$ moment aerodynamiczny przeważa nad momentem dyszy. Rakieta powoli „odpływa”.
Ile wychylenia dyszy równoważy kąt natarcia $2{,}5^\circ$ na max q?

Odpowiedź
$\delta = 0{,}213\cdot 2{,}5/2{,}76 = 0{,}19^\circ$ .

3 Lot to nie jeden punkt: harmonogram wzmocnień

Tabela z części 1 pokazuje problem: $\mu_\alpha$ rośnie trzydzieści razy do max q i spada z powrotem, a $\mu_c$ rośnie pięć razy, bo rakieta traci masę (bezwładność spada z $9{,}6\cdot10^7$ do $2{,}2\cdot10^7$ kg·m²) przy tym samym ciągu. Wzmocnienia stałe, dobrane na max q, dają w 10. sekundzie $\omega_n = 1{,}57$ rad/s i $\zeta = 0{,}52$ , a w 140. sekundzie bieguny $-6{,}4$ i $-2{,}0$ : pasmo trzy razy szersze niż zaprojektowane. Samo w sobie to nie katastrofa; groźne staje się w połączeniu z filtrem przeciw zginaniu (część 5).

Rozwiązanie to harmonogram wzmocnień (automatyka, lekcja 3.3 Nieliniowa rzeczywistość: nasycenie, windup, feedforward i gain scheduling): $K_p(t)$ i $K_d(t)$ liczone z $\mu_\alpha(t)$ i $\mu_c(t)$ tak, żeby $\omega_n$ i $\zeta$ były stałe. W rakietach zmienną harmonogramu jest zwykle czas lotu albo zmierzona prędkość, bo przebieg lotu jest z góry zaplanowany; tabele wzmocnień liczy się dla kilkunastu chwil i interpoluje.

Zadania · część 3

3 zadania · ok. 25 min

Wzmocnienia z max q ( $K_p = 1{,}53$ , $K_d = 1{,}02$ s) w 140. sekundzie ( $\mu_\alpha = 0{,}014$ , $\mu_c = 8{,}24$ ). Policz bieguny.

Odpowiedź
$s^2 + 8{,}37s + 12{,}6 = 0$ : $s = -6{,}4$ i $-2{,}0$ . Pasmo (najszybszy biegun) wzrosło z 2 do ponad 6 rad/s.
Dlaczego $\mu_c$ rośnie w czasie lotu, choć ciąg jest stały?

Odpowiedź
Bezwładność maleje (rakieta traci ok. 70% masy) i ramię $l_c$ rośnie, bo środek masy przesuwa się do przodu. $\mu_c = Tl_c/I$ rośnie z obu powodów.
Z harmonogramem w 140. sekundzie: $K_p$ , $K_d$ ?

Odpowiedź
$K_p = (4 + 0{,}014)/8{,}24 = 0{,}49$ ; $K_d = 2{,}8/8{,}24 = 0{,}34$ s: trzy razy mniej niż na max q.

4 Wiatr i odciążenie

Prąd strumieniowy na wysokości ok. 10–12 km wieje z prędkością kilkudziesięciu metrów na sekundę, a rakieta przelatuje przez niego blisko max q. Wiatr poprzeczny $w$ zmienia kąt natarcia o $\alpha_w = \arctan(w/V)$ . W modelu: wiatr o maksimum 40 m/s na 11 km daje na max q $\alpha_w = 4{,}05^\circ$ i $q\alpha = 138$ kPa·°. Obciążenie konstrukcji (moment zginający kadłub) jest proporcjonalne do $q\alpha$ , więc to $q\alpha$ , a nie samo $\alpha$ , jest ograniczeniem projektowym.

Regulator, który trzyma orientację, dodatkowo nieco zwiększa kąt natarcia: w stanie ustalonym $\alpha = \alpha_w\,\mu_cK_p/(\mu_cK_p - \mu_\alpha)$ , czyli $4{,}27^\circ$ zamiast $4{,}05^\circ$ . W symulacji całego lotu największe $q\alpha$ to 183 kPa·°. Odciążenie (load relief) dodaje sprzężenie od kąta natarcia (w praktyce od akcelerometru poprzecznego): rakieta skręca w stronę wiatru, jak chorągiewka. Z $K_\alpha = 0{,}8K_p$ największe $q\alpha$ spada do 99 kPa·°, kąt natarcia do $3{,}0^\circ$ , a rakieta odchyla się od toru nominalnego o $2{,}2^\circ$ . To odchylenie musi potem poprawić naprowadzanie (lekcja 12 Naprowadzanie: trajektoria nominalna i śledzenie odchyłek).

Zadania · część 4

3 zadania · ok. 25 min

Na max q (12,5 km, 492 m/s) wiatr ma 34,8 m/s. Policz $\alpha_w$ i $q\alpha_w$ .

Odpowiedź
$\arctan(34{,}8/492) = 4{,}05^\circ$ ; $34{,}2\cdot 4{,}05 = 138$ kPa·°.
Wyprowadź $\alpha = \alpha_w\mu_cK_p/(\mu_cK_p - \mu_\alpha)$ w stanie ustalonym przy utrzymaniu orientacji i policz dla max q.

Odpowiedź
W stanie ustalonym $\ddot\theta = \dot\theta = 0$ : $\mu_\alpha(\theta + \alpha_w) - \mu_cK_p\theta = 0$ , więc $\theta = \mu_\alpha\alpha_w/(\mu_cK_p - \mu_\alpha)$ i $\alpha = \theta + \alpha_w = \alpha_w\mu_cK_p/(\mu_cK_p - \mu_\alpha) = 4{,}05\cdot 4{,}22/4{,}01 = 4{,}27^\circ$ . Rakieta odchyla się trochę od wiatru, bo dysza musi zrównoważyć moment aerodynamiczny, a do tego potrzebny jest błąd orientacji.
Przy odciążeniu największe wychylenie dyszy jest mniejsze (0,21° zamiast 0,42°), choć rakieta obraca się o ponad 2°. Dlaczego?

Odpowiedź
Dysza głównie równoważy moment aerodynamiczny $\mu_\alpha\alpha$ , a odciążenie zmniejsza $\alpha$ prawie o połowę. Sam obrót w stronę wiatru jest powolny (ok. $2^\circ$ w kilkanaście sekund), więc potrzebne do niego przyspieszenie kątowe i wychylenie są znikome. Odciążenie przenosi koszt z konstrukcji na naprowadzanie, nie na siłowniki.

5 Giętki kadłub

Rakieta o długości 48 m i średnicy 3,7 m to cienkościenna rura: pierwsza postać zginania ma częstotliwość rzędu 1–3 Hz (tu przyjmujemy 1,8 Hz, czyli 11,3 rad/s, i tłumienie $\zeta = 0{,}01$ ). Żyroskop mierzy obrót przekroju, w którym jest zamocowany, więc widzi, oprócz obrotu bryły, lokalne nachylenie postaci zginania. Dysza wychylana na podstawie tego pomiaru pobudza zginanie. Bez filtra wzmocnienie pętli zginania w rezonansie (dla wzmocnień z max q) wynosi ok. 3,6: postać jest niestabilna w każdej chwili lotu.

Dwa klasyczne sposoby. Stabilizacja wzmocnieniem: filtr dolnoprzepustowy (albo zaporowy) na pomiarach tłumi sygnał na częstotliwości zginania; filtr 5 rad/s tłumi go pięciokrotnie (−13 dB), ale na częstotliwości 2 rad/s opóźnia fazę o $25^\circ$ . Stabilizacja fazą: żyroskop w miejscu, gdzie nachylenie postaci ma znak tłumiący (za jej strzałką); działa, dopóki kształt postaci jest dobrze znany, a ten zmienia się w miarę zużywania paliwa. Tu wraca harmonogram: z filtrem i stałymi wzmocnieniami pętla bryły sztywnej traci stabilność po ok. 100 s (bieguny $+0{,}56 \pm 4{,}2i$ ), bo pasmo rośnie i opóźnienie filtra staje się za duże. Z harmonogramem (i żyroskopem w położeniu z przeciwnym nachyleniem postaci) jest stabilna przez cały lot, choć z niewielkim zapasem.

Zadania · część 5

2 zadania · ok. 25 min

Policz moduł i fazę filtra $H(s) = \omega_f^2/(s^2 + 2\zeta_f\omega_fs + \omega_f^2)$ , $\omega_f = 5$ rad/s, $\zeta_f = 0{,}5$ , dla $\omega = 2$ i $11{,}3$ rad/s.

Odpowiedź
Dla 2 rad/s: $25/(21 + 10i)$ : moduł 1,08, faza $-25{,}5^\circ$ . Dla 11,3 rad/s: $25/(-103 + 56{,}5i)$ : moduł 0,21 (−13,4 dB), faza $-151^\circ$ .
Dlaczego harmonogram wzmocnień poprawia też problem zginania?

Odpowiedź
Wzmocnienie pętli zginania jest proporcjonalne do $K_d$ (żyroskop prędkości). Harmonogram zmniejsza $K_d$ trzykrotnie pod koniec lotu (z 1,02 do 0,34 s), więc i wzmocnienie pętli zginania spada z 3,6 do 1,2, a pasmo bryły sztywnej zostaje daleko od opóźnienia filtra.

6 Metoda i przykłady rozwiązane

Metoda: projekt sterowania pochyleniem rakiety

Profil lotu: $q(t)$ , $m(t)$ , $I(t)$ , $x_{cg}(t)$ → $\mu_\alpha(t)$ , $\mu_c(t)$ .
Regulator: $\omega_n$ między biegunem niestabilnym a pierwszą postacią zginania; $K_p$ , $K_d$ z harmonogramu.
Wiatr: $q\alpha$ w najgorszym profilu wiatru; odciążenie, jeśli trzeba.
Zginanie i ciecz: filtr (wzmocnienie) albo położenie czujnika (faza); sprawdzić w każdej chwili lotu.

Przykład 6.1 Regulator na max q

Zaprojektuj PD na max q i sprawdź go na początku lotu.

$\mu_\alpha = 0{,}213$ , $\mu_c = 2{,}76$ ; $\omega_n = 2$ , $\zeta = 0{,}7$ : $K_p = 1{,}53$ , $K_d = 1{,}02$ s.
W 10. sekundzie ( $\mu_\alpha = 0{,}006$ , $\mu_c = 1{,}61$ ): $s^2 + 1{,}64s + 2{,}46 = 0$ , $\omega_n = 1{,}57$ , $\zeta = 0{,}52$ .

Wynik: na starcie trochę wolniej i słabiej tłumione, ale poprawnie.

Sprawdzenie: $K_p = 1{,}53 \gg \mu_\alpha/\mu_c$ w każdej chwili lotu, stabilność statyczna zachowana ✓.

Przykład 6.2 Prąd strumieniowy

Dopuszczalne obciążenie (przyjęte): 150 kPa·°. Wiatr 40 m/s na 11 km. Czy wystarczy utrzymanie orientacji?

Utrzymanie orientacji: największe $q\alpha = 183$ kPa·° (symulacja), przekroczone.
Odciążenie z $K_\alpha = 0{,}8K_p$ : 99 kPa·°, dysza do $0{,}21^\circ$ , odchylenie od toru $2{,}2^\circ$ .

Wynik: potrzebne odciążenie; w dniu startu można też dopasować program pochylenia do zmierzonego wiatru.

Sprawdzenie: sama ocena statyczna z wiatru na max q ( $138\cdot 4{,}27/4{,}05 = 146$ kPa·°) jest niższa niż wynik symulacji, bo najsilniejszy wiatr i max q nie wypadają w tej samej chwili, a w przejściu przez warstwę wiatru pojawia się przeregulowanie ✓.

Przykład 6.3 Wybór filtra

Postać zginania 11,3 rad/s, pasmo bryły 2 rad/s. Jaki filtr?

Bez filtra wzmocnienie pętli zginania 3,6 przy niekorzystnej fazie: niestabilne.
Filtr 5 rad/s: −13 dB na zginaniu (wzmocnienie pętli 0,76 < 1), $-25^\circ$ fazy przy 2 rad/s.
Z harmonogramem stabilne przez cały lot; ze stałymi wzmocnieniami niestabilne od ok. 100 s.

Wynik: filtr dolnoprzepustowy plus harmonogram; zapas fazy pozostaje mały, w praktyce dodaje się filtr zaporowy dokładnie na zginaniu.

Sprawdzenie: Symulacja 2 w 100. i 140. sekundzie, z filtrem, bez harmonogramu: drgania narastają z częstością ok. 4–5 rad/s, czyli bryły sztywnej, nie zginania ✓.

7 Błędne intuicje, których trzeba się oduczyć

„Rakieta leci prosto, bo ciąg działa wzdłuż osi.”: Ciąg wzdłuż osi nie daje momentu; o stateczności decyduje położenie środka parcia względem środka masy, a w rakietach bez stateczników jest ono niekorzystne.
„Do sterowania potrzeba dużego wychylenia dyszy.”: Ułamek stopnia równoważy moment aerodynamiczny; wychylenie ogranicza raczej szybkość i pasmo niż zakres.
„Jeden dobry regulator wystarczy na cały lot.”: Współczynniki zmieniają się kilka do kilkudziesięciu razy; bez harmonogramu pasmo ucieka w stronę zginania i opóźnienia filtrów.
„Najlepiej trzymać orientację jak najdokładniej.”: Na wietrze to maksymalizuje obciążenie konstrukcji; odciążenie celowo pozwala rakiecie skręcić w wiatr.
„Żyroskop mierzy obrót rakiety.”: Mierzy obrót przekroju, w którym siedzi, razem z lokalnym nachyleniem zginającego się kadłuba.

8 Zadania do przemyślenia

Te zadania wymagają więcej myślenia niż liczenia.

Zadania do przemyślenia

5 zadań · ok. 1,5 godziny

Przelewające się paliwo. Paliwo w zbiornikach ma własne mody drgań (ok. 1 Hz i mniej). Jak wpływa to na sterowanie i jak się z tym walczy?
Rozwiązanie
1. Masa cieczy przesuwająca się w zbiorniku działa jak wahadło sprzężone z rakietą: dodatkowa para biegunów blisko pasma regulatora, która może być niestabilna przy niekorzystnej fazie.
2. Środki: przegrody w zbiornikach (podnoszą tłumienie i częstotliwość), położenie zbiorników względem środka masy, uwzględnienie modu w projekcie (stabilizacja fazą).
Kilka silników. Rakieta z dziewięcioma silnikami może sterować przechyleniem (obrotem wokół osi podłużnej). Jak? Czego nie umie jeden silnik?
Rozwiązanie
1. Silniki odsunięte od osi, wychylone stycznie w przeciwnych kierunkach, dają parę sił wokół osi podłużnej.
2. Jeden centralny silnik na kardanie daje tylko pochylenie i odchylenie; przechylenie wymaga osobnych silniczków (np. wylot turbopompy, silniczki sterujące).
Model bez ruchu postępowego. Nasz model pomija zmianę toru lotu. Kiedy to uprawnione i co się zmienia po jej uwzględnieniu?
Rozwiązanie
1. Zmiana kąta toru od siły poprzecznej, $\dot\gamma \approx (T\sin\alpha + N)/(mV)$ (bez grawitacji), jest powolna: przy $\alpha = 3^\circ$ na max q ok. $0{,}15^\circ$ /s, wobec pasma 2 rad/s. Na skali sekund tor jest prawie stały.
2. W dłuższej skali tor skręca w stronę siły normalnej i kąt natarcia częściowo sam maleje; odciążenie to wykorzystuje. Pełny model (stany $\theta$ , $\dot\theta$ , $\gamma$ albo przemieszczenie poprzeczne) daje dodatkowy, wolny biegun „dryfu”.
Niepewność aerodynamiki. $C_{N\alpha}$ i $x_{cp}$ przy prędkościach okołodźwiękowych znane są z dokładnością kilkudziesięciu procent. Jaki zapas trzeba zaprojektować?
Rozwiązanie
1. $\mu_\alpha$ może być np. o 50% większe: $K_p$ nadal musi przekraczać $\mu_\alpha/\mu_c$ z zapasem, a pasmo nie może spaść zbyt blisko bieguna niestabilnego.
2. Klasycznie: zapas wzmocnienia ok. 6 dB i fazy ok. $30^\circ$ dla bryły sztywnej, sprawdzone w najgorszych kombinacjach (Monte Carlo jak w lekcji 10 Symulacja 6 stopni swobody: składamy samolot).
Powrót stopnia. Stopień wracający silnikami w dół (lądowanie na barce) leci tyłem. Czy jest statecznie stateczny?
Rozwiązanie
1. Lecąc tyłem, „nosem” jest sekcja silników; środek parcia przesuwa się w jej stronę, a środek masy pustego stopnia leży nisko, przy silnikach. Statecznie bywa blisko obojętności.
2. Dlatego takie stopnie mają kratowe stery aerodynamiczne u góry: przesuwają środek parcia i dają sterowanie, gdy silniki nie pracują.

9 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Kiedy rakieta jest statycznie niestateczna?

Gdy środek parcia leży przed środkiem masy: $\mu_\alpha > 0$ , biegun $+\sqrt{\mu_\alpha}$ .

2 Jaki jest warunek stabilności statycznej z PD?

$K_p > \mu_\alpha/\mu_c$ .

3 Dlaczego potrzebny jest harmonogram wzmocnień?

$\mu_\alpha$ i $\mu_c$ zmieniają się wielokrotnie w czasie lotu; stałe wzmocnienia przesuwają pasmo.

4 Co jest miarą obciążenia od wiatru?

$q\alpha$ : siła normalna i moment zginający kadłub są do niego proporcjonalne.

5 Na czym polega odciążenie?

Sprzężenie od kąta natarcia (akcelerometr) skręca rakietę w stronę wiatru; mniejsze $q\alpha$ za cenę odchylenia od toru.

6 Dwa sposoby na zginanie kadłuba?

Stabilizacja wzmocnieniem (filtr) i fazą (położenie czujnika).

10 Karta wzorów i co dalej

Model

$\ddot\theta = \mu_\alpha(\theta + \alpha_w) + \mu_c\delta$

$\mu_\alpha = qSC_{N\alpha}(x_{cg} - x_{cp})/I$ , $\mu_c = Tl_c/I$

$\alpha_w = \arctan(w/V)$ ; obciążenie $\propto q\alpha$

Regulator

$K_p = (\omega_n^2 + \mu_\alpha)/\mu_c$ , $K_d = 2\zeta\omega_n/\mu_c$

$K_p > \mu_\alpha/\mu_c$

utrzymanie: $\alpha = \alpha_w\mu_cK_p/(\mu_cK_p - \mu_\alpha)$

pasmo: biegun niestabilny ≪ $\omega_n$ ≪ zginanie

Do przeczytania

Obowiązkowo: A. Tewari, Atmospheric and Space Flight Dynamics (Birkhäuser), rozdział o dynamice i sterowaniu rakiet; B. Wie, Space Vehicle Dynamics and Control (AIAA), rozdział o sterowaniu rakietą nośną (zginanie, ciecz, odciążenie).
Dla chętnych: P. H. Zipfel, Modeling and Simulation of Aerospace Vehicle Dynamics (AIAA): pełne modele pocisków i rakiet w symulacji 6 DOF.

Regulator trzyma rakietę na zadanej orientacji. Ale skąd wiadomo, jaka ma być ta orientacja w każdej sekundzie, i co robić, gdy wiatr albo słabszy silnik zepchnie rakietę z planu? Ostatnia lekcja dynamiki lotu: naprowadzanie.