2.4 Stabilność pętli: punkt −1, zapasy i opóźnienie

0 Prolog: samolot, który kołysał pilot

2 lutego 1989 r. prototyp szwedzkiego myśliwca JAS 39 Gripen rozbił się przy lądowaniu w Linköping. Samolot miał cyfrowy układ sterowania fly-by-wire: pilot nie poruszał sterami bezpośrednio, tylko wydawał polecenia komputerowi. Tuż przed przyziemieniem pilot zaczął korygować ruchy samolotu, samolot odpowiadał z opóźnieniem, pilot korygował mocniej, i kołysanie rosło, aż maszyna uderzyła w pas. Zjawisko ma nazwę: oscylacje wywołane przez pilota (ang. pilot-induced oscillation, PIO). Przyczyną był układ sterowania, który był jednocześnie zbyt czuły i zbyt wolny. Pilot przeżył, a prawa sterowania przeprojektowano.

Pilot i samolot tworzyli pętlę sprzężenia zwrotnego: pilot był regulatorem, samolot obiektem. Duże wzmocnienie (czułość) i opóźnienie (wolna odpowiedź) to ta sama mieszanka co w prysznicu z lekcji 1.1 Po co sprzężenie zwrotne? Pętla otwarta i zamknięta. Ta lekcja daje narzędzia, żeby takie sytuacje przewidzieć z wykresu, zanim ktoś wsiądzie do kabiny.

Pytanie na start. Człowiek reaguje z opóźnieniem ok. 0,2–0,3 s. Jak szybko może zmieniać się pętla, w której człowiek jest regulatorem, żeby jej nie rozkołysać? Odpowiedź w części 4.

1 Dlaczego punkt −1

Pętla zamknięta ma bieguny tam, gdzie $1 + L(s) = 0$ , czyli $L(s) = -1$ . Na granicy stabilności biegun leży na osi urojonej, $s = j\omega$ , więc dla pewnej częstotliwości $L(j\omega) = -1$ . To punkt krytyczny.

Obraz fizyczny: pętla otwarta w jednym miejscu, na wejściu sinusoida o częstości $\omega$ . Po przejściu przez $L$ ma ona amplitudę $|L(j\omega)|$ razy większą i fazę przesuniętą o $\arg L(j\omega)$ . Węzeł sumacyjny ze znakiem minus odwraca ją, czyli dokłada $180^\circ$ . Jeśli $\arg L = -180^\circ$ , sygnał wraca w tej samej fazie co wejście. Jeśli dodatkowo $|L| = 1$ , wraca identyczny. Możemy wtedy zamknąć pętlę, wyłączyć źródło, a sinusoida będzie krążyć sama, bez końca. Jeśli $|L| > 1$ przy fazie $-180^\circ$ , każdy obieg ją wzmacnia i drgania rosną.Goodwin 5.7

Warunek graniczny

L(j\omega) = -1\quad\iff\quad |L(j\omega)| = 1\ \text{ i }\ \arg L(j\omega) = -180^\circ .

Dla typowych pętli (obiekt stabilny, faza $L$ maleje z częstotliwością) pętla zamknięta jest stabilna, gdy w częstotliwości, przy której faza wynosi $-180^\circ$ , wzmocnienie $|L|$ jest mniejsze od 1. Równoważnie: gdy faza w częstotliwości przejścia $\omega_c$ jest większa od $-180^\circ$ .

To jest pisk mikrofonu z lekcji 1.1 Po co sprzężenie zwrotne? Pętla otwarta i zamknięta: dla jednej częstotliwości dźwięk wraca z głośnika w fazie i wzmocniony. Tak działa też każdy generator drgań w elektronice, z tą różnicą, że tam warunek $L = -1$ spełnia się celowo.

Symulacja 1 Sinusoida obiega pętlę

L = \frac{K}{(s + 1)^3}

z ujemnym sprzężeniem. Czarna krzywa to sygnał na początku, coraz jaśniejsze to ten sam sygnał po pierwszym, drugim, trzecim i czwartym obiegu. Ustaw

\omega = \sqrt3 \approx 1{,}73

rad/s, przy której faza

L

wynosi

-180^\circ

, i zmieniaj

K

. Przy

K = 8

sygnał wraca identyczny, przy

K > 8

rośnie. Przy innych częstotliwościach kolejne obiegi nie są zgodne w fazie.

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 20 min

Dla $L = \frac{K}{(s + 1)^3}$ znajdź $\omega$ , przy której faza wynosi $-180^\circ$ , i wartość $|L|$ w tym miejscu dla $K = 4$ . Czy pętla jest stabilna?

Odpowiedź
Każdy z trzech czynników daje $-60^\circ$ przy $\arctan\omega = 60^\circ$ , czyli $\omega = \sqrt3$ . $|L| = \frac{4}{(\sqrt{1 + 3})^3} = \frac48 = 0{,}5 < 1$ : stabilna. Granica: $K = 8$ , jak z kryterium Routha w lekcji 2.2.
Czy pętla z $L = \frac{K}{s(s + 1)}$ może stracić stabilność przy dużym $K$ ? Spójrz na fazę.

Odpowiedź
Faza to $-90^\circ - \arctan\omega$ , czyli zawsze powyżej $-180^\circ$ (dochodzi do niej tylko w nieskończoności). Pętla nie straci stabilności, ale przy dużym $K$ faza w $\omega_c$ zbliża się do $-180^\circ$ i odpowiedź będzie słabo tłumiona (linie pierwiastkowe w lekcji 2.2 biegną pionowo).
Dlaczego warunek „faza $-180^\circ$ ” dotyczy pętli z ujemnym sprzężeniem? Jaki byłby warunek dla sprzężenia dodatniego?

Odpowiedź
Minus w węźle dokłada $180^\circ$ ; razem z $-180^\circ$ pętli daje pełny obrót. Przy sprzężeniu dodatnim brak tego minusa, więc groźna jest faza $0^\circ$ (lub $-360^\circ$ ), a warunek graniczny to $L(j\omega) = +1$ .

2 Zapasy fazy, wzmocnienia i opóźnienia

Stabilna pętla to za mało. Model nigdy nie jest dokładny: masa się zmienia, czujnik się spóźnia, silniki słabną. Chcemy wiedzieć, jak daleko jesteśmy od punktu −1. Służą do tego trzy liczby odczytywane z wykresu Bodego pętli:

Definicje · zapasy stabilności

Zapas fazy $\varphi_m = 180^\circ + \arg L(j\omega_c)$ : o ile stopni faza w częstotliwości przejścia jest powyżej $-180^\circ$ . Tyle dodatkowego opóźnienia fazy pętla zniesie.

Zapas wzmocnienia $GM = \frac{1}{|L(j\omega_{180})|}$ , gdzie $\arg L(j\omega_{180}) = -180^\circ$ : ile razy można zwiększyć wzmocnienie, zanim pętla straci stabilność (zwykle w dB).

Zapas opóźnienia $\theta_m = \frac{\varphi_m\ [\text{rad}]}{\omega_c}$ : jakie dodatkowe opóźnienie zjada cały zapas fazy.

Typowe wymagania projektowe: zapas fazy 45–60°, zapas wzmocnienia 6–12 dB (czyli 2–4 razy). Zapas fazy ma też prostą interpretację w czasie. Dla pętli zachowującej się jak człon oscylacyjny obowiązuje reguła $\zeta \approx \varphi_m/100^\circ$ (dla $\varphi_m$ do ok. 60°), a więc i przeregulowanie:

Zapas fazy, tłumienie i przeregulowanie dla $L = \frac{\omega_0^2}{s(s + 2\zeta\omega_0)}$
$\zeta$	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	1
zapas fazy	11°	23°	33°	43°	52°	59°	65°	76°
przeregulowanie	73%	53%	37%	25%	16%	9,5%	4,6%	0

Mały zapas fazy to zawsze silne dzwonienie. Gdy w odpowiedzi skokowej pętli widzisz kilka wahnięć, wykres Bodego pokaże fazę w okolicy $-160^\circ$ przy $\omega_c$ .

Zadania · część 2

4 zadania · ok. 30 min

Pętla ma $\omega_c = 2$ rad/s, a faza w $\omega_c$ wynosi $-135^\circ$ . Ile wynosi zapas fazy i zapas opóźnienia?

Odpowiedź
$\varphi_m = 45^\circ = 0{,}785$ rad; $\theta_m = 0{,}785/2 \approx 0{,}39$ s.
Dla $L = \frac{4}{(s + 1)^3}$ : zapas wzmocnienia w dB? Ile wynosi $\omega_c$ i zapas fazy (python-control albo symulacja 2)?

Odpowiedź
$GM = 1/0{,}5 = 2$ , czyli 6 dB. $\omega_c \approx 1{,}23$ rad/s, zapas fazy ok. $27^\circ$ : mały, więc odpowiedź będzie mocno dzwonić, choć zapas wzmocnienia jest przyzwoity.
Pętla ma zapas fazy $40^\circ$ . Oszacuj przeregulowanie odpowiedzi skokowej. Co się stanie, gdy czujnik doda opóźnienie zjadające $15^\circ$ fazy przy $\omega_c$ ?

Odpowiedź
$\zeta \approx 0{,}4$ , przeregulowanie ok. 25%. Po stracie $15^\circ$ : $\varphi_m = 25^\circ$ , $\zeta \approx 0{,}25$ , przeregulowanie ok. 45%.
Dlaczego zapas wzmocnienia sam nie wystarcza? Podaj przykład pętli z nieskończonym zapasem wzmocnienia, która mimo to źle się zachowuje.

Odpowiedź
$L = \frac{K}{s(s + 0{,}5)}$ (dron z regulatorem P) nie ma częstotliwości z fazą $-180^\circ$ , więc $GM = \infty$ . Przy $K = 4$ zapas fazy to tylko ok. $14^\circ$ : kołysanie z $\zeta \approx 0{,}125$ . Trzeba patrzeć na oba zapasy, a najlepiej na najmniejszą odległość wykresu od −1 (część 3).

3 Wykres Nyquista

Wykres Bodego pokazuje moduł i fazę $L(j\omega)$ na dwóch osobnych rysunkach. Nyquist narysował $L(j\omega)$ jako krzywą na płaszczyźnie zespolonej: dla każdej częstotliwości jeden punkt. W polskich podręcznikach to charakterystyka amplitudowo-fazowa. Na takim rysunku od razu widać, jak blisko punktu −1 przechodzi krzywa.

Wykres L(jω) dla ω od małych do dużych wartości. Krzyżyk to punkt −1, przerywany okrąg to |L| = 1. Kąt φ_m między ujemną półosią rzeczywistą a punktem przecięcia krzywej z okręgiem to zapas fazy. Odcinek a od początku układu do przecięcia krzywej z ujemną półosią rzeczywistą to odwrotność zapasu wzmocnienia.

Oba zapasy mają tu prostą geometrię. Krzywa przecina okrąg jednostkowy w $\omega_c$ , a zapas fazy to kąt, o jaki trzeba by ten punkt obrócić, żeby trafił w −1. Krzywa przecina ujemną półoś rzeczywistą w $\omega_{180}$ w odległości $a$ od początku układu, a zapas wzmocnienia to $1/a$ . Najbardziej uczciwa miara to najmniejsza odległość krzywej od −1, czyli $\min_\omega|1 + L(j\omega)|$ . Jest ona odwrotnością największej wartości $|S(j\omega)|$ , która wróci w lekcji 2.5 Zakłócenia, szum i wrażliwość: S, T i kształtowanie pętli.

Kryterium Nyquista (dla obiektu stabilnego)

Jeśli $L(s)$ nie ma biegunów w prawej półpłaszczyźnie (bieguny na osi urojonej, np. całkowanie w $s = 0$ , omija się małym półokręgiem), to pętla zamknięta jest stabilna wtedy i tylko wtedy, gdy wykres $L(j\omega)$ dla $\omega$ od $-\infty$ do $+\infty$ nie obiega punktu −1.

Zadania · część 3

4 zadania · ok. 30 min

Wykres $L(j\omega)$ przecina ujemną półoś rzeczywistą w punkcie $-0{,}25$ . Ile wynosi zapas wzmocnienia (w razach i w dB)?

Odpowiedź
4 razy, czyli 12 dB.
Jak wygląda wykres Nyquista członu całkującego $\frac{K}{s}$ ? Czy pętla z takim $L$ może być niestabilna?

Odpowiedź
$\frac{K}{j\omega} = -j\frac{K}{\omega}$ : ujemna półoś urojona, od $-j\infty$ (małe $\omega$ ) do 0. Nigdy nie zbliża się do −1: zapas fazy $90^\circ$ , pętla stabilna przy każdym $K$ .
W symulacji 2 dla „trzech inercji” ustaw $K = 4$ i odczytaj najmniejszą odległość krzywej od −1. Ile wynosi największa wartość $|S|$ ?

Odpowiedź
Ok. 0,33, więc $\max|S| \approx 3$ . Pętla w pewnym paśmie częstotliwości wzmacnia zakłócenia trzykrotnie: o tym w lekcji 2.5.
Dlaczego dla obiektu niestabilnego (np. kulki na odwróconej misce) wykres Nyquista stabilnej pętli musi obiegać −1?

Odpowiedź
Z $Z = N + P$ : żeby $Z = 0$ przy $P = 1$ , potrzeba $N = -1$ , czyli jednego obiegu przeciwnie do wskazówek zegara. Intuicja: sprzężenie musi „przeciągnąć” niestabilny biegun na lewą stronę, a to wymaga, by krzywa owinęła się wokół −1. Taka pętla jest stabilna tylko w pewnym zakresie wzmocnień, także od dołu: za małe $K$ nie stabilizuje.

4 Opóźnienie: najgorszy wróg

Opóźnienie $e^{-\theta s}$ nie zmienia modułu $L$ , ale obraca każdy punkt wykresu Nyquista o kąt $-\omega\theta$ . Punkt przy $\omega_c$ obraca się o $\omega_c\theta$ radianów, prosto w stronę −1. Dlatego zapas opóźnienia $\theta_m = \varphi_m/\omega_c$ mówi dokładnie, ile opóźnienia pętla zniesie. Przy tym samym zapasie fazy szybka pętla (duże $\omega_c$ ) znosi mniej opóźnienia niż wolna.

Reguła · szybkość pętli a opóźnienie

\omega_c\,\theta \lesssim \frac{\pi}{4}\ \ (\text{zapas fazy ok. }45^\circ\text{ dla pętli } L \approx \tfrac{\omega_c}{s}e^{-\theta s}) .

Pętla z opóźnieniem $\theta$ nie może mieć częstotliwości przejścia wiele większej niż ok. $0{,}8/\theta$ . Opóźnienia nie da się „przeregulować” większym wzmocnieniem; można je tylko skrócić albo pogodzić się z wolniejszą pętlą.

Sprawdźmy na prysznicu z lekcji 1.1 Po co sprzężenie zwrotne? Pętla otwarta i zamknięta: $L = \frac{k}{s}e^{-\theta s}$ , $\omega_c = k$ , zapas fazy $90^\circ - k\theta\cdot\frac{180^\circ}{\pi}$ . Zero zapasu przy $k\theta = \pi/2$ , dokładnie jak wtedy. Dla $k = 0{,}3$ 1/s i $\theta = 2$ s zapas fazy wynosi ok. $56^\circ$ , stąd mały przelot w symulacji z lekcji 1.1.

Odpowiedź na pytanie z prologu. Człowiek z opóźnieniem $\theta \approx 0{,}25$ s, który steruje czymś „całkującym” (kierownica i kurs samochodu, drążek i przechylenie samolotu), może utrzymać zapas fazy $45^\circ$ przy $\omega_c \lesssim 0{,}8/0{,}25 \approx 3$ rad/s. Gdy samolot wymaga szybszych poprawek, bo jest zbyt czuły albo sam reaguje ze zwłoką, zapas fazy pętli pilot–samolot topnieje i zaczyna się PIO. Doświadczeni piloci wiedzą, że w takiej sytuacji najlepiej puścić drążek: otwarcie pętli przerywa oscylacje.

Zadania · część 4

3 zadania · ok. 25 min

Pętla ma $\omega_c = 10$ rad/s i zapas fazy $50^\circ$ . Ile opóźnienia (np. czasu obliczeń komputera) może jeszcze dodać, zanim straci stabilność?

Odpowiedź
$\theta_m = 0{,}873/10 \approx 0{,}087$ s, czyli ok. 87 ms. Żeby zostawić zapas fazy $30^\circ$ , wolno dodać tylko ok. 35 ms.
Łazik marsjański jest sterowany z Ziemi z opóźnieniem sygnału do ok. 20 minut w jedną stronę (od ok. 3 do 22 minut, zależnie od położenia planet). Jaka byłaby największa sensowna częstotliwość przejścia pętli „operator na Ziemi + łazik”? Co z tego wynika dla projektu łazika?

Odpowiedź
Opóźnienie pętli to ok. 40 minut (tam i z powrotem), czyli 2400 s: $\omega_c \lesssim 0{,}8/2400 \approx 3\cdot 10^{-4}$ rad/s, jedna poprawka na kilka godzin. Dlatego łaziki mają lokalne pętle autonomiczne (omijanie przeszkód, nawigacja), a z Ziemi wysyła się tylko cele.
Pętla PI prędkości drona ma $\omega_c = 3{,}6$ rad/s i zapas fazy $80^\circ$ . Ile opóźnienia czujnika zniesie? Jaki zapas fazy zostanie przy opóźnieniu 0,2 s? Sprawdź przeregulowanie w symulacji 2.

Odpowiedź
$\theta_m = 1{,}40/3{,}64 \approx 0{,}39$ s. Przy 0,2 s: $80^\circ - 3{,}64\cdot 0{,}2\cdot 57{,}3^\circ \approx 39^\circ$ . Przeregulowanie rośnie z 7% do ok. 40%.

5 Zapasy pętli drona

Zapasy trzech pętli drona ( $m = 1$ kg, $b = 0{,}5$ N·s/m)
pętla	$\omega_c$	zapas fazy	zapas opóźnienia	$\zeta$ z reguły / rzeczywiste
P wysokości, $K = 4$	1,97 rad/s	14°	0,13 s	0,14 / 0,125
PD wysokości, $K = 4$ , $T_d = 0{,}575$ s	2,69 rad/s	68°	0,44 s	0,68 / 0,70
PI prędkości, $K_p = 3{,}5$ , $K_i = 4$	3,64 rad/s	80°	0,39 s	bliskie 1 / 1,0

Reguła $\zeta \approx \varphi_m/100^\circ$ trafia zaskakująco dobrze. Pętla P wysokości ma zapas opóźnienia zaledwie 0,13 s: barometr, który uśrednia pomiar przez 0,1 s, zjadłby prawie cały zapas. PD i PI znoszą prawie 0,4 s, ponad trzy razy więcej.

Zadania · część 5

2 zadania · ok. 15 min

Barometr drona ma filtr, który działa w przybliżeniu jak opóźnienie 0,1 s. Ile zapasu fazy zostanie pętli PD wysokości z tabeli? Czy to akceptowalne?

Odpowiedź
$68^\circ - 2{,}69\cdot 0{,}1\cdot 57{,}3^\circ \approx 68^\circ - 15^\circ = 53^\circ$ . Tak, mieści się w typowym przedziale 45–60°.
Te same dane dla pętli P wysokości. Co się stanie?

Odpowiedź
$14^\circ - 1{,}97\cdot 0{,}1\cdot 57{,}3^\circ \approx 14^\circ - 11^\circ = 3^\circ$ : pętla na skraju niestabilności, dron kołysze się prawie bez tłumienia.

6 Metoda i przykłady rozwiązane

Metoda: ocena stabilności i zapasów

Transmitancja pętli $L = CP\cdot(\text{czujnik})\cdot e^{-\theta s}$ ; sprawdź, czy $L$ ma bieguny w prawej półpłaszczyźnie.
Bode: $\omega_c$ (moduł 0 dB) i faza w niej → zapas fazy; $\omega_{180}$ i moduł w niej → zapas wzmocnienia.
Zapas opóźnienia $\varphi_m/\omega_c$ : porównaj z opóźnieniami, których nie ma w modelu (obliczenia, czujnik, magistrala).
Przelot: $\zeta \approx \varphi_m/100^\circ$ .
Nyquist (gdy coś jest nietypowe: kilka przejść przez 0 dB, obiekt niestabilny): czy krzywa obiega −1 i jak blisko przechodzi.

Przykład 6.1 Trzy inercje z zapasami

$L = \frac{K}{(s + 1)^3}$ . Wyznacz zapas wzmocnienia i fazy dla $K = 4$ . Jakie $K$ daje zapas fazy $45^\circ$ ?

$\omega_{180} = \sqrt3$ , $|L(j\sqrt3)| = K/8 = 0{,}5$ : zapas wzmocnienia 2 (6 dB).
$\omega_c$ : $\frac{4}{(1 + \omega^2)^{3/2}} = 1$ , $\omega_c = \sqrt{4^{2/3} - 1} \approx 1{,}23$ rad/s; faza $-3\arctan 1{,}23 \approx -153^\circ$ ; zapas fazy ok. $27^\circ$ .
Zapas $45^\circ$ : $3\arctan\omega_c = 135^\circ$ , $\omega_c = \tan 45^\circ = 1$ ; $K = (1 + 1)^{3/2} \approx 2{,}83$ .

Wynik: przy $K = 4$ : 6 dB i $27^\circ$ ; zapas $45^\circ$ wymaga $K \approx 2{,}8$ (uchyb statyczny wtedy $1/3{,}8 \approx 26\%$ ).

Sprawdzenie: 6 dB zapasu wzmocnienia brzmi przyzwoicie, a zapas fazy pokazuje, że pętla mocno dzwoni: przeregulowanie ok. 54%, nawet więcej, niż przewiduje reguła $\zeta \approx \varphi_m/100^\circ$ (ok. 40%), bo pętla trzeciego rzędu nie jest członem oscylacyjnym. Zawsze sprawdzaj oba zapasy ✓.

Przykład 6.2 Ile czasu ma komputer pokładowy

Pętla stabilizacji kąta drona ma $\omega_c = 30$ rad/s i zapas fazy $60^\circ$ . Ile czasu mogą łącznie zająć: odczyt czujnika, obliczenia i wysłanie polecenia do silników, jeśli zapas fazy ma nie spaść poniżej $40^\circ$ ?

Dozwolona strata fazy: $20^\circ = 0{,}349$ rad.
$\theta = 0{,}349/30 \approx 0{,}0116$ s.

Wynik: ok. 12 ms na cały łańcuch, w tym próbkowanie (ok. $\Delta t/2$ , lekcja 1.3).

Sprawdzenie: dlatego pętle orientacji w kontrolerach lotu dronów działają z częstotliwością setek herców ✓. Przy 500 Hz samo próbkowanie to 1 ms.

Przykład 6.3 Prysznic jeszcze raz

Prysznic z $\theta = 3$ s (przykład 6.3 lekcji 1.1). Jakie $k$ daje zapas fazy $60^\circ$ ? Porównaj z regułą „bez przeregulowania” $k\theta \le 1/e$ .

Zapas fazy: $90^\circ - k\theta\cdot 57{,}3^\circ = 60^\circ$ , czyli $k\theta = 0{,}524$ , $k \approx 0{,}17$ 1/s.
Reguła z lekcji 1.1: $k \le 1/(3e) \approx 0{,}12$ 1/s.

Wynik: zapas $60^\circ$ przy $k \approx 0{,}17$ 1/s, tuż obok wartości 0,16, która w lekcji 1.1 dawała najszybsze dojście z przelotem o pół stopnia.

Sprawdzenie: zapas fazy $60^\circ$ odpowiada $\zeta \approx 0{,}6$ i przelotowi kilku procent ✓. Brak jakiegokolwiek przelotu wymaga większego zapasu (ok. $69^\circ$ przy $k\theta = 1/e$ : $90^\circ - 21^\circ$ ).

Przykład 6.4 Wymagania na regulator z zapasów

Regulator P dla obiektu $\frac{1}{s(0{,}2s + 1)}$ (np. silnik z obciążeniem). Wymagany zapas fazy $50^\circ$ . Wyznacz $K$ , $\omega_c$ i spodziewany czas narastania.

Faza: $-90^\circ - \arctan 0{,}2\omega$ . Zapas $50^\circ$ : $\arctan 0{,}2\omega_c = 40^\circ$ , $\omega_c = 5\tan 40^\circ \approx 4{,}2$ rad/s.
$|L(j\omega_c)| = 1$ : $K = \omega_c\sqrt{1 + 0{,}04\omega_c^2} \approx 4{,}2\cdot 1{,}31 \approx 5{,}5$ .
$t_r \approx 1{,}5/\omega_c \approx 0{,}36$ s; przeregulowanie ok. 16–18% ( $\zeta \approx 0{,}5$ ). Symulacja: 0,31 s i 18%.

Wynik: $K \approx 5{,}5$ , $\omega_c \approx 4{,}2$ rad/s, czas narastania ok. 0,3 s.

Sprawdzenie: symulacja 3 lekcji 2.3 przy $K = 5$ daje $\omega_c = 3{,}9$ rad/s, fazę $-128^\circ$ (zapas $52^\circ$ ) i przeregulowanie 16% ✓.

7 Błędne intuicje, których trzeba się oduczyć

„Stabilna pętla to dobra pętla.”: Pętla z zapasem fazy $5^\circ$ jest stabilna, ale dzwoni długo i straci stabilność od byle opóźnienia. Liczy się odległość od −1.
„Duży zapas wzmocnienia wystarcza.”: Pętla drona z P ma nieskończony zapas wzmocnienia i $14^\circ$ zapasu fazy. Trzeba sprawdzać oba albo najmniejszą odległość od −1.
„Opóźnienie można nadrobić większym wzmocnieniem.”: Odwrotnie: większe wzmocnienie podnosi $\omega_c$ , a opóźnienie zjada fazę proporcjonalnie do $\omega_c$ . Z opóźnieniem trzeba zwolnić.
„Punkt −1 to sztuczka matematyczna.”: To fizyczny warunek: sygnał wraca po obiegu tej samej amplitudy i w tej samej fazie, więc pętla go podtrzymuje.
„Kryterium Nyquista trzeba stosować zawsze w pełnej wersji.”: Dla obiektów stabilnych wystarczy sprawdzić, czy krzywa nie obiega −1, a w praktyce odczytać zapasy z wykresu Bodego.

8 Zadania do przemyślenia

Te zadania wymagają więcej myślenia niż liczenia.

Zadania do przemyślenia

5 zadań · ok. 1,5 godziny

Huśtawka. Dziecko na huśtawce popychane przez rodzica, który pcha za każdym razem, gdy huśtawka dotrze najbliżej niego i zawraca, w kierunku jej ruchu. Opisz to jako pętlę. Kiedy jest „niestabilna”, czyli amplituda rośnie? Dlaczego to dobrze?
Rozwiązanie
1. Huśtawka to oscylator, rodzic to regulator pchający w fazie z prędkością (w rezonansie siła pompuje energię, dział 6 fizyki). Pętla ma dla częstotliwości własnej huśtawki fazę „zgodną”: sprzężenie jest w praktyce dodatnie.
2. Jeśli energia dodana w każdym cyklu przewyższa straty, amplituda rośnie. To niestabilność celowa, jak w generatorach drgań. Rodzic sam ogranicza amplitudę, pchając słabiej, czyli działa jak nieliniowe nasycenie.
Zbyt szybki autopilot. Inżynier podwaja wzmocnienie autopilota, żeby szybciej trzymał kurs. Zapas fazy spada z $50^\circ$ do $20^\circ$ . Dlaczego, skoro faza obiektu się nie zmieniła?
Rozwiązanie
1. Faza każdej częstotliwości jest ta sama, ale większe wzmocnienie przesuwa $\omega_c$ w prawo, tam gdzie faza jest niższa (inercje, opóźnienia).
2. Zapas fazy to faza w $\omega_c$ , więc zależy od wzmocnienia pośrednio, przez przesunięcie punktu, w którym ją odczytujemy.
Najmniejsza odległość od −1. Pokaż, że $\min_\omega|1 + L(j\omega)| = 1/\max_\omega|S(j\omega)|$ . Dlaczego ta liczba lepiej opisuje odporność pętli niż dwa klasyczne zapasy?
Rozwiązanie
1. $|S| = \frac{1}{|1 + L|}$ , więc maksimum $|S|$ odpowiada minimum $|1 + L|$ , czyli najbliższemu punktowi krzywej względem −1.
2. Zapas fazy patrzy tylko na okrąg jednostkowy, zapas wzmocnienia tylko na oś rzeczywistą. Krzywa może podejść blisko −1 gdzie indziej, np. przy jednoczesnej zmianie wzmocnienia i fazy. Typowe wymaganie to $\max|S| < 2$ (6 dB), czyli odległość co najmniej 0,5.
Smith i jego predyktor. W procesach z długim opóźnieniem (np. walcownia, gdzie grubość blachy mierzy się kilka metrów za walcami) stosuje się regulator z wbudowanym modelem obiektu, który „przewiduje” wyjście przed upływem opóźnienia. Dlaczego to pozwala zwiększyć $\omega_c$ ? Co jest ceną?
Rozwiązanie
1. Regulator zamyka wewnętrzną pętlę na wyjściu modelu bez opóźnienia, więc z jego punktu widzenia opóźnienie znika z pętli i nie zjada fazy. Rzeczywisty pomiar służy tylko do korekcji błędu modelu.
2. Cena: działa dobrze tylko przy dokładnym modelu, zwłaszcza dokładnej wartości opóźnienia. Opóźnienie i tak zostaje w odpowiedzi na zakłócenia: ich wpływ zobaczysz dopiero po czasie $\theta$ (Frank, rozdz. 13.5).
Dwa przejścia przez 0 dB. Słabo tłumiony rezonans obiektu powyżej $\omega_c$ może ponownie podnieść $|L|$ powyżej 0 dB. Co wtedy znaczy „zapas fazy”? Dlaczego tu przydaje się wykres Nyquista?
Rozwiązanie
1. Są dwie (lub więcej) częstotliwości przejścia; trzeba sprawdzić fazę w każdej. Przy rezonansie faza jest często daleko poza $-180^\circ$ i drugie przejście może oznaczać niestabilność, choć pierwsze ma duży zapas.
2. Wykres Nyquista pokazuje całą krzywą naraz: rezonans to dodatkowa pętelka, która może objąć −1. Pojedyncze liczby z Bodego mogą to przeoczyć (zadanie 8.4 lekcji 2.3).

9 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Dlaczego punkt −1?

Bo $1 + L = 0$ to biegun pętli zamkniętej; dla $s = j\omega$ sygnał wraca po obiegu tej samej amplitudy i w tej samej fazie.

2 Jak zdefiniowany jest zapas fazy?

$180^\circ + \arg L(j\omega_c)$ .

3 Jak zdefiniowany jest zapas wzmocnienia?

$1/|L(j\omega_{180})|$ , gdzie faza wynosi $-180^\circ$ .

4 Ile wynosi zapas opóźnienia?

$\varphi_m$ (w radianach) przez $\omega_c$ .

5 Jak zapas fazy przekłada się na tłumienie?

$\zeta \approx \varphi_m/100^\circ$ (do ok. $60^\circ$ ).

6 Co mówi kryterium Nyquista dla stabilnego obiektu?

Pętla zamknięta stabilna wtedy i tylko wtedy, gdy wykres $L(j\omega)$ nie obiega −1.

7 Jak szybka może być pętla z opóźnieniem

\theta

$\omega_c \lesssim 0{,}8/\theta$ dla zapasu fazy ok. $45^\circ$ .

8 Co to jest PIO?

Oscylacje wywołane przez pilota: pętla pilot–samolot traci zapas fazy przez opóźnienia i zbyt dużą czułość.

10 Karta wzorów i co dalej

Stabilność i zapasy

granica: $L(j\omega) = -1$ ( $|L| = 1$ i faza $-180^\circ$ )

$\varphi_m = 180^\circ + \arg L(j\omega_c)$ ; $\;GM = 1/|L(j\omega_{180})|$

$\theta_m = \varphi_m[\text{rad}]/\omega_c$

$\zeta \approx \varphi_m/100^\circ$ ; cel: $\varphi_m$ 45–60°, $GM$ 6–12 dB

$\min|1 + L| = 1/\max|S|$ ; cel: $\max|S| < 2$

Nyquist i opóźnienie

obiekt stabilny: stabilnie ⇔ $L(j\omega)$ nie obiega −1

ogólnie: $Z = N + P$

$e^{-\theta s}$ : obrót o $-\omega\theta$ , moduł bez zmian

$\omega_c\theta \lesssim \pi/4$ (zapas ok. $45^\circ$ )

prysznic: $\varphi_m = 90^\circ - k\theta$

Do przeczytania

Obowiązkowo: G. C. Goodwin i in., Control System Design, rozdz. 5.7–5.8 (kryterium Nyquista, zapasy stabilności).
Dla chętnych: S. A. Frank, Control Theory Tutorial, rozdz. 8.2 (zapasy) i 13 (opóźnienia, predyktor Smitha); H. Nyquist, Regeneration Theory, Bell System Technical Journal 11 (1932), oryginał zaskakująco czytelny.

Następna lekcja: Zakłócenia, szum i wrażliwość. Wiemy, jak daleko pętla jest od niestabilności. Ostatnia lekcja części II pokazuje, że funkcje $S$ i $T$ ustalają dwa przeciwstawne cele: tłumić zakłócenia (duże $|L|$ ) i nie przepuszczać szumu czujnika (małe $|L|$ ). Zobaczymy, jak kształtować $L$ korektorami, żeby pogodzić jedno z drugim, i dlaczego nie da się wygrać na wszystkich częstotliwościach naraz.