3.2 Strojenie: model z testu, reguły nastaw i regulacja kaskadowa

0 Prolog: dwóch inżynierów i ćwierć amplitudy

W 1942 r. John Ziegler i Nathaniel Nichols z firmy Taylor Instrument Companies opublikowali artykuł „Optimum settings for automatic controllers”. Regulatory PID były wtedy pneumatyczne, a ich strojenie było sztuką: technik kręcił pokrętłami, aż proces „wyglądał dobrze”. Na podstawie wielu prób Ziegler i Nichols zaproponowali dwie proste recepty. Pierwsza wymaga odczytu dwóch liczb z odpowiedzi skokowej, druga zmierzenia wzmocnienia, przy którym pętla zaczyna oscylować.

Ich kryterium dobrej regulacji było takie: po zakłóceniu każda kolejna oscylacja ma być ok. 4 razy mniejsza od poprzedniej (ćwierć amplitudy). Dla rafinerii lat 40. to było rozsądne, bo zakłócenia trzeba było szybko zbić. Dziś wiemy, że takie nastawy są agresywne i mało odporne na błędy modelu. Mimo to reguły Zieglera–Nicholsa są wciąż w każdym podręczniku, bo dają pierwsze sensowne nastawy w minutę.

Pytanie na start. Piec z lekcji 1.2 ( $K = 30$ °C/kW, $\tau = 9$ min, $\theta = 6$ min) stroimy regułą Zieglera–Nicholsa dla PID. Zapas fazy wychodzi aż $65^\circ$ . Czy to znaczy, że pętla jest bezpiecznie daleko od niestabilności? Odpowiedź w części 2.

1 Model z testu skokowego

W lekcji 1.2 Jak reagują układy: człony podstawowe i odpowiedź skokowa poznaliśmy człon inercyjny z opóźnieniem (FOPDT):

G(s) = \frac{K\,e^{-\theta s}}{\tau s + 1} .

Przepis na test: ustal proces w punkcie pracy, zmień skokowo sterowanie o $\Delta u$ (np. moc grzałki o 2 kW), zapisz wyjście do ustalenia. Potem odczytaj $K = \Delta y/\Delta u$ i chwile $t_{28}$ , $t_{63}$ , w których wyjście przebyło 28,3% i 63,2% zmiany. Stąd $\tau = 1{,}5(t_{63} - t_{28})$ , $\theta = t_{63} - \tau$ .

Obiekty z wieloma inercjami (piece, wymienniki ciepła, zbiorniki połączone szeregowo) mają odpowiedź w kształcie litery S. Model FOPDT ją przybliża: powolny początek „S” udaje opóźnienie. Na przykład obiekt $\frac{30}{(5s + 1)(3s + 1)(2s + 1)(s + 1)}$ (czas w minutach) daje z metody dwóch punktów $\tau \approx 7{,}3$ min i $\theta \approx 4{,}5$ min, choć prawdziwego opóźnienia nie ma. Liczy się stosunek $\theta/\tau$ : im większy, tym trudniej regulować, bo opóźnienie ogranicza szybkość pętli (lekcja 2.4 Stabilność pętli: punkt −1, zapasy i opóźnienie).

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 20 min

Zawór pary otwarto o 10%. Temperatura wzrosła o 25 °C, 28,3% zmiany osiągnęła po 4 min, 63,2% po 10 min. Podaj $K$ , $\tau$ , $\theta$ .

Odpowiedź
$K = 2{,}5$ °C/%, $\tau = 1{,}5\cdot 6 = 9$ min, $\theta = 10 - 9 = 1$ min.
Który z obiektów będzie trudniejszy do regulacji: piec ( $\tau = 9$ , $\theta = 6$ min) czy wymiennik z zadania 1.1? Dlaczego?

Odpowiedź
Piec: $\theta/\tau = 0{,}67$ , wymiennik $0{,}11$ . Duże opóźnienie względem stałej czasowej zmusza do wolnej pętli ( $\omega_c \lesssim 1/\theta$ ).
Dlaczego test skokowy robi się w punkcie pracy, a nie od zera (np. od zimnego pieca)?

Odpowiedź
Obiekt jest zwykle nieliniowy: wzmocnienie i stałe czasowe zależą od punktu pracy (straty ciepła rosną z temperaturą). Model liniowy jest dobry tylko w okolicy punktu, w którym go zmierzono. Wraca to w lekcji 3.3 Nieliniowa rzeczywistość: nasycenie, windup, feedforward i gain scheduling (gain scheduling).

2 Reguły Zieglera–Nicholsa

Pierwsza metoda (z krzywej reakcji) korzysta z modelu FOPDT. Druga (oscylacyjna) wymaga doprowadzenia pętli z samym regulatorem P do granicy stabilności: zwiększamy $K_p$ aż do stałych oscylacji, notujemy to wzmocnienie krytyczne $K_u$ i okres oscylacji $T_u$ .Kowal 9.3

regulator	z krzywej reakcji: $K_c$	$T_i$	$T_d$	oscylacyjna: $K_c$	$T_i$	$T_d$
P	$\frac{\tau}{K\theta}$	—	—	$0{,}5K_u$	—	—
PI	$\frac{0{,}9\tau}{K\theta}$	$3{,}3\theta$	—	$0{,}45K_u$	$T_u/1{,}2$	—
PID	$\frac{1{,}2\tau}{K\theta}$	$2\theta$	$0{,}5\theta$	$0{,}6K_u$	$T_u/2$	$T_u/8$

Obie metody dają podobne nastawy, bo $K_u$ i $T_u$ wynikają z $K$ , $\tau$ , $\theta$ (zadanie 2.3). Na piecu PID z krzywej reakcji ma zapas fazy $65^\circ$ , ale zapas wzmocnienia tylko 1,4, a $\max|S| = 3{,}5$ : wykres Nyquista przechodzi 0,29 od punktu −1. Odpowiedź na pytanie z prologu: zapas fazy wcale nie musi być najsłabszym ogniwem. W tej pętli wystarczy, że wzmocnienie obiektu wzrośnie o 40%, i pętla straci stabilność. Dlatego sam zapas fazy nie wystarczy, a lepszą miarą odporności jest $\max|S|$ (lekcja 2.5 Zakłócenia, szum i wrażliwość: S, T i kształtowanie pętli).

Zadania · część 2

3 zadania · ok. 25 min

Policz nastawy Zieglera–Nicholsa (krzywa reakcji) PI i PID dla pieca.

Odpowiedź
PI: $K_c = \frac{0{,}9\cdot 9}{30\cdot 6} = 0{,}045$ kW/°C, $T_i = 20$ min. PID: $K_c = 0{,}06$ kW/°C, $T_i = 12$ min, $T_d = 3$ min.
W symulacji 1 porównaj Z-N PID i Z-N PI pod względem spadku temperatury po zakłóceniu i $\max|S|$ . Co zyskujemy członem D, a co tracimy?

Odpowiedź
PID: spadek ok. 7,4 °C, $\max|S| = 3{,}5$ . PI: ok. 8,5 °C, $\max|S| = 2{,}05$ . D pozwala na większe wzmocnienie i szybsze zbijanie zakłóceń, ale pętla jest bliżej niestabilności (i wzmacnia szum).
Wyznacz $K_u$ i $T_u$ dla pieca z modelu. Wskazówka: przy $\omega_u$ faza wynosi $-180^\circ$ , czyli $\arctan(\omega_u\tau) + \omega_u\theta = \pi$ ; wtedy $K_uK/\sqrt{1 + (\omega_u\tau)^2} = 1$ .

Odpowiedź
Numerycznie $\omega_u \approx 0{,}318$ rad/min, czyli $T_u = 2\pi/\omega_u \approx 19{,}8$ min, $K_u = \sqrt{1 + 2{,}86^2}/30 \approx 0{,}101$ kW/°C. Reguła oscylacyjna dla PID: $K_c = 0{,}061$ , $T_i = 9{,}9$ min, $T_d = 2{,}5$ min, podobnie jak z krzywej reakcji.

3 Test przekaźnikowy

Metoda oscylacyjna ma wadę: trzeba doprowadzić proces do granicy stabilności, a na prawdziwej instalacji nikt tego nie lubi. W 1984 r. Karl Johan Åström i Tore Hägglund zaproponowali sprytniejszą wersję: zamiast regulatora P wstawić przekaźnik, który daje $u = +d$ , gdy uchyb jest dodatni, i $u = -d$ , gdy ujemny. Pętla sama wpada w oscylację o częstotliwości, przy której faza obiektu wynosi w przybliżeniu $-180^\circ$ , a amplituda $a$ jest ograniczona.

Z przybliżenia pierwszą harmoniczną (przekaźnik zastępujemy wzmocnieniem $\frac{4d}{\pi a}$ , bo tyle wynosi amplituda pierwszej harmonicznej prostokąta $\pm d$ podzielona przez $a$ ):

K_u \approx \frac{4d}{\pi a},\qquad T_u \approx \text{okres oscylacji} .

Tak działa „autostrojenie” w wielu przemysłowych regulatorach: przycisk „tune” uruchamia test przekaźnikowy, a regulator sam wylicza nastawy.

Zadania · część 3

3 zadania · ok. 20 min

Przekaźnik ±0,5 kW, oscylacja temperatury o amplitudzie 7,3 °C i okresie 19 min. Oszacuj $K_u$ i podaj nastawy Z-N PI.

Odpowiedź
$K_u \approx \frac{4\cdot 0{,}5}{\pi\cdot 7{,}3} \approx 0{,}087$ kW/°C. PI: $K_c = 0{,}039$ , $T_i = 19/1{,}2 \approx 16$ min.
Estymata $K_u$ z zadania 3.1 jest o ok. 14% mniejsza od dokładnej (0,101). Skąd błąd?

Odpowiedź
Przybliżenie pierwszą harmoniczną zakłada, że wyjście obiektu jest sinusoidą. Piec z opóźnieniem przepuszcza też wyższe harmoniczne prostokąta, więc przebieg jest „trójkątny”, a jego amplituda większa niż samej pierwszej harmonicznej. Błąd rzędu 10–20% jest typowy i w praktyce nieszkodliwy, bo i tak łagodzi się nastawy.
Dlaczego amplituda $d$ przekaźnika jest wygodnym pokrętłem dla operatora?

Odpowiedź
Amplituda oscylacji jest proporcjonalna do $d$ ( $a \approx \frac{4d}{\pi K_u}$ ). Operator wybiera, jak duże wahania temperatury może zaakceptować podczas testu, i dobiera do tego $d$ .

4 Reguły współczesne: SIMC

W 2003 r. Sigurd Skogestad z NTNU zaproponował reguły SIMC (Simple Internal Model Control). Wychodzą z innego pytania: jak szybka ma być pętla zamknięta? Projektant wybiera jedną liczbę, pożądaną stałą czasową $\tau_c$ , a reszta wynika z modelu. Dla FOPDT regulator PI:Skogestad 2003

Reguła SIMC dla PI

K_c = \frac{1}{K}\,\frac{\tau}{\tau_c + \theta},\qquad T_i = \min\big(\tau,\ 4(\tau_c + \theta)\big) .

Zalecenie domyślne: $\tau_c = \theta$ . Daje $\max|S| \approx 1{,}6$ i zapas wzmocnienia ok. 3. Mniejsze $\tau_c$ : szybciej i agresywniej; większe: wolniej i odporniej.

Skąd ten wzór? Zero regulatora PI ( $T_i = \tau$ ) skraca biegun obiektu i zostaje $L(s) = \frac{K_cK}{\tau s}e^{-\theta s}$ . To całkowanie z opóźnieniem, które daje pętlę zamkniętą zbliżoną do $\frac{e^{-\theta s}}{\tau_cs + 1}$ . Ograniczenie $T_i \le 4(\tau_c + \theta)$ chroni przed zbyt wolnym usuwaniem zakłóceń, gdy $\tau$ jest bardzo duże.

Zadania · część 4

3 zadania · ok. 20 min

SIMC PI dla pieca z $\tau_c = \theta = 6$ min.

Odpowiedź
$K_c = \frac{1}{30}\cdot\frac{9}{12} = 0{,}025$ kW/°C, $T_i = \min(9, 48) = 9$ min.
Pokaż, że przy $T_i = \tau$ pętla ma postać $L = \frac{K_cK}{\tau s}e^{-\theta s}$ i że częstotliwość przejścia to $\omega_c = \frac{K_cK}{\tau} = \frac{1}{\tau_c + \theta}$ .

Odpowiedź
$C = K_c\frac{\tau s + 1}{\tau s}$ ; razem z $\frac{K}{\tau s + 1}$ zostaje $\frac{K_cK}{\tau s}$ . $|L(j\omega)| = 1$ przy $\omega = K_cK/\tau$ , a z wzoru na $K_c$ : $\frac{1}{\tau_c + \theta}$ . Dla pieca: $1/12$ rad/min.
Dla $\tau_c = \theta$ zapas fazy pętli z zadania 4.2 to $90^\circ - \omega_c\theta$ (w radianach na stopnie). Policz go.

Odpowiedź
$\omega_c\theta = \frac{\theta}{2\theta} = 0{,}5$ rad $= 28{,}6^\circ$ , zapas fazy $61{,}4^\circ$ , niezależnie od obiektu. To dlatego SIMC daje przewidywalną odporność.

5 Regulacja kaskadowa

Gdy między sterowaniem a wyjściem jest wielkość pośrednia, którą da się zmierzyć, można zbudować kaskadę: regulator zewnętrzny (nadrzędny) nie steruje obiektem, tylko wydaje wartość zadaną regulatorowi wewnętrznemu (podrzędnemu). W dronie:Goodwin 10.9

z_\text{zad} \xrightarrow{\ \text{P}\ } v_\text{zad} \xrightarrow{\ \text{PI}\ } \text{ciąg} \to v \to z .

Tak zbudowane są kontrolery lotu, np. PX4: pozycja → prędkość → orientacja → prędkość kątowa → silniki, każda pętla szybsza od poprzedniej. Korzyści:

zakłócenia w pętli wewnętrznej (paczka, podmuch zmieniający prędkość) są zbijane, zanim wpłyną na wielkość zewnętrzną;
ograniczenia: wielkość pośrednią łatwo ograniczyć (maks. prędkość wznoszenia), czego jeden PID nie potrafi;
strojenie od środka: najpierw pętla wewnętrzna, potem zewnętrzna widzi prostszy obiekt (dla drona: prawie czyste całkowanie $\frac1s$ ).

Warunek: pętla wewnętrzna musi być wyraźnie szybsza, zwykle 3–10 razy. Wtedy z punktu widzenia pętli zewnętrznej pętla wewnętrzna działa prawie natychmiast ( $T_v \approx 1$ ), a pętla zewnętrzna widzi obiekt $\frac1s$ . Wystarcza jej regulator P: całka w pętli wewnętrznej i tak usuwa uchyb od stałej siły.

Zadania · część 5

3 zadania · ok. 25 min

Wewnętrzna pętla PI prędkości ma $\omega_c = 3{,}6$ rad/s. Jaki zakres $\omega_c$ jest rozsądny dla pętli wysokości i jakie $K_z$ to daje (obiekt zewnętrzny $\approx\frac1s$ )?

Odpowiedź
3–10 razy wolniej: ok. 0,4–1,2 rad/s. Dla $\frac{K_z}{s}$ jest $\omega_c = K_z$ , czyli $K_z \approx 0{,}4$ –1,2 1/s. Dla $K_z = 1$ dokładny wynik: $\omega_c = 1{,}06$ rad/s, zapas fazy $77^\circ$ .
W symulacji 3 porównaj skok o 5 m dla kaskady (z limitem 2 m/s) i jednego PID. Skąd ogromny przelot PID?

Odpowiedź
Kaskada: bez przeregulowania, prędkość ok. 2 m/s, ustalenie ok. 4,5 s. PID: ok. 50% przeregulowania (2,5 m) i prędkość do 7,6 m/s. PID dostaje duży uchyb, ciąg wchodzi w nasycenie, a całka przez cały czas wznoszenia rośnie (windup), więc dron „przestrzeliwuje”. Lekarstwa w lekcji 3.3.
W symulacji 3 przy domyślnych nastawach spadek po paczce jest większy w kaskadzie (ok. 11,5 cm) niż w PID (ok. 8 cm). Czy to podważa zalety kaskady? Jak to poprawić?

Odpowiedź
Nie: zbijanie zakłóceń zależy od szybkości pętli, w której zakłócenie działa. Wewnętrzna PI ( $\omega_c = 3{,}6$ ) jest wolniejsza od PID ( $\omega_c = 4{,}4$ ). Zwiększenie $K_p$ pętli wewnętrznej do 7 (i proporcjonalnie $K_i$ do 8) zmniejsza spadek do ok. 5,4 cm, a do 10 (z $K_i \approx 11{,}4$ ) do ok. 3,7 cm. Tak skaluje oba wzmocnienia suwak w symulacji 3. Kaskada pozwala stroić tę pętlę agresywnie, bo zewnętrzna widzi wtedy prawie idealne całkowanie.

6 Metoda i przykłady rozwiązane

Metoda: uruchomienie pętli bez modelu

Test: skok sterowania w punkcie pracy (FOPDT z 28% i 63%) albo test przekaźnikowy ( $K_u$ , $T_u$ ).
Ocena trudności: $\theta/\tau$ . Powyżej ok. 1 opóźnienie dominuje (lekcja 2.4).
Pierwsze nastawy: SIMC z $\tau_c = \theta$ (odporne) albo Z-N (szybkie, potem złagodzić).
Struktura: PI-D lub I-PD, filtr D (lekcja 3.1); kaskada, jeśli jest mierzalna wielkość pośrednia.
Sprawdzenie: zakłócenie i zmiana wartości zadanej na obiekcie; jeśli jest model, $\max|S| < 2$ .

Przykład 6.1 Trzy reguły na jednym piecu

Piec $K = 30$ °C/kW, $\tau = 9$ min, $\theta = 6$ min. Porównaj Z-N PI, Z-N PID (D od pomiaru, $N = 10$ ) i SIMC PI ( $\tau_c = 6$ min) pod względem odpowiedzi na skok wartości zadanej, zakłócenia −0,5 kW i odporności.

Nastawy: Z-N PI $0{,}045$ / 20 min; Z-N PID $0{,}06$ / 12 / 3 min; SIMC $0{,}025$ / 9 min.
Skok wartości zadanej (symulacja): przeregulowanie 3,6%, 21%, 4,1%; czas ustalania 82, 47, 36 min.
Zakłócenie (największy spadek): 8,5 °C, 7,4 °C, 9,1 °C.
Odporność: $\max|S| = 2{,}05$ , 3,5, 1,59; zapas wzmocnienia 2,1, 1,4, 3,1.

Wynik: Z-N PID najszybciej zbija zakłócenia, ale jest najbliżej niestabilności. SIMC najszybciej ustala się po zmianie wartości zadanej i jest najodporniejszy; zakłócenie zbija trochę wolniej.

Sprawdzenie: w symulacji 1 te liczby da się odczytać bezpośrednio (w SIMC ustaw $\tau_c = 6$ min) ✓. Uwaga: Z-N PI ma małe przeregulowanie, a mimo to bardzo długi czas ustalania (zbyt duże $T_i$ powoduje powolny „ogon”).

Przykład 6.2 Pokrętło τ_c

SIMC PI dla pieca dla $\tau_c = 3$ , 6, 12 min. Jak zmienia się kompromis?

$\tau_c = 3$ : $K_c = 0{,}033$ , przeregulowanie 18%, spadek po zakłóceniu 8,8 °C, $\max|S| = 1{,}92$ .
$\tau_c = 6$ : $K_c = 0{,}025$ , 4,1%, 9,1 °C, $\max|S| = 1{,}59$ .
$\tau_c = 12$ : $K_c = 0{,}017$ , 0%, 9,7 °C, $\max|S| = 1{,}35$ .

Wynik: jedno pokrętło przesuwa pętlę między „szybko i nerwowo” a „wolno i odpornie”.

Sprawdzenie: nawet najagresywniejsza wersja ( $\tau_c = 3$ ) jest odporniejsza od Z-N PID ✓. Spadek po zakłóceniu prawie się nie zmienia, bo ogranicza go opóźnienie: przez pierwsze 6 minut regulator i tak nic nie wie.

Przykład 6.3 Kaskada wysokości drona

Pętla wewnętrzna: PI prędkości ( $K_p = 3{,}5$ , $K_i = 4$ , $\omega_c = 3{,}6$ rad/s). Dobierz $K_z$ pętli zewnętrznej P.

Obiekt zewnętrzny: $\frac{T_v(s)}{s}$ , gdzie $T_v$ to pętla zamknięta prędkości.
$K_z = 1$ : $\omega_c = 1{,}06$ rad/s, zapas fazy $77^\circ$ , bez przeregulowania, czas narastania 1,5 s.
$K_z = 2$ : $\omega_c = 2{,}0$ , zapas $60^\circ$ , przeregulowanie 7%; $\omega_c$ już tylko 1,8 razy mniejsza od wewnętrznej.

Wynik: $K_z = 1$ 1/s: spokojna pętla zewnętrzna, ok. 3,4 razy wolniejsza od wewnętrznej.

Sprawdzenie: po paczce uchyb wysokości wraca do zera, choć zewnętrzny regulator nie ma całki: całka pętli wewnętrznej dostarcza brakującą siłę, a w stanie ustalonym $v = 0$ wymusza $z = z_\text{zad}$ ✓.

7 Błędne intuicje, których trzeba się oduczyć

„Ziegler–Nichols daje nastawy optymalne.”: „Optymalne” dla kryterium ćwierć amplitudy z 1942 r. Dla większości współczesnych zastosowań są za agresywne, zwłaszcza PID: $\max|S|$ rzędu 3, zapas wzmocnienia 1,4–1,6 (wersja PI jest łagodniejsza: $\max|S| \approx 2$ ).
„Duży zapas fazy = odporna pętla.”: Zapas fazy mierzy tylko jeden punkt. Pętla może mieć $65^\circ$ i jednocześnie zapas wzmocnienia 1,4. $\max|S|$ łapie oba przypadki.
„Model FOPDT jest za prosty, żeby był użyteczny.”: Do strojenia PID wystarcza zaskakująco często: regulator i tak ma tylko 2–3 parametry, a metody odporne (SIMC) tolerują błędy modelu.
„Kaskada zawsze lepiej tłumi zakłócenia.”: Tylko zakłócenia działające w pętli wewnętrznej i tylko wtedy, gdy ta pętla jest szybka. Główne zalety to ograniczenia i łatwiejsze strojenie.
„Pętlę zewnętrzną stroi się pierwszą.”: Odwrotnie: od środka. Pętla zewnętrzna widzi pętlę wewnętrzną jako część obiektu.

8 Zadania do przemyślenia

Te zadania wymagają więcej myślenia niż liczenia.

Zadania do przemyślenia

5 zadań · ok. 1,5 godziny

Prysznic kaskadowo. Prysznic z lekcji 1.1 ma długą rurę (opóźnienie) między zaworem a głowicą. Gdzie dałoby się zmierzyć wielkość pośrednią i jak zbudować kaskadę? Co zyskamy?
Rozwiązanie
1. Temperatura tuż za mieszaczem (przed rurą). Pętla wewnętrzna: zawór → temperatura za mieszaczem, bez opóźnienia, szybka. Zewnętrzna: temperatura na głowicy → wartość zadana dla wewnętrznej.
2. Zmiany ciśnienia zimnej wody (typowe zakłócenie) są zbijane w pętli wewnętrznej, zanim gorąca lub zimna woda wejdzie do rury. Opóźnienie rury dalej ogranicza pętlę zewnętrzną, ale ta ma mniej do roboty.
Obiekt całkujący. Poziom wody w zbiorniku z odpływem przez pompę o stałej wydajności to obiekt $\frac{k}{s}e^{-\theta s}$ . Jak wygląda jego odpowiedź skokowa i dlaczego reguła FOPDT z 28% i 63% zawodzi?
Rozwiązanie
1. Odpowiedź to rampa (po opóźnieniu), bez ustalenia. Nie ma końcowej wartości, więc nie ma 28% ani 63%.
2. Mierzy się nachylenie rampy ( $k\Delta u$ ) i opóźnienie. SIMC ma osobną regułę: $K_c = \frac{1}{k(\tau_c + \theta)}$ , $T_i = 4(\tau_c + \theta)$ , czyli przypadek graniczny $\tau \to \infty$ przy $K/\tau = k$ .
Test w złym momencie. Podczas testu skokowego pieca ktoś otworzył drzwi. Jak to zepsuje model i jak się przed tym bronić?
Rozwiązanie
1. Spadek temperatury nałoży się na odpowiedź: $K$ wyjdzie za małe, $t_{63}$ przesunięte. Nastawy będą za agresywne (za małe $K$ → za duże $K_c$ ).
2. Obrona: powtórzyć test, zrobić skok w obie strony (w górę i w dół) i uśrednić, dopasować model metodą najmniejszych kwadratów do całego przebiegu (lekcja 1.2), sprawdzić, czy przed testem proces był ustalony.
Dlaczego ćwierć amplitudy? Stosunek kolejnych amplitud $1/4$ oznacza dla pary biegunów pewne tłumienie. Policz je i oceń, czy to „dobra” pętla w sensie z lekcji 2.2.
Rozwiązanie
1. Dekrement logarytmiczny: $\ln 4 = \frac{2\pi\zeta}{\sqrt{1 - \zeta^2}}$ , stąd $\zeta \approx 0{,}22$ .
2. Przeregulowanie dla skoku ok. 50%, zapas fazy ok. $25^\circ$ . Według dzisiejszych standardów to pętla słabo tłumiona.
Trzy pętle drona. W kontrolerze lotu wysokość → prędkość → ciąg, a orientacja ma własną kaskadę kąt → prędkość kątowa → moment. Orientacyjne częstotliwości przejścia (rzędy wielkości, zależą od konstrukcji): prędkość kątowa 30–60 rad/s, kąt ok. 10 rad/s, prędkość 2–4 rad/s, pozycja ok. 1 rad/s. Sprawdź regułę 3–10 razy. Co by się stało, gdyby pętla prędkości kątowej była wolna, np. 5 rad/s?
Rozwiązanie
1. Stosunki: 3–6, ok. 3–5, 2–4: na granicy reguły, ale typowo spełniona. Każda pętla widzi następną jako prawie natychmiastową.
2. Wolna pętla prędkości kątowej zmusiłaby wszystkie pętle zewnętrzne do zwolnienia ( $\le 1{,}5$ rad/s dla kąta, $\le 0{,}5$ dla prędkości, ok. 0,1 dla pozycji). Dron reagowałby na podmuch po kilku sekundach. Dlatego pętlę najbardziej wewnętrzną (żyroskop → silniki) liczy się z częstotliwością kilku kHz (lekcja 3.4 Sterowanie cyfrowe: próbkowanie, transformata Z i regulator w kodzie).

9 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Jak z odpowiedzi skokowej wyznaczyć

\tau

\theta

$\tau = 1{,}5(t_{63} - t_{28})$ , $\theta = t_{63} - \tau$ .

2 Jakie kryterium przyjęli Ziegler i Nichols?

Ćwierć amplitudy: każda kolejna oscylacja po zakłóceniu ok. 4 razy mniejsza.

3 Co to

K_u

T_u

Wzmocnienie regulatora P, przy którym pętla oscyluje ze stałą amplitudą, i okres tych oscylacji.

4 Jak test przekaźnikowy daje

K_u

Przekaźnik ±d wymusza oscylację przy fazie $-180^\circ$ ; $K_u \approx 4d/(\pi a)$ .

5 Jaka jest reguła SIMC dla PI?

$K_c = \frac{\tau}{K(\tau_c + \theta)}$ , $T_i = \min(\tau, 4(\tau_c + \theta))$ , domyślnie $\tau_c = \theta$ .

6 Dlaczego

\max|S|

jest lepszą miarą odporności niż zapas fazy?

Bo to odwrotność najmniejszej odległości od −1 na wykresie Nyquista: łapie zarówno mały zapas fazy, jak i mały zapas wzmocnienia.

7 Kiedy kaskada ma sens?

Gdy jest mierzalna wielkość pośrednia, przez którą działają zakłócenia lub którą chcemy ograniczać, i pętla wewnętrzna może być 3–10 razy szybsza.

8 Od której pętli stroimy kaskadę?

Od wewnętrznej.

10 Karta wzorów i co dalej

Model i Ziegler–Nichols

FOPDT: $\frac{Ke^{-\theta s}}{\tau s + 1}$ ; $\tau = 1{,}5(t_{63} - t_{28})$ , $\theta = t_{63} - \tau$

Z-N PI: $\frac{0{,}9\tau}{K\theta}$ , $3{,}3\theta$ ; PID: $\frac{1{,}2\tau}{K\theta}$ , $2\theta$ , $0{,}5\theta$

oscylacyjna PI: $0{,}45K_u$ , $T_u/1{,}2$ ; PID: $0{,}6K_u$ , $T_u/2$ , $T_u/8$

przekaźnik: $K_u \approx \frac{4d}{\pi a}$

SIMC i kaskada

SIMC PI: $K_c = \frac{\tau}{K(\tau_c + \theta)}$ , $T_i = \min(\tau, 4(\tau_c + \theta))$

$\tau_c = \theta$ : $\omega_c = \frac{1}{2\theta}$ , zapas fazy $\approx 61^\circ$

kaskada: wewnętrzna 3–10× szybsza; strojenie od środka

dron: $K_z\cdot$ P → PI prędkości; $\omega_c \approx K_z$

Do przeczytania

Obowiązkowo: J. Kowal, Podstawy automatyki, rozdz. 9.3 (dobór nastaw, po polsku); G. C. Goodwin i in., Control System Design, rozdz. 6.3–6.5 (strojenie empiryczne) i 10.9 (kaskada).
Dla chętnych: S. Skogestad, „Simple analytic rules for model reduction and PID controller tuning”, Journal of Process Control 13 (2003), czytelny i praktyczny; K. J. Åström, T. Hägglund, Advanced PID Control, rozdz. o autostrojeniu i teście przekaźnikowym.

Wszystko, co robiliśmy, zakładało liniowość. Prawdziwe silniki mają granice ciągu, a regulator, który o nich nie wie, robi głupstwa, co widać było przy skoku o 5 m. Następna lekcja zajmuje się nieliniową rzeczywistością: nasyceniem i windupem, sterowaniem w przód (feedforward), które odciąża pętlę, i zmianą nastaw z punktem pracy.

0 Prolog: dwóch inżynierów i ćwierć amplitudy

1 Model z testu skokowego

2 Reguły Zieglera–Nicholsa

3 Test przekaźnikowy

4 Reguły współczesne: SIMC

5 Regulacja kaskadowa

6 Metoda i przykłady rozwiązane

Przykład 6.1 Trzy reguły na jednym piecu

Przykład 6.2 Pokrętło τc

Przykład 6.3 Kaskada wysokości drona

7 Błędne intuicje, których trzeba się oduczyć

8 Zadania do przemyślenia

9 Sprawdź się

10 Karta wzorów i co dalej

Do przeczytania

Przykład 6.2 Pokrętło τ_c