2.1 Schematy blokowe i transmitancja pętli · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Prolog: wzmacniacze, które wyły

Wzmacniacz Blacka z lekcji 1.1 Po co sprzężenie zwrotne? Pętla otwarta i zamknięta miał kłopot, którego nie widać w statyce. Część egzemplarzy zamiast wzmacniać rozmowę, zaczynała sama z siebie gwizdać. Wzmocnienie pętli $A\beta$ było duże w całym paśmie pracy, a lampy i transformatory opóźniały sygnał tym bardziej, im szybciej się zmieniał. Dla jakiejś częstotliwości sygnał wracał po obiegu pętli odwrócony w fazie i dodawał się zamiast odejmować, jak w prysznicu z długą rurą.

W 1932 r. Harry Nyquist, kolega Blacka z Bell Labs, opublikował artykuł Regeneration Theory, w którym podał warunek, kiedy taki wzmacniacz będzie stabilny. Kilka lat później Hendrik Bode zamienił jego wynik w praktyczną metodę projektowania. Obaj myśleli o pętli jak o iloczynie funkcji częstotliwości: każdy element mnoży sygnał przez swoją zespoloną funkcję, a pętla to ich iloczyn. Część II kursu to ich narzędzia. Ta lekcja przygotowuje język: transmitancje i schematy blokowe.

Pytanie na start. Dron z regulatorem PI prędkości z lekcji 1.3 Regulator P i PI w pętli: dlaczego całka usuwa uchyb miał przeregulowanie 7%, choć jego pętla „powinna” zachowywać się jak człon oscylacyjny z $\zeta = 1$ , czyli bez przelotu. Skąd te 7%? Odpowiedź w części 4.

1 Zmienna s: częstotliwość zespolona

W lekcji 4.4 Transformata Laplace'a transformata Laplace'a zamieniła równanie różniczkowe w algebraiczne. Pochodna stała się mnożeniem przez $s$ , a transmitancja $G(s) = Y(s)/U(s)$ , policzona przy zerowych warunkach początkowych, opisała układ jednym ułamkiem. W automatyce od tej chwili jednostkę urojoną piszemy $j$ , bo $i$ oznacza w elektrotechnice prąd: $s = \sigma + j\omega$ .

Dobrze jest mieć obraz tego, czym jest $s$ . Podajmy na wejście układu liniowego sygnał $u(t) = e^{st}$ . Pochodna takiego sygnału to $se^{st}$ , więc układ opisany równaniem różniczkowym o stałych współczynnikach odpowie (po zaniku stanu przejściowego) sygnałem tego samego kształtu, pomnożonym przez liczbę $G(s)$ :

Sens transmitancji

u(t) = e^{st}\quad\Rightarrow\quad y(t) = G(s)\,e^{st} .

Każdy punkt $s$ płaszczyzny zespolonej to jeden kształt sygnału: $e^{\sigma t}$ razy drgania z częstością $\omega$ . Transmitancja mówi, ile razy układ wzmacnia sygnał tego kształtu. W $s = 0$ (sygnał stały) to wzmocnienie statyczne z lekcji 1.1 Po co sprzężenie zwrotne? Pętla otwarta i zamknięta. Na osi urojonej $s = j\omega$ to odpowiedź na sinusoidę (lekcja 2.3 Odpowiedź częstotliwościowa i charakterystyki Bodego).

Przykład: człon inercyjny $\tau\dot y + y = Ku$ . Wstawiamy $u = e^{st}$ , $y = Ye^{st}$ : $(\tau s + 1)Ye^{st} = Ke^{st}$ , więc $Y = \frac{K}{\tau s + 1}$ . Bez transformat, bez całek. To ten sam wynik, który daje transformata Laplace'a.

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 15 min

Jaki sygnał odpowiada punktowi $s = -0{,}5 + j\,2$ ? Po jakim czasie amplituda zmaleje $e$ razy? Jaki jest okres drgań?

Odpowiedź
$e^{-0{,}5t}\cos 2t$ ; amplituda maleje $e$ razy po 2 s; okres $\pi \approx 3{,}14$ s.
Metodą „wstaw $e^{st}$ ” znajdź transmitancję układu $\ddot y + 3\dot y + 2y = u$ .

Odpowiedź
$(s^2 + 3s + 2)Y = 1$ , czyli $G(s) = \frac{1}{s^2 + 3s + 2} = \frac{1}{(s + 1)(s + 2)}$ .
Dla $G(s) = \frac{1}{s + 1}$ oblicz $G(0)$ i $G(j)$ (czyli $s = j\cdot 1$ ). Zinterpretuj oba wyniki.

Odpowiedź
$G(0) = 1$ : sygnał stały przechodzi bez zmian. $G(j) = \frac{1}{1 + j} = \frac{1 - j}{2}$ , moduł $1/\sqrt2 \approx 0{,}71$ , argument $-45^\circ$ : sinusoida o częstości 1 rad/s wychodzi o 29% słabsza i opóźniona o ósmą część okresu.

2 Transmitancje członów i regulatorów

Wszystkie człony z lekcji 1.2 Jak reagują układy: człony podstawowe i odpowiedź skokowa i regulatory z lekcji 1.3 Regulator P i PI w pętli: dlaczego całka usuwa uchyb mają proste transmitancje. Wystarczy zamienić $\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}$ na $s$ , a całkę na $\frac1s$ :Douglas 2.7

Transmitancje, których będziemy używać
element	równanie w czasie	transmitancja
proporcjonalny	$y = Ku$	$K$
inercyjny I rzędu	$\tau\dot y + y = Ku$	$\dfrac{K}{\tau s + 1}$
całkujący	$\dot y = Ku$	$\dfrac{K}{s}$
oscylacyjny II rzędu	$\ddot y + 2\zeta\omega_0\dot y + \omega_0^2y = K\omega_0^2u$	$\dfrac{K\omega_0^2}{s^2 + 2\zeta\omega_0s + \omega_0^2}$
opóźniający	$y(t) = Ku(t - \theta)$	$Ke^{-\theta s}$
regulator P	$u = K_pe$	$K_p$
regulator PI	$u = K_pe + K_i\int e\,\mathrm dt$	$K_p + \dfrac{K_i}{s} = \dfrac{K_ps + K_i}{s}$
dron: ciąg → prędkość	$m\dot v + bv = \Delta T$	$\dfrac{1}{ms + b}$
dron: prędkość → wysokość	$\dot z = v$	$\dfrac1s$

Opóźnienie to jedyny element na liście, którego transmitancja nie jest ilorazem wielomianów. Wynika z reguły przesunięcia z lekcji 4.4 Transformata Laplace'a: sygnał przesunięty o $\theta$ ma transformatę pomnożoną przez $e^{-\theta s}$ . To ta „nieułamkowość” sprawia, że opóźnienie jest tak kłopotliwe (lekcja 2.4 Stabilność pętli: punkt −1, zapasy i opóźnienie).

Zadania · część 2

4 zadania · ok. 25 min

Termometr ma stałą czasową 12 s i wzmocnienie 1. Zapisz jego transmitancję. Ile wynosi jej wartość dla sygnału stałego?

Odpowiedź
$\frac{1}{12s + 1}$ ; $G(0) = 1$ : w stanie ustalonym termometr pokazuje prawdziwą temperaturę.
Regulator PI ma $K_p = 3{,}5$ i $K_i = 4$ (jednostki jak w lekcji 1.3). Ile wynosi czas zdwojenia $T_i$ ? Skąd ta nazwa?

Odpowiedź
$T_i = 3{,}5/4 \approx 0{,}88$ s. Przy stałym uchybie $e_0$ człon P daje od razu $K_pe_0$ , a człon I dokłada $K_ie_0t$ . Po czasie $T_i$ człon I dorównuje członowi P, więc sterowanie się podwaja.
Piec z przykładu 6.2 lekcji 1.2 ma $K = 30$ °C/kW, $\tau = 9$ min, $\theta = 6$ min. Zapisz transmitancję (czas w minutach). Jaki kształt sygnału wejściowego wzmacnia on najbardziej: stały czy szybko zmienny?

Odpowiedź
$G(s) = \frac{30e^{-6s}}{9s + 1}$ . Dla $s = j\omega$ moduł to $\frac{30}{\sqrt{81\omega^2 + 1}}$ : największy dla sygnału stałego, coraz mniejszy dla szybszych zmian. Piec „wygładza” szybkie zmiany mocy.
Pokaż, że transmitancja drona od ciągu do wysokości to $\frac{1}{s(ms + b)}$ . Jakie ma bieguny? Co mówi biegun w zerze?

Odpowiedź
Iloczyn $\frac{1}{ms + b}\cdot\frac1s$ . Bieguny: $0$ i $-b/m$ . Biegun w zerze to całkowanie: odpowiedź na stały nadmiar ciągu nie ustala się, wysokość rośnie bez końca.

3 Algebra schematów blokowych

Schemat blokowy to rysunek równań. Strzałka to sygnał, prostokąt mnoży swój sygnał wejściowy przez transmitancję, a kółko (węzeł sumacyjny) dodaje sygnały ze znakami. Trzy połączenia wystarczą, żeby uprościć każdy schemat, który spotkamy w tym kursie:Douglas 3.3

Trzy podstawowe połączenia bloków i ich transmitancje zastępcze: szeregowe (iloczyn), równoległe (suma) i ze sprzężeniem zwrotnym.

Prawo · połączenia bloków

\text{szeregowe: } G_1G_2,\qquad \text{równoległe: } G_1 + G_2,\qquad \text{sprzężenie ujemne: } \frac{G}{1 + GH} .

Wzór na sprzężenie: $Y = G(R - HY)$ , więc $Y(1 + GH) = GR$ . Licznik to „droga na wprost” od wejścia do wyjścia, mianownik to 1 plus iloczyn transmitancji wzdłuż całej pętli.

Ostatni wzór to wynik lekcji 1.1 Po co sprzężenie zwrotne? Pętla otwarta i zamknięta, tylko że teraz wzmocnienia są funkcjami $s$ . Dla pętli z regulatorem $C$ , obiektem $P$ i czujnikiem bez dynamiki ( $H = 1$ ) oznaczamy transmitancję pętli $L(s) = C(s)P(s)$ . Wtedy:

\frac{Y}{R} = T(s) = \frac{L}{1 + L},\qquad \frac{E}{R} = S(s) = \frac{1}{1 + L},\qquad \frac{Y}{D_\text{wy}} = S(s),\qquad \frac{Y}{N} = -T(s) .

Tu $D_\text{wy}$ to zakłócenie dodające się do wyjścia, a $N$ szum czujnika. $S$ i $T$ to te same czynniki $\frac{1}{1 + L}$ i $\frac{L}{1 + L}$ , które w lekcji 1.1 dzieliły i przenosiły błędy. Teraz zależą od $s$ , czyli od tego, jak szybko zmienia się sygnał. W lekcji 2.5 Zakłócenia, szum i wrażliwość: S, T i kształtowanie pętli zobaczymy, że to klucz do kompromisu między tłumieniem zakłóceń a szumem.

Algebra działa tylko dla układów liniowych i stacjonarnych (LTI, ang. linear time-invariant). Bloki liniowe można zamieniać miejscami, bo mnożenie jest przemienne. Nieliniowych, takich jak nasycenie, nie wolno, a w ogóle nie mają transmitancji.Douglas 3.3.1 Dlatego nasycenie z lekcji 1.3 zawsze sprawdzamy symulacją, a nie wzorem.

Zadania · część 3

4 zadania · ok. 30 min

Pętla ma $G = \frac{10}{s + 1}$ w torze głównym i $H = 1$ . Oblicz transmitancję zamkniętej pętli, jej biegun i wzmocnienie statyczne. Porównaj z $G$ .

Odpowiedź
$T = \frac{10}{s + 11}$ ; biegun $-11$ (pętla otwarta: $-1$ , więc pętla jest 11 razy szybsza); $T(0) = 10/11 \approx 0{,}91$ , uchyb 9%, dokładnie jak $\frac{1}{1 + L}$ z lekcji 1.1.
Dwa bloki $\frac{2}{s + 2}$ i $\frac{1}{s + 1}$ połączono równolegle. Zapisz transmitancję zastępczą jako jeden ułamek.

Odpowiedź
$\frac{2(s + 1) + (s + 2)}{(s + 1)(s + 2)} = \frac{3s + 4}{(s + 1)(s + 2)}$ .
Wyprowadź transmitancję od zakłócenia $D$ działającego na wejście obiektu (np. podmuch to siła, a nie przesunięcie wyjścia) do wyjścia $Y$ w pętli z $C$ i $P$ .

Odpowiedź
$Y = P(D + U)$ , $U = -CY$ (dla $R = 0$ ). Stąd $Y(1 + CP) = PD$ : $\frac{Y}{D} = \frac{P}{1 + CP} = PS$ . Zakłócenie na wejściu obiektu jest najpierw filtrowane przez sam obiekt.
Czujnik ma transmitancję $H(s) = \frac{1}{0{,}1s + 1}$ . Ile wynosi $\frac{Y}{R}$ w pętli z $C = K_p$ i $P = \frac{1}{s + 0{,}5}$ ? Czy wzmocnienie statyczne się zmieniło?

Odpowiedź
$\frac{Y}{R} = \frac{CP}{1 + CPH} = \frac{K_p(0{,}1s + 1)}{(s + 0{,}5)(0{,}1s + 1) + K_p}$ . W $s = 0$ : $\frac{K_p}{0{,}5 + K_p}$ , tak samo jak bez inercji czujnika, bo $H(0) = 1$ . Zmienia się dynamika (przykład 6.3).

4 Pętla drona w transmitancjach

Przepiszmy pętlę prędkości z lekcji 1.3 Regulator P i PI w pętli: dlaczego całka usuwa uchyb. Obiekt $P = \frac{1}{ms + b}$ , regulator $C = \frac{K_ps + K_i}{s}$ , więc

L = \frac{K_ps + K_i}{s(ms + b)},\qquad T = \frac{L}{1 + L} = \frac{K_ps + K_i}{ms^2 + (b + K_p)s + K_i} .

Mianownik to dokładnie równanie z lekcji 1.3, $m\ddot v + (b + K_p)\dot v + K_iv$ , tylko zapisane literą $s$ . Ale w liczniku jest coś, czego w członie oscylacyjnym nie było: $K_ps + K_i$ . Ten wielomian ma pierwiastek $s = -K_i/K_p$ , który nazywa się zerem transmitancji. Dla $K_p = 3{,}5$ i $K_i = 4$ (przy $m = 1$ kg): mianownik $s^2 + 4s + 4 = (s + 2)^2$ to podwójny biegun w $-2$ , czyli $\zeta = 1$ . Zero leży w $-1{,}14$ .

Odpowiedź na pytanie z prologu: zero w liczniku to człon $K_ps$ , czyli pochodna wartości zadanej, przepuszczona przez człon oscylacyjny. Skok wartości zadanej daje przez $K_p$ natychmiastowe szarpnięcie, które dodaje się do łagodnej odpowiedzi z $\zeta = 1$ . Zero leży bliżej osi urojonej niż bieguny, więc jego wpływ jest wyraźny: 7% przeregulowania. Jak zera kształtują odpowiedź, zobaczymy w lekcji 2.2 Bieguny i zera pętli zamkniętej, linie pierwiastkowe.

Podmuch (siła $F$ na wejściu obiektu) przechodzi na prędkość przez

\frac{V}{F} = \frac{P}{1 + CP} = \frac{s}{ms^2 + (b + K_p)s + K_i} .

Licznik ma zero w $s = 0$ , więc dla stałej siły ( $s = 0$ ) wzmocnienie jest zerowe: całka usuwa wpływ stałego zakłócenia. W lekcji 1.3 udowodniliśmy to rozumowaniem o stanie ustalonym. Tu wystarczy spojrzeć na licznik.

Te same rachunki można zlecić komputerowi. Pakiet python-control robi to w kilku linijkach i będzie nam towarzyszył do końca kursu (odpowiada skrzynce narzędziowej MATLAB-a, której używa Tewari):

Python · petla_tf.py (pip install control)

import control as ct            # pip install control
s = ct.tf('s')
m, b = 1.0, 0.5
P = 1 / (m * s + b)             # obiekt: ciąg -> prędkość pionowa
C = 3.5 + 4 / s                 # regulator PI z lekcji 1.3
L = C * P                       # transmitancja pętli
T = ct.feedback(L, 1)           # r -> v:  L/(1 + L)
Fv = ct.feedback(P, C)          # podmuch F -> v:  P/(1 + CP)
print(T)                        # (3.5 s + 4) / (s^2 + 4 s + 4)
print("bieguny:", ct.poles(T), " zera:", ct.zeros(T))
print("przeregulowanie: %.1f %%" % ct.step_info(T)["Overshoot"])   # 7.3 %
print("podmuch, wartość ustalona:", ct.dcgain(Fv))                 # 0.0

Zadania · część 4

3 zadania · ok. 25 min

Dla regulatora P ( $K_i = 0$ ) zapisz $T(s)$ pętli prędkości drona. Odczytaj stałą czasową i wzmocnienie statyczne i porównaj z ramką z lekcji 1.3.

Odpowiedź
$T = \frac{K_p}{ms + b + K_p}$ : człon inercyjny o $\tau_\text{z} = \frac{m}{b + K_p}$ i wzmocnieniu $\frac{K_p}{b + K_p}$ , czyli uchyb $\frac{b}{b + K_p}$ na jednostkę skoku ✓.
Gdzie leży zero $T(s)$ dla nastaw $K_p = 3{,}7$ , $K_i = 9$ z przykładu 6.2 lekcji 1.3? Bliżej czy dalej od osi urojonej niż bieguny ( $\zeta = 0{,}7$ , $\omega_0 = 3$ )? Czy to zgadza się z dużym przeregulowaniem (17%), które wtedy wyszło?

Odpowiedź
Zero w $-9/3{,}7 \approx -2{,}43$ . Bieguny: $-2{,}1 \pm j\,2{,}14$ , czyli część rzeczywista $-2{,}1$ . Zero leży mniej więcej tak daleko od osi jak bieguny, więc mocno wpływa na odpowiedź i przeregulowanie rośnie z 4,6% do ok. 16–17% ✓.
W lekcji 1.3 człon P liczony tylko od pomiaru, $u = -K_pv + K_i\int e$ , usuwał nadmiarowe przeregulowanie. Wyprowadź $T(s)$ dla tego wariantu i wyjaśnij, gdzie zniknęło zero.

Odpowiedź
$U = \frac{K_i}{s}(R - V) - K_pV$ . Z $V = PU$ : $V\left(ms + b + K_p + \frac{K_i}{s}\right) = \frac{K_i}{s}R$ , czyli $T = \frac{K_i}{ms^2 + (b + K_p)s + K_i}$ . Ten sam mianownik, ale w liczniku tylko stała: zera nie ma, bo wartość zadana nie przechodzi przez człon P.

5 Uchyb ustalony i typ układu

Uchyb to $E = S\,R = \frac{R}{1 + L}$ . Twierdzenie o wartości końcowej z lekcji 4.4 Transformata Laplace'a ( $\lim_{t\to\infty}e(t) = \lim_{s\to0}sE(s)$ , o ile pętla jest stabilna) daje wszystkie wyniki o uchybie z części I jednym ruchem. Dla skoku $R = \frac1s$ i dla rampy $R = \frac{a}{s^2}$ :

Wynik · uchyb ustalony stabilnej pętli

e_\infty^\text{skok} = \frac{1}{1 + L(0)},\qquad e_\infty^\text{rampa} = \frac{a}{K_v},\quad K_v = \lim_{s\to 0}sL(s) .

Typ układu to liczba biegunów w zerze (całkowań) w $L(s)$ . Typ 0: skończony uchyb dla skoku. Typ 1: zerowy dla skoku, skończony dla rampy. Typ 2: zerowy także dla rampy.

Sprawdźmy na przykładach z części I. Regulator P z obiektem inercyjnym: $L(0) = K_p/b$ , typ 0, uchyb $\frac{b}{b + K_p}$ (lekcja 1.3). Regulator PI: biegun $\frac1s$ w regulatorze daje typ 1 i zerowy uchyb dla skoku. Dla rampy $K_v = \lim sL = \frac{K_i}{b}$ , czyli uchyb $\frac{ab}{K_i}$ : dokładnie wynik zadania do przemyślenia 2 z lekcji 1.3 (0,0625 m/s). Pętla wysokości drona z regulatorem P ma typ 1 bez całki w regulatorze, bo całkowanie jest w samym obiekcie ( $\frac1s$ od prędkości do wysokości). Zostaje jednak uchyb od stałej siły, bo ta wchodzi przed całkowaniem (zadanie 5.3).

Zadania · część 5

4 zadania · ok. 30 min

$L(s) = \frac{9}{s + 1}$ . Ile wynosi uchyb dla skoku? A dla rampy?

Odpowiedź
Typ 0: skok $\frac{1}{1 + 9} = 0{,}1$ ; rampa: $K_v = 0$ , uchyb rośnie bez końca.
$L(s) = \frac{4}{s(s + 2)}$ . Jaki to typ? Ile wynosi uchyb dla rampy o nachyleniu 1?

Odpowiedź
Typ 1. $K_v = \lim s\cdot\frac{4}{s(s + 2)} = 2$ , uchyb $\frac12$ .
Pętla wysokości drona: $C = K$ (regulator P), obiekt $\frac{1}{s(ms + b)}$ , a stała siła $F$ działa na wejściu obiektu (błąd masy). Wyprowadź uchyb wysokości. Dlaczego typ 1 tu nie pomaga?

Odpowiedź
$\frac{Z}{F} = \frac{P}{1 + CP} = \frac{1}{s(ms + b) + K}$ ; dla $s \to 0$ : $\frac1K$ , czyli uchyb $F/K$ , jak w lekcji 1.1. Całkowanie w obiekcie leży za miejscem, gdzie wchodzi siła, więc z punktu widzenia zakłócenia pętla nie ma całki. Na zakłócenie działa tylko całkowanie leżące między miejscem jego wejścia a uchybem, czyli w regulatorze.
Dlaczego twierdzenie o wartości końcowej trzeba stosować ostrożnie? Podaj $L(s)$ , dla którego wzór daje skończony uchyb, a pętla wcale się nie ustala.

Odpowiedź
Twierdzenie wymaga stabilnej pętli. Np. $L = \frac{10}{(s + 1)^3}$ z wzmocnieniem $K = 10$ : wzór daje $\frac{1}{11}$ , ale pętla jest niestabilna (warunek Routha dla $(s + 1)^3 + K$ : $K < 8$ ; lekcja 2.2 Bieguny i zera pętli zamkniętej, linie pierwiastkowe) i uchyb rośnie bez końca.

6 Metoda i przykłady rozwiązane

Metoda: od schematu do odpowiedzi

Zapisz transmitancję każdego bloku (tabela z części 2).
Uprość schemat od środka: najpierw pętle wewnętrzne, potem zewnętrzne; szeregowe mnożysz, równoległe dodajesz, sprzężenie to $\frac{G}{1 + GH}$ .
Odczytaj: bieguny (mianownik), zera (licznik), wzmocnienie statyczne ( $s = 0$ ).
Uchyb: typ układu i $e_\infty = \lim_{s\to0}sE(s)$ , ale tylko dla stabilnej pętli.
Sprawdź symulacją (np. python-control), zwłaszcza gdy są nieliniowości.

Przykład 6.1 Tempomat jako schemat blokowy

Samochód zmienia prędkość jak człon inercyjny: wzmocnienie $\frac{10}{3}$ (km/h)/% i stała czasowa 20 s (przyjmujemy). Tempomat P z $K_p = 3$ %/(km/h). Wyznacz $T(s)$ , stałą czasową pętli i uchyb. Co zmieni człon I z $K_i = 0{,}3$ %/(km/h·s)?

$L = \frac{3\cdot 10/3}{20s + 1} = \frac{10}{20s + 1}$ ; $T = \frac{10}{20s + 11}$ : stała czasowa $20/11 \approx 1{,}8$ s, wzmocnienie $\frac{10}{11}$ , uchyb 9%.
Z członem I: $L = \frac{10}{3}\cdot\frac{3s + 0{,}3}{s(20s + 1)}$ . Typ 1, uchyb zerowy. Mianownik $T$ : $20s^2 + 11s + 1 = 20(s + 0{,}435)(s + 0{,}115)$ .

Wynik: P: szybko (1,8 s), ale 9% uchybu. PI: bez uchybu, ale wolny biegun w $-0{,}115$ oznacza powolne „dociąganie” ostatnich procent (ok. 20 s do pasma ±2%), z 5% przeregulowania od zera w $-0{,}1$ .

Sprawdzenie: python-control daje te same bieguny i przeregulowanie 4,9% ✓. W tempomacie uchyb 9% to błąd liczony od całej prędkości, bez podpowiedzi z modelu. Z podpowiedzią (lekcja 1.1) byłby to 9% błędu modelu, czyli dużo mniej.

Przykład 6.2 Kaskada: pętla wysokości nad pętlą prędkości

Wewnętrzna pętla prędkości drona to $T_v = \frac{3{,}5s + 4}{(s + 2)^2}$ (PI z lekcji 1.3, $m = 1$ kg). Zewnętrzny regulator P wysokości daje zadaną prędkość: $v_\text{zad} = K_z(z_\text{zad} - z)$ . Wyznacz transmitancję od $z_\text{zad}$ do $z$ i dobierz $K_z$ .

Od $v_\text{zad}$ do $z$ : $T_v\cdot\frac1s$ . Pętla zewnętrzna: $L_z = \frac{K_zT_v}{s}$ , $T_z = \frac{K_zT_v}{s + K_zT_v}$ .
Typ 1 (całkowanie $\frac1s$ w pętli zewnętrznej): wysokość bez uchybu dla skoku. Stała siła jest już usuwana przez całkę pętli wewnętrznej.
Bieguny dla kilku $K_z$ (python-control): $K_z = 1$ 1/s: $-0{,}82$ i $-1{,}59 \pm j\,1{,}54$ , bez przeregulowania, czas ustalania ok. 3,9 s. $K_z = 2$ 1/s: przeregulowanie 7%, czas ustalania 3,0 s.

Wynik: $K_z \approx 1$ –1,5 1/s daje wysokość bez uchybu i bez kołysania, czego regulator P na samej wysokości (lekcja 1.1) nie umiał.

Sprawdzenie: pętla wewnętrzna jest szybka (bieguny w $-2$ ), a zewnętrzna wolniejsza: to reguła kaskady (lekcja 3.2 Strojenie: model z testu, reguły nastaw i regulacja kaskadowa). Przy $K_z \to$ duże pętle zaczynają się „przeszkadzać” i rośnie przeregulowanie ✓.

Przykład 6.3 Czujnik, który się spóźnia

Pętla prędkości drona ( $m = 1$ kg) z regulatorem P. Czujnik prędkości ma inercję $H = \frac{1}{0{,}1s + 1}$ . Porównaj odpowiedź z czujnikiem idealnym dla $K_p = 3{,}5$ i $K_p = 10$ .

Bez inercji: $T = \frac{K_p}{s + 0{,}5 + K_p}$ , człon I rzędu, bez przeregulowania.
Z inercją: mianownik $(s + 0{,}5)(0{,}1s + 1) + K_p = 0{,}1s^2 + 1{,}05s + 0{,}5 + K_p$ . Po pomnożeniu przez 10: dla $K_p = 3{,}5$ to $s^2 + 10{,}5s + 40$ ( $\zeta \approx 0{,}83$ ), dla $K_p = 10$ to $s^2 + 10{,}5s + 105$ ( $\zeta \approx 0{,}51$ ).
Przeregulowanie prawdziwej prędkości: 1,4% i 29%.

Wynik: czujnik spóźniony o 0,1 s zamienia spokojną pętlę I rzędu w oscylacyjną. Przy $K_p = 10$ przelot to prawie 30%, choć wzmocnienie statyczne (0,95) jest takie samo jak z idealnym czujnikiem.

Sprawdzenie: spóźniony czujnik działa jak mała rura w prysznicu: regulator reaguje na stan sprzed chwili. Statyka tego nie widzi, bo $H(0) = 1$ ✓.

7 Błędne intuicje, których trzeba się oduczyć

„Transmitancja to stosunek wyjścia do wejścia w każdej chwili.”: To stosunek transformat przy zerowych warunkach początkowych, a nie $y(t)/u(t)$ . W chwili $t$ wyjście zależy od całej historii wejścia (Douglas pokazuje ten błąd w rozdz. 2).
„Schemat blokowy pokazuje, którędy płynie energia.”: Pokazuje zależności między sygnałami (informację). Strzałka od czujnika do regulatora nie przenosi energii, a sprzężenie zwrotne może biec „pod prąd” fizycznego przepływu.
„Kolejność bloków nie ma znaczenia.”: Tylko dla bloków liniowych. Nasycenie i inne nieliniowości trzeba zostawić tam, gdzie są.
„Całka w pętli usuwa uchyb od każdego zakłócenia.”: Tylko od zakłóceń wchodzących za całkowaniem, czyli gdy całka leży na drodze od uchybu do miejsca wejścia zakłócenia. Całkowanie w obiekcie, które leży dopiero za miejscem wejścia siły, nie pomaga (zadanie 5.3).
„Mianownik mówi wszystko o odpowiedzi.”: O stabilności i rodzaju ruchu tak, ale zera z licznika zmieniają kształt odpowiedzi, np. dodają przeregulowania (część 4).

8 Zadania do przemyślenia

Te zadania wymagają więcej myślenia niż liczenia.

Zadania do przemyślenia

5 zadań · ok. 1,5 godziny

Dlaczego $e^{st}$ ? Wyjaśnij, dlaczego dla układów liniowych o stałych współczynnikach funkcje $e^{st}$ są wyjątkowe, a np. $t^2$ nie. Co się stanie, gdy podasz $t^2$ na wejście członu inercyjnego?
Rozwiązanie
1. Pochodna $e^{st}$ to ta sama funkcja razy stała. Każde równanie liniowe o stałych współczynnikach zamienia więc $e^{st}$ w $e^{st}$ razy liczbę: kształt się nie zmienia (to funkcja własna różniczkowania).
2. Pochodna $t^2$ to $2t$ , inny kształt. Człon inercyjny odpowie na $t^2$ kombinacją $t^2$ , $t$ , $1$ i $e^{-t/\tau}$ : kształt się zmienia, więc nie da się opisać tego jedną liczbą.
Zakłócenie na wyjściu i na wejściu. W pętli z $C = K_p$ i $P = \frac{1}{s + 1}$ porównaj wpływ zakłócenia $D$ dodawanego do wyjścia ( $Y/D = S$ ) i do wejścia obiektu ( $Y/D = PS$ ) dla szybko zmiennych zakłóceń ( $|s|$ duże). Które łatwiej tłumić?
Rozwiązanie
1. Dla dużego $|s|$ : $L \to 0$ , więc $S \to 1$ : szybkie zakłócenie wyjściowe przechodzi bez osłabienia, pętla nie zdąży zareagować.
2. $PS \approx P \to 0$ : szybkie zakłócenie na wejściu obiektu jest wygładzane przez sam obiekt. Takie łatwiej znieść, nawet bez pętli. Podmuch działa na drona jak siła, więc szybkie podmuchy obiekt wygładza sam, a pętla zajmuje się wolnymi.
Dwie drogi do wyjścia. Regulator ma podpowiedź z modelu $F(s)$ równolegle do sprzężenia: $U = F R + C(R - Y)$ . Wyprowadź $Y/R$ . Jakie $F$ daje $Y = R$ niezależnie od $C$ , jeśli znamy $P$ dokładnie?
Rozwiązanie
1. $Y = P(FR + CR - CY)$ , więc $\frac YR = \frac{P(F + C)}{1 + PC}$ .
2. Dla $F = 1/P$ : $\frac{P(1/P + C)}{1 + PC} = 1$ . Podpowiedź z modelu to odwrotność obiektu (lekcja 1.1, Goodwin 2.5), a pętla poprawia tylko błąd tej odwrotności. W praktyce $1/P$ trzeba przybliżyć, bo czysta odwrotność wymagałaby różniczkowania (sprzężenie w przód, lekcja 3.3 Nieliniowa rzeczywistość: nasycenie, windup, feedforward i gain scheduling).
Pętla z opóźnieniem. Prysznic z lekcji 1.1: $\dot u = k(r - y)$ , $y(t) = u(t - \theta)$ . Zapisz go jako schemat blokowy i podaj $L(s)$ . Jaki to typ układu?
Rozwiązanie
1. Regulator $\frac ks$ (całkowanie nastawy), obiekt $e^{-\theta s}$ : $L = \frac{k\,e^{-\theta s}}{s}$ .
2. Typ 1: stała temperatura zadana jest osiągana bez uchybu, jeśli pętla jest stabilna. Warunek $k\theta < \pi/2$ wyprowadzimy z $L(j\omega)$ w lekcji 2.4 Stabilność pętli: punkt −1, zapasy i opóźnienie.
Dwa czujniki, jeden regulator. Dron mierzy prędkość pionową wprost (szybki, ale szumiący akcelerometr scałkowany) i pośrednio (różniczkując barometr, wolno i z opóźnieniem). Narysuj schemat blokowy pętli z czujnikiem będącym sumą $H_1V + H_2V$ . Co musi spełniać $H_1 + H_2$ , żeby w stanie ustalonym czujnik nie kłamał?
Rozwiązanie
1. Czujnik to blok $H = H_1 + H_2$ w torze sprzężenia (połączenie równoległe).
2. Potrzeba $H(0) = H_1(0) + H_2(0) = 1$ . Dobór $H_1$ przepuszczającego szybkie zmiany i $H_2$ przepuszczającego wolne, z $H_1 + H_2 = 1$ dla każdego $s$ , to filtr komplementarny (lekcja 4.5 Rozszerzony filtr Kalmana i fuzja czujników w jednej osi).

9 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Co oznacza wartość

G(s)

w danym punkcie

s

Ile razy układ wzmacnia sygnał $e^{st}$ ; w $s = 0$ to wzmocnienie statyczne.

2 Jaka jest transmitancja członu inercyjnego, całkującego i opóźniającego?

$\frac{K}{\tau s + 1}$ , $\frac Ks$ , $Ke^{-\theta s}$ .

3 Jak połączyć transmitancje szeregowo, równolegle i w pętli ze sprzężeniem?

Iloczyn, suma, $\frac{G}{1 + GH}$ .

4 Co to są

L

S

T

$L = CP$ (pętla), $S = \frac{1}{1 + L}$ (od wartości zadanej do uchybu, od zakłócenia na wyjściu do wyjścia), $T = \frac{L}{1 + L}$ (od wartości zadanej do wyjścia).

5 Skąd przeregulowanie pętli PI z

\zeta = 1

Z zera $-K_i/K_p$ w liczniku $T$ : człon P przepuszcza szarpnięcie od skoku wartości zadanej.

6 Co to jest typ układu i co z niego wynika?

Liczba całkowań w $L$ ; typ 0: uchyb dla skoku, typ 1: zerowy dla skoku, skończony dla rampy.

7 Kiedy wolno zamieniać bloki miejscami?

Gdy są liniowe i stacjonarne.

8 Kiedy twierdzenie o wartości końcowej daje bzdurę?

Gdy pętla jest niestabilna.

10 Karta wzorów i co dalej

Transmitancje

$u = e^{st} \Rightarrow y = G(s)e^{st}$ ; $\;s = \sigma + j\omega$

inercyjny $\dfrac{K}{\tau s + 1}$ ; całkujący $\dfrac Ks$ ; opóźnienie $Ke^{-\theta s}$

oscylacyjny $\dfrac{K\omega_0^2}{s^2 + 2\zeta\omega_0s + \omega_0^2}$

PI: $K_p + \dfrac{K_i}{s}$ ; $\;T_i = K_p/K_i$

dron: $\dfrac{1}{ms + b}$ (prędkość), $\dfrac{1}{s(ms + b)}$ (wysokość)

Pętla

szeregowo $G_1G_2$ , równolegle $G_1 + G_2$ , pętla $\dfrac{G}{1 + GH}$

$L = CP$ ; $\;T = \dfrac{L}{1 + L}$ , $\;S = \dfrac{1}{1 + L}$ , $\;S + T = 1$

zakłócenie na wejściu obiektu: $\dfrac YD = PS$

$e_\infty^\text{skok} = \dfrac{1}{1 + L(0)}$ , $\;e_\infty^\text{rampa} = \dfrac{a}{K_v}$ , $\;K_v = \lim\limits_{s\to0}sL$

Do przeczytania

Obowiązkowo: B. Douglas, The Fundamentals of Control Theory, rozdz. 2.7 (transmitancje) i 3 (schematy blokowe: nazewnictwo, algebra, upraszczanie, dlaczego LTI).
Dla chętnych: G. C. Goodwin i in., Control System Design, rozdz. 4–5 (modele ciągłe i analiza pętli); dokumentacja pakietu python-control (funkcje tf, feedback, step_response).

Następna lekcja: Bieguny i zera pętli zamkniętej. Zobaczyliśmy, że mianownik $T(s)$ decyduje o stabilności i charakterze ruchu, a licznik dokłada swoje. Teraz popatrzymy, jak bieguny pętli zamkniętej wędrują po płaszczyźnie $s$ , gdy zwiększamy wzmocnienie, i nauczymy się przewidywać odpowiedź z samego położenia biegunów i zer.