11 Fale i dźwięk · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Prolog: błysk i grzmot

Liczenie sekund między błyskiem a grzmotem to najprostszy pomiar odległości burzy: dźwięk przebywa kilometr w ok. 3 s. Że dźwięk ma skończoną prędkość, wiedziano od starożytności; w XVII w. Mersenne i Gassendi mierzyli ją, strzelając z armat i licząc czas od błysku do huku. Dostali 450–480 m/s, o jedną trzecią za dużo (Gassendi wykazał przy tym, że prędkość nie zależy od wysokości tonu); dopiero Borelli i Viviani ok. 1660 r. zmierzyli ok. 350 m/s.

W 1687 r. Newton po raz pierwszy obliczył tę prędkość z teorii, z gęstości i ciśnienia powietrza. Dostał ok. 300 m/s (979 stóp na sekundę), o ok. 15% za mało. Przez ponad sto lat próbowano tłumaczyć różnicę cząstkami pary, „grubością” cząsteczek powietrza i innymi poprawkami. Dopiero Laplace (1816) zauważył, że sprężanie powietrza w fali dźwiękowej jest tak szybkie, że ciepło nie zdąży odpłynąć: proces jest adiabatyczny, a nie izotermiczny (dział 9 „Termodynamika i entropia”). Poprawka $\sqrt\kappa = \sqrt{1{,}4} \approx 1{,}18$ dokładnie usunęła rozbieżność.FLP I-47-5

Feynman zaczyna od uwagi, że w fali nic nie płynie: cząsteczki powietrza drgają w miejscu, a dalej biegnie tylko „wzór” ruchu. To samo dotyczy fali na wodzie, fali na strunie i, jak zobaczymy w elektromagnetyzmie, światła.FLP I-47-1

Pytanie na start. Karetka z syreną 700 Hz jedzie w twoją stronę z prędkością 90 km/h, mija cię i oddala się. Czy ton rośnie stopniowo w miarę zbliżania się, czy jest stały i nagle spada? O ile? Odpowiedź w części 4 i w przykładzie 11.5.

1 Równanie falowe

Rozważmy powietrze w rurze. Niech $\chi(x, t)$ oznacza przesunięcie warstwy powietrza, która w spoczynku była w położeniu $x$ . Warstwa o grubości $dx$ zmienia grubość o $(\partial\chi/\partial x)\,dx$ , więc gęstość zmienia się o $-\rho_0\,\partial\chi/\partial x$ , a ciśnienie o $\Delta p = -\rho_0c^2\,\partial\chi/\partial x$ , gdzie $c^2 = dp/d\rho$ . Różnica ciśnień po obu stronach warstwy przyspiesza ją: $\rho_0\,\partial^2\chi/\partial t^2 = -\partial(\Delta p)/\partial x$ . Razem:FLP I-47-3

Prawo · równanie falowe

\frac{\partial^2\chi}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2\chi}{\partial x^2},\qquad c = \sqrt{\frac{dp}{d\rho}} .

To samo równanie opisuje strunę o naciągu $F$ i masie na jednostkę długości $\mu$ (wtedy $c = \sqrt{F/\mu}$ ), pręt sprężysty ( $c = \sqrt{E/\rho}$ ) i, w trzech wymiarach, fale elektromagnetyczne. Lekcja 4.7 Równania cząstkowe: fali, dyfuzji i Laplace'a rozwiązuje je metodą rozdzielenia zmiennych.

Rozwiązanie ogólne podał d'Alembert (1747): $\chi = f(x - ct) + g(x + ct)$ , gdzie $f$ i $g$ to dowolne funkcje. Kształt $f$ przesuwa się bez zmiany w prawo z prędkością $c$ , kształt $g$ w lewo. Sprawdzenie: druga pochodna po $t$ daje $c^2f''$ , a po $x$ daje $f''$ .FLP I-47-4

Najważniejsze są fale sinusoidalne $\chi = A\cos(kx - \omega t)$ : liczba falowa $k = 2\pi/\lambda$ , częstość kołowa $\omega = 2\pi f$ , prędkość fazowa $c = \omega/k = \lambda f$ . Każdy inny kształt jest sumą sinusoid (szereg i transformata Fouriera, lekcja 4.2 Szeregi Fouriera), a ponieważ równanie jest liniowe, każdą składową można prowadzić osobno: zasada superpozycji.

Zadania · część 1

5 zadań · ok. 30 min

Fala dźwiękowa ma częstotliwość 440 Hz (dźwięk a¹). Jaka jest jej długość w powietrzu (343 m/s) i w wodzie (1480 m/s)? Jaka liczba falowa?

Odpowiedź
Powietrze: $\lambda = 0{,}78$ m, $k = 8{,}06$ rad/m. Woda: $\lambda = 3{,}36$ m. Częstotliwość się nie zmienia przy przejściu do innego ośrodka, zmienia się długość fali.
Ludzkie ucho słyszy od ok. 20 Hz do 20 kHz. Jakie są odpowiadające im długości fal w powietrzu?

Odpowiedź
17 m i 1,7 cm. Rozpiętość tysiąc razy: od rozmiarów budynku do szerokości palca.
Struna gitary ma masę 6,4 g na metr i jest naciągnięta siłą 73 N. Z jaką prędkością biegnie po niej fala?

Odpowiedź
$c = \sqrt{F/\mu} = \sqrt{73/0{,}0064} \approx 107$ m/s.
Sprawdź, że $\chi = A\sin(kx)\cos(\omega t)$ spełnia równanie falowe, jeśli $\omega = ck$ . Zapisz to rozwiązanie jako sumę dwóch fal biegnących.

Odpowiedź
$\partial_t^2\chi = -\omega^2\chi$ , $\partial_x^2\chi = -k^2\chi$ ; równość dla $\omega^2 = c^2k^2$ . $\sin kx\cos\omega t = \tfrac12[\sin(kx - \omega t) + \sin(kx + \omega t)]$ : dwie fale o równych amplitudach biegnące w przeciwne strony (fala stojąca, część 3).
Pokaż analizą wymiarową, że prędkość fali na strunie musi być proporcjonalna do $\sqrt{F/\mu}$ (lekcja 0.5 Jednostki, analiza wymiarowa, szacowanie i niepewność pomiaru).

Odpowiedź
$[F] = \mathrm{kg\,m\,s^{-2}}$ , $[\mu] = \mathrm{kg\,m^{-1}}$ . $F/\mu$ ma wymiar $\mathrm{m^2s^{-2}}$ , więc jedyną kombinacją o wymiarze prędkości jest $\sqrt{F/\mu}$ (z dokładnością do stałej, która okazuje się równa 1).

2 Prędkość, natężenie i głośność dźwięku

Dla gazu doskonałego przy sprężaniu adiabatycznym $p\rho^{-\kappa} = \text{const}$ (dział 8 „Ciepło i teoria kinetyczna”), więc $dp/d\rho = \kappa p/\rho$ :FLP I-47-5

Wynik · prędkość dźwięku w gazie

c = \sqrt{\frac{\kappa p}{\rho}} = \sqrt{\frac{\kappa RT}M} .

Powietrze ( $\kappa = 1{,}4$ , $M = 29$ g/mol): 331 m/s w 0 °C, 343 m/s w 20 °C; w przybliżeniu $c \approx 331 + 0{,}6\,t$ [°C] m/s. Prędkość nie zależy od ciśnienia (przy stałej temperaturze $p/\rho$ jest stałe), rośnie jak $\sqrt T$ i maleje z masą cząsteczkową: w helu ok. 1000 m/s. Wzór Newtona $\sqrt{p/\rho}$ daje 280 m/s (w 0 °C).

W cieczach i ciałach stałych o prędkości decyduje sprężystość: $c = \sqrt{K/\rho}$ (moduł ściśliwości $K$ ). Woda ma $K = 2{,}2$ GPa, więc $c \approx 1480$ m/s: jest gęstsza od powietrza, ale znacznie trudniej ją ścisnąć. W stalowym pręcie fala podłużna biegnie z prędkością $\sqrt{E/\rho} \approx 5000$ m/s.

2.1 Natężenie i decybele

Fala niesie energię. Natężenie $I$ to moc przechodząca przez jednostkę powierzchni (W/m²); dla fali sinusoidalnej $I = \tfrac12\rho c\,\omega^2A^2 = p_\text{amp}^2/(2\rho c)$ . Źródło punktowe o mocy $P$ rozsyła ją po sferze: $I = P/(4\pi r^2)$ . Ucho obejmuje natężenia od ok. $10^{-12}$ W/m² (próg słyszalności przy 1 kHz) do ok. 1 W/m² (próg bólu): dwanaście rzędów wielkości. Dlatego używa się skali logarytmicznej:

L = 10\log_{10}\frac I{I_0}\ \mathrm{dB},\qquad I_0 = 10^{-12}\ \mathrm{W/m^2} .

Rozmowa to ok. 60 dB, ruchliwa ulica 80 dB, koncert rockowy 110 dB. Podwojenie natężenia to +3 dB, dziesięciokrotne +10 dB, a podwojenie odległości od źródła punktowego −6 dB. Subiektywna głośność rośnie dużo wolniej niż natężenie: +10 dB odbieramy mniej więcej jako „dwa razy głośniej”.

Zadania · część 2

5 zadań · ok. 30 min

Oblicz prędkość dźwięku w powietrzu w −20 °C i w 35 °C.

Odpowiedź
$\sqrt{\kappa RT/M}$ : 319 m/s i 352 m/s.
Ile decybeli dają dwa jednakowe głośniki grające po 70 dB? A dziesięć?

Odpowiedź
Natężenia się dodają (dla dźwięków nieskorelowanych): 73 dB i 80 dB.
Głośnik wypromieniowuje równomiernie we wszystkie strony moc akustyczną 10 mW. Jaki poziom natężenia jest w odległości 10 m? A 20 m?

Odpowiedź
$I = P/(4\pi r^2) \approx 8\cdot10^{-6}$ W/m², czyli 69 dB; w 20 m: 63 dB.
Dlaczego prędkość dźwięku w powietrzu nie zależy od ciśnienia? Czy na szczycie Mount Everestu dźwięk biegnie wolniej niż nad morzem?

Odpowiedź
$c^2 = \kappa p/\rho = \kappa RT/M$ : ciśnienie i gęstość zmieniają się proporcjonalnie. Na Evereście dźwięk jest wolniejszy, ale tylko dlatego, że jest zimniej (ok. 250 K: ok. 317 m/s).
Wyprowadź wzór Newtona $c = \sqrt{p/\rho}$ przy założeniu, że sprężanie jest izotermiczne, i porównaj z wynikiem Laplace'a dla 0 °C.

Odpowiedź
Izotermicznie $p/\rho$ stałe, więc $dp/d\rho = p/\rho$ : $c = \sqrt{RT/M} \approx 280$ m/s. Adiabatycznie: $\sqrt{1{,}4}$ razy więcej, 331 m/s, zgodnie z pomiarem.

3 Odbicie, fale stojące i tony

Fala docierająca do końca struny lub do granicy dwóch ośrodków częściowo się odbija. Na zamocowanym końcu wychylenie musi być zerowe: odbity impuls wraca odwrócony, jakby z drugiej strony nadbiegał jego lustrzany i odwrócony obraz. Na swobodnym końcu odbity impuls ma ten sam znak. Na złączu dwóch strun część energii przechodzi dalej, a część wraca (symulacja 1).FLP I-49-1

Na strunie zamocowanej na obu końcach fale odbijają się tam i z powrotem. Trwale utrzymują się tylko te, dla których fala po przebiegnięciu tam i z powrotem wraca w tej samej fazie: na długości struny mieści się całkowita liczba połówek fali. To fale stojące (mody), z węzłami (punktami spoczynku) i strzałkami (miejscami największego drgania).FLP I-49-2

Wynik · częstotliwości własne

\text{struna i rura otwarta: } f_n = n\frac c{2L};\qquad \text{rura zamknięta z jednej strony: } f_n = (2n - 1)\frac c{4L},\qquad n = 1, 2, 3, \dots

W rurze otwartej na końcach jest ciśnienie atmosferyczne (węzły ciśnienia, strzałki przemieszczenia), w zamkniętym końcu powietrze nie może się ruszać (węzeł przemieszczenia). Rura zamknięta ma tylko nieparzyste harmoniczne, a jej ton podstawowy jest o oktawę niższy niż rury otwartej tej samej długości.

Szarpnięta struna drga jednocześnie w wielu modach. Częstotliwości $f, 2f, 3f, \dots$ tworzą szereg harmoniczny, a dźwięk powtarza się z okresem $1/f$ ; słyszymy go jako ton o wysokości $f$ . Proporcje amplitud harmonicznych decydują o barwie: skrzypce, flet i klarnet grające ten sam ton różnią się widmem. Klarnet, rura zamknięta z jednej strony, ma osłabione parzyste harmoniczne, stąd jego „pusty” dźwięk. Pitagorejczycy zauważyli, że współbrzmienia są przyjemne, gdy stosunki długości strun są małymi liczbami całkowitymi (2:1 oktawa, 3:2 kwinta); Feynman tłumaczy to tym, że wtedy wiele harmonicznych obu tonów się pokrywa.FLP I-50-1, 50-3

Zadania · część 3

5 zadań · ok. 35 min

Rura o długości 0,5 m. Jakie są trzy najniższe częstotliwości, gdy jest otwarta na obu końcach, a jakie, gdy jest zamknięta z jednej strony?

Odpowiedź
Otwarta: 343, 686, 1029 Hz. Zamknięta: 171,5, 514,5, 857,5 Hz.
Jak zmienia się częstotliwość struny, gdy czterokrotnie zwiększymy naciąg? Gdy skrócimy ją do 2/3 (przyciskając palcem)?

Odpowiedź
$f \propto \sqrt F/L$ : dwa razy wyższa (oktawa); 3/2 raza wyższa (kwinta).
Nalewając wodę do butelki, słyszymy coraz wyższy ton. Wyjaśnij. Jaka jest częstotliwość, gdy nad wodą zostało 20 cm, a jaka przy 10 cm?

Odpowiedź
Słup powietrza nad wodą to rura zamknięta z jednej strony; jej ton $c/4L$ rośnie, gdy $L$ maleje. 20 cm: ok. 430 Hz; 10 cm: ok. 860 Hz (w rzeczywistości trochę niżej, bo potrzebna jest poprawka wylotowa, a butelka z wąską szyjką działa częściowo jak rezonator Helmholtza).
Impuls przechodzi z cienkiej struny na grubą o czterokrotnie większej masie na metr (ten sam naciąg). Jakie są współczynniki odbicia i przejścia amplitudy? Jaka część energii przechodzi?

Odpowiedź
$v_2/v_1 = 1/2$ . $R = (v_2 - v_1)/(v_2 + v_1) = -1/3$ , $T = 2v_2/(v_1 + v_2) = 2/3$ . Energia odbita $R^2 = 1/9$ , przepuszczona $T^2v_1/v_2 = 8/9$ .
Dlaczego dwa tony o stosunku częstotliwości 3:2 brzmią zgodnie, a 16:15 (półton) zgrzytają? Wypisz harmoniczne tonów 200 Hz i 300 Hz do 1200 Hz.

Odpowiedź
200: 200, 400, 600, 800, 1000, 1200. 300: 300, 600, 900, 1200. Co druga harmoniczna wyższego tonu pokrywa się z harmoniczną niższego. Przy półtonie bliskie, ale różne harmoniczne dają szybkie dudnienia (część 4), które słyszymy jako szorstkość.FLP I-50-3

4 Dudnienia, efekt Dopplera i fale uderzeniowe

4.1 Dudnienia

Dwa tony o bliskich częstotliwościach $f_1$ i $f_2$ dają sumę $\cos\omega_1t + \cos\omega_2t = 2\cos\frac{\omega_1 - \omega_2}2t\,\cos\frac{\omega_1 + \omega_2}2t$ : ton o średniej częstotliwości, którego głośność pulsuje $|f_1 - f_2|$ razy na sekundę (lekcja 1.7 Liczby zespolone i fazory). Stroiciele fortepianów słuchają dudnień: przy 440 i 443 Hz słychać trzy „wa” na sekundę, a gdy struny są zgrane, dudnienia znikają.FLP I-48-1, 48-2

4.2 Efekt Dopplera

Źródło porusza się z prędkością $u$ w stronę obserwatora. Kolejne czoła fal wysyła z miejsc coraz bliższych obserwatorowi, więc odległość między nimi jest mniejsza: $\lambda' = (c - u)/f_0$ . Obserwator słyszy wyższy ton. Gdy to obserwator porusza się z prędkością $w$ w stronę nieruchomego źródła, napotyka czoła częściej, ale długość fali się nie zmienia. Razem (prędkości dodatnie przy zbliżaniu):

Wynik · efekt Dopplera dla dźwięku

f = f_0\,\frac{c + w}{c - u} .

$c$ to prędkość dźwięku względem powietrza. Ruch źródła i ruch obserwatora dają inne wyniki, bo powietrze wyróżnia układ odniesienia; dla światła, które ośrodka nie potrzebuje, liczy się tylko prędkość względna (dział 7 „Układy odniesienia i szczególna teoria względności”, zadanie 4.4).

Gdy źródło jedzie ze stałą prędkością prosto na nas, ton jest stały i wysoki, a w chwili mijania spada do stałej niższej wartości. Jeśli przejeżdża obok w pewnej odległości, spadek jest płynny, bo liczy się składowa prędkości wzdłuż linii łączącej.

4.3 Stożek Macha i grom dźwiękowy

Gdy źródło porusza się szybciej niż dźwięk ( $u > c$ , liczba Macha $M = u/c > 1$ ), czoła fal nie nadążają: obwiednia kul wysłanych w kolejnych chwilach tworzy stożek o kącie

\sin\theta = \frac cu = \frac1M .

Na powierzchni stożka spiętrza się energia wielu fal: fala uderzeniowa, którą słyszymy jako grom dźwiękowy. Grom nie powstaje „w chwili przekraczania bariery”, tylko towarzyszy samolotowi przez cały czas lotu naddźwiękowego, przesuwając się po ziemi jak dywan. To samo zjawisko to fala dziobowa łodzi szybszej od fal na płytkiej wodzie i (w ośrodkach materialnych) promieniowanie Czerenkowa.FLP I-51-1, 51-2

Zadania · część 4

5 zadań · ok. 30 min

Kamerton 440 Hz i struna gitary dają 3 dudnienia na sekundę. Gdy lekko poluzujesz strunę, dudnienia przyspieszają. Jaka była częstotliwość struny?

Odpowiedź
437 lub 443 Hz. Poluzowanie obniża ton i dudnienia przyspieszają, więc różnica rośnie: struna miała 437 Hz.
Samolot leci z prędkością Macha 2. Jaki jest kąt połówkowy stożka Macha?

Odpowiedź
$\sin\theta = 1/2$ , $\theta = 30^\circ$ .
Jedziesz rowerem z prędkością 10 m/s w stronę nieruchomej syreny 700 Hz. Co słyszysz? A gdy to syrena jedzie z prędkością 10 m/s w twoją stronę?

Odpowiedź
Ruchomy obserwator: $700\cdot353/343 \approx 720{,}4$ Hz. Ruchome źródło: $700\cdot343/333 \approx 721{,}0$ Hz. Prawie to samo, bo $u \ll c$ ; różnica rośnie przy większych prędkościach.
Nietoperz leci z prędkością 5 m/s w stronę ściany i wysyła sygnał 50 kHz. Jaką częstotliwość echa odbiera?

Odpowiedź
Ściana odbiera (źródło ruchome) $f_1 = 50\cdot343/338$ kHz i odbija ją jak nieruchome źródło do ruchomego obserwatora: $f_2 = f_1\cdot348/343 = 50\cdot348/338 \approx 51{,}48$ kHz. Przesunięcie ok. $2u/c$ , czyli 3%.
Pokaż, że dla $u, w \ll c$ wzór Dopplera daje w pierwszym rzędzie $f \approx f_0(1 + v_\text{wz}/c)$ , gdzie $v_\text{wz}$ to prędkość zbliżania się. Porównaj z relatywistycznym wzorem dla światła z działu 7.

Odpowiedź
$\tfrac{c + w}{c - u} \approx (1 + w/c)(1 + u/c) \approx 1 + (u + w)/c$ . Dla światła $f = f_0\sqrt{(1 + \beta)/(1 - \beta)} \approx f_0(1 + \beta)$ : w pierwszym rzędzie to samo, a różnice (rzędu $\beta^2$ ) pochodzą z dylatacji czasu.

5 Dyspersja: fale na wodzie i prędkość grupowa

Dla dźwięku w powietrzu $\omega = ck$ : wszystkie długości fal biegną z tą samą prędkością i impuls nie zmienia kształtu. Fale na wodzie są inne: ich prędkość zależy od długości. Na głębokiej wodzie (głębokość większa od ok. połowy długości fali) siłą przywracającą jest grawitacja i

\omega = \sqrt{gk},\qquad v_p = \frac\omega k = \sqrt{\frac g k} = \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}} .

Dłuższe fale biegną szybciej; dlatego przed nadejściem sztormu na brzeg docierają najpierw długie, łagodne fale: martwa fala. Na płytkiej wodzie (głębokość $h$ dużo mniejsza od długości fali) prędkość nie zależy od długości: $v = \sqrt{gh}$ . Tsunami na oceanie o głębokości 4 km biegnie z prędkością ok. 200 m/s (ponad 700 km/h), ale ma długość setek kilometrów i na otwartym morzu prawie niewidoczną wysokość.FLP I-51-4

Gdy prędkość zależy od długości fali, ograniczona „paczka” fal (wiele składowych o bliskich $k$ ) przesuwa się z inną prędkością niż pojedyncze grzbiety. Prędkość obwiedni, z którą płynie energia, to prędkość grupowa:FLP I-48-4

Wynik · prędkość fazowa i grupowa

v_p = \frac\omega k,\qquad v_g = \frac{d\omega}{dk} .

Bez dyspersji $v_g = v_p$ . Na głębokiej wodzie $v_g = \tfrac12\sqrt{g/k} = \tfrac12v_p$ : grzbiety rodzą się z tyłu grupy, przebiegają przez nią i znikają z przodu. Można to zobaczyć, wrzucając kamień do stawu.

Zadania · część 5

5 zadań · ok. 35 min

Fale na głębokiej wodzie mają okres 8 s. Oblicz długość fali, prędkość fazową i grupową.

Odpowiedź
$\omega = 2\pi/T$ , $k = \omega^2/g$ : $\lambda = gT^2/2\pi \approx 100$ m, $v_p = \lambda/T \approx 12{,}5$ m/s, $v_g \approx 6{,}2$ m/s.
Z jaką prędkością biegnie tsunami nad oceanem o głębokości 4000 m, a z jaką przy brzegu, gdzie jest 10 m wody? Co dzieje się z wysokością fali?

Odpowiedź
198 m/s i 9,9 m/s. Fala zwalnia, tył dogania przód i energia skupia się na krótszym odcinku: wysokość rośnie z kilkudziesięciu centymetrów do metrów.
Pokaż, że na głębokiej wodzie $v_g = v_p/2$ , różniczkując $\omega = \sqrt{gk}$ .

Odpowiedź
$d\omega/dk = \tfrac12\sqrt{g/k} = \tfrac12\,\omega/k$ .
Burza 1000 km od brzegu wytworzyła fale o okresach od 6 do 16 s. Po jakim czasie dotrą do brzegu fale o okresie 16 s, a po jakim 6 s?

Odpowiedź
Energia biegnie z $v_g = g T/4\pi$ : dla 16 s ok. 12,5 m/s, dla 6 s ok. 4,7 m/s. Czasy: ok. 22 h i ok. 59 h. Najpierw przychodzi długa martwa fala, a krótsze fale ponad półtorej doby później.
Dla krótkich fal na wodzie (zmarszczek) siłą przywracającą jest napięcie powierzchniowe $\sigma$ : $\omega^2 = \sigma k^3/\rho$ . Jaki jest stosunek $v_g/v_p$ ? Dlaczego zmarszczki przed żabą płynącą po wodzie wyprzedzają ją?

Odpowiedź
$\omega \propto k^{3/2}$ , $v_g = \tfrac32v_p$ . Krótkie zmarszczki są szybkie i ich energia biegnie jeszcze szybciej niż grzbiety, więc wyprzedzają poruszające się ciało, podczas gdy dłuższe fale grawitacyjne zostają za nim.

6 Metoda i przykłady rozwiązane

Metoda dla zadań z fal

Znajdź prędkość fali z własności ośrodka: $\sqrt{F/\mu}$ , $\sqrt{\kappa p/\rho}$ , $\sqrt{K/\rho}$ , $\sqrt{gh}$ lub z relacji dyspersji.
Związki $c = \lambda f$ , $k = 2\pi/\lambda$ , $\omega = 2\pi f$ ; częstotliwość ustala źródło, długość fali ośrodek.
Warunki brzegowe wyznaczają mody: węzły na zamocowaniach, strzałki przemieszczenia na otwartych końcach rur.
Superpozycja: dodawaj wychylenia (nie natężenia), gdy fale są spójne; natężenia, gdy są niezależne (szum, różne źródła).
Ruch źródła i obserwatora: wzór Dopplera względem ośrodka; dla $u > c$ stożek Macha.
Sprawdzenie: jednostki, rzędy wielkości (dźwięk 343 m/s, λ od cm do m), przypadki graniczne ( $u \to 0$ , $L \to \infty$ ).

Przykład 11.1 Jak daleko jest burza

Grzmot słychać 6 s po błysku. Jak daleko uderzył piorun, gdy powietrze ma 20 °C, a jak bardzo zmieniłby się wynik przy −10 °C?

Światło dociera praktycznie natychmiast (ok. 7 μs na 2 km).
20 °C: $c = 343$ m/s, odległość $343\cdot6 \approx 2{,}06$ km.
−10 °C: $c \approx 325$ m/s, odległość ok. 1,95 km.

Wynik: ok. 2 km; reguła „3 sekundy na kilometr” jest dokładna do kilku procent.

Sprawdzenie: grzmot trwa długo, bo dźwięk z różnych części kilkukilometrowego kanału pioruna dociera w różnych chwilach; liczy się początek grzmotu ✓.

Przykład 11.2 Naciąg struny gitary

Najgrubsza struna gitary (E, 82,41 Hz) ma długość drgającą 64,8 cm i masę 6,4 g na metr. Jaki musi mieć naciąg? Jaka jest częstotliwość trzeciej harmonicznej?

Ton podstawowy: $\lambda = 2L = 1{,}296$ m, więc $c = \lambda f \approx 106{,}8$ m/s.
$F = \mu c^2 = 0{,}0064\cdot106{,}8^2 \approx 73$ N (jak ciężar 7,4 kg).
Trzecia harmoniczna: $3\cdot82{,}41 \approx 247$ Hz, prawie dokładnie dźwięk h (246,9 Hz), kwinta nad oktawą.

Wynik: ok. 73 N. Sześć strun gitary ciągnie gryf łączną siłą ok. 400–700 N.

Sprawdzenie: producenci strun podają dla grubej struny E naciągi rzędu 70–80 N ✓.

Przykład 11.3 Piszczałka organowa i flet

Piszczałka organowa ma długość 0,5 m. Jaki wydaje ton, gdy jest otwarta, a jaki, gdy zamknięta z jednej strony (piszczałka kryta)? Jak długi musi być flet (rura otwarta) na ton c² (523 Hz)?

Otwarta: $c/2L = 343$ Hz (ok. f¹).
Kryta: $c/4L = 171{,}5$ Hz: o oktawę niżej, tylko z nieparzystymi harmonicznymi.
Flet: $L = c/2f \approx 33$ cm.

Wynik: 343 Hz i 171,5 Hz; flet ok. 33 cm. Organmistrzowie używają piszczałek krytych, gdy brakuje miejsca na długie piszczałki basowe.

Sprawdzenie: rzeczywista piszczałka brzmi nieco niżej, bo fala „wystaje” za otwarty koniec o ok. 0,6 promienia rury (poprawka wylotowa) ✓.

Przykład 11.4 Hałas i decybele

Przy ruchliwej ulicy w odległości 10 m od jezdni poziom natężenia to 80 dB. Jaki jest 40 m od jezdni, jeśli ulicę traktujemy jako źródło liniowe (natężenie maleje jak $1/r$ ), a jaki, gdyby to było źródło punktowe?

Źródło liniowe: energia rozchodzi się po walcu, $I \propto 1/r$ . Czterokrotnie dalej: $10\log_{10}4 \approx 6$ dB mniej, 74 dB.
Źródło punktowe: $I \propto 1/r^2$ : 12 dB mniej, 68 dB.

Wynik: 74 dB dla ulicy, 68 dB dla pojedynczego źródła. Hałas uliczny maleje z odległością wolniej, niż podpowiada intuicja.

Sprawdzenie: w rzeczywistości dochodzą odbicia od budynków i pochłanianie przez grunt; ekrany akustyczne tłumią głównie wyższe częstotliwości (λ rzędu dziesiątek centymetrów), które słabo uginają się za przeszkodą wysoką na kilka metrów; niskie tony o długości fali kilku metrów obchodzą ekran ✓.

Przykład 11.5 Syrena karetki

Karetka z syreną 700 Hz jedzie z prędkością 90 km/h (25 m/s) prosto na ciebie, a potem się oddala. Co słyszysz?

Zbliżanie: $f = 700\cdot343/(343 - 25) \approx 755$ Hz, stała wysokość.
Oddalanie: $f = 700\cdot343/(343 + 25) \approx 652$ Hz.
Stosunek $755/652 \approx 1{,}16$ : ok. 2,5 półtonu (półton to $2^{1/12} \approx 1{,}059$ ).

Wynik: ton jest stały (755 Hz), w chwili mijania spada o ok. dwa i pół półtonu do 652 Hz. Stopniowe obniżanie się tonu słyszymy tylko wtedy, gdy karetka przejeżdża obok nas w pewnej odległości.

Sprawdzenie: dla $u \ll c$ przesunięcie to ok. $\pm u/c = \pm7\%$ : $700\cdot1{,}073 \approx 751$ , $700\cdot0{,}927 \approx 649$ ; zgodnie w pierwszym rzędzie ✓.

Przykład 11.6 Kilwater statku

Statek płynie po głębokiej wodzie. Fale, które wytwarza, są stacjonarne względem statku. Pokaż, że kilwater mieści się w klinie o kącie połówkowym ok. 19,5°, niezależnie od prędkości statku.

Fala, której kierunek rozchodzenia się (prostopadły do grzbietów) tworzy kąt $\phi$ z kierunkiem ruchu, jest stacjonarna względem statku, gdy $v_p = u\cos\phi$ .
Energia każdej takiej fali biegnie z prędkością grupową $v_g = v_p/2$ . Po czasie $t$ fala wysłana z punktu, w którym był statek, jest w odległości $v_gt$ od tego punktu (wzdłuż kierunku $\phi$ ), a statek odpłynął o $ut$ .
Punkty te leżą na okręgu o średnicy $\tfrac12ut$ (dla wszystkich kątów $\phi$ ), styczne poprowadzone z obecnego położenia statku tworzą kąt $\sin\theta = \frac{ut/4}{3ut/4} = \frac13$ .

Wynik: $\theta = \arcsin\tfrac13 \approx 19{,}5^\circ$ (kąt Kelvina). Kaczka i tankowiec zostawiają kilwater tej samej szerokości kątowej.

Sprawdzenie: zdjęcia lotnicze kilwaterów dają kąty bliskie 39° pełnego klina; bardzo szybkie łodzie mają węższe kilwatery, bo dla nich ważne stają się efekty skończonej długości kadłuba ✓.

7 Błędne intuicje, których trzeba się oduczyć

„W gęstszym ośrodku dźwięk biegnie wolniej.”: Decyduje stosunek sprężystości do gęstości. Woda jest 800 razy gęstsza od powietrza, a dźwięk biegnie w niej ponad 4 razy szybciej, bo jest dużo trudniej ściśliwa.
„Głośniejszy dźwięk biegnie szybciej.”: Prędkość nie zależy od amplitudy (dopóki fala jest słaba). Wyjątkiem są fale uderzeniowe o bardzo dużych amplitudach.
„Fala przenosi materię.”: Przenosi energię i pęd; cząstki ośrodka drgają wokół swoich położeń.
„Gdy karetka się zbliża, ton stale rośnie.”: Przy stałej prędkości ton zbliżającej się karetki jest stały; zmienia się tylko głośność. Spadek następuje przy mijaniu.
„Grom dźwiękowy słychać, gdy samolot przekracza barierę dźwięku.”: Stożek Macha towarzyszy samolotowi przez cały lot naddźwiękowy; każdy, nad kim przelatuje, słyszy swój grom.
„Wysokość dźwięku zależy od głośności.”: Wysokość to częstotliwość podstawowa; głośność to natężenie. Ucho nieco miesza te wrażenia, ale fizycznie są niezależne.
„Dźwięk w zimnym powietrzu biegnie szybciej, bo jest gęstsze.”: Odwrotnie: $c \propto \sqrt T$ , w mrozie dźwięk jest wolniejszy. Dlatego w nocy, gdy przy ziemi jest chłodniej, dźwięk zakrzywia się w dół i słychać go dalej.

8 Zadania feynmanowskie

Te zadania wymagają więcej myślenia niż liczenia.

Zadania feynmanowskie

8 zadań · ok. 2 godziny

Zza rogu. Słyszysz rozmowę zza rogu budynku, ale nie widzisz rozmówców. Porównaj długości fal dźwięku mowy (ok. 100 Hz–4 kHz) i światła (ok. 500 nm) z rozmiarami przeszkód i wyjaśnij różnicę.
Rozwiązanie
1. Dźwięk mowy ma $\lambda$ od 9 cm do 3,4 m, porównywalne z drzwiami i narożnikami; fale uginają się wokół przeszkód o takich rozmiarach (dyfrakcja).
2. Światło ma $\lambda$ milion razy mniejsze: przeszkody wielkości metra rzucają ostry cień. Wysokie tony słychać zza rogu słabiej niż niskie, bo słabiej się uginają.
Grom z wysokości 10 km. Samolot leci z prędkością Macha 2 na wysokości 10 km (pomiń zmiany temperatury z wysokością). Gdzie jest samolot, gdy obserwator na ziemi słyszy grom? Ile sekund po przelocie nad jego głową?
Rozwiązanie
1. Stożek o kącie 30° dociera do obserwatora, gdy samolot jest w odległości poziomej $h/\operatorname{tg}30^\circ \approx 17{,}3$ km za nim.
2. Przy $u = 2\cdot343$ m/s to ok. 25 s po przelocie nad głową. Samolotu nie słychać, dopóki nie przejdzie stożek.
Strojenie dudnieniami. Stroiciel porównuje kwintę a¹–e² (440 Hz i 659,3 Hz w stroju równomiernie temperowanym). Trzecia harmoniczna a¹ i druga harmoniczna e² powinny dać czystą kwintę. Ile dudnień na sekundę słyszy?
Rozwiązanie
1. $3\cdot440 = 1320$ Hz i $2\cdot659{,}26 = 1318{,}5$ Hz: dudnienia ok. 1,5 na sekundę.
2. W stroju równomiernie temperowanym kwinta jest celowo nieco „za wąska” ( $2^{7/12} = 1{,}4983$ zamiast 1,5); stroiciele liczą te dudnienia, żeby trafić w strój.FLP I-50-3
Echolokacja. Nietoperz używa sygnałów 50 kHz. Jaka jest długość fali? Dlaczego ultradźwięki pozwalają mu „widzieć” owady, a niskie tony by nie pozwoliły?
Rozwiązanie
1. $\lambda = 343/50\,000 \approx 6{,}9$ mm.
2. Przedmiot mniejszy od długości fali słabo ją odbija (rozpraszanie maleje jak $(a/\lambda)^4$ dla małych przedmiotów). Komar ma kilka milimetrów: przy 50 kHz jest widoczny, przy 1 kHz ( $\lambda$ = 34 cm) praktycznie niewidzialny.
Kilwater kaczki. Dlaczego za płynącą kaczką fale tworzą klin, a za płynącym bardzo powoli patykiem prawie ich nie widać? Co by się stało na płytkiej wodzie, gdzie $v = \sqrt{gh}$ nie zależy od długości fali?
Rozwiązanie
1. Kaczka wytwarza fale stacjonarne względem siebie o $v_p \le u$ ; na głębokiej wodzie zawsze istnieją takie długości fal, a dyspersja daje klin Kelvina (przykład 11.6). Fale na wodzie mają najmniejszą prędkość fazową ok. 23 cm/s (przy λ ≈ 1,7 cm, gdzie grawitacja i napięcie powierzchniowe są porównywalne). Patyk wolniejszy od tej wartości nie ma żadnej fali stacjonarnej względem siebie, więc nie zostawia kilwateru.
2. Na płytkiej wodzie bez dyspersji fale stacjonarne istnieją tylko dla $u > \sqrt{gh}$ i tworzą stożek Macha o kącie $\sin\theta = \sqrt{gh}/u$ , jak w akustyce.
Próg słyszalności. Natężenie przy progu słyszalności to $10^{-12}$ W/m² (1 kHz). Oblicz amplitudę zmian ciśnienia i amplitudę przesunięcia cząsteczek powietrza. Porównaj z rozmiarem atomu.
Rozwiązanie
1. $p_\text{amp} = \sqrt{2\rho cI} \approx 2{,}9\cdot10^{-5}$ Pa.
2. $A = \sqrt{2I/(\rho c\omega^2)} \approx 1{,}1\cdot10^{-11}$ m, 10–30 razy mniej niż średnica atomu. Przy progu bólu (1 W/m²): $A \approx 11\ \mu$ m, $p_\text{amp} \approx 29$ Pa.
Ucho przy szynie. Dlaczego dawniej przykładano ucho do szyny, żeby usłyszeć nadjeżdżający pociąg? Porównaj czas biegu dźwięku na odległość 1 km w stali (ok. 5000 m/s) i w powietrzu. Jaką jeszcze zaletę ma szyna?
Rozwiązanie
1. 0,2 s w stali i 2,9 s w powietrzu.
2. Ważniejsze jest to, że szyna prowadzi falę jak falowód: energia nie rozchodzi się po sferze, tylko biegnie wzdłuż szyny i słabnie dużo wolniej niż $1/r^2$ .
Martwa fala. Na plażę przychodzą wysokie, długie fale o okresie 14 s, choć jest bezwietrznie. Skąd się wzięły i jak daleko mogła być burza, jeśli dwa dni wcześniej było spokojnie?
Rozwiązanie
1. To martwa fala z odległego sztormu. Fale o długim okresie mają dużą prędkość grupową: $v_g = gT/4\pi \approx 10{,}9$ m/s dla 14 s.
2. W ciągu dwóch dni energia przebiegła ok. 1900 km, więc burza była najwyżej ok. 1900 km stąd. Krótsze fale z tego samego sztormu nadejdą później, a okres przychodzących fal będzie stopniowo malał: z tego tempa można oszacować odległość burzy.

9 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Jakie jest ogólne rozwiązanie jednowymiarowego równania falowego?

$f(x - ct) + g(x + ct)$ : dwa dowolne kształty biegnące w przeciwne strony.

2 Dlaczego Newton dostał za małą prędkość dźwięku?

Przyjął sprężanie izotermiczne; jest adiabatyczne, co daje czynnik $\sqrt\kappa$ .

3 O ile decybeli zmienia się poziom, gdy natężenie rośnie 100 razy?

O 20 dB.

4 Jakie harmoniczne ma rura zamknięta z jednej strony?

Tylko nieparzyste: $f, 3f, 5f, \dots$ , z $f = c/4L$ .

5 Co słychać, gdy dwa tony mają częstotliwości 300 i 304 Hz?

Ton ok. 302 Hz, którego głośność pulsuje 4 razy na sekundę.

6 Czym różni się ruch źródła od ruchu obserwatora w efekcie Dopplera dla dźwięku?

Ruch źródła zmienia długość fali w powietrzu, ruch obserwatora tylko częstość napotykania czół; wzory są różne, bo powietrze wyróżnia układ odniesienia.

7 Od czego zależy kąt stożka Macha?

Od liczby Macha: $\sin\theta = 1/M$ .

8 Jak się mają prędkość grupowa i fazowa fal na głębokiej wodzie?

$v_g = v_p/2$ ; energia płynie z prędkością grupową.

10 Karta wzorów i co dalej

Fale i dźwięk

$\partial_t^2\chi = c^2\partial_x^2\chi$ ; $\;\chi = f(x - ct) + g(x + ct)$

$c = \lambda f = \omega/k$ ; $\;$ struna $\sqrt{F/\mu}$ , gaz $\sqrt{\kappa p/\rho}$ , ciecz $\sqrt{K/\rho}$

powietrze: $c \approx 331 + 0{,}6\,t$ m/s

$I = \tfrac12\rho c\omega^2A^2$ ; $\;L = 10\log_{10}(I/10^{-12})$ dB

mody: $nc/2L$ (struna, rura otwarta), $(2n - 1)c/4L$ (rura zamknięta)

Ruch, dyspersja

dudnienia: $|f_1 - f_2|$ na sekundę

Doppler: $f = f_0(c + w)/(c - u)$

stożek Macha: $\sin\theta = c/u$

$v_p = \omega/k$ , $\;v_g = d\omega/dk$

woda głęboka $\omega = \sqrt{gk}$ , $v_g = v_p/2$ ; płytka $v = \sqrt{gh}$ ; kąt Kelvina $19{,}5^\circ$

Do przeczytania u Feynmana

Obowiązkowo: rozdz. 47 (dźwięk i równanie falowe), 49 (mody).
Dla chętnych: rozdz. 48 (dudnienia, paczki fal), 50 (harmoniczne i Fourier), 51 (fale uderzeniowe, fale na wodzie).

Następny dział: Optyka: zasada najmniejszego czasu, interferencja, dyfrakcja. Światło też jest falą, tylko o długości pół mikrometra. Najpierw zobaczymy, jak zasada Fermata wyjaśnia odbicie, załamanie i soczewki, a potem jak dodawanie fazorów fal z wielu źródeł daje interferencję, siatki dyfrakcyjne i granicę rozdzielczości mikroskopu.